1

O que é Logaritmo A palavra logaritmo vem do grego: logos (razão) + arithmos (números).

No estudo de equações e inequações exponenciais, só tratamos de casos em que podíamos reduzir as potências ‘a mesma base.

Entretanto, se tivermos de resolver uma equação como 52 =x , não

conseguiremos reduzir todas as potências ‘a mesma base. Nesse caso, como 4 < 5 < 8, então 824 << x , ou seja 32 222 << x , e apenas poderemos garantir que

32 << x . Para descobrirmos o valor de x termos que estudar as propriedades dos Logaritmos.

DEFINIÇÃO: Sendo a e b números reais e positivos, com 1≠b , chama-se logaritmo de a na

base b o expoente x ao qual se deve elevar a base b de modo que a potência xb seja igual a a .

abxa xb =⇔=log

Na expressão: xab =log , temos:

.log

;

;log

aritmooéx

baseaéb

aritmandooéa

Exemplos :

a) 24log 2 = , pois 422 =

b) 481log3 = , pois 8134 =

Forma logarítmica Forma exponencial

010,,,: >≠>∈ beaRbaqueEm

2

Teoria dos Logaritmos – o porquê dos Logaritmos Considere as expressões:

� 623131245 +

� 623131245 −

� 6231.31245

� 6231:31245

Quais delas você resolveria mais rapidamente?

De modo geral é mais simples somar ou subtrair dois números do que multiplica-los ou dividi-los. Com base nessas idéias o escocês John Napier (ou Neper) formalizou a teoria dos logaritmos, cuja finalidade é simplificar cálculos numéricos.

Os princípios básicos dos logaritmos – transformar uma multiplicação em adição ou uma divisão em subtração – já haviam sido vislumbrados por outros matemáticos antes de Napier.

Para que Servem os Logaritmos - Aplicação

O estudo dos logaritmos é muito importante para os homens, agilizam os cálculos relacionados ‘a Astronomia, ‘a Navegação e ao Comércio.

Muitos dos fenômenos que ocorrem nas diversas áreas de atuação do homem são descritos por leis matemáticas que envolvem logaritmos. Veja alguns exemplos:

� Em Física , por exemplo, no ramo da acústica, aplica-se logaritmo no cálculo do nível sonoro, serve para medir a força de um terremoto, por exemplo, é determinado por uma função logarítmica que relaciona a amplitude das ondas sismológicas com o tempo (escala Richter) ;

� Já em Química , o logaritmo é usado para calcular o pH (potencial hidrogeniônico), classificando-se desse modo, uma solução química em ácida, neutra ou básica.

� Na Matemática Financeira , usamos uma das propriedades e a tabela logarítmica para calcular o período (tempo) de aplicação e o Montante (Capital + Juros) no regime de juros compostos;

� Na Estatística (um dos ramos da Matemática), usamos logaritmos para determinar um intervalo de classe nas variáveis contínuas, dentre outros exemplos.

3

RESUMO SOBRE LOGARITMOS

xb baxa =⇔=log

Conseqüências da Definição 1º) 01log =b

2º) 1log =bb

3º) nbnb =log

4º) ab ab =log 5º) caca bb =⇔= loglog

Condições de Existência - Equações Logarítmicas

>≠>

⇔∃01

0log

b

aab

Propriedades dos Logaritmos ���� Logaritmo de um produto

( ) caca bbb loglog.log +=

���� Logaritmo de um quociente

caca

bbb logloglog −=

���� Logaritmo de uma potência

ana bn

b log.log =

���� Logaritmo de uma raiz

anm

aa bn

m

bn m

b log.loglog ==

���� Mudança de Base

≠<≠<

>⇒=

10

10

0

log

loglog

c

b

a

b

aa

c

cb

4

Equações Logarítmicas

Observe as equações:

√√√√ ( ) 21log3 =−x

√√√√ ( ) 219log 1 =−+ xx

√√√√ xx 22 log42

3log1 +=−

Elas apresentam a incógnita envolvida com logaritmos e, por esse motivo, são

chamadas de equações logarítmicas.

Para resolvê-la aplicaremos, além da definição de logaritmo, a seguinte

propriedade:

00,01,loglog >>>≠=⇔= ceabcomcaca bb

Exemplos :

1º) Resolva a equação ( ) 34log2 =−x . Resolução: Observando a condição de existência do logaritmo, devemos ter:

404 >⇒>− xx .

Usando a definição de logaritmo, vem ( ) 122434log 32 =∴=−⇒=− xxx .

Na resolução de equações logarítmicas, devemos sempre verificar se os valores obtidos para a incógnita satisfazem as condições de existência. Somente tais valores é que devem ser apresentados como solução da equação. Como 12=x satisfaz a condição de existência do logaritmo, o conjunto solução da equação é { }12=S . 2º) Determine o conjunto solução da equação ( ) 23log 2 =− xxx .

Resolução: As condições de existências são: ( )( )

≠>>−

IIxex

Ixx

10

03 2

Usando a definição, obtemos:

( )

=′′

=′⇒=−⇒=−

2

1

0323log 222

x

xxxxxxx

Verificação:

5

( )

( ) )(10)(00

)(00

000

0

VeFII

F

xparaI

≠>

>>−

=

( )

( ) )(12

1)(0

2

1

)(04

10

2

1

2

1.3

2

1

2

VeVII

V

xparaI

≠>

>⇒>−

=

Observe que 2

1=x satisfaz as duas condições de existências, mas 0=x não.

Nesse caso, 2

1 é a única solução da equação. Logo,

=

2

1S .

3º) Qual o conjunto verdade da equação ( ) 06loglog 32

3 =−− xx ? Resolução: A condição de existência do logaritmo é 0>x . Fazendo a substituição yx =3log , temos:

( ) 0606loglog 23

23 =−−⇒=−− yyxx

Resolvendo a equação do 2º grau em y , vem:

−=′′=′

⇒±

=⇒=−−2

3

2

251062

y

yyyy

Voltando à igualdade yx =3log , obtemos:

2733loglog 333 =′⇒=⇒=⇒′= xxxyx ou

9

132loglog 2

33 =′′⇒=⇒−=⇒′′= − xxxyx

Como esses dois valores satisfazem à restrição imposta inicialmente, temos

= 27;

9

1S .

EXERCÍCIOS

6

1) Resolva as equações:

a) 2log5 =x d) 11

3log3 =

−+

x

x

b) 5243log =x e) ( ) 21log3

1 −=−x

c) 29

1log =x f) ( ) 241log5 =− x

2) Determine o conjunto solução das seguintes equações:

a) ( ) 243log 22 =+x

x d) 14log =x

b) 09log6log 323 =+− xx e) 813 5log2 =+ x

c) ( ) ( ) 03log3log2 =−−− xx f) ( ) 12loglog 9

2

1 =x

Respostas 1) a) { }25 d) { }3 b) { }3 e) { }10

c)

3

1 f) { }6−

2) a) { }2;2− d) { }1 b) { }27 e) { }25

c) { }13;4 f)

2

3

7

Função Logarítmica A função exponencial f: R → R*

+ definida por xay= ( )10 ≠> aeacom , é bijetora. Nesse caso, podemos determinar a sua função inversa.

Você já deve ter advinhado que a função inversa da função exponencial é a função logarítmica.

Observe: yxay a

x log=⇒= , permutando as variáveis, xy alog= . Vamos agora examinar o comportamento da função logarítmica traçando o

seu gráfico no plano cartesiano. Temos dois casos:

1º caso : base 1>a , a função ( ) xxf alog= é crescente .

x ( ) xxf 2=

8

1 3−

4

1 2−

2

1 1−

1 0 2 1 4 2 8 3

R

RD

base

xy

==

>=

+

Im

12

log

*

2

8

2º caso : base 10 << a , a função ( ) xxf alog= é decrescente .

x ( )x

xf

=2

1

8 3− 4 2− 2 1− 1 0

2

1 1

4

1 2

8

1 3

R

RD

base

xy

==

<<

=

+

Im

12

10

log

*

2

1

EXERCÍCIOS 1) Esboce os gráficos das funções: a) xy 3log=

b) ( ) ( )1log2 −= xxf

c) xy log= 2) Construa, num mesmo sistema de eixos, os gráficos de:

a) ( ) ( ) xxfexf x2log2 ==

b) ( ) ( ) xxfexfx

2

1log2

1 =

=

9

Inequações Exponenciais

Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve

logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos :

1º) 0log2 >x , que é satisfeita para 1>x . 2º) ( ) 13log4 ≤+x , que é satisfeita para 13 ≤<− x . Para resolver inequaçõeslogarítmicas, devemos observar dois passos importantes: 1º Passo : Redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 2º Passo : Aplicação da propriedade.

Função crescente 1>a Função decrescente 10 << a

321..

0loglogEC

aa nmnm >>⇒>

(o sentido das desigualdades se conserva)

nmnmEC

aa <<⇒>321..

0loglog

(o sentido das desigualdades se inverte) Exemplos :

1º) Resolva a inequação ( ) 4log3log2

1

2

1 ≥−x .

Resolução: A condição de existência é:

( )Ixx 303 >⇒>− Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos.

.43 invertesededesigualdadasentidoOx →≤− ( )IIx 7≤

A solução da inequação deve satisfazer as duas condições. Na reta real:

Quadro de resolução:

Logo, { }73/ ≤<ℜ∈= xxS .

( )I

( )II

( ) ( )III I

3

7

3 7

10

2º) Resolva a inequação ( ) ( ) 12log1log 1212 ≤−+− xx . Resolução: As condições de existências são:

( )( )IIxx

Ixx

202

101

>⇒>−>⇒>−

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 12log2.1log12log1log 12121212 −−⇒≤−+− xxxx

( ) ( ) .122.1 conservasededesigualdadasentidoOxx →≤−−

( )IIIxx

xx

0103

12232

2

≤−−≤+−

−=′′=′

⇒=−−2

50103: 2

x

xxxraízes

Na reta real: Quadro de resolução:

Logo, { }52/ ≤<ℜ∈= xxS .

( )I

( )II

( ) ( ) ( )IIIIII II

( )III

1

-2 5

2

2 5

11

EXERCÍCIOS 1) Resolva as inequações: a) ( ) 5log6log

22>−x

b) ( ) 3log4log 22 <− x c) ( )14loglog

2

1

2

1 −< xx

2) Determine o conjunto solução das inequações: a) ( ) 212log 2

10 <+− aa

b) ( ) 454log 2

2

1 −≥−+ xx

Respostas 1) a) { }11/ >∈ xIRx b) { }41/ <<∈ xIRx

c)

<<∈

3

1

4

1/ xIRx

2) a) { }1119/ ≠<<−∈ aeaIRa b) { }3157/ ≤<−≤≤−∈ xouxIRx

12

Cologaritmo

Chamamos cologaritmo de um número positivo b numa base a ( )01 >≠ a e

indicamos bco alog o logaritmo do inverso desse número b na base a.

Em símbolos: ( )10,01

loglog ≠>>= aebab

bco aa

Como bbbb aaaaa loglog0log1log1

log −=−=−= , podemos também

escrever: bbco aa loglog −= .

Exemplos :

1) 38log8log 22 −=−=co

2) 481log81log 33 −=−=co

Mudança de base

Podem aparecer, no cálculo, situações em que encontramos vários logaritmos

em bases diferentes.

Como as propriedades logarítmicas só têm validade para logaritmos numa

mesma base, é necessário fazer antes a conversão dos logaritmos de bases

diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança

de base .

Vamos supor, por exemplo, que temos yxa =log e que precisamos descobrir

quanto vale xblog .

Para isso devemos fazer a mudança da base a para a base b.

Temos [ ]Iaxyx ya =⇒=log .

Fazendo zxb =log , pela definição de logaritmo, temos [ ]IIbx 2= .

Substituindo [ ]II em [ ]I obtemos yz ab = e, daí:

( ) ⇒=⇒=⇒= axxayzaz babby

b log.logloglog.log

13

⇒ a

xx

b

ba log

loglog = ( )00,1 >>≠ xeba

Exemplos :

1) 3log

5log5log

2

23 = (transformando 5log3 para logaritmo na base 2)

2) 10log

6log6log

5

510 = (transformando 6log10 para logaritmo na base 5)

3) 3log

8log8log3 = (transformando 8log3 para logaritmo na base 10)

4) b

aa

a

ab log

loglog = ou

ba

ab log

1log = (propriedade muito útil no cálculo)

14

Logaritmos decimais

As principais propriedades dos logaritmos decimais são:

a) 01log =

b) 110log =

c) mm =10log

d) 0log1 >⇔> xx

e) 0log10 <⇔<< xx

f) gráfico da função xy log=

Consideremos, agora, um número real positivo x escrito na forma decimal.

Este número x ou está compreendido entre duas potências de base 10 e

expoentes inteiros e consecutivos, ou é igual a uma potência de base 10 e expoente

inteiro.

Exemplos :

1) 11054,3º10 <<

2) 21 103,2910 <<

3) 32 1081,34710 <<

4) 32 1010010 <<

5) 43 10100010 <<

15

Podemos, então, concluir que para todo número real positivo x existe um

único número inteiro c que satisfaz a condição:

11010 +<≤ cc x

Procuremos, agora, xlog :

⇒<≤⇒<≤ ++ 11 10loglog10log1010 cccc xx 1log +<≤ cxc

Podemos, portanto, escrever:

10log <≤+= msendomcx ,

ou seja, que o logaritmo decimal de x é a soma de um número inteiro c com um

número decimal m menor que 1 e não-negativo.

Este número c é chamado de característica do xlog e o número decimal m

é chamado de mantissa do xlog .

Vejamos dois exemplos:

1) 458log

Resolução :

Como 32 1045810 << , temos que 32 10log458log10log << ou 3458log2 << e,

daí, 2=c .

Consultando a tábua (ou tabela) de logaritmos (a rigor deveria chamar-se

tábua de mantissas, pois não fornece logaritmos) na página final desta aula,

encontramos 6608,0=m .

Portanto, 6608,26608,02458log =+= .

2) 0572,0log

Resolução :

Como 12 100572,010 −− << , temos: 12 10log0572,0log10log −− << ou

210572,0log2 −=⇒−<<− c .

Consultando a tábua de logaritmos, obtemos 7574,0=m .

Portanto, 2426,17574,020572,0log −=+−=

16

Determinação da característica

Para determinar a característica de xlog vamos considerar os casos em que

101 <<> xex .

1º caso : 1>x

A característica de ( )1log >xx é igual ao número de algarismos de sua parte

inteira diminuído de 1.

Exemplos :

1) 4873log tem característica 3 ( )314 =− .

2) 593log tem característica 2 ( )213 =− .

2º caso : 10 << x

A característica de ( )10log << xx é igual ao simétrico do número de zeros

que antecedem o primeiro algarismo significativo.

Exemplos :

1) 8,0log tem característica 1− .

2) 0002,0log tem característica 4− .

3) 00107,0log tem característica 3− .

Propriedade da mantissa

Consideremos, como exemplo, 256log , que tem característica 2 e mantissa

0,4082, o que nos permite escrever 4082,02256log += .

Vamos, agora, estabelecer os valores de 0256,0log , 256,0log , 56,2log ,

6,25log e 2560log :

� ( ) 4082,024082,024256log10log256.10log0256,0log 44 +−=++−=+== −−

� ( ) 4082,014082,023256log10log256.10log256,0log 33 +−=++−=+== −−

� ( ) 4082,004082,022256log10log256.10log56,2log 22 +=++−=+== −−

� ( ) 4082,014082,021256log10log256.10log6,25log 11 +=++−=+== −−

� ( ) 4082,034082,021256log10log256.10log2560log +=++=+==

17

Como podemos perceber, as mantissas são iguais .

De modo geral, podemos enunciar:

Os logaritmos de dois números escritos na forma decimal, que diferem

apenas pela posição da vírgula, têm a mesma mantissa.

Vamos, por exemplo, calcular ( )xn .10log , com Zn ∈ , sabendo que

mcx +=log . Temos, então:

( ) {mantissamesmaticacaracterísnova

nn mcnxx ++=+=321

log10log.10log

A parcela inteira n incide somente sobre a parte inteira de xlog , ou seja,

sobre c , deixando inalterada a mantissa m .

Exemplos :

1) 8300log830log,3,8log,83,0log,083,0log,0083,0log,00083,0log e têm todos a

mesma mantissa: 0,9190.

2) 4700log470log,47log,7,4log,47,0log e têm todos a mesma mantissa: 0,6720.

TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS

nº log nº log

1 0 50 1,69897

2 0,30103 51 1,70757

3 0,477121 52 1,716003

4 0,60206 53 1,724276

5 0,69897 54 1,732394

6 0,778151 55 1,740363

7 0,845098 56 1,748188

8 0,90309 57 1,755875

9 0,954243 58 1,763428

10 1 59 1,770852

11 1,041393 60 1,778151

12 1,079181 61 1,78533

13 1,113943 62 1,792392

14 1,146128 63 1,799341

15 1,176091 64 1,80618

16 1,20412 65 1,812913

18

17 1,230449 66 1,819544

18 1,255273 67 1,826075

19 1,278754 68 1,832509

20 1,30103 69 1,838849

21 1,322219 70 1,845098

22 1,342423 71 1,851258

23 1,361728 72 1,857332

24 1,380211 73 1,863323

25 1,39794 74 1,869232

26 1,414973 75 1,875061

27 1,431364 76 1,880814

28 1,447158 77 1,886491

29 1,462398 78 1,892095

30 1,477121 79 1,897627

31 1,491362 80 1,90309

32 1,50515 81 1,908485

33 1,518514 82 1,913814

34 1,531479 83 1,919078

35 1,544068 84 1,924279

36 1,556303 85 1,929419

37 1,568202 86 1,934498

38 1,579784 87 1,939519

39 1,591065 88 1,944483

40 1,60206 89 1,94939

41 1,612784 90 1,954243

42 1,623249 91 1,959041

43 1,633468 92 1,963788

44 1,643453 93 1,968483

45 1,653213 94 1,973128

46 1,662758 95 1,977724

47 1,672098 96 1,982271

48 1,681241 97 1,986772

49 1,690196 98 1,991226

99 1,995635

19

TABELA DE LOGARITMOS

(base 2 a 9)

nº / base 2 3 4 5 6 7 8 9

2 1,0000 0,6309 0,5000 0,4307 0,3869 0,3562 0,3333 0,3155

3 1,5850 1,0000 0,7925 0,6826 0,6131 0,5646 0,5283 0,5000

4 2,0000 1,2619 1,0000 0,8614 0,7737 0,7124 0,6667 0,6309

5 2,3219 1,4650 1,1610 1,0000 0,8982 0,8271 0,7740 0,7325

6 2,5850 1,6309 1,2925 1,1133 1,0000 0,9208 0,8617 0,8155

7 2,8074 1,7712 1,4037 1,2091 1,0860 1,0000 0,9358 0,8856

8 3,0000 1,8928 1,5000 1,2920 1,1606 1,0686 1,0000 0,9464

9 3,1699 2,0000 1,5850 1,3652 1,2263 1,1292 1,0566 1,0000

10 3,3219 2,0959 1,6610 1,4307 1,2851 1,1833 1,1073 1,0480

11 3,4594 2,1827 1,7297 1,4899 1,3383 1,2323 1,1531 1,0913

12 3,5850 2,2619 1,7925 1,5440 1,3869 1,2770 1,1950 1,1309

13 3,7004 2,3347 1,8502 1,5937 1,4315 1,3181 1,2335 1,1674

14 3,8074 2,4022 1,9037 1,6397 1,4729 1,3562 1,2691 1,2011

15 3,9069 2,4650 1,9534 1,6826 1,5114 1,3917 1,3023 1,2325

16 4,0000 2,5237 2,0000 1,7227 1,5474 1,4248 1,3333 1,2619

17 4,0875 2,5789 2,0437 1,7604 1,5812 1,4560 1,3625 1,2895

18 4,1699 2,6309 2,0850 1,7959 1,6131 1,4854 1,3900 1,3155

19 4,2479 2,6801 2,1240 1,8295 1,6433 1,5131 1,4160 1,3401

20 4,3219 2,7268 2,1610 1,8614 1,6720 1,5395 1,4406 1,3634

21 4,3923 2,7712 2,1962 1,8917 1,6992 1,5646 1,4641 1,3856

22 4,4594 2,8136 2,2297 1,9206 1,7251 1,5885 1,4865 1,4068

23 4,5236 2,8540 2,2618 1,9482 1,7500 1,6113 1,5079 1,4270

24 4,5850 2,8928 2,2925 1,9746 1,7737 1,6332 1,5283 1,4464

25 4,6439 2,9299 2,3219 2,0000 1,7965 1,6542 1,5480 1,4650

26 4,7004 2,9656 2,3502 2,0244 1,8184 1,6743 1,5668 1,4828

27 4,7549 3,0000 2,3774 2,0478 1,8394 1,6937 1,5850 1,5000

28 4,8074 3,0331 2,4037 2,0704 1,8597 1,7124 1,6025 1,5166

29 4,8580 3,0650 2,4290 2,0922 1,8793 1,7304 1,6193 1,5325

30 4,9069 3,0959 2,4534 2,1133 1,8982 1,7479 1,6356 1,5480

31 4,9542 3,1257 2,4771 2,1337 1,9165 1,7647 1,6514 1,5629

32 5,0000 3,1546 2,5000 2,1534 1,9343 1,7810 1,6667 1,5773

33 5,0444 3,1827 2,5222 2,1725 1,9514 1,7968 1,6815 1,5913

34 5,0875 3,2098 2,5437 2,1911 1,9681 1,8122 1,6958 1,6049

35 5,1293 3,2362 2,5646 2,2091 1,9843 1,8271 1,7098 1,6181

36 5,1699 3,2619 2,5850 2,2266 2,0000 1,8416 1,7233 1,6309

37 5,2095 3,2868 2,6047 2,2436 2,0153 1,8556 1,7365 1,6434

38 5,2479 3,3111 2,6240 2,2602 2,0302 1,8693 1,7493 1,6555

39 5,2854 3,3347 2,6427 2,2763 2,0447 1,8827 1,7618 1,6674

40 5,3219 3,3578 2,6610 2,2920 2,0588 1,8957 1,7740 1,6789

20

41 5,3576 3,3802 2,6788 2,3074 2,0726 1,9084 1,7859 1,6901

42 5,3923 3,4022 2,6962 2,3223 2,0860 1,9208 1,7974 1,7011

43 5,4263 3,4236 2,7131 2,3370 2,0992 1,9329 1,8088 1,7118

44 5,4594 3,4445 2,7297 2,3512 2,1120 1,9447 1,8198 1,7223

45 5,4919 3,4650 2,7459 2,3652 2,1245 1,9562 1,8306 1,7325

46 5,5236 3,4850 2,7618 2,3789 2,1368 1,9675 1,8412 1,7425

47 5,5546 3,5046 2,7773 2,3922 2,1488 1,9786 1,8515 1,7523

48 5,5850 3,5237 2,7925 2,4053 2,1606 1,9894 1,8617 1,7619

49 5,6147 3,5425 2,8074 2,4181 2,1721 2,0000 1,8716 1,7712

50 5,6439 3,5609 2,8219 2,4307 2,1833 2,0104 1,8813 1,7804

51 5,6724 3,5789 2,8362 2,4430 2,1944 2,0206 1,8908 1,7895

52 5,7004 3,5966 2,8502 2,4550 2,2052 2,0305 1,9001 1,7983

53 5,7279 3,6139 2,8640 2,4669 2,2159 2,0403 1,9093 1,8070

54 5,7549 3,6309 2,8774 2,4785 2,2263 2,0499 1,9183 1,8155

55 5,7814 3,6476 2,8907 2,4899 2,2365 2,0594 1,9271 1,8238

56 5,8074 3,6640 2,9037 2,5011 2,2466 2,0686 1,9358 1,8320

57 5,8329 3,6801 2,9164 2,5121 2,2565 2,0777 1,9443 1,8401

58 5,8580 3,6960 2,9290 2,5229 2,2662 2,0867 1,9527 1,8480

59 5,8826 3,7115 2,9413 2,5335 2,2757 2,0954 1,9609 1,8558

60 5,9069 3,7268 2,9534 2,5440 2,2851 2,1041 1,9690 1,8634

61 5,9307 3,7419 2,9654 2,5542 2,2943 2,1126 1,9769 1,8709

62 5,9542 3,7567 2,9771 2,5643 2,3034 2,1209 1,9847 1,8783

63 5,9773 3,7712 2,9886 2,5743 2,3123 2,1292 1,9924 1,8856

64 6,0000 3,7856 3,0000 2,5841 2,3211 2,1372 2,0000 1,8928

65 6,0224 3,7997 3,0112 2,5937 2,3298 2,1452 2,0075 1,8998

66 6,0444 3,8136 3,0222 2,6032 2,3383 2,1531 2,0148 1,9068

67 6,0661 3,8273 3,0330 2,6125 2,3467 2,1608 2,0220 1,9136

68 6,0875 3,8408 3,0437 2,6217 2,3550 2,1684 2,0292 1,9204

69 6,1085 3,8540 3,0543 2,6308 2,3631 2,1759 2,0362 1,9270

70 6,1293 3,8671 3,0646 2,6397 2,3711 2,1833 2,0431 1,9336

71 6,1497 3,8801 3,0749 2,6486 2,3790 2,1906 2,0499 1,9400

72 6,1699 3,8928 3,0850 2,6572 2,3869 2,1978 2,0566 1,9464

73 6,1898 3,9053 3,0949 2,6658 2,3946 2,2049 2,0633 1,9527

74 6,2095 3,9177 3,1047 2,6743 2,4021 2,2119 2,0698 1,9589

75 6,2288 3,9299 3,1144 2,6826 2,4096 2,2187 2,0763 1,9650

76 6,2479 3,9420 3,1240 2,6908 2,4170 2,2256 2,0826 1,9710

77 6,2668 3,9539 3,1334 2,6990 2,4243 2,2323 2,0889 1,9770

78 6,2854 3,9656 3,1427 2,7070 2,4315 2,2389 2,0951 1,9828

79 6,3038 3,9772 3,1519 2,7149 2,4386 2,2455 2,1013 1,9886

80 6,3219 3,9887 3,1610 2,7227 2,4457 2,2519 2,1073 1,9943

81 6,3399 4,0000 3,1699 2,7304 2,4526 2,2583 2,1133 2,0000

82 6,3576 4,0112 3,1788 2,7380 2,4594 2,2646 2,1192 2,0056

83 6,3750 4,0222 3,1875 2,7456 2,4662 2,2708 2,1250 2,0111

84 6,3923 4,0331 3,1962 2,7530 2,4729 2,2770 2,1308 2,0166

21

85 6,4094 4,0439 3,2047 2,7604 2,4795 2,2831 2,1365 2,0219

86 6,4263 4,0545 3,2131 2,7676 2,4860 2,2891 2,1421 2,0273

87 6,4429 4,0650 3,2215 2,7748 2,4925 2,2950 2,1476 2,0325

88 6,4594 4,0754 3,2297 2,7819 2,4988 2,3009 2,1531 2,0377

89 6,4757 4,0857 3,2379 2,7889 2,5052 2,3067 2,1586 2,0429

90 6,4919 4,0959 3,2459 2,7959 2,5114 2,3124 2,1640 2,0480

91 6,5078 4,1060 3,2539 2,8028 2,5176 2,3181 2,1693 2,0530

92 6,5236 4,1159 3,2618 2,8095 2,5237 2,3237 2,1745 2,0580

93 6,5392 4,1257 3,2696 2,8163 2,5297 2,3293 2,1797 2,0629

94 6,5546 4,1355 3,2773 2,8229 2,5357 2,3348 2,1849 2,0677

95 6,5699 4,1451 3,2849 2,8295 2,5416 2,3402 2,1900 2,0726

96 6,5850 4,1546 3,2925 2,8360 2,5474 2,3456 2,1950 2,0773

97 6,5999 4,1641 3,3000 2,8424 2,5532 2,3509 2,2000 2,0820

98 6,6147 4,1734 3,3074 2,8488 2,5589 2,3562 2,2049 2,0867

99 6,6294 4,1827 3,3147 2,8551 2,5646 2,3614 2,2098 2,0913