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COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICASOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

LogaritmosElon Lages Lima

Segunda edição

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Copyright ©, 1996 by Elon Lages Lima Conteúdo

Diagramação e fotolitos:GRAFTEX Comunicação Visual Ltdae-mail: [email protected]: http://www.graftex.com.brTel. 274.9944 Fax. 274.8593Rio de Janeiro

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1. História2. Revisão

3. Funções logarítmicas✓

4. Area de uma faixa de hipérbole5. Aproximação por trapézios6. Propriedade fundamental7. Logaritmos naturais

8. O número e9. A função exponencial

10. Outras bases

11. Logaritmos decimais12. O número e como limite

13. Crescimento14. Aplicações15. Temas para discussão, para ensaios e examesApêndice

15

132433384453566371828993

102108

ISBN 85-85818-03-4

Prefácio

Esta é uma versão modificada de um pequeno texto expositóriosobre logaritmos, que escrevi há tempos e que foi publicadooriginalmente, em várias edições, pela Sociedade Brasileira deMatemática.

A presente edição foi financiada pela sociedade VITAE, comoparte de um projeto de treinamento de professores de Matemáticado segundo grau, iniciado no Rio de Janeiro, em janeiro de 1991.

Aproveito a ocasião para externar meus agradecimentos aVITAE, pela iniciativa do evento.

Manifesto ainda minha dívida a Jonas de Miranda Gomes, queusou o texto original em vários cursos e que cuidou, com paciência einteresse, da presente edição.

Rio de Janeiro, fevereiro de 1991.

Elon Lages Lima

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Prefácio da 2a Edição

Nesta segunda edição vários erros existentes na edição anterior foramcorrigidos. Além disso acrescentei o Capítulo 15, onde são sugeridos váriostemas interessantes para discussão e realização de ensaios, e são propostasdiversas questões para exames.

Rio de Janeiro, abril de 1996

Elon Lages Lima

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Introdução

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Este pequeno livro contém uma exposição elementar sobre logaritmos,apresentando o assunto de forma a transmitir as seguintes mensagens:1. Os logaritmos, que durante três séculos e meio tão bem desempenharamo papel de maravilhoso instrumento para simplificar o cálculo aritmético,permitindo que se efetuassem, com rapidez e precisão, operações com¬plicadas como a multiplicação de dois números com muitos algarismos,ou uma potenciação com expoente fracionário, perderam há algum tempoesse lugar de eficiente calculador, hoje ocupado com grande êxito pe¬las maquininhas eletrónicas. Apesar disso, os logaritmos continuam, pormotivos bem diversos, a merecer uma posição de destaque no ensino daMatemática, devido à posição central que ocupam nesta ciência e em suasaplicações. Essa posição é permanente porque a função logarítmica e a suainversa, a função exponencial, constituem a única maneira de se descrevermatematicamente a evolução de uma grandeza cuja taxa de crescimento(ou decrescimento) é proporcional à quantidade daquela grandeza existentenum dado momento.

2. Conforme imaginado por seu descobridor, Lord Napier, no início doséculo 17, um sistema de logaritmos é simplesmente uma tabela com duascolunas. A cada número real positivo x na coluna à esquerda corresponde,no mesmo nível à direita, um número real L(z) chamado o logaritmo dex (naquele sistema). Essa tabela deve satisfazer duas condições:A) Se os números x da coluna à esquerda estiverem dispostos em ordem

crescente, o mesmo deve ocorrer com seus logaritmos L(x) à direita.B) Se multiplicarmos dois números positivos x e y, o logaritmo L(x.y)

do produto deve ser a soma dos logaritmos L(z) e L(y).

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Em linguagem de hoje, isto pode ser reformulado assim: um sistema delogaritmos é uma função L:R+ —► R, cujo domínio é o conjunto dosnúmeros reais positivos, a qual possui as seguintes propriedades:A) L é crescente, isto éKyÿ L(x) < L(y);B) L(x.y) = L(x) + L(y) para quaisquer x,y e R+.

Dito isto, a segunda mensagem deste livro é esta: suponhamos que,de maneiras arbitrárias e independentes uma da outra, tenhamos obtidoduas funções logarítmicas, ou dois sistemas de logaritmos L c M. Poisbem, não importa de que formas L e M tenham sido definidas, existe umaconstante positiva c tal que M(x) = c. L(x) para todo x > 0. Noutraspalavras, pensando num sistema de logaritmos como uma tábua, o únicomodo de conseguir outro sistema é multiplicar todos os números da colunaà direita por uma mesma constante.

O significado desta mensagem é o de tornar, de certo modo, irre¬levante a maneira particular como um dado sistema de logaritmos L foidefinido, contanto que sejam válidas as propriedades A) e B) acima. Scchamarmos de base de um sistema de logaritmos L ao número a tal queL(a) = 1, um modo popular de definir a função L:R+-»R consiste empôr L(x) = y se, e somente se, ay = x, ou seja, chamar de logaritmo dex na base a ao expoente y ao qual se deve elevar a base a para obter x.Esta definição, embora bastante difundida nnresnnt? trêc mçÿnvenicr.tcn,que mostraremos agora.

O primeiro inconveniente é que ela requer que se estudem preliminar¬mente as propriedades da função exponencial, cm particular que se saibao significado de quando y é irracional, e que se provem regras comoa}* .az = ay+z para y,z £ R+ quaisquer. Tais preliminares envolvemdificuldades técnicas que conduzem ao seguinte dilema: ou passar porcima dessas dificuldades, fazendo de conta que elas não existem - o quedeixa a desejar do ponto de vista de honestidade científica - ou esgotar apaciência do aluno (ou leitor) com longos detalhes rebarbativos.

O segundo inconveniente da definição de logaritmos como expoente éque, tratando todas as bases da mesma maneira, ela não permite apresentarespontaneamente o número e como uma base especial, que se distinganaturalmente das demais. Como se sabe, e será amplamente mostradoneste texto, os logaritmos de base e surgem naturalmente em problemas de

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origens as mais diversas, daí serem chamados de logaritmos naturais. Nadefinição de logaritmo como expoente, o número e aparece artificialmentc.

O terceiro inconveniente da definição de logaritmo como expoenteé a dificuldade de se estabelecerem certas desigualdades fundamentais,como por exemplo L(l + x) < x (válida para logaritmos de base e), queé óbvia na definição geométrica.3. A terceira mensagem deste livro é que a definição geométrica dos lo¬garitmos apresenta uma vantagem incontestável de simplicidade conceituaie técnica. Na realidade, cada um dos 3 inconvenientes apontados acimapara a definição de logaritmo como expoente constitui, em contraponto,uma vantagem nítida da definição geométrica. A definição geométricadepende apenas do conceito de área de uma figura plana e a propriedadefundamental L(x.y) = L(x) + L(y) resulta meramente do fato de que aárea de um retângulo não se altera quando se multiplica sua base por umnúmero e se divide a altura pelo mesmo número. Em segundo lugar, nadefinição geométrica o número e surge de modo natural e os logaritmosque se definem dessa maneira são os de base e. E, finalmente, as desigual¬dades fundamentais como L(l + x) < x são evidentes quando L(1 -f x)é definido como uma área. Desta desigualdade resulta, por exemplo, quepara valores muito grandes de x, L(x) é insignificante diante de x.4. A última mensagem deste livro, talvez a mais importante, está nocapítulo final: o estudo dos logaritmos naturais e da função exponencialex é recompensador pela variedade de aplicações simples, surpreendentes,interessantes e variadas que daí resultam sem maiores esforços adicionais.

Espero ter conseguido marcar esses pontos de modo claro e com¬preensível no texto que se segue e que sua leitura seja amena e provei¬tosa.

Notações

Neste livro usaremos as seguintes notações:

N, conjunto dos números naturais.N = {1,2,3,... ,n,...}.

Z, conjunto dos turneros inteiros

L = {... , —3, 2, 1,0,1,2,3,... ,7i,...}.

Q, conjunto dos números racionaisr\ f .. / .. *7 « /* Ml

R, conjunto dos números reaisR+, conjunto dos números reais positivos

R+={iêR;i> 0},

=>, símbolo de implicação lógica. A expressão B lê-se“A implicaB”. Por exemplo x 6 Q => i6R.■&, símbolo de equivalência lógica.

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r-cfH1. História

No fim do século XVI, o desenvolvimento da Astronomia e da Navegaçãoexigia longos e laboriosos cálculos aritméticos. Um auxílio precioso jáfora obtido com a recente invenção das frações decimais, embora ainda nãosuficientemente difundida. Mesmo assim, achar um método que permitisseefetuar com presteza multiplicações, divisões, potenciações e extrações deraízes era, nos anos próximos de 1600, um problema fundamental.

Segundo o grau de dificuldade, as operações aritméticas podem serclassificadas em 3 grupos: adição e subtração formam as operações de1- espécie; multiplicação e divisão são de 2- espécie, enquanto quepotenciação e radiciação constituem as operações de 3- espécie. Pro¬curava-se então um processo que permitisse reduzir cada operação de 23

ou 3- espécie a uma de espécie inferior e portanto mais simples.Acontece com frequência que uma grande descoberta científica é

feita simultaneamente por duas ou mais pessoas trabalhando independente¬mente. Não se trata de simples coincidência: tal descoberta corresponde àsolução de um problema importante, do qual muitos se vinham ocupando.

Assim aconteceu com os iogarítmos. Jost Biirgi (1552-1632), suíço,fabricante de instrumentos astronómicos, matemático e inventor, e JohnNapier (1550-1617), um nobre escocês, teólogo e matemático, cada umdeles desconhecendo inteiramente o outro, publicaram as primeiras tábuasde logaritmos. As tábuas de Napier foram publicadas em 1614 e as deBiirgi em 1620. A influência de Napier no desenvolvimento dos logaritmosfoi muito maior do que a de Biirgi, devido a suas publicações e seurelacionamento com professores universitários.

Uma tábua de logaritmos consiste essencialmente de duas colunas de

»

2 História Cap.1

números. A cada número de coluna à esquerda corresponde um número àsua direita, chamado o seu logaritmo. Para multiplicar dois números, bastasomar seus logaritmos; o resultado é o logaritmo do produto. Para acharo produto, basta ler na tábua, da direita para a esquerda, qual o númeroque tem aquele logaritmo. Semelhantemente, para dividir dois númerosbasta subtrair os logaritmos. Para elevar um número a uma potência bastamultiplicar o logaritmo do número pelo expoente. Finalmente, para extraira raiz n-ésima de um número, basta dividir o logaritmo do número peloíndice da raiz. Na terminologia matemática de hoje, uma correspondênciacomo essa estabelecida por meio de uma tábua de logaritmos é o que sechama de função. Convém notar, porém, que a invenção dos logaritmosfoi anterior à introdução do conceito de função na Matemática. A utilidadeoriginal dos logaritmos resulta portanto da seguinte observação: o trabalhode elaborar uma tábua de logaritmos, por mais longo e cansativo que seja,é um só. Depois dele executado, ninguém precisa mais, digamos, efetuarmultiplicações; adições bastam.

Logo depois do aparecimento da primeira tábua de logaritmos de Na¬pier, o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631), professor da Univer¬sidade de Londres, e depois de Oxford, elaborou, juntamente com Napier.uma nova tauua, tio mais lacil utilização, contendo os chamados loga¬ritmos decimais, ou logaritmos ordinários, que tiram proveito do fato deusarmos um sistema de numeração decimal.

Durante os quase 4 séculos que sucederam à descoberta dos loga¬ritmos, sua utilidade revelou-se decisiva na Ciência e na Tecnologia. JáKepler, por volta de 1620, atestava seu reconhecimento pela nova desco¬berta que segundo ele “aumentava vastamente o poder computacional doastrónomo". O próprio Napier, um tanto imodestamente, reconhecendo ovalor de sua descoberta, deu às suas tábuas o título Mirifici logarithmorumcanonis descriptio, que significa Uma descrição da maravilhosa regra doslogaritmos.

Recentemente, com a utilização cada vez mais divulgada das calcu¬ladoras, as tábuas de logaritmos perderam muito do seu interesse comoinstrumento de cálculo, o mesmo acontecendo com outras tabelas ma¬temáticas. Mas o estudo dos logaritmos ainda é e continuará a ser decentral importância. Com efeito, embora eles tenham sido inventadoscomo acessório para facilitar operações aritméticas, o desenvolvimento da

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Cap.1

*

• História 3

Matemática e das ciências em geral veio mostrar que diversas leis ma¬

temáticas e vários fenômenos físicos, químicos, biológicos e económicos

são estreitamente relacionados com os logaritmos. Assim sendo, os loga¬

ritmos, que no princípio eram importantes apenas por causa das tábuas,

mostraram ter apreciável valor intrínseco. No capítulo 14, daremos alguns

exemplos elementares de aplicações de logaritmos em problemas que não

têm natureza estritamente computacional.*

Exercícios1. Os antecessores de Napier e Búrgi, não conhecendo ainda os logaritmos,

adotavam um processo para o cálculo do produto, baseado na conhecidafórmula de trigonometria:

cosx • cosy = - cos(x + y) 4- - cos(x — y).. 2 «

Dados dois números X e Y para multiplicar, mudando seus sinais e a

posição das vírgulas, podemos supor que X e Y estão compreendidosentre 0 e 1. Por meio de uma tábua de funções trigonométricas (que existe

desde o tempo de Ptolomeu), achamos números x, y tais que cos x= Xe cos y =Y. Calculamos a soma x+ y e a diferença x — y. Novamentea tábua nos fornece cos(x + y) e cos(x - y). O produto X ■Y procuradoserá simplesmente a metade da soma cos(x + y) + cos(z — y).

Usando este método, calcule os produtos abaixo:

a) 0,921 X 0,758.b) (0,8577l)2.c) 0,873 x 0,802.

Nota: Uma das desvantagens deste método trigonométrico é a diticuldade

em aplicá-lo para produtos de mais de três fatores. Isto sem falar na sua

inutilidade para cálculo de potências e raízes.

2. Outro substituto rudimentar dos logaritmos, no cálculo de produtos, é

uma tabela para os valores da função y = (x/2)2. Trata-se de uma tabela

que fornece, à direita de cada número, o quadrado da sua metade. Por

meio dela podemos reduzir o produto de dois números quaisquer a somas

4 História Cap.1

e diferenças, utilizando a fórmula:

Assim, para calcular o produto xy, efetuamos a soma x+ ye. a diferençax-y. Olhando a tabela, obtemos

(X+iij, c (j_y)2Subtraindo estes resultados, obtemos o produto procurado.Tópicos pará debate:

a) Qual o método mais simples, este ou o do Exercício 1?b) Por que este método não substitui os logaritmos?

2. Revisão

i

Sem dúvida, a primeira constatação de que, em certos casos, é possívelreduzir uma multiplicação a uma adição, ocorreu ao se compararem os ter¬mos de uma progressão geométrica com os de uma progressão aritmética,como por exemplo:

2 4 8 16 32 61 128 256 512 1024123456 7 8 9 10

i L - JPara multiplicar dois termos da progressão geométrica (por exemplo,

16 x 64) basta somar os seus correspondentes na progressão aritmética(no caso, 4 4- 6 = 10) e ver qual o termo da progressão geométrica quecorresponde a essa soma. (Neste exemplo, ele é 1024.)

Evidentemente, a regra acima enumerada nada mais é do que a conhe¬cida regra para multiplicar potências de mesma base: am • arl = am+Tl.Basta somar os expoentes. E importante, entretanto, observar que essaredução da multiplicação i\ adição foi constatada muito antes que exis¬tisse a notação de expoente para indicar as potências de um numero. Narealidade, os logaritmos foram inventados antes da notação exponencial!

Seja como for, a regra am • an = am+n sugere a construção de umatábua de logaritmos (de base a) muito rudimentar: na coluna à esquerdalistam-se as potências de a, como a,a2,a3,... , a*1,... (devidamentecalculadas) e à direita os expoentes correspondentes: 1,2,3,... ,n,—A multiplicação am • an sc faz como já foi explicado acima. E claro,contudo, que nossa tábua, assim elaborada, é insatisfatória, pois só permitecalcular produtos de números da forma an, onde n é um número natural.

Acontece que, uma vez difundida a notação exponencial an, nãotardou muito a idéia de se considerarem potências com expoentes negativos

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6 Revisão Cap.2

e fracionários, e a constatação de que, se a é um número positivo diferentede 1 então todo número real positivo pode ser arbitrariamente aproximadopor potências de a com expoentes racionais. Esta observação conduzà possibilidade de elaborar uma tábua de logaritmos (de base a) quecontenha, em sua coluna à esquerda, números bastante próximos daquelesque pretendemos multiplicar.

As considerações acima justificam a necessidade de uma revisão doconceito de potência de um número real, com expoente racional qualquer.Tal revisão é o objetivo deste capítulo.

O estudo que se segue restringe-se a potências de um número positivoa. É claro que se a fosse negativo não haveria problema para definir anpara n 6 Ne mesmo a~n. Entretanto, como veremos aqui, al/n significay/ã. Dado que números reais negativos não possuem raízes reais do tipoy/ã (índice n par), o estudo de potências reais de expoente racional com

base negativa seria confuso, cheio de exceções e impraticável.Seja a um número real positivo. Dado um inteiro n > 0, a potênciaan c definida como o produto de n fatores iguais ao número a. Ou seja:

an = a • a- • • a (n fatores).Vale a propriedade fundamental:

am • an = am+n ( m,n internos positivos).

Se quisermos definir a° de modo que a propriedade acima continueválida, seremos obrigados a convencionar que a° = 1, a fim de termosa° • an = a0+n = an.

Procurando ainda estender a noção de potência de modo a abrangerexpoentes negativos e fazê-lo de forma a manter a validez da propriedadefundamental, devemos ter:

a~n • an = a~n+n = a° = 1 donde a~n = anAssim, a única maneira possível de definir a potência an (com n inteiro)de tal maneira que a relação am-an = am+n continue verdadeira, mesmoquando men são inteiros positivos ou negativos, consiste em pôr:

Cap.2Revisão 7

\

Evidentemente, a relação fundamental vale para o produto de várias

potências, como por exemplo

am ■ an ■ aP ■ a* = am+n+p+q.

Em particular, tomando um produto de p fatores iguais a am, obtemos

(i • a ... a = a r ,

ou seja, (am)p = amp.Antes de prosseguirmos, lembremos que, dados um número real a >

0 e um número inteiro q > 0, o símbolo representa o número real

positivo cuja g-ésima potência é igual a a, ou seja, a única raiz positiva

da equação x9 - a = 0. Portanto, as afirmações

yõ > 0 e ( = a

constituem a definição do número real chamado a raiz q-ésima do

número positivo a.Procuremos agora estender a noção de potência de um número real

a > 0, de modo a incluir expoentes fracionários, da forma r = p/q, onde

p, q são inteiros e q > 0. Queremos dar essa definição de modo a não des¬

truir as propriedades anteriormente válidas. Assim sendo, devemos definir

a potência ap/l de modo a termos um número real positivo cumprindo:

(a*/«)* = = a?.

Logo, deve ser o número real positivo cuja ç-ésima potência é igual

a ap. Por definição de raiz, isto significa afirmar que

aP/* = tyaP.

Em particular, a1ÿ = tfã.Agora, dado um número real a > 0, sabemos definir a potência ar,

quer r seja inteiro positivo nulo, negativo ou fracionário. Em suma, arestá definido, para todo número racional r.

Observemos que, mesmo para r = p/q e s = u/v fracionários

(q > 0 e v > 0), vale ainda a propriedade

8 Revisão Cap.2

Com efeito, sabemos que

(Gr)? = aP e (GS)V = G\Logo:

[ar ■ as)1v = (ar)?v • (as)?v = cr9v • aa*v= flP" • = apu+u«.

Vemos que aT • as é o número cuja çu-ésima potência vale apt,+UIJ. Istoquer dizer que:

ar -as = a(p,'+u9)/9t'.Como

temos

pv + uq p u--1 = -+ ~= T + S,qv q v

or-Gs = Gr+sDe posse da definição e da propriedade fundamental das potências

de expoente racional de um número real a > 0, os livros tradicionaisdefinem o logaritmo do seguinte modo:

Dado um número real a > 0, o logaritmo de um número i > 0 nabase a é o expoente y a que se deve elevar a de tal modo que ay = x.Escreve-se y = log0 x e lê-se y é o logaritmo de x na base a.

Vamos usar o sinal para exprimir que duas afirmações são equi¬valentes (isto é, têm o mesmo significado). Podemos escrever então:

loga x = y ay = x.Ou seja, dizer que y = loga x é o mesmo que afirmar que ay = x.

Desta definição decorre imediatamente a propriedade fundamental doslogaritmos, que c a seguinte:

loga(ux) = loga u + loga x-Para provar isto, basta escrever loga u = v, loga x = y. Isto quer dizerque av = u e ay = x. Segue-se então que av • ay = ux, ou seja, queav+y = ux. Esta última igualdade significa que v + y = loga [ux), istoé, que

loga(ux) = loga U + loga x.

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44

Cap.2 Revisão 9

Vejamos agora um exemplo concreto. Tomemos, como fez Briggs, onúmero 10, base de nosso sistema de numeração, para base dos logaritmos.Qual seria o logaritmo de 3 na base 10?

Por definição, log10 3 é o número y tal que 10ÿ = 3.

Suponhamos que y = fj fosse um número racional. Então teríamos:

P/<1 =e portanto

10

10? = Zq

fs

A última igualdade é um absurdo pois 10p é 1 seguido de p zeros e,evidentemente, 3? = 3 • 3...3 não tem esta forma.

Assim log10 3 não pode ser um número racional.Façamos aqui uma pequena pausa para lembrar que os números reais

(positivos, negativos ou zero) podem ser racionais ou irracionais. Os pri¬meiros têm a forma p/q com p t q inteiros, sendo q > 0, e caracterizam-se pela propriedade de, quando transformados em frações decimais, teremdesenvolvimento finito ou periódico. Os números irracionais, como \/2,\/3, 7r etc., não podem ser expressos como quocientes p/q de dois intei¬ros. Por conseguinte, o desenvolvimento decimal de um número irracionalnem é exato nem periódico. Quando se escreve um número como TT, porexemplo, sob forma de fração decimal, digamos 3,141592, estamos dandoapenas um valor aproximado (neste caso, porque tomamos 6 casas deci¬mais, o erro cometido é menor do que 0,000001, ou seja, 1 milionésimo).

Voltando aos logaritmos, se y = log103 não pode ser um númeroracional, que número irracional y é este, tal que 10ÿ = 3?

E que significa, afinal de contas, uma potência com expoente irracio¬nal? Que significa, por exemplo, 1UVÿ, a \/2-ésima potência de 10?

Estas são perguntas cruciais, que devem ocorrer imediatamente quan¬do se define o logaritmo como expoente.

*E possível explicar satisfatoriamente o significado de uma potênciacom expoente irracional. Por exemplo 10ÿ é definido assim: tomam-se os valores 1,4; 1,41; 1,414 etc., aproximações racionais do númeroirracional y/2. Os números 101»4, IO1»41, 10l>414 etc. são valores aproxi-

— -

10 Revisão

i

«

Cap.2

mados de 10ÿ. Tanto mais próximo esteja o número racional r de y/2,mais próximo estará 10r de 10ÿ.

O desenvolvimento sistemático da teoria das potências com expoentereal (racional e irracional), para servir de base ao estudo dos logaritmos,é um processo longo e tedioso.

A maioria dos autores modernos prefere definir diretamente os loga¬ritmos de modo geométrico, com base na noção de área de uma figuraplana. As demonstrações se tomam mais simples e os conceitos maisintuitivos. Este é o caminho que usaremos neste livro.

Exercícios1. Assinale a resposta certa:

1.1) 3/45 =a) 48; b) 4-8; c) 16~x; d) nada disso.

1.2) (3-3)3 =a) lr M 3'*®; r) 3— 27; d) nada diÿso

1.3) 52/32 =a) (5/3)2; b) (5/3)- c) 5-6; d) nada disso.

1.4)

1.5)

0,00003 =a) 1/3 x 10-3; b) 10"3; c) 3 x 10"s; d) nada disso.3 x 10"76 x IO"3a) é x 10l°; b) 5 x 104; c) 0,5 x IO"4; d) nada disso.

1.6) 82/3 =a) 2; b) 9; c) 32>/2; d) 4.

1.7) 27-2/3 =a) 1/18; b) 1/81; c) l/9; d) -18.

1.8) 163/4 =a) 12; b) 8; c) 6; d) 64.

1.9) 233/2 =a) 125; b) 5; c) 15; d) nada disso.

Cap.2 Revisão 11

1.10) (0,00001)"3/5 =a) 0,001; b) 1000; c) 10“15/l0-25.

1.11) IIO-í*100a) 1/6; b) 16; c) l/8; d) 1/16.

1.12) (§|X10-*)l/3 =a) Too* Tã x 10 2; c) & x IO"4

1.13) o1

x >—* o1 rf». II

a) b) (10 x 7) 2;

2.. Simplifique as expressões abaixo:

a) x3-*"1/* *-3.X2 • X"3

b) (1+ a4/3)(l — a1/3 -f a2/3).c) <ÿ' - + 1-

3. Simplifique c ponha sob forma de potências:a) yjlk-b) y/rs3[y/r5s — y/r2s2)

4. A desigualdade x < y significa que a diferença y — x é um númeropositivo. Usando o fato de que o produto de dois números positivos épositivo, prove as seguintes afirmações:

a) Se x < y e a > 0, então ax < ay.b) Se x < y e a < 0, então ax > ay.c) Sc 0 < x < y e 0 < x' < y1 então xx' < yy‘.d) Sc 0 < x < y, então xn < yn para todo inteiro n > 0, «- yn < xn

para todo inteiro n < 0.

5. Prove que, para todo inteiro n> 1 e para todo com x > —1,tem-se

(1+ x)n > 1+ nx.Use esta desigualdade para achar um expoente n tal que (l,001)n sejamaior do que um milhão.

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12 Revisão CaP-2

6. Prove que se x > 1 então as potências sucessivas

x,x2,x3,x4,... , etc.,

crescem e podem vir a superar qualquer número fixado de antemão. Maisprecisamente se z > 1 então, dado qualquer A > 0, é possível obterum inteiro n tal que xn > A. (Evidentemente, sendo xn > A, ter-se-á,também xn+1 > A, xn+2 > A etc.).

7. Seja 0 < z < 1. Mostre que as potências sucessivas

x,x2,x3,x4,... , etc.,

decrescem e podem tomar-se inferiores a qualquer e > 0 prefixado. Emparticular, obtenha um expoente n > 0 tal que (0,999)n seja menor doque um milionésimo.

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3. Funções logarítmicas

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Revimos no capítulo anterior a definição tradicional de logaritmo, mos¬trando algumas dificuldades conceituais com ela relacionadas e anunciandoque neste livro os logaritmos serão tratados geometricamente.

Antes, porém, de iniciarmos esse estudo geométrico provaremos queos logaritmos se deixam caracterizar por duas propriedades extremamentesimples e naturais, de modo que a escolha de processo de apresentá-losé apenas uma questão de preferência. Uma vez que valham aquelas duaspropriedades, só existe uma maneira de alterar um sistema de logaritmos:multiplicar por uma mesma constante todos os logaritmos desse sistema.

Neste capítulo, daremos a definição de função logarítmica, estabe¬leceremos suas propriedades básicas e mostraremos que, a menos de umfator constante, duas quaisquer funções logarítmicas coincidem.

Uma função real L:R+ —► R, cujo domínio é o conjunto R+ dosnúmeros reais positivos, chama-se uma função logarítmica ou um sistemade logaritmos quando tem as seguintes propriedades:A) L é uma função crescente , isto é, x < y => L[x) < L(y);B) L(xy) = L(x) + L(y) para quaisquer x,y 6 R+.

Para todo x G R+, o número L(x) chama-se o logaritmo de x. (Seestivermos contemplando outras funções logarítmicas além de L, diremosque TJ(X) é o logaritmo de x segundo L, ou no sistema de logaritmos L.)

Faremos agora uma lista de propriedades das funções logarítmicas,isto é, propriedades que são consequências de A) e B) acima enunciadas.Propriedade 1. Uma função logarítmica L:R+ —> R é sempre injetiva,isto é, números positivos diferentes têm logaritmos diferentes.

-T -----TT 'CT -a—“

r-14 Funções logarítmicas Cap.3

Com efeito, se x,y € R+ são diferentes, então ou x < y ou y < x.No primeiro caso, resulta de A) que L(x) < L(y). No segundo casotem-se L(y) < L(z). Em qualquer hipótese, de x y conclui-se queL(x) ± L(y).Propriedade 2. O logaritmo de 1 é zero.

Com efeito, por B) temos

L(l) = L(l.l) = L(l) + L(l), logo L(l) = 0.

Propriedade 3. Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivose os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.

Com efeito, sendo L crescente, de0<x<l<y resulta L(x) <L(l) < L(y), isto é L(x) < 0 < L(y).Propriedade 4. Para todo x > 0, tem-se L(l/x) = — L(x).

Com efeito, de x-(l/x) = 1 resulta que L(x) + L(l/x) = L(l) = 0,donde L(l/x) = -L(x).Propriedade 5. Para quaisquer x,y e R+, vale

T ' T ' r f .,\l d) —

Com efeito,

L(x/y) = L(x • (l/y)) = L(x) + L(l/y) =L(x) -L(y).

Propriedade 6. Para todo x G R+ e todo número racional r = p/qtem-se L(xr) = r • L(x).

A demonstração da Propriedade 6 se faz por etapas.Em primeiro lugar, observa-se que a propriedade

L(xy) = L(x) + L(y)se estende para o produto de um numero qualquer de fatores. Por exemplo,

L(x • y • z) = L((xy) • z) = L(x • y) + L(z) = L(x) + L(y) + L[z).

E assim por diante:

L(xi • X2 • • • = L(xi) + L(X2) + . . . + L(xn)*

------ -—T IMS _

Cap.3 Funções logarítmicas 15

Em particular, se n e N entãoL(xn) = L(x • x.....x) = L(x) + L(x) + ... + L(z) = n • L(x).

Portanto, a Propriedade 6 vale quando r = n é um numero natural.Ela também vale quando r = 0 pois, para todo número x E R+,

tem-se que x° = 1, logo L(x°) = L(l) =0 = 0* L(x).Consideremos agora o caso em que r. = —n, n (= N, isto é, onde r é

um inteiro negativo. Então, para todo x > 0 temos xn • x~n = 1. LogoL(xn) + L(x“n) = L(l) = 0,

e daíL(x~n) = - L(xn) = —nL(x).

Finalmente, o caso geral, em que r = p/ç, onde p G Z e q £ N.Para todo x £ R+ temos

{xy = (»p/*)« = xp.Logo q • L(xr) = L[(xr)ÿj = L(xp) = p • L(x), em virtude do que jáfoi provado. Da igualdade q • L(xr) = p • L(x) resulta que L(xr) =(p/q) • L(x), ou seja, que L(xr) = r • L(x).

Isto termina a demonstração da Propriedade 6. A restrição de queo expoente r seja racional provém do fato de sabermos apenas definirpotências com expoente racional. Na verdade, a teoria dos logaritmosfornece a melhor maneira de definir xr quando r é um número irracional.

Convém enfatizar que as Propriedades 1 a 5, bem como as demaisa serem estabelecidas neste capítulo, valem para todas as funções lo¬garítmicas, isto é, resultam apenas das propriedades A), B) e não da ma¬neira particular como os logaritmos venham a ser definidos.Propriedade 7. IJma função logarítmica L: R+ ► R 6 ilimitada, superiore inferiormente.

A afirmação acima significa que, dados arbitrariamente números reaisa e /?, é sempre possível achar números positivos x e y tais que L(x) < ae My) > P- Antes de provarmos a Propriedade 7, é instrutivo examinarexemplos de funções conhecidas, como /,y, h: R -ÿ R, dadas por f(x) =senx,y(x) = x2 e h[x) = x3. Como —1 < senx < 1 para todo x 6 R,

mmmm r wmm — ns

16 Funções logarítmicas Cap.3

vemos que /(x) = sen x é uma função limitada superior e inferiormente.Por outro lado, temos x1 > 0 para todo x £ R. Logo g[x) = x2 éuma função limitada inferiormente, porém não superiormente pois, dadoqualquer número real /? é sempre possível achar x 6 R tal que x2 > /?:basta tomar x > y/fi se /? for positivo ou zero, ou qualquer x se /?for negativo. Finalmente, a função h(x) = x3 é ilimitada superior cinferiormente quando IGR, como se constata sem dificuldade.

No caso da função logarítmica L: R+ -» R, para provar que ela éilimitada superiormente, suponhamos que nos seja dado um número realP e que sejamos desafiados a achar um número x e R+ tal que L(x) > p.Procederemos da seguinte maneira: tomamos um número natural n tãogrande que n > /?/ L(2). Como L(2) é positivo (Propriedade 3), temosn • L(2) > p. Usando a Propriedade 5, vemos que n • L(2) = L(2n).Portanto, L{ 2n) > p. Agora é só escolher x = 2n. Temos L[x) > (3.Isto mostra que L é ilimitada superiormente.

Para provar que L também é ilimitada inferiormente, basta lembrarque L(l/x) = — L(x). Dado qualquer número real a, como vimos acima,podemos achar IGR+ tal que L(x) > —a. Então, pondo y — l/x,teremos L(y) = — L(x) < a.Observação. Uma função logarítmica L não poderia estar definida parax = 0. Com efeito, se tal fosse o caso, para todo x > 0 teríamos

L(0) = L(x • 0) = L(x) + L(0),donde L(x) = 0. Assim, L seria identicamente nula, contrariando a pro¬priedade A). Também não é possível estender satisfatoriamente o domíniode uma função logarítmica de modo que L(x) seja um número real, defi¬nido para todo x < 0. Para uma discussão sobre logaritmos de númerosnegativos, veja “Meu Professor de Matemática’’, pág. 217.

Evidentemente, se L: R+ —» R é uma função logarítmica e c é umaconstante positiva arbitrária, então a função M: R+ —> R, definida porM(x) = c • L(x), é também uma função logarítmica. O teorema abaixomostra que esta é a única maneira de obter funções logarítmicas uma vezque se conheça uma delas.

Noutras palavras, depois de provarmos o teorema abaixo ficaremossabendo que, para estudar logaritmos, basta obter uma função crescente


k:R+ -* R tal que L(xy) = L(x) + L(y). Todas as demais funçõeslogarítmicas (ou sistemas de logaritmos) resultarão de L pela multiplicaçãopor uma constante conveniente. Assim, temos a liberdade de escolhera definição da função L da maneira que nos pareça mais natural, maisintuitiva c que nos permita dar as demonstrações mais simples.Teorema 1. Dadas as funções logarítmicas L,M:R+ —> R, existe umaconstante c > 0 tal que M(x) = c • L(x) para todo x > 0.

4

Demonstração: Suponhamos inicialmente que exista um número a >1 tal que L(a) = M(a). Provaremos, neste caso, que L(x) = M(x)para todo x > 0. Em primeiro lugar, de L(a) = M(a) concluímos queL(ar) = M(ar) para todo r racional. Com efeito, L(ar) = r • L(c) ==r -M(G) = M(ar). Suponhamos, por absurdo, que existisse algum b > 0tal que L(6) M(6). Para fixar ideias, digamos que fosse L(ò) < M(ó).Escolhamos um número natural n tão grande que

n.[M(6) - L(6) J > L(a).Então

L(o1/n) = L(a)/n < M(6) — L(ò).Por simplicidade, escrevamos c = L(al/n). Os números c,2c,3c,...dividem R+ em intervalos justapostos, de mesmo comprimento c. Comoc < M(6) — L(ò), pelo menos um desses números, digamos m-c, pertenceao interior do intervalo (L(6),M(ò)), ou seja, L(ó) < m-c < M(6). Ora,

m ■ c = m- L(a'/R) = L[amln) — M(arn/Tl).Então

L[b) < L{amln) = M [amln) < M(ò).Como L é crescente, a primeira das desigualdades acima implica b <amln. Por outro lado, como Aí também é crescente, a segunda desi¬gualdade implica amfn < b. Esta contradição mostra que b não existe:deve-se ter M(x) = L(x) para todo x > 0.

O caso geral reduz-se ao caso particular acima. Dadas L e M, funçõeslogarítmicas arbitrárias, temos L(2) > 0 e M(2) > 0 porque 2 > 1.Seja c = M(2)/ L(2). Consideremos a função logarítmica N:R+ -> R,definida por N(x) = c • L (x). Como N(2) = c • L(2) = [M(2)/L(2)j •

L(2) = M(2), segue-se do que se provou acima que N(x) = M(x) para

----

FI18 Funções logarítmicas

todo x > 0, ou seja, que M(x) = c • L(x) para todo x > 0,queríamos demonstrar.

As propriedades dos logaritmos acima estabelecidas servem de fun¬damento para sua utilização como instrumento de cálculo. Vejamos umexemplo a fim de ilustrar o método.

Suponhamos que se deseje calcular tj/a, onde a é um número real po¬sitivo e n um número natural. Para isso, supomos conhecida uma funçãologarítmica L. Pela Propriedade 6, temos L( \/ã) = L(c)/n. Consultandouma tábua de valores de L, encontramos o valor L(a), facilmente o divi¬dimos por n e obtemos L( \/ã) = c, um número conhecido. Novamenteusando a tábua (desta vez no sentido inverso) encontramos um númeropositivo 6 tal que L(6) = c. Pela Propriedade 1, de L(6) = L( \/õ)concluímos que b = t/õ. Problema resolvido.

Re-examinando a solução acima surge uma questão. Quem nos ga¬rante que, dado o número real c, podemos sempre encontrar íi e R+tal que L(6) = c? Noutras palavras, a solução do problema só estarácompleta se pudermos assegurar que a função logarítmica L: R+ —> R ésobrejctiva. Este ponto é esclarecido pelo teorema seguinte.Tonromn ?. Toda função logarítmica L 6 sobrejctiva, Lio C, Judo qual¬quer número real c, existe sempre um (único) número real positivo x talque L(x) = c.Demonstração: A demonstração deste importante teorema, embora ele¬mentar, é um tanto longa. ( O leitor pode, se quiser, omiti-la, passandodiretamente ao Corolário.) Ela faz uso do seguinteLema. Seja L: R+ —> R uma função logarítmica. Dados arbitrariarmentedois números reais u < v, existe x > 0 tal que u < L(x) < v.

Este lema significa que todo intervalo aberto I = (u,v) contémao menos num valor L(x) da função L. Evidentemente, trata-se de umresultado preliminar pois o Teorema 2 assegura que o intervalo I inteiroé formado por valores da função L.Demonstração do Lema: Fixemos um número natural n maior do que(v — u)/L(2), logo L(2)/n < v — u. Escrevamos c = L(2)/n. Os

lt

i 34'44J!J44444444

Cap.3 Funções logarítmicos

múltiplos inteiros

.c = — • L(2) = L(2m/n), me Z,71

decompõem a reta real em intervalos justapostos, cujo comprimento c é

menor do que o comprimento v — u do intervalo I = Portanto,menor do que o comprimentopelo menos um

-2c -c

—o-o- Ic

-o-

2c 3c 4c 5c 6c

-o o- --ov _ IR

Figura 1

desses múltiplos m.c = L(2m/n) cai no interior do intervalo I = (u, v).

Pondo x = 2m/n, temos u < L(x) < v.

Antes de demonstrar o Teorema 2, lembremos que todo número reala admite uma representação decimal

ãi ã2 Q-na = ao)ÿiG2 ••• = -----»

onde a parte inteira ao é um número inteiro qualquer e os algarismosdecimais an, n > 1, podem assumir os valores 0,1,2,... ,9. Para todo

n > 0, escreveremosai a2

Oil = Go iala2 • • • Gn — a0 + JQ + JQ2 “t" +Qft

10"

Tem-se an < a e a - an < l/lO" para todo n > 0.

Se um número real x é menor do que a, então deve existir um n > 0

tal que x < an. Com efeito, x < a significa que a - x é um número

real positivo. Tomemos n tão grande que1

10" < a- x.

a_a"<íõ"<a_:c’logo a - an < a — x. Daí resulta x < an.


Demonstração do Teorema 2: Dado arbitrariamente um número real 6,devemos obter um número real positivo a tal que L(a) = 6. Para acharQ, usaremos uma versão moderna de um processo milenar para resoluçãonumérica de equações, que os chineses antigos chamavam o “método doelemento celestial”. Esse método consiste em determinar, um a um, osinteiros

GO, &2i • • •dfi • • •

que compõem a representação decimal do número realQ CL0 )C1]'Q.2 ••• CL TI •• •

Em seguida, mostraremos que se tem de fato L(a) = b.Para determinar a parte inteira a0, lembramos que L é uma função

crescente ilimitada, logo devem existir inteiros k tais que L(k) > b. Seja°o + 1 o menor inteiro tal que L(a0 + l) > b. Então lemos L(a0) <b <L(a0 + l).

Em seguida, consideremos os números12 9

o°, Go + — » a0 + — ,G0 + — , oo + 1.

Como L(a0) < b < L(ao + l), devem existir dois elementos consecutivos<*i e ai + 1/10 nessa sequência, tais que Lÿ) < b < L(Qí + l/lO),isto é, deve existir al inteiro, 0 < at < 9, tal que, pondo

tem-se

Qi - Go.Oj = Qo +

L(ai) <b< L(ax + l/lO).Analogamente, considerando os números

«i + ]02 > “■ + lõ’vemos que existe G2, 0 < a2 < 9, tal que, pondo

ttl = a°>ai°2 = O® + 15 +S’L(«2) < b < L(a2 + —).

i}3tíwwU£*

uirtrt-tttCW

fmC

iririrtc

IIII

3

34444dddddddd44JJ'J444dd44

tem-se


Prosseguindo analogamente, encontramos a representação decimal deum número real

ai , a2 Gfia = G0, ata2 ...an... = a0 + — + + Iõÿ + "'

tal que, pondo OíJI = GQ, GÿG2 . . . Gÿ, tem-se.

L(an) < 6 < L(«n +— )

para todo n > 0.Afirmamos qué L(a) = 6. De fato, se fosse L(a) < b, usaríamos o

Lema para obter x > 0 tal que L(a) < L(z) < b. Como L é crescente,isto implicaria a < x. Então, tomando n tão grande que x — a > l/lOriteríamos a + l/lOw < x, logo

&n + 110" < a + 1

10n < x.

Como L é crescente, de x > an + l/lOn resultaria

L(i) > L(a„+ > 6,

um absurdo, pois o número x foi obtido de modo que L(x) < 6.Analogamente, não se pode ter L(a) > b. Com efeito, usando

novamente o Lema, obteríamos x > 0 tal que

b < L(z) < L(a).Como L é crescente, de L(z) < L(a) concluiríamos que x < a. Istoimplicaria, entretanto, que x < an para algum n. Então L(z) < L(a:n) <6, contrariando o fato de que x foi obtido de modo a satisfazer b < L(x).

Isto conclui a demonstração do Teorema 2.

Corolário. Toda função logarítmica L: R+ —> R é uma correspondênciabiunívoca (bijeção) entre R+ e R.

Qualquer função / dá origem a uma tábua de valores. Numa coluna,à esquerda, põem-se os valores da variável x e noutra coluna, à direita,os valores correspondentes de f[x). Para uma função arbitrária /, podeocorrer que a diferentes valores de x correspondam o mesmo valor f[x).

— - ■■■jU■ r


O corolário acima mostra que toda tábua de logaritmos (tábua devalores de uma função logarítmica) pode ser lida tanto da esquerda paraa direita, o que é normal, como da direita para a esquerda. Dado umnúmero real arbitrário y, podemos buscar na tábua o número x > 0 doqual y é o logaritmo. Como vimos acima, esta possibilidade é fundamentalpara o uso dos logaritmos no cálculo aritmético. A <4tabela inversa” doslogaritmos, lida da direita para a esquerda é, na realidade, a tábua dosvalores da função exponencial, que definiremos adiante.

Segue-se ainda do Teorema 2 que, dada a função logarítmicaL:R+ —► R, existe um único número a > 0 tal que L(a) = 1. Estenúmero é chamado a base do sistema de logaritmos L. Para explicitar abase, muitas vezes se escreve La[x) em vez de L(z).

Se La e Lj, são funções logarítmicas, com La(a) = Lÿ[b) = 1(ou seja, de bases a e b respectivamente) então o Teorema 1 assegura aexistência de uma constante c > 0 tal que Lj(x) = c • La[x) para todox > 0. Pondo x = a, resulta L5(a) = c. Portanto temos

M*) = Ma) -La(a:)para todo r > n Fctn ê ? formal? dc mudança dc base de logaritmos.

Tradicionalmente, as bases de logaritmos mais comuns são 10 (porquenossos números são escritos usualmente no sistema de numeração deci¬mal) ee = 2,718281, base dos logaritmos naturais, que estudaremos noscapítulos seguintes.

Exercícios1. Seja F:R —» R uma função tal que F(z + y) = F(x) • F(y) paraquaisquer x, y G R. Prove que se existir algum número b tal que F(6) = 0,então F é identicamente nula. Prove também que nenhum valor F(x) podescr negativo. Portanto, ou F é identicamente nula ou F(x) > 0 para todox e R.2. Uma bijeção E: R -» R+ chama-se uma função exponencial quandosua inversa F:R+ —> Re uma função logarítmica. Prove que a bijeçãoE: R —> R+ é uma função exponencial se, e somente se, cumpre ascondições:(a) E é crescente;

Funções logarítmicas 23

et*bhV-

t<t

V(rc-tctccwCw

V(m<mcccccfcrc

.c

I-4dd/pidd

44444wjiJ

V

*444444■444\

*

.v

A*•>y44:4

Cap.3

(b) E(z + y) = E(x) • E(y).3. Dada uma função exponencial E: R —► R+, seja a = E(l). Prove quepara todo número racional r = p/q tein-se E(r) = ar.4. Na definição de função logarítmica, substitua a palavra “crescente”por “decrescente” e examine, uma a uma, as novas formas que assumemas conclusões deste capítulo cm face desta modificação.

Área de uma faixa dc hipérbole 25 *>

4. Área de uma faixa de hipérbole

Primeiro o padre jesuíta belga Gregory Saint Vincent, em 1647, e depoisIsaac Newton, em 1660, reconheceram uma relação estreita entre a áreade uma faixa de hipérbole e os logaritmos. Embora nenhum dos doistenha identificado realmente essa área com os logaritmos naturais, nemtenham reconhecido o número e, suas observações pioneiras mostram quea concepção geométrica de uma função logarítmica é uma idéia muitoantiga, com mais de 3 séculos e meio de existência. Além de antiga, elaé natural, intuitiva e instrutiva porque constitui uma excelente introduçãoao Cálculo Integral.

Neste capítulo, daremos os primeiros passos no sentido de expor essaconcepção, introduzindo a definição de área de uma faixa de hinérbolePara isso, supomos fixado no plano um sistema de eixos cartesianos, isto é,duas retas orientadas, perpendiculares entre si. Cada ponto do plano ficaráentão representado por um par ordenado (x,y) de números reais, que sãosuas coordenadas em relação aos eixos previamente fixados, sendo x aabscissa e y a ordenada do ponto em questão. Por simplicidade, diremosapenas o ponto (x, y), em vez de o ponto cujas coordenadas são x e y.

Seja H o ramo positivo do gráfico da função y = l/x, isto é, dafunção que associa a cada número real positivo x o número y = l/x.H é o subconjunto do plano constituído pelos pontos da forma (z, l/x),onde x > 0. Em símbolos,

H = {(z,t/); x> 0, y = -}.X

Geometricamente, II é o ramo da hipérbole xy = 1 que está contido noprimeiro quadrante, isto é, um ponto (z,y) do plano pertence ao conjunto

■* » i'"'■ ffo*» » • N .V

ttt¥

í(rW

C-CccccWw(r<r

*W<rccc

*rc

c

433V

óóá4444444444

4444J4444444444

Cap.4

II se, e somente se, x > 0 e xy = 1.

Uma faixa de hipérbole é obtida quando fixamos dois números reais po¬sitivos a, 6, com a < 6, e tomamos a região do plano limitada pelas duasretas verticais x = a,x = 6, pelo eixo das abscissas, e pela hipérbole II.Indicaremos essa região pelo símbolo

J

26 Área de uma faixa de hipérbole Cap.4

Portanto, a faixa II% é formada pelos pontos (x,t/) cujas coordenadascumprem simultaneamente as condições a<x<boO<y<l/x. Nanotação da teoria dos conjuntos, temos

Ha = {(*,y); a<x<b, 0 < y < -}•

Mostraremos agora como proceder a fim de calcular a área de umafaixa Ha-

Por meio de pontos intermediários, decompomos o intervalo [a, 6]num número finito de intervalos justapostos. Com base em cada um dosintervalos [c, d] da decomposição, (onde c < d) consideramos o retângulode altura igual a l/d. O vértice superior direito desse retângulo toca ahipérbole H. E o que chamaremos um retângulo inscrito na faixa Hba.A reunião desses retângulos inscritos constitui o que chamaremos umpolígono retangular inscrito na faixa Hÿ.

\ \

Figura 4 - Polígono retangular Inscrito na faixa Hg.

É fácil calcular a área de um polígono retangular inscrito numa faixa,quando se conhecem os pomos de subdivisão do intervalo La, 6]. Damosabaixo dois exemplos.Exemplo: Seja a faixa Hf. Se tomarmos a decomposição do inter-

wIwcIwI

<rI

<rI

VI

Ciè

Ic*

IcL

• Ic

Cap.4 Área de uma faixa de hlpérbola 27

(f>

valo [1,3] através dos pontos intermediários 1, 3/2, 2, 5/2, 3, obteremosum polígono retangular cuja área é igual à soma das áreas dos quatroretângulos abaixo hachurados, ou seja:

# 1 2. A 1 1 2, 1 1.2

X 3ÿ2 X 2ÿ2 X5 2

X3

1 1 1 1 57— — — -|- — -j- — —-.3 4 5 6 60

Figura 5 - Uma primeira aproximação para a área de HrSe, porém, efetuarmos uma subdivisão mais fina do intervalo [1,3],

por meio dos pontos

•5 6 8 9 10 HT> 7) 7’ 7’ T» ~ã~ *4 4 4 4 4 4

obteremos um polígono retangular inscrito em Hf, formado por 8 retân¬gulos justapostos, cuja área total vale

111111 1 1 84.813—I---1---1---1---1---1---1--=-5 6 7 8 9 10 11 12 83.160’


ou seja, 1,019 aproximadamente.

Pad? polígono retpnrvb.r injcrstc na faixa £% fcrncce urr. valo; aproximado por falta para a área de H%. Tanto mais aproximado será essevalor quanto mais fina for a subdivisão do intervalo [a, 6], Isto c, quantomais próximos uns dos outros estiverem os pontos de subdivisão, menorserá a diferença entre o valor exato da área de 11% e a área do polígonoretangular inscrito. Assim, podemos definir a área de H% do seguintemodo;

A área de H% é o número real cujas aproximações por falta são asáreas dos polígonos retangulares inscritos em 11%.

Se escrevermos A = área de H%, teremos A > área de P, qualquerque seja o polígono retangular P inscrito em H%.

Além disso, refinando suficientemente a subdivisão do intervalo[a, 6], podemos obter polígonos retangulares cujas áreas sejam tão pró¬ximas da área de 11% quanto se deseje. Mais precisamente, dado qualquernúmero a. < área de 11%, existe um polígono retangular P, inscrito emH% tal que a < área de P < área de H%.

t

-j

Cap.4 Área de uma faixa de hipérbole 29

Podemos também dizer que a área de H b é o extremo superior doconjunto das áreas dos polígonos retangulares inscritos em Hb.

Isto significa que A = área de Hb é o menor número real tal que A >área de P para todo polígono retangular P inscrito em [a, 6].

Dizer que A é o extremo superior do conjunto das áreas dos polígonosretangulares P inscritos em Hb tem exatamente o mesmo significado queafirmar que os valores aproximados por falta da área Hb são as áreas dospolígonos retangulares inscritos nesta faixa.

Voltando ao exemplo anterior, vemos que 57/60 é uma aproximaçãoinferior para a área da faixa Hf, enquanto que 84.813/83.160 é uma a-proximação inferior melhor. Embora não saibamos ainda o valor exato daárea de Hf, já podemos garantir que Hf tem área maior do que I, poisÁrea(iff) > 84.813/83.160.Exercícios1. Decomponha o intervalo [2,3] em cinco partes iguais e calcule, destamaneira, uma aproximação inferior para a área da faixa de hipérbole Hf-2. Dada uma decomposição do intervalo [a, ò] em intervalos justapostos, oerro que se comete ao tomar-se a área do polígono retangular P em vez daárea da faixa Hb é a diferença E = (área de H%) - (área de P). Proveque se tem E < §(5 - g), onde c é o comprimento do maior intervalo dadecomposição.

Conclua que, fixado[a, 6], podemos tomar o erro E tão pequeno quantose deseje (digamos, E < e ), desde que tomemos uma decomposição de[a, 6] por meio de intervalos de pequeno comprimento. (Digamos, todosmenores do que a • s.) Em particular, o erro que se comete ao se substituir aárea da faixa II f pela área de um polígono retangular in.;erito é inferior aocomprimento do maior intervalo da decomposição.3. Considere a parábola y = x2. Defina a área A(x2)ba da faixa dessaparábola compreendida entre as retas verticais x = a e x = 6. Decom¬ponha o intervalo [0, 1] em 10 partes iguais e calcule, desta maneira, umaaproximação inferior para a área A(X2)Q. (Obtém-se 0,269.)Divida o intervalo [0, 1] em n 4- 1 intervalos justapostos de mesmo com-

30 Área de uma faixa de hipérbole

primento. Mostre que o polígono retangular Pn+l assim inscrito na faixada parábola y = x1 tem área igual a

(n + 1) (l + 22 + 32 +... + n2).

Na figura abaixo, tomamos n = 5.

Fazendo uso da conhecida fórmula

l2 + 22 + 32 + 2_ 71' n‘ n+ n* = — + — + -

3 2 6

verifique que

área de Pn+1 d + á):, 3 1 .

Conclua então que, para valores de n cada vez maiores, a área de Pn+Aaproxima-se do valor l/3. Logo A{x2)i0 = l/3.Isto demonstra o Teorema de Arquimedes, segundo o qual a área do

triângulo parabólico de base [0, 1] é um terço da área do quadrado de

k-L'

—

Área de uma faixa de hipérbole 31

mesma base.

4. Prove a formula,2 i r>2 i . 2 n3 n2 n1 +2 4- • • • -f- ?i2 — --1---1—3 2 6

considerando a igualdade (í+l)3 = z3-f 3i2-f 3z + l para i = 1,2,... ,n,somando membro a membro e simplificando.5. Usando a igualdade (t + l)4 = i4 + 4r3 + 6í2 + 4í + 1, prove que

l3 + 23 +„ O

7i TV* n~+n=T+_+T

e conclua que o conjunto dos pontos (z, y) do plano tais que 0 < x < 1e 0 < V < x3 tem área igual a l/4.6. Uma função /:/ —► R, definida num intervalo /, chama-se convexaquando, para quaisquer a < b em /, tem-se:

a < x < b => /(Z)</(Q) + (X-Q).o — a 7


(Isto significa que o gráfico de / situa-se abaixo de qualquer de suassecantes.) Prove que a função /:R+ —*ÿ R, definida por f(x) = l/x, éconvexa.

I

d<9\

9dD

4c-ccecCrc

wCcccccccc0oc

I■I

Jfii

o'

■ii

'Jf)

*<T)

Aproximação por trapézios

Para calcular a área de uma faixa H\ podemos também adotar o seguintemétodo. Dada uma decomposição dc [a, 6] em intervalos justapostos, so¬bre cada intervalo [c,d] da decomposição, cm vez do retângulo inscritocom base [c,d], consideramos o trapézio secante, o qual tem a mesmabase, os dois lados verticais tendo comprimento l/c e l/d respectiva-mente, de modo que dois dos seus vértices toquem a hipérbole II. Comoa curva y = l/x tem a concavidade voltada para cima, esse trapéziocontém a faixa em seu interior. A reunião dos trapézios assim obti¬dos forma um polígono trapezoidal secante à faixa H % e a área dessepolígono dá uma aproximação por excesso da área de Hÿ.

Convém observar que, como os lados inclinados desses trapézios seaproximam mais da hipérbole If do que as bases superiores dos retângulosinscritos, as aproximações obtidas deste modo são melhores do que asencontradas da maneira anterior. Isto se dá, mais acentuadamentc, nospontes mais próximos de 0, isto é, em faixas II£ com a e b pequenos.De fato, para valores pequenos de x, a curva y = l/x é muito inclinada.Por outro lado, para valores muito grandes de x, a hipérbole y = l/xé pouco inclinada (isto é, quase horizontal) e portanto a base superiordo retângulo inscrito é uma boa aproximação para a curva. Muitas ve¬zes, porém, se necessitam aproximações inferiores. Assim, por exemplo,através de aproximações superiores nunca poderíamos concluir que a áreade II { é > 1.

Como ilustração calculemos uma aproximação superior para //f pelométodo dos trapézios secantes, decompondo o intervalo [1,3] em 8 inter¬valos de mesmo comprimento, igual a l/4.

34 Aproximação por trapézios

Obtemos 8 trapézios. A área de cada um deles é igual a 1/8 (metadedo lado horizontal) vezes a soma dos lados verticais. Ora, os lados verticaisdesses trapézios têm medidas l/x,onde x — l,x = 5/4,x = 6/4 etc. Asmedidas dos 9 lados verticais são:

1 0,8 0,666 0,571 0,5 0,444 0,4 0,363 0,333.

* y

Figura 9 - Aproximação de H!j por trapézios secantes.

A área do polígono trapezoidal secante, igual à soma das áreas dos 8trapézios, vale portanto

i[(l+ 0,8) + (0,8 + 0,666) + (0,666+0,571)+

+ (0,571 + 0,5) + (0,5 + 0,444) + (0,444 + 0,4)++ (0,4 + 0,363) + (0,363 + 0,333)].

Esta expressão pode ser simplificada, resultando igual a

Ccçc<•V<r<w<rVQCCCÇ

V%cçfr

1'

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

£

oo

3

Cap.5

wm

Aproximação por trapézios 35

~[0,5 + 0,8 + 0,666 + 0,571+ 0,5 + 0,444 + 0,4+

4 410+0,363 + 0,166] = = 1,1025.

Se compararmos este resultado com a aproximação inferior, obtidano Capítulo 4, podemos escrever:

1,0198 < Área(//?) < 1,1025.

De modo análogo, podemos considerar, sobre cada intervalo [c,d] dadecomposição [a,6], o trapézio com base [c,d], dois lados verticais (cujoscomprimentos são, como veremos, irrelevantes) e cujo lado inclinado éa tangente à hipérbole tirada pelo ponto de abscissa [c + d)/ 2, a qualchamaremos de tangente pelo ponto médio. Esse trapézio será chamadoo trapézio tangente à hipérbole no intervalo [c,d], ficando subentendidoque essa tangente será sempre traçada pelo ponto médio do arco cd dahipérbole. (Veja a Figura 10.)

A área do trapézio tangente é

d — c2—-d + c

pois 2 /[d + c) é sua base média e d - c é sua altura.A reunião dos trapézios tangentes (relativos a uma decomposição

dada do intervalo [a, 6]) é o que chamaremos polígotw trapezoidal tan¬

gem1. à faixa ll\. Sua área é uma aproximação por falta da área .de.Hb11 a-

Mostraremos a seguir que a aproximação dada pelos trapézios tan¬gentes é melhor do que a dada pelos trapézios secantes.

Com efeito, em cada intervalo [c,d] da decomposição, ao aproximar-se a área da faixa de hipérbole II£ pela área do trapézio tangente, o errocometido é menor do que quando se aproxima a mesma área pela do

»5iWP

36 Aproximação por trapézios Cap.5

trapézio secante.

2Figura 10

Para convencer-se disso, considere a parte da figura acima compreen¬dida entre a tangente e a secante. Trace duas secantes auxiliares, AB e BC.A soma das áreas dos triângulos hachurados é igual

Figura 11

à soma das áreas dos triângulos não hachurados [= segmento vertical médiovezes (d — c)/2]. Logo a parte do trapézio secante que excede Hç tem áreamaior do que a parte que falta ao trapézio tangente para igualar Hç.Observação. Usando trapézios tangentes, a decomposição de [1,3] emoito subintervalos de comprimento 1/4 nos fornece a aproximação por falta

l*n* -5-0»para a área de J/f. Note que o valor dessa área com quatro algarismosdecimais exatos é 1,09S6.

■■r

OL>

Aproximação por trapézios 37i e >

eí*6L

t

<r<rtttC

wW

irVWir

j

*>ti#

0

JJ

]A

I

*✓

3

3

-í

44'4

\

•rt

IIIIIIlIIIII8Iai■BBIIIIIIIIII1■IBI

Jb —

i

Cap.5

Exercícios1. Seja A a área da faixa de hipérbole H%. Comparando-a com as áreas dotrapézio tangente e do trapézio secante, mostre que se tem

2(6 ~ a) . A .& -°2a + b < 2ab

Confronte este resultado com o Exercício 4.do Capítulo 6.2. Indique com A£ a área da faixa de hipérbole H%. Mostre que, para todox > -1 (isto é, tal que 1 4- x > 0), tem-se

2 <1 . Ai*x <2+x

2 + x x 1 2(1 -f x)(Compare a área da faixa de hipérbole H\+x com as áreas dos trapéziossecante e tangente.)

6. Propriedade fundamental

O fato mais importante a respeito das áreas das faixas de hipérbole éexpresso pelo teorema abaixo:Teorema 3. Seja qual for o número real, k > 0, as faixas //£ etêm a mesma área.Demonstração: Observemos primeiramente o seguinte fato. Dado umretângulo inscrito em H , cuja base é o segmento [c, d\ do eixo das abcis-sas, o retângulo inscrito em II e com base no segmento [ck,dk] tem

Yf v

Figura 12 — Os retângulos hachurados tém a mesma área.

w— .

Cop.6 Propriedade fundamental 39

mesma área que o anterior. Com efeito, a área do primeiro é igual a

(á-c)xi=l-í,enquanto a área do segundo é

(dk - ck) x -Jr- = 1- 3.dk d

Consideremos agora um polígono retangular P, inscrito em H\. SCmultiplicarmos por k cada uma das abeissas dos pontos de subdivisãode [a, 6], determinados por P, obteremos uma subdivisão do intervalo[a/c,6/c] e portanto um polígono retangular P', inscrito na faixa //?£.

Cada um dos retângulos que compõem P' tem a mesma área que oretângulo correspondente em P. Logo a área de P' é igual à de P.

Figura 13

Concluímos assim que, para cada polígono retangular inscrito em fí%,existe um inscrito em Hÿj- com a mesma área. Analogamente (dividindoabeissas por k) veríamos que, para cada polígono retangular Q' inscritoem Hÿ, existe outro Q , de mesma área, inscrito em H%. Isto significaque as areas destas duas faixas são números que possuem exatamente as

40 Propriedade fundamental Cap.6

mesmas aproximações inferiores, e portanto são iguais.

TTmn consequência deste teorema é one podemos restringir nossa con¬sideração às áreas das faixas da forma Hf, pois

Área(Hj) = Área{HhJa) = Área(Hf), c = b/a.Quando a < b < c, o leitor verificará, sem dificuldade que

Área(#£) 4- Área(i7£) = Área(tf£) (*)

A fim de manter a validez da igualdade acima para quaisquer a, b, creais, convencionaremos que

Área(//£) = 0 e Área(Hÿ) = -Área(//£).

Esta última convenção implica em considerar áreas negativas. AssimÁreaf/Zj) = -Área(Z/f) < 0. Isto contraria a tradição mas,em compensação, a igualdade (*) acima torna-se válida sem restrições. Pro-

Cap.6 Propriedade fundamental 41

vemos esta afirmação.

Figura 15

Por exemplo, s& c < a < b, temos

Área{Hbc) = Área(//“) + Área(jyJ).Daí segue:

Área(//£)ÿÁrea(/íc&) = -Área(//“),ou seja,

Área + Área(tf£) = Área(J/£). (*)

O leitor poderá demonstrar, do mesmo modo, a validez da igualdade(*) nos 4 demais casos, que são:

a<c<6, 6 < a < c, b < c < a, c < 6 < a.Mesmo que se tenha a = c, a = b, b = c, ou a = b = c, a desigualdade(*) ainda se mantém verdadeira. Isto é trivial, pois a = c, por exemplo,faz com que a igualdade se tome

Área(Ha) + Área(//£) = 0,

«Má

42 Propriedade fundamental Cap.6

o que é evidente. O leitor examinará os 3 demais casos.

Observação: O teorema que afirma serem as áreas de H% e iguaiscontinua válido mesmo com esta convenção de sinais. De fato, ainda quese tenha b < a, será também bk < ak pois k > 0. Portanto, se for b < ateremos

Área(Ha) = -Área(#£) =-Área(flgf) = Área{Hbakk).

Exercícios1. Sejam 0< a <bek>0. Prove que a faixa da parábola y = x2situada sobre o intervalo [ak, 6A:] tem área igual a k3 vezes a faixa situadasobre o intervalo [a, 6].

2, Defina uma função real de variável real /:R —> R pondo f(x) =area da faixa da parábola y — x2 situada sobre o intervalo [0,.r]. Adote aconvenção de que tal área é negativa quando x < 0. Mostre que a função /assim definida satisfaz à condição

f{kx)= k3 • /(x)

etfcbkk

btt%btbbbwwwbbbbbbbbbbbb<c<cbb

U

Cap.6 Propriedade fundamental 43

para todo Â: real. Seja a = /(l). Conclua que f(x) = ax3 para todo xreal. Usando o Exercício 3 do Capítulo 4, conclua que a = 1/3, e portantof(x) = X3/3 para todo x.

3. Quanto mede a área da faixa daparábola y = X“ situada sobre o intervalo[2, 3]? Mesma pergunta para um intervalo qualquer [a, b],4. Mostre que, se a < 6, então a faixa H£ da hipérbole y = l/x tem umaárea A que satisfaz às desigualdades

n a A b1 —T < A <--1.o a

5. Prove que a faixa HÿQ tem área maior do que 1 e menor do que 1,2.6. Para todo x >= 0, seja g[x) a área da faixa da “parábola cúbica” y = x3situada sobre o intervalo [0, $]. Prove que Q(X) = x4/4.

Logaritmos naturais 45f

7. Logaritmos naturais

Seja x um número real positivo. Definiremos o logaritmo natural dex como a área da faixa Hf. Assim, por definição, quando x > O,escrevendo ln x para indicar o logaritmo natural de x, temos:

ln x = Área(/íf ).

Lembramos que a convenção de tomar Área(i7f) < 0 quando

í!*fckk

eeçcctcwC;c<rV<rc-w%wwVCtVccV

■fl■IIIIIIIBII0IIIIIIIIIII

J

33

AA

)

a)

Oai

i

3J

)

)

_)

3i

I1JA

1 -L

Cep.7

0 < x < 1 será sempre adotada.

Figura 1S -Quando 0<x<1,lnxéa área da faixa hachurada, com o sinal menos.

Em particular, quando x = 1, ff* reduz-se a um segmento de reta,portanto tem área igual a zero. Podemos então escrever

In 1 = 0;Inx > 0 se x > 1;Inx < 0 se 0 < x < 1.

Não está definido ln x quando x < 0.O logaritmo one estamos definindo e, por alguns autores, chamado

logaritmo neperiano. Preferimos chamá-lo de logaritmo natural, mesmoporque o logaritmo definido por Napier tinha valores diferentes deste.Mais adiante, introduziremos outros logaritmos, inclusive os decimais.Exemplo. Calculemos um valor aproximado para In2. Subdividamos ointervalo [1,2] em dez partes iguais, por meio dos pontos de subdivisão.

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2.

—— ' j- -

r46 Logaritmos naturals Cap.7

Os valores de l/x quando x assume os onze valores acima são:

1 0,909 0,833 0,769 0,714 0,666 0,625 0,588 0,555 0,526 0,500.

Uma aproximação inferior para In 2 será fornecida pela área do po¬lígono retangular inscrito na faixa Hf, formado por 10 retângulos cujasbases medem 0,1 e cujas alturas são os dez últimos valores de l/z nalista acima. A área desse polígono retangular será portanto igual a 0,6685.Obtemos assim 0,6685 como um valor aproximado (por falta) dc ln 2.

Para ter uma aproximação por excesso do valor ln 2, consideraremosos 10 trapézios circunscritos à faixa Hf, determinados pela mesma sub¬divisão. A soma das dez áreas desses trapézios será igual a 0,6935, comoo leitor facilmente constatará.

Podemos então afirmar que ln2 é um número compreendido entre0,6685 e 0,6935. Em outros termos:

0,6685 < ln 2 < 0,6935

Comprovando que as aproximações trapezoidais são melhores do queas retangulares, informamos que o vaioi de lu2, com 4 algarismos uect-mais exatos, é 0,6931.

O leitor fica convidado a calcular a área do polígono trapezoidaltangente relativo à mesma subdivisão e verificar que sua área fomece umaaproximação (por falta) ainda melhor para ln 2.

Fica assim definida uma função real

ln:R+ -> R,

cujo domínio é o conjunto R+ dos números reais positivos.A cada número real x > 0, a função ln faz corresponder seu loga¬

ritmo natural, lnx, definido acima.Teorema 4. ln: R+ —» R é uma função logarítmica.Demonstração: Devemos mostrar que ln goza das propriedades A) e B)especificadas no Capítulo 3. Começaremos provando que

ln(xy) = lnx + ln y.rr#*'c

nr-HTTnt-TTT?rr*7,<rrr'IT-TT

<rrcr*™r«V

VAlV\>Vttti,VALU.UALiuii-

UV

Cap.7 Logaritmos naturais 47

Ora, já vimos acima que

Area(iffy) = Area(iTf ) + Area(tf£y),seja qual for a posição relativa dos pontos de abeissa 1, x, xy sobre o eixohorizontal. Já vimos também que

Área(#3y) = Área(iíf).(Vide Teorema 3, com x aqui desempenhando o papel de k.) Segue-scque

Área(iffy) = Área(íff) -hAreaÿ?),isto é,

ln(iy) = lnx + lny.

Em seguida, provaremos que ln é uma função crescente. Dadosx,y e R+, dizer que x < y significa afirmar que existe um númeroa > 1 tal que y = ax. Segue-se que

lny = lno + lnx.Como a > 1, temos lna > 0. 'Portanto lny > lnx. Isto completa ademonstração do Teorema 4.

Como vimos no Capítulo 3, as seguintes regras de cálculo com loga¬ritmos naturais (onde x, y são números reais positivos emgN) resultamdo Teorema 4:

ln(xy) = lnx + lny

ln(y) =-lny

ln(— ) = lnx — lny

ln(xrn) = m - lnxtn-ÇS-ÿ.

mSão estas fórmulas as responsáveis pelo interesse computacional dos

logaritmos, pois elas permitem reduzir cada operação aritmética a umaoperação mais simples. (Exceto, é claro, quanto à adição e à subtração.)

;f

. t• *i

• i

48 Logaritmos naturals Cap.7

Exemplo. Suponhamos que se deseje calcular -ÿ9. Temos

ln(</Q) = — .5

Pela tábua de logaritmos naturais (vide Apêndice), vemos que ln9 =2,1972. Portanto,

. ,s/-, 2,1972ln( V9) = -2-— = 0,4394.« O

O número procurado, \/9, tem para logaritmo natural 0,4394. Procurandona mesma tábua, vemos que ln(l,55) = 0,4383 e que ln(l,56) = 0,4447.Podemos então concluir que 1,55 é um valor aproximado (por falta) para</9. com dois algarismos decimais exatos.

Mais exemplos de cálculo com logaritmos serão vistos no Capítulo11.

Esboçaremos agora o gráfico da função ln.O gráfico de uma função real de variável real fé o subconjunto do

plano formado pelos pontos cujas coordenadas cartesianas são (x,/(x)),onde x varia no domínio de /.

Assim, o gráfico da função logaritmo natural é o conjunto

G = {(x,lna;); x > 0}.

O conhecimento do gráfico da função logaritmo natural permitiráque se tenha uma ideia global sobre o comportamento desta função. Paratraçá-lo, lembremos que ln, sendo uma função logarítmica, é crescente,ilimitada nos dois sentidos (superior e inferionnente) e sobrejetiva.

Estes fatos mostram que o gráfico de ln x é uma curva contida noprimeiro e no quarto quadrantes, a qual corta o eixo das abscissas noponto x = 1 e que, quando x varia entre 0 c +oo, a ordenada do ponto(z,lnx) sobre a curva cresce de — oo a -fco. Portanto, o gráfico de lnxtem a forma da Figura 20. Uma informação mais precisa sobre o aspecto

vV -lí

m —írT

£2

c-icI

CicI

Aw

*I

tfçt

Içir

34ddiiJiaidiJJJJJJJJdddddd

j

"Jddd

Cap.7 Logaritmos naturais 49

geométrico do gráfico é fornecida pelos Exercícios 14 c 15, a seguir.

Figura 20

Exercícios1. Dados In 2 = 0,6931 e ln3 = 1,0986, ache:

a) ln 6.b) ln 72.c) ln(2m X 3a).d) lnÿ.e) ln 0,666 • • •

f) lnv/Í2.2. Mostre que, se os números positivos ai, a2,*-- são termos deuma progressão geométrica, então Inai,lna2,lntf3,**- , 1naw foi mainuma progressão aritmética.3. Mostre que, para todo x > 1 tem-se:

In J = 2 ln(x + y/x2 -1).x — vx2 — 1

4. Mostre que para todo x > 0 e todo h > —x ( h racional, não-nulo)

- Ill .«. IIJ.IPT/.

r50 Logaritmos naturals Cap.7

tem-se:h(x + h)-lnx = ]n(1 + hy/k

h %

5. Mostre que, se y e a são positivos, então:

y , \/a2 +y7 — aIn-. = In--.

a + y/a2 + y2 V

6. Usando a tábua no Apêndice, achar valores aproximados de

lf/Õ$9 e (l,23)10

com 2 algarismos decimais exatos.

7. Dados os números reais positivos a, ò, exprimir a área da faixa dehipérbole //£ em termos de logaritmos naturais.8. Assinale a resposta certa:

Sc ln x = ln y, podemos concluir que x = y porque:a) Um número não pode ter dois logaritmos.b) A função ln é biunívoca.c) A função ln é contínua.d) Nenhuma das respostas acima: de \nx = Iny não se pode concluir

x = y, do mesmo modo como de sen x = sen y não se deduz x = y.9. Ache os valores reais de x que satisfazem cada uma das igualdadesabaixo:

a) 5 ln x + ln 3 = ln5.b) ln(x + 3) + ln x = ln 28.c) ln(a; -1- l) — lnrc = ln 3.d) ln(rr-l) + ln(x-f 2) = ln6.e) ln x =|• ln \/2 + - • ln2 — ~ • ln \/2 +|• ln8 —|• ln

10. Mostre que a soma

s', = 1 + 5 + 5 +'” + í

—

Logaritmos naturais 51Cap.7

é maior do que ln(p + 1) c conclua que limp— oo Sp = oo. Isto se escrevetambém assim:

. , 1 , 1 11 4* ~ H---H • • • H---h • • • = oo.

2 3 p

11. Mostre que, para todo inteiro p > 0, temos

0 <Sp- ln(p + 1) < 1

(onde Sp = l+l/2+ l/3H-----hl/p). Mostre também que Sp — ln(p-hl)cresce còm p, isto é, Sp - ln(p + 1) < Sp+l - ln(p + 2).Observação: O limite

7 = lim [Sp - In(p + 1)]p— OO r *

é chamado a “constante de Euler”. Até hoje não se sabe se 7 é racional ouirracional. Um valor aproximado para a constante de Euler é 7 = 0,5772.

Conclua que, para valores muito grandes do inteiro p, a expressão, 1 . 11 + - -b----b-- -7,

& P — 1

é uma boa aproximação para Inp.12. Determine o valor de x em cada uma das equações abaixo:

a) ln x = ln(a -6) + ln(a + 6).b) ln x = 3 • ln a — 4 • ln 6 + 5 • ln c.c)|• ln r + 2 • ln 5 =|• ln t3 + ln x.

13. Assinale abaixo as afirmações certas e as erradas:a) ln N = -ln-ÿ.b)* y/ã =|• lna.c) (lnx)G = 6 • Inx.(W ln — 1» a+2-ln b' ljl

C - ln C

e) ln(zy)3 = (Inx -b lny)3.f)|= lnp-\nq.

wsm

-52 Logaritmos naturals Cap.7

g) x3 = 3 • ln X.

h) 31n(lnx) = ln(lnrr)3.i) lnJV = |ln(7Va/6).j) ln(a3 + 64) = 3 • ln a + 4 • ln b.k) ln(sec 9 — tan 0) = — ln(scc 9 + tan 9).1) 5 -lna 4-|-lnb2 — £ -lnc= -ln2ÿ.

14. Sejam a < x < b números positivos. Examinando a figura prove quese tem:

, , . . b-x x-alno — lna:<- e lnrr— Ina >-.x xConclua daí que

ln b — ln x b — x---— <- e queln x — ln a x — a

ln ô — lna b — alnx — lna — x — a

15. Uma função /: I ->E, definida num intervalo I, chama-se côncavaquando para quaisquer pontos a, b em I, com a < b, a parte do gráfico de/ situada sobre o intervalo [a,b] está acima do segmento de reta que une ospontos (a, /(a)), (b, f(b)) no plano. Prove que / é côncava se, e somentese, para quaisquer a, b, x em I, com fi < x < b, tem-se

/(*)> /(a) + |5ÿ[/(6) -/(<ÿ)].

Figura 21

Conclua, usando o exercício anterior, que a função ln x é côncava.16. Prove que /: (1, -foo) —► K, definida por f(x) = ln ln x> é côncava econclua que lna/ ln b < ln 6/ ln c se1 <a<ò<cec— ò = ò-a.

m*v***mm ~ ----— ▼

54 O número e Cap.8

r

Vê-se imediatamente que e > 1, pois os números reais positivosmenores do que 1 têm logaritmos negativos.

Lembrando o significado geométrico dos logaritmos naturais, vemosque a faixa H[ tem área 1.

Vimos, nos Capítulos 5 e 7, que a faixa Hl tem área menor doque 1, enquanto que //f tem área maior do que 1. Em outras palavras:ln 2 < 1 < ln 3. Concluímos daí que 2 < e < 3, ou seja, que o númeroe está compreendido entre 2 e 3.

Pode-se demonstrar que o número e é irracional. Portanto, seu desen¬volvimento decimal não termina nem é periódico. Um valor aproximadode e, com 12 algarismos decimais exatos, é:

e = 2,718281828459.

Teorema 5. Seja r = p/q um número racional. Tem-se y = cr se, esomente se, ln y = r.Demonstração: Se y = er, então lny = r ■ lne = r, pois lne = 1.Reciprocamente, seja y > 0 um número real tal que lny = r. Comoln(er) = r e ln é uma função biunívoca. concluímos qnc y = e? .

Assim, pelo menos para potências de expoente racional de e, o loga¬ritmo natural de um número é o expoente ao qual se deve elevar a base ea fim de obter esse número.

Exercícios1. Dado ln2 = 0,6931, ache:

a) lnl6.b) lnc) ln |f.d) lnÿf.e) lnÿp.

0 ln {fh-

Cap.8 O número e 55

kkkkktí

tr<rl

ri

Oi

1 3

J

z)

j

ZJ3

“ z)%

•; 3: J

- s

tJr 7

r;

*-2»

2. Qual é a área da faixa de hipérbole Hf, onde x = 1,359140914229?3. A faixa de hipérbole Hf tem área igual a 5. Qual é o valor de xl

——

9. A função exponencial

Motivados pelo Teorema 5, definiremos agora a potência ex (lê-se “eelevado a x"), onde x é um número real qualquer.Definição. Dado o número real x, ex é o único número positivo cujologaritmo natural é x.

O Corolário do Teorema 2 assegura a existência de ex, c sua unici¬dade.

Geometricamente, y = ez c a abscissa que devemos tomar para quea faixa de hipérbole H\ tenha área x.

Yt \

d

d

4

di

JJ. >

%

y

J

A função exponencial 57

Vc-se que ex > 0 para todo x, que ex > 1 quando x > 0 e que1 ---_ - «ez < 1 quando x < 0.

A equivalência abaixo é a definição de ex:y = ex <=> i = ln y.

Em virtude do Teorema 5, quando x = p/q é um número racional, onúmero y cujo logaritmo é x c precisamente y = ‘ifeP. Logo, para x =p/q racional, a nova definição de ez coincide com a usual: eP/l = 3/eP.Em particular, para n > 0 inteiro:

en = e • e ■ ... • e; [n-fatores ),

e~n = ,n

Por outro lado, agora tem sentido tomar ex, mesmo com x irracional.Por exemplo, e é simplesmente o número y > 0 tal que a área de H\vale \[2.

Figura 24 - A área da faixa hachurada mede \J 2.

Todo mundo sabe que \fl vale aproximadamente 1,414. Para acharum valor aproximado de e'A basta procurar na tábua de logaritmos natu¬rais (vide Apêndice) o número cujo logaritmo mais se aproxima de 1,414.Encontramos:

In 4,14 = 1,413 e ln4,12 = 1,416.

Segue-se que4,11 < < 4,12,

sendo a aproximação por falta, 4,11, melhor do que a aproximação porexcesso, 4,12.

Enquanto ln x tem sentido apenas para x > 0, ex é definido paratodo valor real de x. A correspondência x H-> ez define uma função cujodomínio contém todos os números reais. Esta é a função exponencial.

A função exponencial y = e2 c a função inversa da função logaritmonatural. Isto quer dizer que as igualdades abaixo são válidas para todo xreal e todo y > 0:

ln(ez) = x; elny=y.Assim, se a função exponencial transforma o número real x no

número real positivo ex, a função logaritmo natural transforma cx devolta em x. Reciprocamente, a função exponencial leva ln y em y.

A primeira das igualdades acima é simplesmente a definição de e2:é o número cujo logaritmo é x. Quanto à segunda, ehl y é o número cujologaritmo é igual a ln y; ora, tal número só pode ser y.

A propriedade fundamentai da lunçao exponencial e dada pelo teo¬rema seguinte.Teorema 6. Para todos os números reais, x, y, tem-se

ex ■ ey = ex+y.

Demonstração: Como ln é uma função logarítmica, temos:

ln(ez • ey) = ln(ez) + ln(ey) = x + y.

Assim, ex -ey c o numero real cujo logaritmo natural é igual a x-f-y.Por conseguinte, e2 • = ex+y.Corolário. Para todo número real x, e~x = l/e2.

Com efeito, sendo evidente que e° = 1, podemos escrever, em virtudedo Teorema 6: e~x -ex = e~x+x = e° = l.

Por conseguinte, e z = l/e2. ~oTTTTcrrrToo-o'-r-c

-c'-d'd-d'd'-d-rr-cT-rrirT-TÿfrÿCap.9 A função exponencial 59

Teorema 7. A função exponencial y = ex é crescente e assume todos osvalores positivos quando x varia entre -oo e +00.Demonstração: Para mostrar que a função exponencial é crescente, sejam

números reais, com x < y. Como x = ln(ez) c y = In(eÿ), nãopodemos ter ez = eÿ, pois isto acarretaria x = y. Nem podemos ter

< ex porque então seria lnÿ) < ln(ez), ou seja, y < x. Assim,quando x < y, deve-se ter ex < cy,

Para provar que os valores ex incluem todos os números reais posi¬tivos, consideremos um número.real qualquer a > 0. Tem-se eln a = a,logo a é o valor que a função exponencial ex assume quando x = ln a.

• •Observação. Tem-se lim ez = +oo e lim ez = 0.

X— ♦-foo X— * — oo

Vejamos o primeiro limite. Quando x > 0, a faixa de hipérboleHl , cuja área vale x, esta contida no retângulo de altura 1, com baseno segmento [l,ez]. A área deste retângulo vale ez — 1. Segue-se quex < ez — 1, ou seja:

ez > 1 + x, para todo x > 0.

É imediato, então, que limz_0 ez = c».

60 A função exponencial Cap.9

Quanto ao segundo limite, escrevemos y — —x. Então:

lim ex = lim e * = lim — = 0Z—-00 y— oo y— °° ey

pois quando cresce infinitamente, seu inverso l/ey deve tender parazero.

Tracemos agora o gráfico da função exponencial. Ele é o subconjuntoE do plano, formado pelos pontos cujas coordenadas cartesianas são(x, ex). Ou seja:

.E = {(z,y);y = ez}.Comparemo-lo com o gráfico G da função logaritmo natural. Temos:

G = {(u,v);u > 0,v = lnu).Podemos então afirmar:

% • + é

(r.?/l pertence a K0

■y = ex0

x = ln y

(y, x) pertence a G.

Em outras palavras, o ponto (x, y) está no gráfico de ex se, e somentese, o ponto (y,x) pertence ao gráfico da função logaritmo. Que significaisto, geometricamente?

A diagonal do plano é a reta formada pelos pontos [x,x) que têmabscissa igual à ordenada. Dado um ponto qualquer (x,y) no plano, oponto (y,x) é o seu simétrico em relação à diagonal, ou seja, é o lugaronde o ponto (x, y) vai cair quando se dobra o plano em torno da diagonal.Para convencer-se disto, basta notar que os pontos (x,x), (x,y), (y,y) e(y,x) são os vértices de um quadrado. A reta y = x c a mediatriz do

è

A função exponencial 01Cap.9 *

■ ■

Cap.962 A função exponencial

segmento cujos extremos são (x,y ) e (y,x) porque as diagonais de umquadrado são perpendiculares e se cortam mutuamente ao meio.

Vemos então que os pontos do gráfico E da função exponencial sãoos simétricos dos pontos do gráfico G da função logaritmo, em relaçãoà diagonal. Para obter E, basta dobrar o plano em tomo da diagonal eobservar onde vão parar os pontos de G.

Exercícios1. Por que se pode assegurar que existe um número y > 0 tal que a faixade hipérbole H\ tem área igual a 7r? Quantos números y existem comesta propriedade? Qual a relação entre y e o número e?2. Sabendo que 1,732 é uma aproximação de \/3 com 3 algarismosdecimais exatos, calcular o valor de com 2 algarismos decimais exatos.Usar a tábua no Apêndice.3. Para todo x > 0, mostre que se tem

, x"'2e* > 1 + x + —.

*1

4. Dado, a > 0, determinar x tal que a faixa de hipérbole tenha áreaigual a um número real b dado.5. Simplifique elnC, e21nC, e31n2.

10. Outras bases

Seja k uma constante positiva. Em vez de y = l/x, podemos considerara hipérbole y = k/x para definirmos logaritmos. Para cada valor dek escolhido, temos um novo sistema de logaritmos. Evidentemente, aescolha mais natural é k = 1, por isso os logaritmos que vimos estudandoaté agora'chamam-se naturais.

Dados dois pontos de abscissa a e 6 no eixo dos xt indiquemos comH[k)a a faixa da hipérbole y = k/x compreendida entre as retas x = ae x = 6. Quando k = 1, continuaremos a indicar com H % a faixa dahipérbole y = l/x situada entre as retas x = a e x = 6.

Figura 28 - A área da faixa H(2)g é o dobro da área de Hg

Afirmamos que a área de H[k)baé igual a k vezes a área de Hb.Com efeito, dado um segmento (c, d] contido em [a, 6], um retângulo

de base [c,d], inscrito na hipérbole y = l/x, tem altura l/d,enquanto queum retângulo de mesma base, inscrito na hipérbole y = k, tem altura k/d.Logo a área do segundo é k vezes a área do primeiro. Toda subdivisão dointervalo [a, ò] determina dois polígonos retangulares, um inscrito na faixa

Hbat o outro inscrito na faixa H (/c)£. Segue-sc que a área cio segundo ék vezes a área do primeiro. Concluímos que

Área de H(k)ba=kx Área de

pois são dois números reais com as mesmas aproximações inferiores.Fixada a constante k > 0, introduzimos um novo sistema de loga¬

ritmos, pondo, por definição, para cada x > 0:

logx= Área de H(k)f.

Como acabamos de ver, isto equivale a dizer:

logre = k • \nx.

A base do novo sistema de logaritmos é o número a > 0 tal que log a = 1.Por conseguinte, a base a fica caracterizada pela propriedade k • In a = 1.Em outras palavras:

1 a = e'!k.k = In a ’

A notação para o logaritmo dc base a de um número x > 0 6:

loga l.

Da maneira como definimos, loga x é a área da faixa da hipérboley = l/(i-ln a) compreendida entre 1 e x. Esta definição é, como vemos,complicada. Melhor será simplesmente recordar que:

, ln xlo6a Z = — ,ln a

sendo a base a > 0 caracterizada pelo fato:

l°ga a = !•

Cap.10

tt***èccCrVc<cttetecc

iii444

Outras bases 65•

Observação. Qualquer número real positivo a poderia, em princípio,ser tomado como base de um sistema de logaritmos. Mas, como fizemosno começo a hipótese k > 0 (onde k = l/lna), estamos considerandoapenas logaritmos cuja base a é maior do que l, pois a = e1/ÿ. A relaçãologa x = lnx/ lna poderia servir de definição de loga x mesmo quando0 < a < 1, notando-se apenas que, neste caso, como ln a < 0, os númerosentre 0 e 1 terão logaritmos positivos, enquanto os números maiores do que1 terão logaritmos negativos. Quando 0 < o < 1, podemos por 6 = l/a.Então serão b > 1 e loga x = — logj x. Assim, não há necessidade deestudar logaritmos com base < 1. A rigor, se considerarmos 0 < a < 1então loga x serÿ uma função decrescente, logo não se inclui na definiçãoque demos para função logarítmica.Para cada a > 1, a função real loga:R+ —> R, definida para todox > 0, é uma função logarítmica. Isto decorre imediatamente da relaçãologa x — ln x/ ln a. Com efeito,

InÍTÿ

\nx + lnylna

lnzi

lnylna in a

= loga x + loga y-

Em particular, como vimos no Capítulo 3, vale a fórmula de mudançade bases:Sejam a e b números maiores do que 1. Para todo x > 0 tem-se

iog6 x = ioga x • ‘°K6 a •%

Exemplo. Fazendo a = 10 e 6 = e, temos Inx = log10x • ln 10,ou seja, para obter uma tábua de logaritmos naturais basta multiplicartodos os logaritmos de uma tábua de logaritmos de base 10, ou logaritmosdecimais, pelo número ln 10 = 2,3025. Caso não se saiba o logaritmonatural de 10, basta lembrar que ln 10 = l/ logl0 e. Com efeito, a fórmula

——

de mudança de bases fornece, para x = fc, a igualdade

loga 6 • logj a = 1, ou seja, loga6 = j~ÿ-

A regra de cálculo ln(ar) = r • lna é válida para todo a > 0 er = p/q racional. Até o momento, não tem sentido escrever ax para xirracional. Devemos definir ax de tal maneira que a fórmula

in(az) = x • lna

continue verdadeira. A melhor maneira de fazer isto é usar essa fórmulacomo definição de ax. Como? Simplesmente dizendo que ax é o úniconúmero real positivo cujo logaritmo natural é igual a x • ln a.Definição. Dados a > 0 e x real qualquer, a potência ax (lê-se “aelevado a x”) é o único número real positivo cujo logaritmo natural éigual ai-lna.

Quando x é racional, digamos x = p/ç, ç > 0, o número realpositivo Ç/aP tem logaritmo natural igual a p/ç • lna, ou seja, x • lna.Por conseguinte, a definição que demos para ax coincide com a costumeirano caso de x racional.

Agora que aL está definido, calculemos seu logaritmo num sistemade base b > 0 qualquer. Temos:

log6(fl2) = ln(o2)ln b = x ln a

ln b = x ■ log6 a.

£eeCrQ

Cr<rttc<*

£CrççcV

A3

óó

-V

—*■¥33

Conclusão:!°g&(az) = x- log6c.

A fórmula que serviu de definição de a2, dada cm termos de loga¬ritmos naturais, é portanto válida para logaritmos quaisquer.

Em particular, para 6 = a, vem:l°ga(aZ) = z*

Por conseguinte, o logaritmo de um número y = ax c o expoente xao qual sc deve elevar a base a a fim dc obter o número y dado. Recaímosassim na definição tradicional de logaritmo.

~

Cap.10 Outras bases 67

A fórmula ln(a2) = x • ln a nos diz que xAnaéo expoente ao qualse deve elevar o número e a fim de obter ax. Ou seja:

ax=ex]na.

A função exponencial de base a, que associa a cada x real a potênciaa , tem propriedades inteiramente análogas às já demonstradas para aexponencial natural ex. Por exemplo, vale:

Para demonstrar este fato, basta observar queloga (a2 * ay) = loga(a2) + loga(ay)

eloga(a2+y) = x + y.

Portanto, os números ax • e têm o mesmo logaritmo na basea. Concluímos que ax • aV = ax+V.

Uma propriedade adicional da potência ax é a seguinte:

(ax)y = axy.

Para demonstrá-la, tomemos logaritmos. Vem:loga[(a2)y] = y • loga(az) = xy\ loga(aIy) = xy.

Por conseguinte, (ax)y = axy.Quando a > 1, a função x >-> ax é contínua, positiva, crescente, com

limz_*00 ax = ooe limzÿ a2 = 0.Quando 0 < a < 1, então x ax c ainda contínua e positiva mas

é decrescente, valendo neste caso:

Hm ax = 0 e lim ax = co.X—*co Z-+-OQ

Observando o gráfico de uma função exponencial y = ax (com a >1), nota-se um fato característico relacionado com a variação desta função.Para valores negativos de x ela cresce muito devagar mas, à medida que xtoma valores positivos maiores, y = ax cresce cada vez mais rapidamente.

y 1 n.iwSP

68 Outras bases Cap.10

Devido à propriedade ax ■ = ax+ y, quando

x = c, c + r, c + 2r,... etc.

assume valores numa progressão aritmética, entãoy = ac, ac • or, ac • (ar)2,... etc.,

varia numa progressão geométrica. Uma explicação mais completa des¬tes fenômenos de crescimento exponencial e crescimento logarítmico serádada no Capítulo 13.

Exercícios1. Indique duas razões pelas quais não se pode definir loga x com basea = 1.2. Sejam a,x,y números reais positivos, com a > 1. Prove

a) loga x + log l/ax = 0.

b) loSa(f ) = i°ga x = i°oa !/•c) logo x = logo y implica x-y.d) Se 1 < 6 < a, então loga x < logj, x.e) Se G > b > 1, então logj a > 1.

3. Sejam a, b, c números maiores do que 1. Mostre quelogo b • logj c - log,, a = 1.

4. Em que base o logaritmo de 5 é igual a 2?5. Ache cada um dos logaritmos abaixo:

a) logjo 0,1.b) logxo 0»01.o) log27 3.d) log27 9.e) log8 16.

0 log46. Para quais valores de x valem as igualdades abaixo?

I

Sr

IWwww✓wwvccc

ò343m

3Jí

3444444444■44'444'-4'444

J44

C- &fc

Cap.10 Outras bases 69

a) logz 16 = 2.b) logz 125 = 3.c) logz y/3 = i.d) log4 x = -4.e) log8 x = §.f) logvÿz = 4.

g) logl0 100 = x.h) log2 0,5 = x.i) logys 25 = x. -j) Iog10(z2 + 36) = 2.k) log10(x- l)2 = -2.1) log2[log4(log10z)] = -1.

m) log4[log7(log3z)j = -1.n) log10[log2(logz 25)] = 0.o) log2[log2(log2(16)] = x.

7. Indique sc é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:a) log3 27m — 3m.b) >og8 = “é-c) log8 2Tl = §•

d) loglc v/2 = jC.8. Dado um número positivo x 1, calcule xl/ln2.9. Se x e a são números positivos, com x 1. calcule rhia!hxX.10.- Seja /: R —> R+ uma função crescente tomando valores no conjuntoR+ dos números reais positivos, tal que f[x + y) = f(x) • f(y) paraquaisquer números reais x, y. Prove que existe um número a > 1 tal quef(x) = ax para todo x real.

• 'A•\ %noiBHH_

70 Outras bases

11. Para cada n > 0, mostre que

— loon = 3.

Cap.10

}t

I

i

*1%r1r'cn«rcccQrGr&

ccccc<ç

I

<*.

i(ír

O

OO33Q

O-5

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O3

233

3O333J

3

11. Logaritmos decimais

A fim de efetuar operações aritméticas, (antes do advento das calculadoras)o sistema de logaritmos mais frequentemente utilizado era o de base 10,isto é, logaritmos decimais. A vantagem de empregá-los resultava deadotarmos o sistema decimal de numeração. O presente capítulo, cujaleitura pode ser omitido sem prejuízo para o entendimento dos seguintes,contém uma exposição detalhada de como usar os logaritmos decimaisnos cálculos aritméticos.

Neste capítulo, usaremos a notação log para indicar log10. Assimsendo, escreveremos Ioga;, em vez de logl0a;. Como se sabe, a relaçãoentre logaritmos decimais e logaritmos naturais é dada por

Ina;log x = --, para todo x > 0.

In 10

Cientistas e engenheiros, a fim de terem facilmente uma idéia daordem de grandeza dos números que utilizam, costumam representar todonúmero positivo x sob a forma

x = a x 10n,onde 1 < a < 10 e n é um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

Por exemplo:145,3 = 1,453 x 10“

0,001453 = 1,453 x 10-3

i

Dado um número positivo x = a x 10rt, escrito sob a forma acima,temos Ioga: = Ioga + log(l0n). Como estamos usando logaritmos de

I72 Logaritmos decimals Cap.11

base 10, temos log(lOn) = n e portanto:

log x = log a + n

Sabemos que 1 < a < 10. Portanto, Ioga é um número compreen¬dido entre 0 e 1 (podendo ser igual a zero). Assim: se x = a x 10n, com1 < a < 10 e n inteiro, então:

logs = Ioga + n, com 0<loga<l.

Nestas condições, chama-se:log a = mantissa do logaritmo de s,

n = característica de log s.

Portanto,log x = característica + mantissa.

A mantissa é sempre um número compreendido entre 0 e 1, podendoser igual a 0 mas não igual a 1. A mantissa nunca é negativa (*). Acaracterística de logs é um número inteiro (positivo, negativo ou zero),o qual pode ser imediatamente encontrado pela posição da vírgula nodesenvolvimento de s como lração decimal. Por exemplo,

log 145,3 = log 1,453 + 2

log 0,001453 = log 1 ,453 - 3.

Vemos que se s e y são números decimais que diferem apenas pelaposição da vírgula, então logs e logy têm a mesma mantissa.

Para achar logs numa tábua de logaritmos, basta procurar a mantissa,a qual é o logaritmo decimal de um número compreendido entre 1 e 10,isto é, 1 < a < 10. Assim, as tábuas de logaritmos decimais só precisamtrazer os logaritmos dos números maiores do que 1 e menores do que 10.

No Apêndice apresentamos uma pequena tábua contendo os loga¬ritmos decimais dos números de duas casas decimais, desde 1,00 até9,99. Os valores dos logaritmos são indicados na tábua com 4 alga¬rismos decimais (isto c, com aproximações até décimos milésimos). SãoC ) A palavra manlissa significa contrapeso.

-4

Cap.11 Logaritmos decimais 73

frequentemente encontrada» outras tábuas mais precisas, em que se daoiogartaos do, .STS” 4 oo mais algansmos daemons. E c aroque tábuas assim mqucicm „m número maior dc paginas. (A nossa lemapenas duas.)Exemplo: Seja x = 45,3 = 4,53 x 10. Então

log 45,3 = log 4,53 + 1-

Procurando na tábua do Apêndice, achamoslog 4,53 =0,6561.

Portanto, log 45,3 = 1,0501.Vemos que, sc x c um número não inferior a 1, isto é, x > 1, então acaracterística dc log parte inteira do número decima log x, enquan oque a manlissa é a parte fracionaria dc leg x.Outro Exemplo: Seja determinar log 368. lemos 368 - "• x ■

Procurando em nossa tábua, achamos log 3,68 = 0,5658 (mantissa c

log368). A característica c 2. Logo

log 368 = 2,5658.

Consideremos agora o caso de um número positivo x menor do que1, ou seja, 0 < x < 1.

Por exemplo: Calcular log 0,00453. Temos

0,00453 = 4,53 X 10"3.Assim, a mantissa é log 4,53 = 0,6561; enquanto a característica é -3.Portanto:

loiro nnisn — n asm - 3.ti • I

O resultado final seria, portanto, log 0,00 153 = -2,3439. Nos cálculosnuméricos, entretanto, é mais conveniente manter todas as partes Ira-

cionárias positivas, c então escrevemos:log 0,00453 = 3,6561.

Isto significa apenas que log 0,00453 = -3 + 0,6561.

74 Logaritmos decimals Cap.11

r

Outro Exemplo: Determinar log 0,0368. Então, 0,0368 = 3,68 x 10~2,donde

log 0,0368 = log 3,6 -2.

Finalmente, log 0,0368 = 2,5658.Interpolação linear : Determinemos o logaritmo de 4,537. A carac-terística é zero, de modo que log 4,537 é igual à sua própria mantissa.Se nossa tábua de logaritmos fosse maior, poderíamos obter log 4,537por mera inspeção da tábua. Contando apenas com a tábua que está noApêndice, o melhor que podemos achar é log 4,53 = 0,6561 e log 4,54 =0,6571. Como 4,53 < 4,537 < 4,54, sabemos que log 4,537 está com¬preendido entre 0,6561 e 0,6571.

Para encontrar uma aproximação razoável para o número procurado,utilizamos o método conhecido como interpolação linear, o qual consisteem supor que, entre os pontos de abscissas 4,53 e 4,54, o gráfico dey = log x é uma linha reta. Evidentemente isto não é verdade, mas o errocometido será bem menor do que se tomarmos simplesmente log 4,53 oulog 4,54 como se fosse log 4,537.

Traçando um segmento de reta que substitui o gráfico de y = logxentre x = 4,53 e x = 4,54, vemos que o valor aproximado de log 4,537

*

rCtr m 3

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\t\t* i■i1 ú'd1 óô6dò

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Cap.11 Logaritmos decimais 75

pode ser obtido através de uma semelhança de triângulos. Será melhor,porém, deduzir uma expressão geral para a interpolação linear.

A figura acima mostra dois triângulos retângulos semelhantes quefornecem:log b — log a y — log a

donde:b - a

y = log a + [x - a)

x — a

log b — log Q

b — aO nur.ic.o j o a aproximação uc Jú ubíiud pui iiucipoiayau li¬near. Usando o símbolo « para indicar valor aproximado, encontramos aseguinte fórmula de interpolação linear:

I , . , Jog6- log alog x zs log a + (x — a)---.O 1 CL

Na fórmula acima, supõe-se a < x < 6.

m

76 Logaritmos decimais Cap.11

Voltando ao nosso exemplo, temos

log 4,537 w log 4,53 + ®ÿ(log4,54- log 4,53)

= 0,6561+ 0,7 X 0,001= 0,6561+ 0,0007= 0,6568.

Em seguida, daremos quatro exemplos de como calcular produtos, quo-.cientes, potências e raízes por meio dos logaritmos decimais.Multiplicação. Calcular o produto

x = 6051 x 45,02 x 0,0786.

Sabemos que

log x = log 6051 + log 45,02 -f log 0,0786.

Utilizando nossa tábua de logaritmos e o método da interpolação linear,obtemos

iog ouoi = 3,7slu

log 45,02 = 1,6534

log 0,0786 = 2,8954.

Somando estes logaritmos, obtemos:

log x = 4,3307.

Portanto, o produto procurado, x, c o número cujo logaritmo decimalé 4,3307. Em outras palavras, x = IO'1'3307.

Às vezes se chama a potência 10a o antilogaritmo do número a. Exis¬tem tábuas que fornecem diretamente os antilogaritmos decimais. Mas, senão as temos, procuraremos o número x cujo logaritmo é 4,3307 usandoapenas a nossa tábua e o método de interpolação linear. Evidentemente,temos x = u x 104, onde logu = 0,3307. Procurando na tábua, encon¬tramos

log 2,14 = 0,3304 e log 2,15 = 0,3324.

-r

r

•

'i

Logaritmos decimais 77

•*>

3

4144Íd45ri-4J4J

/t*J

■ 'J3f4

•H

4d- -

Cap.1i

Assim u é um número compreendido entre 2,14 e 2,15.

A semelhança dc triângulos fornccc:u - a y - log a

dondeb — a log b - loga

b — au ~ a !• (y Ioga) log b — log anos dá um valor aproximado para u = antilog(y):

b- aantilog(y) « a 1 (y - Ioga) log 6- log a

quando log a < y < log b.No nosso caso paiitcuiar, a - 2,li, o = 2,15 e y = 0,3307. Por

conseguinte:... -nn?- o M , °i0003 x 0,01antilog 0,3307 sr 2,1 1 f- --1— = o 1410,0020 ’

Concluímos que 0 produto, x, procurado é:

X = antilog -4,3307 = 10" x 2,141 = 21410.

78 Logaritmos decimals Cap.11Cap.1i Logaritmos decimals 79

Divisão. Determinemos o quociente53,18

x =-.328,5

Temos logx = log53,18 - log 328,5.Usando nossa tábua de logaritmos e o método da interpolação linear,obtemos:

log 53,18 = 1,7257 e log 328,5 = 2,5166.Como devemos sempre manter as mantissas positivas, subtrairemos semprea menor parte decimal da maior, compensando o resultado com uma parteinteira negativa. Assim, temos: -

log x = 1,2091

Explicação:log x = (1+ 0,7257) - (2 + 0,5166)

= (1- 2) + (0,7257 - 0,5166)= -1+ 0,2091= 1,2091.

Portanto, nosso quociente é o número:

x = antilog1,2091.Sabendo que x = u x 10-1, ou x = u/ 10, onde 1< u < 10 c logu =0,2091.

Examinando nossa tábua, encontramos\

log1,61= 0,2068 e log 1,62 = 0,2095.

Por interpolação linear, obtemos o valor aproximado:0,0023 x 0,01

antilog0,2091= 1,61+ Q

Portanto, o quociente procurado é aproximadamente

x- 0,1619.

Potenciação. Calcular a potência

x = (1,12)“.

= 1,619.

PPPP9f99

Temoslogre = 20 X log 1,12 = 20 X 0,0492 = 0,9840.

Portanto: x = antilog 0,9840 « 9,638.Radiciação. Determinar x =

Então:log a: =

log 19697

0,4806,portanto: x = antilog0,4806 « 2,955.

Entre os cálculos aritméticos mais simples, era na extração de raízese, mais geralmente, na avaliação <le potências com expoentes reais (ouinteiros muito grandes) que os logaritmos se mostravam mais úteis. Comefeito, não existia algoritmo mais eficaz para calcular, por exemplo, a raizsétima de um número com aproximação de milésimos.

A existência das calculadoras eletrónicas fez deste capítulo uma pági¬na da História, passada a qual as funções logarítmicas têm sua importânciamatemática reconhecida pelas propriedades intrínsecas de que gozam, nãocomo mero instrumento de cálculo aritmético.

ExercíciosA notação log aqui significa Iog10.

1. Ache a característica e a mantissa dos seguintes logaritmos decimais:a) log 2.b) log 30.c) log 250.d) log 0,45.e; log

f) log 138,4.g) log0,312.h) log0,0539.i) log0,001078.j) log 328.000.000.

i

80 Logaritmos decimals Cap.11

2. Ache os seguintes antilogaritmos:a) antilog0,8722.b) antilog 2,4843.c) antilog1,6693.d) antilog 2,7388.e) antilog 4,2201.f) antilog 1,4814.g) antilog 4,7360.h) antilog1,6565.i) antilog 5,6076.j) antilog 3,9924.

3. Efetue o cálculo aproximado, por meio de logaritmos decimais:a) 795 x 473 x 0,982.b) 7re.

x r .-\ i

d) 3500.e) V&.

4,014 x 0,372' 686,5. 688,5 X 7922E> —2,18) ■

M r/1,414 x 1,732 X 4.812vÿl.234 X r/8.765

i) 179 X 165 X 138,2 x 96,01.4. Resolva as seguintes equações:

a) 213z = 5164-2.b) x'°sx - 3.c) logx2 = (logx)2.

L

Logaritmos decimais 81■ jI >

!■ •>■ 3« í’■ J« vI V

r i íf l5Ç 1 5ç 1 Jç 1 J* l 3P i

‘ iic

cV

:

*(r

ttcçí

3

i

'JJ

Cap.11

d) log x = 2 log y/2.e) io3z+x = 417)3f) 172"2 = 8,12.

5. Quantos algarismos tem o número 521-000?6. Prove que né um número inteiro com 35 algarismos e zy/n é tambémum numero inteiro, então \J/n = J3. •

---------i

12. O número e como limite

A definição tradicional de e faz-se pondo:

e =.lim (1 + —)”.ri— oo **

A expressão acima significa que, fazendo sucessivamenten = as potências

1, (1 + i)2. (i + i)Mi+j)‘. -aproximam-se cada vez mais de e, podendo a diferença e-(l-H/n)n (quec nm número pncirivo> tom*r-cc *?o pequena quanto s? dcrcj?, bastr.ndopara isso que se tome n suficientemente grande.

Mostraremos a seguir que esta expressão de e como limite é umaconsequência da definição que demos no Capítulo 8.

Na realidade, provaremos mais.Sabemos o que significa uma potência de expoente real de um número

positivo. Assim, para todo número x 0 (inteiro, fracionário ou irracio¬nal), podemos considerar a expressão (1 + l/x)z. Mostraremos que,tomando valores muito grandes para x, podemos fazer o valor desta ex¬pressão aproximar-se tanto de e quanto desejemos. Em outras palavras,provaremos que

lim (1+ ~:)x — e (zÿo).2—00 X

Pondo y = l/x (onde x 0), temos x = l/yex-*ooéo mesmoque y —> 0. Portanto, demonstrar a validez do último limite equivale a

Cap.12O número e como limite 83

provar que

Hm(l + y)l/y = e (yjí 0).Demonstraremos, portanto, o teorema abaixo.Teorema 8. Para x 0, tem-se limx_0(l + x)l/x = e.Demonstração: Suponhamos primeiro que x > 0.

Então ln(l + x) é a área da faixa //l1+x, a qual está contida num retângulocuja base mede x e cuja altura mede l. A área deste retângulo é x, logopodemos escrever ln(l -bx) < x. Dividindo ambos os membros desta desi¬gualdade pelo número positivo x, obtemos [ln(l +x)]/x < 1. Recordandoa fórmula do logaritmo de uma potência, podemos reescrever esta últimadesigualdade como

in[(l -b xy*'r\ < 1.

Isto quer dizer que o número (1 -f x)l/x é menor do que e:

(1 -bx)1/* < e, quando x > 0 (*)Notando agora que a faixa H{+x contém um retângulo de base x, e

84 O número e como limite Cap.12

altura l/(l + x), o qual tem área igual a x/(l + x), podemos escreversucessivamente:

xl + x

1l + x

* 1l+x

< ln(l + z),

< — • ln(l + z),X

< ln[(l + z)1/2].

Tomando exponenciais (de base e) de ambos os membros da última desi¬gualdade, resulta:

e1/ ( 1H_X) < (l + z)1/2, quando z > 0. (**)

Juntando as desigualdades (*) e (**), escrevemos:

ei/(i+z) < (1 + z)1/2 < e, para todo z > 0.

Fazendo agora z tender para zero, vemos que el/ll+2) tende para e.0"*mn (i i mr.ir próximo de c do que c'ÿ,l +:r\ concluímosque

lim (l + z)1/2 = e, se z > 0.X—O

Ou seja, quando z tende a zero por valores positivos, (1 + z)1/2 tendepara o número e.

Seja agora z < 0. Como faremos z tender para zero, não faz malsupor que z > —1 e portanto z + 1 > 0. Então podemos falar emIn (1 + z). Na realidade, como -1 < z < 0,-ln(l + z) é a área dafaixa de hipérbole H\+x, a qual contém um retângulo cuja base tem paramedida o número positivo -z c cuja altura é 1. A área deste retângulo é—z. A mesma faixa II{+x está contida num retângulo cuja base mede -ze cuja altura mede l/(l + z). A área deste retângulo é igual ao númeropositivo —z/(1 + z). Podemos então escrever:

—X < - ln(l + z) < —z1 + z"

Cap.12

° nÚmero e como limite 85

\

Figura 33

Dividindo os 3 membros pelo número positivo -z, vem:i i

X l+x’ou seja:

Logo1 < ln[(l + z)1/2) < _ 1

1+ z'

e «c (i + x)líx < el/ll+2lConto anteriormente, concluiremos que]im (1+ z)1/2 = e, se z < 0.z-~o

o Teorema 8 <ka aasim imeirameme demorado.

T

86 O número e como limite Cap.12

Como já dissemos ames, o Teorema 8 equivale a afirmar que

Hm (l H— )x = e.Z—•oo X

Em particular, dando an=l)2,3)- valores inteiros, temos

lim (1 + — )n = e,n—oo n

que é a fórmula clássica para o número e.

Corolário. Para x 0 valem as igualdades:

lim (1 + ax)l!x = ea; lim (l + — )x = ea.2—0 Z— oo

As duas afirmações acima são equivalentes, como se observa pondoy = l/x. Basta então demonstrar a primeira delas. Isto se pode fazerescrevendo u — ax, donde l/x = a/u. Então, quando x —► 0, u tambémtende a zero e portanto

(1 + ax)1/* = (1 + y)a/u = [(1 + u)1/*]0tende para ea quando x —*• 0.

Em particular:lim (l --) =n—oo n e

Isto se obtém fazendo no corolário acima a = —1 e restringindo (nasegunda fórmula) x a tomar valores inteiros.

Exercícios1. Prove que

\n(x + 1)lim —*- = 1.2—0 X

Dado um número positivo G/1, determineloga(l + z)lim-—-

2—0

2. Dado c > 0, mostre queln(x + c) - lnc 1lim —----= -

2—0 x c

Cap.12 O número e como limite 87

Calcule um limite análogo com loga em vez de In.

3. Mostre que limx_0 ——~ = i. Dado a > 0, calcule

a*-llimx—o x e lim‘ x— o

ax+c_ a<

x4. Prove que, quando n assume valores inteiroÿ muito grandes, a expressão

n(v/ã— 1), com a > 0,tende para o limite ln a.

nn+i + (rc + Í)njn5, Calcule lim {n—oo 7i,n-fi

6. Calculea) lim;c_00(l + I)x+2b) limx_0(l + 4x)31.c) limx-o(l - xy/3x.

6. A partir da definição, mostre que, para todo n G N tem-se

-r < ln(l + — ) < i.n+1 v nJ nConclua daí que

(l+i)"<e<(l + !)"«.71 n

7. Para todo n € N, escreva

Xn = (1+ e yn = (l + -)n+1.n nMostréquesetemO < J/n— xn < e/neconclua que lim Xn = limyn = e.8. Aplique a desigualdade MG < MA aos n + 1 números

1 + n’ ’1 +r?n n

para concluir que xn < xn+1 para todo n e N.

88 O número e como limiteCap.12

9. Aplique a desigualdade MG < MA aos n + 1 números

ii i

juntamente com a observação de quen2 + 2n + 2 n2 + 2n +1n2 + 2n +1 n2 + 2n

para concluir que yn+l < yn para todo n e N.Observação: Nos exercícios 8 e 9, MA = média aritmética; MG =média geométrica.

II

13. Crescimento

Observando o gráfico da função y = lnx, sentimos que, embora lnxtenda para +oo quando x -* +.oo, seu gráfico se situa sempre abaixoda diagonal, o que significa dizer que ln x < x para todo x > 0. Umaafirmação mais forte seria a seguinte: qualquer que seja a reta y = ex,com e > 0 (mesmo que E > 0 seja muito pequeno, isto é, que a reta sejaquase horizontal), para valores muito grandes de a: o gráfico de y = ln xtomar-se-á e permanecerá abaixo da reta.

Figura 34

Ora In x < ex, com x > 0, equivale a dizer ln .r/r < r.• Assim, a afirmação que estamos arriscando diz que, dado qualquer

e > 0, podemos achar um x0 tal que x > x0 implica 0 < lnz/x < e.Mas isto quer dizer que

lnzhm - = 0.Z — oo X

r

90 Crescimento Cap.13

Vamos demonstrar a validez deste limite. Ele exprime que, quando x crescemuito, embora lnx tenda para -f-oo, o valor de lnx é insignificante diantede x. Por exemplo, pondo £ = l/l.000, podemos achar um ponto Xo, apartir do qual (isto é, para x > Xo ) se tem lnx < x/1.000, ou seja, parax > XQ, lnx é menor que 1 milésimo de x.

Provaremos as afirmações feitas. Por conveniência, as enunciaremossob a forma do seguinte teorema. É claro que tanto faz dizer que lnx/xtende a zero como afirmar que x/ ln x tende a -foo.Teorema 9 Para valores positivos muito grandes de x, o quociente x/ In xtoma-se superior a qualquer número prefixado. Ou seja,

Xlim -— = +oo.x-+co lnx

Demonstração: Estando a faixa //f contida no retângulo de base nosegmento [1, y] e altura 1, vemos imediatamente que lny < y — 1, paray > 1. Em particular, ln y < y, o que se escreve também assim:

yln ?/

< 1, para y > 1.

Pondo y = xA/*\ temos

x1/2

Ou seja:ln(x1/2)

X1/2

> 1 quando x > 1.

\ lnx > 1, se x > 1.

Elevando ao quadrado:

> 1,

Multiplicando por (lnx)/4'N

se x > 1.

x lnxlnx > 4 ’ se x > 1.

Fazendo x —* -foo, sabemos que lnx —» +oo, donde lnx/4 —* +ootambém. Sendo x/lnx maior do que uma quantidade que tende a q-oo,

Crescimento 91

I*í-

ftttCrC£;

cccccc

trr£Q

C,£

nl W■->

diU

ddd

ddJídd\Ídlddddd

%d\Jdd

Cap.13

concluímos quelim = +00.z-Too lnx

Está terminada a demonstração.O oposto ocorre com a exponencial y = cx. Quando x —*• +ooa forma do gráfico de ez sugere que ex tende ao infinito muito maisrapidamente do que x. A afirmação precisa é dada pelo corolário doTeorema 8.

Corolário.exlim — = oo.

_Z— +oo xA demonstração se faz pondo ex = y, donde x = lny. Então

ex ylim — = lim -— = oo.z— +oo x y— -f oo lny

Poderíamos também ter raciocinado assim: sabemos que ez > 1 +x > x para x > 0. Então e2/2 > x/2. Elevando ao quadrado:

Segue-se que

r x2 PZ 7-e > — , donde — > —4 x 4

lim — = oo.Z— -foo x

Vemos portanto, que, quando x -> -foo, o crescimento da funçãoexponencial y = e2 é consideravelmente mais rápido do que o de x.Exemplo. Quando x tende para zero, o produto x • ln x também tendepara zero. Em outras palavras:

t • *ÿ»> o*

z— ò'V . I r» — O•*4 •<# \J|

%

Isto se verifica pondo y = l/x. (Note-se que, durante todo este exemplo,deve-se ter x > 0, a fim de que tenha sentido ln x.) Então, quando z-»0,y tende a +00 e portanto

lim x • ln x = lim = lim —ln-y. = 0.z— 0 y— +00 y y— +00 y

92 Crescimento Cap.13

Consequência. Quando x tende para zero (por valores positivos) apotência xz tem limite igual a 1. Com efeito, sendo xz = ex ln x, temos:

lim xx = lim ex'lnX = x) = e° = 1.2—0 Z— 0

Exercícios1. Prove que lim2_o xlnÿ2+1) = 1. (Aqui x > 0.) Conclua que

Hrn [In x • ln(a: + 1)] = 0.

2. Se a é uma constante positiva e x tende para zero por valores positivos,mostre que

In alim [ln(x + 1)] ln x = a.z— o1 n

e c3. Ache um valor de x tal que — > 10.xA4. Seja qual for o polinómio p(x) = flo -f o., x 4- n2:r2 4- . . . 4- (in*n.mostre que se tem

lim 2M= o.5. Prove que

x —■ -f- oo e

lim — (l + — +... H— ) — 0.n— -foo n 2 7i

O7o\\t\i

*► ■*

t !Dt&ÇrCtcçwÇcc<;cccwQw*trV

wCççç

I

3

1J4

iáOoo

\

Z)\_/

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J

plicações

Daremos aqui uma breve amostra de como a função ex e os logaritmosnaturais surgem espontaneamente em certas questões onde o aumento oua diminuição de uma grandeza se faz proporcionalmente ao valor da gran¬deza num dado instante.Juros Contínuos. Um capital c, empregado a uma taxa de k por centoao ano, rende, no fim de um ano, juros no valor de kd i*“**

a = kj100. Então c renderá vo fim ae um ano, juros no valor de ac.Decorrido um ano, o capital torna-se igual a c + ac, ou seja, c(l + a).Passados dois anos, o novo capital Ci = c(1 + a), empregado à mesmataxa, tornar-se-á igual a ci(l + a) = c(l + a)2. Em m anos, teremosc(1+ a)m.

Se tomarmos uma fração l/n de ano, o capital c, empregado à mesmataxa de juros, deverá render ac/n de juros, de modo que, decorrida afração l/n de ano, o capital c transforma-se em

ac , a,ci =c + — = c(l + -).n n

Empregando este novo capital Ci e esperando mais l/n de ano, obtemosCi(l + a/n), ou seja, c(l + a/n)2.

Prosseguindo assim, vemos que, se dividirmos o ano em n partesigu-MS c, depois de decorrido c’’dn i’T nÿriV\rirv* H»** 1 /r> rt*'

capitalizarmos os juros rendidos, reinvestindo sucessivamente à mesmataxa, quando chegar o fim do ano, em vez de c(l + a), obteremos umcapital maior, ou seja, possuiremos

c(l + í)~.

94 AplicaçõesCap.14

! •

Um investidor exigente desejará que seus juros sejam capitalizados(isto é, juntados ao capital) a cada instante. Se isto ocorrer, no fim do anoele receberá, em troca do investimento c, o total de

lim c(l + -)n = c-ea.n— oo v 71

Este tipo de transação, em que os juros são capitalizados continua-

mente, é o que se chama de juros contínuos.Assim, por exemplo, o capital de Cr$ 1,00 empregado a juros contí-

•nuos de 100% ao ano, no final de um ano será transformado em e cruzeiros.Este fato pode ser usado para explicar a um agiota o significado do númeroe.

Se a taxa de juros é referida a anos (/:% ao ano, a = kj100), entãoum capital c empregado a essa taxa será transformado, depois de t anos,

emlim c(l + — )" = c • eat

n— co Ti

Exemplo. Empregando-se um capital c a juros contínuos de 20% ao ano,

em quanto tempo este capital será dobrado?Solução: Aqui ade modo que

= 20/l00 = 0,2. Devemos achar o número t de anos

c . e0,2í = 2c, ou seja, e0,2t = 2.

Segue-se que 0,2i = ln 2, donde

ln2 _ 0,6930ÿ2 “ 0,2

3,46.

Assim o tempo necessário para dobrar o capital é de 3,46 anos, ou seja,aproximadamente 3 anos e meio. Note-se que este tempo não depende docapital inicial. Fixada a taxa de juros, leva-se 0 mesmo tempo para dobrarum capital grande ou um capital pequeno.

De um modo geral, o mesmo raciocínio serve para mostrar que, sea taxa dc juros contínuos é k% ao ano e a = A:/l00, então um capitalqualquer leva t = ln s/a anos para tornar-se 5 vezes o seu valor inicial.

Perdas contínuas. Existem bons negócios c maus negócios. Suponhamosque um capital c é empregado num negócio que (a posteriori, digamos) se

J

Cap.14 Aplicações 95

revelou mau. Mais exatamente, ele dá um prejuízo dea = fe/100, como ames. se o prejuízo fosse brusco, no fim dc ano ocapital estaria reduzido a c-ac = c(l-<*)• Mas, se a pertem igual intensidade durante o ano inteiro (isto é, em vez eÿconcese em certos períodos, ela se espalha homogeneamente), então e naturaconcluir que, durante cada fração l/n do ano, a perda so n a pe o capnac o reduz a c(l - a/n). Assim sendo, pelo mesmo raciocínio utilizadono caso de juros contínuos, concluiremos que um capital c, sujeito a umprejuízo contínuo de k% ao ano, no fim de t anos fica reduzido aatJim c(l--)n = c-e

H-00 n '-at

Em particular, esse capital estará reduzido à metade num tempo talque e~at = 1/2, isto é,

t = ln 2a

69,3k anos.

Desintegração radioativa. Os átomos dc uma substância radioativa(como o rádio ou o urânio) possuem uma tendência natural a se de¬sintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substâncianão-radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade desubstância original diminui (aumentando, conseqiientemente, a massa danova substância transformada). Isto é feito de tal maneira que, numdeterminado instante, a quantidade de matéria que se desintegra de umcorpo radioativo é proporcional à massa da substância original presenteno corpo naquele instante. A constante de proporcionalidade a é deter¬minada experimentalmente. Cada substância radioativa tem sua constantede desintegração a.Consideremos um corpo de massa Mo, formado por uma substânciaradioativa cuja taxa de desintegração é a. Se a desintegração se proces¬sasse instantaneamente, no fim de cada segundo, sendo M0 a massa notempo t = 0, decorrido o tempo t = 1 segundo, haveria uma perda deaMo unidades de massa, restando apenas a massa

Mi = M0- aM0 = M0(i - a).

I I

96 Aplicações Cap.14

Decorridos 2 segundos, a massa restante seria

M2 = Mx(1 - a) = M0(l - a)2.Em geral, passados 5 segundos, restaria a massa Ma — MQ[\- a)3.

Mas as coisas não se passam assim: a desintegração se processacontinuamente. Procurando uma aproximação melhor para o fenômeno,fixemos um inteiro n > 0 e imaginemos que a desintegração se dá emcada intervalo de l/n de segundo. Depois da primeira fração l/n desegundo a massa do corpo a reduziria a

M0-(-)MO = MO(1-ÿ).71 Ti

Decorrido 1 segundo, teriam ocorrido n desintegrações instantâneas e,efetuadas as n reduções, restaria do corpo a massa Mo(l — a/n)n. Divi¬dindo o intervalo [0, l] em um número n cada vez maior de partes iguais,chegaremos à conclusão de que, ao final de 1 segundo, a massa do corpoficará reduzida a

lim M0(l - —)n = M0 • e~a.n— oo n

Se quisermos calcular a massa ao fim de t segundos, deveremosdividir o intervaio [0,f] em n partes iguais. Em cada intervalo parcial aperda de massa será M0-at /n. Repetindo o argumento acima chegaremosà expressão

M[t) = Mo ■ e~atque fornece a massa do corpo depois de decorridos t segundos.

É claro que, em vez de segundos, poderíamos ter adotado outra uni¬dades de tempo. Mudando a unidade de tempo, a constante a deve seralterada proporcionalmente.

Na prática, a constante a fica determinada a partir de um númerobásico, chamado a meia-vida da substância.

A mcia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para ,que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por aquelasubstância. £

Por exemplo, o polónio 218 tem meia-vida igual a 2 minutos e 45segundos, enquanto o polónio 214 tem meia-vida de 1,64 xlO-4 segundos. ç

É

____

É—-_

0?>Ti(1í

Aplicações 97

O4

43344444JJ44pd34

4J

JJJa

Cap.14s"h /

Os isótopos do rádio têm meia-vida conforme indicamos abaixo:

rádio 226rádio 228rádio 223rádio 224

meia-vida 1.620 anosmeia-vida 6,7 anosmeia-vida 11,68 diasmeia-vida 3,64 dias.

anos.Os diversos isótopos do urânio têm uma meia-vida da ordem de 109

Se sabemos que urn certo elemento radioativo tem meia-vida igual a í0unidades de tempo, isto significa que uma unidade de massa desse elementose reduz à metade no tempo ÍQ. Assim

- = e QÍ°

Tomando logaritmos, temos

ou seja,

donde

ln(ÿ) = ~at°'

•= -ac0,

ln2a = toIsto nos mostra como calcular a taxa de desintegração Q quando se conhecea meia-vida ÍQ* Reciprocamente, tem-se ÍQ = ln 2/Of, o que permite deter¬minar a meia-vida ÍQ em função da taxa Q.

O método do carbono 14. O carbono 14, indicado por C14, é um isótopo* autoaii » o uo cai boiiu, íUI liiuuu uu auuusicra ueviuo ao oombardeio da terrapor raios cósmicos. Através dos tempos, a quantidade de ClA na atmos¬fera tem-se mantido constante porque sua produção é compensada por suadesintegração. Os seres vivos absorvem e perdem C14 de modo que, emcada espécie, a taxa de C14 também se mantém constante. (O carbono 14é criado nos vegetais durante o processo da fotossíntese e absorv ido pelosanimais através da ingestão, direta ou indireta, de vegetais.) Quando o sermorre, a absorção cessa mas o C14 nele existente continua a desintegrar-se.

■er . —* • I


Este fato pode ser usado para determinar a idade de um fóssil ou de umobjeto muito antigo feito de madeira.

Para isto, precisamos saber que a meia-vida do C14 é de 5570 anos.Como vimos acima, segue-se daí que a constante de desintegração do C14 é

ln25570

0,69315570 = 0,0001244.

Exemplo. Vejamos como esse conhecimento foi usado para dirimir uma.controvérsia. Num castelo inglês existe uma velha mesa redonda de madeiraque muitos afirmavam ser a famosa Távola Redonda do Rei Artur, soberanoque viveii no século V. Por meio de um contador Geiger (instrumento quemede radioatividade) constatou-se que a massa M = M(<) de Cu hojeexistente na mesa é 0,894 vezes a massa MQ de C14 que existe num pedaçode madeira viva com o mesmo peso da mesa. MQ é também a massa de C14que existia na mesa quando ela foi feita, há t anos.

Sabemos queM = M0 • e~Qt,

rionrle MfM$ — * Tsfo significa que 0,891 — c-o.nom?44ftiramos: _ ln(U,894) _ 0,1121 _

0,0001244 0,0001244 901 an°S’

Se a mesa fosse mesmo a Távola Redonda, ela deveria ter mais de 1500anos.Resfriamento de um corpo. Uma situação análoga à da desintegraçãoradioativa é a de um objeto aquecido, colocado num meio mais frio (ar ouágua, por exemplo) cuja grande massa faz com que a temperatura dessemeio permaneça constante, sem ser afetada pela presença do objeto maisquente. A lei do resfriamento de Newton afirma que, nessas condições, adiferença de temperatura D, entre o objeto e o meio que o contém, decrescecom uma taxa de variação proporcional a essa própria diferença. Comono caso da desintegração radioativa, esta lei se traduz matematicamenteassim: chamando Do a diferença de temperatura no instante t = 0 e D(t)a diferença num instante t qualquer, tem-se D(t) = Do • e~at onde aconstante a depende do material de que é constituída a superfície do objeto.


Exemplo. Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30°. A águaque fervia numa panela, cinco minutos depois de apagado o fogo tema temperatura de 65°. Quanto tempo depois de apagado o fogo a águaatingirá a temperatura de 38° ?

No momento em que se apagou o fogo ( t =0), a temperatura daágua era de 100° e a do ambiente 30°. Logo D0 = 100 — 30 = 70.Passados t minutos, a diferença da temperatura da água para a do meioambiente é dada por D[t) = 70 • e~at. Para determinar a constante a,usamos a informação de que

D[ 5) = 70 • e~5a = 65- 30 = 35.Portanto e 5a = 35/70 = l/2. Tomando logaritmos naturais, vem

Cy.,_

i ( \ i o i ln 2 0.693-5o:- ln(-) = -ln2, logo a = — = = 0,1386.5 5Queremos saber o valor de t para o qual

D{t) = 70 • e-°4386í _3g

_ go_

8Novamente tomamos logaritmos para resolver a equação 70- e-0*1386ÿ = 8obtendo

—0,13861 = l„(i) = _!„(!?)donde

t _ ln(?) 2,1691~ õÿslã ~ = 15’65 minutos

(pouco mais do que 15 minutos e meio).

Exercíciosl. Se, no instante t — o, um recipiente contémbactérias sc reproduzindo normahncnto, então, ,,numero de bactérias existentes no recipiente será

um número No deiliòtamC i 0, O

N[t) + No ■ eat,HnÿimC|?nSt'aÿte a bactéria. Suponha que uma culturae bactérias se reproduz em condições favoráveis. Doze horas maistarde contamos 500 bactérias na cultura. Quantas bactérias haverá doisdias depois do início da experiência?


2. A meia-vida de uma substância radioativa é 1 ano. Quanto tempolevará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas1 grama da substância?3. Se 10 por cento de um certo material radioativo se desintegram em 5dias, qual é a meia-vida do material?4. A população de uma cidade era de 750.000 habitantes no fim de 1950e 900.000 no fim de 1960. Que população pode-se prever no final do anode 1970? Quando se espera que a população atinja 1.500.000?5. Uma amostra de tório reduz-se a 3/4 de sua quantidade inicial dep.oisde 33.600 anos. Qual é a meia-vida do tório?6. A que taxa anual de juros compostos devo investir meu capital a fimde que ele dobre no fim de 5 anos?7. Quanto devo investir agora, a 12% ao ano (capitalizados continua-mente), para reobter dentro de 20 anos um milhão de cruzeiros?8. Pressão atmosférica. A pressão atmosférica à altura h (em relaçãoao nível do mar) é o peso de uma coluna vertical de ar cuja base éhorizontal, tem altura h e possui área igual a 1. A medida que aumenta aaltura h, a pressão atmosférica diminui, não somente porque a coluna dear diminui como também porque o ar se toma mais rarefeito, logo pesamenos. Prova-se, como consequência da Lei de Boyle, que, se po é apressão atmosférica ao nível do mar então a pressão a uma altitude h ép[h) = po ■ e~ah, onde a. é uma constante. A pressão atmosférica p =p[h) pode ser medida diretamente pelo instrumento chamado barómetro.

Mostre que, medindo-se a pressão atmosférica em dois pontos cujasaltitudes hi e /i2 são conhecidas, pode-se determinar a constante o;.

Mostre também que, conhecendo a constante a e possuindo umbarómetro, pode-se a cada momento determinar a que altura k vôa umavião por meio da fórmula

A = ÍMÿ),a p

onde po é a (conhecida) pressão ao nível do mar e p = p(/i) é a pressãomedida pelo barómetro no momento dado.9. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O

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médico da polícia checou às 23 30 c imediatamente tomou a temperaturado cadáver, que cra £ Um3 hor3 mais tarde ele tomou a tempe¬ratura outra vez e encontrou 34 19 A temperatura do quarto era mantidaconstante a 20°. Use a lei do resfriamento de Newton para estimai’ a horaem que se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoaviva é 36,5°.10. Na caverna de Lascaux, na frança, famosa pelas notáveis pinturas fei¬tas em suas paredes por homens pré-históricos, foram encontrados pedaçosde carvão vegetal, nos quais a radioatividade do C14 era 0,145 \ezes aradioatividade normalmcntc num pedaço dc carvão feito hoje. Calcule aidade do carvão encontrado na caverna c dê uma estimativa para a épocaem que as pinturas foram feitas.11. Um osso de animal pré-histórico apresenta l/lO da quantidade dcC14 de um osso atual. Quando morreu aquele animal?12. Uma bola de aço, aquecida a uma temperatura de 100° é posta numambiente mantido a uma temperatura constante de 40°. Em 2 minutos atemperatura da bola é de 80°. Em quanto tempo a temperatura será dc43° ?13. O estrôncio 90 c uma substancia radioativa que resulta de explosõesnucleares na atmosfera. Sua meia-vida c de 28 anos. Suponha que umaárea cultivada esteja contaminada por estrôncio 90 em nível 4 vezes maiordo que aquele suportável pelo corpo humano. Quanto tempo dev? pÿsÿr-se até que essa área possa ser utilizada para plantio de alimentos?14. A água de um reservatório evapora-se à taxa de 10% ao mês. Emquanto tempo ela se reduzirá a um terço do que era no início?Referência. Uma interessante coletânea de problemas e tópicos a respeitode aplicações de logaritmos e exponenciais à Medicina e à Biologia acha-se no livro “Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas”, por Albertoriávio Aguiái, Amuti Fuiiieiieie c JOM; Euny Moreira (Ediiuia iiaiura,1988).

*

15. Temas para discussão, tpara ensaios e exames É

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1. . Quando e por quem foram inventados os logaritmos?2. Que necessidade de cálculo foi atendida pelos logaritmos e quais asrazões socio-econômicas que agravaram essa necessidade?3. Qual a importância dos logaritmos nos dias atuais?4. Que processos rudimentares de cálculo precederam os logaritmos?5. De que maneira a fórmula am-an = am+n pode simplificar a operaçãode multiplicação?ó. Cuiuu u iCàpOòla â poigunla aiuerioi pude icvai à necessidade de nilio-

duzir potências com expoentes negativos ou fracionários?

7. As definições a° = 1, a”m = l/am, oP/q = %/ÕP são livres criaçõesdo espírito humano ou são as únicas possíveis? Em que sentido elas sãoúnicas?8. Por que não se estur tm potências com expoente fracionário e basenegativa?9. Quais são as dificuldades conceituais inerentes à definição y = logÿ X

QV = x? Quais são as alternativas para enfrentar essas dificuldades?10. Considere a seguinte afirmação: “todas as propriedades da funçãologaritmo podem ser deduzidas a partir do fato de que ela é crescente etransforma produtos em somas”. Justifique e/ou critique-a.1 1 . Que consequências metodológicas tem o teorema segundo o qual duasfunções logarítmicas diferem por um fator constante?

Cap.15 Temas para discussão, 103

1 2, Faça uma lista de funções que você considera relevantes para o ensinosecundário (e que pertencem ao currículo escolar), as quais não são definidaspor fórmulas.13. Você acha importante apresentar a noção geral de função no ensinomédio? Por quê?14. Sabe-se que a raiz quadrada de um número real a é outro número realx tal que x — a. Assim sendo, qual é a riiiz quadrada de —1? E a raizquadrada de 2? Mais geralmente, como se pode assegurar que existe, para

- cacÿa a e e cada n € R, um número real x tal que xn = a? Qual arelação entre a existência de v/ãeasobrejetividadedafunção/:R+ —* R+f{x) = xn ?15. Que significados têm as igualdades abaixo?

a) 0, 999 ... = 1;b) 0,555... = 5/9;c) è + í +|+ "- + ----= 1;d) 3, 14159265 . . . = TT.

16. Dada uma sequência infinita de números naturais an , com 0 < an <9 para todo n = 1, 2, 3, ... , que significado tem a “expansão decimal'’a = 0, aia2 . . . an . . . ?17. Para n = 1, 2, 3 e 4, esboce o gráfico de um polinómio de grau n comraízes reais distintas.18. Exprima, por meio de uma fórmula, a função q: R+ —» R assim defi¬nida. para todo x > 0, q(x) é o número real cujas aproximações por faltasão as áreas dos polígonos retangulares inscritos no triângulo de vérticesB, C, onde A = (0, 0), 5 = (i,0)eC = (x, 2x).19. Como você provaria as afirmações abaixo?

i) A função /:R -* R, f{x) = x2, é convexa.ii) A função /:R+ -> R+, f(x) = é côncava.

iii) A função /:R -» R, /(x) = x3 é côncava no intervalo (-oc.Ol econvexa no intervalo [0, +oo).20. Uma função pode ser ao mesmo tempo côncava e convexa? Explique.

104 Temas para discussão, Cap.15

21. Por que a figura 35 não representa o gráfico da função y = In x ?

Figura 35

22. Explique o significado da definição segundo a qual a área de H% é onúmero real cujas aproximações por falta são as áreas dos polígonos retan¬gulares inscritos na faixa H% . Você poderia formular as igualdades do item15 em termos de “aproximações por falta” ? •23. Copie as figuras da página 36 do texto, as quais ilustram a afirmaçãode que as aproximações para a área de H% por polígonos tangentes sãomelhores do que por polígonos secantes. Feche o livro c dê uma justificativaWUé* • «lêwWlUw I *44%4 WÒU4 %lA4A A‘4%1ÿ%1%J,

24. No espírito do item anterior, que diferença haveria na discussão casose tratasse de uma função côncava em vez da função convexa y = l/x,x > 0?25. Fixado k G R+, considere a transformação T:R2 —► R2, dada porT(x,y) = {kx,y/k). Mostre que T transforma toda faixa da hipérboleH = {(x,y) G R2;xy = 1} noutra faixa da mesma hipérbole. Mostreainda que T transforma todo retângulo de lados paralelos aos eixos noutroretângulo de mesma área. Como se pode concluir daí queT transforma todafigura plana F noutra figura F' = T(F) de mesma área que F?

26. Seja /:R+ —* R uma função crescente tal que f(xy) = /(x) +f(y) para quaisquer x, y G R+. Pode-se concluir daí que / seja côncava?

Justifique.27. Como se poderia provar que a função / do item anterior é sobrejetivasem usar o teorema provado na página 20 do texto?28. Quantas parcelas da série harmónica é preciso somar para obter um

Cap.15 Temos para discussão, 105

resultado superior a mil? Quanto tempo levaria (pelo menos) uma máquinacapaz de efetuar um bilhão de operações do tipo + por segundo para obtertal soma?29. Mostre que a secante que liga os pontos de abeissas 1 e1+x nográficode y = ln x tem inclinação compreendida entre 1 c 1/(1 + x). (Considereseparadamente os casos x > 0 e x < 0.) Conclua que a tangente a essegráfico no ponto de abeissa 1 forma ângulos de 45° com os eixos.30. Qual é a inclinação da secante ao gráfico de y = ln x que liga ospontos de abeissas x e x + a? Conclua que deslocando para a direita umasecante de comprimento dadosobreográfico de y = ln x,esta secante podetomar-se tão próxima da horizontal quanto se deseje. ,31. Qual é a maior área possível para um retângulo inscrito no gráfico dafunção y = l/x, se um dos seus lados verticais tem abeissa 1?32. Mostre que existe um número a > 1 tal que o retângulo cuja base é osegmento [1, aj do eixo das abeissas, inscrito no gráfico de y = l/x, temárea > 1/2. Conclua que, para todo n G R, também tem área > 1/2loretângulo inscrito cuja base é o segmento (an, a”+1).33. Descreva como, por meio de repetidas bisseções do intervalo [2,3],podem-se obter valores aproximados de e.34. De que modo o Teorema 3 (propriedade fundamental) pode ser usadopara provar diretamente que, sendo por definição área dc Il\ — 1, a fai.vaHf tem área n se, e somente se, x = en = e ■ e ■ • • e (n fatores)?34*. (Melhor enunciado para o item anterior.) Por definição, a área dnfaixa Hf 6 igual a 1. Use diretamente o Teorema 3 para provar que a áreada faixa Hf é igual a nse, e somente se, x = en = e ■ e ■ e ■ ■ ■ e (n fatores).

•35. Use novamente o Teorema 3 para concluir que x = \fe se, c somentese, a área da faixa Hf é igual a l/n.36. Lembre que H(k )£ c a faixa da hipérbole y = k/x compreen¬dida entre os pontos de abeissas o e 6. Dada qualquer função logarítmica/:R+ —» R, prove que existe uma constante k > 0 tal que /(x) = área deH(k)f para todo x € R+.

37. Use a igualdade 2 para concluir que existem números

irracionais a, /? tais que a& é racional.38. Aplique aos n + 2 números

n n n_ ,n+Tn + l’*" ’n+l’

a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica para concluirque a sequência dos números (l + , n € R, é decrescente.

39. Usando o inétodo do item anterior com os n -f 1 números

prove que a sequência (l — ~)n é crescente.

40. Dada uma função /:R —» R+, o número

f(x + h)~ f{x)f(x)

chama-se o crescimento relativo de / correspondente ao acréscimo h dado* vanívçl independent. Consider.' ?. seguinte hipdtre ?. rcrpe:!r d::/:Hipótese H. O crescimento relativo £(/i) = depende ape¬nas de /i mas não de x.

Verifique se a hipótese H vale ou não em cada um dos exemplos abaixo:a) /(x) = inx + n • onde m > 0 e n > 0.b) /(x) = x2 + l.

c) /(x)= c ekx,c> 0.d) f (ir) = população, no instante X, de uma cultura de bactérias man¬

tida sob condições estáveis.e) f(x) = massa de uma certa substância radioativa presente num de¬

terminado corpo no momento x.f) f(x) = valor, no tempo x, de uma dada quantia, investida a juros

fixos, capitalizados continuamente.

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Cap.15Temas para discussão, 107

g) {(*) = temperatura. no instante x. de um corpo colocado num meio■ente de temperatura constante, igual a 0’.

/(x) espaço percorrido por um corpo em queda li\re (açao dagravidade), no tempo z.

Observação: Nos exemplos a), b). c). a validez ou não da hipótese H é umfato matemático, que deve ser demonstrado. Nos demais exemplos, trata-sede constatar se tal hipótese é plausível cm relação ao fenômeno considerado.Note-se que ela expressa uma espécie de “permanência” da intensidade dofenômeno.41 Prove que a hipótese 11 equivale a afirmar que a razão <p(h) = f(x 4-'0//(x) depende apenas de li. mas não de x.42. Supondo que /:R -ÿ R-*- cumpre a hipótese H, mostre que a funçãoy3:R -*R+, definida por y?(/t) = /(x -f /t)//(x), tem a seguinte proprie¬dade: ip{hi + h2) = .43. Seja ip: R —* R uma função crescente tal que y?(x+ y) = <p(x) •<p(y)para quaisquer x, y 6 R. Prove que ç?(0) = 1, que o número a = ç?(l) émaior do que 1, que <p(n) = a’1 para todo número natural n c que, maisgeralmente, <f{n) = ar para todo número racional r — p/q.44. Admita o seguinte fato (veja “Meu Professor de Matemática”, pag.130): toda função crescente g: R —• R tal que g(x -f y) = g(x) 4- g(y) tema forma g[x) = k • x, onde k = g( 1). A partir daí prove que a função ç? doitem 43 c dada por g(x) = ax, para todo x € R.45. Considere çxR —» R+ decrescente, com y(x -f y) = <f{x) • ç(y)para x, y € R quaisquer. Prove que se tem <p(x) = ax,com a < 1.46. Prove que toda função estritamente monótona /:R R+ que cumprea hipótee H tem a fonna /(x) = c ekx,c.omc = /(0)efc = lní/(t)/ f(Q)\,

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47. Seja t0 a meia-vida de uma substância radioativa cuja massa no tempot é M (t). Mostre que M(t) = :\/0 • onde M0 - A/(0).

Apêndice

Neste apêndice, apresentaremos três tabelas que poderão ajudar o leitorna execução dc cálculos numéricos com logaritmos e com funções expo¬nenciais.

A primeira tabela apresenta os logaritmos naturais dos números 1,00 a10,09, com intervalos de um centésimo. Os logaritmos são fornecidos comquatro algarismos decimais exatos. Os logaritmos naturais dos númerosque dela não constam podem ser calculados usando-se a equação

ln(aò) = Ina + lnòe os seguintes valores da função logaritmos natural:

In 0.1 = 0,6974 - 3;

ln0,01= 0,3948-5;ln0,001= 0,922-7;ln0,0001= 0,7897-10;ln0,00001= 0,4871-12;

A segunda tabela apresenta as mantissas, com quatro algarismos exa¬tos, dos logaritmos decimais dos números 100 a 99.

A terceira tabela dá os valores da função exponencial ez c suarecíproca e~x para valores dc x, com intervalos de 1décimo, dos númerosdc 0 a 6. Os valores são dados com três algarismos decimais.

* ií 3* 3

logaritmos naturais dc 1 a 10,09 i*

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6

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(continua;

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N 0.00 0.01 0.02 0,03 0.05 0.05 0.06 0.07 0.08 0.095.5 1.7047 1.7066 1.7084 1.7102 1.7120 1.7138 1.7156 1.7174 1.7192 1.72105.6 1.7228 1.7246 1.7263 1.7281 1.7299 1.7317 1.7334 1.7352 1.7370 1.73875.7 1.7405 1.7422 1.7440 1.7457 1.7475 1.7492 1.7509 1.7527 1.7544 1.75615.8 1.7579 1.7596 1.7613 1.7630 1.7647 1.7664 1.7681 1.7699 1.7716 1.77335.9 1.7750 1.7766 1.7783 1.7800 1.7817 1.7S34 1.7851 1.7867 1.7884 1.79016.0 1.7918 1.7934 1.7951 1.7967 1.7984 1.8001 1.8017 1.8034 1.8050 1.80666.1 1.8083 1.8099 1.8116 1.8132 1.8148 1.8165 1.8131 1.8197 1.8213 1.82296.2 1.8245 1.8262 1.8278 1.8294 1.8310 1.8326 1.8342 1.8358 1.8374 1.83906.3 1.8405 1.8421 1.8437 1.8453 1.8469 1.8485 1.8500 1.8516 1.8532 1.85476.4 1.8563 1.8579 1.8594 1.8610 1.8625 1.8641 1.8656 1.8672 1.8687 1.87036.5 1.8818 1.8733 1.8749 1.8764 1.8779 1.8795 1.8810 1.8825 1.8840 1.88566.6 1.8871 1.8886 1.8901 1.8916 1.8931 1.8946 1,8961 1.8976 1.8991 1.90066.7 1.9021 1.9036 1.9051 1.9066 1.9081 1.9095 1.9110 1.9125 1.9140 1.91556.8 1.9169 1.9184 1.9199 1.9213 1.9228 1.9242 1.9257 1.9272 1.9286 1.93016.9 1.9315 1.9330 1.9344 1.9359 1.9373 1.9387 1.9402 1.9416 1.9430 1.9445

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2.0919 2.0931 2,(r>43 2.0956 2.096X 2 0)80 2.009? ? ions 1 IOI7 7 to*>n• %

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10.0 2.3026 2.3036 2.3046 2.3056 2.3066 2.3076 2.3086 23096 23106 2.3115

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ai

Mantissas dos logaritmos decimais dos números 100 a 999.

Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.0 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 03741.1 0414 0453 0492 0531 0569 0606 0645 0682 • 0719 07551.2 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1039 1072 11061.3 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 14301.4 1461 1492 1523 1553 I5S4 1614 1644 1673 1703 17321.5 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 20141.6 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 22791./ 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2501 25291.8 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 27651.9 2788 2810 2833 2856 2878 2900

§2923 2945 2967 2989

2.0 3010 3032 3054 30/5 3096 3118 3139 3160 3181 32012.1 3222 3243 •3263 3284 3301 3324 3345 3365 3385 34042.2 3424 344-1 346*1 3-183 3502 3522 3541 3560 3579 35982.3 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3829 3747 3766 37842.4 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 •3945 39622.5 3979 3997 4014 4031 40-18 4065 4082 4099 4116 41332,6 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 42982.7 4314 4330 4346 4362 -1378 4393 4409 4425 4440 44562.8 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 46092.9 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4723 4742 47573.0 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 49003.1 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 50383.2 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 51723.3 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 53023.4 5J35 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 54283.5 5441 5-1-13 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 55513.6 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 565S 56703.7 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 57S63.8 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 58993.9 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 598S 5999 60104.0 6021 6031 6042 6053 606*1 6075 6085 6096 6107 61174.1 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 62224.2 6232 6243 6253 6263 6274 6281 6294 6301 6314 63254.3 6335 6345 6355 6365 6375 638$ 6395 6405 6415 64254.4 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 65224.5 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 66134.6 6628 6637 66-16 6656 6665 6675 6684 6693 6702 67124 7 6771 677*' m

*»w w>Oi o# fO u;oj 0/94 OttUi4.8 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6375 6S84 68934.9 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 69815.0 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 70675.1 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 71525.2 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 72355.3 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 73165.4 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396

(continua)

(continuação)

N 0 l 2 3 4 5 6 7 8 9

5.5 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 74745.6 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 75515.7 7559 7566 7574 7582 7589 7507 7604 7612 7619 76275.8 7634 7642 7ÿ19 7657 7664 7672 7679 7686 7694 77015.9 7709 7716 7723 773! 7738 7745 7752 7760 7767 7774

6.0 7782 7798 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 78466.1 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 79176.2 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 79S0 79876.3 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 80556.4 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8100 8116 8122

6.5 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 81896.6 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 82546.7 8261 8267 8274 8280 82S7 8293 8299 8306 8312 83196.8 8325 8331 83338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 83826.9 8388- 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445

7.0 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 85067.1 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 85677.2 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 86277.3 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 86867.4 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745

7.5 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 88027.6 8808 8814 8820 8825 8831 8S37 8842 8848 8854 88597.7 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 89157.8 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 897170 9091 CÿVAC» •W. 9009 • r ''**n yv2J

8.0 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 90798.1 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 91338.2 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 91868.3 919! 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 92388.4 9243 924S 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289

8.5 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 93408.6 9345 9350 9355 9360 9365 9370 .9375 9380 9385 93908.7 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 94408.8 9145 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 94898.9 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538

9.0 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 95869.1 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 96339.2 9638 9643 96-17 9652 9657 9661 9666 9671 9675 96S09.3 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9719 9722 97279.4 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773

9.5 9777 9782 9786 979! 9795 9800 9805 9809 9814 98189.6 9823 9827 9332 9336 9841 9845 9850 9854 9S59 98639.7 9868 .9872 9877 9S86 9890 9894 9899 9903 99089.8 9912 9917 992! 9926 9930 9934 9939 9943 9948 99529.9 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996

A ----- -

Função exponencial ex c sua recíproca e" para valores dc x dc 0 a 6.X S e* X e*

0,0 1.0000 1.0000 3.0 20.086 0.0-19790.1 1.1052 0.90484 3.1 22,198 0.045050.2 1.2214 0.81873 3,2 24.533 0.040760.3 1.3499 0.74082 3.3 27.113 0.036880.4 1.4918 0.67032 3.4 29.96-1 0.033370.5 1.6487 0.60653 3.5 33.115 0.030200.6 1.8221 0.54881 3.6 36.598 0.027320.7 2.0138 0.49659 3.7 40.4-17 0.024720.8 2.2255 0.44933 3.8 44.701 0.022370.9 2.4596 0.40657 3.9 49.402 0.020241.0 2.7183 0.36788 4.0 54.598 0.01832l.l 3,0042 0.33287 4.1 60.340 0.016571.2 IV01 0.30119 4.2 66.686 0.015001.3 3.6693 0.27253 :.2 73.700 0.013571.4 4.0552 0.24660 4.4 81.451 0.012281,5 4.4817 0.22313 4.5 90.017 0.011111.6 4.9530 0.20190 4.6 99.484 0010051.7 5.4739 0.18268 4.7 109.95 0.009101.8 6.0496 0.16530 4.8 121.51 0.008231.9 6.6859 0.14957 4.9 134.29 0.007452.0 7.3891 0.13534 5.0 148.41 0.006742.1 8.1662 0.12246 5.1 164.02 0.006102.2 9.0250 0.11080 5.2 181.27 0.005522.3 9.9742 0.10026 5.3 200.34 0.004992.4 11.023 0.09072 5.4 221.41 C.00452u U.IòZ 0.1)8208 5.5 214.69 0.004092.6 13.464 0.07427 5.6 270.43 0.003702.7 14.880 0.06271 5.7 298.87 0.003352.8 16.445 0.06081 5,8 330.30 0.003032.9 18.174 0.05502 5.9 365.04 0.002743,0 20.086 0.04979 6.0 403.43 0.00248

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'.'.«.estabelecimento de suas propriedades fundamentais, vá, como a desigualdade ilustrada ria primeira

cana do livro.

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