ANÁLISE DIMENSIONAL

A análise dimensional é uma ferramenta poderosa e simples para avaliar e deduzir relações

físicas. A similaridade é um conceito diretamente relacionado, que consiste basicamente na

equivalência de experimentos ou fenômenos que são, na realidade, diferentes. Naturalmente,

os métodos são genéricos e de ampla utilização.

Grandezas básicas, unidades, dimensões

De forma simples, pode-se definir grandeza física como uma propriedade observável que pode ser expressa em termos quantitativos. Uma grandeza física deve obedecer a princípios aritméticos comuns de números. Sejam, por exemplo, as grandezas da mesma espécie A1, A2 e A3: Adição e subtração

Se A1 + A2 = A3 , então A1 = A3 − A2 Comparação

Se A1 + A2 = A3 e A2 é finito e positivo, então A3 > A1 Multiplicação e divisão

Se, por exemplo, A2 = A1 + A1 + A1 , então A2 = 3A1 ou A1 = A2/3 O valor numérico de uma grandeza observada depende da unidade, isto é, do padrão de referência adotado. Exemplo: na Figura 01, A é a distância observada entre dois pontos fixos O e P. Pode-se usar uma unidade u e o valor numérico de A é um número N tal que A = N u #A.1# Ou pode-se uma usar uma unidade u' e um valor numérico N' tal que A = N' u' #A.2#

Figura 01

Se a unidade u' é n vezes maior que u, isto é,

u' = n u #A.3#

Então,

N' = n−1 N #A.4#

Isso significa que, se a unidade for multiplicada por um fator n, o valor numérico da grandeza

observada deverá ser multiplicado por n−1.

Há então duas coisas distintas no caso:

• a grandeza física distância (ou comprimento) A entre os pontos O e P (que é invariável se os

pontos são fixos).

• o valor numérico dessa grandeza, que depende da unidade adotada.

As grandezas básicas formam um conjunto, normalmente pequeno, em relação ao qual as

demais grandezas são definidas. Estas últimas são denominadas grandezas derivadas.

Uma grandeza derivada genérica G pode sempre ser definida segundo a fórmula:

G = α Aa Bb Cc... #B.1#

Onde o coeficiente α e os expoentes a, b, c, … são números reais e A, B, C, … são grandezas

básicas.

Tabela 01

Grandeza física Símbolo da dimensão Unidade SI Símbolo da unidade SI

Comprimento L metro m

Massa M quilograma kg

Tempo T segundo s

Corrente elétrica I ampère A

Temperatura termodinâmica

θ kelvin K

Quantidade de matéria N mol mol

Intensidade luminosa J candela cd

O conceito de dimensão indica as grandezas básicas e os respectivos expoentes que formam a

grandeza derivada, ou seja, pode ser considerada a fórmula anterior sem o coeficiente α.

A dimensão de uma unidade é indicada por colchetes e, em termos dimensionais, a fórmula

anterior fica

[G] = [A]a [B]b [C]c... #C.1#

Naturalmente, a dimensão de uma grandeza básica é a própria. A Tabela 01 dá as grandezas

básicas definidas pelo Sistema Internacional, os símbolos dimensionais comumente usados e as

respectivas unidades básicas.

Usando raciocínio idêntico ao da transformação dada pelas igualdades anteriores #A.1# a

#A.4#, pode-se facilmente deduzir:

Se a unidade da grandeza A é multiplicada por nA, da grandeza B por nB, etc, e o valor numérico

de G era N, o novo valor N' é dado por:

N' = n−1 N onde n = (nA)a (nB)b (nC)c... #D.1#

Exemplos:

• Se A é uma grandeza de comprimento, a dimensão de A é dada por [A] = L

• Se c é uma grandeza de velocidade, c = comprimento / tempo e, portanto, [c] = L/T = L T−1

• Se a é aceleração, a = velocidade / tempo e [a] = L T−1/T = L T−2

• Se F é força, F = massa × aceleração e [F] = L M T−2

• Se S é área, S = comprimento × comprimento e [S] = L2

• Se p é pressão, p = força / área e [p] = L M T−2/L2 = L−1 M T−2

Portanto, a dimensão de uma grandeza derivada é obtida pela substituição, na relação que a

define, das grandezas básicas pelas respectivas dimensões, mantendo-se os expoentes e

desprezando-se o coeficiente de proporcionalidade se existir. Se houver grandezas derivadas na

relação, o mesmo procedimento é adotado para essas e o resultado final deve ser simplificado

matematicamente.

Observar que, embora sejam considerados sinôminos em muitas citações práticas, os conceitos

de dimensão e de unidade são tecnicamente distintos.

Algumas propriedades das grandezas e dimensões:

• A dimensão de uma grandeza derivada é sempre um produto de potências das dimensões das

grandezas básicas que a formam.

• Somas de grandezas de mesma dimensão são grandezas com a mesma dimensão. Produtos e

divisões de grandezas são também grandezas derivadas, com dimensões normalmente

diferentes das originais.

• Todas as grandezas de mesma dimensão mudam seus valores na mesma proporção quando

os valores das unidades básicas são mudados.

• Funções não lineares (como logarítmicas, exponenciais, trigonométricas) de grandezas

derivadas não são em geral grandezas derivadas.

• Uma grandeza é dita adimensional se o resultado final da dimensão é unitário. Exemplo: seja

x = c t / l, onde c é velocidade, t é tempo e l é comprimento. Então [x] = L T−1 T / L = 1

Relações físicas, homogeneidade, constantes físicas

Muitos fenômenos físicos podem ser representados por uma grandeza G como função de uma

ou mais grandezas G1, G2, …, Gn. Então, a relação ou equação física genérica é

G = f(G1, G2, ..., Gn) #A.1#

Essa relação só pode ser relevante se ambos os lados têm a mesma dimensão, ou seja, a

equação deve ser dimensionalmente homogênea. Pode-se relacionar alguns aspectos que

garantem a homogeneidade dimensional de uma relação física:

• Ambos os lados devem ter a mesma dimensão.

• Todos os termos de parcelas de soma ou subtração que existirem em f devem ter a mesma

dimensão.

• Argumentos de funções logarítmicas, exponenciais, trigonométricas e outras especiais devem

ser adimensionais.

Exemplo 01: na Figura 01 (a), um corpo, supostamente no vácuo, é deixado em queda livre a

partir do repouso. Segundo relações da mecânica elementar, a distância vertical percorrida y

em função da aceleração da gravidade g e do tempo t é dada por:

y = (1/2) g t2 #B.1#

Essa relação é perfeitamente homogênea porque [y] = L e o outro lado [(1/2) g t2] = L T−2 T2 = L

Se, em vez da fórmula teórica, é feita uma medição da distância em função do tempo,

dependendo do local e da precisão do método, pode-se chegar a um resultado como este:

y = 4,905 t2 #B.2#

À primeira vista, essa relação pode parecer inválida porque y e t têm dimensões distintas.

Entretanto, deve-se notar que o valor 4,905 não é uma simples constante de

proporcionalidade. Equivale a (1/2) g da equação anterior e, portanto, tem dimensão L T−2.

Para locais próximos da superfície terrestre, o valor de g pouco varia e pode ser considerado

uma constante física. Da relação anterior, g = 9,81 m/s2, que é a aproximação usual. O valor

padronizado é 9,80665 m/s2.

Observar que constantes físicas normalmente têm dimensão e, por conseqüência, seus valores

dependem das unidades. Neste caso da aceleração da gravidade, o valor de 9,81 m/s2 equivale,

por exemplo, a 32,19 ft/s2.

Voltando à igualdade #B.1#, y = (1/2) g t2 , nota-se que o único valor numérico invariável é a

constante de proporcionalidade 1/2, que é adimensional. No caso de g, a grandeza aceleração

da gravidade é suposta constante, mas seu valor numérico depende das unidades adotadas,

porque não é adimensional (ver equação #D.1# do tópico Grandezas básicas, unidades,

dimensões).

Figura 01

Exemplo 02: ver Figura 01 (b). Em uma determinada região foi observado que a pressão atmosférica p (em N/m2) varia com a altitude h (em m) segundo a relação: p = 1,01 105 e−0,00012 h #C.1#

Essa relação vale para um local em particular. Por analogia, pode-se generalizar e dizer que a pressão atmosférica varia com a altitude segundo a equação:

p = a e−b h #C.2#. Onde a e b são constantes que dependem do local.

No aspecto dimensional, deve-se ter, conforme regra anterior, dimensão unitária do expoente. Portanto, [b] = L−1. E a dimensão de a deve ser pressão para homogeneidade da fórmula

[a] = L−1 M T−2.

Observar que, além da homogeneidade dimensional, deve haver coerência de unidades. Assim, no caso particular de #C.1#, considerando as unidades informadas de p e de h, tem-se

b = 0,00012 m−1 e a = 1,01 105 N/m2.

Dos exemplos anteriores, pode-se verificar que as constantes g, a e b podem variar de acordo com o local e época porque o planeta Terra não é homogêneo. Ou seja, elas são válidas para determinadas condições.

Há também as constantes físicas universais (velocidade da luz no vácuo, massa do elétron, constante dos gases, etc), cujas grandezas independem de quaisquer condições. No entanto, seus valores numéricos continuam dependendo das unidades adotadas.

A homogeneidade dimensional é uma condição necessária para uma equação física válida, mas não é suficiente. Ou seja, uma fórmula pode estar dimensionalmente correta e não representar a relação real entre as grandezas.

Teorema de Buckingham (teorema dos πs)

Seja um fenômeno físico representado por uma função genérica de n grandezas:

f(G1, G2, ... ,Gn) = 0 #A.1#

De outra forma,

G1 = φ(G2, ... ,Gn) #A.2#

Se as n grandezas podem ser expressas em termos de k grandezas independentes, a relação

acima é equivalente a:F(Π1, Π2, ..., Πn−k) = 0 #B.1#

De outra forma,

Π1 = Φ(Π2, ..., Πn−k) #B.2#

Onde Πi são números adimensionais formados a partir das grandezas originais:

Πi = G1i1 G2

i2 ... Gnin #C.1#

Onde os expoentes i1, i2, ..., in são números racionais.

Exemplo: seja, conforme Figura 01 (a), uma esfera de material perfeitamente elástico que se

choca com uma superfície perfeitamente rígida. Supondo a esfera revestida com uma tinta

úmida, após o choque haverá uma marca circular na superfície, como em (b) da figura. Deseja-

se saber a relação entre o diâmetro d dessa marca e outras grandezas físicas envolvidas no

processo (desprezam-se os efeitos do ar).

Desde que a superfície é perfeitamente rígida, ela não deve ter propriedades que possam

influenciar. A princípio, pode-se listar as grandezas que têm relação com o choque:

c velocidade da esfera antes do choque D diâmetro da esfera E módulo de elasticidade do material da esfera m massa da esfera μ coeficiente de Poisson do material da esfera ρ massa específica do material da esfera Entretanto esse conjunto não é independente porque a massa é função do diâmetro e da

massa específica. Assim, uma dessas três grandezas deve ser retirada para formar um conjunto independente. Escolhe-se, por exemplo, a massa m para exclusão.

Figura 01

Pode-se então dizer que o diâmetro d da área marcada é função das seguintes grandezas

independentes:

d = f(c, D, E, μ, ρ)

As dimensões das grandezas são:

[d] = L

[c] = LT−1

[D] = L

[E] = ML−1T−2

[μ] = 1

[ρ] = ML−3

Analisa-se agora o aspecto da dependência dimensional:

[d] = L = [D]

[E] = ML−1T−2 = (ML

−3) (LT

−1)2 = [ρ] [c]

2

[μ] = 1

Formam-se grupos adimensionais para essas grandezas:

De acordo com o teorema de Buckingham,

Substituindo

Exemplo: pêndulo simples

Desprezando os atritos, pode-se a princípio supor que as grandezas envolvidas na oscilação de

um pêndulo comum conforme Figura 01 são:

g aceleração da gravidade

ℓ comprimento da haste

m massa do pêndulo

T período de oscilação

Assim, n = 4 grandezas. As dimensões dessas grandezas são:

[g] = LT−2

[ℓ] = L

[m] = M

[T] = T

Figura 01

Há, portanto, k = 3 grandezas básicas (LMT).

Segundo Teorema de Buckingham (teorema dos πs), deve haver 4 − 3 = 1 grandeza

adimensional, que representa o processo, na forma:

F(Π) = 0

Onde Π = ga ℓb mc Td. Desde que é adimensional, a substituição das dimensões individuais deve

resultar na unidade:

*Π+ = (LT−2)a (L)b (M)c (T)d = 1

Os expoentes podem ser facilmente deduzidos, com os resultados:

a = 1 b = −1 c = 0 d = 2.

Portanto,

F(gT2/ℓ) = 0 deve ser a função que representa o fenômeno. Uma solução lógica é

gT2/ℓ = k2

Através do desenvolvimento teórico ou de medições práticas, pode ser visto que k = 2π. Assim,

T = 2 π √(ℓ / g)

Essa é a função que dá o período de oscilação de um pêndulo simples para pequenos

deslocamentos e na ausência de atritos.

Exemplo: esfera em meio fluido

Seja, conforme Figura 01 deste tópico, uma esfera que se move com velocidade constante em

um meio de fluido viscoso. Determinar a relação para a força de resistência ao movimento F.

As grandezas que têm influência no processo são:

c velocidade da esfera

D diâmetro da esfera

η viscosidade dinâmica do fluido

F força de resistência ao movimento

ρ massa específica do fluido

Portanto, n = 5 grandezas. As suas dimensões são:

[c] = LT−1 [D] = L *η+ = ML−1T−1 [F] = MLT−2 *ρ+ = ML−3

Usando uma formulação segundo #A.2# do tópico Teorema de Buckingham (teorema dos πs),

F = φ(c, D, η, ρ)

Figura 01

Considerando essa função uma constante multiplicada pelo produto das grandezas com expoentes, F = K cr Ds ηt ρu

Fazendo a igualdade dimensional,

MLT−2 = LrT−r Ls MtL−tT−t MuL−3u = Mt+u Lr+s−t−3u T−r−t

1 = t + u 1 = r + s − t − 3u −2 = −r − t O conjunto acima tem mais incógnitas que equações e, portanto, não há uma única solução. Em razão de a força resistente ser relacionada com a viscosidade, os expoentes são determinados em relação ao expoente de η, isto é, t:

u = 1 − t r = 2 − t 1 = 2 − t + s − t − 3 + 3t Assim, s = 2 − t

Substituindo na relação anterior,

F = K c2 − t D2 − t ηt ρ1 – t

Reagrupando,

As frações em ambos os lados são grandezas adimensionais, confirmando o teorema de

Buckingham, ou seja, para as n = 5 grandezas iniciais, há k = 3 básicas (LMT), resultando em

n − k = 2 parâmetros adimensionais.

Na relação anterior, o termo entre parênteses no lado direito é o número de Reynolds:

É uma importante grandeza para o estudo de escoamentos em geral.

Similaridade

Esse conceito é bastante intuitivo na prática, como pode ser visto nos polígonos (a) e (b) da

Figura 01. Eles não são iguais nem regulares, mas têm o mesmo número de vértices e os

ângulos são os mesmos em cada. Nessa condição, ocorre a similaridade geométrica, ou seja,

um objeto tem a mesma forma do outro, mas reduzida ou ampliada por um fator de escala.

Figura 01

O uso de modelos em escala reduzida no estudo de fenômenos físicos ou em projetos de Engenharia é um artifício importante, que economiza tempo e recursos financeiros.

Evidentemente, a similaridade geométrica entre o modelo e o protótipo é condição necessária, mas não é suficiente. É também necessária a similaridade dinâmica para que o fenômeno físico do modelo represente o mesmo fenômeno no protótipo.

Segundo o Teorema de Buckingham (teorema dos πs), um fenômeno físico genérico pode ser dado em função de parâmetros adimensionais:

Π1 = Φ(Π2, ..., Πn−k) #A.1#

As grandezas Π2, ..., Πn−k são também denominadas parâmetros de similaridade. Assim, para que o modelo represente o protótipo, os fenômenos devem ter esses valores iguais:

(Π2)modelo = (Π2)protótipo, (Π3)modelo = (Π3)protótipo, ... #B.1#

E o resultado também é similar:

(Π1)modelo = (Π1)protótipo #B.2#

Exemplo: perda de pressão

De acordo com a Equação de Darcy-Weisbach é possível escrever a perda de pressão do escoamento laminar em uma tubulação na forma de grandezas adimensionais:

#A.1#. Onde:

#A.2# (número de Reynolds)

c velocidade Δp perda de pressão

D diâmetro di tubo

η viscosidade dinâmica do fluido

ℓ comprimento do tubo

ρ massa específica do fluido

Supõe-se que será construído um modelo em escala 1:10 para um projeto de uma tubulação para óleo, com ℓ = 100 m, D = 0,25 m e velocidade do escoamento c = 0,5 m/s. Determinar a velocidade que o mesmo líquido deve ter no modelo para obter a similaridade dinâmica. Se, no ensaio, o modelo apresentou uma perda de pressão de 1000 kPa com essa velocidade, determinar a perda na tubulação projetada.

Na escala do modelo, a relação ℓ/D de #A.1# é preservada. Deve-se agora analisar o número de Reynolds: (cDρ/η)modelo = (cDρ/η)projeto

Desde que o fluido é o mesmo, ρ e η podem ser eliminados. Assim,

(cD)modelo = (cD)projeto

cmodelo D/10 = 0,5 D. Portanto, cmodelo = 5 m/s

Igualando o termo do lado esquerdo de #A.1#,

*Δp/(c2 ρ)+modelo = *Δp/(c2 ρ)+projeto

1000 / 25 = Δp / 0,25. Portanto, Δp = 10 kPa para a tubulação projetada.

Parâmetros adimensionais

A tabela a seguir lista algumas grandezas adimensionais comuns que podem ser usadas em

análises de similaridade.

Nome Fórmula Aproximação Observações

Número de Euler

(força de pressão) / (força inercial)

Casos comuns de escoamentos

Número de Freude

(força inercial) / (força da gravidade)

Escoamentos livres (ação da gravidade)

Número de Mach

(força inercial) / (força de compressão)

Escoamentos compressíveis

Número de Reynolds

(força inercial) / (força de viscosidade)

Escoamentos internos, influência da camada-limite

Número de Strouhal

(força centrífuga) / (força inercial)

Escoamentos com repetições periódicas

Número de Weber

(força inercial) / (força superficial)

Influência da tensão superficial

c velocidade D diâmetro Δp diferença de pressão

η viscosidade dinâmica g aceleração da gravidade ℓ comprimento característico

ρ massa específica ς tensão superficial ω freqüência angular

Exemplo: deseja-se analisar o efeito de ondas com velocidade c = 10 m/s em um navio de

comprimento ℓ = 100 m por meio de um modelo de comprimento ℓ' = 4 m. Determinar a

velocidade c' para as ondas nesse modelo.

Usando o número de Freude,

Fr = c / √(ℓ g) = c' / √(ℓ' g). Substituindo os valores,

10 / √(100 g) = c' / √(4 g). Resolvendo, c' = 2 m/s

Bomba centrífuga

A tabela abaixo relaciona as grandezas envolvidas na operação de uma bomba centrífuga:

Símbolo Nome Dimensão

D diâmetro L1

g aceleração da gravidade L1T−2

H altura manométrica L1

N rotação T−1

P potência L2M1T−3

Q vazão L3T−1

ρ massa específica L−3M1

É usual supor gH como grandeza única. Assim, conforme Teorema de Buckingham (teorema dos πs): n = 6 grandezas

k = 3 básicas (LMT)

n − k = 3 grupos adimensionais

A potência pode ser escrita como função das demais:

P = φ*D, (gH), N, Q, ρ+ #A.1#

E os grupos adimensionais são:

Π1 = Φ(Π2, Π3) #A.2#

Com alguma manipulação algébrica (aqui omitida), os expoentes para esses grupos podem ser deduzidos com a escolha das grandezas para cada:

#B.1# (coeficiente de potência)

#B.2# (coeficiente de vazão)

#B.3# (coeficiente de altura)

A igualdade #A.2# é então escrita:

#C.1#

Para a mesma bomba, o mesmo fluido e a mesma aceleração da gravidade, significando D, ρ e g

constantes, pode-se deduzir a seguinte relação entre grandezas:

#D.1#

Consideram-se agora bombas que têm similaridade geométrica e dinâmica. Então os valores Π1,

Π2 e Π3 são constantes. Então, isolando o diâmetro D nas relações #B.2# e #B.3# e igualando,

#E.1#

A manipulação dessa igualdade permite obter a seguinte constante válida para bombas com

similaridade:

#E.2#

Ns é denominado velocidade específica. Notar que não é adimensional e, portanto, o seu valor

depende das unidades adotadas. Em geral, são usadas: RPM para a rotação, m3/s para a vazão e

m para a altura. Na comparação, é preciso verificar se as unidades empregadas são as mesmas.