1

Otimização EstruturalOtimização Estrutural

l O que significa otimização estrutural ?

l Por que otimizar uma estrutura ?

2

OTIMIZAÇÃO: Conceitos básicosOTIMIZAÇÃO: Conceitos básicos

l Variáveis de projetol Função objetivol Restrições de projeto

Otimização com restriçõesOtimização com restrições

3

Tipos de problemas de otimizaçãoTipos de problemas de otimização

l Otimização dimensional: variáveis de projeto descrevem características geométricas da peça. (quais seriam as possíveis variáveis de projeto?)

4

l Otimização de forma: mudança no contorno do objeto.

5

l Otimização topológica: determina a distribuição ótima de material no domínio.

OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA: Problemas OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA: Problemas comunscomuns

l Instabilidade de tabuleirol Dependência da malhal Mínimos locaisl Ótimos singulares

6

INSTABILIDADE DE TABULEIROINSTABILIDADE DE TABULEIRO

DEPENDÊNCIA DA MALHADEPENDÊNCIA DA MALHA

7

MÍNIMOS LOCAIS: Não convergência ao MÍNIMOS LOCAIS: Não convergência ao mínimo globalmínimo global

Técnicas de solução de um problema de Técnicas de solução de um problema de otimizaçãootimização

l Critério de ótimol Programação matemática

– Programação linear– Programação quadrática– Programação não-linear– Programação inteira

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ALGORITMO SLPALGORITMO SLP

CONVERGE?"NÃO"

IMPRIME RESULTADOS

VERIFICA CONVERGÊNCIA

ENTRADA NO LP

CÁLCULO DOS LIMITES MÓVEISE LINEARIZAÇÃO DAS RESTRIÇÕES

CÁLCULO DA SENSIBILIDADE

CÁLCULO DOSDESLOCAMENTOSFORÇAS INTERNAS

MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA

CÁLCULO DAMATRIZ DE RIGIDEZ GLOBALVETOR DE FORÇAS GLOBAIS

LEITURA DO MODELOE ESTIMATIVA INICIAL

e

e T eK B E B dρΩ

= Ω∫

K u f=

Exemplo de como formular um problema Exemplo de como formular um problema de otimização:de otimização:

• Restrição de Flexibilidade:

( )2

1

lim

min

minimizar

sujeito a 1

nep

i i i ii

k

V

W W

ρ αρ αρ

ρ ρ

=

+ −

≤

≤ ≤

∑

9

Cálculo da sensibilidadeCálculo da sensibilidade

l Função objetivo:

( ) ( )1 1 2pi i i

i

V p Vρ α ρρ

−∂ = + − ∂

Forma padrão do LP:

minsuj.

fAx b≤

CÁLCULO DAS SENSIBILIDADES: CÁLCULO DAS SENSIBILIDADES: FlexibilidadeFlexibilidade

l Linearização da restrição:

( ) ( )lim 0 0 0

k kk

ii i

W WW Wρ ρ ρ ρρ ρ

∂ ∂≤ − +

∂ ∂

Cálculo da derivada: Partindo das equações:

k kKu f= ( )Tk k kW f u=1KK − = Ι

Obtém-se:

( ) ( )2k kT Tk k k

i i i

W K fu u uρ ρ ρ

∂ ∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂

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Resultados Resultados –– Estruturas Estruturas discretizadasdiscretizadas Elemento de barra: Caso de Elemento de barra: Caso de

flexibilidade com dois casos de carga.flexibilidade com dois casos de carga.

Restrição de tensRestrição de tensãão com dois casos de cargao com dois casos de carga

11

Restrição de Restrição de flambagemflambagem locallocal

FlambagemFlambagem globalglobal

12

Modelo 3D com restrições de tensão, Modelo 3D com restrições de tensão, flexibilidade e flexibilidade e flambagemflambagem

Elemento de viga: restrição a Elemento de viga: restrição a flambagemflambagem, dois , dois casos de cargacasos de carga

13

Restrição de flexibilidade: Quatro tipos de Restrição de flexibilidade: Quatro tipos de vizinhança de conectividade, um caso de vizinhança de conectividade, um caso de

carregamentocarregamento

Resultados Resultados –– Estruturas Estruturas contínuascontínuas

Restrição de flexibilidadeRestrição de flexibilidade

p=1α=0

p=1/8α=0

p=1/8α=0,3

14

Restrição de flexibilidadeRestrição de flexibilidade

p=1α=0

p=1/8α=0

Estrutura interpretada

Resultados de TensãoResultados de Tensão- Esforço de tração:

15

- Esforço de flexão:

- Esforço de flexão (ponte):

16

- Esforço de flexão (concentração de tensão):

17

Resultado de casca Resultado de casca –– restrição de flexibilidade, restrição de flexibilidade, um caso de carregamentoum caso de carregamento

18

Outros resultadosOutros resultados

Minimização do Volume Minimização do Volume com Restrição de com Restrição de Flexibilidade (Flexibilidade (BendsoeBendsoe--1993)1993)