exponenciais e logaritmos

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Nome: ______________________________________ Ano letivo: 20__/20__

Questão 1

Seja [ ]ABC um triângulo retângulo em B , tal que AB = a , BC =b e AC =c .

Sabe-se que ln lnc b a . A que é igual a expressão: 2ln( ) ln( 1)c

bc cb

?

(A) a ln a (B) ln ab (C) a 2ln a (D) 2ln ab

Questão 2

Seja a um número real tal que log 4 8a . Qual é o valor de 44log 64a ?

(A) 1

3 (B)

1

2 (C)

2

3 (D)

3

4

Questão 3

Sejam a , b e c três números reais tal que log 2log ( ) log 2ab ab aba bc c .

Qual é o valor de 2log ( )a ac ?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

Questão 4

Na figura estão representados, em referencial on. xOy , parte

do gráfico da função g , de domínio \{0} , definida por

2

3( ) log ( )g x x x e um paralelogramo [ ]ABCD .

Sabe-se que:

▪ o ponto A pertence ao gráfico de g e tem abcissa -2 ;

▪ o ponto C pertence ao gráfico de g e tem abcissa 6 .

Qual é a área do paralelogramo [ ]ABCD ?

(A) 36 (B) 48 (C) 60 (D) 72

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Questão 5

A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória é dada pela tabela:

( k designa um número real)

Qual é o valor médio da variável aleatória X ?

(A) 2 (B) 2,25 (C) 2,5 (D) 2,75

Questão 6

Para certos valores reais de a a função g , definida por ( ) (log( 3) log )xg x a a

é uma função exponencial estritamente crescente. Então pode-se afirmar que: (A) ]5, [a (B) ] ,0[ ]3, [a

(C) ]3, [a (D) ] , 2[ ]5, [a

Questão 7

Sejam x e y dois números reais positivos tais que 16 4log -2log4 3

y x . Qual das

seguintes afirmações é verdadeira?

(A) 23y x (B) 29y x (C) 43y x (D) 49y x

Questão 8

Na figura está representado, num referencial o.n. xOy , parte do

gráfico da função g definida por 5( ) log (1 )x ag x e bx , com a

e b contantes reais.

Sabe-se que:

▪ o ponto de coordenadas ( -3,3) pertence ao gráfico de g ;

▪ A reta de equação 1

8x é assimptota vertical do gráfico de g .

Quais são os valores de a e de b ?

(A) 3a e 8b (B) 3a e 8b (C) 3a e 8b (D) 3a e 8b

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Questão 9

Considere a função f , de domínio , definida por 2

( ) 16ax axf x , com 0a .

Qual é o contradomínio de f ?

(A) 1

]0, ]2a

(B) 1

[ , [2a

(C) 1

]0, ]4a

(D) 1

[ , [4a

Questão 10

Considere as seguintes afirmações:

Quais são as afirmações verdadeiras?

(A) I e III (B) Apenas a II (C) Apenas a III (D) II e III

Questão 11

Considere a função f , de domínio ] ,2[ , definida por 3( ) 1 log (6 3 )f x x .

11.1. Determine o conjunto solução da inequação 3( ) f(1 2x) 1 log xf x .

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11.2. Na figura estão representados, num referencial o.n. xOy , a parte do gráfico

da função f e um triângulo [ ]ABC . Sabe-se que:

o ponto A pertence ao gráfico de f e tem abcissa -2;

o ponto B pertence ao eixo Ox e é assimptota do

gráfico de f ;

o ponto C pertence ao eixo Ox e ao gráfico de f .

Mostre que a área do triângulo [ ]ABC é igual a 3log 2 .

11.3. Mostre que a função f é injetiva.

11.4. Caracterize a função 1f , função inversa de f .

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11.5. Determine o conjunto solução da equação 1 1( ) 3 0xf x .

Questão 12

Seja g a função, de domínio , definida por ( ) log ( 2) ax b

bg x ab e , com a ,b

12.1. Sabendo que 2 ln(a b) 25ee e que log ( 7) 2a b , mostre que 3 2( ) 3 xg x e

12.2. Determine o conjunto solução da inequação

2 2

2

2

( )3 1

x x

x

e e

g xe

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12.3. Mostre que g tem função inversa e caracterize-a.

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Questão 13

Na figura estão representados, num referencial o.n. xOy , parte do

gráfico da função f , de domínio , definida por ( ) lnf x x , parte

do gráfico da função 1f , função inversa de f , o triângulo [ ]ABC

e o triângulo [ ]CDE .

Sabe-se que: ▪ A é o ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo Ox ;

▪ C é o ponto de intersecção do gráfico de 1f com o eixo Oy ;

▪ o ponto B pertence ao gráfico de f e tem abcissa a ;

▪ o ponto D pertence ao gráfico de 1f e tem ordenada a ;

▪ o ponto E pertence ao eixo Oy e tem a mesma ordenada que o

ponto D ; ▪ a é um número real maior que 2.

13.1. Mostre que a área do triângulo [ ]ABC é igual à área do triângulo [ ]CDE se

e só se 1

ln2

aa

a

.

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13.2. Recorrendo à calculadora gráfica determine as coordenadas do ponto B

de modo que a área do triângulo [ ]ABC é igual à área do triângulo [ ]CDE .

Na sua resposta deve: ▪ escrever a condição que permite resolver o problema. ▪ reproduzir o(s) gráfico(s) (devidamente identificado(s)) que achar necessário(s) para a resolução do problema. ▪ indicar as coordenadas do ponto B , arredondadas às centésimas. Questão 14

Considere a função , de domínio , definida por ( ) x xh x a a com \{1}a .

14.1. Considere o triângulo [ ]ABC de área 225

8 tal que o ponto A pertence ao

gráfico de h e tem abcissa 2, o ponto B é simétrico do ponto A em relação ao

eixo Oy e o ponto C pertence ao gráfico de h e ao eixo .

Mostre que 1

44

a a .

Oy

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14.2. Determine o conjunto solução da inequação 2 ( 1) 5h x .

14.3. Mostre que 4 2log (2 ( )) log (4 1) ,xh x x x .

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Questão 15

Devido a várias restrições os responsáveis de uma reserva de caça controlam a população de coelhos de modo que ela cresça a uma taxa de 4% a cada quatro meses. Admita que a população de coelhos na reserva num certo instante inicial

é de 0C indivíduos e seja C a função que dá o número de coelhos da reserva, t

anos a partir de um certo instante inicial.

15.1. Determine 4

( )3

C em função de 0C .

15.2. Defina a expressão analítica da função C , apresentando-a na forma

0

btC a , sendo a e b constantes reais positivas.

15.3. Nas alíneas seguintes considere 1,04a e 3b .

15.3.1. Qual é o aumento, em percentagem, do número de coelhos a cada 27

meses?

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Apresente o resultado arredondado às unidades.

15.3.2. Determine x de modo que ( ) 3 ( )C t x C t .Interprete o resultado no

contexto da situação descrita. Apresente o resultado em anos e meses, meses arredondados às unidades.

15.3.3. Mostre que 0ln ln

3ln(1,04)

C Ct

.

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Questão 16

O número de utentes, em milhares, de um Centro de Saúde é dado em função do tempo, t , medido em anos, por:

3( ) , com a,b

1 btN t

ae

O instante t =0, corresponde ao início de 2010.

16.1. Sabendo que no final de 2010 o número de utentes do Centro de Saúde era de 801 e que passados dois anos esse número já era de 1642, determine os valores de a e b .

Apresente o valor de a arredondado às unidades e o valor de b arredondado às décimas. Caso faça

arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve no mínimo três casas decimais.

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Nas alíneas seguintes, considere 5 0,6a e b .

16.2. Determine lim ( )t

N t

e interprete o resultado no contexto da situação

descrita. 16.3. No decorrer de que ano o número de utentes no Centro de Saúde atingiu os 200? 16.4. Um outro Centro de Saúde foi inaugurado no início de 2010. O número de

utentes deste centro, em milhares, é dado, em função do tempo, , medido em

anos, por 0.3

0,3

2,5S(t)

1

t

t

e

e

. Ao fim de quanto tempo o número de utentes nos dois

centros é igual? Apresente o resultado em anos e meses, meses arredondados às unidades. Caso faça arredondamentos nos cálculos

intermédios, conserve no mínimo três casas decimais.

t

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Questão 17

A massa, m , em miligramas, do isótopo radioativo Zinco-65 (Z65) relaciona-se

com tempo, , medido em anos, através da fórmula:

( ) 0.965 ln( )t m m a

Sendo a um constante real.

17.1. Num certo instante inicial foi colocado em repouso uma amostra de 5 miligramas de Z65. Qual é o valor de a ?

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

17.2. Mostra que ( ) t(m)3

mt é constante e interpreta o resultado no contexto do

problema. Apresente o resultado em anos e meses, meses arredondados às unidades.

17.3. Determine o valor de x tal que ( ) ( ) 0,6692t xm t x . Interprete o resultado

no contexto do problema. Apresente o resultado arredondados às decimas.

t

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17.4. Escreva m em função de . Apresente o resultado na forma BtAe . Apresente o valor de B arredondado às milésimas.

17.5. Mostre que ( 2)

( )

m t

m t

é constante e interprete o resultado no contexto do

problema.

t

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