Sistemas Lineares

Prof.ª: Susana P. da Cunha de Matos

Historicização

Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C.

Historicização Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki

Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). (http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas. php)

Problematização Atualmente, os carros bicombustíveis, isto é, aqueles que

funcionam com gasolina, álcool ou com a mistura dos dois, conhecidos com flex, tem sido produzidos pelos principais fabricantes de carros.

Em certo posto de combustíveis, um carro bicombustível foi abastecido com álcool e gasolina, totalizando 46L. Nesse dia, o preço do litro do álcool era R$ 1,50 e o litro da gasolina, R$ 2,50. Sabendo que foram pagos R$ 82,00 pelo abastecimento, determine a quantidade de litros de álcool e de gasolina com que o carro foi abastecido.

Equações Lineares

O que são equações lineares?

As equações escritas na forma:

são chamadas equações lineares.

Sistemas lineares

Os sistemas lineares envolvem duas ou mais equações que estão relacionadas.

Denominamos de sistema linear m x n, o conjunto S de equações lineares de m equações com n incógnitas.

Representamos esse conjunto genericamente da seguinte forma:

Sistemas Lineares Exemplos:

Sistema linear 2x2, ou seja, com duas equações

lineares e duas incógnitas (x e y).

Sistema linear 3x3, ou seja, com três equações

lineares e três incógnitas (x, y e z).

Sistema linear 2x3, ou seja, com duas equações

lineares e três incógnitas (x, y e z).

Sistemas Lineares

• Solução de um sistema linear:

Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.

Sistemas Lineares

• Sistema Homogêneo

Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que

possui todos os coeficientes independentes nulos.

Exemplo:

Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0,0,...,0), chamada de solução trivial. Um sistema linear homogêneo pode ter outras soluções além da trivial. Ou seja, um sistema homogêneo é sempre possível.

Sistemas Lineares

• Classificação de um sistema linear:

Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

Sistemas Lineares

Sistema linear

Possível: Quando admite solução.

Determinado: admite uma

única solução.

Indeterminado: admite infinitas

soluções. Impossível: quando não

admite solução.

Sistemas Lineares • Matriz de um Sistema Linear

Podemos associar matrizes a um sistema de equações lineares.

Seja o sistema S de m equações com n incógnitas:

A esse sistema, podemos associar as seguintes matrizes:

Sistemas Lineares

• Matriz completa:

matriz formada pelos coeficientes das incógnitas e os termos independentes.

• Matriz incompleta:

matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

• Matriz coluna das incógnitas:

matriz formada pelas incógnitas do sistema.

• Matriz coluna dos termos independentes:

matriz formada pelos termos independentes.

Sistemas Lineares

• Forma matricial do sistema linear:

Sistemas Lineares

Escalonamento de um Sistema Linear

Sistemas equivalentes

Dizemos que dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando apresentam a mesma solução, ou seja, quando toda solução de S1 também é de S2, e vice-versa.

Sistemas Lineares

Exemplo:

pois quando resolvidos apresentam como solução única a terna (4,-1,3) .

Sistemas Lineares

Propriedades dos sistemas equivalentes:

• 1ª propriedade:

Dado um sistema linear S1, ao multiplicarmos por k , com k E R*, os membros de uma equação qualquer desse sistema, obtemos um sistema S2 equivalente a S1.

Sistemas Lineares

• 2ª propriedade:

Dado um sistema linear S1, se substituirmos uma de suas equações pela soma, membro a membro, dela com outra equação desse sistema, obtemos um sistema S2 equivalente a S1.

Sistemas Lineares

• 3ª propriedade:

Dado um sistema linear S1, se permutarmos duas de suas equações, obtemos um sistema S2 equivalente a S1.

Sistemas Lineares

Sistemas escalonados:

Dizemos que um sistema linear S no qual cada equação possui pelo menos um coeficiente não nulo está na forma escalonada se:

• As incógnitas de todas as equações estiverem em uma mesma ordem;

• O número de coeficientes nulos que antecedem o primeiro não nulo aumenta de equação para equação.

Sistemas Lineares

Exemplo de sistemas escalonados:

Exemplo de sistema linear não escalonado:

Sistemas Lineares

Resolução de sistemas escalonados:

Ao estudar os sistemas lineares escalonados, consideramos dois tipos possíveis:

• 1º tipo: o número de equações é igual ao de incógnitas

Sistemas Lineares

• 2º tipo: o número de equações é menor que o de

incógnitas

Sistemas Lineares

Escalonando um sistema linear:

Exemplo 01:

Sistemas Lineares

Exemplo 02:

Sistemas Lineares

Exemplo 03:

Sistemas Lineares

Discussão de um Sistema Linear:

Discutir o sistema, em função de um ou mais parâmetros, significa dizer se ele é possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI) para valores desses parâmetros.

Sistemas Lineares

Exemplo 01:

Vamos discutir o sistema :

em função do parâmetro α.

Sistemas lineares

Discussão de um sistema linear:

Quando o número de equações é igual ao de incógnitas, podemos discutir o sistema utilizando os determinantes. Nesse caso, calculamos o determinante D da matriz incompleta:

• Se D≠0 , temos um SPD;

• Se D = 0, temos um SPI ou SI.

Sistemas Lineares

Exemplo:

Discuta o sistema

em função dos parâmetros α e b .

Problematização Atualmente, os carros bicombustíveis, isto é, aqueles que

funcionam com gasolina, álcool ou com a mistura dos dois, conhecidos com flex, tem sido produzidos pelos principais fabricantes de carros.

Em certo posto de combustíveis, um carro bicombustível foi abastecido com álcool e gasolina, totalizando 46L. Nesse dia, o preço do litro do álcool era R$ 1,50 e o litro da gasolina, R$ 2,50. Sabendo que foram pagos R$ 82,00 pelo abastecimento, determine a quantidade de litros de álcool e de gasolina com que o carro foi abastecido.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI, José Ruy.

Matemática Completa 2ª Série. 2ª Ed. São

Paulo, Editora FTD, 2005.

RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência,

linguagem e tecnologia, 2 ensino médio. São

Paulo: Scipione, 2010.

DANTE, Luis Roberto. Matemática: contexto e

aplicações. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.