Para aproveitar 100% dessa aula você precisa

saber:• Potenciação e Radiciação

• Introdução às Funções

• Função Afim

• Função quadrática

• Inequações do 1º e do 2º graus

• Função Exponencial

O que você sabe sobre logaritmos?

Para que serve o

Logaritmo?

Logaritmo

Logaritmo de a na base b é o número real x, tal que bx = a, com a e b positivos e b diferente de 1.

Exemplos:

abxa xb log

3828log)

2939log)

2

3

xxb

xxa

x

x

Logaritmo

abxa xb logdefinição

a > 0 e b > 0

b ≠ 1

Tente fazer sozinho!

125log)

6log)

:

2,0

36

b

a

Calcule

Solução

4

12

12

66

66

636

6log)

212

212

36

x

x

xa

x

x

x

3

55

55

1

510

2

1252,0

125log)

3

3

3

2,0

x

xb

x

x

x

x

Voltando a definição de logaritmo, temos que x é o logaritmo, b é base e a é o

logaritmando.

xab log

logaritmo

base

logaritmando

Dizemos que x é o logaritmo de a na base b

elementos

logaritmo

base

logaritmando

Logaritmo

abxa xb logdefinição

a > 0 e b > 0

b ≠ 1

Exercício

Calcule:

a) O logaritmo de 4 na base 1/8.

b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.

c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.

Exercício

Calcule:

a) O logaritmo de 4 na base 1/8.

b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.

c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.

Soluçãoa) O logaritmo de 4 na base 1/8.

32

23

22

28

481

4log

3

2

81

x

x

x

x

x

x

b) O número cujo logaritmo em base 3 vale -2.

c) A base na qual o logaritmo de ¼ vale -1.

91

3

2log2

3

x

x

x

44

1

1log1

41

x

x

x

2) Determine o domínio da função:

)65(log)( 21 xxxf x

SoluçãoRestrições para a base

x + 1 > 0 e x + 1 ≠ 1

x > -1 x ≠ 0

Restrições para o logaritmando

x2 – 5x + 6 > 0

x2 – 5x + 6 = 0

x1 = 2 e x2 = 3

S = ] -1, 0 [ U ] 0 , 2 [ U ] 3 , +∞ [

2 3

++

-

-1+

-0

-1 0 2 3

Consequências da definição

1ª) , pois a0 = 1.

2ª) , pois a1 = a.

3ª) , pois an = an.

4ª)

5ª)

01log a

1log aa

nana log

na na log

yxyx aa loglog

consequências

na na log

01log a

yxyx aa loglog

nana log

0log aa

elementos

logaritmo

base

logaritmando

Logaritmo

abxa xb logdefinição

a > 0 e b > 0

b ≠ 1

Exercício

Classifique as sentenças como verdadeiras

ou falsas:

01log)

01log)

55log)

11log)

5

5

1

5

d

c

b

a

52)

52)

73log)

33log)

2log

5log

73

77

5

2

h

g

f

e

Solução

01log)

15log)

55log)

11log)

5

5

1

5

d

c

b

a

falsa, pois 15 = 1

verdadeira, pois 51 = 5

falsa, pois 51 = 5

verdadeira, pois 50 = 1

falsa, pois 73 ≠ 37

verdadeira

falsa52)

52)

73log)

33log)

2log

5log

73

77

5

2

h

g

f

e

verdadeira

Sistemas de Logaritmos

Logaritmo decimal: apresenta base 10.

Logaritmo neperiano: apresenta base e.

xx loglog10

xxe lnlog

sistemasdecimal

neperianobase e

ln

consequências

na na log

01log a

yxyx aa loglog

nana log

0log aa

elementos

logaritmo

base

logaritmando

Logaritmo

abxa xb logdefinição

a > 0 e b > 0

b ≠ 1

Qual é o valor de cada uma das seguintes

expressões?

Exercícios

1ln2ln3ln)

10log1log5log)32

35

eeb

a

Solução

10120.23

1.32

1log2log3log

1ln2ln3ln)

0101

10log1log5log)

312

32

35

eee ee

eeb

a

Propriedades do logaritmo

1ª) Logaritmo do produto

Exemplo:

cbcb aaa loglog.log

32125.5log

25log5log25.5log

5

555

Propriedades do logaritmo

2ª) Logaritmo do quociente

Exemplo:

cbc

baaa logloglog

12log2,0log

10log2log10

2log2,0log

5

Propriedades do logaritmo

3ª) Logaritmo da potência

Exemplo:

bcb ac

a loglog

aa 710

7 log10log

sistemasdecimal

neperianobase e

ln

consequências

na na log

01log a

yxyx aa loglog

nana log

0log aa

elementos

logaritmo

base

logaritmando

Logaritmo

abxa xb logdefinição

a > 0 e b > 0

b ≠ 1

potência

quociente

produto cbbc aaa loglog)(log

bcb ac

a loglog

cbcb aaa logloglog propriedades

Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,

em função de a e b:

3 8,1log)

41log)

30log)

5log)

5,1log)

6log)

f

e

d

c

b

a

Tente fazer sozinho! Sabendo que log 2 = a e log 3 = b, calcule,

em função de a e b:

3 8,1log)

41log)

30log)

5log)

5,1log)

6log)

f

e

d

c

b

a

Solução

123

110log3log2log

3

1

10

3.2log

3

1

10

18log

3

18,1log

3

18,1log8,1log)

222log1log22

1log2

2

1log4

1log)

110log3log10.3log30log)

12log10log2

10log5log)

2log3log2

3log

10

15log5,1log)

3log2log3.2log6log)

2

23

2

31

ba

f

aae

bd

ac

abb

baa

Para mudar para base c, usaremos a fórmula:

Exemplo: Mudando para base 10.

Mudança de base

a

bb

c

ca log

loglog

balog

12log2

2log

12log12log2

01log a

01log a

sistemasdecimal

neperianobase e

ln

consequências

na na log

01log a

yxyx aa loglog

nana log

0log aa

elementos

logaritmo

base

logaritmando

Logaritmo

abxa xb logdefinição

a > 0 e b > 0

b ≠ 1

potência

quociente

produto cbbc aaa loglog)(log

bcb ac

a loglog

cbcb aaa logloglog propriedades

b

aa

c

cb log

loglog

Mudança

de base

Exercício 1

Calcule o valor de:

5log.4log.3log 354

Solução

13log

5log.

5log

4log.

4log

3log

5log.4log.3log 354

Exercício 2

34 2 e)

32 4 d)

32 2 c)

3- 4 b)

32 - 4 a)

:é x de valor o então ,1log)2(log

e 2 xreal, número um é x Se SP) -(Fuvest

42

xx

Solução

244

log

2log44log

2log2log

2log2log2

12

log2log

14log

log2log

1log2log

2

2

22

2

22

2

22

22

2

22

42

x

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

xx

324

048

444

444

442

2

2

2

22

x

xx

xxx

x

xx

x

xx

Como x > 0, então resposta letra D.

O que vimos nessa aula:

• Definição de logaritmo

• Consequências da definição

• Propriedades do logaritmo

• Mudança de base

• Como resolver equações e inequações logarítmicas

Bibliografia• Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto

e Aplicações. 4ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 224 a 255.

• Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 103 a 131.

• Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 133 a 154.