análise dimensional

Primeira Edio

Anlise Dimensional Notas de AulaProf. Ubirajara Neves

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Frmulas dimensionaisAs frmulas dimensionais so formas usadas para expressar as diferentes grandezas fsicas em funo das grandezas fundamentais.

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IntroduoPara a Mecnica, so consideradas grandezas fundamentais: a massa (m) M o comprimento (l) L o tempo (t) T Assim, na Mecnica, qualquer grandeza derivada X pode ser expressa em funo dessas trs grandezas, atravs da forma

1. Encontra-se uma equao que permita calcular a grandeza de interesse. Qualquer equao serve, desde que correta, claro! 2. Colocam-se colchetes em todos os termos da equao, indicando que se deve trabalhar com as respectivas frmulas dimensionais. 3. Manipula-se algebricamente a expresso obtida, at que a mesma que irredutvel. Vejamos alguns exemplos.

em que MxLyTz a frmula dimensional da grandeza X, indicada por [X], e x, y e z so as dimenses de X em relaoa M, L e T, respectivamente. Para determinar a frmula dimensional de uma grandeza derivada pode-se seguir as etapas:2

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Exemplos

Usemos a equao para determinar o volume de um paleleppedo retngulo de base retangular, cujas arestas tenham comprimento a, b e c. . Logo, o volume uma grandeza que apresenta trs dimenses de comprimento.

rea (A)Podemos usar a equao para o clculo da rea de um retngulo: A = a b, em que A a rea, a a medida do comprimento de um lado, e b a medida do comprimento do outro lado. Colocando-se colchetes em todos os termos: [A] = [a] [b] = L L = L2. Portanto, a frmula dimensional de rea L2, que signica que a rea uma grandeza que tem duas dimenses de comprimento.

Densidade ()Pela denio de densidade (volumtrica):

em que a densidade volumtrica, m a massa e V o volume. Faamos a anlise dimensional:

Assim, a densidade uma grandeza que apresenta uma dimenso de massa e trs dimenses negativas de comprimento.

Volume (V)

Velocidade (v)Usemos a equao da velocidade mdia:

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Podemos partir da equao da 2. lei de Newton para uma fora resultante F: o que nos leva a concluir que velocidade uma grandeza que possui uma dimenso de comprimento, uma dimenso negativa de tempo, e que no tem dimenso de massa. Note que a existncia de uma dimenso negativa apenas signica que a grandeza em questo apresenta uma proporcionalidade inversa em relao quela grandeza fundamental.

Trabalho (W)Pela denio de trabalho:

Acelerao (a)Usando a equao da acelerao mdia:

Presso (P)Sendo a presso a razo entre a fora e a rea, temos:

Momento linear (p)A partir da equao do momento linear, tambm conhecido como quantidade de movimento, obtemos:

Torque (M)Para uma fora F aplicada a uma distncia d do ponto de apoio de um corpo extenso:

Note que a grandeza momento linear tem uma dimenso de massa, uma dimenso de comprimento e uma dimenso negativa de tempo.

Energia cintica (K)Partamos da equao para o clculo da energia cintica de um corpo com massa m que se desloca a uma velocidade v:

Fora (F)4

No esquea que g a acelerao da gravidade. Observe que neste caso apareceu a expresso , ou seja, a frmula dimensional de um numeral. Ora, numerais so adimensionais, isto , apresentam dimenses zero. Ento,

Constante elstica (k)A partir da equao para determinar a fora elstica, obtemos:

Podemos generalizar e armar que a frmula dimensional de um numeral, desde que no seja uma constante de proporcionalidade, sempre 1. Assim, em que x a deformao do corpo uma mola, por exemplo.

Observe como as grandezas trabalho, torque e energia cintica so dimensionalmente homogneas, ou seja, tm a mesma frmula dimensional. So, portanto, grandezas que apresentam as mesmas dimenses e que devem se relacionar de alguma forma, como ser estudado posteriormente.

Energia potencial elstica (UE)Pela denio da energia potencial elstica:

Energia potencial gravitacional (UG)Sendo uma forma de energia, espera-se que tenha a mesma frmula dimensional da energia cintica. Vejamos:

Potncia (Pot)Sendo a potncia a razo entre a energia e o tempo,

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R EVISO 1.1 GrandezasPergunta 1 de 3Das opes a seguir, qual no se refere a uma grandeza fundamental?

A. Tempo B. Acelerao C. Comprimento D. Massa

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Homogeneidade dimensionalAquela equao resultante de um longo processo de deduo estaria correta? H alguma maneira de descartar a possibilidade de erro? a que entra o tema do presente captulo.

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Usando a homogeneidadeSubstituindo as frmulas dimensionais, obtemos: Para que uma equao seja vlida necessrio que apresente uma homogeneidade dimensional. Em outras palavras, o primeiro e o segundo membros devem apresentar as mesmas frmulas dimensionais. Observe que uma equao com essa caracterstica pode estar certa; por outro lado, uma equao no dimensionalmente homognea certamente estar errada. Tomemos como exemplo a seguinte situao: um estudante, ao resolver um problema de mecnica, chegou equao

Portanto, a equao encontrada pelo estudante dimensionalmente homognea, o que a torna uma equao possvel. No podemos garantir que esteja correta, mas diminumos a chance de ela estar errada.

em que F a fora, m a massa, g a acelerao da gravidade, v velocidade e d a distncia em relao a um referencial. Analisemos essa equao quanto a suas dimenses:

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Determinao de equaesComo fazemos para descobrir uma equao desconhecida? Analisando uma determinada grandeza, possvel, por anlise dimensional, descobrir suas relaes com outras grandezas.

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Determinando equaesPodemos usar a anlise dimensional para determinar equaes desconhecidas. Vejamos dois exemplos interessantes. Note que o resultado acima s ser verdadeiro se:

O perodo de oscilao de um pnduloUm pndulo de comprimento l, sujeito a um campo gravitacional g, oscila num plano com perodo T. Determinemos a equao que nos permita calcular o perodo de oscilao desse pndulo, sabendo que isso depende do comprimento e da acelerao da gravidade local. Seja C uma constante numrica qualquer (no de proporcionalidade). Com base no exposto, sabemos que a equao procurada ter a forma

Com as duas ltimas equaes podemos montar um sistema e resolv-lo:

Resolvendo a segunda equao em relao a y, obtemos

Substituindo na primeira equao, Faamos, ento, a anlise dimensional da equao acima:10

Voltando para a equao inicial, podemos fazer: Ento,

Assim,

IMPORTANTE! A determinao da constante numrica C no pode ser feita por anlise dimensional, mas existem outros mtodos para encontr-la.

Resolvendo a segunda equao em relao a x, obtemos

Velocidade de queda de um corpoSabendo que a velocidade v de queda de um corpo, desprezando-se a resistncia do ar, depende da acelerao da gravidade g, da altura h e, possivelmente, da massa m, vamos determinar a equao para o clculo dessa velocidade.

Substituindo na primeira equao, chegamos a

Ento,

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Note como a anlise dimensional deixou claro que a velocidade de um corpo em queda livre no depende de sua massa.

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Notas de Aula - Anlise Dimensional

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ArestasNum slido geomtrico, o termo aresta refere-se interseco entre duas faces.

Aresta

Termos do Glossrio Relacionados Arraste os termos relacionados at aqui

ndice

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Captulo 1 - Exemplos

DimensesNo contexto da anlise dimensional, dimenso refere-se ao expoente associado a uma grandeza fundamental.

Termos do Glossrio Relacionados Grandezas fundamentais

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Captulo 1 - Introduo

Energia cintica a energia mecnica associada ao movimento de um corpo. Assim, um corpo em repouso em relao a um certo referencial no possui energia cintica.


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Frmula dimensionalExpresso literal que mostra as grandezas fundamentais associadas a uma grandeza derivada, bem como suas dimenses.

Termos do Glossrio Relacionados Grandeza derivada, Grandezas fundamentais

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GrandezaTudo aquilo que pode ser medido, direta (grandeza fundamental) ou indiretamente (grandeza derivada).

Termos do Glossrio Relacionados Grandeza derivada, Grandezas fundamentais

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Grandeza derivadaGrandeza que resulta da associao de uma ou mais grandezas fundamentais e que no pode ser medida diretamente.

Termos do Glossrio Relacionados Grandeza, Grandezas fundamentais

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Grandezas fundamentaisGrandezas que podem ser medidas diretamente. So sete: massa, comprimento, tempo, temperatura termodinmica, quantidade de matria, intensidade de corrente eltrica, e intensidade luminosa.

Termos do Glossrio Relacionados Grandeza, Grandeza derivada

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MecnicaRamo da Fsica que estuda os movimentos dos corpos.


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Momento linearGrandeza vetorial que representa a quantidade de movimento associada a um corpo, em relao a um certo referencial. obtida pelo produto da massa do corpo pela sua velocidade no referencial em questo.


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OscilaoMovimento peridico em torno de um ponto central.

Termos do Glossrio Relacionados Pndulo

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Captulo 3 - Determinando equaes

PaleleppedoSlido geomtrico cujas faces so paralelogramos paralelos.


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PnduloCorpo dotado de massa pendurado em apoio, que apresenta movimento oscilatrio em torno de um ponto de equilbrio.

Termos do Glossrio Relacionados Oscilao

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PerodoTempo necessrio para que se execute uma oscilao completa.

Termos do Glossrio Relacionados Oscilao

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Quantidade de movimentoMesmo que momento linear.

Termos do Glossrio Relacionados Momento linear

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RetnguloQuadriltero com lados opostos paralelos.


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TorqueGrandeza responsvel pela variao do momento angular de um corpo.


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TrabalhoEnergia mecnica em trnsito entre dois corpos pela ao de uma fora que provoca deslocamento.


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