Ministério da Educação

Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica

Instituto Federal Catarinense - Campus Sombrio

Curso de Licenciatura em Matemática

PLANO DE AULA

Dados de identificação

Escola: Escola de Educação Básica Professora Maria Solange Lopes de Borba

Município: São João do Sul, SC.

Disciplina: Matemática

Série/Ano: 3º Turma: 301 Níveis: Ensino Médio Período: Vespertino

Professor: Suzana Scandolara Selau Tempo prevista: 10horas/aulas.

1. Temas: Números Complexos.

1.1. Subtemas: Números Complexos: Historicização; Retomando: conjuntos numéricos;

Conjunto dos números complexos: forma algébrica; Conjugado de um número

complexo; Operações com números complexos; Representação geométrica de um

número complexo; Módulo de um número complexo; Argumento de um número

complexo; A forma trigonométrica de um número complexo; Operações na forma

trigonométrica de um número complexo Teorema de De Moivre; Exercícios.

1.2. Justificativa:

A importância dos números complexos está marcada pelas suas múltiplas aplicações em

diversas áreas (Matemática, Física, Engenharia, Tecnologia,...). Números Complexos

introduzem-se para dar sentido à raiz quadrada de números negativos. Abre-se assim a porta a

um curioso e surpreendente mundo em que todas as operações (exceto a divisão por zero) são

possíveis.

Desta forma, se faz necessário aprender a expressão dos números complexos, a sua

representação gráfica, operações e forma trigonométrica/geométrica para facilitar sua

compreensão.

2. Objetivos:

Identificar um número complexo;

Distinguir parte real e imaginária de um número complexo;

Operar com números complexos;

Representar números complexos na sua forma trigonométrica;

Aplicar números complexos na resolução de problemas.

3. Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula).

As operações básicas;

Conjuntos numéricos;

Plano cartesiano e plano Argand Gauss.

4. Estratégias:

4.1. Recursos: quadro, caneta para quadro, multimídia, maquete, EVA.

4.2. Técnicas: Aula expositiva e dialogada com utilização da maquete, atividades em sala de

aula.

5. Procedimentos:

5.1. Problematização

Em geral utilizamos as coordenadas cartesianas para estabelecermos a localização em

pequenos espaços. Mas esta localização também pode ser extrapolada para ouras situações, é

o caso da cidade Triangonópolis. Vejamos o que segue: Na cidade Triangonópolis

apresentada na figura 01 os terrenos são todos formas triangulares, cada esquina de cada

terreno representa um vértice indicado por uma letra maiúscula que tem a representação a

partir de um referencial na forma do afixo (a,b) no plano Argand-Gauss. Na cidade há um

bairro em que se apresentam destacados os nomes de 16 moradores conforme ilustrado na

figura. Na maquete, encontre seu terreno e determine valores de a e b de cada vértice que

constitui seu terreno escolhido.

Estes valores que você identificou podem ser expressos na forma de números

complexos. Este é o desafio: como representar cada vértice na forma algébrica e no plano de

Argand-Gauss?

Figura 01: Maquete da cidade Triangonópolis

Fonte: Elaborado pela autora

5.2. Historicização:

O conceito de número complexo se desenvolveu gradativamente, como ocorreu com os

demais tipos de números. Algumas equações do 2° grau, como x² + 1 = 0 não haviam solução

até o século XVI, pois para os matemáticos da época a raiz negativa não existia. Porém, não

foi este o motivo pelo qual os números complexos surgiram. Ao passar dos anos, alguns

matemáticos viram o mesmo problema para equações do 3º grau, onde se percebeu que os

números reais não eram suficientes para resolver este tipo de equação.

Curiosidade: os números complexos surgiram na época do Renascimento, onde a

Europa estava se recuperando da peste negra e tinha uma forte influência do Humanismo. A

matemática grega não era compreendida, pois poucos sabiam ler grego e era um assunto

complexo. Assim, os europeus acabaram seguindo para outros ramos e continuaram a difundir

a Matemática.

Para resolver este problema, alguns matemáticos europeus, principalmente italianos

desenvolveram pesquisas, e houve algumas disputas. Os números complexos começaram a ser

desenvolvidos por Scipione Dal Ferro. Ferro desenvolveu uma teria para a solução das

equações do tipo x³ + px + q = 0, mas acabou não publicando sua teoria.

Porque os matemáticos não divulgavam suas teorias? Nesta época os matemáticos

tinham costume de desafiar outros matemáticos, para se mostrar algumas vezes mais

inteligentes. Outra hipótese seria o medo de outro matemático encontrar algum erro na

fórmula, e assim surgiram alguns problemas sobre a notoriedade de algumas teorias. Antonio

Maria Fior conheceu a teoria de Ferro e ampliou para as equações do tipo x³ + px² + q = 0.

Fior acabou desafiando o jovem Niccolò Fontana, conhecido como Tartaglia a resolver

equações de grau 3. Para a surpresa de Fior, Tartaglia conseguiu resolver. Com muita

dedicação e esforço, Tartaglia procurou um método para a resolução destas equações e acabou

encontrando. Por este motivo, ele acabou vencendo todas as disputas com Fior.

Neste momento, chega aos ouvidos de Girolamo Cardano que Tartaglia sabia resolver

tal tipo de equação. Cardano implorou a “fórmula” para resolver estas equações. Tartaglia

recusou e acabou sendo acusado de mesquinho e egoísta. Com a insistência de Cardano e

jurando que não divulgaria o resultado, Tartaglia revelou a solução. Porém, Cardano não

cumpriu com sua palavra, e em 1545 fez a publicação num livro. Ele somente fez uma

menção de Tartaglia na sua obra e até hoje a fórmula é conhecida como “Fórmula de

Cardano”. Esta descoberta foi tão inusitada que ficou conhecida como o início da matemática

moderna.

Após esta “luta” surge um problema inquietante que Cardano trouxe conhecido na

época como números “sofisticados”, ou seja, as raízes quadradas de números

negativos. Cardano concluiu que estas raízes seriam um número “tão sutil quanto inútil”. Ao

passar dos anos seria provado que estes números não eram inúteis como Cardano achava.

Mas, como resolver o problema dos números “sofisticados”? O que fazer com estes números?

Fica evidente que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo de equação.

Assim, seguiram a mesma ideia que os pitagóricos seguiram quando descobriram o número

raiz quadrada de 2. Neste momento da história, se introduz a ideia de aceitar o imaginário, e

não somente o real.

Rafael Bombelli surge para trabalhar com este problema e mostrou que ao conhecer

uma raiz de uma equação cúbica, conseguimos encontrar as outras duas. Por exemplo, se x =

4. Sabemos que a soma das outras duas raízes deve ser 4, logo a parte real da equação é 2.

Bombelli teve a ideia de somar um número imaginário a esta parte real, e na outra raiz somar

o inverso relativo à adição deste número imaginário. Mais tarde, essa teoria vai ficar

conhecida como raiz conjugada.

René Descartes escreveu no seu livro Géométrie a seguinte frase: “Nem sempre as

raízes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas

são imaginárias”. Com esta citação ficou definido que o número raiz quadrada de -1 seria

chamado de número imaginário e que poderia ser manipulado de acordo com as regras da

álgebra.

Abraham de Moivre foi um grande matemático e ficou conhecido pela fórmula de

Moivre, que relaciona os números complexos com a trigonometria. Provavelmente Moivre

descobriu esta relação em 1707.

Tudo na matemática possui uma simbologia, seja o sinal de divisão, seja uma integral,

então como ficariam definidos estes números imaginários? Foi Leonhard Euler que criou

vários símbolos, assim à raiz quadrada de -1 seria simbolizada por i, em 1777. Segundo Euler,

os números complexos também podem possuir uma parte real. Logo, o número complexo é do

tipo: z = a + bi, onde a e b são números reais e i² = -1, mas esta ideia só foi aceita quando

Gauss introduziu esta ideia.

Em 1797, Caspar Wessel trabalhou geometricamente os números complexos, fazendo

uma correspondência objetiva entre estes e os pontos do plano, mas somente foi publicado em

1806, por Jean Argand. Hoje, Argand recebe o mérito por esta representação. Em 1798 o

matemático Carl Friedrich Gauss demonstrou em sua tese de doutorado que toda equação

algébrica de grau n (n > 0) e coeficientes complexos, tem pelo menos uma raiz complexa.

Esse é o chamado Teorema Fundamental da Álgebra. Tal teorema resolveu a questão das

soluções de equações algébricas.

Em 1831, Gauss retomou a ideia Argand e pensou nos números a + b(raiz -1), como

coordenadas de um ponto em um plano cartesiano, tendo assim (a, b). Deu-se também uma

interpretação geométrica para a adição e multiplicação dos símbolos. Esta representação

geométrica, fez com que os matemáticos se sentissem muito mais à vontade quanto aos

números imaginários, pois estes agora podiam ser visualizados no sentido de que cada ponto

no plano corresponde a um número complexo e vice versa. E para finalizar, em 1832, Gauss

introduz a expressão número complexo.

5.3. Operacionalização da aula:

Retomando: Conjuntos numéricos

Iniciar a aula resolvendo algumas equações e classificando os resultados em seus

respectivos conjuntos.

1. Resolva as seguintes equações abaixo, classificando os resultados nos conjuntos

numéricos.

a) x2 – 25 = 0

b) 2x + 5 = 1

c) 2x + 1 = 4

d) x2

- 2= 0

e) x2

+ 4 = 0

O conjunto dos números complexos

O surgimento dos números complexos levou a uma ampliação dos conjuntos numéricos

tendo sido criado, então, o conjunto dos números complexos.

₵ = 𝐳|𝐳 = 𝐚 + 𝐛𝐢, 𝐜𝐨𝐦 𝐚,𝐛 ∈ ℝ 𝐞 𝐢𝟐 = −𝟏

Todo número complexo z pode ser escrito da maneira única na forma: z = a + bi em

que a, b ∈ ℝ, e i é a unidade imaginária.

Vamos representa nossos vértices do terreno da Triangonópolis na forma de z = a + bi.

Essa é a chamada forma algébrica do número complexo z. Observemos que um número

complexo escrito nessa forma tem duas partes:

Z = a + bi

Parte Parte

real imaginária

i é a unidade imaginária, tal que i2

= -1.

Exemplos:

Assim a observar nossa Triangonópolis podemos observar que o eixo horizontal

corresponde à parte real e o eixo vertical corresponde à parte imaginária de z

1) Represente a arte real e a parte imaginária de seus vértices.

Outros exemplos

a) z = 3 -2i é um número complexo com Re(z) = 3 e Im(z) = -2

b) z = 3 = 3 + 0i é um número complexo com Re(z) = 3 e Im(z) = 0

Nesse caso, z é também m número real, pois a parte imaginária de z é nula.

c) z = 4i = 0 + 4i é um número complexo com Re(z) = 0 e Im(z) = 4

Nesse caso, z é chamado imaginário puro, pois a parte real de z é nula.

Igualdade de número complexo

Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + di, com a, b, c, d ∈ ℝ, definimos a

igualdade z = w quando Re(z) = Re(w) e Im(z) = Im(w), ou seja:

z = w ⇔ a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d

Na cidade Triângonópolis há vértices dos terrenos que são comuns, por exemplo:

Fulano e fulano tem em comum o vértice tal, logo z de fulano é igual a z de ciclano.

Exemplo:

Os números complexos z = 8 + bi e w = a − 2i, com a, b ∈ ℝ, são iguais se, e somente se:

Re(z) = Re(w) ⇒ 8 = a

Im(z) = Im(w) ⇒ b = − 2

Operações com números complexos

Adição e subtração de números complexos:

Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + di, com a, b, c, d ∈ ℝ, podemos

definir as operações de adição e subtração entre z e w da seguinte forma:

Adição: z + w = (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i

Subtração: z - w = (a + bi) - (c + di) = a + bi - c - di = (a - c) + (b - d)i

Exemplos:

Sejam os números complexos z1 = 1 + 3i, z2 = i e z3 = -7. Vamos calcular:

a) z1 + z2 + z3 = (1 + 3i) + (0 + i) + (-7 + 0i) = 1 + 3i + 0 + i -7 + 0i

= (1 + 0 -7) + (3 + 1 + 0)i = -6 + 4i

b) z2 – (z1 + z3) = i – (1 + 3i -7) = i – (1 -7 + 3i) = i – (-6 + 3i) = i + 6 – 3i = 6 – 2i

As potências de i

i0 = 1 i4 = i2. i2 = −1 . −1 = 1

i1 =i i5 = i2. i2. i = i

i2 =-1 i6 = i2. i2. i2 = −1

i3= i2. i = −1. i = −i i7 = i2. i2. i2. i = −i

As potências de i se repetem em grupos de quatro valores, seguindo o padrão das

potências i0, i1, i2 e i3. Então, para calcular a potência in , com n ∈ ℕ, efetuamos a divisão de

n por 4 e consideramos o resto dessa divisão como o novo expoente de i.

Exemplos:

Simplificar: 3i44 +12i33

−3i50 →

3.1+12.i

−3.(−1)=

3+12i

3=

3

3+

12i

3= 1 + 4i

i44 = i0 = 1

i33 = i1 = i

i50 = i2 = −1

Multiplicação de números complexos:

Dados dois números complexos z = a + bi e w = c + bi, com a, b, c, d ∈ ℝ, podemos

efetuar a multiplicação entre z e w aplicando a propriedade distributiva:

z . w = (a + bi)(c + di) = ac + adi +bci + bdi2

Exemplo:

Dados os números complexos z1 = 1 + i, z2 = 4 – 2i e z3 = 5, vamos calcular:

a) z1 . z2 = (1 + i).(4 – 2i) = 4 – 2i + 4i - 2i2

= 4 + 2i – 2.(-1) = 4 + 2i + 2 = 6 + 2i

b) (z2)2 = (4 – 2i)

2 = (4 – 2i).(4 – 2i) = 16 – 8i – 8i + 4i

2 = 16 – 16i + 4.(-1)

= 16 – 16i – 4 = 12 – 16i

c) 2. (z2.z3) = 2.[(4 – 2i)(5)] = 2.(20 – 10i) = 40 + 20i = 60 + 20i

O conjugado de um número complexo:

Antes de falar sobre conjugado de um número complexo vamos rever os casos de

racionalização, assim como racionalizar o 5

3− 2?

5

3 − 2 . 3 + 2

3 + 2 =

15 + 5 2

9 − 2=

15 + 5 2

7

Primeiro questionar:

Porque precisamos racionalizar este número? (A racionalização é necessária para os casos em

que não se tem a disposição a calculadora, pois não é possível realizar a divisão com números

irracionais no divisor, e a racionalização converte este número irracional em racional tornando

possível a divisão).

Assim como sabemos que i = −𝟏 então sempre que temos i no denominador temos

que racionalizar e este processo correspondem à necessidade de representarmos o conjugado,

conforme segue:

Dado um número complexo z = a + bi, com a, b ∈ ℝ, chamamos de conjugado de z,

cuja notação é z , o número complexo z = a – bi.

Para obter z , basta trocar o sinal da parte imaginária de z.

Exemplo:

Os conjugados dos números complexos z1 = 1 + i, z2 = -3 – 5i, z3 = 3 e z4 = -i são:

z 1 = 1- i, z 2 = -3 + 5i, z 3 = 3 e z 4 = i

Divisão de número complexo:

O processo de divisão só é possível pela determinação do conjugado.

Dados dois números complexos z e w, com w ≠ 0, podemos efetuar a divisão entre z e

w por meio de um processo semelhante à racionalização de denominadores. Para obter o

quociente z

w, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador (w ).

Assim: 𝐳

𝐰=

𝐳 . 𝐰

𝐰 . 𝐰

Exemplo:

Calcular os quocientes: 1

i,−2+i

3−2i e

(3−2i)2

−2+i.

1

i=

1.(−i)

i.(−i)=

−i

−i2=

−i

−(−1)=

−i

1= −i

−2+i

3−2i=

−2+i .(3+2i)

3−2i .(3+2i)=

−6−4𝑖+3𝑖+2𝑖2

9+6𝑖−6𝑖−4𝑖2=

−8−𝑖

13= −

8

13−

1

13i

(3−2i)2

−2+i=

9−12i+4i2

−2+i=

5−12i

−2+i=

5−12i . −2−i

−2+i . −2−i =

−10−5i+24i+12i2

4+2i−2i−i2=

−22+19i

5=

−22

5+

19

5i

Representação geométrica de um número complexo

Vamos retornar nossa Triangonópolis. Explicar na Triangonópolis a representação

geométrica dos números complexos.

Da mesma forma que a cada número real pode-se associar um único ponto da reta real, a

cada elemento a + bi (com a, b ∈ ℝ) do conjunto dos números complexos corresponde um

único ponto P(a, b) do plano cartesiano e vice-versa. A parte real de z é representada no eixo

das abscissas, que é chamado de eixo real, e a parte imaginária, no eixo das ordenadas, que é

o eixo imaginário.

O plano cartesiano assim definido passa a ser chamado de plano de Argand-Gauss ou

plano complexo. O ponto P(a, b) é a imagem de z nesse plano ou o afixo do número

complexo z = a + bi (com a, b ∈ ℝ).

Exemplo:

Vamos representar no plano complexo as imagens dos números complexos: z1 = 3 – i, z2 = 4i

e z3 = -1.

Exemplo:

Vamos representar no plano complexo as imagens dos números complexos: z1 = 3 – i, z2 = 4i

e z3 = -1.

Módulo de um número complexo

O módulo de z = a + bi, indicado por |z| ou 𝛒, é o módulo do vetor 𝑂𝑃 que o representa

(comprimento do vetor), ou seja, é a distância da origem O(0,0) ao ponto P(a,b).

Assim, no triângulo OAP, temos: |z| = dO,P = a − 0 2 + (b − 0)² = a² + b²

|z| = 𝛒 = 𝐚² + 𝐛²

Argumento de um número complexo

A direção do vetor 𝑂𝑃 é dada pelo ângulo θ (com 0 ≤ θ < 2𝜋), formado pelo vetor e

pelo semieixo real positivo, considerado no sentido anti-horário. Para um complexo não nulo

z (z = a + bi, com a, b ∈ ℝ), o ângulo θ é chamado de argumento de z, indicado por arg(z).

Também temos que:

θ é o ângulo tal que sen θ = 𝐛

𝛒 e cos θ =

𝐚

𝛒, com 𝛒 = 𝐳 𝐞 𝟎 ≤ 𝛉 < 𝟐𝛑

Exemplo:

Representar geometricamente o número complexo z = 2 + 2i e obter o módulo e o argumento

de z.

O módulo de z é dado por: ρ = dO,P 2² + 2² = 8 = 2 2

Para obter o argumento de z, vamos considerar o triângulo retângulo OAP.

sen θ = AP

OP=

Im (z)

ρ=

2

2 2=

1

2. 2

2=

2

2

cos θ = OA

OP=

Re (z)

ρ=

2

2 2=

1

2. 2

2=

2

2

Como 0 ≤ θ < 2𝜋, temos θ =π

4 ou 45°.

A forma trigonométrica de um número complexo

Vamos ver agora como expressar o número complexo z = a + bi, não nulo e com a, b

∈ ℝ, por meio de suas coordenadas polares, obtendo a chamada forma trigonométrica ou

forma polar de z.

Já sabemos que:

ρ = a² + b² sen θ = b

ρ → b = ρ. senθ cos θ =

a

ρ → a = ρ. cosθ

Substituindo esses valores na forma algébrica de z, temos:

z = a + bi = ρ . cos θ + ρ . sen θ . i = ρ . cos θ + ρ . i. sen θ

z = 𝛒(𝐜𝐨𝐬 𝛉 + 𝐢 . 𝐬𝐞𝐧𝛉)

Exemplo:

2) Escrever z = -1 + 1 na forma trigonométrica e representa-lo geometricamente.

ρ = a² + b² → ρ = (−1)² + 1² = 2

sen θ = b

ρ=

1

2=

2

2 cos θ =

a

ρ=

−1

2= −

2

2

θ = 3𝜋

4

Logo: z = ρ(cosθ + i . senθ)

z = 2 . (cos3𝜋

4+ i . sen

3𝜋

4)

O número complexo z pode ser representado por um vetor de módulo 2 e direção θ = 3𝜋

4

ou 135°.

Operação na forma trigonométrica

Multiplicação e divisão: considere os números complexos z1 e z2 de módulo 𝜌1 e 𝜌2 e

argumento 𝜃1 e θ2 , respectivamente não nulos, na forma trigonométrica:

z1 = 𝜌1(cos 𝜃1 + i . sen𝜃1) e z2 = 𝜌2(cos𝜃2 + i . sen𝜃2)

Vamos obter o produto z1z2:

Da aula da Natalia de operações com arcos tem-se seguinte:

z1z2 = [ρ1(cosθ1 + i . senθ1)] . [ρ2(cosθ2 + i . senθ2)]

= ρ1ρ2(cosθ1 + i . senθ1) . (cosθ2 + i . senθ2)

= ρ1ρ2(cosθ1. cos θ2 + i . cos θ1. senθ2 + i. senθ1 . cosθ2 + i². senθ1 . senθ2)

= ρ1ρ2[(cosθ1. cos θ2 − senθ1. senθ2) + i. ( cos θ1 . senθ2 + senθ1. cosθ2)]

Assim: z1z2 = 𝛒𝟏𝛒𝟐[𝐜𝐨𝐬(𝛉𝟏 + 𝛉𝟐) + 𝐢 . 𝐬𝐞𝐧(𝛉𝟏 + 𝛉𝟐)]

Vamos obter o quociente z1

z2 multiplicando-o por

z2

z2 :

z1

z2 =

ρ1(cos θ1+i .sen θ1)

ρ2(cos θ2+i .sen θ2)=

ρ1(cos θ1+i .sen θ1)(cos θ2−i .sen θ2)

ρ2(cos θ2+sen θ2)(cos θ2−i .sen θ2)

= ρ1

ρ2 .

cos θ1 . cos θ2−i .cos θ1 . sen θ2+ i .sen θ1 .cos θ2−i2 . sen θ1 . sen θ2

cos ²θ2+sen ² θ2

= ρ1

ρ2 .

(cos θ1 . cos θ2+ sen θ1 sen θ2)+i .( sen θ1 . cos θ2−. sen θ2 . cos θ1)

1

Assim: 𝐳𝟏

𝐳𝟐 =

𝛒𝟏

𝛒𝟐 [𝐜𝐨𝐬 𝛉𝟏 − 𝛉𝟐 + 𝐢 . 𝐬𝐞𝐧(𝛉𝟏 − 𝛉𝟐)]

Exemplo:

Dados os números complexos z1 = 3 . cosπ

2+ i . sen

π

2 e z2 = 4 . cos

π

4+ i . sen

π

4 , calcular:

a) z1

z2 →

ρ1

ρ2 [cos θ1 − θ2 + i . sen(θ1 − θ2)] =

3

4 [cos

𝜋

2−

𝜋

4 + i . sen(

𝜋

2−

𝜋

4)]

= 3

4 (cos

𝜋

4+ i . sen

𝜋

4)

b) z1z1 → 3² . (cos𝜋

2+ i . sen

𝜋

2) . (cos

𝜋

2− i . sen

𝜋

2) = 9 . [(cos

𝜋

2)² − (i . sen

𝜋

2)²]

= 9 . (cos²𝜋

2− i² . sen²

𝜋

2) = 9 (cos²

𝜋

2+. sen²

𝜋

2) = 9 . 1 = 9

Potenciação: 1ª Formula de De Moivre

Considere o número complexo z, não nulo, na forma trigonométrica. Vamos obter

𝑧𝑛 = [𝜌(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 . 𝑠𝑒𝑛𝜃)]n , com n ∈ ℕ e n > 1, recorrendo à multiplicação de complexos na

forma trigonométrica vista anteriormente.

Zn = z.z.…. z.z = 𝜌(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 . 𝑠𝑒𝑛𝜃) .𝜌(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 . 𝑠𝑒𝑛𝜃) .… .𝜌(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 . 𝑠𝑒𝑛𝜃)

= 𝜌.𝜌.… .𝜌.𝜌. [𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝜃 + ⋯+ 𝜃 + 𝜃 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 𝜃 + ⋯+ 𝜃 + 𝜃]

Ou seja: 𝐳𝐧 = 𝛒𝐧. (𝐜𝐨𝐬 𝐧𝛉 + 𝐢. 𝐬𝐞𝐧 𝐧𝛉)

Exemplo:

Dado z = 2. (cosπ

3+ i. sen

π

3), vamos calcular z

7.

z7 = 27. [cos(7.π

3) + i. sen(7.

π

3)] = 128. (cos

7π

3+ i. sen

7π

3)

5.4. Conclusão da aula (atividades e sugestão de atividade).

Lista de Exercícios:

1. Calcule as seguintes somas:

a) (2 + 5i) + (3 + 4i)

b) i + (2 - 5i)

2. Calcule as diferenças:

a) (2 + 5i) - (3 + 4i)

b) (1 + i) - (1 - i)

3. Calcule os seguintes produtos:

a) (2 + 3i) (3 - 2i)

b) (1 + 3i) (1 + i)

4. Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:

a) 3 + 4i

b) 1 - i

c) –3 + i

d) –2 –5i

6. Efetue as seguintes divisões de números complexos:

a) (-10 + 15i) / (2 – i)

b) (1 + 3i) / (1 + i)

6. Avaliação:

A avaliação dar-se-á observando a participação e o interesse do discente em sala de aula

e na resolução do exercício proposto, considerando as respostas dadas aos questionamentos

sugeridos permitindo verificar se houve entendimento sobre os conteúdos.

6.1. Instrumentos de avaliação

O processo avaliativo será operacionalizado durante o decorrer das aulas e ao concluir

os conteúdos será aplicado um instrumento de avaliação individual.

7. Bibliografia

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. ed. - Ática. São Paulo,

2013.

LEONARDO, Fabio Martins de. Conexões com a Matemática. Organização editora

moderna 2. ed. São Paulo: Moderna 2013.

PAIVA, Manoel. Matemática: Paiva. 2. ed.- São Paulo: Moderna, 2013.

APÊNDICE

Escola de Educação Básica Professora Maria Solange Lopes de Borba

Professora: Suzana Scandolara Selau

DISCIPLINA: Matemática Data: 03/11/2014

Aluno (a):............................................................................................Série: 3º ano

PROVA

1) Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta para

as falsas.

( ) O número − 5 não é complexo ,pois não pode ser escrito na forma algébrica z = a + bi.

( ) Todo número complexo é real, mas nem todo número real é complexo.

( ) Com o aparecimento dos números complexos, tornou-se possível resolver equações do 2°

grau nas quais o discriminante (∆) é negativo.

( ) A parte imaginária de um número complexo pode ser um número irracional.

( ) A parte real de um número complexo não pode ser um número racional.

2) Identifique e escreva a parte real e a parte imaginária de z em cada caso.

a) z = 3 − i. 5 d) z = 9i

b) 𝑧 =1+2i

3 e) z = 4

c) z = - i

3) Some a(s) alternativas que você considera correta(s):

01. A multiplicação de z. z do número complexo z = - 3 – 2i é igual a 13.

02. A parte real de z é representada no eixo vertical, que é chamado de eixo real, e a parte

imaginária, no eixo horizontal, que é o eixo imaginário.

04. θ é o ângulo tal que sen θ =b

ρ e cos θ =

a

ρ com ρ = z e 0 ≤ θ ≤ π.

08. Efetuando o seguinte equação 2i8 + (1 + 4i)

2 é igual a -13 + 8i.

Soma:

4) Escreva z = 2i na forma trigonométrica e represente-o na geometricamente.