matemática - resumos vestibular - logaritmos teoria gabarito i

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Logaritmos Teoria Gabarito I

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Logaritmos

John Napier (ou Nepper) foi o primeiro a publicar um trabalho sobre logaritmos, em 1614. O seu trabalho

consistia em transformar as operaes de multi-plicao, diviso e radiciao em adies e subtraes

usando as propriedades das potncias. Com esse trabalho, Napier conseguiu impressionar Henry Briggs,

professor em Oxford, e juntos (em 1615) discutem a possibilidade de aperfeioarem o mtodo. Decidem

preparar novas tabelas que teriam os logaritmos com base 10. Esse trabalho foi concludo por Briggs, pois

Napier veio a morrer em 1617. Da para a frente percebe-se a utilidade dos logaritmos nos clculosnumricos, razo pela qual estaremos, neste nosso prximo captulo, estudando um pouco de Logaritmo.

1. Definio

Dados os nmeros reais N, ae com N> 0, a> 0 e a 1, dizemos que o expoente quecolocamos em apara obtermos o nmero N. chamado logaritmode Nna base a.

Em que a nomenclatura usada a seguinte:

N logaritmando ou antilogaritmo

a base

logaritmo

Exemplos

1o) log216 = 4, pois 24 = 162o) log3 9 = 2, pois 3

2 = 9

3o) 4 = 1, pois = 4

4o) log7 1 = 0, pois 70 = 1

5o) log3 (9) no existe expoente que se coloque no 3 para obtermos resultado igual a (9).6o) log(2) 8 no existe expoente que se coloque no (2) para obtermos resultado igual a 8.

7o) log1 12 no existe expoente que se coloque no 1 para obtermos resultado igual a 12.

Exemplos Resolvidos

1o exemplo

Determinar o valor de 32

Fazendo 32 = , podemos aplicar a definio:

= 32.

Passamos a ter uma equao exponencial, com resoluo conhecida:

(22) = 25 2 2 = 25 2 = 5

=


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2o exemplo

Determinar o valor de log3 .

Fazendo log3 = , podemos aplicar a definio de logaritmo: = .

Agora s resolver essa equao exponencial:

. Decorrncia da Definio

Alguns logaritmos, em funo da grande quantidade de vezes que ns vamos encontr-los,devem ser conhecidos "na ponta da lngua". So logaritmos cujos resultados decorrem de maneiraimediata da definio.

Consideradas satisfeitas todas as condies de existncia, temos:

1a decorrncia:

Evidente, pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 0 apresenta resultado igual a 1.

2a decorrncia:

Evidente, pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 1 apresenta resultado igual a a.

3a decorrncia:

Evidente, pois o expoente que devemos colocar na base a para obtermos o resultado .

4a decorrncia:

Vejamos a demonstrao dessa 4a decorrncia.Seja logaN = m, assim a

m= N(I).

Logo = am(II)

Da comparao de (I) e (II), temos que se:= am e am = N, ento = N.

Exemplo de Aplicao

Determinar o valor dePelo uso das propriedades das potncias, temos:

Usando as decorrncias da definio de logaritmos, temos: = 2 . 5 = 10.

Obs. A base 10 aparecer com muita freqncia no estudo dos logaritmos, assimindicaremos log10x simplesmente por log x.


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Exerccios Resolvidos

01. Calcular, usando a definio de logaritmo:

a)

b)

c)

Resoluo

a)

b)

c)

02. UFRN

O valor da expresso log2 64 log3 27 igual a:

a) 3 d) 31

b) 13 e) 37

c) 17

Resoluo: Resposta:A

03. (ITA-SP)

log216 log432 igual a:

a) b) c) d) 4 e) 1

Resoluo

Resposta:B


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04. (UCS-RS)

O valor de :

a) 1

b) 3

c) 3

d) 1

e)

Resoluo

Resposta:D

05. (Uneb-BA)

O nmero real x, tal que logx., :

a) d)

b) e)

c)

Resoluo

Resposta:A

06. Calcular:

a)

b)

Resoluo

a)

b) log22 + log101 + =

1 + 0 + = 1 + 0 + 45 = 46


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3. Condies de Existncia

Como jobservamos nos exemplos anteriores, um logaritmo s definido quando o logaritmando um nmero positivo e a base um nmero positivo e diferente de 1.

Assim, temos que, para ser verdadeira a sentenalogaN = , devemos ter:

Assim:log3(9) nao existe expoente, que com a base 3 obtem-se resultado igual a (9)

log(2)8 nao existe expoente, que com a base (2) obtem-se resultado igual a 8.

log1 12 nao existe expoente, que com a base 1 obtem-se resultado igual a 12

log(2)8 no existe expoente, que com a base (2) obtem-se resultado igual a 8.

log1 12 no existe expoente, que com a base 1 obtem-se resultado igual a 12.

Exemplos de Aplicao

1o exemplo:

Para que valores existe Log7 (3x5)?

Para que o logaritmo exista, devemos ter:

3x 5 > 0 x >

2o exemplo:

Determinar o domnio da funo:

f(x) = log(x 1) (4 x2)

Para determinarmos o domnio dessa funo, devemos atender, simultaneamente, s seguintescondies:

D = { x lR / 1 < x < 2 }


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01. (PUC-RS) O conjunto soluo da equao logx (10 + 3x) = 2, em lR, :

a) d) { 2, 5}

b) { 2} e) { 5, 2}

c) {5}

Resoluo Condies de existncia: x > 0 e x 1 10 + 3x > 0 3x > 10 x > 10/3

Utilizando a definio de logaritmo

10 + 3x = x2 x2 3x 10 = 0

S = {5}

Resposta: C

02. (FGV-RJ) O domnio da funo y = log ( x2

+ 2x + 3) :a) [ 1, 3] b) ] , 1 [ ] 3, + [ c) ] 1,3] d) ] 1,3] e) [ 1,3[

Resoluo

D = {x R | 1 < x < 3}

Resposta: D

03. (UFSCar-SP) O domnio de definio da funo f(x) = logx 1 (x2 5x + 6) :

a) x < 2 ou x > 3 d) x < 1 ou x > 3

b) 2 < x < 3 e) 1 < x < 3

c) 1 < x < 2 ou x > 3

Resoluo

f(x) = logx 1 (x

2

5x + 6)

D = {x IR / 1< x < 2 ou x > 3}


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Resposta:C

4. Propriedades

A partir da definio, podemos desenvolver algumas utilizaes freqentes dos logaritmos etransform-las em propriedades que passaremos a estudar.

Considerando os nmeros reais positivos a, N e M, com a 1 e ainda os nmeros naturais no-nulos n e m, temos:

Demostrao

Sejam:

Comparando as equaes (I), (II) e (III), temos:

a = N M a = a a

a = a+ = +

Portanto:

O logaritmo do produto de dois ou mais fatores numa determinada base a igual soma doslogaritmos desses fatores na base a.

Demonstrao

Sejam:

Comparando as equaes (I), (II) e (III), temos:

a = N:M a = a:a

a = a =

Portanto:

O logaritmo do quociente de dois nmeros numa determinada base a igual diferena entre oslogaritmos do dividendo e do divisor, respectivamente, na base a.

Observao Vamos observar uma aplicao particular da 2a propriedade, calculando ologaritmo do inverso de um nmero real maior que zero:

Como logaritmo do nmero 1 em qualquer base igual a zero, temos:

= N.


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Assim, temos que o logaritmo do inverso de um nmero real positivo, numa determinada base a, igual ao logaritmo do nmero na base a, porm com o sinal trocado. O logaritmo do inverso de umnmero real positivo chamado de cologaritmo.

P3: logaNm = m logaN

Demonstrao

Sejam:

logaNm = a = Nm (I)

logaN = a = N (II)

Comparando as equaes (I) e (II), temos:

a = Nm a = (a)m a = am

= m

Portanto:

O logaritmo de uma potncia numa determinada base a igual ao produto do expoente dapotncia pelo logaritmo da base da potncia na base a.

Demostrao

Podemos dizer que a propriedade no 4 uma decorrncia da propriedade no 3, visto que o mesmo que M1/n e, assim, .

Portanto:

O logaritmo da raiz n-sima de um nmero numa determinada base a igual ao produto doinverso do ndice da raiz pelo logaritmo do nmero na base a.

Demonstrao

Sejam:

(I)

(II)

Comparando as equaes (I) e (II), temos:


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Portanto:

O logartmo de um nmero na base an igual ao produto do inverso de n pelo logartmo donmero na base a.

Exemplo de Aplicao

Sendo log2a = m, log2b = n e log2c = p, calcular o valor de:

Resoluo


01. (Vunesp) Sejam xe ynmeros reais, com x > y. Se log3(x y) = m e (x + y) = 9,determine:

a) o valor de log3(x + y);

b) log3(x2 y2), em funo de m.

Resoluo

a) log3(x + y) = log39 = 2.

b) log3(x2 y2) = log3 [(x + y) (x y)] =

log3 (x + y) + log3 (x y) = m + 2.

02. Se log 2 = x e log 3 = y, ento log 72 igual a:

a) 2x + 3y

b) 3x + 2y

c) 3x 2y

d) 2x 3y

e) x + y

Resoluo

log72 = log(23 32) = log23+ log32=

= 3 log2 + 2 log3 = 3x + 2y

Resposta:B


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03. (Fuvest-SP) Se x= log47 e y = log1649, ento x y igual a:a) log47b) log167c) 1d) 2e) 0

Resoluo

x y = x x = 0

Resposta:E

04. (UFF-RJ) Sendo log a= 11, log b = 0,5, log c = 6 e log = x, o valor de x :

a) 5b) 10c) 15d) 20

e) 25

Resoluo

Resposta:B

5. Equao Logartmica

Equao logartmica toda equao que apresenta incgnita nos logaritmos nela envolvidos.Vamos desenvolver o nosso aprendizado atravs de exemplos resolvidos.

1o) Modelo

Usando a definio.1o exemplo

Resolver a equao: log3 (x 5) = 2 condio de existncia: x 5 > 0 x > 5. pela definio: x 5 = 32 x 5 = 9

x = 14

verificao: como o valor obtido atende condio de existncia, 14 representa a soluo daequao. Assim:

S = {14}2o exemplo

Resolver a equao: logx16 = 2

condies de existncia: x > 0 e x 1 pela definio: x2 = 16 x = 4 ou x = 4 verificao: somente x = 4 atende s condies de existncia. Assim:

S = {4}2o) Modelo

Igualdade de dois logaritmos de mesma baseResolver a equao: log7(x2 4) = log7 (3x)


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condies de existncia:

x2 4 > 0 x < 2 ou x > 23x > 0 x > 0.

x > 2 usando o fato de que a funo logartmica injetora, temos que se log7 (x2 4) =log7 (3x),

ento x2 4 = 3x. Resolvendo essa equao do 2o grau, temos: x = 1 ou x = 4. verificao: somente x = 4 atende s condies de existncia. Assim:

S = {4}3o) Modelo

Usando mudana de varivel.Resolver a equao: (log x)2 log x 2 = 0

condio de existncia: x > 0.

fazendo log x = y, temos: y2 y 2 = 0.Resolvendo-se essa equao do 2o grau, teremos y = 1 ou y = 2.Como log x = y, temos

log x = 1 x = 101 x = ou

log x = 2 x = 102

x = 100 verificao: como os valores obtidos atendem as condies de existncia, e 100 so as

solues dessa equao.Assim:

4o) Modelo

Utilizando as propriedades.

Resolver a equao: log4 3 + log4 (x 2) = log4 9 condio de existncia: x 2 > 0 x > 2. usando a propriedade da soma de logaritmos de mesma base, temos:log4[3(x 2)] = log4 9 3 (x 2) = 9 3x 6 = 9 3x = 15 x = 5 verificao: como o valor obtido atende condio de existncia, 5 a soluo dessa

equao. Assim:

S = {5}

Existe ainda um 5o modelo que ser apresentado no prximo mdulo.


01. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equao 2x = 5, utilizando uma calculadora quepossui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante dever usar a calculadorapara obter os seguintes nmeros:

a) log 2, log 5 e log 5 log 2b) log 2, log 5 e log 5 : log 2c) log 2, log 5 e log 25d) 5/2 e log 5/2e) e logResoluo

Aplicando logaritmo com base 10 nos dois membros temos:

log 2x

= log 5

x log 2 = log 5x =Resposta:B


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ConseqnciaConsideremos dois nmeros a e N, reais, positivos e diferentes de 1.

Como logaritmo que tem logaritmando igual base sempre igual a 1, temos:

ObservaoEm muitas das aplicaes dos logaritmos so utilizados como base os nmeros 10 e e.Os logaritmos de base 10, so os chamados logaritmos decimais. Esse sistema de logaritmos tevegrande importncia na simplificao de clculos, principalmente na Astronomia, sendo o matemticoingls Henry Briggs (1561-1639) um dos primeiros a reconhecer a importncia da descoberta dosloga-ritmos e o primeiro a utilizar o nmero 10 como a melhor base para as tbuas de logaritmos.Os logaritmos decimais so tambm chamados de logaritmos de Briggs. Para maior facilidade derepresentao, convencionamos, nos logaritmos decimais, no ser necessria a colocao da base10. Assim, para efeito de notao, log10 N pode ser representado por log N.

Os logaritmos de base e so muito empregados em Fsica, Biologia, Qumica, Economia, e sodenominados logaritmos neperianos, em homenagem ao ingls John Napier (ou Nepper) (1550-1617), o primeiro estudioso dos logaritmos. A representao do logaritmo neperiano de um certonmero real positivo x : n x. Os logaritmos neperianos so tambm chamados de logaritmosnaturais.

NotaO nmero e, que a base do sistema neperiano de logaritmos, um nmero irracional de valor

2,7182818284590 ... , chamado de nmero de Euler, pois pode ser obtido a partir da seqncia deEuler, cujo termo geral pode ser visto a seguir:

Quanto maior for o valor atribudo a n, mais prximo de e ser o resultado. No limite, quando nestiver tendendo ao infinito, o valor do termo an estar tendendo a e (e = 2,7182818284590...).

Exemplo de AplicaoDeterminar m = log7 2 em funo de n = log14 2 .Resoluo

Podemos agora apresentar o nosso ltimo modelo de equao logartmica.5o) Modelo

Aplicando a mudana de base, resolver a equao:

log4 x + log8 x log2 x = 1

Condio de existncia: x > 0 Usando mudana de base, vamos escrever esses logaritmos na base 2:

= 1


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Como: log2 4 = 2 e log2 8 = 3, temos:

Multiplicando-se, membro a membro, a equao por 6, que o mmc (2, 3), temos:

3 log2 x + 2 log2 x 6 log2 x = 6

log2

x = 6 log2

x = 6 x = 26

x = 64

Verificao: como o valor obtido atende a condio de existncia, 64 a soluo dessaequao.

Assim:

S = {64}

Exerccio de Aplicao

Resolva a equao:

Resoluo

log2 x + log2 x = 2 2 log2 x = 2

log2 x = 1 x = 21 x = 2

S = {2}


01. (FCMSC-SP) So dados: log15 3 = a e log15 2 = b. O valor de log10 2 :

a)

b)

c)

d)

e)

Resoluo Resposta:B


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02. (FGV-SP) O produto (log92) (log25) (log53) igual a:

a) 0 d) 30

b) e)

c) 10

Resoluo

x =

Resposta:B

03. A expresso equivalente a:

a) log250 d) log2 2

b) log2 10 e) log2

c) log2 5Resoluolog2 3 log3 5 log5 10 = log2 10 e

Portanto

log2 10 + log2 = log2 10 Resposta:B

7. Funo Logartmica

7.1. Preliminares Vamos observar as duas tabelas a seguir que apresentam paresordenados cujos primeiros elementos so nmeros reais positivos e os segundos elementosso logaritmos cujos logaritmandos so os primeiros elementos de cada par ordenado, ou

seja, cada par ordenado pode ser genericamente apresentado por (x; loga x), em que a umnmero real maior que zero e diferente de um.


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Representando-se os pares (x; log2 x) e (x; x) no plano cartesiano, teremos os seguintesgrficos:

1)

2)

Se pensarmos na possibilidade de, ao invs de utilizar apenas alguns valores reais de x, usarmostodo o conjunto dos nmeros reais, poderamos pensar nesses pares ordenados formando umafuno real. Essa funo a chamada funo logartmica e ela ser objeto de nosso estudo neste

item.7.2. Apresentao da Funo Logartmica

Sentena: f de lR em lR / f (x) = loga x, com a lR, a > 0 e a 1.

Domnio: D = lR

Contradomnio: lR

Conjunto Imagem: lR

Monotonicidade A funo logartmica crescente quando a base do logaritmo um nmeroreal maior que 1 e decrescente quando a base do logaritmo apresenta um valor real entre 0 e 1.

Observao 1

Podemos notar que o grfico da funo logartmica simtrico ao grfico da funoexponencial, em relao reta de equao y = x (bissetriz dos quadrantes mparesou ainda funo identidade). Isso nos leva concluso de que a funo logartmica a funo inversa da funo exponencial, para domnio e contradomnioconvenientemente definidos.


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Observao 2

A funo logartmica classificada como funo injetora.

8. Inequaes LogartmicasNo estudo das inequaes logartmicas, muito importante o fato de ser essa funo monotnica

, ou seja, sempre crescente (base real maior que 1) ou sempre decrescente (base real entre 0 e 1).

Assim, quando a base um nmero real maior que 1 e, portanto, a funo crescente, temosque, quanto maior o logaritmo, maior o logaritmando e, ento, o sentido da desigualdade entre oslogaritmos o mesmo sentido da desigualdade entre os respectivos logaritmandos.

Portanto, para a lR e a > 1, temos que:

loga (x1) > loga (x2) x1 > x2

eloga (x1) < loga (x2) 0 < x1 < x2

Por outro lado, quando a base um nmero real entre 0 e 1 e, portanto, a funo decrescente,temos que, quanto maior o logaritmo, menor o logaritmando e, ento, o sentido da desigualdadeentre os logaritmos deve ser invertido para a desigualdade entre os respectivos logaritmandos.


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Portanto, para a lR e 0 < a < 1, temos que:

loga (x1) < loga (x2) x1 > x2

e

loga (x1) > loga (x2) x1 < x2

Vamos, na seqncia, resolver algumas inequaes logaritmicas que nos vo servir demodelo para a resoluo dos exerccios propostos.

1o Modelo

Comparando dois logaritmos de mesma base.

Exemplo

Resolver a inequao: log (2x - 4) < log (x +7)

Condies de existncia:

2x - 4 > 0 e 2x - 4 x > 2x + 7 > 0 e x +7 > -7

x > 2

Comparando os logaritmos:

log (2x - 4) < log (x + 7)

2x - 4 < x + 7

x < 11

(devemos observar que o sentido da desigualdade foi conservado, pois a base, que 10, maior

que 1).

VerificaoAs solues reais menores que 11 devem se submeter exigncias dascondies de existncia. Assim:

S = {x lR / 2 < x < 11}2o Modelo

Comparando um logaritmo com um nmero real.

Resolver a inequao: log2 (x -3) < 2

Condio de existn

cia: x -3 > 0 e x > 3Escrevendo o nmero real 2 na forma de logaritmo, vamos observar a seqncia de

transformaes:

2 = 2 1 = 2 log2 2 = Log2 22 = log2 4

e, ento, log2 (x - 3) < 2


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log2 (x -3) < log2 4

x -3 < 4 (devemos observar que o sentido da desigualdade foi conservado, pois a base,

que 2, maior que 1). Finalmente: x < 7.

VerificaoAs solues reais menores que 7 devem se submeter a exigncias dascondies de existncia. Assim:

S = {x lR / 3 < x < 7}

3o Modelo

Utilizando mudana de varivel, resolva a inequao: (log3 x)24 log3 x + 3 > 0

Condio de existncia: x > 0

Fazendo log3 x = y, temos: y24y + 3 > 0.

Resolvendo-se essa inequao do 2o grau,

temos: y < 1 ou y > 3.

Como log3 x = y, temos:

log3 x < 1 log3 x < log3 3 x < 3

ou

log3 x > 3 log3 x > log3 27 x > 27

VerificaoConfrontando as solues obtidas com a condies de existncia, temos:

S = {x lR / 0 < x < 3 ou x > 27}4o Modelo

Varivel na base

Exemplo

Resolver a inequao: log(x -1) 7 < log(x - 1) 5

Condio de existncia:: x -1 > 0 e x -1 < 1

1 < x < 2 Resoluo certo que 7 > 5, porm log(x 1) 7 < log(x 1) 5.

Logo, existe uma inverso no sentido da desigualdade entre os logaritmandos e os logaritmos.

Ento, a base x 1 um nmero compreendido no intervalo real de 0 a 1.

Assim, 0 < x 1 < 1 1 < x < 2

Verificao Considerando que os valores obtidos atendem s condies de existncia, temos:

S = {x lR / 1 < x < 2}

5o Modelo

Utilizando as propriedades, resolver a inequao:

x + (x 2) > 3

Condio de existncia: x > 0 e x 2 > 0

x > 2


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Como 3 pode ser escrito como , temos:

x + (x 2) >

x + (x 2) > 8

[x (x 2)] > 8 x (x 2) < 8

(Devemos observar que o sentido da desigualdade entre os logaritmandos foi invertido, pois abase um nmero real entre 0 e 1.) Com x (x 2) < 8, temos a inequao do 2o grau x2 2x 8 < 0,cuja resoluo nos fornece os valores reais, tais que 2 < x < 4.

Soluo A interseco entre os intervalos reais 2 < x < 4 e x > 2 vai, finalmente, fornecer-nos o conjunto soluo dessa equao. Assim,

S = {x lR / 2 < x < 4}Exerccios Resolvidos

01. (UFPE) Considere as seguintes funes e os grficos abaixo:

f1 (x) = 10

x

, f2 (x) = log10 x, f3 (x) = f1 [f2 (x)] ,f4 (x) = 2 f3 + 1

Assinale a alternativa que completa corretamente a frase Os grficos de f1 , f2 , f3 e f4 so,respectiva-mente,

a) 1, 2, 3 e 4 d) 4, 2, 1 e 3

b) 2, 4, 1 e 3 e) 4, 2, 3 e 1

c) 2, 4, 3 e 1

Resoluo


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Resposta:B

02. (Vunesp) A figura representa o grfico da funo y = log10 x.

Sabe-se que AO = BC. Ento, pode-se afirmar que:

a) loga b = c d) a b = c

b) a + b = c e) 10a + 10b = 10c

c) ac = b

Resoluo

OA = BC yA yO = yC yB

log a 0 = log c log b

log a = log a = a b = c

Resposta:D

03. (Unifor-CE) O grfico de f (x) = | nx |, x > 0 est melhor representado no item:


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a)

b)

c)

d)

Resoluon x = loge x, em que e = 2,718...

Resposta:C

04. (UFMT) O conjunto soluo da inequao < :

a) lR

b) {x lR / x < 8}

c) {x lR / x < 3}


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d) {x lR / x > 3}

e) {x lR / x > 8}

Resoluo

3 log2x > log28 x > 8


05. Seja f (x) = (x2 1). Determine os valores reais de x para os quais:

a) f (x) existe

b) f (x) < 3

Resoluo

a) f (x) existex2 1 > 0 x < 1 ou x > 1

b)log2 (x

2 1) < log2 23 0 < x2 1 < 23

06. Resolver, em lR, a inequao:

log2 x 3 log x + 2 > 0

Resoluo


Fazendo log x = m, temos: m2 3m + 2 > 0

Assim, m < 1 ou m > 2, ou seja:

Portanto, V = {x lR / 0 < x < 10 ou x > 100}

01) Resolva os exerccios:a) 2log)7log()1log( =+ xx

3

5

b) 1)1log()8log( =+ xx { }2

c) 3)1(log)5(log 33 =++ xx { }4


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d) 4loglog 28 =+ xx { }8

e) 2)6(log =+xx

{ }3

f)2

1)1(log)13(log 42 =+ xx { }1

g) )1(log1)3(log 33 +=+ xx { }3

Lembrar que:

* nmnm aaa+= Mudana de base:

* nmnm aaa = *a

bb

c

c

a

log

loglog =

* ( ) nmnm aa =

* 01log =a

* 1log =aa

* mama

=log * ( ) cbcbaaa

logloglog +=

* cbc

baaa

logloglog =

* c

aabbc loglog =

9. Problemas com Logaritmos

Com o surgimento, desenvolvimento e popularizao das calculadoras, a importncia doslogaritmos como ferramenta de clculo diminuiu.

Todavia, as aplicaes dos logaritmos em prati-camente todas as cincias so ainda muitovastas.

Selecionamos problemas de vestibulares para mostrar algumas dessas aplicaes.


01. (Vunesp) Os bilogos dizem que h uma alometria entre duas variveis, x e y, quando possvel determinar duas constantes, c e n, de maneira que y = c xn. Nos casos de alometria,pode ser conveniente determinar c e n por meio de dados expe-rimentais. Consideremos umaexperincia hipottica na qual se obtiveram os dados da tabela a seguir.

Supondo que haja uma relao de alometria entre x e y e considerando log 2 = 0,301,determine o valor de n.

Resoluoy = c xn16 = c 2nlog 16 = log c 2nlog 24= log c + log 2n4 log2= log c + n log 2 (I)


25/27

40 = c (20)nlog 40 = log [c (20)n]log 4 10 = log c + log (20)nlog 4 + log 10 =log c + n log 20log 22+ 1 = log c + n log (2 10)2 log2 + 1 = log c + n (log 2 + log 10)2 log 2+ 1 = log c + n log 2 + n (II)

Fazendo (I) (II), temos:

2 log 2 1 = nn = 1 2 log 2 = 0,398

Resposta:n = 0,39802. O anncio de certo produto aparece diaria-mente num certo horrio na televiso. Aps t

dias do incio da exposio, o nmero de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto dadopory = 3 3 (0,95)t, onde y dado em milhes de pessoas.

Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milho de pessoas conhecendo o produto?

Resoluo

y 1,2 3 3 (0,95)t

1,2 3 (0,95)t

1,8(0,95)t 0,6

log0,95 (0,95)t log0,950,6 (base entre 0 e 1)

t log0,950,6

Resposta:t log0,950,6

03. (UnB-DF) Estima-se que 1 350 m2 de terra sejam necessrios para fornecer alimento

para uma pessoa. Admite-se, tambm, que h 30 1 350 bilhes de m

2

de terra arvel nomundo e que, portanto, uma populao mxima de 30 bilhes de pessoas pode ser sustentada,se no forem exploradas outras fontes de alimento. A populao mundial, no incio de 1987, foiestimada em 5 bilhes de habitantes. Considerando que a populao continua a crescer, a umataxa de 2% ao ano, e usando as aproximaes n 1,02 = 0,02; n 2 = 0,70 e n 3 = 1,10,determine em quantos anos, a partir de 1987, a Terra teria a mxima populao que poderia sersustentada.

Resoluo

Se a taxa de crescimento de 2% ao ano, depois de um ano a populao, em bilhes dehabitantes, ser 5 1,02. Depois de x anos ser 5 (1,02)x

Logo, para as condies do problema:

30 = 5 (1,02)x 6 = (1,02)xn 6 = n (1,02)x

n (2 3) = x n(1,02)

n 2 + n 3 = x 0,02

0,70 + 1,10 = x 0,02 1,80 = x 0,02

x =90

Resposta:90 anos

04. (UFC-CE) Suponha que o nvel sonoro e a intensidade I de um som estejam

relacionados pela equao logartmica = 120 + 10 log10 I, em que medido em decibis e I,em watts por metro quadrado. Sejam I1 a intensidade correspondente ao nvel sonoro de 80decibis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas e I2 a intensidade correspondenteao nvel sonoro de 60 decibis do interior de um automvel com ar-condicionado. A razo I1/I2 igual a:

a) 1/10 d) 100


26/27

b) 1 e) 1 000

c) 10

Resoluo

80 = 120 + 10 log10 I1 40 = 10 log10 I1log10 I1 = 4 I1 = 10

4

60 = 120 + 10 log10 I2 60 = 10 log10 I2

log10 I2= 6 I2= 10

6

Resposta:D05. (PUC-SP) A energia nuclear, derivada de istopos radiativos, pode ser usada em veculos

espaciais para fornecer potncia. Fontes de energia nuclear perdem potncia gradualmente, nodecorrer do tempo. Isso pode ser descrito pela funo exponencial

na qual P a potncia instantnea, em watts, de radioistopos de um veculo espacial; P0 apotncia inicial do veculo; t o intervalo de tempo, em dias, a partir de t0 = 0; e a base do

sistema de logaritmos neperianos. Nessas condies, quantos dias so necessrios,aproximadamente, para que a potncia de um veculo espacial se reduza quarta parte dapotncia inicial? (Dado: ln 2 = 0,693)

a) 336 d) 342

b) 338 e) 346

c) 340

Resoluo

Para P

e t /250 = e t /250

n 22= ln et/250

2 n 2 = 2 0,693 250 = t

t = 346,1 346

Resposta:E

06. (UFF-RJ) No dia 6 de junho de 2 000, um terremoto atingiu a cidade de Ancara, naTurquia, com registro de 5,9 graus na escala Richter e outro terremoto atingiu o oeste do Japo,com registro de 5,8 graus na escala Richter.

Considere que m1 e m2 medem a energia liberada sob a forma de ondas que se propagampela crosta terrestre por terremotos com registros, na escala Richter, r1 e r2, respectivamente.

Sabe-se que estes valores esto relacionados pela frmula:

r1 r2 = log10 (m1/m2)

Considerando-se que r1 seja o registro do terremoto da Turquia e r2 o registro do terremoto doJapo, pode-se afirmar que (m1/m2) igual a:

a) 101 d) 10/0,1

b) e) 1/0,1

c) (0,1)10

Resoluo


27/27

r1 r2 = log10 (m1/m2)

5,9 5,8 = log10 (m1/m2)

Resposta:B

07. (UFMG) O pH de uma soluo aquosa definido pela expresso pH = log [H+], em que[H+] indica a concentrao, em mol/L, de ons de hidrognio na soluo e log, o logaritmo nabase 10.

Ao analisar uma determinada soluo, um pesquisador verificou que, nela, a concentrao deons de hidrognio era [H+] = 5,4 108 mol/L. Para calcular o pH dessa soluo, ele usou osvalores aproximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log 3.

Ento, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa soluo foi:

a) 7,26 c) 7,58

b) 7,32 d) 7,74

Resoluo

pH = log [H+] = log 5,4 108

pH = (log 5,4 + log 108)

pH = (log 54/10+ (8))

pH = (log 54 log 10 8)

pH = (log (33 2) 1 8) = (log 33+ log 2 9)

pH = (3 0,48 +0,30 9)

pH =7,26

Resposta:A

08. (UnB-DF) A escala de um aparelho para medir rudos definida da seguinte forma: R =12 + log10(I), em que R a medida do rudo, em bels, e I a intensidade sonora, em W/m2. No

Brasil, a unidade utilizada o decibel (1/10 do bel). Por exemplo, o rudo dos motores de umavio a jato de 160 decibis, enquanto o rudo do trfego em uma esquina movimentada deuma grande cidade de 80 decibis, sendo este o limite a partir do qual o rudo passa a sernocivo ao ouvido humano. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem.

(1) A intensidade sonora de um rudo de zero decibel de 1012 W/m2.

(2) A intensidade sonora dos motores de um avio a jato o dobro da intensidade sonora dotrfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade.

(3) Uma intensidade sonora maior que 10

4

W/m

2

produz um rudo que nocivo ao ouvidohumano.

Resoluo

(1) 0 = 12 + log10(I) log10 (I) = 12I = 1012W/m2(Verdadeira)

(2) Para o motor de um avio a jato, temos:16 = 12 + log10 (Ij ) log10 (Ij ) = 4 Ij= 10

4

Para o trfego em uma esquina movimentada, temos:

8 = 12 + log10 (Ie ) log10 (Ie ) = 4 Ie= 104

Logo Ij= 104 2 Ie= 2 10

4 (Falsa)

(3) Se 80 decibis o limite a partir do qual o rudo nocivo ao ouvido humano, ento:8 = 12 + log10 (IL) IL = 10

4W/m2(Verdadeira)

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