K AT E L Y N L U Z I A D O S S AN T O S D AB O I T

LOGARITMOS

HISTÓRIA

• No início do século XVII, os cálculos

envolvidos nos assuntos de Astronomia e Navegação eram longos e trabalhosos. Para simplificar esses cálculos, surgiram nesta época as primeiras tábuas de logaritmos, inventadas independentemente

por Jost Bürgi (1552-1632) e John Napier (1550-1671). Seguidos de Henry Briggs (1561-1631) que aperfeiçoou essas tábuas, apresentando os logaritmos decimais.

Segundo Maor (2008), Napier após realizar alguns estudos, descobrindo o comportamento de alguns números quando

submetidos a determinadas operações, chamou o expoente de cada potencia de “número artificial”, mas depois decidiu pelo

termo logaritmo, a palavra significando “número proporcional”.

Segundo ele, os logaritmos facilitaram os cálculos principalmente por permitir transformar as operações de multiplicação

em adição e de divisão em subtração.

Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo numérico dos que estavam envolvidos na Navegação e Astronomia. Dizia-se na época que a invenção dos logaritmos “duplicou” a vida dos astrônomos, pois produziriam muito mais do que haviam produzido antes dos logaritmos. Posteriormente, surgiram às

réguas de cálculo, baseadas nessas propriedades dos logaritmos. Hoje, com o advento das calculadoras e microcomputadores, elas caíram em desuso.

O QUE É LOGARITMO?

LOGARITMO

O logaritmo é um importante instrumento para

a resolução de equações exponenciais. Segundo

Lima (2013) além de servir para o cálculo destas

equações, atualmente continuam a merecer

destaque na matemática, devido suas aplicações.

Esta posição justifica-se porque a função logarítmica

e a sua inversa, a função exponencial, constituem a

única maneira de descrever matematicamente a

evolução de uma grandeza em função de sua taxa

de crescimento (ou decrescimento) num dado

momento.

O QUE VAMOS ESTUDAR:

• Definição de logaritmo;

• Consequências da definição de logaritmo;

• Propriedades operatórias dos logaritmos;

• Cologaritmo;

• Função Logarítmica;

• Equações logarítmicas;

DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

Dados os números reais positivos 𝐚 e 𝐛, com 𝑎 ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potencia obtida seja igual a b.

Em símbolos: se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 0 < 𝑎 ≠ 1 e 𝑏 > 0 , então:

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒙 → 𝒂𝒙 = 𝒃

Em log𝑎 𝑏 = 𝑥, dizemos:

𝑎 é a base do logaritmo, 𝑏 é o logaritmando e 𝑥 é o logaritmo.

EXERCÍCIOS

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Decorrem da definição de logaritmos as

seguintes propriedades para 0 < 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0.

• log𝑎 1 = 0

• log𝑎 𝑎 = 1

• log𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

• 𝑎log𝑎 𝑁 = 𝑁

• log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦

EXERCÍCIOS

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

• 1ª propriedade: logaritmo de um produto

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃. 𝒄 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄

• 2ª propriedade: logaritmo de um quociente

Numa mesma base, o logaritmo do quociente de

dois números é igual à diferença entre os logaritmos

desses números.

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃

𝒄= 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄

• 3ª propriedade: Logaritmo de uma potência

Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃

𝒄 = 𝒄 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄

• 4ª propriedade: Mudança de base

Se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais positivos e a e c diferentes de 1, então tem-se:

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃

𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂

EXERCÍCIOS

COLOGARITMO

Denomina-se cologaritmo de um número b

(𝑏 > 0) numa base a (𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1) o oposto do logaritmo do número b na base a ou o logaritmo do inverso de b na base a.

cologa b= −𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 ou cologa b= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝟏

𝒃.

EXERCÍCIOS

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Definição: Dado um número real a (0 < 𝑎 ≠1), chamamos função logarítmica de base a a função 𝑓 de ℝ+

∗ em ℝ que associa a cada x

o número log𝑎 𝑥.

Em símbolos: 𝑓:ℝ+

∗ → ℝ 𝑥 → log𝑎 𝑥

PROPRIEDADES

• Propriedade 1. Uma função logarítmica L: ℝ+ → ℝ é sempre injetiva, isto é, números positivos diferentes têm logaritmos diferentes.

• Propriedade 2. O logaritmo de 1 é zero.

• Propriedade 3. Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.

PROPRIEDADES

• Propriedade 4. Para todo 𝑥 > 0, tem-se

𝐿 1𝑥 = −𝐿(𝑥).

• Propriedade 5. Para quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+, vale 𝐿 𝑥

𝑦 = 𝐿 𝑥 − 𝐿 𝑦 .

• Propriedade 6. Uma função logarítmica 𝐿: ℝ+ → ℝ é ilimitada, superior e inferiormente.

IMAGEM

• Se 0 < 𝑎 ≠ 1, então a função 𝑓 de ℝ+∗ em ℝ

definida por 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 admite a função inversa de g de ℝ em ℝ+

∗ definida por 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑥. Logo, 𝑓 é bijetora e, portanto, a imagem de 𝑓 é: 𝐼𝑚 = ℝ.

GRÁFICO

Com relação ao gráfico cartesiano da função

𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 0 < 𝑎 ≠ 1 , podemos dizer:

• Está todo à direita do eixo y (𝑥 > 0);

• Corta o eixo x no ponto de abcissa

1 (log𝑎 1 = 0 para todo 0 < 𝑎 ≠ 1);

• Se 𝑎 > 1 é de uma função crescente e se

0 < 𝑎 < 1 é de uma função decrescente;

• É simétrico em relação à reta 𝑦 = 𝑥 (bissetriz dos

quadrantes ímpares) do gráfico da função

𝑔 𝑥 = 𝑎𝑥;

EXERCÍCIOS

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Vamos estudar as equações

logarítmicas, ou seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo, como estas:

• log3 𝑥 = 5

• log2(𝑥 + 1) + log2 𝑥 − 1 = 1

• 2 ∙ log 𝑥 = log 2𝑥 − log 3

EXERCÍCIOS

JOGO