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Primeira Edio
Anlise Dimensional Notas de AulaProf. Ubirajara Neves
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Frmulas dimensionaisAs frmulas dimensionais so formas usadas para expressar as diferentes grandezas fsicas em funo das grandezas fundamentais.
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IntroduoPara a Mecnica, so consideradas grandezas fundamentais: a massa (m) M o comprimento (l) L o tempo (t) T Assim, na Mecnica, qualquer grandeza derivada X pode ser expressa em funo dessas trs grandezas, atravs da forma
1. Encontra-se uma equao que permita calcular a grandeza de interesse. Qualquer equao serve, desde que correta, claro! 2. Colocam-se colchetes em todos os termos da equao, indicando que se deve trabalhar com as respectivas frmulas dimensionais. 3. Manipula-se algebricamente a expresso obtida, at que a mesma que irredutvel. Vejamos alguns exemplos.
em que MxLyTz a frmula dimensional da grandeza X, indicada por [X], e x, y e z so as dimenses de X em relaoa M, L e T, respectivamente. Para determinar a frmula dimensional de uma grandeza derivada pode-se seguir as etapas:2
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Exemplos
Usemos a equao para determinar o volume de um paleleppedo retngulo de base retangular, cujas arestas tenham comprimento a, b e c. . Logo, o volume uma grandeza que apresenta trs dimenses de comprimento.
rea (A)Podemos usar a equao para o clculo da rea de um retngulo: A = a b, em que A a rea, a a medida do comprimento de um lado, e b a medida do comprimento do outro lado. Colocando-se colchetes em todos os termos: [A] = [a] [b] = L L = L2. Portanto, a frmula dimensional de rea L2, que signica que a rea uma grandeza que tem duas dimenses de comprimento.
Densidade ()Pela denio de densidade (volumtrica):
em que a densidade volumtrica, m a massa e V o volume. Faamos a anlise dimensional:
Assim, a densidade uma grandeza que apresenta uma dimenso de massa e trs dimenses negativas de comprimento.
Volume (V)
Velocidade (v)Usemos a equao da velocidade mdia:
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Podemos partir da equao da 2. lei de Newton para uma fora resultante F: o que nos leva a concluir que velocidade uma grandeza que possui uma dimenso de comprimento, uma dimenso negativa de tempo, e que no tem dimenso de massa. Note que a existncia de uma dimenso negativa apenas signica que a grandeza em questo apresenta uma proporcionalidade inversa em relao quela grandeza fundamental.
Trabalho (W)Pela denio de trabalho:
Acelerao (a)Usando a equao da acelerao mdia:
Presso (P)Sendo a presso a razo entre a fora e a rea, temos:
Momento linear (p)A partir da equao do momento linear, tambm conhecido como quantidade de movimento, obtemos:
Torque (M)Para uma fora F aplicada a uma distncia d do ponto de apoio de um corpo extenso:
Note que a grandeza momento linear tem uma dimenso de massa, uma dimenso de comprimento e uma dimenso negativa de tempo.
Energia cintica (K)Partamos da equao para o clculo da energia cintica de um corpo com massa m que se desloca a uma velocidade v:
Fora (F)4
No esquea que g a acelerao da gravidade. Observe que neste caso apareceu a expresso , ou seja, a frmula dimensional de um numeral. Ora, numerais so adimensionais, isto , apresentam dimenses zero. Ento,
Constante elstica (k)A partir da equao para determinar a fora elstica, obtemos:
Podemos generalizar e armar que a frmula dimensional de um numeral, desde que no seja uma constante de proporcionalidade, sempre 1. Assim, em que x a deformao do corpo uma mola, por exemplo.
Observe como as grandezas trabalho, torque e energia cintica so dimensionalmente homogneas, ou seja, tm a mesma frmula dimensional. So, portanto, grandezas que apresentam as mesmas dimenses e que devem se relacionar de alguma forma, como ser estudado posteriormente.
Energia potencial elstica (UE)Pela denio da energia potencial elstica:
Energia potencial gravitacional (UG)Sendo uma forma de energia, espera-se que tenha a mesma frmula dimensional da energia cintica. Vejamos:
Potncia (Pot)Sendo a potncia a razo entre a energia e o tempo,
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R EVISO 1.1 GrandezasPergunta 1 de 3Das opes a seguir, qual no se refere a uma grandeza fundamental?
A. Tempo B. Acelerao C. Comprimento D. Massa
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Homogeneidade dimensionalAquela equao resultante de um longo processo de deduo estaria correta? H alguma maneira de descartar a possibilidade de erro? a que entra o tema do presente captulo.
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Usando a homogeneidadeSubstituindo as frmulas dimensionais, obtemos: Para que uma equao seja vlida necessrio que apresente uma homogeneidade dimensional. Em outras palavras, o primeiro e o segundo membros devem apresentar as mesmas frmulas dimensionais. Observe que uma equao com essa caracterstica pode estar certa; por outro lado, uma equao no dimensionalmente homognea certamente estar errada. Tomemos como exemplo a seguinte situao: um estudante, ao resolver um problema de mecnica, chegou equao
Portanto, a equao encontrada pelo estudante dimensionalmente homognea, o que a torna uma equao possvel. No podemos garantir que esteja correta, mas diminumos a chance de ela estar errada.
em que F a fora, m a massa, g a acelerao da gravidade, v velocidade e d a distncia em relao a um referencial. Analisemos essa equao quanto a suas dimenses:
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Determinao de equaesComo fazemos para descobrir uma equao desconhecida? Analisando uma determinada grandeza, possvel, por anlise dimensional, descobrir suas relaes com outras grandezas.
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Determinando equaesPodemos usar a anlise dimensional para determinar equaes desconhecidas. Vejamos dois exemplos interessantes. Note que o resultado acima s ser verdadeiro se:
O perodo de oscilao de um pnduloUm pndulo de comprimento l, sujeito a um campo gravitacional g, oscila num plano com perodo T. Determinemos a equao que nos permita calcular o perodo de oscilao desse pndulo, sabendo que isso depende do comprimento e da acelerao da gravidade local. Seja C uma constante numrica qualquer (no de proporcionalidade). Com base no exposto, sabemos que a equao procurada ter a forma
Com as duas ltimas equaes podemos montar um sistema e resolv-lo:
Resolvendo a segunda equao em relao a y, obtemos
Substituindo na primeira equao, Faamos, ento, a anlise dimensional da equao acima:10
Voltando para a equao inicial, podemos fazer: Ento,
Assim,
IMPORTANTE! A determinao da constante numrica C no pode ser feita por anlise dimensional, mas existem outros mtodos para encontr-la.
Resolvendo a segunda equao em relao a x, obtemos
Velocidade de queda de um corpoSabendo que a velocidade v de queda de um corpo, desprezando-se a resistncia do ar, depende da acelerao da gravidade g, da altura h e, possivelmente, da massa m, vamos determinar a equao para o clculo dessa velocidade.
Substituindo na primeira equao, chegamos a
Ento,
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Note como a anlise dimensional deixou claro que a velocidade de um corpo em queda livre no depende de sua massa.
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Notas de Aula - Anlise Dimensional
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ArestasNum slido geomtrico, o termo aresta refere-se interseco entre duas faces.
Aresta
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Captulo 1 - Exemplos
DimensesNo contexto da anlise dimensional, dimenso refere-se ao expoente associado a uma grandeza fundamental.
Termos do Glossrio Relacionados Grandezas fundamentais
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Captulo 1 - Introduo
Energia cintica a energia mecnica associada ao movimento de um corpo. Assim, um corpo em repouso em relao a um certo referencial no possui energia cintica.
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Captulo 1 - Exemplos
Frmula dimensionalExpresso literal que mostra as grandezas fundamentais associadas a uma grandeza derivada, bem como suas dimenses.
Termos do Glossrio Relacionados Grandeza derivada, Grandezas fundamentais
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Captulo 1 - Introduo
GrandezaTudo aquilo que pode ser medido, direta (grandeza fundamental) ou indiretamente (grandeza derivada).
Termos do Glossrio Relacionados Grandeza derivada, Grandezas fundamentais
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Captulo 1 - Introduo
Grandeza derivadaGrandeza que resulta da associao de uma ou mais grandezas fundamentais e que no pode ser medida diretamente.
Termos do Glossrio Relacionados Grandeza, Grandezas fundamentais
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Captulo 1 - Introduo
Grandezas fundamentaisGrandezas que podem ser medidas diretamente. So sete: massa, comprimento, tempo, temperatura termodinmica, quantidade de matria, intensidade de corrente eltrica, e intensidade luminosa.
Termos do Glossrio Relacionados Grandeza, Grandeza derivada
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Captulo 1 - Introduo
MecnicaRamo da Fsica que estuda os movimentos dos corpos.
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Captulo 1 - Introduo
Momento linearGrandeza vetorial que representa a quantidade de movimento associada a um corpo, em relao a um certo referencial. obtida pelo produto da massa do corpo pela sua velocidade no referencial em questo.
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Captulo 1 - Exemplos
OscilaoMovimento peridico em torno de um ponto central.
Termos do Glossrio Relacionados Pndulo
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Captulo 3 - Determinando equaes
PaleleppedoSlido geomtrico cujas faces so paralelogramos paralelos.
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Captulo 1 - Exemplos
PnduloCorpo dotado de massa pendurado em apoio, que apresenta movimento oscilatrio em torno de um ponto de equilbrio.
Termos do Glossrio Relacionados Oscilao
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Captulo 3 - Determinando equaes
PerodoTempo necessrio para que se execute uma oscilao completa.
Termos do Glossrio Relacionados Oscilao
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Captulo 3 - Determinando equaes
Quantidade de movimentoMesmo que momento linear.
Termos do Glossrio Relacionados Momento linear
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Captulo 1 - Exemplos
RetnguloQuadriltero com lados opostos paralelos.
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Captulo 1 - Exemplos
TorqueGrandeza responsvel pela variao do momento angular de um corpo.
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Captulo 1 - Exemplos
TrabalhoEnergia mecnica em trnsito entre dois corpos pela ao de uma fora que provoca deslocamento.
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Captulo 1 - Exemplos