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Logaritmo

1. (Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = Iog x.

Nesta representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a: a) Iog2 + Iog3 + Iog5 b) log30 c) 1+ Iog30 d) 1 + 2log15 e) 1 + 2Iog30 2. (Uerj 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente

industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir. - A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. - O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte

equação: T(x) = T0 (0,5)

0,1x

Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36

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3. (Ufsm 2013) Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a

uma taxa de 5% ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 6,775 bilhões de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação do ano anterior, pode-se expressar o valor movimentado V (em bilhões de dólares), em função do tempo t(em anos), por

t 1V 6,775 1,05

com t 1 correspondendo a 2011, t 2, a 2012 e assim por diante.

Em que ano o valor movimentado será igual a 13,55 bilhões de dólares?

Dados: log 2 0,3 e log1,05 0,02.

a) 2015. b) 2016. c) 2020. d) 2025. e) 2026. 4. (Ufpr 2013) Para determinar a rapidez com que se esquece de uma informação, foi efetuado um teste em que listas de palavras eram lidas a um grupo de pessoas e, num momento posterior, verificava-se quantas dessas palavras eram lembradas. Uma análise mostrou que, de maneira aproximada, o percentual S de palavras lembradas, em função do tempo t, em minutos, após o teste ter sido aplicado, era dado pela expressão

S 18 log(t 1) 86.

a) Após 9 minutos, que percentual da informação inicial era lembrado? b) Depois de quanto tempo o percentual S alcançou 50%? 5. (Ufrgs 2013) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência, e o número de bactérias dobra a cada 12 horas.

Tomando como aproximação para log2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma semana, o

número de bactérias está entre

a) 4,510 e 510 .

b) 510 e 5,510 .

c) 5,510 e 610 .

d) 610 e 6,510 .

e) 6,510 e 710 .



6. (Fuvest 2013) O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra

diminui com o tempo t, de acordo com a expressão t0N t N e ,λ sendo N0 o número de

átomos deste isótopo em t 0 e λ a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o

gráfico do log10N em função de t, obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável (

99mTc), muito utilizado em diagnósticos do coração.

A partir do gráfico, determine a) o valor de log10N0; b) o número N0 de átomos radioativos de

99mTc ;

c) a meia-vida (T1/2) do 99m

Tc. Note e adote: A meia-vida (T1/2) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o

número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade; 10log 2 0,3;

10log 5 0,7.

7. (Uepg 2013) Quanto aos valores reais de x para os quais é verdadeira a igualdade

9 3log 2x 5 log 3x 1, assinale o que for correto.

01) Existe uma única solução, que é um número primo. 02) Existem duas soluções cuja soma é positiva. 04) Existem duas soluções cujo produto é negativo. 08) Existe uma única solução fracionária. 16) Existe uma única solução, que é menor do que 5log 625.

8. (Udesc 2013) Se 3log (x y) 5 e 5log (x y) 3, então 2log (3x 8y) é igual a:

a) 9 b) 24 log 5

c) 8 d) 22 log 10

e) 10 9. (G1 - cftmg 2013) Sendo log 2 = m e log 3 = n, aplicando as propriedades de logaritmo, escreve-se log 3,6 em função de m e n como a) 2mn.

b) 2 2m n

.10

c) m n

.10

d) 2 m n 1.



10. (Ufg 2013) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado 10% a cada

mês em relação ao mês anterior. Assim, a produção no mês m, em toneladas, tem sido de m 11800 1,1 . Se a indústria mantiver este crescimento exponencial, quantos meses,

aproximadamente, serão necessários para atingir a meta de produzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um?

Dado: log1,1 0,04.

11. (Espcex (Aman) 2013) Se 2

a

a

6 log m2,

1 log m

com a 0, a 1 e m 0, então o valor de

m

a m é

a) 4

b) 1

4

c) 1 d) 2

e) 1

2

12. (Ime 2013) Considere a equação 2

3x 33

log log x 1.x A soma dos quadrados das

soluções reais dessa equação está contida no intervalo a) [0, 5)

b) [5,10)

c) [10,15)

d) [15, 20)

e) [20, )

13. (Insper 2013) Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de gelo de uma tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em

que foi solto pelo avião de acordo com a lei 2d 10t , em que t é o tempo em segundos. A

massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância de queda d (em metros), conforme a expressão

M 1000 250log d.

Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido, a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de queda nesse caso devem ser a) 10.000 metros e 32 segundos. b) 10.000 metros e 10 segundos. c) 1.000 metros e 32 segundos. d) 2.000 metros e 10 segundos. e) 1.000 metros e 10 segundos. 14. (Insper 2013) O número de soluções reais da equação x xlog (x 3) log (x 2) 2 é

a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.



15. (Ufpr 2012) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira

que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário

para que essa quantia dobre? 2(Use log (1,06) 0,084.)

16. (G1 - cftmg 2012) Se 3log a x, então 29log a vale

a) x

.2

b) x. c) 2x. d) 3x. 17. (Espcex (Aman) 2012) Considerando log2 0,30 e log3 0,48, o número real x, solução

da equação x 15 150, pertence ao intervalo:

a) , 0

b) 4, 5

c) 1, 3

d) 0, 2

e) 5,

18. (G1 - ifal 2012) A solução da equação logarítmica 4 2log (x 6) log (2x 16) 1 é o

número real “m”. Desse modo, podemos afirmar que a) m = 7 ou m = 10. b) o logaritmo de m na base dez é igual a um. c) m = 10, pois m > 6. d) m = 7, pois m > 6. e) m

2 = 20.

19. (G1 - ifsc 2012) O valor CORRETO da expressão

3

20,001 1

E log 810000 2

é:

a) 10000. b) 11,0000001. c) 11 10

–7.

d) 11. e) –1. 20. (Espm 2012) Se 15 10log 2 a e log 2 b, o valor de 10log 3 é:

a) a

a 1b

b) b

b 1a

c) b

a 1a

d) a

b 1b

e) a

a bb



21. (G1 - ifba 2012) O valor da expressão 2 43M log 0,25 log 27 log 8 co é:

a) 1 b) -3/2 c) 2 d) -5/2 e) 3 22. (Fgvrj 2012) Adotando os valores log2 0,30 e log3 0,48, em que prazo um capital

triplica quando aplicado a juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano? a) 5 anos e meio b) 6 anos c) 6 anos e meio d) 7 anos e) 7 anos e meio 23. (G1 - ifce 2012) Considerando-se K = 100

log 3 + 1000

log 2, onde os logaritmos são decimais,

é correto afirmar-se que K é a) múltiplo de 10. b) negativo. c) maior que 100. d) ímpar. e) irracional. 24. (Fgvrj 2012) A descoberta de um campo de petróleo provocou um aumento nos preços dos terrenos de certa região. No entanto, depois de algum tempo, a comprovação de que o campo não podia ser explorado comercialmente, provocou a queda nos preços dos terrenos. Uma pessoa possui um terreno nessa região, cujo valor de mercado, em reais, pode ser

expresso pela função 22x 0,5xf(x) 2000 e , em que x representa o número de anos

transcorridos desde 2005. Assim: f(0) é o preço do terreno em 2005, f(1) o preço em 2006, e assim por diante.

a) Qual foi o maior valor de mercado do terreno, em reais? b) Em que ano o preço do terreno foi igual ao preço de 2005? c) Em que ano o preço do terreno foi um décimo do preço de 2005? Use as aproximações para resolver as questões acima:

2...e 7,4; ln 2 0,7; ln 5 1,6; 34,4 6

25. (Ufrgs 2012) O número log2 7 está entre a) 0 e 1. b) 1 e 2. c) 2 e 3. d) 3 e 4. e) 4 e 5.



26. (Ime 2012) Se 10log 2 x e 10log 3 y, então 5log 18 vale:

a) x 2y

1 x

b) x y

1 x

c) 2x y

1 x

d) x 2y

1 x

e) 3x 2y

1 x

27. (Ifsp 2011) Resolvendo o sistema de equações

2 2x 6xy 9y 0

log x 2 logy 0

obtém-se um par

ordenado (x; y), cuja diferença x – y é a) 3. b) 2.

c) 2

.3

d) 2

.3

e) - 2. 28. (Espm 2011) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do 9log 160 é igual a:

a) 4a b

2

b) 4a 1

2b

c) 2a 3b

2

d) 4b 2

a

e) a 1

3b

29. (G1 - cftmg 2011) O conjunto soluçăo da equaçăo 22 2 2log (x 7x 10) log (x 5) log 10 é

a) 5,12

b) 12

c) 5

d) 30. (Ufrgs 2011) Aproximando log 2 por 0,301, verificamos que o número 1016 está entre

a) 910 e

1010 .

b) 1010 e

1110 .

c) 1110 e

1210 .

d) 1210 e

1310 .

e) 1310 e

1410 .



Gabarito: Resposta da questão 1:

[D]

22 3 2 3

1 2 3

2

A A A 1 log 2 2 log 3 3 log5 log2 log3 log5 log 2 3 5 log 2 5 3 5

log10 log15 1 2 log15.

Resposta da questão 2:

[C]

10

1 0,1x0 0

1 0,1x

T(x) 10 T

10 T T 0,5

log10 log(0,5)

1 0,1x (log1 log2)

1 0,1x (0 0,3)

1 0,03x

x 33,3333...

Logo, D = 34. Resposta da questão 3: [E]

t 1

t 1

t 1

13,55 6,775 1,05

2 1,05

log 2 log 1,05

0,3 t 1 log1,05

0,3 (t 1) 0,02

15 t 1

t 16

t 1 , representa 2011.

t 16 , representa o ano de 2026. Resposta da questão 4:

a) S = –18.log(t+1) + 86

S = –18.log(9+1) + 86

S = –18.1 + 86

S = 68

Resposta: 68%. b) 50 = –18.log(t+1) + 86



–36 = –18.log(t+1)

log (t+1) = 2

t + 1 = 100

t = 99 minutos = 1hora e 39 minutos Resposta da questão 5:

[B]

O número N de bactérias após t períodos de 12 horas é igual a t10 2 . Logo, em uma

semana, teremos

14 14

5,2

N 10 2 logN log10 2

logN log10 14 log2

logN 1 14 0,3

N 10 .

Portanto, 5 5,510 N 10 . Resposta da questão 6:

a) No gráfico, log10No = 6. b) log10No = 6 No=10

6 = 1 000 000.

c) oNN(t)

2

o

o

NlogN(t) log

2

logN(t) logN log2

logN(t) 6 0,3

logN(t) 5,7

Observando o gráfico,

logN(t) = 5,7 t = 6 horas. Resposta da questão 7:

01 + 16 = 17.

9 3 2 3

23 3 3

2

1log 2x 5 log 3x 1 log (2x 5) log 3x 1

2

log (2x 5) log (3x) 2 log (6x 15x) 2

6x 15x 9 0

Resolvendo a equação, temos x = 3 ou x = -1/2 (não convém). [01] (Verdadeira). x = 3.

[02] (Falsa). Existe apenas uma solução.



[04] (Falsa). Existe apenas uma solução. [08] (Falsa). A solução x = 3 é inteira. [16] (Verdadeira). 3 < log5 625, ou seja, 3 < 4. Resposta da questão 8:

[E]

Lembrando que cblog a c a b , com a 0 e 1 b 0, temos

5

3

35

log (x y) 5 x y 3

log (x y) 3 x y 5

x 184.

y 59

Portanto,

2 2

2

102

log (3x 8y) log [3 184 8 ( 59)]

log 1024

log 2

10.

Resposta da questão 9: [D]

2 2 2 236log3,6 log log36 log10 log(2 3 ) 1 log2 log3 1 2log2 3log3 1

10

2 (m n) 1


Seja a função p : ,

definida por m 1p(m) 1800 1,1 , com p(m) sendo a capacidade

de produção, em toneladas, no mês m.

O valor de m para o qual p(m) 12,1 p(1) é tal que

m 1 m 1

m 1

2

12,1 1800 1800 1,1 1,1 12,1

log1,1 log12,1

(m 1) log1,1 log(1,1) 10

(m 1) log1,1 2 log1,1 log10

(m 1) 0,04 0,08 1

m 27 1

m 28.




[E]

Sabendo que r qq

1log p log p,

r para quaisquer reais positivos p, q e r, com q 1, vem

2

aa a

a

a a

a

2

6 log m 12 2 1 log m 6 log m

1 log m 2

2 log m 6 log m

log m 2

m a .

Portanto,

2

2

m a a 1.

a a 2a m a a


[C]

Sabendo que cb

c

log alog a ,

log b com a, b e c reais positivos e b, c 1, vem

32 2

3x 3 33

3log

3 xlog (log x) 1 (log x) 1.x log 3x

Daí, como p p plog (m n) log m log n e p p pm

log log m log n,n

sendo m, n e p reais

positivos e p 1, temos

233

3

log x 1(log x) 1.

log x 1

Fazendo 3y log x, segue que

y 1 1(y 1)(y 1) 0 (y 1) y 1 0

y 1 y 1

y(y 1)(y 2) 0

y 0 ou y 1 ou y 2.

Desse modo, as raízes reais da equação dada são x 1, x 3 e 1

x9

e, portanto, o resultado

pedido é

22 2 1 1

1 3 10 [10,15[.9 81




[A]

Quando o bloco estiver totalmente derretido sua massa será M 0.

Determinando, agora a altura, para M 0.

4

1.000 – 250 log d 0 250 log d 1.000

log d 4 d 10 d 100.00 m

Determinando o tempo de queda.

2

2

10t 10.000

t 1.000

t 32 s


[B]

Sabendo que c c clog a log b log ab para a, b e c reais positivos e c 1, vem

x x x

2 2

log (x 3) log (x 2) 2 log (x 3)(x 2) 2

x x 6 x

x 6.

Portanto, x 6 é a única solução real da equação. Resposta da questão 15:

Cálculo de Juros Compostos t

M montante

C capitalM C(1 i) onde

i taxa

t tempo

Portanto:

t t t2 22000 1000(1 0,06) 1,06 2 log 1,06 log 2 t(0,084) 1 t 11,9 anos

Resposta da questão 16: [B]

22 32

9 33

2 log alog alog a log a x.

log 9 2




[B] Temos que

x 1 x 1 2

x 3

x 3

5 150 5 2 3 5

5 2 3

10log log(2 3)

2

(x 3) (log10 log2) log2 log3

(x 3) (1 0,3) 0,3 0,48

0,78x 3

0,7

x 3 1,1

x 4,1.

Portanto, x [4, 5[.


[B] Condição de existência: x – 6 > 0 e 2x – 16 > 0 x > 8

22

2 2

2 2

2

2

log (x 6)log (2x 16) 1 (x2)

2

log (x 6) 2 log (2x 16) 2

(x 6)log 2

(2x 16)

(x 6) 14x 68x 280 0 x 10 ou x = 7 (não convém)

4(2x 16)

Portanto, m = 10 e log10 = 1. Resposta da questão 19:

[B]

3

2

33

4

3 4

7

0,001 1E log 8

10000 2

10E 3 2

10

E 3 10 8

E 11 10

E 11 0,0000001

E 11,0000001.




[B]

Escrevendo 15log 2 na base 10, obtemos

1015

10

10

10 10

10

10 10 10

log 2log 2

30log

2

log 2

log (3 10) log 2

log 2.

log 3 log 10 log 2

Portanto, sabendo que 15log 2 a e 10log 2 b, vem

1010

10

b ba 1 b log 3

1 b log 3 a

blog 3 b 1.

a

Resposta da questão 21: Questão anulada no gabarito oficial.

2 43M log 0,25 log 27 log 8

M 2 6 3 2

M 5 2

co

(Sem resposta) Resposta da questão 22:

[B]

Seja n o prazo necessário, em anos, para que um capital C triplique, quando aplicado à taxa

de juro de 20% ao ano.

Logo,

n n

n2

3C C (1 0,2) 3 (1,2)

2 3log3 log

10

log3 n (2 log2 log3 log10)

0,48n

0,08

n 6.

Resposta da questão 23: [D]

2 3

log3 log2 log3 log2 2 3K 100 1000 10 10 3 2 17 (ímpar).




a) O maior valor de mercado do terreno ocorreu em 2007, ou seja,

22 2 0,5 2

2

f(2) 2000 e

2000 e

R$ 14.800,00.

b) Em 2005, o valor de mercado do terreno era de R$ 2.000,00.

Queremos calcular o valor de x para o qual f(x) 2000, isto é,

2 2

2

2x 0,5 x 2x 0,5x

2x 0,5x

2

2000 2000 e 1 e

n1 n e

0,5x 2x 0

x 4.

Portanto, o preço do terreno em 2009 foi igual ao preço do terreno em 2005.

c) Queremos calcular o valor de x para o qual se tem 1

f(x) f(0),10

ou seja,

2 2

2

2x 0,5 x 2x 0,5x 1

2x 0,5x 1

2

2

2

12000 e 2000 e 10

10

n e n (2 5)

( 0,5x 2x) n e ( n 2 n 5)

0,5x 2x 2,3 0

x 4x 4,6 0

x 5.

Por conseguinte, em 2010 o preço do terreno foi igual a um décimo do preço em 2005. Resposta da questão 25: [C]

x2log 7 x 2 7 2 x 3.


[A]

2 2

5log(3 2) log3 log2 2log3 log2 x 2y

log 18=10log5 log10 log2 1 x

log2




[B] Condição de existência x = 2 > 0 e y > 0

2 2x 6xy 9y 0

log x 2 logy 0

2x 3y 0

x 3yx 2

y x 2log 0y

Resolvendo, temos x = 3 e y = 1. Logo, 3 – 1 = 2. Resposta da questão 28: [B]

Sabendo que ca

c

log blog b ,

log a temos que

9

4

2

log160log 160

log9

log2 log10

log3

4 log2 1

2 log3

4a 1.

2b


[B]

2

2

2 2

2

2

x - 7x 10 0(condição de existência)

x - 5 0

x - 7x 10log log 10

x - 5

x - 7x 1010

x - 5

x -17x 60 0

x 12 ou x 5( não convém)

S = {12} Resposta da questão 30: [D]

Façamos 10 4 10 40x 16 (2 ) 2 . Assim,

40

12,04

logx log2 logx 40 0,301

logx 12,04

x 10 .

Portanto, 12 1310 x 10 .


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