Ministério da Educação

Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio

Curso de Licenciatura em Matemática

PLANO DE AULA

1) Identificação

Escola: Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio.

Município: Sombrio

Professora: Katelyn Luzia dos Santos Daboit.

Disciplina: Matemática.

Série: 1º ano

Turma: B

Turno: Integral

Cronologia: 3 horas aula.

2) Tema: Logaritmos.

2.1-Subtemas: Definição de logaritmo, logaritmo de um número, propriedades dos

logaritmos, Função logarítmica e equações logarítmicas.

3) Justificativa.

O estudo dos logaritmos, permiti resolver problemas encontrados em situações reais,

como, por exemplo, na música, na economia, na química e na medida da intensidade dos

abalos sísmicos.

Apropriar-se dos conceitos de logaritmos significa ter mais uma ferramenta para

resolver problemas e de reconhecer a realidade. Segundo PCN (1998, p. 40), “é preciso que o

aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma

linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e interpretá-la,

trabalhando-se subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações”.

4) Objetivos.

Conhecer a história dos logaritmos.

Compreender a ideia de logaritmo.

Reconhecer a importância do seu estudo.

Explorar logaritmo de um número.

Reconhecer as funções logarítmicas.

Analisar as funções logarítmicas.

Reconhecer equações logarítmicas.

Calcular equações logarítmicas.

5) Conteúdos envolvidos: operações básicas, funções exponenciais, função e equação.

6) Estratégias:

6.1- recursos: folhas de papel, lousa, pincel, computador e calculadora.

6.2- técnicas: aula expositiva e dialogada, jogo matemático e tecnologias.

7) Procedimentos:

O estudo dos logaritmos se iniciará com a apresentação de uma situação em que se faz

necessário o estudo dos logaritmos, para posteriormente serem explorados seus conceitos,

história e algumas aplicações.

7.1- Problematização:

Os astrônomos medem o brilho aparente dos objetos que aparecem no céu através das

magnitudes. A escala de magnitudes é diferente da maioria das escalas que estamos

acostumados a utilizar, pois se trata de uma escala inversa. Quanto menor o valor do número,

maior o brilho do objeto.

Quando observamos o firmamento estrelado, notamos que as estrelas possuem brilhos

diferentes. Algumas estrelas possuem brilho intenso, existem aquelas que possuem brilho

intermediário e outras que mal podemos enxerga-las. Esta diversidade chamou a atenção dos

antigos observadores da Grécia Clássica, onde teve origem o primeiro sistema de classificação

das estrelas segundo o seu brilho, e que acabou originando o sistema utilizado até os dias de

hoje.

Na metade do século XIX havia evidências de que a resposta visual a um estímulo

seria proporcional ao logaritmo da intensidade luminosa. Mas apenas em 1856 o astrônomo

inglês Normam Pogson (1829 – 1891) desenvolveu um modelo matemático preciso para o

sistema de magnitudes estelares.

Pogson propôs então a criação de uma escala de acordo com a que já se conhecia

levando em consideração a resposta visual aos estímulos luminosos. A magnitude

estabelecida desta forma por Pogson, chamada de magnitude visual, passa a ser representada

pela letra m minúscula e está definida pela relação abaixo, onde (e.g. W/m²) é o fluxo

visual da estrela considerada, e é o fluxo visual de Vega, que por definição tem magnitude

zero.

Por meio desta ferramenta de cálculo alguns objetos astronômicos foram listados conforme

ilustrado no quadro abaixo:

Quadro 01: Magnitude visual dos astros.

Fonte: http://www.cosmobrain.com.br/rc/magnitude1.html.

Observando os dados do quadro acima, e da fórmula descoberta por Pogson descubra

quantas vezes a estrela Sírius é mais brilhante que a estrela Acrux estrela mais brilhante do

Cruzeiro do Sul.

Resolução:

Sírius tem magnitude aparente e Acrux tem magnitude aparente . Assim tem-se:

(

) e (

)

(

)

(

)

Logo, Sírius é 12,02 vezes mais brilhante que a estrela Acrux.

7.2- Historicização:

No início do século XVII, os cálculos envolvidos nos assuntos de Astronomia e

Navegação eram longos e trabalhosos. Para simplificar esses cálculos, surgiram nesta época

as primeiras tábuas de logaritmos, inventadas independentemente por Jost Bürgi (1552-1632)

e John Napier (1550-1671). Seguidos de Henry Briggs (1561-1631) que aperfeiçoou essas

tábuas, apresentando os logaritmos decimais.

Segundo Maor (2008), Napier após realizar alguns estudos, descobrindo o

comportamento de alguns números quando submetidos a determinadas operações, chamou o

expoente de cada potencia de “número artificial”, mas depois decidiu pelo termo logaritmo, a

palavra significando “número proporcional”.

Segundo ele, os logaritmos facilitaram os cálculos principalmente por permitir

transformar as operações de multiplicação em adição e de divisão em subtração.

Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo numérico dos que

estavam envolvidos na Navegação e Astronomia. Dizia-se na época que a invenção dos

logaritmos “duplicou” a vida dos astrônomos, pois produziriam muito mais do que haviam

produzido antes dos logaritmos. Posteriormente, surgiram às réguas de cálculo, baseadas

nessas propriedades dos logaritmos. Hoje, com o advento das calculadoras e

microcomputadores, elas caíram em desuso.

7.3- Operacionalização da aula:

Logaritmos

O logaritmo é um importante instrumento para a resolução de equações exponenciais.

Segundo Lima (2013) além de servir para o cálculo destas equações, atualmente continuam a

merecer destaque na matemática, devido suas aplicações. Esta posição justifica-se porque a

função logarítmica e a sua inversa, a função exponencial, constituem a única maneira de

descrever matematicamente a evolução de uma grandeza em função de sua taxa de

crescimento (ou decrescimento) num dado momento.

Definição de Logaritmo de um número

Dados os números reais positivos e , com , chama-se logaritmo de b na base

a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potencia obtida seja igual a b.

Em símbolos: se e , então:

Em , dizemos:

é a base do logaritmo, é o logaritmando e é o logaritmo.

Exemplos:

1. A que número x se deve elevar:

a) O número 2 para se obter 8?

Resolução:

, logo devo elevar 2 a 3ª potencia para obter 8.

b) O número 3 para se obter

?

Resolução:

2. Calcule:

a)

Resolução:

Assim,

b) √

Resolução:

√

√

√

, logo √

Consequências da definição de logaritmo

Decorrem da definição de logaritmos as seguintes propriedades para

I.

II.

III.

IV.

V.

Exercícios:

1. Calcule os valores ou encontre o valor de x conforme cada caso:

a) √ √

Resolução:

Pela propriedade II, tem-se: √ √

b)

Resolução:

Pela propriedade V, tem-se:

c)

Resolução:

Pela propriedade III, tem-se:

d)

Resolução:

Pela propriedade IV, tem-se:

Propriedades operatórias dos logaritmos

1ª propriedade: logaritmo de um produto

Demonstração:

Consideremos e , provemos que De fato:

{

2ª propriedade: logaritmo de um quociente

Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números é igual à diferença entre os

logaritmos desses números.

3ª propriedade: Logaritmo de uma potência

Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do

expoente pelo logaritmo da base da potência.

4ª propriedade: Mudança de base

Se são números reais positivos e a e c diferentes de 1, então tem-se:

Exercícios:

1. Encontre a solução das sentenças abaixo utilizando as propriedades operatórias dos

logaritmos.

a)

b) (

)

c)

d) convertido para a base .

Cologaritmo

Denomina-se cologaritmo de um número b numa base a o

oposto do logaritmo do número b na base a ou o logaritmo do inverso de b na base a.

cologa b= ou cologa b=

.

Exemplos:

1.

Resposta:

(

)

2. (

)

Resposta:

Cálculo de Logaritmos

Há casos de logaritmos que é necessário o uso de calculadora para calcula-los, ou uma

tabela de valores.

Exemplos:

a)

Resolução:

b) √

Resolução:

√

Função Logarítmica

Definição: Dado um número real a , chamamos função logarítmica de base a a

função de em que associa a cada x o número .

Em símbolos:

Propriedades:

Propriedade 1. Uma função logarítmica é sempre injetiva, isto é, números

positivos diferentes tem logaritmos diferentes.

Propriedade 2. O logaritmo de 1 é zero.

Propriedade 3. Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números

positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.

Propriedade 4. Para todo , tem-se ( ⁄ ) .

Propriedade 5. Para quaisquer , vale ( ⁄ )

Propriedade 6. Uma função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente.

Imagem:

Se , então a função de em definida por admite a função

inversa de g de em definida por . Logo, é bijetora e, portanto, a imagem de

é: .

Gráfico

Com relação ao gráfico cartesiano da função podemos

dizer:

a) Está todo à direita do eixo y ; b) Corta o eixo x no ponto de abcissa ;

c) Se é de uma função crescente e se é de uma função decrescente;

d) É simétrico em relação à reta (bissetriz dos quadrantes ímpares) do gráfico da

função ;

Exercícios:

1. As funções logarítmicas são dadas por e Determine:

a)

Resolução:

b)

Resolução:

c)

Resolução:

Sequência de atividades – Software Geogebra

1. Abrindo o Geogebra encontramos três janelas diferentes. Uma chama-se campo de

entrada existente para inserir relações matemáticas.

2. No campo de entrada insira: a seguir pressione enter, e crie um controle

deslizante para o valor a.

3. Qual expressão apareceu na janela de álgebra?

4. Com a ferramenta mover arraste o ponto A ao longo de toda a extensão do controle

deslizante. O que acontece com a função quando seus valores são menores que zero? E

quando são maiores que zero?

5. Selecione com o botão direito o controle deslizante e selecione propriedades, mude o

intervalo mínimo para zero e máximo para dez. O que acontece quando a base do

logaritmo é zero?

6. Deslize o ao longo do controle deslizante, qual o domínio da função logarítmica?

Qual sua imagem?

7. Existe algum ponto fixo em que esta função sempre permanece?

8. Abra um novo arquivo.

9. Insira no campo de entrada observe como esta função aparece na janela de

álgebra.

10. Insira no campo de entrada observe como esta função aparece na janela de

álgebra.

11. Selecione a função f(x) com o botão direito do seletor e em propriedades altere sua

cor, repita este passo para a função g(x).

12. Com a ferramenta intersecção entre dois objetos selecione as funções f(x) e g(x). Em

qual ponto as duas funções se encontram?

13. Quais semelhanças existem entre as funções criadas? São crescentes ou decrescentes?

O que faz seu comportamento ser assim?

Exercício:

Construa o gráfico da função , em seu caderno.

Resposta:

x

⁄

⁄

⁄

Equações logarítmicas

Vamos estudar as equações logarítmicas, ou seja, aquelas nas quais a incógnita está envolvida

no logaritmando ou na base do logaritmo, como estas:

Exercícios:

1. Resolva as equações:

a)

Resolução:

√

b)

Resolução:

c)

Resolução:

e .

2. (Mack-SP) Se , determine o valor de m (lembre: .

Resolução:

(

)

Atividade sugerida para fixação do conteúdo

Jogo matemático: propriedades dos logaritmos

Regras do jogo:

Os alunos deverão ser agrupados em três grupos iguais.

Cada participante receberá 6 cartas para iniciar o jogo, sendo que o restante das cartas

deverão ficar voltadas para baixo sobre a mesa agrupadas em um único monte.

Os competidores deverão assumir uma ordem de jogada (horário ou anti-horário).

O objetivo do jogo é formar trios na seguinte disposição: propriedade – enunciado –

operações.

O competidor que formar maior número de trios vence a partida.

Para começar a partida um jogador deve comprar uma carta do monte que está sobre a

mesa.

Cada jogador poderá:

Descartar uma carta das que lhe foram distribuídas a cada jogada.

As cartas descartadas pelos jogadores devem formar um segundo monte sobre a mesa

sendo colocadas com as operações voltadas para cima.

Comprar apenas uma carta por jogada (de um dos montes).

Quando o jogador formar trios deve mostrar para os demais jogadores do grupo para

que confiram a combinação, se estiver correto coloca as cartas do trio sobre a mesa para a

contagem no fim do jogo.

Vence o jogo quem formar maior número de trios ou que ficar com o menor número

de cartas nas mãos.

Cartas:

Propriedades Enunciados Operações

Logaritmo de um produto

Logaritmo de um produto

Logaritmo de um quociente

Logaritmo de um quociente

Logaritmo de uma potência

Logaritmo de uma potência

Logaritmo de um produto

Logaritmo de um produto

Logaritmo de um quociente (

)

Logaritmo de um quociente

Logaritmo de uma potência

Logaritmo de uma potência

Logaritmo de um produto

Logaritmo de um produto

Logaritmo de um quociente (

)

Logaritmo de um quociente

Logaritmo de uma potência

Logaritmo de uma potência

Obs: Testar o jogo antes de aplica-lo.

Prova

1. (Mackenzie- SP) Se

então é:

a)

b)

c) d)

2. Assinale com V (verdadeiro) ou F(falso) as alternativas abaixo. Justifique as falsas.

( ) O logaritmo de um número natural coincidirá com o próprio n se a base for 1.

( ) O logaritmo existirá quando sua base for maior que zero, diferente de um e o seu

logaritmando também for maior que zero.

( ) A função logarítmica é crescente, se e somente se, .

( ) O domínio da função logarítmica: .

( ) Os logaritmos são utilizados em diversas áreas dentre elas na astronomia, na música e

para calculo da intensidade dos abalos sísmicos.

3. (FGV-SP) Considere o gráfico das funções reais e . A

respeito dos gráficos de f e g é correto afirmar que:

a) não se interceptam.

b) Se interceptam em apenas um ponto.

c) Se interceptam em apenas dois pontos.

d) Se interceptam em infinitos pontos.

4. (UF- MS) Sobre as raízes da equação .

I. Não são reais

II. São potências de dez.

III. São números inteiros consecutivos

IV. São opostas

V. O quociente da maior raiz pela menor raiz é igual a dez.

Soma: _________

5. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos):

7.4- Conclusão da aula.

Para conclusão da aula serão revisados todos os conceitos trabalhados.

8) Avaliação:

Com o objetivo de diagnosticar as habilidades desenvolvidas pelos alunos serão

utilizados:

8.1 Critérios: Participação nas atividades realizadas e prova.

8.2 Instrumentos: Prova individual e sem consulta.

9) Bibliografia

DANTE. Luiz Roberto. Matemática, Volume único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2005.

IEZZI, Gelson. Et.al. Fundamentos de matemática elementar, 2: logaritmos. 10. ed. São

Paulo: Atual, 2013.

MAOR. Eli. a história de um número. Editora: Record: 4ª ed., Rio de Janeiro: 2008.

O brilho aparente e a luminosidade das estrelas.

<http://each.uspnet.usp.br/ortiz/classes/Brilho_Lum.pdf>. Acessado em 27 de setembro de

2014.

O sistema de Magnitudes. <http://www.cosmobrain.com.br/rc/magnitude1.html>. Acessado

em 27 de setembro de 2014.