LOGARITMOS: NAPIER VERSUS DANTE

Diogo Oliveira Soares

Trabalho de Concluso do Curso Superior de Licenciatura em Matemtica, orientado pelo Prof.Ms. Henrique Marins de Carvalho.

IFSP So Paulo

2012

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)

Soares, Diogo Oliveira.

Logaritmos: Napier versus Dante / Diogo Oliveira Soares - So Paulo: IFSP, 2012.

69f

Trabalho de Concluso do Curso Superior de Licenciatura em Matemtica - Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia de So Paulo

Orientador (es): Henrique Marins de Carvalho. 1. Logaritmos. 2. John Napier. 3. Histria da Matemtica. 4. Livro

Didtico. 5. Ensino de Matemtica. I. Ttulo do Trabalho

... Ensinar o caminho, eu no sei

Das mil vezes que por l eu passei

Nunca pude guardar o seu desenho

Como posso saber de onde venho

Se a semente profunda eu no toquei?

Esse longo caminho que eu trao

Muda constantemente de feio

E eu no posso saber que direo

Tem o rumo que firmo no espao

Tem momentos que sinto que desfao

O castelo que eu mesmo levantei

O importante que nunca esquecerei

Que encontrar o caminho meu empenho

Como posso saber de onde venho

Se a semente profunda eu no toquei?

... Se no olho pra trs com claridade

Um futuro obscuro aguardarei

Mas aquela semente que sonhei

a chave do tesouro que eu tenho

Como posso saber de onde venho

Se a semente profunda eu no toquei?...

(Siba e Brulio Tavares, 1999)

.

Aos Meus Pais e minha irm

AGRADECIMENTOS

Agradeo a Deus por ter me dado coragem, disposio, fora e humildade para

encarar o desafio de estudar Matemtica e poder realizar este trabalho.

Agradeo aos meus pais e minha irm pelo apoio e compreenso no decorrer da

minha vida.

A todos os colegas de classe e companheiros da Matemtica. Em especial:

Orlando, Toninho, Filipe, Anderson (Bigafour), Anderson (Peruco), Tati, Thas,

Patrcia, Lindomar, Renata, Sara, Cideni, Leandro, Andr, Arnaldo, Jssica, Felipe,

Marcos Medeiros, David, Fernando Pavan, Fernando Manholer, verton, Robinho,

Roberto, Djalma e Diego.

Ao Diretor Geral Carlos Alberto Vieira, pelo apoio durante a batalha que foi o 2

semestre de 2011.

A todos os professores, desde a pr-escola at os da graduao.

Em especial: ao Prof.Ms Henrique Marins de Carvalho, pela pacincia e orientaes;

Profa. Ms. Cristina Polomo; Profa. Dra. Mariana Baroni; Profa. Ms Elizabeth

Guerato; ao Prof. Ms Jos Maria Carlini; Profa. Dra Delacir Poloni; ao Prof.Ms.

Csar Adriano Batista; ao Prof.Ms. Marco Granero; ao Prof. Ms. Amari Goulart.

A todos os funcionrios do IF-SP Campus So Paulo e em especial Vera e ao

Domingos.

RESUMO

Tendo em vista a importncia da Histria da Matemtica no Ensino, este trabalho

tem o intuito de resgatar a essncia dos logaritmos e situ-la nos dias de hoje.

Desse modo, comparamos os conceitos de logaritmo e funo logartmica extrados

da obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, publicada em 1614, por John

Napier, com um livro didtico de Matemtica, aprovado pelo Programa Nacional do

Livro do Ensino Mdio (PNLEM). A partir disso, demonstramos que a ideia de base

que temos hoje no se aplica ideia de logaritmos concebida no sculo XVII, assim

como as somas (ou subtraes) de logaritmos no eram exatamente logaritmos de

produtos (ou quocientes). Por meio de um sistema de equao diferencial,

identificamos o carter funcional implcito na formulao dos logaritmos de Napier.

Com base no contexto histrico no qual sua obra est inserida, mostramos que

antigamente os logaritmos eram importantes por facilitar clculos extensos; em

contrapartida, considerando os avanos tecnolgicos proporcionados pela era da

informao, notamos que atualmente a utilidade dos logaritmos est vinculada s

inmeras aplicaes de modelos matemticos baseados nas propriedades da

funo logartmica. Por fim, evidenciamos brevemente a questo da

interdisciplinaridade e da contextualizao dos logaritmos na prpria matemtica,

com o objetivo de identificar apresentaes didticas nas duas obras estudadas.

Palavras-chaves: Logaritmos; John Napier; Histria da Matemtica; Livro Didtico;

Ensino de Matemtica.

LOGARITHMS: NAPIER VERSUS DANTE

ABSTRACT

In order to know importance of the History of Mathematics Education, this paper aims

to rescue the essence of the logarithms and situate it to actual days. Therefore, was

compared the concepts of logarithms and logarithmic function from the work of Mirifici

Logarithmorum Canonis Descriptio, published in 1614 by John Napier, with a book of

mathematics teaching, approved by the Programa Nacional do Livro do Ensino

Mdio (PNLEM). From this, was demonstrated that the idea of base that we have

nowadays does not apply to the idea conceived of logarithms in the 17th century, as

are the sums (or subtractions) of logarithms were not exactly logarithms of products

(or quotients). Through a system of differential equation, was identified the functional

character implicit in the formulation of the logarithms of Napier. Based on the

historical context in which his work is included, was showed that the logarithms were

important to facilitate extensive calculations, however, considering the technological

advances provided by the information age, is noted that currently the use of

logarithms are linked to numerous applications mathematical models based on the

properties of the logarithmic function. Finally, was briefly pointed out the issue of

interdisciplinarity and the contextualization of the logarithms in mathematics itself,

with the aim of identifying didactic presentations in the two works studied.

Keywords: Logarithms; John Napier; Mathematics History; Didactics Books; Mathematics Teaching.

LISTA DE FIGURAS Pg.

Figura 5.1 Segmentos de reta usados como auxilio para definio de logaritmo ... 36

Figura 5.2 Introduo definio de logaritmo dada por Dante. ............................ 40

Figura 5.3 Definio de logaritmo dada por Dante. ................................................ 41

Figura 5.4 Introduo definio de funo logartmica dada por Dante. ............. 42

Figura 5.5 Definio de funo logartmica dada por Dante................................... 42

Figura 5.6 Consequncias da definio de logaritmo dadas por Dante. ................ 46

Figura 5.7 1 Propriedade: logaritmo de um produto .............................................. 48

Figura 5.8 2 Propriedade: logaritmo de um quociente .......................................... 48

Figura 5.9 3 propriedade: logaritmo de uma potncia ........................................... 49

Figura 5.10 Breve histrico dos logaritmos apresentado por Dante ....................... 55

Figura A.1 Ilustrao do mtodo de Fermat ........................................................... 65

Figura A.2 Mtodo de Fermat ................................................................................. 68

Figura A.3 Logaritmo natural como rea apresentado por Dante ........................... 69

LISTA DE TABELAS

Pg.

Tabela 5.1 Situao original ................................................................................... 38

Tabela 5.2 Tabela extrada e adaptada da Figura 5. 2. .......................................... 43

Tabela 5.3 3 e a 6 coluna da Tabela 5.1. ............................................................ 43

Tabela 5.4 Tabela extrada e adaptada da Figura 5.4. ........................................... 44

Tabela 5.5 3 e a 6 coluna da Tabela 5.1, em linhas. ........................................... 44

Tabela 5.6 Quadros comparativos: Napier versus Dante. ...................................... 52

Tabela 5.7 Quadro comparativo: Napier versus Dante. ......................................... 57

Tabela A.1 Mtodo de Fermat ................................................................................ 66

SUMRIO

Pg.

1 INTRODUO .................................................................................................... 21

2 JUSTIFICATIVA DA ESCOLHA DO LIVRO DIDTICO...................................... 23

3 CONTEXTO HISTRICO DA ORIGEM DOS LOGARITMOS ............................ 25

3.1. Contexto Histrico ........................................................................................... 25

3.2. Biografias ........................................................................................................ 29

3.2.1. John Napier .................................................................................................. 29

3.2.2. Henry Briggs ................................................................................................ 29

4. RESUMO GERAL DA OBRA MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS DESCRIPTIO ............................................................................................................ 31

5 NAPIER VERSUS DANTE .................................................................................. 35

5.1. Definio de logaritmo, segundo Napier .......................................................... 35

5.2. Definio de logaritmo e de funo logartmica, segundo Dante..................... 39

5.3. Definio de logaritmo