logaritmo e função logaritmica

FACULDADE ANHANGUERA

Curso: Engenharias

Disciplina: Cálculo 1

Prof. Me. Edson

LOGARITMO

Introdução:

Logaritmo é um estudo da matemática que depende maciçamente do conhecimento sobre potenciação e suas propriedades, pois o logaritmo de um número B na base A é igual a x, se e somente se Ax = B.

Genericamente temos:

Exemplo:

2

LOGARITMO

Aplicações: Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano. A Física e a Química utilizam as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números adquirem valores muito grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a construção de gráficos. O manuseio dos logaritmos requer algumas PROPRIEDADES que são fundamentais para o seu desenvolvimento.

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LOGARITMO

Definição: Dados dois números reais positivos a e b, com a ≠ 1 e a > 0 e b > 0, existe somente um número real x, tal que ax = b ou logab = x. Onde:

a = base do logaritmo

b = logaritmando

x = logaritmo

O logaritmo de b na base a é o expoente que devemos atribuir ao número a para obter b.

.4

LOGARITMOExemplos:

a)log24 = 2, pois 2² = 4

b) log327 = 3, pois 3³ = 27

c) f)

d)

e)

LOGARITMO

Casos Especiais:

1) Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0.loga1 = 0 loga1 = xax = 1 (a0 = 1) x = 0

Exemplos:

a) b)

c)

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LOGARITMO

Casos Especiais:

2) O logaritmo da base, qualquer que seja a base, será 1.

logaa = 1 logaa = x

ax = a x = 1

Exemplos:

a) b) c) 7

LOGARITMOCasos Especiais:

3) O logaritmo de uma potência de base a é igual ao expoente m.logaam = m logaam = x

ax = am x = m

Exemplos:

a) b)

LOGARITMOCasos Especiais:

4) Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

logab = logac logab = x → ax = b

logac = x → ax = c b = c

Exemplo:

a)

LOGARITMO

Casos Especiais:

5) A potência de base a e expoente logab é igual a b.

aloga

b= b aloga

b= x

logab= ax logax = logab, portanto

x = b

Exemplo:

a) 10

LOGARITMO

Propriedades Operatórias:

a)Logaritmo do Produto: loga(x . y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.

loga (x . y) = loga x + loga y

Exemplo:log2(32 .16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9

11

LOGARITMO


b) Logaritmo do Quociente: loga devemos resolvê-lo subtraindo o

logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.

loga = logax – logay

Exemplo:log5( ) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1

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LOGARITMO


c) Logaritmo da Potência: logaxm : Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo:

logaxm = m*logax

Exemplo:log3812 = 2.log381 = 2 . 4 = 8

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LOGARITMO


d) Mudança de Base: Existem situações nas quais precisaremos utilizar a tábua de logaritmos ou uma calculadora científica na determinação do logaritmo de um número.

Exemplo:

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LOGARITMO

Atividades:

1)Calcule

a) e)

b)

c)

d) 15

LOGARITMO

Atividades:

2) Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule, aplicando as propriedades operatórias:

a)log 6 b) log 43

c) log 12 d) log 81

e) Logaritmo de 4 na base 616

LOGARITMO

Atividades (Aplicação) P.L.T. pág. 23 – Ex. 373) A quantidade A, em mg, que permanece no

corpo t horas após ter ingerido um remédio para a tosse, é dada por A = 10.(0,82)t.

a)Qual a quantidade inicial ingerida?

b)Qual o percentual do remédio que sai do corpo a cada hora?

c)Quanto do remédio permanece no corpo 6 horas após a ingestão?

d)Quanto tempo leva para que permaneça no corpo apenas 1 mg do remédio? 17

Atividades (Aplicação) P.L.T. Pág. 23 – Ex. 394) Ex.39 – Qual o tempo de duplicação de preços

que estão crescendo a 5% ao ano?

5) Ex. 44 – A população de uma dada região está crescendo exponencialmente. A região tinha 40.000.000 de pessoas em 1980 (t = 0) e 56.000.000 em 1990. Encontre uma expressão para a população em qualquer instante t em anos. Qual a população prevista para o ano 2000? Qual é o tempo de duplicação?

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LOGARITMO

FUNÇÕES LOGARITMICAS

Definição: Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, x > 0, a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Assim o Domínio da função é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log2x; f(x) = log1/2x;

f(x) = log2(x – 1); f(x) = log0,5x.19


Atenção às RESTRIÇÕES

Dada a função f(x) =log (x – 2)(4 – x), de acordo com a definição, temos as seguintes restrições:

1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 42) x – 2 > 0 → x > 23) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3

A intersecção das restrições 1, 2 e 3, nos dá o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.

Dessa forma, D = {x Є R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}

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Gráfico: Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações: a) a > 1 – Função Crescente

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Gráfico: Continuação

b) 0 < a < 1 – Função Decrescente

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Conclusões dobre o gráfico

Características do gráfico da função logarítmica y = logax

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im = R.

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Atividades

1)Calcule o valor de x nas equações

a)

b)

2) Resolva (Conjunto dos Reais)

a)

b) 24


Atividades

PLT pg. 23 Ex. 39) Uma xícara de café contém 100 mg de cafeína, que deixa o corpo a uma taxa contínua de 17% por hora.

Escreva uma fórmula para a quantidade A, em Mg, de cafeína no corpo t horas após beber uma xícara de café

Esboce o gráfico da função

Use logaritmos para encontrar a meia-vida da cafeína.

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Atividades

PLT pg. 23. Ex. 41) Uma centena de quilogramas de uma substância radioativa decai para 40kg em 10 anos. Quanto permanece após 20 anos?

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Questão da Prova do 2º Bimestre

A população inicial de uma pequena cidade na data da sua emancipação era de somente 5 mil habitantes. Decorridos apenas 6 anos essa população já era de 20 mi habitantes. Considerando um crescimento exponencial, em quanto tempo a população dessa cidade ultrapassará 50 mil habitantes?

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Até a próxima SemanaDivirtam-se

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