análise dimensional e simulação da transferência de calor e massa

PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Tese de Doutorado

ANÁLISE DIMENSIONAL E

SIMULAÇÃO DA TRANSFERÊNCIA DE

CALOR E MASSA EM

RESERVATÓRIOS DE GÁS NATURAL

ADSORVIDO

RAFAEL P. SACSA DÍAZ

ABRIL DE 2012

RAFAEL P. SACSA DÍAZ

ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMULAÇÃO DATRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA EM

RESERVATÓRIOS DE GÁS NATURALADSORVIDO

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção dotítulo de Doutor em Ciências em EngenhariaMecânica

Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, ABRIL DE 2012

ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMULAÇÃO DATRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA EM

RESERVATÓRIOS DE GÁS NATURALADSORVIDO

Esta tese foi julgada adequada para a obtenção do título de

DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (Orientador)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio, D.Sc.Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Maria Laura Martins Costa, D.Sc.Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Carlos Eduardo Leme Nóbrega, D.Sc.Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca – CEFET

Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D.Instituto Militar de Engenharia – PGED/IME

Sílvia da Costa Hirata, Ph.D.Universidade Lille I

Ao meu filho Bruno Rafael

Por existir.Minha obra de arte essencial, meu sopro de bênção.Luz de minha vida que me ajuda a ter fé,que me mostra esperança e amor apesar de tudo,e me encoraja a viver como se tivesse recebido umanova chance.

Agradecimentos

A Deus, pela oportunidade de aprender e crescer com as dificuldades, e pela força con-

cedida nesta caminhada.

Ao Leandro Alcoforado Sphaier, meu orientador, a quem serei sempre grato pela ge-

nerosidade com que me acolheu, pela orientação segura, por todos os esclarecimentos

que necessitei, pela imensa disponibilidade que me concedeu e, principalmente, pela

sua efetiva presença do início ao fim na realização dessa pesquisa.

Ao professor J. H. Carneiro de Araujo, pela força no momento preciso na época difícil.

A todos os colegas e professores do DEM pelos ensinamentos, que fazem parte da mi-

nha formação e da minha história.

Ao meu pai Prudencio, por resistir firme nestes tempos de infortúnio. Pela compreen-

são, apoio, amor e por acreditar em mim sem importar a distância.

À minha mãe, Maria, minha inspiração e base de toda a vida, e nesta fase, meu exemplo

de luta e coragem ao encarar a sua doença, que inevitavelmente dia a dia também en-

colhe minha vida. Elevo orações para Deus, e peço abençoe ela com um novo começo

e juntos todos possamos reescrever um novo fim.

v

Resumo

O armazenamento de Gás Natural (GN) na forma adsorvida (GNA) é uma alterna-

tiva atrativa em relação às atuais tecnologias de armazenamento, por utilizar pressões

até seis vezes menores que em Gás Natural Comprimido (GNC), e por não requerer

temperaturas criogênicas que são necessárias para Gás Natural Liquefeito (GNL). Ape-

sar das vantagens trazidas pelo GNA, os efeitos térmicos associados ao processo de ad-

sorção causam uma significativa redução na capacidade de armazenamento, que ainda

impede a aplicação comercial desta alternativa em grande escala. Portanto, existe uma

carência por estudos dedicados à solução deste problema térmico. Para tal, é essen-

cial que simulações para o cálculo da transferência de calor e massa nestas aplicações

sejam desenvolvidas.

Este trabalho apresenta modelos matemáticos para análise da transferência de ca-

lor e massa em processos de carga e descarga em reservatórios de GNA. Devido à

complexidade do problema considerado, sua solução depende de um número grande

de parâmetros. A fim de minimizar os esforços necessários, uma análise dimensional

do problema foi então proposta. Todo desenvolvimento foi feito de maneira formal,

utilizando o Teorema dos Pi de Buckinham. A análise dimensional permitiu a deter-

minação de grupos adimensionais relevantes ao problema em questão, gerando uma

contribuição relevante para a literatura.

Com os grupos adimensionais, versões normalizadas do problema foram obtidas,

e a simulação numérica de casos-teste baseados em um modelo unidimensional foi re-

alizada. As equações foram resolvidas utilizando o Método de Volumes Finitos com-

binado ao Método das Linhas Numérico. Os resultados foram comparados com dados

disponíveis na literatura, e posteriormente uma análise paramétrica foi realizada para

ilustrar como valores de grupos adimensionais influenciam os processos de carga e

descarga de GNA.

Palavras-chave: Transferência de Calor e Massa, Gás Natural, Adsorção Física,

Análise Dimensional

vi

Abstract

Storage of Natural Gas (NG) as adsorbed (ANG) is an attractive alternative com-

pared to current storage technologies, for use pressures up to six times lower than in

Compressed Natural Gas (CNG), and does not require cryogenic temperatures are re-

quired Liquefied Natural Gas (LNG). Despite the advantages brought by ANG, thermal

effects associated with the adsorption process causes a significant reduction in storage

capacity which still prevents the commercial application of this alternative to a large

scale. Therefore, there is a lack of studies devoted to the solution of thermal problem.

To this end, it is essential that the simulations for the calculation of the mass and heat

transfer in these applications are developed.

This work provides mathematical models for analyzing the mass and heat trans-

fer processes in load and discharge reservoirs of ANG. Due to the complexity of the

problem in question, the solution depends on a large number of parameters. In order

to minimize the effort required, a dimensional analysis of the problem was proposed.

All development was done in a formal way, using the Teorema of the Buckingham Pi.

The dimensional analysis allowed the determination of dimensionless groups relevant

to the issue at hand, creating an important contribution to the literature.

With the dimensionless groups, standardized versions of the problem were obtai-

ned, and numerical simulation of test-cases based on a one-dimensional model was

performed. The equations were solved using the finite volume method combined with

the Numerical Method of Lines. The results were compared with data available in the

literature, and then the parametric analysis was performed to illustrate how values of

dimensionless groups influencing the load processes and discharge of ANG.

Keywords: Heat and Mass Transfer, Natural Gas, Adsorption Physical, Analysis

Dimension.

vii

Sumário

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

Lista de Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Considerações preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 O processo de adsorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Materiais Adsorventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Modelos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Modelagem física e matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Descrição do problema e modelo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Hipóteses simplificadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Porosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Massa específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.3 Balanços gerais de conservação de massa e energia . . . . . . . 26

2.3 Formulação multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Conservação de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2 Conservação de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Fluxos de calor e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

viii

2.3.4 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.5 Formulações simplificadas sem difusão de massa na fase ad-

sorvida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Formulação global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5.1 Conservação de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5.2 Conservação de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.3 Simplificação para Gás Natural Comprimido . . . . . . . . . . 47

2.6 Equações constitutivas para as concentrações . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7 Avaliação de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7.1 A relação volumétrica (capacidade de armazenamento) . . . . 49

2.7.2 Coeficiente de rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7.3 Relação entre V/V e CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.7.4 Eficiência de armazenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Análise dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1 Teorema dos Pi de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Determinação dos grupos Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.2 Propriedades dos grupos Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Desenvolvimento preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1 Pressões e temperaturas características . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.2 Tempo de processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.3 Dependência das concentrações na pressão e temperatura . . . 58

3.3 Formulação global isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1 Número de parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.2 Cálculo dos grupos adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4 Formulação global não-isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67



3.5 Formulação unidimensional não-isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . 78

ix



4. Formulações normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.1 Parâmetros Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Variáveis adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Outras quantidades adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Formulações adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.1 Formulação local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.2 Condições de contorno e iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4.3 Formulação global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4.4 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5 Formulação unidimensional sem difusão na fase adsorvida . . . . . . . 102

4.6 Simplificação das equações para GNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6.1 Formulação global para GNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6.2 Formulação local para GNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.7 Avaliação de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5. Solução numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1 Forma conservativa em termos de temperatura e pressão . . . . . . . . 106

5.1.1 Cálculo das derivadas de concentração adimensionais . . . . . 108

5.2 Integração das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2.1 Aproximação das integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3 Regras de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3.1 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.4 Algoritmo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.4.1 Sistema explícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.2 Solução numérica do sistema discretizado . . . . . . . . . . . . 116

6. Resultados e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.1 Propriedades e valores de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

x

6.2 Verificação e validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2.1 Análise de ordem da solução numérica . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2.2 Comparação com resultados anteriores . . . . . . . . . . . . . . 131

6.3 Análise da evolução temporal de quantidades médias . . . . . . . . . . 133

6.3.1 Processos de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.3.2 Processos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.4 Análise da distribuição espacial de pressão e temperatura . . . . . . . . 139

6.4.1 Processos de descarga à vazão constante . . . . . . . . . . . . . 139

6.4.2 Processos de carga à pressão de entrada constante . . . . . . . . 145

6.5 Análise da massa de gás armazenada e removida . . . . . . . . . . . . . 155

6.5.1 Processos de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.5.2 Processos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7. Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8. Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A. Derivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.1 Diferencial de entalpia para um gás qualquer . . . . . . . . . . . . . . . 171

B. Resultados adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.1 Análise de erro para demais casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.2 Distribuição radial de temperatura na descarga . . . . . . . . . . . . . . 177

B.3 Distribuição radial de pressão e temperatura na carga . . . . . . . . . . 180

C. Cópia do artigo publicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

xi

Nomenclatura

ANP Agência Nacional de Petróleo.

BEN Balanço Energético Nacional.

CA Carvão Ativado.

CNTP Condições Normais de Temperatura e Pressão (00C, 1atm).

EPE Empresa de Pesquisa Energética.

GN Gás Natural.

GNA Gás Natural Adsorvido.

GNC Gás Natural Comprimido.

GNL Gás Natural Liquefeito.

GLP Gás Liquefeito de Petróleo.

GNLP GNL Pressurizado.

IUPAC União Internacional de Química Pura e Aplicada.

MVF Método de volumes finitos.

MLN Método das linhas numérico.

NTU Número de unidades de transferência.

RN Redes Neurais.

xii

Lista de Símbolos

A [m2] Área considerada

Ae [m2] Área externa da superfície do cilindro

Ai [m2] Área de entrada/saída do gás

b [Pa−1] Constante de equilíbrio, equação de Langmuir

Bi — Número de Biot

C [J/K] Capacidade térmica

Cs [J/K] Capacidade térmica da matriz adsorvente

Cw [J/K] Capacidade térmica da parede do reservatório

CR — Coeficiente de Rendimento

cl [J/kg.K] Calor específico da fase adsorvida

cpg [J/kg.K] Calor específico da fase gasosa a pressão constante

cs [J/kg.K] Calor específico da fase sólida

cw [J/kg.K] Calor específico da parede do reservatório

E [J] Energia total

Fo — Número de Fourier

g ′′′sor [kg/m3s] Taxa de adsorção

h [J/K] Coeficiente de transferência de calor

I [J] Entalpia (extensiva)

i [J/kg] Entalpia específica

ig [J/kg] Entalpia específica do gás

il [J/kg] Entalpia específica adsorvida

is [J/kg] Entalpia específica do sólido

isor [J/kg] Calor diferencial de adsorção

j ′′ [kg/(m2s)] Componente do vetor fluxo de massa

xiii

k [W/(m K)] Condutividade térmica

K [J] Energia cinética

K [W] Vazão de energia cinética

M∗g [kg/kg] Fração máxima de gás armazenado (gás comprimido)

M∗l [kg/kg] Fração máxima de gás adsorvido armazenado

m [kg] Massa

m [kg/s] Vazão mássica

m′′ [kg] Fluxo de massa

n — Vetor normal unitário

p [Pa] Pressão (poderá ser utilizado bar)

p0 [Pa] Pressão inicial

q [kg/kg] Quantidade adsorvida

qm [kg/kg] Quantidade adsorvida na monocamada (eq. de Langmuir)

q ′′ [kg/kg] Vetor fluxo de calor

Q [W] Vazão de calor

r [m] Coordenada radial

ri n [m] Raio interno (entrada) do reservatório

rex [m] Raio externo do reservatório

R [J/(Kmol.K)] Constante universal dos gases

Si [m2] Superfície entrada/saída

Se [m2] Superfície exterior

T [K] Temperatura (poderá ser utilizado ºC)

T0 [K] Temperatura inicial

t [s] Tempo

tc [s] Tempo de carga e descarga não-isotérmico

t f [s] Tempo de carga e descarga isotérmico

xiv

U [J] Energia interna total

U [W] Vazão de energia interna

u [J/kg] Energia interna específica

V [m3] Volume do reservatório

Vg [m3] Volume de gás

V0g [m3] Volume de gás na condição de referência

Vs [m3] Volume de sólido

Vg [m3] Volume vazio útil

Vδ [m3] Volume morto

Vp [m3] Volume das partículas

Vi [m3] Volume de vazio entre partículas

(V /V ) [m3/m3] Capacidade de armazenamento

vg [m/s] velocidade do gás

W [m] Comprimento do reservatório

W [W] Taxa de realização de trabalho

Letras Gregas

α [m2/s] Difusividade térmica

ρ [kg/m3] Massa específica

ρg [kg/m3] Concentração volumétrica da fase gasosa

ρl [kg/m3] Concentração volumétrica da fase adsorvida

ρs [kg/m3] Massa específica estrutural

ρg ,max [kg/m3] Valor máximo da massa específica do gás durante o processo

ρg ,min [kg/m3] Valor mínimo da massa específica do gás durante o processo

ρl ,max [kg/m3] Valor máximo da massa específica adsorvida durante o processo

ρl ,min [kg/m3] Valor mínimo da massa específica adsorvida durante o processo

xv

σ — Coeficiente na equação de Darcy

ε — Porosidade

ϕ — Correlação entre a entalpia media volumétrica e a de carga/descarga

γ — Parâmetro generalizado da condição de contorno

β — Coeficiente de expansão térmica

κ — Índice adiabático (κ= cp /cv )

Subscritos

b Leito poroso adsorvente

s Fase sólida

l Fase adsorvida

g Fase gasosa

0 Condição inicial

ad v Advectado

c Valor crítico

e Efetivo ou equivalente

i n Entrada

out Saída

max Valor máximo

min Valor mínimo

p Partícula

w Parede do reservatório

Superscritos

∗ Quantidade adimensional

+ Parâmetro modificado

xvi

′′ Por unidade de área

′′′ Por unidade de volume

xvii

Lista de Figuras

1.1 O processo de adsorção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Passos da adsorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Cilindro de GNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Diagrama esquemático do cilindro de armazenamento de GNA e sis-

tema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Tipos de poros: Fechado, aberto e sem-saída . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Esquema básico do problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1 Volume de controle elementar e seus vizinhos. . . . . . . . . . . . . . . 110

6.1 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na des-

carga com o tamanho da malha, para C∗s = 10 e C∗

w = 10. . . . . . . . . 126

6.2 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na des-


w = 10. . . . . . . . . . 127

6.3 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga

com o tamanho da malha, para C∗s = 10 e C∗

w = 10. . . . . . . . . . . . . 129

6.4 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga


w = 10. . . . . . . . . . . . . . 130

6.5 Comparação de resultados com dados da literatura: pressão média. . . 132

6.6 Comparação de resultados com dados da literatura: perfis de temperatura.132

6.7 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 10 e C∗

w = 10. . . . . 134


w = 10. . . . . 134


w = 0. . . . . 135


w = 0. . . . . . 135

6.11 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 10 e C∗

w = 10. . . . . . . 136


w = 10. . . . . . . 137


w = 0. . . . . . . 137

xviii


w = 0. . . . . . . . 138

6.15 Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 10, C∗

w = 10. . 140


w = 10. . 141


w = 1. . 142


w = 1. . . 144

6.19aDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10,

C∗w = 10 e Bi = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.19bDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10,

C∗w = 10 e Bi = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147


C∗w = 10 e Bi = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149


C∗w = 10 e Bi = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150


C∗w = 1 e Bi = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151


C∗w = 1 e Bi = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152


C∗w = 1 e Bi = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153


C∗w = 1 e Bi = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.23 Variações da massa adimensional em função dos números de Fourier e

Biot para descarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.24 Variações da massa adimensional em função dos números de Fourier e

Biot para carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

B.1 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na des-


w = 0. . . . . . . . . . . 173

B.2 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na des-


w = 0. . . . . . . . . . 174

xix

B.3 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga


w = 0. . . . . . . . . . . . . . 175

B.4 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga


w = 0. . . . . . . . . . . . . . 176

B.5 Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1,

Fo = 10 e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗s = 10 e C∗

w = 10. . . . . . . . 177



w = 10. . . . . . . . . 178



w = 1. . . . . . . . . 178



w = 1. . . . . . . . . 179

B.9 Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10,

C∗w = 10 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


C∗w = 10 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181


C∗w = 1 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


C∗w = 1 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

xx

Lista de Tabelas

1.1 Meios de armazenamento de gás natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Diferentes modos de armazenamento de metano. . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Diferentes modelos de Isotermas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.1 Valores das variáveis relativas ao processo . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2 Valores das variáveis relativas ao adsorvente . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.3 Valores das variáveis relativas ao reservatório e da convecção na su-

perfície externa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.4 Valores das variáveis relativas ao adsorvato (gás e à fase adsorvida) . . 120

6.5 Valores das dimensões relativas ao reservatório . . . . . . . . . . . . . . 121

6.6 Valores para os grupos adimensionais calculados . . . . . . . . . . . . . 121

6.7 Valores para σ∗ calculados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.8 Valores para os parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.9 Valores dos parâmetros adimensionais utilizados nas simulações. . . . 123

6.10 Valores de ordens calculadas para processos de descarga à vazão cons-

tante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.11 Valores das ordens calculadas para processos de carga à pressão de

entrada constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.12 Dados utilizados nas comparações com resultados da literatura. . . . . 131

xxi

Capítulo 1

Introdução

1.1 Considerações preliminares

Nos últimos anos, o tema ambiental estimulou novas pesquisas em busca de com-

bustíveis alternativos. Neste âmbito, ressalta-se o gás natural (GN)1. Existe grande

interesse pelo gás natural por ser um recurso natural ainda disponível em grandes quan-

tidades e ecologicamente mais atrativo devido à sua queima mais limpa. Todavia, para

que a sua utilização seja factível, é necessário que o GN seja armazenado de forma

segura, prática e econômica.

Muitos estudos têm sido realizados com objetivo de desenvolver formas melhores

e mais eficazes de transporte e armazenamento de GN. Na atualidade há dois méto-

dos principais de armazenamento de GN bem conhecidos: o Gás Natural Comprimido

(GNC), que tem a desvantagem de trabalhos em altas pressões (200 bar), requerem

reservatórios pesados para o transporte, e possuem custos elevados da compressão, e o

Gás Natural Liquefeito (GNL), que requer de temperaturas criogênicas como pode-se

observar na tabela 1.1. Nesta tabela a relação V/V é a capacidade de armazenamento

para as diversas alternativas de armazenamento e transporte de gás natural, é um pa-

1 O GN é definido como uma mistura de hidrocarbonetos. De acordo com a tese da origem orgânicados hidrocarbonetos, organismos aquáticos das bacias marinhas ou lacustres, vegetais carregados pelascorrentes fluviais, microrganismos que se encontravam nos sedimentos depositados, entre outros com-ponentes acumulados ao longo de milênios em certas situações geológicas, acabaram rearrumando-senuma espécie de hidrocarboneto primordial, o querogêneo, o qual foi transformado progressivamente,devido às condições de pressão e temperatura crescentes, até dar origem ao metano seco.

1

râmetro que caracteriza a eficiência de transporte, pode-se observar que no transporte

em estado líquido seu volume é reduzido em aproximadamente 600 vezes, de modo

que uma unidade de transporte de capacidade de 200 mil metros cúbicos armazena, na

verdade, 120 milhões de metros cúbicos de gás, mas requer instalações dedicadas para

liquefação e regaseificação nos pontos de envio e recepção.

Tab. 1.1: Meios de armazenamento de gás natural.

GNL GNLP GNC GNA GN

Temperatura (0C ) -160 -60 a -123 amb amb ambPressão (bar) 1 13 a 68 até 250 34-62 ambV/V 600 600 225 150-180 1

Uma das alternativas para se elevar a densidade energética volumétrica de um tan-

que combustível movido a gás natural seria através do seu armazenamento por lique-

fação. Porém, devido ao baixo valor da temperatura crítica do metano (191 K), que

é o principal componente do gás natural, não se pode liquefazer o GN à temperatura

ambiente. Embora a liquefação seja possível a temperaturas criogênicas, cerca de 150

K, a configuração do reservatório de armazenamento e o processo de carga não seriam

adequados para aplicação veicular [1]. Uma tecnologia relativamente nova vem sendo

considerado como uma alternativa promissora: O Gás Natural Adsorvido (GNA) que

apresenta maior densidade à pressão bem mais baixa que o GNC (35 bar e 40 bar), e

não exige a redução de temperatura extrema como o GNL. Uma tabela comparativa é

apresentada mostrando os diferentes modos de armazenamento (tabela 1.2 adaptada de

[2]).

Tab. 1.2: Diferentes modos de armazenamento de metano.

GNL GNC GNA Gás

Temperatura (K) 113 298 298 298Pressão (MPa) 0,1 20 3,5 0,1Densidade (g/cm3) 0,4 0,15 0,13 0,00065Densidade relativa 600 230 200 1

2

1.1.1 O processo de adsorção

A adsorção é um fenômeno físico-químico onde o componente de uma fase gasosa

ou adsorvida é transferido para a superfície de uma fase sólida.

A adsorção química, ocorre quando há uma interação química entre a molécula

do meio e a do sólido, o que altera a estrutura eletrônica da molécula, tornando-a

extremamente reativa. Ao contrário da adsorção física, as temperaturas deste processo

são elevadas. Este tipo de adsorção normalmente é irreversível [3].

Na adsorção física a interação entre as moléculas do meio e do sólido é fraca, com

ligações do tipo intermoleculares, baseadas em forças de Van der Wals, normalmente,

a adsorção física ocorre a baixas temperaturas, e rapidamente é reversível [4]. A mo-

lécula no meio possui movimentos de rotação, translação e vibração, porém, quando

ela é adsorvida, ela acaba ficando "presa"no sólido, fazendo com que o movimento de

translação dela seja limitado a somente o movimento da molécula sobre o sólido.

Os componentes que se unem à superfície são chamados adsorvatos, enquanto que

a fase sólida que retém o adsorvato é chamada adsorvente como é mostrado na figura

1.1 (retirada de [5]). A remoção das moléculas a partir da superfície (processo inverso)

é chamada dessorção [6]. A migração destes componentes de uma fase para outra tem

Fig. 1.1: O processo de adsorção.

como força motriz a diferença de concentrações entre o seio do fluido e a superfície do

adsorvente. Como o adsorvato concentra-se na superfície do adsorvente, quanto maior

3

for esta superfície, maior será a eficiência da adsorção. Por isso geralmente os adsor-

ventes são sólidos com partículas porosas [7]. Entre os adsorventes para Gás Natural,

os carvões microporosos pertencem a uma importante classe de materiais, sendo co-

nhecidos como carvão ativado (CA). A utilização de carvão ativado tem demonstrado

grande potencial para o armazenamento do gás na forma adsorvida. Dentre os sóli-

dos porosos utilizados na indústria, o CA é o mais versátil devido à sua elevada área

superficial e volume de microporos. Esta porosidade diferenciada é classificada pela

União Internacional de Química Pura e Aplicada (IUPAC) 2 segundo o tamanho em

macroporos maior que 50 nm, mesoporos entre 2 e 50 nm e microporos secundários

entre 0,8 e 2 nm e microporos primários menor que 0,8 nm.

Uma característica incomparável do carvão é a grande superfície interna localizada

dentro da rede de poros estreitos, onde a maior parte do processo de adsorção ocorre

e o tamanho e forma dos poros também influenciam na seletividade da adsorção. Em

torno de 1/3 da produção mundial de CA é de origem vegetal, sendo esta proporção

muito maior nos Estados Unidos da América e na Europa [8]. Sabe-se também que

um grande volume de microporos, altas áreas superficiais e diâmetros médios de poros

menores entre 8 e 20 Å tendem a favorecer o aumento da eficiência do adsorvente. A

literatura [9] reporta dois materiais desenvolvidos consideravelmente, o Busofit e as

fibras de Carvão Ativado, sendo este último composto de microporos, poucos meso-

poros e praticamente nenhum macroporo, acarretando numa taxa de empacotamento

maior que a do carvão ativado normal.

A cinética do processo de adsorção depende da velocidade relativa entre quatro

passos [10]:

1. Transporte (por convecção-difusão) do material (substância) a ser adsorvido (ad-

sorvato) para a camada adsorvida.

2. Transporte predominantemente por difusão da camada adsorvida até a entrada

dos poros do adsorvente (difusão externa).

3. Transporte através dos poros.2 International Union of Pure and Applied Chemistry.

4

4. Adsorção, ligação do adsorvato sobre a superfície de um adsorvente, podendo

envolver mecanismos como adsorção física, adsorção química, troca iônica, pre-

cipitação, e complexação.

A dessorção é o processo inverso destes quatro passos descritos.

A cinética da adsorção é importante já que controla a eficiência do processo. A

figura 1.2 mostra os quatro passos da adsorção (Adaptado de [10]).

Fig. 1.2: Passos da adsorção

1.2 Revisão bibliográfica

Uma área ativa de pesquisa e desenvolvimento em GNA é a de modelagem, simu-

lação e ensaios de ciclos de carga e descarga em vasos de armazenamento de GNA,

que visa o estudo dos fenômenos diretamente envolvidos no processo de confinamento

e utilização do gás, para a avaliação dos pontos críticos operacionais. Este é o assunto

principal do presente trabalho.

5

1.2.1 Materiais Adsorventes

Nesta seção são apresentados os trabalhos que estão associados aos materiais ad-

sorventes utilizados no processo de armazenamento de GNA.

Namvar et al. [11] apresentaram um estudo que descreve a preparação de carbono

ativado para o armazenamento de metano. Os autores desenvolveram um modelo por

Redes Neurais (RN) para correlacionar os parâmetros característicos do carbono ati-

vado. O modelo foi projetado utilizando as ferramentas do Matlab (toolboxes) que

fornecem a melhor resposta para a correlação dos parâmetros característicos do CA.

A capacidade de armazenamento de metano foi medida, resultando em 180 V/V 3 e o

erro relativo variou entre 0% e 20%. Os autores consideraram tais erros aceitáveis.

Um estudo teórico foi apresentado por Salehi et al. [12]. Este foi conduzido para

determinar exatamente a quantidade da adsorção e da dessorção do metano pelo car-

bono ativado granulado (CAG) sob circunstâncias físicas diferentes. Foram usados vá-

rios modelos de isotermas de adsorção para comparar com dados experimentais. Neste

trabalho, os resultados obtidos da comparação dos modelos das isotermas de adsorção,

mostram que as características físicas de carbonos ativados, o volume do microporo,

a densidade de empacotamento, e o tamanho do poro tem um papel importante na

quantidade de adsorção e dessorção do metano.

O trabalho inicial de Neto [13], apresentou-se uma análise teórico experimental de

ciclos de carga e descarga em um protótipo de vaso de armazenamento de gás natural

adsorvido em um leito de carvão ativado. Os dados experimentais foram comparados

com simulações obtidas com um modelo matemático proposto para prever o com-

portamento da pressão, temperatura média e massa de gás natural armazenada. Para

validação do modelo, os parâmetros de entrada (a densidade de empacotamento, o ca-

lor de adsorção, a porosidade do leito, a porosidade das partículas, calor específico

do sólido, do gás, do material, do recipiente, condutividade térmica e coeficiente de

transferência de calor por convecçaõ) foram calculados independentemente, através da

análise das características texturais da amostra de carvão utilizada e do levantamento3 Volume do gás armazenado nas CNTP por volume do reservatório.

6

de isotermas de equilíbrio de adsorção de metano. Também foram determinadas as

isotermas de adsorção do etano, propano e butano, constituintes do gás natural em me-

nores proporções, isto, para avaliação da influência da composição do GN na eficiência

do processo de armazenamento. O autor realizou testes com gás natural e simulações

com metano puro. Os resultados mostraram discrepâncias nas previsões do modelo,

conduzindo à conclusão de que é inadequado assumir que o gás natural apresenta com-

portamento semelhante ao de seu componente em maior proporção, o metano. A partir

deste fato, as simulações foram comparadas com dados experimentais usando metano

puro, observando-se boa concordância nos resultados. A pressão e a massa armaze-

nada foram preditas satisfatoriamente para a temperatura média dentro do recipiente,

apesar dos efeitos térmicos não precisamente levados em conta no modelo.

Ridha et al. [14] analisaram experimentalmente o comportamento térmico no arma-

zenamento de GNA sob a condição dinâmica de carga usando dois carbonos ativados

diferentes, que foram caracterizados em laboratório, provenientes da casca de coco e

ativados com vapor. O carbono ativado AC-L (local-made) mostrou ter melhor capa-

cidade de armazenamento isotérmico do que o AC-D (carbon ativado Darco) devido a

sua elevada estrutura porosa.

No trabalho de Pupier et al. [15], carbonos ativados foram usados para armaze-

nar o gás natural à pressão moderada (3.5 MPa), comparado ao de alta pressão (20

MPa) exigido para a tecnologia de gás natural comprimido. Assim, muitos estudos

foram direcionados à elaboração de materiais adsorventes apropriados para aperfei-

çoar a capacidade de armazenamento de metano. Não obstante, como o gás natural é

constituído de aproximadamente 95% de metano misturado com outros componentes,

uma deterioração importante do desempenho do armazenamento foi observada após

ciclos sucessivos de carga e descarga de um sistema de GNA. Os resultados experi-

mentais obtidos indicaram um grande impacto da composição do gás no desempenho

de um sistema de armazenamento de GNA. O valor exato do desempenho final depende

provavelmente da composição do gás natural, além disso, a estrutura microporosa do

carbono ativado também pode influenciar o resultado. A análise da cromatografia de

7

gás tomado na entrada do cilindro mostrou que os diferentes componentes contidos no

gás natural, obstruem lentamente os locais da adsorção do metano.

Biloe et al. [16] caracterizaram um novo material adsorvente para se atingir capa-

cidades de estocagem próximas de 150 V/V com grande coesão mecânica. Este novo

material é uma mistura de carbono superativado denominado PX-21 (Maxsorb) e gra-

fite natural expandido (ENG). Por meio de testes experimentais utilizando variações

de composição deste material, os autores obtiveram dados que resultaram numa capa-

cidade de descarga de metano numa faixa de 110-125 V/V sob condições isotérmicas

com condutividade térmica na faixa de 2-8 W/(m.K).

Posteriormente, Biloe et al. [17] apresentaram um estudo experimental e elabora-

ram um modelo teórico em duas dimensões para um sistema adsortivo com gás natural

através da implementação de um adsorvente compósito, constituído de um carvão ati-

vado e grafite natural expandido. Os autores buscaram melhorar as condições de trans-

ferência de calor e massa durante os processos de carga e descarga de metano puro em

um cilindro de armazenamento de 2 L de capacidade, utilizando um difusor interno

para distribuição radial de metano. A relação de equilíbrio de adsorção adotada foi

a de Dubinin-Astakhov. Os resultados mostraram que o carbono ativado deve ter um

comprimento médio de microporos de 1.5 nm a 2.5 nm para a carga e descarga, res-

pectivamente, e um potencial altamente microporoso. Os testes realizados mostraram

a necessidade do carbono ativado ser altamente permeável e altamente condutivo para

o processo de carga e descarga.

Martins et al. [18] desenvolveram um estudo teórico e experimental. Os gases

metano e etano, foram armazenados separadamente por adsorção em um cilindro de

armazenamento de 500 cm3 preenchido com uma amostra de 146.93 g de carvão ati-

vado NUCHAR NG. Foram feitas avaliações experimentais de adsorção em condições

não isotérmicas operando em processo de carga. O processo consistiu na alimentação

do gás no cilindro de armazenamento sob uma vazão constante, até uma determinada

pressão de carga pré-estabelecida. Os experimentos foram conduzidos, respectiva-

mente, para o metano (10.2 bar; 30.5 bar; 60.3 bar) e para o etano (10.1 bar; 30.1 bar),

8

e aplicaram-se diferentes pressões de carregamento na maior vazão (9.095 l/min). Para

a etapa de descarga foram empregadas as mesmas vazões de carregamento da etapa

de carga, e esta consistiu em retirar o gás armazenado sob uma vazão constante até à

pressão manométrica de 10.1 bar. As vazões aplicadas nos testes de carga e descarga

foram de 1.14 l/min, 5.13 l/min, 9.095 l/min. Nos testes experimentais mostrou-se que

é viável a utilização de adsorventes porosos no armazenamento dos gases componen-

tes do gás natural. Observou-se também que elevações da pressão de carga dos gases

componentes do GN de 10.1 bar para 30.1 bar conduziram a acréscimos da massa do

gás adsorvido, de cerca de 128% com o metano e 158% para o etano. Os valores das

quantidades adsorvidas são mais pronunciados no caso do etano, demonstrando assim

o seu maior caráter adsortivo. Dentro desta concepção, os autores desenvolveram um

modelo não isotérmico capaz de simular as operações de carga do metano nas pressões

de 10 bar a 60 bar. As simulações mostraram as evoluções da pressão e da temperatura.

Mantraga et al. [19] determinaram a capacidade máxima de estocagem adsortiva

de gás natural em carbono. Para tal, realizaram experimentalmente simulações mole-

culares de adsorção a fim de determinar a estrutura microporosa ótima do carbono. Os

autores consideraram que as simulações moleculares são mais reais, pois a afinidade

entre moléculas de metano e átomos de carbono é determinada por forças intramo-

leculares reais. Desenvolveram um modelo idealizado e consideraram as dimensões

moleculares de um espaço a ser ocupado por adsorção de GN entre duas camadas de

carbono. Conhecida a área transversal do espaço a ser ocupado, e mediante vários ci-

clos de descarga, conseguiram determinar qual o valor de distância entre as camadas

(altura com dimensão molecular) fornecia a melhor condição de descarga de metano.

Para condições isotérmicas, os autores conseguiram valores de capacidade de estoca-

gem da ordem de 209 V/V para carbono monolítico e 146 V/V para carbono peleti-

zado a 3,4 MPa. Para condições reais, as capacidades máximas de descarga de metano

registraram valores de 195 V/V e 137 V/V para carbono monolítico e peletizado res-

pectivamente.

No trabalho de Oliveira [20], avaliaram-se os efeitos cinéticos e de equilíbrio da

9

adsorção do gás metano em carvões ativados nacionais produzidos pelo laboratório de

Carvão Ativado da UFPB a partir do endocarpo do coco da baía, tendo sido usada uma

amostra comercial, denominada Mesh 10x35US, como referência. As operações do

processo adsortivo, para obtenção dos dados cinéticos e de equilíbrio, foram condu-

zidas em um sistema barométrico. A amostra comercial Mesh 10x35US apresentou

maior capacidade de adsorção, por unidade de massa, com 0,0642 g/g, seguida pela

amostra CAQ 91R com 0,0423 g/g sob pressão de 4 MPa e 301 K; sob pressão de 8

MPa, estas amostras conduziram a 0,1003 g/g e 0,0856 g/g, respectivamente. A amos-

tra EDK ¾ 750 apresentou maior capacidade volumétrica de adsorção (QV/Vads) e

capacidade de armazenamento de gás (QV/V), com 74,76 V/V e 116,24 V/V, respecti-

vamente, sob 8 MPa.

Posteriormente no trabalho Lozano-Castello et al. [2] os autores consideraram a

tecnologia de GNA, onde o gás é armazenado principalmente sob a forma adsorvida

em um sólido poroso a pressões moderadas (35 bar a 40 bar), é a alternativa de maior

potencial para substituição do GNC, com expectativas de se reduzir os gastos opera-

cionais inerentes ao processo de carregamento, permitindo também a flexibilidade de

projeto, configuração dos tanques combustíveis e aumento da segurança do sistema de

armazenamento.

Monge et al. [21] realizaram um estudo experimental do problema de armazena-

mento de metano em duas séries de fibras de carbono ativado. Wegrzyn e Gurevich [22]

comparam o GNA armazenamento com o CNG e o GNL, fornecendo uma previsão de

custos associados a cada tecnologia. O maior problema com gás natural adsorvido

é que o efeito do aquecimento de adsorção (e resfriamento) degrada a capacidade de

armazenamento.

Pupier et al. [15] realizaram um estudo experimental do efeito das operações de

carga e descarga no armazenamento de GNA. Outros estudos experimentais com fins

comparativos no armazenamento de metano usando carbono ativado seco e molhado

foram estudados por Perrin et al. [23], Perrin et al. [24] e por Zhou et al. [25], Zhou

et al. [26]. Esteves et al. [27] apresentaram resultados experimentais do equilíbrios

10

de adsorção de diversos compostos naturais do gás em um carbono ativado. Carvalho

et al. [28] pesquisou o uso dos carbonos ativados a partir do desperdício da cortiça para

componentes do GNA. A aplicabilidade de novos materiais para o armazenamento do

metano foi estudado por Duren et al. [29], usando simulações moleculares. A adsorção

do metano com diferentes carbonos ativados foram estudados experimentalmente por

Balathanigaimani et al. [30]. Recentemente, novos materiais para o armazenamento de

gás natural têm emergido; entre estes, as estruturas orgânicas metálicas (MOFs) foram

o assunto de inúmeras pesquisas (Duren et al. [29], Wood et al. [31], Wu et al. [32],

X.D. Dai et al. [33]).

1.2.2 Modelos numéricos

Nesta seção são apresentados os modelos numéricos encontrados na literatura sobre

a análise dos processos de carga e descarga em reservatórios de armazenamento gás

natural adsorvido, foi constatado que a literatura sobre este assunto é extensa e inclui

estudos numéricos e experimentais.

Santos et al. [34] apresentaram um estudo numérico para uma nova configuração

de reservatório de gás natural por adsorção. Os reservatórios tradicionais empregados

no armazenamento de GNA revelam limitações sérias para o uso em sistemas da carga

rápida por causa de sua má capacidade de dissipação do calor de adsorção. A fim de

eliminar os efeitos prejudiciais do calor de adsorção e tornar viável a carga rápida do

gás no cilindro, foi proposto um recipiente com diversos tubos no meio do carbono

ativado. O modelo considerou efeitos radiais desprezíveis, e o gás natural como sendo

composto de metano puro com características de gás ideal. O coeficiente de difusão

de massa efetiva foi considerado constante, e a temperatura dentro das partículas do

adsorvente foi assumida uniforme. Um código computacional, baseado no método de

volumes finitos foi desenvolvido para resolver as equações que descrevem a dinâmica

do processo de carga. Os resultados mostraram que o tempo da carga do sistema novo

pode variar de 50 a 200 s, dependendo da vazão mássica aplicada. Estes períodos de

tempo são considerados satisfatórios para condições de carga rápida. Uma vantagem

11

deste sistema novo é que não há nenhuma necessidade de adicionar acessórios em-

pregados nos tanques tradicionais como aletas, difusor (tubo perfurado) no centro do

tanque e um revestimento frio externo, que aumentariam a complexidade de projeto.

Os autores, através das simulações obtidas mostraram que uma diminuição da tem-

peratura na entrada do gás gera uma diminuição na temperatura média do leito e um

aumento na massa de gás adsorvida.

Os autores Neto et al. [35] realizaram um estudo numérico e experimental, apresen-

tando dados experimentais de testes de armazenamento de metano em carbono ativado

realizado em um protótipo de recipiente com pressões acima de 40 atm. Foi apre-

sentado também um modelo dinâmico para carga e descarga do recipiente de armaze-

namento baseado no modelo proposto por Mota et al. [36]. O modelo de simulação

usou os dados medidos experimentalmente como parâmetros de entrada obtendo uma

concordância razoável entre resultados experimentais e simulados.

No trabalho de Basumatary et al. [37], considerou-se uma matriz porosa homogê-

nea isotrópica de carbono ativado dentro de um cilindro de aço para adsorção de gás

natural, considerando o gás como metano puro. O fluxo de calor foi modelado usando

uma técnica de cálculo do volume médio com a formulação de Darcy-Brinkman que é

uma modificação da formulação de Darcy, os efeitos inerciais e viscosos são conside-

rados e dados por [38]. Para a solução numérica foi empregada a técnica de volumes

finitos resolvendo as equações de conservação de massa, conservação da quantidade

de movimento e conservação de energia. Os perfis de temperatura transientes foram

obtidos no leito poroso durante o processo de carga, e foi calculado a correspondente

adsorção de massa. Os autores executaram também estudos paramétricos para inves-

tigar os efeitos da temperatura de entrada do gás e a razão de carga à temperatura

máxima do leito, e o tempo requerido de carga do cilindro, os resultados mostraram

que estes efeitos têm pouca influência no aumento da temperatura do leito.

Um estudo teórico e experimental sobre o desempenho de uma nova fibra de car-

bono ativado, denominada Busofit (discos de fibra de carbono ativado), na estocagem

de metano foi apresentado por Vasiliev et al. [9]. O modelo teórico bidimensional con-

12

sidera as equações de conservação de energia em coordenadas cilíndricas, a equação de

continuidade, uma equação cinética de adsorção e a relação de Dubinin-Radushkevich.

Os autores consideraram pressão uniforme na entrada e saída durante os processos de

carga e descarga de GNA dentro da estrutura porosa, e também consideraram gás ideal

dentro dos macroporos. A troca de energia durante a expansão ou a compressão de

gás foi considerada insignificante, e a resistência da difusão de massa foi considerada

pequena. Ainda, apenas o escoamento na direção radial no interior do leito poroso foi

considerado. Para o aumento da quantidade de gás na descarga, os autores sugeriram a

utilização de um tubo de calor inserido no centro do cilindro para o controle térmico.

Com o novo material microporoso os autores registraram quedas de temperatura da

ordem de 25ºC dentro da camada adsorvente e obtiveram 150 V/V de capacidade de

estocagem de metano à pressão de 3.5 MPa.

Torres et al. [39] simularam numericamente o comportamento de um vaso de ar-

mazenamento de gás natural adsorvido a fim de avaliar o efeito do calor de adsorção

durante os ciclos de carga e descarga. Foram formulados dois modelos para os ciclos

de carga e descarga. No primeiro modelo, partiu-se de uma função que representa

o comportamento da pressão com o tempo e a solução do problema foi alcançada

resolvendo-se somente a equação da energia. Numa segunda abordagem, tanto a pres-

são como a temperatura foram consideradas como variáveis dependentes, de sorte que

as equações da conservação de massa e de energia foram resolvidas simultaneamente.

O escoamento do gás no meio poroso foi descrito pela Equação de Darcy e a adsorção

foi admitida como instantânea. O adsorvente considerado foi o carvão ativado mi-

croporoso, cuja relação de equilíbrio de adsorção pode ser expressa por uma equação

Virial. As variáveis dependentes a serem calculadas foram a massa específica do gás,

a pressão, a temperatura, e a concentração da fase adsorvida. O sistema de equações

algébrico-diferenciais parciais foi resolvido pelo solver gPROMS [40], por colocação

ortogonal sobre elementos finitos, tanto para variável tempo como para variável radial.

Os perfis de temperatura e a perda da capacidade em condições de operação dinâmica

de carga e descarga foram calculados numericamente. A perda de capacidade dinâ-

13

mica em condições moderadas de vazão de alimentação ou descarga variou de 15%

a 20% da capacidade em condições de operação isotérmica. A queda de temperatura

na descarga pode chegar a perto de 30ºC no centro do vaso. É mostrado ainda que a

capacidade térmica e o coeficiente de transferência de calor na superfície externa do

vaso são fatores importantes no desempenho dinâmico.

Um estudo que avalia o desempenho de uma unidade semipiloto de estocagem de

GNA foi apresentado por Souza [41]. No processo, o gás metano, representando o gás

natural, foi armazenado por adsorção em um cilindro preenchido com uma amostra

do carvão ativado NUCHAR NG da MeadWestvaco (Estados Unidos). Avaliou-se a

influência dos parâmetros operacionais, pressões, e vazões de carga e descarga. Os

efeitos de compressão e descompressão, transferência de massa na estrutura porosa e

interação adsortiva na superfície do sólido foram contabilizados mediante a elabora-

ção de um modelo não-isotérmico. A partir desta concepção foi possível representar

as evoluções dos perfis de pressão e temperatura durante as etapas de carga e descarga.

As operações semi-contínuas não-isotérmicas de carga e descarga foram realizadas se-

gundo a técnica barométrica, à temperatura ambiente de 297,65 K, na faixa de pressão

de carga de 10,1 bar a 65,2 bar. Os tempos de carga encontrados variaram entre 0,44%

e 13,24% do tempo total do ciclo de carga (4 horas), e a capacidade de armazenamento

volumétrica para uma operação de carga rápida foi de 55,93 V/V.

No trabalho de Lara [42] foi apresentado um modelo numérico bidimensional tran-

siente, desenvolvido para prever o comportamento dinâmico de um reservatório do

Gás Natural Adsorvido durante o processo de descarga de gás natural sob condições

reais. O modelo também consegue prever a influência de um dispositivo de controle

térmico na intensificação da quantidade de gás a ser retirada do reservatório. Como

dispositivo de controle térmico foi considerado um tubo de calor inserido no sentido

axial no centro do cilindro. O modelo permite analisar a influência da variação de ou-

tros parâmetros importantes na transferência de calor do sistema como o coeficiente

de transferência de calor por convecção na parede do cilindro, a condutividade térmica

efetiva do leito poroso e a capacidade térmica da parede do cilindro. Foram realizadas

14

simulações do processo de descarga em um cilindro de Gás Natural Adsorvido com

dimensões comerciais, obtendo-se resultados satisfatórios.

Mota [43] apresentou um modelo teórico para operações cíclicas de carga e des-

carga de gás natural por adsorção visando avaliar o desempenho do sistema de adsorção

através da influência de adsorção de outros hidrocarbonetos presentes no gás natural

como o etano, propano, n-butano e n-pentano para uma pressão de carga de 35 atm,

resultando em um tempo de descarga de quatro horas para o cilindro empregado (apro-

ximadamente 23 l de capacidade). Foi mostrado que para regiões de baixa pressão em

torno de 1,4 atm, os componentes mais pesados que o metano têm maior seletividade de

adsorção no carvão ativado, fazendo com que ficassem retidos no leito após o processo

de descarga. O acúmulo desses componentes reduz a eficiência dinâmica de adsorção,

segundo a definição de [44] através do número de ciclos de carga/descarga. Como al-

ternativa o autor propôs o emprego de um leito filtrante de carvão ativado instalado na

estação de abastecimento, que poderia ser facilmente regenerado pelo aquecimento do

leito.

Na investigação de Mota et al. [36] vários aspectos da dinâmica do sistema de

armazenamento do gás natural por adsorção empregando carvão ativado foram estuda-

dos. A carga rápida do sistema de armazenamento foi estudado e ênfase foi dada aos

efeitos térmicos e à hidrodinâmica do escoamento através do leito de carvão. Os auto-

res estudaram também a influência da resistência de difusão na dinâmica do processo

de carga e utilizaram uma equação de transporte por difusão apenas nas intrapartículas

que foi adicionada ao modelo computacional. Também foi discutido o processo de

descarga lenta e as soluções propostas para reduzir o efeito adverso de calor de adsor-

ção na capacidade de armazenamento, incluindo o armazenamento da energia térmica

in situ. Os autores observaram também que o efeito da resistência à difusão na carga

dinâmica é um assunto que recebe pouca atenção na literatura.

O trabalho de Mota et al. [45] apresentou um estudo numérico do processo de carga

de sistemas de armazenamento de GNA, com ênfase dada ao impacto da resistência de

difusão de massa dentro de partículas adsorventes. Além da cinética de adsorção e dos

15

efeitos térmicos, o modelo de simulação leva em consideração o transporte de massa

dentro do adsorvente e a hidrodinâmica de escoamento através do leito. Os autores

observaram que quando as resistências de difusão em partículas são significativas, a

pressão dentro do reservatório não segue a curva da carga. A ascensão inicial da pres-

são é governada pela hidrodinâmica do escoamento no leito. A maioria do enchimento

ocorre perto da pressão da carga nominal com uma taxa controlada pelo transporte de

difusão da intrapartícula. Mostrou-se também que o campo de temperatura dentro do

reservatório permanece quase uniforme durante uma descarga rápida [46]. Esta é uma

consequência da natureza praticamente adiabática do processo e da temperatura ser

dependente somente das condições dentro do reservatório. Por outro lado, quando a

duração da descarga é aumentada consideravelmente, a não uniformidade do campo de

temperatura é causada pela transferência térmica dos arredores ao leito.

Walton e LeVan [47] apresentaram um modelo matemático unidimensional para es-

tudar a influência dos efeitos não-isotérmicos e impurezas contidas no gás natural

durante os ciclos de armazenamento, e Zhou [48] empregou uma formulação consi-

derada simples para o armazenamento do GN. Embora a simulação e modelagem da

transferência de calor e massa seja uma característica importante no desenvolvimento

da tecnologia do GNA, a maioria dos estudos é focalizado na avaliação e desenvolvi-

mento de novos adsorventes para o armazenamento de gás natural.

Hirata et al. [49] apresenta um modelo numérico do processo de descarga lenta de um

cilindro de metano preenchido com material adsorvente. O modelo é resolvido pelo

método da transformada Integral, produzindo uma solução numérico-analítico híbrido

da equação de energia relacionado. Uma formulação unidimensional transiente não

linear é adotada, a qual inclui as capacidades térmicas do gás comprimido e adsorvido,

o efeito da capacidade térmica da parede do reservatório e a influência da compressibi-

lidade do gás. O balanço de massa global é empregado para determinar a evolução do

campo da pressão, assumida como espacialmente uniforme. Uma análise é executada

com dados numéricos e experimentais disponíveis na literatura, e a relativa importân-

cia de alguns termos da formulação da equação da energia é verificado. Finalmente,

16

as diferentes possibilidades para a redução do efeito adverso do calor de adsorção na

capacidade de armazenamento são propostos e investigados.

Os Modelos teóricos

Finalmente, a previsão da dinâmica dos ciclos de carga e descarga de um reser-

vatório de GNA tem sido objeto de estudo de vários pesquisadores nos últimos anos.

Assim, autores como Mota et al. [36], Mota et al. [45], Mota [43], Barbosa Mota et al.

[50], Vasiliev et al. [9], Neto et al. [35], Basumatary et al. [37], Santos et al. [34],

publicaram trabalhos sobre modelagem de sistemas GNA considerando efeitos térmi-

cos ao longo de ciclos contínuos de carga e descarga. A modelagem normalmente

se baseia na formulação de balanços de massa e de energia para o sistema, com um

maior ou menor grau de detalhamento quanto aos fenômenos de transferência envol-

vidos. Não obstante, a estratégia de solução demanda a compreensão apropriada dos

mecanismos de transferência de calor e massa que ocorrem dentro dos reservatórios

de GNA. Por causa disto, um grande número de estudos considerando a modelagem

física e matemática do problema foram realizados.

Em função à pesquisa feita neste trabalho, os modelos matemáticos podem ser

classificados da seguinte forma:

• Os modelos globais, que envolvem o desenvolvimento temporal das equações

de conservação. Os trabalhos de alguns autores podem ser considerados dentro

deste tipo de formulação como Zhou [48] que apresenta dois modelos utilizando

a metodologia de parâmetros globais para um processo de descarga lenta em um

cilindro pressurizado para armazenamento de gás natural. da Silva e Sphaier [51]

também utiliza uma formulação global visando desenvolver grupos adimensio-

nais para transferência de calor e massa em armazenamento de GNA.

• Os modelos multidimensionais, que envolvem desenvolvimentos numéricos uni-

dimensionais (r,t) e bidimensionais (r,z,t), dentro deste tipo de formulação temos

autores como Vasiliev et al. [9] que utilizaram um modelo que leva em consi-

deração variações da temperatura nas direções radiais e axiais, as variações da

17

concentração de gás foram consideradas somente no sentido radial, e a isoterma

de Dubinin-Radushkevich foi adotada. Um outro estudo muldimensional é apre-

sentado por Hirata et al. [49], Barbosa Mota et al. [50] e Neto et al. [35] apesar

de considerarem um modelo similar ao de Mota et al. [36] nenhum efeito da di-

fusão da intra-partícula foi considerado. Outro modelo similar foi utilizado por

Basumatary et al. [37] neste estudo a condutividade térmica do meio adsorvente

permite variações com a temperatura.

• Os modelos multidimensionais que focalizam os estudos considerando a influên-

cia dos efeitos da difusão na capacidade de armazenamento. Dentro destes estu-

dos temos os autores Mota et al. [45], Mota et al. [52] e Santos et al. [34].

Apesar da relevância das formulações matemáticas previamente propostas na lite-

ratura, parece que todos são limitados no que diz respeito à normalização do problema.

De fato, nenhum estudo precedente encontrado na literatura apresenta uma discussão

nos grupos adimensionais relevantes à transferência de calor e massa no armazena-

mento de gás natural adsorvido. Observamos que os modelos apresentados na presente

pesquisa bibliográfica consideram modelos dimensionais e é importante salientar que

nenhum dos trabalhos analisados abordou um estudo focado em um modelo mate-

mático considerando uma formulação adimensionalizada. Neste contexto, o principal

foco deste trabalho é fornecer uma apresentação significativa dos parâmetros adimen-

sionais associados ao problema de transferência de calor e massa no armazenamento

de GNA.

1.3 Objetivos

Este trabalho tem como objetivo geral avaliar o desempenho de um sistema de

armazenamento e transporte de gás natural na sua forma adsorvida através da realiza-

ção de ciclos de carga e descarga. Para tanto pretende-se simular o comportamento dos

ciclos de carga e descarga de gás natural em um leito de carvão ativado através da reso-

lução de um modelo matemático localizado na sua formulação adimensional, por meio

18

da implementação de aplicativo computacional. Neste estudo a adimensionalização

coerente da formulação permitirá introduzir parâmetros característicos relevantes aos

processos de transferência de calor e massa, trazendo uma nova visão sobre a pesquisa

de GNA. Como objetivos específicos temos:

• Desenvolver um modelo multidimensional para a transferência de calor e massa

em reservatórios de GNA através da formulação adimensionalizada.

• Estender o estudo dos parâmetros adimensionais desenvolvidos em [51] visando

avaliar o papel das distribuições espaciais no coeficiente de rendimento para

diferentes valores dos parâmetros adimensionais.

• Avaliar as magnitudes dos parâmetros do modelo utilizando dados reais de cons-

trução e operação.

• Desenvolver uma análise dimensional do fenômeno de adsorção no processo de

carga e descarga de GN que permita encontrar relações entre as variáveis que

formam parâmetros adimensionais.

• Analisar o processo de carga e descarga de GN considerando diferentes configu-

rações, através de diferentes valores dos parâmetros adimensionais obtidos.

• Propor e implementar uma solução numérica utilizando o Método dos Volumes

Finitos.

1.4 Contribuições

A pesquisa aqui proposta apresenta uma metodologia nova para analisar a transfe-

rência de calor e massa no armazenamento de gás através da adsorção. O fundamento

envolvendo a metodologia compreende um conjunto de grupos adimensionais fisica-

mente significativos. O desenvolvimento de tais grupos, estão baseados no teorema

Pi de Buckingham [53], fornecendo grupos adimensionais relevantes com uma for-

mulação multidimensional inteiramente normalizada para descrever os mecanismos

de transporte envolvidos no armazenamento de GNA. Desta forma, a formulação é

19

resolvida numericamente e a solução é validada segundo os resultados previamente

publicados em [49].

São apresentados os resultados de um problema unidimensional de um caso-teste

ilustrando o efeito dos parâmetros adimensionais na operação de reservatórios de GNA.

Os grupos adimensionais e a análise dimensional tornaram-se neste trabalho uma con-

tribuição nova para a literatura associada com o armazenamento de GNA como uma

promissora alternativa oferecendo vantagens em relação ao GNC e o GNL, constituindo-

se assim, uma ferramenta para interpretar, avaliar e comparar resultados em situações

reais e práticas. Os resultados iniciais deste trabalho já geraram uma publicação em

periódico internacional [54] e outros trabalhos em congressos [55].

1.5 Organização do trabalho

O Capítulo 1 apresenta as considerações preliminares e objetivos deste trabalho.

No Capítulo 2 serão abordados os conceitos e fundamentos necessários para o desen-

volvimento da modelagem global e multidimensional para um melhor entendimento

dos processos de carga e descarga de GNA que será descrito ao longo desta tese. O

Capítulo 3, apresenta uma análise dimensional do fenômeno de adsorção no processo

de carga e descarga de GN visando introduzir parâmetros característicos relevantes aos

processos de transferência de calor e massa. No Capítulo 4 serão estudadas as variáveis

e parâmetros que governam o fenômeno permitindo encontrar relações entre as variá-

veis que formam parâmetros adimensionais visando avaliar o modelo desenvolvido, e

no Capítulo 5, serão apresentadoa a implementação da solução numérica. Finalmente,

no Capítulo 6 serão apresentados os resultados das simulações para avaliar a influência

dos parâmetros adimensionais sobre a solução, e as discussões serão lançadas para que

as devidas considerações finais possam ser tiradas no Capítulo 7.

20

Capítulo 2

Modelagem física e matemática

2.1 Descrição do problema e modelo físico

O problema do armazenamento de GNA envolve a transferência de calor e massa

dentro de um reservatório enchido com um adsorvente poroso (na forma particulada

ou monolítica), como exibido na figura 2.1. O reservatório tem um acesso comum

Fig. 2.1: Cilindro de GNA

com área Ai n para entrada de massa (durante a carga do cilindro) e saída (durante a

descarga do cilindro). Naturalmente, o sentido do fluxo de massa dependerá do tipo

de operações (carga ou descarga). Embora as paredes do reservatório sejam imper-

21

meáveis, pode haver transferência térmica para os arredores. Na entrada do cilindro,

tem-se somente gás, pois a fase adsorvida só será transformada em seu interior.

A Figura 2.2 mostra o modelo físico adotado para o reservatório de GNA em es-

tudo. Considera-se um reservatório cilíndrico de raio externo rex e comprimento W ,

com espessura de parede δw . Inicialmente, o sistema encontra-se em equilíbrio a uma

pressão p0 e temperatura T0. No instante t = 0, inicia-se a descarga (ou carga) do ci-

lindro com a saída (ou entrada) de gás pela abertura de raio ri n existente na origem

do sistema de coordenadas. A descarga do cilindro comumente ocorre com uma va-

Fig. 2.2: Diagrama esquemático do cilindro de armazenamento de GNA e sistema decoordenadas

zão mássica constante, enquanto a carga irá depender de uma diferença de pressões.

Considera-se que ocorre transferência de calor por convecção entre as paredes externas

do cilindro e o ambiente que se encontra a temperatura T0. A temperatura de entrada

do gás no reservatório é Ti n .

2.1.1 Hipóteses simplificadoras

Para que o modelo matemático seja concebido de forma mais simplificada, algumas

restrições e suposições são consideradas com base nas proposições verificadas em [46],

[56] e [17], tais como:

• As propriedades referentes ao gás natural são consideradas como sendo unica-

mente do metano. Isso se dá pela grande quantidade desse na composição do

22

GN [56];

• O metano assume o comportamento de um gás ideal devido a seu coeficiente

de compressibilidade (Z), na faixa de temperaturas e pressões consideradas, ser

próximo de 0.97 [17].

• Propriedades do gás como massa específica e viscosidade, além das propriedades

do material que constitui o reservatório são consideradas constantes na faixa de

temperatura e pressão abordadas [56];

• A lei de Fourier rege o fluxo de calor no bloco adsorvente. Para o processo de

descarga, a lei de Darcy determina o fluxo de massa no meio poroso [56];

• A convecção natural dentro do reservatório é desprezada [46].

• Não há transferência de calor por radiação devido às temperaturas relativamente

baixas presentes;

• Dentro do reservatório, o gás pode ser transportado por advecção e difusão; toda-

via, ao final da derivação das equações considera-se que o transporte por difusão

é desprezível ao lado da advecção;

2.2 Fundamentação teórica

2.2.1 Porosidade

Considera-se um reservatório preenchido na sua totalidade com um material poroso

particulado (ou monolítico). Tais materiais podem apresentar poros abertos e poros

fechados, enquanto que o volume vazio é subdividido em volume vazio útil (parcela

do volume total que pode ser ocupado pela fase gasosa), Vg , e volume morto (ou não

utilizável, representado pelos poros inacessíveis, ou seja os poros fechados e os poros

sem saída onde não há fluxo de gás), Vδ. A figura 2.3 mostra estes tipos de poros.

Então o volume V pode ser definido em uma forma geral como segue,

23

Fig. 2.3: Tipos de poros: Fechado, aberto e sem-saída

V = Vs + Vδ + Vg (2.1)

onde Vs é o volume do sólido, Vδ é o volume morto e Vg é o volume vazio útil total.

Sabemos que as partículas ou mesmo os adsorventes monolíticos podem ter macro,

meso e microporos interligados, então Vg pode ser subdividido em,

Vg = Vi + Vπ (2.2)

onde Vπ é o volume das intra-partículas e Vi é o volume vazio inter-partículas (nulo

para um material monolítico). substituindo na equação (2.1) temos que,

V = Vs + Vδ + Vi + Vπ = Vp + Vi (2.3)

onde Vp é o volume das partículas. Considerando que os espaços vazios são uniforme-

mente distribuídos no meio poroso a porosidade total (utilizável), ε, a porosidade do

leito (assumindo que o meio é composto de partículas porosas), εb , e a porosidade da

partícula (ou monolítico), εp , são definidas como,

ε = Vi +Vπ

V= Vg

V, εb = Vi

V, εp = Vπ

Vp(2.4)

24

Desta forma, para um material monolítico, εb = 0. A porosidade total está relacionada

com a porosidade do leito e da partícula como,

(1−ε) = (1−εb) (1−εp ) (2.5)

O volume estrutural da partícula (ou material monolítico), é definido como o volume

ocupado pela fração sólida sem os vazios, exceto os poros fechados, portanto a fração

estrutural pode ser escrito por,

Vs +Vδ

Vp= 1−εp (2.6)

2.2.2 Massa específica

Assumindo que a massa do sólido tem distribuição uniforme no meio, a massa

específica estrutural (chamada também de massa específica verdadeira), a qual inclui

os poros fechados e os poros sem saída, é definida como:

ρs = ms

Vs + Vδ(2.7)

Uma medida que está relacionada com o volume sólido e volume morto, é a massa

específica aparente, ρb , que inclui o vazio interparticular e os poros, é definida em

função do volume total,

ρb = ms

V= ρs (1−εb) (1−εp ) = ρs (1−ε) (2.8)

A concentração da fase gasosa é a massa específica do gás, ρg , e é definida pelo modo

convencional utilizando o volume da fase gasosa que é o volume vazio útil, Vg , como

segue

ρg = δmg

δVg, (2.9)

25

A concentração da fase adsorvida, ρl , é definida em termos do volume total,

ρl =δml

δV(2.10)

Desta forma, a massa de uma parcela infinitesimal de gás e gás adsorvido pode ser

escrita, respectivamente, assim:

δmg = ρg δVg = ερg δV (2.11)

δml = ρl δV (2.12)

2.2.3 Balanços gerais de conservação de massa e energia

O balanço geral de massa em um volume de controle, é dado por:

dm

dt= mad v (2.13)

onde m é a massa de gás contida no reservatório. Como não há variação na massa

do adsorvente, consideram-se apenas as variações das fases gasosa e adsorvida, as-

sim o termo de acúmulo de massa é compreendido pela fase gasosa fluida e pela fase

adsorvida,

dmg

dt+ dml

dt= mad v (2.14)

onde mad v representa a taxa de transferência líquida de massa para dentro do volume

de controle considerado.

Conforme a Primeira Lei da Termodinâmica, o balanço geral de energia para um

volume de controle (ou um sistema aberto) é dado pela equação abaixo:

dU

dt+ dK

dt= Q + W + Ead v (2.15)

26

Ead v = Uad v + Kad v (2.16)

onde U é a energia interna, K a energia cinética, Q é a taxa de fornecimento de calor

ao sistema, W é a taxa de realização de trabalho sobre o sistema e Ead v é a vazão de

energia líquida para dentro do sistema devido ao escoamento. Os termos de taxa de

realização de trabalho são dados por:

W = Ws + Wv , com Ws = Wn + Wt (2.17)

onde Ws é o trabalho total de forças de superfície (de contacto), Wv é o trabalho devido

às forças do corpo, Wn é o trabalho de escoamento e Wt é o termo de aquecimento por

atrito.

Desprezando os termos de aquecimento por dissipação de energia mecânica por

atrito:

Wt ≈ 0 (2.18)

e considerando que o efeito combinado de mudanças da energia cinética e potencial1

seja igualmente insignificante:

dK

dt≈ Kad v ≈ Wv ≈ 0 (2.19)

rearrumando os termos chegamos a:

dU

dt= Q +Uad v +Wn (2.20)

onde os dois últimos termos podem ser combinados para produzir o fluxo de entalpia

1 A taxa de variação de energia potencial pode ser calculada pela taxa de realização de trabalhodas forças de corpo (força conservativa gravitacional sendo desprezado pela baixa velocidade devido àpresença do meio poroso).

27

(fluxo de energia interna mais trabalho de escoamento):

Iad v = Uad v +Wn (2.21)

finalmente, produzindo:

dU

dt= Q + Iad v (2.22)

Finalmente, deve-se observar que não é incluído um termo de geração para o calor

de aquecimento ou resfriamento devido à mudança de fase associada à adsorção como

é feito em outros trabalhos sobre GNA. Este termo deve aparecer normalmente após o

desenvolvimento dos termos no balanço anterior.

2.3 Formulação multidimensional

2.3.1 Conservação de massa

Como na formulação global, o termo de acúmulo de massa é compreendido pela

fase gasosa fluida e pela fase adsorvida,

m =∫Vg

ρg dV +∫Vs

ρl dV =∫V

(ερg + ρl

)dV (2.23)

Considerando que a massa da substância armazenada pode ser transferida através da

fase gasosa e a fase adsorvida de forma independente, a vazão líquida em massa para

dentro do volume de controle é dada por

mad v = −∫S

(ρg v g + ρl v l

)·n dA = −

∫V

(∇·(ρg v g ) + ∇·(ρl v l )

)dV (2.24)

onde as velocidades levam em consideração a porosidade do meio, ou seja:

ρ v = ερg v g + ρl v l , com ρ = ερg + ρl (2.25)

28

Substituindo as relações anteriores na equação (2.13), o balanço de massa é escrito

na forma:

d

dt

∫V

(ερg + ρl

)dV = −

∫V

(∇·(ρg v g ) + ∇·(ρl v l )

)dV (2.26)

então, rearrumando as operações de integração e diferenciação:

∫V

(ε∂ρg

∂t+ ∂ρl

∂t+ ∇·(ρg v g ) + ∇·(ρl v l )

)dV = 0 (2.27)

desta forma, para um volume arbitrário, teremos:

ε∂ρg

∂t+ ∂ρl

∂t= −∇·(ρg v g ) − ∇·(ρl v l ) (2.28)

Definindo os vetores fluxo de massa medidos em termos da área total transversal ao

escoamento no meio poroso:

j ′′g = ρg v g , j ′′l = ρl v l (2.29)

Substituindo na equação (2.28) temos que,

ε∂ρg

∂t+ ∂ρl

∂t= −∇·( j ′′g ) − ∇·( j ′′l ) (2.30)

Note que a equação anterior considera o transporte de massa pelo movimento em am-

bas as fases adsorvida e gasosa.

29

2.3.2 Conservação de Energia

Os termos da equação (2.22) podem ser escritos em termos de um volume de con-

trole arbitrário V no reservatório, com uma superfície de contorno S:

Q = −∫S

q ′′·n dA = −∫V∇·q ′′ dV (2.31)

U =∫V

(εug ρg + ul ρl + us ρb

)dV (2.32)

Iad v = −∫V

[∇·

(ig j ′′g

)+ ∇·

(il j ′′l

)]dV (2.33)

Substituindo estes termos na equação (2.22):

d

dt

∫V

(εug ρg + ul ρl + us ρb

)dV = −

∫V∇·q ′′ dV+

−∫V

[∇·

(ig j ′′g

)+ ∇·

(il j ′′l

)]dV+

∫V

v g ·(∇p)dV (2.34)

E então rearrumando:

∫V

(ε∂

∂t(ug ρg ) + ∂

∂t(ul ρl ) + ∂

∂t(us ρb)+∇·q ′′+

+ ∇·(ig j ′′g ) + ∇·(il j ′′l )−v g ·(∇p)

)dV = 0 (2.35)

Para um volume arbitrário, é necessário ter:

ε∂

∂t(ug ρg )+ ∂

∂t(ul ρl )+ ∂

∂t(us ρb)+∇·q ′′ =−∇·(ig j ′′g )−∇·(il j ′′l )+v g ·(∇p) (2.36)

Introduzindo as relações de entalpia,

ρu = ρ i − p, (2.37)

d(ρg ug ) = ρg dig + ig dρg − dp (2.38)

d(ρs us) = ρs dus , (2.39)

d(ρl ul ) = d(ρl il ) = ρl dil + il dρl (2.40)

30

e substituindo na equação (2.36), é reescrita na forma:

ε

(ρg

∂ig

∂t+ ig

∂ρg

∂t− ∂p

∂t

)+

(ρl∂il

∂t+ il

∂ρl

∂t

)+ ρb

∂us

∂t+ ∇·q ′′ =

= − ig (∇· j ′′g ) − j ′′g ·(∇ig ) − il (∇· j ′′l ) − j ′′l ·(∇il )+v g ·(∇p) (2.41)

Utilizando a equação de conservação da massa multiplicada por ig :

ε ig∂ρg

∂t+ ig

∂ρl

∂t= − ig ∇·( j ′′g ) − ig ∇·( j ′′l ) (2.42)

Chega-se a:

ε

(ρg

∂ig

∂t− ∂p

∂t

)+

(ρl∂il

∂t+ (il − ig )

∂ρl

∂t

)+ ρb

∂us

∂t+ ∇·q ′′ =

− j ′′g ·(∇ig ) − (il − ig )∇·( j ′′l ) − j ′′l ·(∇il ) + v g ·(∇p) (2.43)

Rearrumando obtém-se:

ρb∂us

∂t+ ρg

(ε∂ig

∂t+ v g ·(∇ig )

)+ ρl

(∂il

∂t+ v l ·(∇il )

)=

− ∇·q ′′ + (ig − il )

(∂ρl

∂t+∇·( j ′′l )

)+

(ε∂p

∂t+ v g ·(∇p)

)(2.44)

usando a Lei de Fourier e as relações termodinâmicas abaixo:

q ′′ = −ke ∇T (2.45)

dus = cs dT, (2.46)

dil = cl dT, (2.47)

dig = cp g dT + 1

ρg(1−βg T )dp (2.48)

e introduzindo a definição do calor diferencial de adsorção [57] para formulação local:

isor = ig − il (2.49)

31

a equação (2.44) é reescrita na forma:

ρb cs∂T

∂t+ ρg cp g

(ε∂T

∂t+ v g ·(∇T )

)+ ρl cl

(∂T

∂t+ v l ·(∇T )

)=

−∇·(ke ∇T ) + isor

(∂ρl

∂t+∇·( j ′′l )

)+ βg T

(ε∂p

∂t+ v g ·(∇p)

)(2.50)

Rearrumando:

((ρb cs +ρl cl ) + ρg cp g ε

) ∂T

∂t+

(( j ′′g )cp g + ( j ′′l )cl

)·(∇T ) =

−∇·q ′′ + isor

(∂ρl

∂t+∇·( j ′′l )

)+ βg T ε

∂p

∂t+ 1

ρg(βg T −1) j ′′g ·(∇p) (2.51)

Introduzindo a capacidade térmica efetiva (por unidade de volume):

ρe ce = (ρb cs +ρl cl ) + ρg cp g ε (2.52)

onde, a capacidade térmica adsorvente por unidade de volume é dada por:

C′′′s = ρbcs (2.53)

e definindo a taxa de adsorção:

g ′′′sor = ∂ρl

∂t+∇·( j ′′l ) (2.54)

obtém-se:

ρe ce∂T

∂t+

(cp g j ′′g + cl j ′′l

)·(∇T ) = −∇·q ′′+

+ isor g ′′′sor + βg T ε

∂p

∂t+ (βg T −1)

j ′′g ·(∇p)

ρg(2.55)

finalmente, considerando a hipótese de gás ideal (βg = 1/T ), temos:

ρe ce∂T

∂t+

(cp g j ′′g + cl j ′′l

)·(∇T ) = −∇·q ′′+ isor g ′′′

sor + ε∂p

∂t. (2.56)

32

2.3.3 Fluxos de calor e massa

O fluxo de massa na fase gasosa j ′′g , pode ser escrito usando a Lei de Darcy, que

relaciona a velocidade ao gradiente de pressão [58]:

v g = − Ke

µ∇p (2.57)

de forma que se escreve:

j ′′g =−ρgKe

µ∇p (2.58)

De forma generalizada temos que:

v g =−σ∇p (2.59)

j ′′g =−ρg σ∇p (2.60)

onde σ pode depender do gradiente de pressão. Neste estudo, trabalharemos com um

valor constante de σ.

σ= Ke

µ, par a Dar c y (2.61)

σ=− 2

Θ+√Θ2 +4βρg‖∇p‖

, par a Er g un (2.62)

Alguns estudos [36, 45] também empregam a equação de Ergun:

v g =− 2∇p

Θ+√Θ2 +4βρg‖∇p‖

(2.63)

Θ= 150(1−εb)2µ/(4ε3bR2

p ) (2.64)

β= 1.75(1−εb)/(2ε3bRp ) (2.65)

33

onde Rp é o raio da partícula. A velocidade da fase adsorvida é devido à difusão

superficial (coeficiente Ds) e a fórmula proposta em [59, 60], pode ser empregada:

j ′′l =−Ds

τs∇ρl (2.66)

onde,

Ds =D0 exp

(−αs

isor

R T

)(2.67)

onde D0 = 14ν0λ

2s , ν0 é a frequência de vibração da molécula de adsorção normal à

superfície, αs é uma constante de aproximação linear e λ2s é o caminho livre médio de

superfície ou salto de distância.

Usando a Lei de Fourier para relacionar o fluxo de calor com o campo de tempera-

tura temos,

q ′′ =−ke ∇T (2.68)

no qual ke é a condutividade térmica efetiva do reservatório na presença de vazão de

gás. Nos trabalhos [36] e [45], esta condutividade térmica é expressa por:

ke = k0e +2γcpg Rpρl‖v g‖ (2.69)

onde a contribuição k0e é uma função da condutividade do gás, a relação da partícula-

condutividade do gás e da porosidade do leito (para um meio poroso),

k0e = kg f (ks/kg ,εb) (2.70)

onde o símbolo ks denota a condutividade efetiva de uma partícula de carbono, que

depende da porosidade εp da intra-partícula. Os valores usados em [36], são:

k0e = 1.2 W/(mK) γ= 0.3 Rp = 0.5 mm (2.71)

34

2.3.4 Condições de contorno

A seguir as condições de contorno, obtidos de um balanço de massa e energia na

interface, denotando Sex como a superfície exterior e Si n como a superfície da entrada

são apresentadas.

Superfície externa

As seguintes condições se aplicam em Sex :

( j ′′g + j ′′l )·n = 0, para r ∈ Sex (2.72)

(ig j ′′g + il j ′′l )·n + q ′′·n = h(T −T0) + ρw cw δw∂T

∂t, para r ∈ Sex (2.73)

onde h representa o coeficiente de transferência de calor que toma em consideração a

resistência convectiva na superfície exterior. O termo que inclui a derivada no tempo

representa o armazenamento de energia na parede do reservatório. A resistência desta

parede é assumida desprezível de forma que a temperatura da parede é igual a do

material adsorvente em contato com ela.

As equações acima são simplificadas utilizando a definição do calor de adsorção:

q ′′·n = h(T −T0)+ isor j ′′l ·n + ρw cw δw∂T

∂t, para r ∈ Sex (2.74)

onde δw é a espessura da parede do reservatório, que é considerada pequena e C′′w é a

relação da capacidade térmica da parede por unidade de área:

C′′w = ρw cw δw (2.75)

35

Superfície interna

Na entrada do reservatório (Si n), as seguintes condições aplicam-se:

−( j ′′g + j ′′l )·n = m′′i n , para r ∈ Si n (2.76)

−q ′′·n = h+i n(Ti n −T ), para r ∈ Si n (2.77)

onde, m′′i n é o fluxo de massa na entrada (componente normal). A condição de con-

torno da equação (2.77) é uma forma generalizada para a condição de contorno de

energia. Nessa equação, h+i n é o coeficiente de transferência de calor total que leva em

consideração a transferência de calor convectiva, assim como a variação de energia na

entrada/saída devido à transferência de massa, definido por:

h+i n = hi n + cp g

mi n

Ai n= hi n + cp g m′′

i n (2.78)

A equação (2.77) pode ser vista como uma condição de contorno geral (de 3º tipo)

que pode ser transformada em uma condição de contorno de Dirichlet, se h+i n →∞, ou

em uma condição de contorno de Neumann (isolado), se h+i n ≈ 0. As operações rápidas

de carga devem conduzir a grandes h+i n , aproximando a condição de temperatura pres-

crita na entrada, quando as operações de descarga podem conduzir a valores pequenos

de h+i n , aproximando a condição isolada. A equação (2.76) deve ser usada se a vazão

na entrada for conhecida; se, alternativamente, a pressão de entrada é conhecida, esta

circunstância deve ser substituída por:

p = pi n(t ), para r ∈ Si n (2.79)

Deve-se ressaltar que, se a pressão de entrada é especificada, m′′i n deve ser calculada

da equação (2.76). Para este tipo de condição, normalmente, em processos de carga

têm-se pi n = pmax, enquanto para descarga pi n = pmin.

Alternativamente, uma forma genérica para a condição de entrada/saída pode ser

36

escrita:

γp − (1−γ)( j ′′g + j ′′l )·n = γpi n(t )+ (1−γ)m′′i n (2.80)

constituindo uma forma generalizada para a conservação de massa na entrada, a con-

dição γ= 1 mostra ser usado quando a pressão de entrada é conhecida e γ= 0 quando

o fluxo de massa na entrada é conhecida.

2.3.5 Formulações simplificadas sem difusão de massa na fase adsorvida

Alguns casos particulares podem ser obtidos se hipóteses adicionais forem conside-

radas. Em especial, considerando que a vazão em massa por difusão na fase adsorvida

é insignificante, como apresentado em [54] as equações de transporte e condições de

contorno são reduzidas à:

ε∂ρg

∂t+ ∂ρl

∂t= −∇·( j ′′g ) (2.81)

ρe ce∂T

∂t+ j ′′g cp g ·(∇T ) = ∇·(ke ∇T )+ isor g ′′′

sor +ε∂p

∂t(2.82)

j ′′g ·n = 0, para r ∈ Sex (2.83)

q ′′·n = h(T −T0)+ρw cw δw∂T

∂t, para r ∈ Sex (2.84)

− j ′′g ·n = m′′i n , para r ∈ Si n (2.85)

−q ′′·n = h+i n(Ti n −T ), para r ∈ Si n (2.86)

Este caso particular é adotado por todos os estudos encontrados na literatura e será

considerado no restante deste estudo.

Formulação r − z − t

Os modelos numéricos com este tipo de formulação ([45], [9], [37]), desconside-

ram a dependência na coordenada angular, devido a simetria do problema. Com esta

consideração, desprezando o transporte de gás por difusão na fase adsorvida, chega-se

37

à seguinte formulação:

ε∂ρg

∂t+ ∂ρl

∂t= − 1

r

∂

∂r

(r j ′′g ,r

)− ∂

∂z

(j ′′g ,z

)(2.87)

ρe ce∂T

∂t+ cp g

(j ′′g ,r

∂T

∂r+ j ′′g ,z

∂T

∂z

)=

= 1

r

∂

∂r

(ke r

∂T

∂r

)+ ∂

∂z

(ke∂T

∂z

)+ isor

∂ρl

∂t+ε ∂p

∂t(2.88)

Diferentes condições de contorno podem ser utilizadas dependendo da configu-

ração de entrada/saída de gás no reservatório. Se um difusor (na forma de um tubo

perfurado de raio rex e comprimento L) for utilizado para a admissão de gás, como

descrito em [56], as condições de contorno são dadas por:

j ′′g ,r = m′′i n , para r = ri n , 0 ≤ z ≤ L, (2.89)

j ′′g ,r = 0, para r = rex , 0 ≤ z ≤ L, (2.90)

j ′′g ,z = 0, para z = 0, ri n ≤ r ≤ rex , (2.91)

j ′′g ,z = 0, para z = L, ri n ≤ r ≤ rex , (2.92)

q ′′r = h+

i n(Ti n −T ), para r = ri n , 0 ≤ z ≤ L, (2.93)

q ′′r = h (T −T0)+ρw cw δw

∂T

∂t, para r = rex , 0 ≤ z ≤ L, (2.94)

−q ′′z = h (T −T0)+ρw cw δw

∂T

∂t, para z = 0, ri n ≤ r ≤ rex , (2.95)

q ′′z = h (T −T0)+ρw cw δw

∂T

∂t, para z = L, ri n ≤ r ≤ rex , (2.96)

onde é assumido que o coeficiente de transferência de calor h é uniforme em toda

superfície externa do reservatório. Os componentes dos fluxos de massa e calor são

dados por:

j ′′g ,r = −ρg σ∂p

∂r, j ′′g ,z = −ρg σ

∂p

∂z, (2.97)

q ′′r = −ke

∂T

∂r, q ′′

z = −ke∂T

∂z, (2.98)

38

lembrando que a condição de vazão prescrita (eq. (2.89)) pode ser substituída por uma

condição com a pressão de entrada/saída prescrita (eq. (2.79)) se este for o caso.

Outro tipo de configuração comum é quando o cilindro é inteiramente preenchido

com material adsorvente e a admissão de gás é feita na direção axial z. Para esta

configuração, as condições de contorno são dadas por:

j ′′g ,r = 0, para r = 0, 0 ≤ z ≤ L, (2.99)

j ′′g ,r = 0, para r = rex , 0 ≤ z ≤ L, (2.100)

j ′′g ,z = m′′i n , para z = 0, 0 ≤ r ≤ ri n , (2.101)

j ′′g ,z = 0, para z = 0, ri n ≤ r ≤ rex , (2.102)

j ′′g ,z = 0, para z = L, 0 ≤ r ≤ rex , (2.103)

q ′′r = 0, para r = 0, 0 ≤ z ≤ L, (2.104)


∂T

∂t, para r = rex , 0 ≤ z ≤ L, (2.105)

q ′′z = h+

i n(Ti n −T ), para z = 0, 0 ≤ r ≤ ri n , (2.106)

−q ′′z = h (T −T0)+ρw cw δw

∂T

∂t, para z = 0, ri n ≤ r ≤ rex , (2.107)

q ′′z = h (T −T0)+ρw cw δw

∂T

∂t, para z = L, 0 ≤ r ≤ rex , (2.108)

Este tipo de formulação é utilizada por [9] que utilizaram um modelo que leva em

consideração variações da temperatura nas direções radiais e axiais. Outros estudos

com este tipo de formulação são apresentados por [37] e [45].

Formulação Unidimensional r − t

Se no caso que utiliza-se um difusor de gás, for considerado também que a trans-

ferência de calor nas extremidades z = 0 e z = L são pequenas em relação ao calor

trocado em r = rex , os gradientes de temperatura e pressão em z podem ser despre-

zados em relação os gradientes em r e chega-se a uma formulação simplificada, em

39

termos de r e t :

ε∂ρg

∂t+ ∂ρl

∂t= − 1

r

∂

∂r

(r j ′′g ,r

)(2.109)

ρe ce∂T

∂t+ cp g j ′′g ,r

∂T

∂r= 1

r

∂

∂r

(ke r

∂T

∂r

)+ isor

∂ρl

∂t+ε ∂p

∂t(2.110)

onde as condições de contorno são dadas por:

j ′′g ,r = m′′i n , para r = ri n , (2.111)

j ′′g ,r = 0, para r = rex , (2.112)

q ′′r = h+

i n(Ti n −T ), para r = ri n , (2.113)


∂T

∂t, para r = rex , (2.114)

Este tipo de formulação é comum para descarga de gás adsorvido durante o con-

sumo e é utilizada pelos autores Hirata et al. [49] assim como Mota et al. [46] e Mota

et al. [36] que foram trabalhos prévios de Mota [61]. Os autores Neto et al. [35] consi-

deraram um modelo similar ao de [36] e [48] também utiliza uma formulação similar

simples para gás natural armazenado.

2.4 Condições iniciais

As condições iniciais para a modelagem do processo de carga e descarga do reser-

vatório de GNA, independentes do tipo de formulação, são dadas em termos da pressão

e da temperatura,

T (t = 0) = T (t = 0) = T0, (2.115)

p(t = 0) = p(t = 0) = p0 (2.116)

No qual p0 = pmin para a carga e p0 = pmax para a descarga.

40

2.5 Formulação global

A fim de fornecer um modelo simplificado para o problema, uma formulação glo-

bal por parâmetros concentrados é também fornecida. Para possibilitar a formulação

de parâmetros concentrados do problema é definido a quantidade média volumétrica

através da seguinte formulação genérica,

f = 1

V

∫V

f dV (2.117)

Os valores médios de carga e descarga são definidos pela seguinte formulação genérica,

fi n = 1

Ai n

∫Ai n

f dA (2.118)

da mesma maneira, os valores médios na superfície impermeável do reservatório são

dados por:

fex = 1

Aex

∫Aex

f dA (2.119)

A aproximação clássica em parâmetros concentrados considera que para a carga e

descarga os valores médios que entram e saem são aproximadamente iguais à quanti-

dade média volumétrica contida no mesmo reservatório,

f ≈ fi n ≈ fex (2.120)

Nesta seção serão utilizados os valores médios volumétricos para a massa específica

média, entalpia específica média e energia interna específica média, como mostrado

41

nas equações a seguir respectivamente,

ρ = 1

V

∫VρdV= m

V(2.121)

ı = 1

m

∫Vρi dV= 1

ρV

∫Vρi dV (2.122)

u = 1

m

∫Vρu dV= 1

ρV

∫Vρu dV (2.123)

2.5.1 Conservação de massa

Para a formulação global, o volume de controle é o reservatório inteiro. Desta

forma, durante a carga ou descarga a vazão em massa líquida advectada para dentro do

reservatório é dada por:

mad v = mg =∫Ai n

ρg v g ·n dA ≈ (ρg vg )|i n Ai n (2.124)

Esta aproximação assume que a massa específica de gás assim como sua velocidade

são uniformes na área de entrada. A velocidade vg será positiva durante a carga e

negativa durante a descarga, e Ai n representa a área na superfície do domínio, por

onde ocorrem as entradas e saídas de massa para o cilindro.

Pela definição de massa específica média do gás e do gás adsorvido temos que,

mg = ε

∫Vρg dV≈ ερgV (2.125)

ml =∫Vρl dV≈ ρlV (2.126)

Como não há variação na massa do adsorvente, consideram-se apenas as variações

das fases gasosa e adsorvida, assim o termo de acúmulo de massa é compreendido pela

fase gasosa fluida e pela fase adsorvida,

(ε

dρg

dt+ dρl

dt

)V = (ρgυg )|i nAi n (2.127)

εdρg

dt+ dρl

dt= (ρgυg )|i n

Ai n

V(2.128)

42

Finalmente, a seguinte equação é obtida para o balanço de massa no reservatório,

εdρg

dt+ dρl

dt= mi n

V(2.129)

A equação anterior é aplicada em casos onde a vazão em massa mi n é conhecida.

Todavia, há casos em que a pressão de entrada é conhecida. Para estes casos é neces-

sário utilizar uma relação entre a vazão de entrada e uma diferença de pressão. Por

exemplo, uma relação simples que poderia ser aplicada é baseada na Lei de Darcy:

m′′i n = mi n

Ai n= ρg i nσ

rex − ri n(pi n − p) (2.130)

onde σ é uma constante que, entre outros fatores, pode depender da permeabilidade do

meio poroso.

2.5.2 Conservação de energia

Como só há movimento na fronteira do volume de controle na abertura do cilindro

Ai n , a taxa de trabalho realizada sobre o volume de controle é dada por,

W =∫Ai n

p vg dA≈ (pvg )|i nAi n (2.131)

A taxa de transferência líquida de energia interna devido à transferência de massa para

o volume de controle também só ocorre na abertura sendo,

Uad v =∫Ai n

ugρg vg dA≈ (ugρgυg )|i nAi n (2.132)

Nas equações anteriores W e Uad v podem ser combinados, resultando na vazão de

entalpia para dentro do reservatório

W + Uad v = ((p +ugρg )vg )|i nAi n = (igρg vg )|i nAi n = (ig mg )|i n (2.133)

43

A variação dos termos de acumulação de energia é igual à soma dos termos de trans-

ferência de energia associados aos processos de carga descarga e troca de calor con o

médio externo,

dU

dt= Q + (ig mg )|i n (2.134)

onde U é a soma das energias internas das três fases e a energia interna da parede do

reservatório, Uw

U = Ug + Ul + Us + Uw (2.135)

onde a energia de cada fase é escrita em termos de energias internas específicas, volume

de controle é dada por,

Ug = ε

∫V

ugρg dV≈ εug ρgV (2.136)

Ul =∫V

ulρl dV≈ ul ρlV (2.137)

Us = (1−ε)∫V

usρs dV≈ (1−ε)us ρsV = us ρbV (2.138)

Uw =∫

muw dm ≈ uw mw (2.139)

Substituindo na equação (2.134) resulta em

(ε

d

dt(ug ρg ) + d

dt(ul ρl ) + d

dt(us ρb)

)V + mw

duw

dt= Q + (ig mg )|i n (2.140)

Observando as equações anteriores e utilizando as seguintes relações termodinâmicas,

d(ρg ig ) = d(ρg ug ) + dp (2.141)

d(ρl il ) = d(ρl ul ) (2.142)

d(ρbis) = d(ρbus) (2.143)

44

a equação (2.140) pode ser também escrita em termos de entalpias assim:

(ε

d

dt(ıg ρg ) − ε

dp

dt+ d

dt(ıl ρl ) + d

dt(ıs ρb)

)V + mw

duw

dt= Q + (ig mg )|i n (2.144)

Expandindo as derivadas acima lembrando que ρs é constante e subtraindo a equação

da conservação da massa multiplicada pela entalpia do gás ig ,

(ερg

d ıg

dt− ε

dp

dt+ ρl

dıl

dt+ (ıl − ıg )

dρl

dt+ ρb

dıs

dt

)V+

+ mwduw

dt= Q + (ig |i n − ıg )mi n (2.145)

Introduzindo a definição do calor diferencial de adsorção [57], que é a diferença entre

a entalpia do gás e do gás adsorvido, para a formulação global:

ısor = ıg − ıl , (2.146)

Introduzindo também as relações termodinâmicas:

dıg = cp g dT + (1−βg T )1

ρgdp (2.147)

dıs = cs dT (2.148)

dıl = cl dT (2.149)

duw = cw dT (2.150)

Substituindo os calores específicos na equação (2.145) chega-se à seguinte relação,

(ερg cpg

dT

dt− εβg T

dp

dt+ ρl cl

dT

dt− ısor

dρl

dt+ ρbcs

dT

dt)

)V+

+ mw cwdT

dt= Q + (ıg |i n − ıg )mi n (2.151)

45

Logo chegamos a,

(ρe ce + mw cw

V

) dT

dt= Q

V+ εβg T

dp

dt+ ısor

dρl

dt+ (ıg |i n − ıg )

mi n

V(2.152)

onde ρe ce é a capacidade térmica efetiva (ou aparente) do meio poroso,

ρe ce = ρb cs + ρl cl + ρg cp g ε (2.153)

A transferência de calor total na superfície do reservatório inclui a troca com os arre-

dores na superfície impermeável (Aex) e na superfície de entrada/saída (Ai n):

Q = −∫As

h (T −T0) dA ≈ −h (T −T0)Aex − hi n (T −Ti n)Ai n (2.154)

onde h e hi n são os coeficientes de transferência de calor por convecção na superfí-

cie impermeável e na superfície de entrada/saída, respectivamente. Estes coeficientes

também poderiam incluir informações sobre as resistências internas de condução na

tentativa de melhorar a aproximação por parâmetros concentrados.

A diferença de entalpia ıg |i n − ıg pode também ser escrita em termos do calor

específico do gás:

ıg |i n − ıg = cp g (Ti n − T ) (2.155)

A equação da energia é então escrita como

(ρe ce + mw cw

V

) dT

dt= −h (T −T0)

Aex

V+

− hi n (T −Ti n)Ai n

V+ εβg T

dp

dt+ ısor

dρl

dt+ mi n

Vcp g (Ti n − T ) (2.156)

utilizando o coeficiente de transferência de calor modificado na entrada (eq. (2.78)), a

46

equação (2.156) é finalmente escrita como:

(ρe ce + mw cw

V

) dT

dt= h (T0 − T )

Aex

V+

+ h+i n (Ti n − T )

Ai n

V+ εβg T

dp

dt+ ısor

dρl

dt(2.157)

considerando a hipótese de gás ideal (βg = 1/T ), a equação da energia é reduzida para:

(ρe ce + mw cw

V

) dT

dt= h (T0 − T )

Aex

V+

+ h+i n (Ti n − T )

Ai n

V+ ε

dp

dt+ ısor

dρl

dt(2.158)

2.5.3 Simplificação para Gás Natural Comprimido

Considerando que a porosidade é igual a 100%, não há material adsorvente algum

no cilindro, e o problema é reduzido ao de carga e descarga em reservatórios de gás

natural comprimido (GNC). As equações de conservação governantes são reduzidas

para,

dρg

dt= mi n

V(2.159)

ρg cpg

dT

dt= h (T0 − T )

Aex

V+ h+

i n (Ti n − T )Ai n

V+ dp

dt(2.160)

2.6 Equações constitutivas para as concentrações

As concentrações ρg e ρl (ou ρg e ρl para a formulação global) podem ser ex-

pressas em termos de temperatura e pressão através da equação de estado para a fase

gasosa e de uma isoterma de adsorção (ou relação de equilíbrio) para a fase adsorvida.

Considerando um comportamento de gás ideal, a massa específica da fase gasosa é

escrita como,

ρg = ρg (T, p) = p

R T(2.161)

47

Tab. 2.1: Diferentes modelos de Isotermas.

Isoterma Equação

Langmuir q = q0(bP )

(1+bP )

Freundlich q = q0P 1/n

Unilan q = ln[ 1+bes P1+be−s P ] q0

2s

Toth q = q0bP

(1+(bP )t )1/t

Sips q = q0(bP )1/n

(1+(bP )1/n )

Jovanovich q = q0[1−exp(−bP )]

DR q = q0 exp(−( AE0

)2)

DS q = exp(− mx20 A2

1+2mδ2 A2 )[1+erf( x0

δp

2p

1+2mδ2 A2)]

q00

2p

1+2mδ2 A2

DRA q = q0 exp(−( AE0

)n)

Two-Term TVFM q = q01 exp(−( AE1

)2)+q02 exp(−( AE2

)2)1Onde A = RT ln( Ps

P ), P:Presão de operação, Ps: Pressão de saturação, qm:Concentração da fase adsorvida.

Deve-se notar que o coeficiente de expansão térmica também será calculado a partir da

equação de estado adotada.

A massa específica da fase adsorvida é escrita nos termos de uma relação de iso-

terma,

ρl = ρl (T, p) (2.162)

no qual a forma funcional pode depender do adsorvente selecionado. Por exemplo, a

isoterma de adsorção de Langmuir, adotada em diversos estudos [36, 45, 49], é dada

por

ρl

ρb= q = qm

b p

1+b p(2.163)

onde os coeficientes b e qm são dados por:

b = 1.0863×10−7 exp

(806

T

)(2.164)

qm = 55920T −2.3 (2.165)

48

onde q é a concentração da fase adsorvida (kg kg−1), p é a pressão (bar) e T a tempe-

ratura (K).

Há certamente relações mais elaboradas da isoterma para descrever a adsorção do

metano; a literatura reporta diversos estudos [12] como mostrado na tabela 2.1. Entre-

tanto, desde que a finalidade principal deste trabalho é apresentar grupos e formulações

adimensionais para a transferência de calor e massa, o modelo de Langmuir é empre-

gado pela simplicidade, sem invalidar os objetivos envolvidos nesta investigação.

2.7 Avaliação de desempenho

2.7.1 A relação volumétrica (capacidade de armazenamento)

A adsorção tem sido avaliada em uma base mássica com o objetivo de armazenar

gás, mas também deve ser medida numa base volumétrica comumente representada

por um parâmetro tradicional usado para medir a capacidade de armazenamento do

GN (V /V ), definida como

(V /V ) ≡ volume armazenado de gás em condições normaisvolume interno do reservatório

=V0

g

V, (2.166)

Este indicador de desempenho é utilizado em GNA pela primeira vez nos trabalhos

[62] e [44]. Variações na definição acima surgem uma vez que alguns autores adotam

como condições normais 0ºC e pressão atmosférica, enquanto outros adotam 25ºC (ou

outro valor da temperatura ambiente) e pressão atmosférica.

Como descrição prévia, em [17] mostram que a medida de desempenho do GNA

confinado num cilindro dependem das propriedades dos microporos do material ad-

sorvente e ao mesmo tempo das propriedades da transferência global de calor e massa

assim como da geometria do cilindro. Um material microporoso ideal garante princi-

palmente o processo de carga rápida e libera uma capacidade adequada de metano, que

neste trabalho fechou com 150 V/V, mas o trabalho experimental de [16] fornece capa-

cidades de armazenamento na faixa de 110-125 V/V baixo condições isotérmicas. Os

autores Monge et al. [21] utilizam a equação dada por [63] para calcular a capacidade

49

de armazenamento de metano, obtendo como resultado de experimentações realizadas

com duas amostras de fibras de carbono ativadas por diferentes processos, valores da

ordem 163 V/V correspondendo a uma capacidade útil de armazenamento de 143 V/V,

próximo dos 150 V/V, e compararam com os calculados por os autores [19] que avali-

aram o carbono ativado com metano puro obtendo uma capacidade de armazenamento

máxima teórica de 209 V/V a 3,4 MPa para carvão monolítico e 146 V/V para a forma

peletizada.

Muto et al. [64] apresenta um estudo experimental para determinar a capacidade

de armazenamento do metano (V/V) em carbon monolítico, estimado como o volume

de metano adsorvido por o volume de carbon monolítico, apresentam o valor de 140

V/Vs a 3.5 Mpa e 35ºC. No trabalho de Rios et al. [65] amostras de carbono ativado

obtidos de cascas de coco foram dispostos para ativação química com ácido fosfórico

como agente ativador para adsorção de metano, estes autores utilizam as medidas de

desempenho de [15], e foi observado que a capacidade de armazenamento de metano

apresenta o valor de 95 V/V a 303 K e 3.5 bar. Muitas outras pesquisas foram condu-

zidas para armazenamento de metano com carbon ativado simples com capacidades de

armazenamento entre 70 a 140 V/V a 25ºC e 3-4 MPa como reportados nos trabalhos

de [66], [21], [2] e [67].

2.7.2 Coeficiente de rendimento

A fim avaliar o desempenho do ciclo/processo (carga e descarga), o parâmetro CR,

introduzido por Mota et al. [36], mostra a razão da quantidade de metano carregado na

condição real e máxima (relação entre a variação total de massa segundo um processo

real e o processo isotérmico), entre as pressões internas inicial e final de carga, a uma

vazão mássica constante,

CR ≡ ∆mreal

∆misoth(2.167)

representando uma relação entre a quantidade real de gás entregada durante a descarga

(ou armazenado, durante a carga), ∆mreal, e a quantidade ótima que pode ser entregado

50

(ou armazenado), para o mesmo tempo de processo (carga/descarga), que ocorre na

operação isotérmica.

As massas real e ideal (isotérmica) armazenadas de GN podem ser escritas como,

∆mreal =∫ t f

0|mg |dt , ∆misoth =

∫ t f

0|mg |T dt , (2.168)

No qual t f é o tempo do processo (carga ou descarga), representando o tempo que

levará para o reservatório atingir a capacidade máxima, para uma operação isotérmica.

Naturalmente, tmax será o tempo que leva para o reservatório atingir a pressão final

(pmax para a carga, e pmin para a descarga).

Baseado nas pressões mínimas e máximas é definida a máxima capacidade de ar-

mazenamento,

∆mmax = (ε∆ρg + ∆ρl )V (2.169)

onde:

∆ρg = ρg ,max −ρg ,min (2.170)

∆ρl = ρl ,max −ρl ,min (2.171)

e

ρg ,max = ρg (pmax,T0), ρg ,min = ρg (pmin,T0) (2.172)

ρl ,max = ρl (pmax,T0), ρl ,min = ρl (pmin,T0) (2.173)

2.7.3 Relação entre V/V e CR

Pode-se mostrar que o parâmetro (V /V ) pode, alternativamente, ser calculado mul-

tiplicando e dividindo pela massa especifica da fase gasosa nas condições de referência

51

(ρ0g ) como segue,

(V /V ) =V0

gρ0g

Vρ0g

= mreal

m0(2.174)

onde a massa real de GN armazenado no reservatório (na extremidade da carga) é dada

por,

mreal = mmin + ∆mreal (2.175)

onde a quantidade mínima de GN contida no reservatório (para a operação isotérmica)

e a massa do GN gasoso que cabe no reservatório sob condições normais são dadas

por,

mmin = (ερg ,min + ρl ,min)V (2.176)

m0 = ρ0V (2.177)

Consequentemente, a relação (V /V ) pode ser escrita nos termos de CR,

(V /V ) = mmin + CR∆mmax

m0= mmin/∆mmax + CR

m0/∆mmax(2.178)

e seu valor máximo, correspondendo à operação da capacidade isotérmica em cheio,

pode ser calculada fazendo CR = 1:

(V /V )max = mmin + ∆mmax

m0= ερg ,max + ρl ,max

ρ0(2.179)

2.7.4 Eficiência de armazenamento

Finalmente um parâmetro determinado eficiência dinâmica de armazenamento é

definido pela razão:

η= (V /V )dinâmico

(V /V )max(2.180)

52

onde (V /V )max é o valor de (V /V ) para o caso isotérmico. Naturalmente, valor unitário

para η é só realizável numa razão infinita de descarga lenta, e valores pequenos de η

são obtidos em condições adiabáticas.

Utilizando as equações (2.178) e (2.179) pode-se escrever:

η = ερg ,min + ρl ,min +CR(ερg ,max + ρl ,max −ερg ,min − ρl ,min)

ερg ,max + ρl ,max(2.181)

53

Capítulo 3

Análise dimensional

A análise dimensional é baseado no fato que, em uma equação que lida com o

mundo real físico cada termo deve ter as mesmas dimensões. São procedimentos que

baseados na análise das variáveis e parâmetros que governam um fenômeno permi-

tem encontrar relações entre as variáveis que formam parâmetros adimensionais. O

problema físico fica então descrito, com o mesmo grau de fidelidade, por este novo

conjunto reduzido de parâmetros adimensionais. Ao serem menor o número de variá-

veis ou parâmetros, é possível organizar e expressar mas eficazmente os resultados.

Esta idéia é formalmente apresentada no teorema dos Pi de Buckingham [53].

O problema considerado neste estudo é o processo de carga ou descarga de um

reservatório, como mostrado na figura 3.1. Neste capítulo, o teorema dos Pi de Buc-

Fig. 3.1: Esquema básico do problema.

kingham será aplicado a este problema a fim de estabelecer grupos adimensionais re-

levantes para processo de carga e descarga em reservatórios de GNA.

54

Por meio do teorema acima citado, é possível reduzir o número de parâmetros ou

variáveis do qual depende um fenômeno físico, através da geração de grupos adimen-

sionais que envolvem estas variáveis. O teorema de Buckingham tem sido objeto de

numerosos estudos e podem ser citados os artigos apresentados por [68], [69], [70],

onde se podem encontrar diferentes desenvolvimentos matemáticos que conduzem à

demonstração do teorema.

Nas seções seguintes vamos enunciar o teorema, estabelecer um método para sua

aplicação e será apresentado a sua utilização em nosso presente problema. Casos mais

simples do problema serão analisados inicialmente, progredindo gradualmente para o

problema completo. Para facilitar a análise será considerado que Ti n = T0.

3.1 Teorema dos Pi de Buckingham

Dado um problema físico, no qual, se ζ é igual ao número de dimensões funda-

mentais necessárias para descrever as variáveis físicas e P1,P2, ...,Pn representam n

variáveis físicas na relação física:

ψ(P1,P2, ...,Pn) = 0 (3.1)

Então, a relação física pode ser reescrita como uma relação entre (n − ζ) produtos

adimensionais, chamados produtos Π,

ψ∗(Π1,Π2, ...,Πn−ζ) = 0 (3.2)

onde cada Π é um produto adimensional de um conjunto ζ de variáveis físicas mais

uma outra variável. A escolha das variáveis repetidas P1,P2, ...,Pn dever ser tal que

inclua todas as ζ dimensões usadas no problema. A variável dependente deve aparecer

em apenas um dos produtos Π.

55

3.1.1 Determinação dos grupos Π

Geralmente, a determinação dos grupos adimensionais segue o roteiro descrito a

seguir:

• Adotar as dimensões básicas.

• Listar todas as n variáveis com suas dimensões.

• Definir o numero ζ de dimensões básicas independentes, necessárias para expri-

mir dimensionalmente todas as variáveis.

• O número de grupos Π que poderá ser formado é igual a (n - ζ).

• De entre as n grandezas, escolher ζ variáveis repetidas (que devem incluir todas

as dimensões básicas e não terem dimensões iguais entre si).

• Os grupos Π são formados como um produto das ζ variáveis repetidas, cada uma

elevada a um expoente desconhecido, e de uma das grandezas restantes elevada

a um expoente conhecido.

3.1.2 Propriedades dos grupos Π

• Se uma variável é adimensional, ela é automaticamente um grupo Π.

• Se quaisquer duas variáveis têm as mesmas dimensões, a sua relação é um grupo

Π.

• Qualquer grupo Π pode ser substituído por ele mesmo multiplicado por uma

constante numérica.

• Qualquer grupo Π pode ser substituído por qualquer potência dele próprio, in-

clusive Π−1.

• Qualquer grupo Π pode ser expresso como uma função dos outros grupos Π, ou

seja, Π1 = f (Π2).

56

Há inúmeras maneiras em que os parâmetros dimensionais podem ser combina-

dos, produzindo conjuntos adimensionais independentes de grupos-Π. Os parâmetros

empregados são baseados nas combinações que conduzem a grupos adimensionais tra-

dicionais e outros que podem facilmente ser interpretados e conduzidos a um problema

normalizado simples.

3.2 Desenvolvimento preliminar

3.2.1 Pressões e temperaturas características

Assumindo que ambos processos de carga e descarga partem de uma temperatura

inicial que esteja em equilíbrio com o exterior, a temperatura inicial para ambos os

casos é T0. A pressão mínima do reservatório (para a fase de gás) ocorre no início

do ciclo da carga (ou no extremo do ciclo da descarga). A pressão máxima ocorre

no extremo do ciclo de carga (ou no início do ciclo da descarga). Considerando o

comportamento do gás ideal, o mínimo e os valores máximos da concentração de gás

podem ser escritos como,

ρg ,max = pmax

R T0, ρg ,min = pmin

R T0, (3.3)

onde ρg ,max corresponde à concentração de gás no extremo do ciclo da carga, ou no

início do ciclo da descarga para a operação isotérmica. Para a operação não-isotérmica,

este valor máximo não será alcançado, e assim menos gás será armazenado no reser-

vatório. De forma similar, ρg ,min representa a concentração de gás no início do ciclo

da carga, ou na extremidade do ciclo da descarga para a operação isotérmica. Além

disso, para a operação não-isotérmica o valor de ρg ,min não pode ser alcançado durante

a descarga, resultando uma recuperação limitada do gás. Análogo às concentrações da

fase de gás, ao mínimo e aos valores máximos de concentrações fixadas da fase são

definidos em termos de pmin, pmax and T0,

ρl ,max = ρl (pmax,T0), ρl ,min = ρl (pmin,T0). (3.4)

57

Uma vez mais, alguns destes valores podem ser somente conseguidos sob uma ope-

ração isotérmica, pois os efeitos de aquecimento (durante a carga) e de resfriamento

(durante a descarga) agravam o armazenamento e a recuperação de gás. Baseado nos

valores mínimos e máximos para ρg and ρl , se define a seguinte relação,

ρmax = ερg ,max +ρl ,max, (3.5)

e naturalmente, a massa do gás que corresponde a esta quantidade é obtida usando o

volume do reservatório:

mmax =Vρmax, (3.6)

3.2.2 Tempo de processo

O tempo de processo é definido como sendo o tempo que a pressão média do re-

servatório atinge a pressão final do processo:

p(t f ) = p f (3.7)

onde p f = pmin para descarga e p f = pmax para carga.

3.2.3 Dependência das concentrações na pressão e temperatura

A fim de facilitar a aplicação do teorema dos Pi de Buckingham, expressamos

a dependência das concentrações na fase gasosa (ρg ) e adsorvida (ρl ) na pressão e

temperatura, utilizando Séries de Taylor em torno da pressão máxima e temperatura

inicial:

ρg (p,T ) =N−1∑n=0

M−1∑m=0

Φn,m

(pmax −p

pmax −pmin

)n (T −T0

T0

)m

, (3.8)

ρl (p,T ) =N−1∑n=0

M−1∑m=0

Λn,m

(pmax −p

pmax −pmin

)n (T −T0

T0

)m

, (3.9)

58

onde os coeficientes Φn,m e Λn,m são definidos em termos das derivadas de ρg e ρl :

Φn,m = (pmax −pmin)n T m0

n!m!

(∂n+mρg

∂pn∂T m

)p=pmax,T=T0

(3.10)

Λn,m = (pmax −pmin)n T m0

n!m!

(∂n+mρl

∂pn∂T m

)p=pmax,T=T0

(3.11)

onde a forma acima utilizada foi escolhida de modo que os coeficientes Φn,m e Λn,m

tenham todos a mesma unidade de ρg e ρl . Ainda, para que os somatórios acima sejam

de fatos Séries de Taylor, os limites N e M necessitam ser infinitos. Todavia, trabalha-

remos com a representação finita a fim de contabilizar os grupos adimensionais.

Com a forma acima escrita, as valores máximos de ρg e ρl tem que ser iguais ao

coeficiente para m = n = 0:

Φ0,0 = ρg ,max, Λ0,0 = ρl ,max. (3.12)

Para processos isotérmicos a dependência é reduzida a:

ρg (p) =N−1∑n=0

Φn

(pmax −p

pmax −pmin

)n

(3.13)

ρl (p) =N−1∑n=0

Λn

(pmax −p

pmax −pmin

)n

(3.14)

onde:

Φn = (pmax −pmin)n

n!

(∂nρg

∂pn

)p=pmax

, (3.15)

Λn = (pmax −pmin)n

n!

(∂nρg

∂pn

)p=pmax

(3.16)

e, novamente, os valores máximos de ρg e ρl são dados por:

Φ0 = ρg ,max, Λ0 = ρl ,max. (3.17)

59

3.3 Formulação global isotérmica

Considerando a formulação por parâmetros concentrados para uma versão isotér-

mica do problema analisado, as equações de transporte (2.129) e (2.158) são reduzidas

ao seguinte problema de valor inicial:

εdρg

dt+ dρl

dt= σpc (pi n − p) (3.18)

p(0) = p0 (3.19)

onde ρg = ρg (p) e ρl = ρl (p), e a vazão de entrada/saída foi escrita em termos de uma

pressão de entrada/saída pi n , seguindo a equação (2.130). Desta forma a relação entre

σpc e σ é dada por:

σpc = σAi n

V

ρg ,i n

rex − ri n(3.20)

Para processos de descarga p0 = pmax e pi n = pmin, enquanto para processos de carga

p0 = pmin e pi n = pmax.

A solução deste problema é a evolução da pressão média p com o tempo. A relação

funcional para p é então escrita da seguinte forma:

ψ(p, t , pmax, pmin,σpc ,ε, ρg , ρl ) = 0 (3.21)

Todavia, para facilitar a análise, escrevemos a dependência nas concentrações em ter-

mos dos coeficientes Φ e Λ:

ψ(p, t , pmax, pmin,σpc ,ε,Φ,Λ) = 0 (3.22)

onde os vetores Φ e Λ contem todos os coeficientes das expansões em Série de Taylor:

Φ =(Φ0,Φ1,Φ2, . . . ,ΦN−1

)(3.23)

Λ =(Λ0,Λ1,Λ2, . . . ,ΛN−1

)(3.24)

60

apesar do caráter vetorial de Φ e Λ, contaremos estes como um único parâmetro para a

aplicação do teorema de Buckingham. Naturalmente, a análise dimensional fornecerá

dois parâmetro vetoriais relacionados a estas grandezas.

Seguindo o teorema de Buckingham, para este caso isotérmico temos três dimen-

sões fundamentais ou primárias, portanto ζ = 3. Estas são: a massa (M), o compri-

mento (L) e o tempo (T).

3.3.1 Número de parâmetros adimensionais

Da equação (3.22) determinam-se os parâmetros significativos que influenciam o

cálculo da pressão, para nosso problema temos 6+ 2 N variáveis então n = 6+ 2 N .

Escrevendo as dimensões dos parâmetros que formam a função da equação (3.22) ob-

temos a relação:

[p] = [pmax] = [pmin] = M

LT2, (3.25)

[t ] = T, (3.26)

[σpc ] = T

L2, (3.27)

[Φ] = [Λ] = M

L3. (3.28)

Escolhendo os parâmetros t , pmax e Φ0 = ρg ,max como o conjunto arbitrário de variá-

veis físicas que são repetitivas, então a transferência de calor e massa em reservatórios

de GN adsorvido pode ser expressa em termos de n −ζ= 3+2 N parâmetros adimen-

sionais Π:

ψ∗(Π0,Π1,Π2,Π3,Π4,1, . . . ,Π4,N−1,Π5,0, . . . ,Π5,N−1) = 0 (3.29)

61

sendo:

Π0 = ε, (3.30)

Π1 =Π1(t , pmax,ρg ,max, p), (3.31)

Π2 =Π2(t , pmax,ρg ,max, pmin), (3.32)

Π3 =Π3(t , pmax,ρg ,max,σpc ), (3.33)

Π4,n =Π4,n(t , pmax,ρg ,max,Φn), para n = 1,2, . . . , N −1 (3.34)

Π5,n =Π5,n(t , pmax,ρg ,max,Λn), para n = 0,1, . . . , N −1 (3.35)

onde ε é automaticamente incluído como um grupo Π pois esta grandeza já é adimen-

sional. Os grupos Π4,n e Π5,n representam os adimensionais associados à cada coefici-

ente Φn e Λn . Entretanto, na definição de Π4 não há sentido em calcular o parâmetro

adimensional para n = 0, pois Φ0 foi incluído como um dos parâmetros repetidos.

3.3.2 Cálculo dos grupos adimensionais

Grupo Π1

A relação funcional é expressado dimensionalmente, elevando as variáveis depen-

dentes a coeficientes. Desta forma o grupo Π1 é escrito como:

Π1 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [p] (3.36)

onde a,b, e c são expoentes a serem descobertos. Substituindo as dimensões primárias

(M0 L0 T0) em cada um dos parâmetros obtém-se:

Π1 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c (M

LT2

)= M0 L0 T0 (3.37)

Como a equação anterior deve ser dimensionalmente homogênea, o lado esquerdo da

igualdade tem que ter a mesma dimensão que o lado direito da igualdade, por tanto

62

obtemos as seguintes series de equações:

M : b + c +1 = 0, (3.38)

L : −b −3c −1 = 0, (3.39)

T : a −2b −2 = 0. (3.40)

Resolvendo simultaneamente o sistema de equações acima determinam-se os valores

dos expoentes: a = 0, b =−1 e c = 0. Substituindo estes resultados na equação (3.37)

obtemos o seguinte grupo adimensional:

Π1 = p

pmax. (3.41)

Utilizando o procedimento mostrado anteriormente, o teorema dos Pi de Buc-

kingham conduz à formação dos demais grupos adimensionais.

Grupo Π2

O grupo adimensional Π2 é obtido fazendo:

Π2 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [pmin] (3.42)

Π2 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c (M

LT2

)= M0 L0 T0 (3.43)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1 e c = 0. Substituindo estes resultados

temos:

Π2 = pmin

pmax(3.44)

63

Grupo Π3


Π3 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [σpc ] (3.45)

Π3 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c (T

L2

)= M0 L0 T0 (3.46)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = 1 e c =−1. Substituindo estes resultados


Π3 =σpc t pmax

ρg ,max. (3.47)

Grupos Π4

Os grupos adimensionais Π4,n são obtido fazendo:

Π4,n = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [Φn] (3.48)

Π4,n = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c (M

L3

)= M0 L0 T0 (3.49)

Resolvendo o sistema de equações determinam-se os valores dos expoentes: a = 0,

b = 0 e c =−1. Substituindo estes resultados obtemos:

Π4,n = Φn

ρg ,max(3.50)

onde os parâmetros produzidos da relação acima só tem sentido para n > 0.

Grupos Π5

Os grupos adimensionais Π5,n são obtidos fazendo:

Π5,n = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [Λn] (3.51)

Π5,n = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c (M

L3

)= M0 L0 T0 (3.52)

64

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0 e c = −1. Substituindo estes resulta-

dos, obtemos o seguinte grupo adimensional:

Π5,n = Λn

ρg ,max. (3.53)

Relação entre os grupos Π

Uma vez que 3+2 N gruposΠ independentes foram calculados, combinações destes

são feitas para produzir um conjunto de 3+2 N parâmetros independentes que tenham

um significado físico mais relevante para a análise do problema. Isto pode ser feito,

pois como previsto pelo teorema de Buckingham, uma combinação de grupos Π irá

produzir um grupo Π. Naturalmente alguns dos próprios parâmetros Π serão direta-

mente utilizados, pois estes já se encontram em uma forma apropriada. O primeiro

adimensional modificado é a pressão adimensional:

p∗ = Π1 −Π2

1−Π2= p −pmin

pmax −pmin(3.54)

de forma a manter p∗ entre 0 e 1. A razão de pressão é dada diretamente de um dos

grupos Π:

p∗r = Π2 = pmin

pmax(3.55)

Observando o parâmetro Π5,n nota-se que para n = 0 temos:

Π5,0 = Λ0

ρg ,max= ρl ,max

ρg ,max= ρ∗

r . (3.56)

onde ρ∗r é a razão entre as concentrações máximas nas fases adsorvida e gasosa. Desta

forma, a combinação de Π5,0 com a porosidade (Π0 = ε) produz um parâmetro com um

significado interessante:

Π0

Π5,0 + Π0= ερg ,max

ρg ,max ε + ρl ,max= ερg ,max

ρmax= M∗

g (3.57)

65

representando a fração de gás que é armazenado na fase gasosa (gás comprimido) em

relação ao total de gás armazenado no reservatório, à carga máxima. É interessante

observar também que uma combinação um pouco diferente produz outro parâmetro:

Π5,0

Π5,0 + Π0= ρl ,max

ρg ,max ε + ρl ,max= ρl ,max

ρmax= M∗

l , (3.58)

representando a fração de gás que é armazenada na fase adsorvida à carga máxima.

Todavia, M∗l e M∗

g não são independentes, uma vez que são complementares, sendo

relacionados por:

M∗g + M∗

l = 1. (3.59)

A variável σ∗pc , que pode ser interpretada como uma medida de tempo adimensio-

nal, também é definida em termos de grupos Π:

σ∗pc = Π3 (1−Π2) = σpc t (pmax −pmin)

ρg ,max(3.60)

Formas adimensionais para os coeficientes Φn e Λn também são introduzidas:

Φ∗n = Π4,n = Φn

ρg ,max, para n = 1,2, . . . , N −1, (3.61)

Λ∗n = Π5,n

Π5,0= Λn

ρl ,max, para n = 1,2, . . . , N −1, (3.62)

e finalmente, a relação de dependência definida pela equação (3.29) é re-escrita:

ψ∗(p∗, p∗r τ,M∗

g ,ρ∗r ,Φ∗

1 , . . . ,Φ∗N−1,Λ∗

1 , . . . ,Λ∗N−1) = 0 (3.63)

totalizando portanto 5+(N −1)+(N −1) = 3+2 N grupos adimensionais. Introduzindo

os coeficientes adimensionais nas Séries de Taylor para calcular as concentrações fina-

66

mente pode-se escrever:

ρ∗g = 1 +

N−1∑n=1

Φ∗n

(p∗)n (3.64)

ρ∗l = 1 +

N−1∑n=1

Λ∗n

(p∗)n (3.65)

de modo que a dependência funcional dada pela equação (3.63) possa ser finalmente

reescrita na forma:

ψ∗(p∗, p∗r σ

∗pc ,M∗

g ,ρ∗r , ρ∗

g , ρ∗l ) = 0 (3.66)

3.4 Formulação global não-isotérmica

Considerando a formulação por parâmetros concentrados para uma versão não-

isotérmica do problema analisado na seção anterior, o problema de valor inicial gover-

nante é dado pelas equações (2.129) e (2.158) e as condições iniciais:

p(0) = p0, T (0) = T0 (3.67)

onde ρg = ρg (p, T ) e ρl = ρl (p, T ), e, novamente, para processos de descarga p0 =pmax e pi n = pmin, enquanto para processos de carga p0 = pmin e pi n = pmax. Todavia,

considerando a simplificação com Ti n = T0, a equação (2.158) pode ser escrita na

forma:

(ρe ce + C+

w

) dT

dt=

(hAex

V+ h+

i nAi n

V

)(T0 − T ) + ε

dp

dt+ ısor

dρl

dt(3.68)

lembrando que ρe ce é dado em função das capacidades térmicas específicas ρb cs , ρl cl

e ρg cp g , como mostra a equação (2.52). O parâmetro C+w representa a capacidade

térmica da parede do reservatório dividido pelo volume do mesmo:

C+w = mw cw

V(3.69)

67

A solução deste problema é a evolução da pressão e temperatura médias (p e T )

com o tempo. As relações funcionais para p e T são então escritas da seguinte forma:

ψp (p, t , pmin, pmax,σpc ,ε,Φ,Λ,T0,csρb ,C+w ,cl ,cpg , isor , H) = 0 (3.70)

ψT (T , t , pmin, pmax,σpc ,ε,Φ,Λ,T0,csρb ,C+w ,cl ,cpg , isor , H) = 0 (3.71)

onde H é dado por:

H = hAex

V+ h+

i nAi n

V, (3.72)

e Φ e Λ são matrizes de coeficientes Φn,m e Λn,m para n = 0,1, . . . , N − 1 e m =0,1, . . . , M −1.

Seguindo o teorema, sabe-se que temos quatro dimensões fundamentais ou primá-

rias, portanto ζ= 4. Estas dimensões são a massa (M), o comprimento (L), o tempo (T)

e a temperatura (Θ).


Das equações (3.70) e (3.71) determinam-se os parâmetros significativos que in-

fluenciam a solução do problema em questão. Para nosso problema temos 12+2 N M

variáveis físicas mais a pressão e a temperatura (variáveis dependentes), então n =14 + 2 N M . Escrevendo as dimensões dos parâmetros que formam as funções das

equações (3.70) e (3.71) obtemos as seguintes relações:

[T ] = [T0] = Θ (3.73)

[ρb cs] = [C+w ] = M

LT2Θ(3.74)

[cl ] = [cp g ] = L2

T2Θ(3.75)

[isor ] = L2

T2(3.76)

[H ] = M

LT3Θ(3.77)

68

onde os parâmetros não incluídos já tiveram as unidades apresentadas nas equações

(3.25)-(3.28).

Escolhendo os parâmetros t , pmax, ρg ,max e T0 como o conjunto arbitrário de variá-

veis físicas que são repetitivas, então a transferência de calor e massa em reservatórios

de GN adsorvido pode ser expressa em termos de n−ζ= 10+2 M N grupos adimensi-

onais Π:

ψ∗p (Π0,Π1,Π2,Π3,Π4,0,1, . . . ,Π4,N−1,M−1,

Π5,0,0, . . . ,Π5,N−1,M−1,Π7,Π8,Π9,Π10,Π11,Π12) = 0 (3.78)

ψ∗T (Π0,Π2,Π3,Π4,0,1, . . . ,Π4,N−1,M−1,

Π5,0,0, . . . ,Π5,N−1,M−1,Π6,Π7,Π8,Π9,Π10,Π11,Π12) = 0 (3.79)

onde os seis primeiros parâmetros são similares ao modelo isotérmico:

Π0 = ε, (3.80)

Π1 =Π1(t , pmax,ρg ,max, p), (3.81)

Π2 =Π2(t , pmax,ρg ,max, pmin), (3.82)

Π3 =Π3(t , pmax,ρg ,max,σpc ), (3.83)

Π4,n,m =Π4,n,m(t , pmax,ρg ,max,Φn,m), (3.84)

Π5,n,m =Π5,n,m(t , pmax,ρg ,max,Λn,m), (3.85)

onde as duas últimas relações valem para 0 ≤ n ≤ N − 1, 0 ≤ m ≤ M − 1, exceto a

relação para Π4,m,n , que não vale para o caso com m = 0 e n = 0 ao mesmo tempo,

pois Φ0,0 = ρg ,max é um dos parâmetros repetidos. Os demais parâmetros envolvem

69

quantidades relacionadas à temperatura:

Π6 =Π6(t , pmax,ρg ,max,T0, T ) (3.86)

Π7 =Π7(t , pmax,ρg ,max,T0,ρb cs) (3.87)

Π8 =Π8(t , pmax,ρg ,max,T0,Cw,+) (3.88)

Π9 =Π9(t , pmax,ρg ,max,T0,cl ) (3.89)

Π10 =Π10(t , pmax,ρg ,max,T0,cp g ) (3.90)

Π11 =Π11(t , pmax,ρg ,max,T0, isor ) (3.91)

Π12 =Π12(t , pmax,ρg ,max,T0, H) (3.92)


Grupo Π1


Π1 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [p] (3.93)

Π1 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

M

LT2

)= M0 L0 T0Θ0 (3.94)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1, c = 0 e d = 0. Substituindo estes

resultados temos:

Π1 = p

pmax. (3.95)

Grupo Π2


Π2 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [pmin] (3.96)

Π2 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

M

LT2

)= M0 L0 T0Θ0 (3.97)

70

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1 e c = 0. Substituindo estes resultados

temos:

Π2 = pmin

pmax. (3.98)

Grupo Π3


Π3 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [σpc ] (3.99)

Π3 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

T

L2

)= M0 L0 T0Θ0 (3.100)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = 1 e c =−1. Substituindo estes resultados


Π3 =σpc t pmax

ρg ,max. (3.101)

onde σpc pode assumir qualquer valor maior que zero.

Grupos Π4

Os grupos adimensionais Π4,n,m são obtidos fazendo:

Π4,n,m = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [Φn,m] (3.102)

Π4,n,m = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c (M

L3

)(Θ)d = M0 L0 T0Θ0 (3.103)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0 e c =−1. Substituindo estes resultados

obtemos:

Π4,n,m = Φn,m

ρg ,max, (3.104)

lembrando que a relação acima não vale para m = n = 0.

71

Grupos Π5


Π5,n,m = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [Λn,n] (3.105)

Π5,n,m = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

M

L3

)= M0 L0 T0Θ0 (3.106)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0 e c = −1. Substituindo estes resulta-

dos, obtemos o seguinte grupo adimensional:

Π5,n,m = Λn,m

ρg ,max. (3.107)

Grupo Π6


Π6 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [T ] (3.108)

Π6 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d (Θ) = M0 L0 T0Θ0 (3.109)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0, c = 0 e d =−1. Substituindo estes

resultados temos:

Π6 = T

T0. (3.110)

Grupo Π7


Π7 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [ρb cs] (3.111)

Π7 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

M

LT2Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.112)

72

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = −1, c = 0 e d = 1. Substituindo estes

resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:

Π7 = T0ρb cs

pmax(3.113)

Grupo Π8


Π8 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [C+w ] (3.114)

Π8 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

M

LT2Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.115)



Π8 =T0 C+

w

pmax(3.116)

Grupo Π9


Π9 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [cl ] (3.117)

Π9 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

L2

T2Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.118)



Π9 =T0 cl ρg ,max

pmax(3.119)

73

Grupo Π10


Π10 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [cpg ] (3.120)

Π10 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

L2

T2Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.121)



Π10 =T0 cp,g ρg ,max

pmax. (3.122)

Grupo Π11


Π11 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [isor ] (3.123)

Π11 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

L2

T2

)= M0 L0 T0Θ0 (3.124)



Π11 =ρg ,max isor

pmax(3.125)

Grupo Π12


Π12 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [H ] (3.126)

Π12 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

M

LT3Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.127)

74

Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = −1, c = 0 e d = 1. Substituindo estes


Π12 = H t T0

pmax. (3.128)


Uma vez que 8+ 2 M N grupos Π independentes foram calculados, combinações

destes são feitas para produzir um conjunto de 8+ 2 M N parâmetros independentes

que tenham um significado físico mais relevante para a análise do problema. Natural-

mente alguns dos próprios parâmetros Π serão diretamente utilizados, pois estes já se

encontram em uma forma apropriada. A pressão (p∗) a e razão de pressões (p∗r ) já

foram definidas para o caso isotérmico, e são dadas diretamente pelas equações (3.54)

e (3.55). A temperatura adimensional é dada diretamente pelo parâmetro Π6:

T ∗ = Π6 = T

T0(3.129)

Observando o parâmetro Π5,n,m nota-se que para n = m = 0 temos:

Π5,0,0 =Λ0,0

ρg ,max= ρl ,max

ρg ,max= ρ∗

r . (3.130)

ρ∗r é a razão entre as concentrações máximas nas fases adsorvida e gasosa. Desta

forma, a combinação de Π5,0,0 com a porosidade (Π0 = ε) produz o parâmetro M∗g que

é a fração de gás armazenado na fase gasosa em relação ao total de gás armazenado no

reservatório:

Π0

Π5,0,0 + Π0= ερg ,max


ρmax= M∗

g (3.131)

e que uma combinação um pouco diferente produz o parâmetro M∗l que é a fração de

75

gás armazenada na fase adsorvida à carga máxima:

Π5,0,0

Π5,0,0 + Π0= ρl ,max


ρmax= M∗

l , (3.132)

A variável σ∗pc pode ser interpretada como uma medida de tempo adimensional,

também é definida em termos de grupos Π:

σ∗pc = Π3 (1−Π2) = σpc t (pmax −pmin)

ρg ,max. (3.133)

A razão de capacidades térmica entre o adsorvente e a quantidade de gás armaze-

nada é dada por:

C∗s = Π7

Π10

1

Π5,0,0 + Π0= ρb cs

cp g ρmax(3.134)

onde o denominador significa a capacidade térmica do gás natural estando este em fase

gasosa.

Outra razão de capacidades térmicas definida envolve a capacidade térmica da pa-

rede do reservatório:

C∗w,+ = Π8

Π10

1

Π5,0,0 + Π0= C+

w

cp g ρmax(3.135)

A razão de calores específicos do GN adsorvido e gasoso também é um parâmetro:

c∗l g = Π9

Π10= cl

cp g

(3.136)

O calor de adsorção adimensional é definido como:

i∗sor = Π11

Π10= isor

cp g T0(3.137)

76

e o parâmetro ω é relacionado ao aquecimento provocado pela compressão do gás:

ω = 1−Π2

Π10= pmax −pmin

cp g T0ρg ,max(3.138)

onde é possível mostrar que, para gases ideais, este parâmetro é reduzido à:

ω= R

cpg

(1− pmin

pmax

)= R

cpg

(1−p∗

r

)(3.139)

O parâmetro H∗ corresponde à forma adimensional para o coeficiente que envolve

a transferência de calor por convecção com o ambiente:

H∗ = Π12

Π10

1

Π5,0,0 + Π0= H t

cp g ρmax(3.140)

Formas adimensionais para os coeficientes Φn,m e Λn,m também são introduzidas:

Φ∗n,m = Π4,n,m = Φn,m

ρg ,max, (3.141)

Λ∗n,m = Π5,n,m

Π5,0,0= Λn,m

ρl ,max, (3.142)

que são válidas para n = 0,1, . . . , N −1, e m = 0,1, . . . , M −1, exceto o caso com m =n = 0, onde Φ∗

n,m = 1 e Λ∗n,m = 1

Finalmente, as relações de dependência dadas pelas equações (3.78) e (3.79) são

re-escritas na forma:

ψ∗p (p∗, p∗

r σ∗pc ,M∗

g ,ρ∗r ,Φ∗

0,1, . . . ,Φ∗N−1,M−1,

Λ∗0,1, . . . ,Λ∗

N−1,M−1,C∗s ,C∗

w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,H∗) = 0 (3.143)

ψ∗T (T ∗, p∗

r σ∗pc ,M∗

g ,ρ∗r ,Φ∗

0,1, . . . ,Φ∗N−1,M−1,

Λ∗0,1, . . . ,Λ∗

N−1,M−1,C∗s ,C∗

w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,H∗) = 0 (3.144)

77

totalizando portanto 12+2(M N −1) = 10+2 N M grupos adimensionais. Introduzindo

os coeficientes adimensionais nas Séries de Taylor para calcular as concentrações fina-

mente pode-se escrever:

ρ∗g =

M−1∑m=0

N−1∑n=0

Φ∗n,m

(p∗)n (

T ∗−1)m (3.145)

ρ∗l =

M−1∑m=0

N−1∑n=0

Λ∗n,m

(p∗)n (

T ∗−1)m (3.146)

comΦ∗0,0 =Λ∗

0,0 = 1, de modo que a dependência funcional dada pelas equações (3.143)

e (3.144) possa ser finalmente reescrita na forma:

ψ∗p (p∗, p∗

r σ∗pc ,M∗

g ,ρ∗r , ρ∗

g , ρ∗l ,C∗

s ,C∗w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,H∗) = 0 (3.147)

ψ∗T (T ∗, p∗

r σ∗pc ,M∗

g ,ρ∗r , ρ∗

g , ρ∗l ,C∗

s ,C∗w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,H∗) = 0 (3.148)

3.5 Formulação unidimensional não-isotérmica

Finalmente, esta seção apresenta a análise dimensional para o caso com depen-

dência espacial. A versão uni-dimensional do problema é selecionada, sendo dada

pelas equações (2.109) a (2.110) e as condições iniciais (2.111) onde, novamente, para

processos de descarga p0 = pmax e pi n = pmin, enquanto para processos de carga

p0 = pmin e pi n = pmax. As condições de contorno são dadas pelas equações (2.111),

(2.112), (2.113), e (2.114). Entretanto, para fazer a análise do problema, considerare-

mos o caso com pressão na entrada/saída especificada, ou seja:

p(ri n , t ) = pi n . (3.149)

Considerando a simplificação com Ti n = T0, a condição de contorno (2.113) pode

ser escrita na forma:

q ′′r = h+

i n(T0 −T ), para r = ri n , (3.150)

78

A solução deste problema é a evolução da distribuição de pressão e temperatura (p

e T ) com o tempo. As relações funcionais para p e T são então escritas da seguinte

forma:

ψp(p, t , pmin, pmax,σ,ε,Φ,Λ,

T0,csρb ,C′′w ,cl ,cpg , isor ,ke ,kb ,h,hi n ,r,ri n ,rex

) = 0, (3.151)

ψT(T, t , pmin, pmax,σ,ε,Φ,Λ,

T0,csρb ,C′′w ,cl ,cpg , isor ,ke ,kb ,h,hi n ,r,ri n ,rex

) = 0, (3.152)

onde Φ e Λ representam matrizes de coeficientes Φn,m e Λn,m , como descrito anteri-

ormente.

Seguindo o teorema, sabe-se que temos quatro dimensões fundamentais ou primá-

rias, portanto ζ= 4. Estas dimensões são a massa (M), o comprimento (L), o tempo (T)

e a temperatura (Θ).


Das equações (3.151) e (3.152) determinam-se os parâmetros significativos que

influenciam a solução do problema em questão. Para nosso problema temos 18+2 N M

variáveis físicas mais a pressão e a temperatura (variáveis dependentes), então n =20 + 2 N M . Escrevendo as dimensões dos parâmetros que formam as funções das

equações (3.151) e (3.152) obtemos as seguintes relações:

[σ] = L3 T

M, (3.153)

[C′′w ] = M

T2Θ, (3.154)

[r ] = [rex] = [ri n] = L, (3.155)

[kb] = [ke ] = ML

T3Θ, (3.156)

[h] = [hi n] = M

T3Θ. (3.157)

79

onde os parâmetros não incluídos já tiveram as unidades apresentadas nas equações

(3.25)-(3.28) e (3.73)-(3.77).

Escolhendo os parâmetros t , pmax, rex e T0 como o conjunto arbitrário de variáveis

físicas que são repetitivas, então a transferência de calor e massa em reservatórios de

GN adsorvido pode ser expressa em termos de n−ζ= 16+2 M N grupos adimensionais

Π:

ψ∗p (Π0,Π1,Π2,Π3,Π4,0,1, . . . ,Π4,N−1,M−1,

Π5,0,0, . . . ,Π5,N−1,M−1,Π7,Π8,Π9,Π10,Π11,Π12) = 0 (3.158)

ψ∗T (Π0,Π2,Π3,Π4,0,1, . . . ,Π4,N−1,M−1,

Π5,0,0, . . . ,Π5,N−1,M−1,Π6,Π7,Π8,Π9,Π10,Π11,Π12) = 0 (3.159)

onde os seis primeiros parâmetros são dados por:

Π0 = ε, (3.160)

Π1 =Π1(t , pmax,rex , p), (3.161)

Π2 =Π2(t , pmax,rex , pmin), (3.162)

Π3 =Π3(t , pmax,rex ,σ), (3.163)

Π4,n,m =Π4,n,m(t , pmax,rex ,Φn,m), (3.164)

Π5,n,m =Π5,n,m(t , pmax,rex ,Λn,m), (3.165)

onde as duas últimas relações valem para 0 ≤ n ≤ N −1, 0 ≤ m ≤ M −1. Os demais

80

parâmetros são dados por:

Π6 =Π6(t , pmax,rex ,T0,T ) (3.166)

Π7 =Π7(t , pmax,rex ,T0,ρb cs) (3.167)

Π8 =Π8(t , pmax,rex ,T0,C′′w ) (3.168)

Π9 =Π9(t , pmax,rex ,T0,cl ) (3.169)

Π10 =Π10(t , pmax,rex ,T0,cp g ) (3.170)

Π11 =Π11(t , pmax,rex ,T0, isor ) (3.171)

Π12 =Π12(t , pmax,rex ,T0,h), (3.172)

Π13 =Π13(t , pmax,rex ,T0,hi n), (3.173)

Π14 =Π14(t , pmax,rex ,T0,r ), (3.174)

Π15 =Π15(t , pmax,rex ,T0,ri n), (3.175)

Π16 =Π16(t , pmax,rex ,T0,kb), (3.176)

Π17 =Π17(t , pmax,rex ,T0,ke ), (3.177)

totalizando 16+2 M N parâmetros.


Grupo Π1


Π1 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [p] (3.178)

Π1 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

M

LT2

)= M0 L0 T0Θ0 (3.179)


resultados temos:

Π1 = p

pmax. (3.180)

81

Grupo Π2


Π2 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [pmin] (3.181)

Π2 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

M

LT2

)= M0 L0 T0Θ0 (3.182)


resultados temos:

Π2 = pmin

pmax. (3.183)

Grupo Π3


Π3 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [σ] (3.184)

Π3 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

TL3

M

)= M0 L0 T0Θ0 (3.185)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = 1, c = −2 e d = 0. Substituindo estes

resultados obtemos o seguinte grupo adimensional:

Π3 = σ t pmax

r 2ex

. (3.186)

Grupos Π4


Π4,n,m = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [Φn,m] (3.187)

Π4,n,m = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c(

M

L3

)(Θ)d = M0 L0 T0Θ0 (3.188)

82

Calculando os expoentes, obtemos: a = −2,b = −1, c = 2 e d = 0. Substituindo estes

resultados obtemos:

Π4,n,m = r 2exΦn,m

pmax t 2. (3.189)

Grupos Π5


Π5,n,m = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [Λn,n] (3.190)

Π5,n,m = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

M

L3

)= M0 L0 T0Θ0 (3.191)

Calculando os expoentes, obtemos: a = −2,b = −1, c = 2 e d = 0. Substituindo estes

resultados obtemos:

Π5,n,m = r 2exΛn,m

pmax t 2. (3.192)

Grupo Π6


Π6 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [T ] (3.193)

Π6 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d (Θ) = M0 L0 T0Θ0 (3.194)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0, c = 0 e d =−1. Substituindo estes

resultados temos:

Π6 = T

T0. (3.195)

83

Grupo Π7


Π7 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [ρb cs] (3.196)

Π7 = (T)a(

M

LT2

)b (M

L3

)c

(Θ)d(

M

LT2Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.197)



Π7 = T0ρb cs

pmax(3.198)

Grupo Π8


Π8 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [C′′w ] (3.199)

Π8 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

M

T2Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.200)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1, c =−1 e d = 1. Substituindo estes


Π8 =T0 C′′

w

pmax rex(3.201)

Grupo Π9


Π9 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [cl ] (3.202)

Π9 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

L2

T2Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.203)

84



Π9 = T0 cl t 2

r 2ex

(3.204)

Grupo Π10


Π10 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [cpg ] (3.205)

Π10 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

L2

T2Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.206)



Π10 =T0 cp,g t 2

r 2ex

. (3.207)

Grupo Π11


Π11 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [isor ] (3.208)

Π11 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

L2

T2

)= M0 L0 T0Θ0 (3.209)



Π11 = isor t 2

r 2ex

(3.210)

85

Grupo Π12


Π12 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [h] (3.211)

Π12 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

M

T3Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.212)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = −1, c = −1 e d = 1. Substituindo estes


Π12 = h t T0

pmax rex. (3.213)

Grupo Π13


Π13 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [hi n] (3.214)

Π13 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

M

T3Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.215)



Π13 = hi n t T0

pmax rex. (3.216)

Grupo Π14


Π14 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [r ] (3.217)

Π14 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d (L) = M0 L0 T0Θ0 (3.218)

86

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0, c = −1 e d = 0. Substituindo estes


Π14 = r

rex. (3.219)

Grupo Π15


Π15 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [ri n] (3.220)

Π15 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d (L) = M0 L0 T0Θ0 (3.221)

Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0, c = −1 e d = 0. Substituindo estes


Π15 = ri n

rex. (3.222)

Grupo Π16


Π16 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [kb] (3.223)

Π16 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

LM

T3Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.224)



Π16 = kb t T0

pmax r 2ex

. (3.225)

87

Grupo Π17


Π17 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [ke ] (3.226)

Π17 = (T)a(

M

LT2

)b

(L)c (Θ)d(

LM

T3Θ

)= M0 L0 T0Θ0 (3.227)



Π17 = ke t T0

pmax r 2ex

. (3.228)


Uma vez que 16+2 M N grupos Π independentes foram calculados, combinações

destes são feitas para produzir um conjunto de 16+2 M N parâmetros independentes

que tenham um significado físico mais relevante para a análise do problema. Natural-

mente alguns dos próprios parâmetros Π serão diretamente utilizados, pois estes já se

encontram em uma forma apropriada. A razão de pressões (p∗r ) já foi definida para

os casos anteriores e é dada diretamente pela equação (3.55). A temperatura e pressão

adimensionais são dadas por:

p∗ = Π1 −Π2

1−Π2= p −pmin

pmax −pmin(3.229)

T ∗ = Π6 = T

T0(3.230)

A razão entre Π5,0,0 e Π4,0,0 produz o parâmetro ρ∗r .

Π5,0,0

Π4,0,0= ρl ,max

ρg ,max= ρ∗

r . (3.231)

Desta forma, a combinação de Π4,0,0 e Π5,0,0 com a porosidade (Π0 = ε) produz o

88

parâmetro M∗g :

1

Π5,0,0/Π4,0,0 + Π0

= ερg ,max


ρmax= M∗

g (3.232)

e uma combinação um pouco diferente produz o parâmetro M∗l :

Π5,0,0/Π4,0,0

Π5,0,0/Π4,0,0 + Π0

= ρl ,max


ρmax= M∗

l , (3.233)

A variável σ∗ também é definida em termos de grupos Π:

σ∗ = Π3 (1−Π2)

Π0 (1−Π15)2= σ t (pmax −pmin)

ρg ,max. (3.234)

O significado dos parâmetros ρ∗r , M∗

g , M∗l e σ∗ foram explicados nas seções an-

teriores. A razão de capacidades térmica entre o adsorvente e a quantidade de gás

armazenada é dada por:

C∗s = Π7

Π10

1

Π5,0,0 + Π0Π4,0,0= ρb cs

cp g ρmax(3.235)

onde o denominador significa a capacidade térmica do gás natural estando este em fase

gasosa.

Outra razão de capacidades térmicas definida envolve a capacidade térmica da pa-

rede do reservatório:

C∗w,+ = Π8

Π10

(1−Π15)−1

Π5,0,0 + Π0Π4,0,0= C′′

w

cp g ρmax (rex − ri n)(3.236)

A razão de calores específicos do GN e o calor de adsorção adimensionais são

calculados da mesma forma que para a formulação global:

c∗l g = Π9

Π10= cl

cp g

(3.237)

i∗sor = Π11

Π10= isor

cp g T0(3.238)

89

e o parâmetro ω, relacionado ao aquecimento provocado pela compressão do gás, é

dado por:

ω = 1−Π2

Π4,0,0Π10= pmax −pmin

cp g T0ρg ,max(3.239)

Números de Biot são produzidos pelas seguintes combinações:

Bi = Π12

Π16 (1−Π15)= h (rex − ri n)

kb(3.240)

Bii n = Π13

Π16 (1−Π15)= hi n (rex − ri n)

kb(3.241)

e o Número de Fourier é dado por:

Fo = Π16

Π7 (1−Π15)2= αb t

(rex − ri n)2(3.242)

onde αb = kb/(ρb cs).

A razão de condutividades térmica k∗ é definida por:

k∗ = Π17

Π16= ke

kb(3.243)

e a razão de raios r ∗i n é dada por:

r ∗i n = Π15 = ri n

rex(3.244)

e o raio adimensional é definido da forma:

r ∗ = Π14 −Π15

1−Π15= r − ri n

rex − ri n(3.245)

de modo que o valor de r ∗ permaneça sempre entre 0 e 1.

Finalmente, as relações de dependência dadas pelas equações (3.158) e (3.159),

são re-escritas na forma:

90

ψ∗p (p∗, p∗

r ,σ∗,M∗g ,Π4,0,0, . . . ,Π∗

4,N−1,M−1,Π∗5,0,0, . . . ,Π∗

5,N−1,M−1,

C∗s ,C∗

w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,Bi,Bii n ,Fo,k∗,r ∗,r ∗i n) = 0 (3.246)

ψ∗T (T ∗, p∗

r ,σ∗,M∗g ,Π4,0,0, . . . ,Π∗

4,N−1,M−1,Π∗5,0,0, . . . ,Π∗

5,N−1,M−1,

C∗s ,C∗


totalizando portanto 16+2 N M grupos adimensionais.

Finalmente, formas adimensionais para os coeficientes Φn,m e Λn,m são introduzi-

das:

Φ∗n,m = Π4,n,m

Π4,0,0= Φn,m

ρg ,max, (3.248)

Λ∗n,m = Π5,n,m

Π5,0,0= Λn,m

ρl ,max, (3.249)

que são válidas para n = 0,1, . . . , N −1, e m = 0,1, . . . , M −1, exceto o caso com m =n = 0, onde Φ∗

n,m = 1 e Λ∗n,m = 1 de modo que as concentrações finamente podem ser

escritas como:

ρ∗g =

M−1∑m=0

N−1∑n=0

Φ∗n,m

(p∗)n (

T ∗)m (3.250)

ρ∗l =

M−1∑m=0

N−1∑n=0

Λ∗n,m

(p∗)n (

T ∗)m (3.251)

comΦ∗0,0 =Λ∗

0,0 = 1, de modo que a dependência funcional dada pelas equações (3.246)

e (3.247) possa ser finalmente reescrita na forma:

ψ∗p (p∗, p∗

r σ∗,M∗

g ,Π4,0,0,Π5,0,0, ρ∗g , ρ∗

l ,

C∗s ,C∗


91

ψ∗T (T ∗, p∗

r σ∗,M∗

g ,Π4,0,0,Π5,0,0, ρ∗g , ρ∗

l ,

C∗s ,C∗


92

Capítulo 4

Formulações normalizadas

Este capítulo tem o objetivo de estudar os parâmetros adimensionais visando ava-

liar o papel das distribuições espaciais no coeficiente de rendimento para diferentes

valores dos parâmetros adimensionais.

4.1 Parâmetros Adimensionais

O capítulo anterior introduziu diversos parâmetros adimensionais ligados ao pro-

blema de GNA. Neste capítulo, utilizaremos os parâmetros anteriores para adimensio-

nalizar as equações. Todavia, parâmetros auxiliares serão também definidos a fim de

facilitar o desenvolvimento.

Para os parâmetros que dependem do tempo, ao invés de trabalhar com parâmetros

variáveis, utilizamos o tempo de processo t f para redefinir os parâmetros Fo e σ∗:

Fo = αb t f

(rex − ri n)2(4.1)

σ∗ = σ

ε

∆p t f

(rex − ri n)2(4.2)

Um número de Biot modificado, definido em termos de h+i n é introduzido, seguindo

93

a mesma forma de Bii n

Bi+i n = h+i n (rex − ri n)

kb(4.3)

Definem-se também, coeficientes de transferência de calor adimensionais, similar

ao parâmetro H∗ introduzidos em [51]:

H∗ex = hAex t f

cpg Vρmax, (4.4)

H∗i n = h+

i n Ai n t f

cpg Vρmax. (4.5)

Pode-se mostrar que estes são relacionados aos parâmetros anteriores através de:

H∗ex = BiFoC∗

s K∗ex , (4.6)

H∗i n = Bi+i n FoC∗

s K∗i n , (4.7)

onde os parâmetros K∗ex e K∗

i n são razões geométricas, dadas por:

K∗ex = Aex(rex − ri n)

V, (4.8)

K∗i n = Ai n(rex − ri n)

V. (4.9)

4.2 Variáveis adimensionais

As variáveis dependentes e independentes associados ao problema são normaliza-

das introduzindo as seguintes formas adimensionais,

• Massa específica da fase gasosa:

ρ∗g = ρg

ρg ,max(4.10)

onde ρg ,max são os valores da massa específica da fase gasosa no final da carga

(ou início da descarga).

94

• Massa específica da fase adsorvida:

ρ∗l = ρl

ρl ,max(4.11)

onde ρl ,max é a massa específica máxima da fase adsorvida obtidas no fim da

carga (ou início da descarga).

• Pressão

p∗ = p −pmin

pmax −pmin= p −pmin

∆p(4.12)

lembrando que pmin = p0 é a pressão mínima da fase gasosa no início da carga

e no final da descarga medida à T0 e pmax é a pressão máxima da fase gasosa no

final da carga e, no início da descarga, medida à T0.

• Tempo

t∗ = t

t f(4.13)

onde t f , como discutido anteriormente, é o tempo de carga ou descarga para que

a pressão atinja o valor máximo (ou mínimo), isto é, p(t f ) = pmax para a carga

e p(t f ) = pmin para descarga. A definição de t∗ se faz necessária uma vez que

grupos adimensionais que dependem de t foram escritos em função de t f .

• Temperatura

T ∗ = T

T0(4.14)

onde T0 é o valor da temperatura no início do processo de carga ou descarga.

95

4.3 Outras quantidades adimensionais

Usando o comprimento de difusão (rex − ri n) para normalizar as coordenadas es-

paciais, o operador nabla adimensional é definido como:

∇∗ = (rex − ri n)∇ (4.15)

Com a adimensionalização adotada, os vetores fluxo de massa adimensionais são

definidos por:

j∗g =j ′′g t f

ρmax(rex − ri n), j∗l = j ′′l t f

ρmax(rex − ri n), (4.16)

o que implica em

ρ∗g v∗

g = ρg v g t f

ρmax(rex − ri n), ρ∗

l v∗l = ρl v l t f

ρmax(rex − ri n). (4.17)

Seguindo a mesmo forma, a vazão de entrada que aparece na formulação global,

na forma adimensional é dada por:

m∗i n = mi n t f

ρmaxV, (4.18)

e o fluxo de massa adimensional na entrada do reservatório é definido por:

j∗i n = m′′i n t f

ρmax(rex − ri n), (4.19)

de onde pode-se verificar que existe uma relação entre as últimas duas grandezas adi-

mensionais:

m∗i n = K∗

i n j∗i n . (4.20)

96

Com a definição de j∗i n pode-se relacionar Bii n com Bi+i n fazendo:

Bi+i n = Bii n +cp g m′′

i n (rex − ri n)

kb= Bii n + j∗i n

C∗s Fo

(4.21)

Utilizando a relação entre o fluxo de massa na fase gasosa e o gradiente de pressão,

chega-se também a seguinte relação entre estas grandezas na forma adimensional:

j∗g = − ρg σ∇p t f

ρmax(rex − ri n)= −M∗

g ρ∗g σ

∗∇∗p∗ (4.22)

De maneira similar, o fluxo de calor adimensional é relacionado com o gradiente de

temperatura adimensional através de:

q∗ = −k∗e ∇∗T ∗ (4.23)

Finalmente, uma quantidade de interesse é a massa armazenada adimensional, de-

finida como a razão entre a massa contida no reservatório em um dado instante, e o

máximo possível:

m∗ = m

mmax, (4.24)

onde mmax corresponde a massa armazenada para um processo isotérmico, ou seja:

mmax = (ερg ,max + ρl ,max)V, (4.25)

de modo que m∗ pode ser calculado por:

m∗ = M∗g ρ

∗g + M∗

l ρ∗l (4.26)

97

4.4 Formulações adimensionais

4.4.1 Formulação local

Introduzindo as variáveis dependentes e independentes na equação (2.30) e rearru-

mando teremos,

ερg ,max

ρmax

∂ρ∗g

∂t∗+ ρl ,max

ρmax

∂ρ∗l

∂t∗+∇∗· j∗g +∇∗· j∗l = 0 (4.27)

pode-se escrever também,

ερg ,max

ρmax

∂ρ∗g

∂t∗+ ρl ,max

ρmax

∂ρ∗l

∂t∗+ ∇∗· j∗ = 0 (4.28)

Introduzindo as variáveis dependentes e independentes na equação (2.56) e rearru-

mando teremos,

ρe ce

cpgρmax

∂T ∗

∂t∗+ ( j∗g +

cl

cpg

j∗l )·(∇∗T ∗) = csρb

ρmax cpg

kb t f

L2 cb ρb∇∗·(k∗∇∗T ∗)+

+ ρl ,max

ρmax

isor

T0 cpg

∂ρ∗l

∂t∗+ ε

∆p

ρg ,maxcpg T0

ρg ,max

ρmax

∂p∗

∂t∗(4.29)

e pode-se escrever também,

ρe ce

cpgρmax

∂T ∗

∂t∗+ ( j∗g +

cl

cpg

j∗l )·(∇∗T ∗) = csρb

ρmax cpg

kb t f

L2 cbρb∇∗·(k∗∇∗T ∗)+

+ ρl ,max

ρmax

isor

T0cpg

g ′′′sor +ε

∆p

ρg ,maxcpg T0

ρg ,max

ρmax

∂p∗

∂t∗(4.30)

Substituindo os parâmetros adimensionais, chega-se a forma adimensional para as

equações de transporte,

M∗g

∂ρ∗g

∂t∗+ M∗

l

∂ρ∗l

∂t∗+ ∇∗· j∗g +∇∗· j∗l = 0 (4.31)

C∗e∂T ∗

∂t∗+ ( j∗g + c∗l g j∗l )·(∇∗T ∗) = C∗

s Fo∇∗·q∗+M∗l i∗sor g∗

sor +M∗g ω

∂p∗

∂t∗(4.32)

98

onde,

C∗e = ρe ce

cpgρmax= M∗

gρ∗g + c∗l g M∗

l ρ∗l +C∗

s (4.33)

g∗sor =

∂ρ∗l

∂t∗+∇∗· j∗l (4.34)

Finalmente, fazendo a consideração que não há difusão na fase adsorvida, a versão

normalizada das equações de transporte para a formulação multidimensional é obtida:

M∗g

∂ρ∗g

∂t∗+ M∗

l

∂ρ∗l

∂t∗= −∇∗· j∗g (4.35)

(M∗g ρ

∗g + c∗l g M∗

l ρ∗l +C∗

s )∂T ∗

∂t∗+ j∗g ·(∇∗T ∗) =

= −FoC∗s ∇∗·q∗+M∗

l i∗sor

∂ρ∗l

∂t∗+M∗

gω∂p∗

∂t∗(4.36)

4.4.2 Condições de contorno e iniciais

Para o fluxo de massa desprezível na fase adsorvida, as condições de contorno na

superfície externa são simplificadas para

j∗·n = 0, para r ∈ Se , (4.37)

q∗·n = −k∗ (∇∗T ∗)·n = Bi(T ∗−1)+ C∗w

C∗s

1

Fo

∂T ∗

∂t∗, para r ∈ Se . (4.38)

Na entrada do cilindro as seguintes condições aplicam-se:

γp∗− (1−γ) j∗g ·n = γp∗i n + (1−γ) j∗i n , para r ∈ Si (4.39)

q∗·n = −k∗ (∇∗T ∗)·n = Bi+i n (T ∗−1), para r ∈ Si , (4.40)

A equação (4.39) é uma forma generalizada para a condição da conservação de massa

na entrada em que γ = 1 deve ser usada quando a pressão de entrada é conhecida e

γ= 0 quando a taxa de fluxo na entrada é conhecida.

99

As condições iniciais do problema são dadas em termos da pressão e da tempera-

tura,

p∗(t∗ = 0) = p∗0 , T ∗(t∗ = 0) = 1, (4.41)

com p∗0 = 0 para a carga e p∗

0 = 1 para a descarga.

4.4.3 Formulação global

Partindo das equações dimensionais (2.129) e (2.158), substituem-se as variáveis

adimensionais:

ε∆ρg

t f

dρ∗g

dt∗+ ∆ρl

t f

dρ∗l

dt∗= mg

V(4.42)

(ερg ,max cp gρ

∗g +ρl ,max clρ

∗l +ρb cs + mw cw

V

) T0

t f

dT ∗

dt∗=

= −h T0(T ∗−1)Aex

V−h+

i n T0(T ∗−1)Ai n

V+ ε

∆p

t f

dp∗

dt∗+ ısor

ρl ,max

t f

dρ∗l

dt∗(4.43)

onde Ti n/T0 = 1. Rearrumam-se os resultados anteriores na forma adimensional:

ερg ,maxV

mmax

dρ∗g

dt∗+ ρl ,maxV

mmax

dρ∗l

dt∗= mg t f

mmax(4.44)

(ερg ,max cpgρ

∗g + ρl ,max clρ

∗l + ρbcs + mw cw

V

) V

cpg mmax

dT ∗

dt∗=

= − hAex t f

cpg mmax(T ∗−1) − h+

i n Ai n t f

cpg mmax(T ∗−1)+

+ ∆p

ρg ,maxcpg T0

ερg ,maxV

mmax

dp∗

dt∗+ ısor

T0cpg

ρl ,maxV

mmax

dρ∗l

dt∗(4.45)

100

Finalmente, substituindo os parâmetros adimensionais, chega-se à forma adimensional

para as equações de transporte:

M∗g

dρ∗g

dt∗+ M∗

l

dρ∗l

dt∗= m∗

g (4.46)

(M∗gρ

∗g + c∗l g M∗

l ρ∗l +C∗)

dT ∗

dt∗= −H∗ (T ∗−1) + M∗

g ωdp∗

dt∗+M∗

l i∗sor

dρ∗l

dt∗(4.47)

onde C∗ representa as contribuições adicionadas das capacidades térmicas:

C∗ = C∗s + K∗

ex C∗w . (4.48)

e H∗ corresponde às contribuições de H∗ex e H∗

i n:

H∗ = H∗ex +H∗

i n . (4.49)

Os termos no lado direito da equação (4.47) representam uma competição entre di-

ferentes efeitos: transferência térmica do ambiente, aquecimento/resfriamento à com-

pressão e aquecimento/resfriamento devido à adsorção. A combinação destes parâme-

tros conduzirá a uma variação da temperatura, que pode ser diminuído ou aumentado

de acordo com a avaliação da relação da capacidade térmica.

4.4.4 Considerações finais

Observando o resultado da formulação normalizada, pode-se perceber claramente

que a introdução de grupos adimensionais fisicamente significativos facilita a análise.

É importante salientar que algumas formulações consideram efeitos adicionais, tais

como resistência da difusão de massa da intra-partícula ou difusão com a fase fixa (di-

fusão de superfície). Não obstante, isto não levanta nenhum obstáculo à análise e à

metodologia apresentada da normalização; quando os efeitos adicionais são introduzi-

dos na formulação, outros grupos adimensionais aparecem naturalmente.

101

4.5 Formulação unidimensional sem difusão na fase adsorvida

Como o principal objetivo deste trabalho foi de modelar o problema de gás natu-

ral adsorvido e desenvolver um conjunto de parâmetros adimensionais relevantes para

o problema, as simulações numéricas realizadas serão baseadas em um modelo ma-

temático simplificado, considerando-se apenas a dependência na coordenada radial,

e assumindo que os efeitos de difusão de massa na fase adsorvida são desprezíveis

(como feito em todos os estudos encontrados na literatura). Tais simplificações levam

à seguinte formulação matemática para o problema:

M∗g

∂ρ∗g

∂t∗+ M∗

l

∂ρ∗l

∂t∗= − 1

r ∗+ r ∗i n

∂

∂r ∗ ((r ∗+ r ∗i n) j∗g ,r ) (4.50)

(M∗

gρ∗g + c∗l g M∗

l ρ∗l +C∗

s

) ∂T ∗

∂t∗+ ( j∗g ,r )

∂T ∗

∂r ∗ =

=−FoC∗s

1

r ∗+ r ∗i n

∂

∂r ∗((r ∗+ r ∗

i n) q∗r

) + M∗l i∗sor

∂ρ∗l

∂t∗+ M∗

gω∂p∗

∂t∗(4.51)

para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, onde os componentes dos fluxos de massa e calor na direção radial são

dados por:

j∗g ,r =−M∗gρ

∗gσ

∗∂p∗

∂r ∗ (4.52)

q∗r =−k∗

e∂T ∗

∂r ∗ (4.53)

e r ∗ e r ∗i n são definidos como

r ∗ = r − ri n

rex − ri n, r ∗

i n = ri n

rex − ri n. (4.54)

As condições de contorno são dadas por:

j∗g ,r = 0, (4.55)

−k∗e∂T ∗

∂r ∗ = Bi(T ∗−1)+ C∗w

C∗s

1

Fo

∂T ∗

∂t∗, (4.56)

102

para r ∗ = 1, e

γp∗+ (1−γ) j∗g ,r = γp∗i n + (1−γ) j∗i n , (4.57)

k∗e∂T ∗

∂r ∗ = Bi+i n(T ∗−1), (4.58)

para r ∗ = 0, onde γ = 1 para processos com a pressão de entrada/saída especificada

e γ = 0 para processos onde a vazão é especificada. Para processos onde a vazão

é especificada, naturalmente, j∗i n < 0 corresponde a processos de descarga j∗i n > 0 a

processos de carga.

Para a formulação apenas em r -t os parâmetros K∗ex e K∗

i n são dados por:

K∗ex = 2rex

rex + ri n, (4.59)

K∗i n = 2ri n

rex + ri n, (4.60)

e, naturalmente K∗ex +K∗

i n = 2. Ainda, pode-se mostrar que r ∗i n pode ser calculado por:

r ∗i n = K∗

i n

2(1−K∗i n)

. (4.61)

Nos estudos de Mota et al. [36] e Hirata et al. [49], o processo de carga lenta com

vazão constante é simulado com uma formulação similar à acima disposta. Todavia a

simplificação que considera uma condição isolada de saída (Bi+i n = 0) é utilizada, e a

pressão é tratada como sendo espacialmente uniforme.

4.6 Simplificação das equações para GNC

4.6.1 Formulação global para GNC

Para gás natural comprimido (GNC), ε= 1, e os parâmetros adimensionais abaixo

são simplificados,

M∗g = 1, M∗

l = 0, C∗s = 0 (4.62)

103

Com as simplificações acima, as equações de transporte (4.46) e (4.47) adimensio-

nalizadas são reduzidas a,

dρ∗g

dt= m∗

g (4.63)

(ρ∗g +K∗

ex C∗w )

dT ∗

dt∗= −H∗ (T ∗−1) + ω

dp∗

dt∗(4.64)

4.6.2 Formulação local para GNC

Para GNC ε= 1, e os parâmetros adimensionais abaixo são simplificados,

M∗g = 1, M∗

l = 0, C∗s = 0 (4.65)

Com as simplificações acima, as equações de transporte (4.31) e (4.32) adimensiona-

lizadas são reduzidas a,

∂ρ∗g

∂t+ ∇∗· j∗g = 0 (4.66)

ρ∗g∂T ∗

∂t∗+ j∗g ·(∇∗T ∗) =−Fog ∇∗·q∗ + ω

∂p∗

∂t∗(4.67)

onde Fog é o número de Fourier para o metano puro, definido por:

Fog = kg t f

ρg ,max cp g (rex − ri n)2(4.68)

4.7 Avaliação de desempenho

Usando as variáveis normalizadas, o CR é escrito como,

CR = ∆m∗real

∆m∗max

(4.69)

104

onde as quantidades acima podem ser escritas em termos da massa armazenada adi-

mensional:

∆m∗real = m∗(p∗,T ∗)|t∗=1 −m∗(p∗,T ∗)|t∗=0, (4.70)

∆m∗max = m∗(p∗

T ,1)|t∗=1 −m∗(p∗T ,1)|t∗=0. (4.71)

Verifica-se então que o CR pode ser escrito em termos de,

CR = m∗(p∗,T ∗)|t∗=1 −m∗(p∗,T ∗)|t∗=0

m∗(p∗T ,1)|t∗=1 −m∗(p∗

T ,1)|t∗=0(4.72)

onde p∗T corresponde à variação da pressão para um processo isotérmico (ou seja, com

T ∗ = 1).

Sabemos que a relação (V /V ) pode ser escrita da seguinte forma,

(V /V ) = mmin + CR∆mmax

m0= mmin/∆mmax + CR

m0/∆mmax(4.73)

Definindo,

m∗min ≡ mmin

∆mmax(4.74)

m∗0 ≡ m0

∆mmax(4.75)

Chega-se a,

(V /V ) = m∗min +CR

m∗0

(4.76)

105

Capítulo 5

Solução numérica

Após a apresentação da formulação multi-dimensional normalizada (Capítulo 4)

utilizando os parâmetros adimensionais produzidos pela análise dimensional (Capítulo

3) resultados de simulações numéricas serão apresentados a fim de mostrar o efeito dos

grupos adimensionais sobre processos de carga e descarga de gás adsorvido. A análise

é feita considerando um reservatório cilíndrico longo com um difusor no centro, de

modo que processos de carga e descarga possam ser tratados de forma uni-dimensional.

Além disto, a difusão na fase adsorvida também é desprezada, como é feito em todos

os estudos encontrados na literatura. Com estas considerações o problema resultante

terá os campos de temperatura e pressão dependentes da coordenada radial e do tempo

como variáveis independentes, sendo dado pelas equações governantes (4.50) e (4.51)

e as condições de contorno (4.55), (4.56), (4.57) e (4.58).

5.1 Forma conservativa em termos de temperatura e pressão

A fim de resolver computacionalmente o modelo proposto, as equações são escritas

em termos das variáveis dependentes pressão e temperaturas adimensionais. Isto é

feito, naturalmente, escrevendo a massa específica adimensional ρ∗ em termos de p∗

106

e T ∗:

ρ∗ = ρ∗(p∗,T ∗) (5.1)

dρ∗ = ∂ρ∗

∂p∗ dp∗+ ∂ρ∗

∂T ∗ dT ∗ (5.2)

aplicada a ρ∗g

dρ∗g =

∂ρ∗g

∂p∗ dp∗ +∂ρ∗

g

∂T ∗ dT ∗ (5.3)

aplicada a ρ∗l

dρ∗l = ∂ρ∗

l

∂p∗ dp∗ + ∂ρ∗l

∂T ∗ dT ∗ (5.4)

Além disto, para aplicar a discretização por volumes finitos, as equações necessi-

tam ser escritas na forma conservativa. A equação de conservação de massa já está na

forma conservativa. A equação de energia pode ser escrita na forma conservativa como

mostrado abaixo:

C∗e∂T ∗

∂t∗+ ∇∗·( j∗g T ∗) = −Fo+∇∗·q∗ + M∗

l i∗sor

∂ρ∗l

∂t∗+ M∗

g ω∂p∗

∂t∗+ T ∗ ∂m∗

∂t∗(5.5)

onde C∗e é dado pela equação (4.33) e Fo+ é dado por:

Fo+ = FoC∗s (5.6)

O termo m∗ representa a concentração adimensional de metano em um ponto, cal-

culada diretamente da equação de conservação da massa:

∂m∗

∂t∗= M∗

g

∂ρ∗g

∂t∗+ M∗

l

∂ρ∗l

∂t∗= −∇∗· j∗g (5.7)

Em seguida, a equação de conservação de massa é reescrita em termos da tempe-

107

ratura e da pressão como segue,

γ1∂p∗

∂t∗+γ2

∂T ∗

∂t∗=−∇∗· j∗g (5.8)

e de forma similar escrevemos a equação da energia:

γ3∂p∗

∂t∗+γ4

∂T ∗

∂t∗=−Fo+∇∗·q∗−∇∗·( j∗g T ∗) (5.9)

onde os coeficientes γ são definidos por,

γ1 = M∗g

∂ρ∗g

∂p∗ +M∗l

∂ρ∗l

∂p∗ (5.10)

γ2 = M∗g

∂ρ∗g

∂T ∗ +M∗l

∂ρ∗l

∂T ∗ (5.11)

γ3 = M∗gω−M∗

l

∂ρ∗l

∂p∗ i∗sor −T ∗∂m∗

∂p∗ (5.12)

γ4 = C∗e −M∗

l

∂ρ∗l

∂T ∗ i∗sor −T ∗∂m∗

∂T ∗ (5.13)

Para o cálculo destes coeficientes é necessário calcular ρ∗g e ρ∗

l , assim como suas

derivadas, em função de T ∗ e p∗. A seção a seguir apresenta tal desenvolvimento.

5.1.1 Cálculo das derivadas de concentração adimensionais

Partindo da equação de estado dos gases ideais temos que,

ρg = p

R T(5.14)

e utilizando as definições das variáveis adimensionais:

ρ∗g = 1

T ∗

(p∗ ∆p

R T0ρg ,max+ pmi n

R T0ρg ,max

)= 1

T ∗

(p∗ ρg ,max −ρg ,min

ρg ,max+ ρg ,min

ρg ,max

)(5.15)

108

Desta forma, as derivadas de ρ∗g em relação à p∗ e T ∗ são calculadas, fornecendo:

∂ρ∗g

∂p∗ = 1

T ∗ρg ,max −ρg ,min

ρg ,max(5.16)

∂ρ∗g

∂T ∗ = − 1

T ∗2

(p∗ ∆p

R T0ρg ,max+ pmi n

R T0ρg ,max

)= −

ρ∗g

T ∗ (5.17)

Para o cálculo dos coeficientes da fase adsorvida utiliza-se a isoterma de Langmuir,

definida pela equação (2.163). Desta forma, em termos das variáveis adimensionais

tem-se:

q = ρl ,maxρ∗l

ρb= qm b P

1+b P(5.18)

onde os coeficientes qm e b são obtidos das relações (2.165) e (2.164), de modo

que suas derivadas dimensionais de q em relação à p e T são facilmente calculadas,

gerando:

∂q

∂p= qm b

(1+b p)2(5.19)

∂q

∂T=

p(

dqmdT (1+b p)+qm

dbdT

)(1+b p)2

(5.20)

Finalmente, as derivadas na forma adimensional são calculadas:

∂ρ∗l

∂p∗ = ρb∆p

ρl ,max

qm b

(1+b p)2(5.21)

∂ρ∗l

∂T ∗ = ρb T0

ρl ,max

p(

dqmdT (1+b p)+qm

dbdT

)(1+b p)2

(5.22)

5.2 Integração das equações

A metodologia numérica adotada aqui é a dos volumes finitos. É prática dos vo-

lumes finitos obter a aproximação numérica da equação diferencial a partir de sua

integração no volume de controle elementar conforme apresentado na figura 5.1. A

equação de conservação de massa e a equação de energia serão discretizadas utilizando

109

uma malha uniforme em coordenadas cilíndricas.

Fig. 5.1: Volume de controle elementar e seus vizinhos.

Antes de integrar as equações, adota-se a seguinte simplificação de notação. Como

todo o movimento de metano se dá pela advecção na fase gasosa, j∗ = j∗g . Desta forma,

daqui em diante será adotada esta relação. Integrando as equações (5.8) e (5.9) no

volume finito Vp com uma superfície vizinha ∆Sp e usando o teorema da divergência

temos,

∫∆VP

(γ1∂p∗

∂t∗+ γ2

∂T ∗

∂t∗

)dV = −

∫∆SP

j∗·n dA (5.23)∫∆VP

(γ3∂p∗

∂t∗+ γ4

∂T ∗

∂t∗

)dV = −Fo+

∫∆SP

q∗·n dA −∫∆SP

( j∗ T ∗)·n dA (5.24)

Para a formulação r -t , o volume finito e sua superfície de contorno são dados por,

∆VP = π (r ∗n

2 − r ∗s

2)L = 2πr ∗P ∆r ∗ L (5.25)

∆SP = ∆An +∆As (5.26)

no qual

∆An = 2πr ∗n L, ∆As = 2πr ∗

s L (5.27)

onde L é o comprimento adimensional do reservatório (no sentido de z). As coorde-

nadas tradicionais dos volumes finitos são empregadas, com o P que é o centro do

volume, o n a face (superior) norte e o s a face (mais baixa) sul. Uma malha uniforme

110

é considerada tal que,

∆r ∗ = 2(r ∗n − r ∗

P ) = 2(r ∗P − r ∗

s ) (5.28)

5.2.1 Aproximação das integrais

Aproximando as integrais utilizando aproximações de segunda ordem temos,

∫VP

f dV ≈ ( f )P ∆VP (5.29)∫SP

f dA ≈ ( f )n∆An + ( f )s∆As (5.30)

tais que os termos nas equações fornecem:

∫Ve

(γ3∂p∗

∂t∗+ γ4

∂T ∗

∂t∗

)dV ≈

(γ3∂p∗

∂t∗+ γ4

∂T ∗

∂t∗

)P

2πr ∗P ∆r ∗ L (5.31)∫

Ve

(γ1∂p∗

∂t∗+ γ2

∂T ∗

∂t∗

)dV ≈

(γ1∂p∗

∂t∗+ γ2

∂T ∗

∂t∗

)P

2πr ∗P ∆r ∗ L (5.32)∫

Se

q∗·n dA ≈ (q∗)n 2πr ∗n L − (q∗)s 2πr ∗

s L (5.33)∫Se

j∗·n dA ≈ ( j∗)n 2πr ∗n L − ( j∗)s 2πr ∗

s L (5.34)∫Se

T ∗ j∗·n dA ≈ ( j∗ T )n 2πr ∗n L − ( j∗ T )s 2πr ∗

s L (5.35)

Substituindo nas equações (5.23) e (5.24):

(γ3∂p∗

∂t∗+ γ4

∂T ∗

∂t∗

)P

2πr ∗P ∆r ∗ L = −( j∗)n 2πr ∗

n L + ( j∗)s 2πr ∗s L (5.36)

(γ1∂p∗

∂t∗+ γ2

∂T ∗

∂t∗

)P

2πr ∗P ∆r ∗ L = −Fo+ (q∗)n 2πr ∗

n L+

+ Fo+ (q∗)s 2πr ∗s L− ( j∗ T ∗)n 2πr ∗

n L + ( j∗ T ∗)s 2πr ∗s L (5.37)

111

e simplificando temos,

(γ3∂p∗

∂t∗+ γ4

∂T ∗

∂t∗

)P= − (r ∗ j∗)n − (r ∗ j∗)s

r ∗P ∆r ∗(

γ1∂p∗

∂t∗+ γ2

∂T ∗

∂t∗

)P= −Fo+ (r ∗q∗)n − (r ∗q∗)s

r ∗P ∆r ∗ −

− (r ∗ j∗ T ∗)n − (r ∗ j∗ T ∗)s

r ∗P ∆r ∗ (5.38)

Os fluxos de calor e massa (normais às faces do volume finito) são dados por:

q∗n = −

(k∗ ∂T ∗

∂r ∗

)n

q∗s = −

(k∗ ∂T ∗

∂r ∗

)s

(5.39)

j∗n = −M∗g

(ρ∗

g σ∗ ∂p∗

∂r ∗

)n

j∗s = −M∗g

(ρ∗

g σ∗ ∂p∗

∂r ∗

)s

(5.40)

5.3 Regras de interpolação

Usando diferenças finitas centradas de segunda ordem as derivadas espaciais nas

faces da célula são aproximadas por:

(∂ f

∂r ∗

)n≈ fN − fP

∆r ∗ ,

(∂ f

∂r ∗

)s≈ fP − fS

∆r ∗ , (5.41)

onde f é uma quantidade arbitrária.

Uma quantidade avaliada na face da célula é dada nos termos dos centros de célula:

fn ≈ fN + fP

2, fs ≈ fP + fS

2. (5.42)

Outras regras da interpolação são igualmente necessárias para as condições de con-

torno:

fP = ( fn + fs)/2 (5.43)

fn = 2 fP − fs = 2 fP − ( fS + fP )/2 = 3

2fP − 1

2fS (5.44)

fs = 2 fP − fn = fP − ( fN + fP )/2 = 3

2fP − 1

2fN (5.45)

112

5.3.1 Condições de contorno

As condições de contorno em coordenadas do volume finito para a superfície exte-

rior (r ∗ = 1) são dadas por,

j∗n = 0, q∗n = Bi(T ∗

n −1) + C∗w

C∗s Fo

∂T ∗n

∂t∗, (5.46)

que implica,

(∂p∗

∂r ∗

)n= 0 → p∗

N ≈ p∗P → p∗

n ≈ p∗P (5.47)

e, na superfície da entrada (r ∗ = 0):

γp∗s + (1−γ) j∗s = γp∗

i n + (1−γ) j∗i n , (5.48)

q∗s = Bi+i n (1−T ∗

s ), (5.49)

onde a equação (5.48) se reduz à forma abaixo para vazão especificada

j∗s = j∗i n , (5.50)

ou à seguinte forma para pressão especificada na entrada:

p∗s = p∗

i n (5.51)

5.4 Algoritmo computacional

A fim de construir uma implementação computacional da solução pelo método dos

volumes finitos, estabelecendo as relações, associando as coordenadas do volume finito

com uma variável computacional discreta i , tem-se:

P → i , N → i +1, S → i −1, (5.52)

113

e as equações discretizadas são escritas da seguinte forma geral,

(γ3∂p∗

∂t∗+ γ4

∂T ∗

∂t∗

)i= F m

i (t∗) (5.53)(γ1∂p∗

∂t∗+ γ2

∂T ∗

∂t∗

)i= F h

i (t∗) (5.54)

onde as funções de F carregam toda a informação da discretização. Estas são dadas

por:

F mi (t∗) = − (r ∗ j∗)n − (r ∗ j∗)s

r ∗P ∆r ∗ (5.55)

F hi (t∗) = −Fo+ (r ∗q∗)n − (r ∗q∗)s

r ∗P ∆r ∗ − (r ∗ j∗ T ∗)n − (r ∗ j∗ T ∗)s

r ∗P ∆r ∗ (5.56)

no qual r ∗P = r ∗

i = r ∗i n + (i −1/2)∆r ∗ e os fluxos (assim como T ∗ e p∗) nas faces da

célula podem assumir valores diferentes de acordo com a posição da célula, como é

dado abaixo:

• Superfície de entrada (i = 1), vazão prescrita:

q∗n = −k∗

n

T ∗i+1 −T ∗

i

∆r ∗ , q∗s = (Bi+i n)s (1−T ∗

s ), (5.57)

j∗n = −M∗g (ρ∗

g )nσ∗n

p∗i+1 −p∗

i

∆r ∗ , (5.58)

T ∗s = 1

2

(3T ∗

i −T ∗i+1

), j∗s = j∗i n , (5.59)

• Superfície de entrada (i = 1), pressão prescrita:

q∗n = −k∗

n

T ∗i+1 −T ∗

i

∆r ∗ , q∗s = (Bi+i n)s (1−T ∗

s ), (5.60)

j∗n = −M∗g (ρ∗

g )nσ∗n

p∗i+1 −p∗

i

∆r ∗ , (5.61)

j∗s = −M∗g (ρ∗

g )sσ∗s

p∗i −p∗

s

2∆r ∗ , (5.62)

T ∗s = 1

2

(3T ∗

i −T ∗i+1

), p∗

s = p∗i n , (5.63)

114

• Células internas (1 < i < I ):

q∗n = −k∗

n

T ∗i+1 −T ∗

i

∆r ∗ , q∗s = −k∗

s

T ∗i −T ∗

i−1

∆r ∗ , (5.64)

j∗n = −M∗g (ρ∗

g )nσ∗n

p∗i+1 −p∗

i

∆r ∗ , (5.65)

j∗s = −M∗g (ρ∗

g )sσ∗s

p∗i −p∗

i−1

∆r ∗ . (5.66)

• Superfície exterior (i = I ):

q∗n = Bi(T ∗

n −1) + C∗w

FoC∗s

∂T ∗n

∂t∗, q∗

s = −k∗s

T ∗i −T ∗

i−1

∆r ∗ , (5.67)

j∗n = 0, j∗s = −M∗g (ρ∗

g )sσ∗s

p∗i −p∗

i−1

∆r ∗ , (5.68)

T ∗n = 1

2

(3T ∗

i −T ∗i+1

), p∗

n = p∗i (5.69)

A fim de avaliar outras quantidades nas faces da célula (ρ∗g , σ∗ e k∗), dois tipos de

aproximações poderiam ser usados de 1a e 2a ordem respectivamente:

k∗s ≈ k∗(p∗

i−1/2,T ∗i−1/2) ou k∗

s ≈ 1

2

(k∗(p∗

i−1,T ∗i−1)+k∗(p∗

i ,T ∗i )

)(5.70)

k∗n ≈ k∗(p∗

i+1/2,T ∗i+1/2) ou k∗

n ≈ 1

2

(k∗(p∗

i+1,T ∗i+1)+k∗(p∗

i ,T ∗i )

)(5.71)

e, similarmente, para ρ∗g e σ∗:

(ρ∗g )s ≈ ρ∗

g (p∗i−1/2,T ∗

i−1/2) ou (ρ∗g )s ≈ 1

2

(ρ∗

g (p∗i−1,T ∗

i−1)+ρ∗g (p∗

i ,T ∗i )

)(5.72)

(ρ∗g )n ≈ ρ∗

g (p∗i+1/2,T ∗

i+1/2) ou (ρ∗g )n ≈ 1

2

(ρ∗

g (p∗i+1,T ∗

i+1)+ρ∗g (p∗

i ,T ∗i )

)(5.73)

σ∗s ≈ σ∗(p∗

i−1/2,T ∗i−1/2) ou σ∗

s ≈ 1

2

(σ∗(p∗

i−1,T ∗i−1)+σ∗(p∗

i ,T ∗i )

)(5.74)

σ∗n ≈ σ∗(p∗

i+1/2,T ∗i+1/2) ou σ∗

n ≈ 1

2

(σ∗(p∗

i+1,T ∗i+1)+σ∗(p∗

i ,T ∗i )

)(5.75)

115

No presente trabalho ambas aproximações são utilizadas; não obstante, a discretiza-

ção de 2a ordem do domínio exige duas vezes mais avaliações funcionais, e portanto

para o contorno a primeira opção será adotada sem comprometer a simulação, é claro

que também pode-se incluir um estudo mais elaborado considerando contornos de 2a

ordem no caso de focalizar o estudo na análise de ordem da solução numérica.

5.4.1 Sistema explícito

A fim de flexibilizar a solução numérica, é utilizado o método explícito. Este mé-

todo calcula o estado do sistema num tempo posterior ao estado atual do sistema,

enquanto que métodos implícitos encontram a solução resolvendo equações que en-

volvem ambos estados atual e posterior do sistema. O sistema explícito não exige uma

computação adicional, portanto pode-se resolver diretamente, oferece menos esforço

computacional para resolve-los, e são mais simples de serem implementados apesar

das restrições de estabilidade. Assim, o sistema (5.38) é escrito em uma forma alter-

nativa:

(∂p∗

∂t∗

)i= G p

i (t∗) (5.76)(∂T ∗

∂t∗

)i= GT

i (t∗) (5.77)

onde:

G pi (t∗) = γ2 F m

i (t∗) − γ4 F hi (t∗)

γ3γ2 −γ1γ4(5.78)

GTi (t∗) = γ1 F m

i (t∗) − γ3 F hi (t∗)

γ1γ4 −γ3γ2(5.79)

5.4.2 Solução numérica do sistema discretizado

O sistema implícito descrito pelas equações (5.53)-(5.56) ou sua forma explícita

descrita pelas equações (5.76)-(5.79) deve ser integrado no tempo adimensional para

completar a solução numérica. Isso poderia ser feito aplicando esquemas implícitos

ou explícitos tradicionais para integração no tempo. Entretanto, neste trabalho, uti-

116

lizamos as idéias do método das linhas, também utilizado em [71]. Neste método o

sistema discretizado é integrado analiticamente, fornecendo a solução analítica para

cada ponto da malha espacial. Estas soluções, se plotadas, gerariam linhas descre-

vendo a temperatura e pressão em cada ponto (daí o nome método das linhas). Apesar

da facilidade trazida por integração analítica, o problema resolvido neste trabalho é não

linear, e consequentemente, as equações discretizadas também são não-lineares, e não

admitem solução analítica. Para resolver tal problema, uma variação do método das

linhas, denominada Método das Linhas Numérico [72] é utilizada. Com este método

o sistema transformado é integrado utilizando um pacote dedicado à solução de siste-

mas de EDOs. Tais pacotes podem ser facilmente obtidos, sendo de domínio público

ou comercial, e a sua vantagem é que eles trabalham com uma precisão prescrita pelo

usuário, ajustando automaticamente, entre outros fatores, o passo no tempo, para aten-

der a precisão solicitada. Desta forma, não é preciso fazer uma análise de convergência

para a integração no tempo, uma vez que a precisão é prescrita pelo usuário.

Neste trabalho o programa Mathematica [73] foi utilizado para a solução numérica,

e a rotina NDSolve foi utilizada para integração do sistema de EDOs resultante da

discretização. A precisão prescrita para solução foi de 10−6 de erro relativo. O método

de solução também pode ser especificado para a rotina NDSolve.

117

Capítulo 6

Resultados e discussão

Os resultados das simulações reportam cálculos para dois processos diferentes: a

carga com pressão de entrada constante e a descarga com vazão de massa constante na

saída. Os casos simulados refletem situações reais. Ambos os casos levam em con-

sideração que, uma vez que a pressão crítica foi atingida, a vazão de massa deve ser

interrompida. Antes de apresentar os resultados das simulações para avaliar a influên-

cia dos parâmetros adimensionais sobre a solução, iremos determinar faixas para os

parâmetros adimensionais e apresentar também uma validação da solução numérica e

do modelo utilizado.

6.1 Propriedades e valores de parâmetros

A fim estabelecer valores realísticos para os parâmetros adimensionais obtidos, da-

dos usado em estudos precedentes foram empregados calculando valores numéricos.

Como a maioria de estudos na literatura examinada são focados principalmente em

aplicações com metano puro, valores particulares a este tipo de aplicações são apre-

sentados. Os dados de diferentes artigos foram selecionados, os quais são apresentados

nas tabelas a seguir. A tabela 6.1 apresenta valores de variáveis associadas ao processo

de carga ou descarga.

118

Tab. 6.1: Valores das variáveis relativas ao processo

Autor Amostra pmax pmin T0 t f

[MPa] [MPa] [K] [horas]da Silva e Sphaier [51] CA 4 0.10 298.15 4Neto et al. [35] CA WV1050 3.66 0.101 306.00 5Basumatary et al. [37] CA 3.5 0.10 298.15 0.111Barbosa Mota et al. [50] CA 3.54 0.14 293.15 4Do [74] PX21 4 0.10 298.15 4Mota et al. [36] CA G216 3.5 0.101 285.00 4Sircar et al. [75] PX21 4 0.10 298.15 0.083Chang e Talu [44] CA 2.1 0.166 291 3Mota et al. [45] CA G216 3.5 0.101 285.00 4

Já a tabela 6.2 apresenta dados de quantidades associadas ao material adsorvente,

enquanto a tabela 6.3 apresenta dados relativos ao material utilizado na construção do

reservatório, juntamente com o coeficiente de transferência de calor por convecção na

superfície externa no reservatório.

Tab. 6.2: Valores das variáveis relativas ao adsorvente

Autor ε cs ρs ρb

[Jkg−1K −1] [kg m−3] [kg m−3]

da Silva e Sphaier [51] 0.71 1052 2200.00 638Neto et al. [35] 0.592 1375 2333.33 280Basumatary et al. [37] 0.80 650 2400.00 480Barbosa Mota et al. [50] 0.45 1050 872.73 480Do [74] 0.71 1052 2200.00 638Mota et al. [36] 0.35 650 1576.92 410Sircar et al. [75] 0.88 1375 2333.33 280Chang e Talu [44] 0.50 1052 975.00 975Mota et al. [45] 0.3 650 1576.92 410

Deve-se observar que, entre os valores para o calor específico do material da parede

do reservatório apresentados na tabela 6.3, alguns encontram-se em função de ρw . Isto

foi feito pois nestas referências apenas os valores da capacidade térmica específica

(ρw cw ) da parede do reservatório são fornecidos.

119

Tab. 6.3: Valores das variáveis relativas ao reservatório e da convecção na superfícieexterna.

Autor cw ρw mw h[Jkg−1K −1] [kg m−3] [kg ] [W m−2K −1]

da Silva e Sphaier [51] 502.4 – 8.6 5Neto et al. [35] (3.92×106)/ρw – – 20Basumatary et al. [37] 500 7800 – 150Barbosa Mota et al. [50] (3.92×106)/ρw – – 5Do [74] 502.4 – 8.6 5Mota et al. [36] (3.92×106)/ρw – – 0Sircar et al. [75] (3.92×106)/ρw – – 20Chang e Talu [44] 502.4 7800 – –Mota et al. [45] (3.92×106)/ρw – – 0

A seguir, a tabela 6.4 apresenta os dados relativos ao adsorvato encontrados em

diferentes estudos na literatura. Observa-se que, como todos estudos utilizam o mesmo

tipo de gás, pouca variação é vista nas propriedades. Também é interessante mencionar

que todos os estudos vistos na literatura consideram que cl = cp g de modo que c∗l s = 1.

Todavia, ao verificar um estudo relativamente recente sobre propriedades de metano

[76], verifica-se que este não é o caso, de modo que é possível se ter cl valendo duas

vezes cp g ou mais.

Tab. 6.4: Valores das variáveis relativas ao adsorvato (gás e à fase adsorvida)

Autor cpg r = R/M isor cl

[Jkg−1K −1] [Jkg−1K −1] [k Jkg−1] [Jkg−1K −1]

da Silva e Sphaier [51] 2204 518 950 cp g

Neto et al. [35] 2450 518 975.31 cp g

Basumatary et al. [37] 2450 518 1215.71 cp g

Barbosa Mota et al. [50] 2450 518 1100 cp g

Do [74] 2204 518 1100 cp g

Mota et al. [36] 2450 518 1100 cp g

Sircar et al. [75] 2204 518 1045 cp g

Chang e Talu [44] 2450 518 1215 cp g

Mota et al. [45] 2450 518 1100 cp g

Finalmente, a tabela 6.5 apresenta as dimensões de diferentes reservatórios en-

contrados na literatura. Alguns dos trabalhos encontrados são baseados em modelos

120

globais, e fornecem apenas o volume do reservatório, como apresentado na tabela.

Tab. 6.5: Valores das dimensões relativas ao reservatório

Autor Ri Ro L ew V

[m] [m] [m] [m] [m3]

da Silva e Sphaier [51] – – – – 0.035Neto et al. [35] 0.0127 0.103 0.9 0.003 0.0299962Basumatary et al. [37] 0.015 0.15 0.8 0.02 0.0353429Barbosa Mota et al. [50] 0.005 0.10 0.74 0.005 0.023247Do [74] – – – – 0.035Mota et al. [36] 0.005 0.14 0.85 0.01 0.039288Sircar et al. [75] – – – – 0.0299962Chang e Talu [44] 0.1 0.13 0.74 0.0055 0.039288Mota et al. [45] 0.005 0.14 0.85 – 0.039288

Com os dados apresentados nas tabelas anteriores, os valores calculados para os

parâmetros adimensionais são calculados e então apresentados nas tabelas que seguem.

A tabela 6.6 e 6.7 apresentam os valores dos parâmetros adimensionais calculados para

diferentes estudos encontrados na literatura. Todavia, apenas dados dos estudos que

utilizam formulações com dependência espacial são apresentados.

Tab. 6.6: Valores para os grupos adimensionais calculados

Autor M∗l C∗

s C∗w Fo Bi isor K∗

i n

Mota et al. [45] 0.724 1.76 – 3.558 0 1.58 0.0690Mota et al. [36] 0.719 1.74 4.41 3.558 0.236 1.58 0.0690Neto et al. [35] 0.615 3.60 2.45 1.216 8.51 1.33 0.2195Basumatary et al. [37] 0.717 2.00 8.43 0.0097 145.7 1.65 0.1818Chang e Talu [44] 0.869 4.32 4.26 0.490 1.04 1.60 0.8696Barbosa Mota et al. [50] 0.824 3.81 3.44 3.17kb – – 0.0952Hirata et al. [49] 0.709 1.85 4.04 1.654 0.467 1.53 0.0690

Como pode ser observado, alguns parâmetros apresentam grande variação nos va-

lores, tais como os números de Fourier e de Biot, variando às vezes até mais que uma

ordem de magnitude. Isto é esperado, desde que estes parâmetros são baseados no

tempo de processo (Fo), que pode variar significativamente dependendo do tipo de

processo (carga ou descarga), e o coeficiente de transferência térmica (Bi), que pode

assumir valores muito diferentes de acordo com a taxa de aquecimento aplicado (ou

121

Tab. 6.7: Valores para σ∗ calculados

Autor σ∗ σ∗ com ∇p = 0

Mota et al. [45] 1.17×109 6.24×109

Mota et al. [36] 4.56×107 9.85×109

Neto et al. [35] 1.75×108 2.08×1011

Basumatary et al. [37] 3.62×106 2.07×109

Chang e Talu [44] 2.58×108 1.72×1011

Barbosa Mota et al. [50] 9.46×107 4.52×1010

Hirata et al. [49] 2.25×107 4.79×109

resfriamento). Os parâmetros restantes apresentam uma variação menor durante todos

os estudos analisados. O parâmetro que apresenta a variação menor é o calor adimen-

sional de adsorção. Não obstante, deve-se considerar que todos os estudos analisados

são relacionados aos componentes do gás natural que estão sendo fixados no carbono

ativado. Desde que o calor de adsorção pode depender dos pares adsorvato - adsor-

vente, isor poderia apresentar valores muito diferentes para outras combinações de gás

e de adsorventes.

Para os estudos que utilizam formulações globais, isto é, sem dependência espacial,

os valores dos parâmetros adimensionais calculados são apresentados na tabela 6.8

Tab. 6.8: Valores para os parâmetros adimensionais

Autor M∗l C∗

s H∗ isor

da Silva e Sphaier [51] 0.74652 5.13195 9.62968 1.44570Do [74] 0.74652 5.24705 11.91590 1.67396Sircar et al. [75] 0.51048 6.27410 1.19836 1.58266

como pode ser observado, o parâmetro que apresenta a maior variação entre os estudos

é H∗. Isto é esperado pois este parâmetro depende dos coeficientes de transferência de

calor por convecção e do tempo de processo, os quais podem variar muito.

6.2 Verificação e validação

Esta seção tem o objetivo de verificar a solução numérica e validar o modelo mate-

mático utilizado através de comparação com resultados disponíveis na literatura. Com

122

base nos dados apresentados na seção anterior, valores para os parâmetros adimensi-

onais foram escolhidos para as simulações realizadas. Enquanto alguns parâmetros

foram variados entres valores mínimos e máximos, outros foram mantidos constan-

tes. Os parâmetros isor e ω foram considerados constantes, pois as simulações feitas

neste trabalho não envolvem diferentes gases, nem diferentes adsorventes, e as pres-

sões mínima e máxima consideradas serão sempre 1 atm e 3.5 MPa. Os valores destes

são isor = 1.5 e ω = 0.224. Os parâmetros M∗l e K∗

i n também não apresentam muitas

variações, como visto na tabela 6.6. Valores médios aproximados foram então utili-

zados para estes: M∗l = 0.8, K∗

i n = 0.1. A tabela 6.9 apresenta um resumo dos valores

utilizados para os parâmetros adimensionais nas simulações que serão apresentadas a

partir deste ponto. Como pode-se observar na tabela 6.9, os parâmetros Bi e Fo foram

Tab. 6.9: Valores dos parâmetros adimensionais utilizados nas simulações.

parâmetro valor parâmetro valori∗sor 1.5 ω 0.224Fo 0.1 - 100 Bi 0 - 10M∗

l 0.8 K∗i n 0.1

C∗s 1 - 10 C∗

w 1 - 10Bii n 0 M∗

g 0.2

variados mais que os demais parâmetros. O caso com Bi = 0 naturalmente corresponde

a um caso onde o reservatório está isolado termicamente, devendo resultar em baixos

desempenhos para os processos de carga e descarga. Uma faixa maior é utilizada para

o número de Fourier, pois este parâmetro depende do tempo do processo de carga ou

descarga, e pode ser facilmente variado na prática.

Para todas as simulações realizadas o valor de Bii n , na entrada, foi considerado

zero, como feito em outros estudos.

6.2.1 Análise de ordem da solução numérica

A fim de verificar a implementação numérica da solução, simulações utilizando

diferentes malhas foram realizadas. Foram calculadas pressões e temperaturas para

diferentes valores da variável computacional discreta (imax) com variações de imax

123

= 10, 20, 40, 80 e 160. Uma vez que os valores de pressão e temperatura foram

obtidos para diferentes malhas, erros estimados para pressão e temperatura de uma

dada solução numérica foi calculado, fazendo:

εp =p∗∣∣

imax− p∗∣∣

2 imax

p∗∣∣2 imax

, (6.1)

εT =T ∗∣∣

imax− T ∗∣∣

2 imax

T ∗∣∣2 imax

, (6.2)

onde p∗∣∣imax

corresponde a pressão média calculada com uma malha de imax divisões e

p∗∣∣2 imax

corresponde à solução equivalente calculada para malha com 2 imax divisões.

O erro da temperatura é calculado de maneira análoga.

Os erros acima foram calculados utilizando os valores das médias espaciais de

pressão e temperatura a fim de se obter uma medida do erro que leve em consideração

a combinação do erro da solução numérica e do erro da integração numérica utilizada

para calcular as médias espaciais. Espera-se que ambos os erros sejam da ordem de

(∆r ∗)2, uma vez que a discretização espacial, e a integração numérica espacial utiliza-

das são de segunda ordem.

Para determinar a ordem numérica de uma solução de um determinado caso escre-

vemos |εp | e |εT | em função do tamanho da malha ∆r ∗, e fazemos um ajuste dos dados

obtidos na forma:

log10(|εp |) = aε,p log10(∆r ∗) + bε,p , (6.3)

log10(|εT |) = aε,T log10(∆r ∗) + bε,T , (6.4)

Os valores calculados para aε,p e aε,T correspondem a ordem calculada para as variá-

veis p∗ e T ∗, respectivamente.

A seguir, apresenta-se uma análise da variação dos erros |εp | e |εT | em função do

espaçamento da malha, assim como as ordens calculadas, para processos de descarga

à vazão constante e carga a pressão constante.

124

Descarga à vazão constante

A figura 6.1 apresenta a variação dos erros estimados |εp | e |εT | em função do

espaçamento da malha ∆r ∗, para C∗s = 10 e C∗

w = 10 em processos de descarga à va-

zão constante. Diferentes casos de Fo e Bi são apresentados em cada sub-figura. Em

cada uma destas, juntamente com os dados das soluções com as diferentes malhas,

são apresentados o ajuste utilizado para calcular a ordem do método. A fim de fa-

cilitar a interpretação gráfica da ordem obtida pelo ajuste dos dados, uma curva com

inclinação correspondente à segunda ordem (aε = 2) é traçada em todas as sub-figuras.

Analisando a figura 6.1, observa-se que o erro na p∗ apresenta melhor comportamento

para tempos pequenos, e piora para tempos elevados afastando-se da linha referencial

de segunda ordem. Para a temperatura um comportamento aparentemente de segunda

ordem é visto. Nas próximas figuras, uma análise similar é feita. Para as condições

C∗s = 1 e C∗

w = 10, a figura 6.2 mostra um melhor comportamento da p∗ e T ∗ quando o

Fo é elevado.

A tabela 6.10 apresenta a ordem de ∆r ∗ calculada para os diferentes casos apre-

sentados nas figuras anteriormente mencionadas. De forma resumida, na descarga,

apresenta problemas para a p∗ quando os tempos são elevados.

Tab. 6.10: Valores de ordens calculadas para processos de descarga à vazão constante.

ordemC∗

s C∗w Fo Bi T ∗(0.01) p∗(0.01) T ∗(0.1) p∗(0.1) T ∗(0.99) p∗(0.99)

10 10 0.1 0.1 1.39 1.36 1.71 1.69 1.94 3.0210 10 0.1 10 1.39 1.34 1.71 1.69 1.92 1.9410 10 10 0.1 1.90 1.91 2.02 2.16 2.02 -0.4610 10 10 10 1.90 1.90 1.98 1.95 1.99 0.151 10 0.1 0.1 1.12 0.61 1.48 0.90 1.96 1.791 10 0.1 10 1.12 0.59 1.48 0.89 1.95 1.641 10 10 0.1 1.83 1.83 1.95 1.96 1.99 1.101 10 10 10 1.83 1.83 1.94 1.94 2.00 1.79

125

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


Fig. 6.1: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na descarga como tamanho da malha, para C∗

s = 10 e C∗w = 10.

126

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


Fig. 6.2: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na descarga como tamanho da malha, para C∗

s = 1 e C∗w = 10.

127

Carga à pressão de entrada constante

Para os casos de carga à pressão de entrada constante, as figuras 6.3 e 6.4 apresen-

tam uma análise similar ao processo de descarga à vazão constante. Como observados

nestas figuras, a ordem de erro da pressão continua sendo pior para tempos próximos

de 1; todavia o comportamento é aparentemente melhor do que o observado para pro-

cessos de descarga. No entanto, ao analisar o comportamento da ordem de erro da

temperatura, observa-se que esta, em geral, apresenta uma pior evolução do erro para

tempos pequenos.

Finalmente, a tabela 6.11 apresenta a ordem de ∆r ∗ calculada para os diferentes

casos apresentados nas figuras anteriormente mencionadas. Como pode ser observado

no caso da T ∗ seu comportamento melhora quando o Fó, o Bi e os tempos são elevados.

Tab. 6.11: Valores das ordens calculadas para processos de carga à pressão de entradaconstante.

ordemC∗

s C∗w Fo Bi T ∗(0.01) p∗(0.01) T ∗(0.1) p∗(0.1) T ∗(0.99) p∗(0.99)

10 10 0.1 0.1 -0.45 0.36 0.37 0.43 0.19 0.8710 10 0.1 10 -0.94 0.28 1.64 0.32 2.52 0.8410 10 10 0.1 -0.18 0.14 2.17 -0.10 1.22 0.5910 10 10 10 -0.45 0.37 1.95 0.39 1.61 1.171 10 0.1 0.1 1.29 0.98 1.68 1.83 2.41 3.731 10 0.1 10 1.36 1.02 1.75 1.97 2.09 3.821 10 10 0.1 -0.87 0.23 1.10 0.29 1.67 0.991 10 10 10 -0.80 0.26 1.38 0.37 1.17 0.93

128

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


Fig. 6.3: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga com otamanho da malha, para C∗

s = 10 e C∗w = 10.

129

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


Fig. 6.4: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga com otamanho da malha, para C∗

s = 1 e C∗w = 10.

130

6.2.2 Comparação com resultados anteriores

Os primeiros resultados da simulação realizados tiveram o objetivo de analisar a

solução numérica proposta e a implementação computacional utilizada. Agora, para

completar o processo de verificação, os dados calculados com a solução do modelo

unidimensional proposto são comparados com resultados de um estudo na literatura

desenvolvido por [49], que apresenta dados numéricos de uma simulação de um pro-

cesso de descarga lenta à vazão constante. Deve-se salientar que os resultados apre-

sentados em [49] consideram uma distribuição de pressão uniforme, que conduz a

uma formulação mais simples com p = p(t ) somente. Ao contrário, a solução imple-

mentada neste trabalho permite a variação espacial da pressão, como descrito pelas

equações do modelo. Apesar destas diferenças, desde que uma situação de descarga é

considerada, a distribuição de pressão calculada deve apresentar pequenas inclinações,

e consequentemente ambas as formulações devem conduzir a resultados equivalentes.

Como um modelo matemático ligeiramente diferente foi usado na referência [49],

alguns ajustes foram exigidos para garantir que a física envolvida seja inalterada. Pri-

meiramente, o valor de σ∗ foi calculado de uma média usando os dados em [36], e o

valor de m∗i n (invariável no tempo) foi calculado para se assegurar de que a depleção

da pressão estivesse alcançada no fim do processo no tempo (isto é p∗ = 0 em t∗ = 1).

Finalmente, como a solução feita em [49] foi calculada para um cilindro maciço, o raio

interno foi ajustado a um valor pequeno (r ∗i n = 10−6). Os valores para os parâmetros

adimensionais usados na verificação podem ser encontrados na tabela 6.12.

Tab. 6.12: Dados utilizados nas comparações com resultados da literatura.

parâmetro valor parâmetro valorpmax 3.5 Mpa pmi n 0.1 MpaT0 293 K R 518 J/(kg K)c∗l g 2 k∗

e 1M∗

l 0.7 C∗s 2.0

i∗sor 1.5 C∗w 5.0

σ∗ 1×1010 M∗g 0.3

A figura 6.5 mostra os resultados da comparação entre a pressão média calculada e

131

a distribuição da pressão obtida de [49] (os pontos representam dados de [49]). Como

pode-se observar, há uma ótima concordância entre os resultados.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5p HMPaL

Fig. 6.5: Comparação de resultados com dados da literatura: pressão média.

Em seguida, a figura 6.6 apresenta uma comparação da distribuição espacial da

temperatura em vários instantes. As curvas apresentadas são separadas igualmente no

tempo, decrescendo de forma uniforme conforme t∗ aumenta, e a última corresponde

ao fim do processo de descarga (t∗ = 1). Os tempos intermediários correspondem

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

-30

-20

-10

10

20T H°CL

Fig. 6.6: Comparação de resultados com dados da literatura: perfis de temperatura.

aos valores de t∗ = 1/8 , 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8 até 1. A condição inicial é

simplesmente T = T0 = 293 K e não precisa ser indicada, a malha utilizada foi de

i = 80. Nos resultados observa-se um acordo muito bom entre os diferentes dados. As

132

discrepâncias menores são consideradas; não obstante, estes são propenso a ocorrer

desde que o modelo das equações usadas no estudo atual são ligeiramente diferentes

do que a versão mais simples usada em [49]

6.3 Análise da evolução temporal de quantidades médias

Esta seção tem o objetivo de analisar o comportamento da evolução temporal da

pressão, temperatura e massa de gás armazenada, para diferentes configurações. Mé-

dias espaciais da pressão e temperatura adimensionais (p∗ e T ∗), assim como a massa

armazenada adimensional, m∗, são analisadas.

6.3.1 Processos de descarga

As figuras 6.7-6.10 mostram o comportamento da temperatura e pressão médias

(T ∗ e p∗), assim como da massa de gás no reservatório (m∗) para descarga à vazão

constante, para diferentes valores de C∗s , C∗

w , Fo e Bi. Como pode-se observar, para

valores elevados de C∗s e C∗

w a temperatura sofre uma queda quando o Bi é pequeno

(figura 6.7), e pode ser observado melhor este comportamento da temperatura nas fi-

guras 6.8, 6.9 e 6.10. A figura 6.10 mostra que eliminando o efeito da parede (C∗w = 0)

maior é a queda da temperatura e quando o Bi é pequeno. Por outro lado, devido ao

maior resfriamento do reservatório de gás, maior é a massa que fica retida neste. A

queda de temperatura devido aos efeitos térmicos reduz o volume de gás recuperado.

Os efeitos da capacidade térmica e o coeficiente de transferência de calor com o meio

externo determinam a temperatura do sistema.

133

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Fo=10, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

Fig. 6.7: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 10 e C∗

w = 10.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Fo=10, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*


w = 10.

134

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=10, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*


w = 0.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=0, Fo=10, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*


w = 0.

135

6.3.2 Processos de carga

A seguir apresenta-se as figuras referidas às evoluções da temperatura e pressão

médias (T ∗ e p∗), assim como da massa de gás no reservatório (m∗) para processos

de carga à pressão de entrada constante. Pode-se observar um leve aumento da tempe-

ratura para valores elevados de C∗s e C∗

w quando o Fo é pequeno (conforme as figuras

6.11, 6.13). Quando C∗s = 1 e C∗

w = 10, um aquecimento rápido é observado quando

o Fo é pequeno conforme as figuras 6.12 e 6.14 que mostram um aquecimento inicial

rápido enquanto a massa de armazenamento diminui. A figura 6.14 mostra que eli-

minando o efeito da parede (C∗w = 0) e quando o Fo e o Bi são pequenos maior é a

elevação da temperatura. A temperatura elevada devido aos efeitos térmicos afeta de

forma desfavorável o processo de carga. Se o calor liberado durante o carregamento

não é removido do sistema, uma menor quantidade de gás é adsorvida.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Fo=10, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

Fig. 6.11: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 10 e C∗

w = 10.

136

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Fo=10, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*


w = 10.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=10, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*


w = 0.

137

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1

m*

T*

p*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t*

T*,p

*,m

*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=0, Fo=10, Bi=10, Kin

*=0.1

m*

T*

p*


w = 0.

138

6.4 Análise da distribuição espacial de pressão e temperatura

Esta seção apresenta os resultados obtidos para processos de carga e descarga, fo-

cando na variação das distribuições espaciais de temperatura e pressão para diferentes

instantes de tempo. Para os processos de descarga à vazão constante, utilizando os

valores dos parâmetros adimensionais escolhidos (em especial o alto valor de σ∗), o

campo de pressão é praticamente uniforme de modo que não faz muito sentido analisar

sua distribuição espacial. Portanto, para os processos de descarga, apenas a variação

espacial da temperatura é analisada.

6.4.1 Processos de descarga à vazão constante

Os resultados desta seção mostram a variação de temperatura com r ∗, considerando

Fo = 0.1, Fo = 1, Fo = 10, Fo = 100, e Bi = 0.1 e Bi = 10 para diferentes valores de C∗s e

C∗w . Os casos com Bi = 1 não apresentam grandes diferenças dos casos com Bi = 0.1 e

Bi = 10, e foram colocados no apêndice B.2.

A figura 6.15 mostra as evoluções da temperatura radial para valores elevados de

C∗s = 10 e C∗

w = 10, observamos que na saída (em operações de descarga) o gás vem

acompanhado de um resfriamento para valores pequenos de Bi e Fo, e para processos

longos (Fo maiores) a temperatura vai aumentando até atingir a temperatura do ambi-

ente. Ao analisar o efeito dos valores de Bi sobre os perfis de temperatura, fica claro

que para maiores Bi maiores gradientes de temperatura são desenvolvidos no material,

especialmente para casos com menores valores de Fo. Além disto, observa-se também,

a medida que os valores de Fo são aumentados, maiores valores de Bi fazem com que

a temperatura ambiente seja atingida mais rapidamente.

Para valores menores de C∗s , como mostrado na figura 6.16, a temperatura dentro

do reservatório cai mais rapidamente, em função da menor capacidade de térmica do

adsorvente. Consequentemente, a temperatura de saída de metano do reservatório tam-

bém é mais baixa. Nestes casos, somente para valores ainda mais altos de Fo que a

temperatura atinge a temperatura ambiente no final do processo de descarga. Ao ana-

lisar a influência de Bi para estes casos, verifica-se que os gradientes de temperatura

139

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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0.9

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

Fig. 6.15: Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 10, C∗

w = 10.

ficam maiores ainda para os maiores valores de Bi quando comparados com o caso

anterior (com C∗s = 10).

140

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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1.0

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T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

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t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

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0.7

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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0.9

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

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t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

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0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 10.

141

A figura 6.17 apresenta resultados para C∗w = 1 e C∗

s = 10. Como se pode observar,

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 1.

um comportamento similar ao caso da figura 6.15 é visto. Todavia o efeito de ter C∗w

menor faz com que a parede apresente uma variação maior de temperatura, reduzindo

142

(moderadamente) os gradientes de temperatura no material. Além disto, como a parede

do reservatório tem uma capacidade térmica menor, menos energia é consumida por

esta, fazendo com que a temperatura média do reservatório seja menor que nos caos

com C∗w = 10. Todavia, esta redução é pequena.

Finalmente, a figura 6.18 mostra o casos com C∗w = 1 e C∗

s = 1. Como pode ser

visto, para valores menores de C∗s , o material adsorvente esfria mais durante a des-

carga, similar ao comportamento visto na figura 6.16. Todavia, como o caso da figura

6.18 também envolve um valor baixo para C∗w , a variação da temperatura da parede

também é maior, fazendo com que os gradientes no material adsorvente sejam me-

nores. Além disto, como menos energia é consumida pela parede (devida a menos

capacidade térmica), o material adsorvente fica ligeiramente mais frio que no caso

com C∗w = 10 e C∗

s = 1.

O campo de temperatura no reservatório pode ser utilizados com um indicador da

capacidade de descarga de gás que uma dada configuração terá, uma vez que quanto

mais baixa for a temperatura do reservatório menor será a capacidade de descarga de

metano. Isto ocorre pois à mais baixa temperatura o material adsorvente tem uma

tendência de reter mais metano na fase adsorvida. Desta forma, situações com maiores

temperaturas são mais favoráveis.

Um comportamento similar ao descrito na figura 6.15 é obtido quando Bi = 1 e

pode ser observado no Apêndice (figura B.8).

143

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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0.8

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1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

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1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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0.8

0.9

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 1.

144

6.4.2 Processos de carga à pressão de entrada constante

Agora analisa-se a variação dos perfis de temperatura e pressão media radial, con-

siderando Fo = 0.1, Fo = 1, Fo = 10, Fo = 100, e Bi = 0.1, Bi = 10. Os casos com Bi = 1

não apresentam grandes diferenças dos casos com Bi = 0.1 e Bi = 10, e foram colocados

no apêndice B.3.

As figuras 6.19a e 6.19b mostram as evoluções da pressão e da temperatura radial

para valores elevados de C∗s e C∗

w (C∗s = 10 e C∗

w = 10). Como se pode observar, o

gás vem acompanhado de um aquecimento para valores pequenos Fo, enquanto a pres-

são no meio do processo (t∗ = 0.5) é mais alta para valores mais altos de Bi. Quando

observamos a evolução do campo de temperatura, percebe-se que no instante inicial a

temperatura é uniforme (igual a ambiente) e a medida que o tempo passa, esta aumenta

devido ao processo de adsorção do gás. A medida que a pressão se aproxima do valor

máximo, menos gás é adsorvido e o aquecimento é reduzido. A partir deste instante

o reservatório começa a ser resfriado por trocar calor com o ambiente. Desta forma,

a temperatura mais alta no reservatório fica no interior deste e a mais baixa tende a

ficar próximo à parede externa do mesmo (r ∗ = 1). Todavia, deve-se lembrar que, por

mais que consideramos que Bii n = 0, o gás admitido no reservatório está a temperatura

ambiente (T ∗ = 1), de forma que, especialmente no início do processo de carga, a en-

trada do reservatório também seja um ponto de baixa temperatura. Naturalmente, para

valores elevados de Fo a temperatura se aproxima à temperatura de entrada (mesma

que a temperatura ambiente).

145

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

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r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

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t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

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1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

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t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

Fig. 6.19a: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10, C∗

w = 10e Bi = 0.1.

As figuras 6.20a e 6.20b apresentam resultados para C∗w = 10 e C∗

s = 1. Como se

pode observar, para valores pequenos de C∗s , isto é, para menor a capacidade térmica

146

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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1.1

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

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=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

Fig. 6.19b: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10, C∗

w = 10e Bi = 10.

do reservatório, a temperatura se eleva e ainda mais, especialmente para Fo pequeno.

Como mencionado anteriormente, há uma tendência dos pontos de baixa temperatura

147

ficarem na parede do reservatório (r ∗ = 1) e na entrada do mesmo (r ∗ = 0); entretanto,

para r ∗ = 0 as baixas temperaturas só são vistas para tempos menores (e naturalmente

para valores menores de Fo). Outro fato interessante que pode ser claramente obser-

vado para o caso com Fo = 0.1 (tanto para Bi = 0.1 quanto para Bi = 10) é que o máximo

de temperatura é deslocado para direita (em torno de r ∗ = 0.6). Isto ocorre devido ao

efeito advectivo, pois o gás frio (à temperatura ambiente) entra no reservatório empur-

rando o gás mais quente em direção à parede externa do mesmo.

As distribuições de pressão e temperatura radiais para C∗s = 10 e C∗

w = 1 podem

ser observadas nas figuras 6.21a e 6.21b. Como pode ser visto, quando C∗s é elevado

(C∗w = 10) não há muita diferença entre os casos com C∗

w = 10 e C∗w = 1, de modo que

as figuras 6.21a e 6.21b se assemelham aos resultados das figuras 6.19a e 6.19b.

Para valores pequenos de C∗s = 1 e C∗

w = 1 como mostrados nas figuras 6.22a e

6.22b, um comportamento similar ao visto no caso com C∗s = 1 e C∗

w = 10 (figuras 6.20a

e 6.20b) é visto. Todavia, no caso com C∗w = 1, a parede externa do reservatório va-

ria mais a temperatura (devido a sua menor inércia térmica), de modo que menores

gradientes se desenvolvam próximos à parede externa. Para estes casos observa-se

também que o aumento da temperatura do reservatório é maior do que visto num caso

equivalente com C∗w maior.

148

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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0.6

0.8

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r *

p*

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=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 10e Bi = 0.1.

149

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

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t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 10e Bi = 10.

150

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 1e Bi = 0.1.

151

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

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r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

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0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

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t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

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1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 1e Bi = 10.

152

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 1e Bi = 0.1.

153

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=1, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=100, Bi=10, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 1e Bi = 10.

154

6.5 Análise da massa de gás armazenada e removida

Após ter verificado o modelo matemático e a implementação computacional da

solução, os resultados da simulação para o problema do caso de teste são realizados

ilustrando o efeito de variar os parâmetros adimensionais na operação do reservatório

do gás adsorvido. Para analisar a influência dos parâmetros adimensionais sobre a

quantidade de massa removida ou armazenada, optou-se por observar o efeito que os

grupos adimensionais têm sobre a quantidade de massa contida no reservatório, na

forma adimensional, m∗. Para processos de carga, quanto mais m∗ se aproxima de 1,

mais eficiente é o processo, pois mais gás consegue ser armazenado. Já em processos

de descarga, quanto menor for o valor de m∗, maior será a eficiência do processo,

pois mais gás é removido do reservatório. Todavia, só seria possível atingir valores

de m∗ = 0 se a pressão final do reservatório fosse 0 Pa. Desta forma, mesmo para um

processo isotérmico, m∗ = 0 não será atingido a menos que pmin = 0 Pa.

6.5.1 Processos de descarga

A seguir apresenta-se as curvas Biot-m∗-Fo para os processos de carga e descarga

considerando Bi = 0.1, Bi = 1 e Bi = 10, para valores de C∗s = 1, C∗

s = 10 e C∗w = 1,

C∗w = 10. A figura 6.23 mostra a variação de gás recuperado com Biot para diferentes

valores do número de Fourier. Como se pode observar, menos gás é recuperado para

valores menores de Bi e Fo. O limite do número de Biot se aproxima ao isolamento

térmico, e portanto, representa a pior condição, já que quase nenhum calor é trocado

com o ambiente. No outro limite, percebe-se que o aumento do número de Biot indefi-

nidamente não tem vantagem uma vez que a quantidade de gás recuperado tende a um

valor constante. Os valores mais elevados de Fourier podem geralmente ser obtidos

por processos mais longos de descarga, indicando assim que os processos mais lentos

pode levar à recuperação de gás com maior eficácia. Como se pode observar, maiores

quantidades de gás recuperado são obtidos para maiores valores de C∗s . Isso acontece

porque o material adsorvente é mais suscetível às variações de temperatura, obtendo-se

temperaturas mais baixas para menores valores de C∗s .

155

0 20 40 60 80 1000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fo

m*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=1, Kin

*=0.1

Bi=10Bi=1Bi=0.1

0 20 40 60 80 1000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fo

m*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Kin

*=0.1

Bi=10Bi=1Bi=0.1

0 20 40 60 80 1000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fo

m*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=1, Kin

*=0.1

Bi=10Bi=1Bi=0.1

0 20 40 60 80 1000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fo

m*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Kin

*=0.1

Bi=10Bi=1Bi=0.1

Fig. 6.23: Variações da massa adimensional em função dos números de Fourier e Biotpara descarga.

156

6.5.2 Processos de carga

A figura 6.24 mostra os resultados para operações de carga, se pode observar que

menos gás é adsorvido para valores menores de Bi e Fo. Os valores mais elevados de

Fourier podem geralmente ser obtidos por processos mais longos de carga, indicando

que os processos mais lentos pode levar à adsorção de gás com maior eficácia. Maiores

quantidades de gás adsorvido são obtidos para maiores valores de C∗s .

0 20 40 60 80 1000.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Fo

m*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=1, Kin

*=0.1

Bi=10Bi=1Bi=0.1

0 20 40 60 80 1000.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Fo

m*

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=10, Kin

*=0.1

Bi=10Bi=1Bi=0.1

0 20 40 60 80 1000.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Fo

m*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=1, Kin

*=0.1

Bi=10Bi=1Bi=0.1

0 20 40 60 80 1000.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Fo

m*

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=10, Kin

*=0.1

Bi=10Bi=1Bi=0.1

Fig. 6.24: Variações da massa adimensional em função dos números de Fourier e Biotpara carga.

Os resultados apresentados nesta seção mostram uma boa imagem inicial de como

cada um dos parâmetros analisados podem influenciar as operações de carga e descarga

de gás adsorvido em reservatórios. No entanto, é importante salientar que com a me-

todologia dos grupos adimensionais pode-se analisar os problemas de armazenamento

de gás adsorvido com maior eficácia.

157

Capítulo 7

Considerações finais

Este trabalho apresentou um estudo teórico para análise da transferência de calor

nos processos de carga e descarga em reservatórios de Gás Natural Adsorvido (GNA).

Inicialmente, um modelo matemático foi desenvolvido para descrever a evolução dos

campos de pressão e temperatura na operação de processo de carga e descarga de gás.

Uma formulação multidimensional (ou local) foi apresentada, e uma versão simplifi-

cada que considera propriedades uniformes no reservatório (global) também foi des-

crita. As formulações consistem em duas equação acopladas para o transporte de massa

e energia no reservatório, assim como duas equações constitutivas para descrever as

concentrações de GN nas fases comprimidas (gasosa) e adsorvida. Naturalmente, a

formulação multidimensional também necessita condições de contorno e ambas as for-

mulações precisam de condições iniciais.

Observando as formulações, nota-se que um número grande de parâmetros dimen-

sionais é necessário para analisar o problema. A fim de minimizar os esforços, otimi-

zando o estudo da transferência de calor e massa do problema, uma análise dimensional

dos modelos em questão é proposta. A análise é feita de maneira formal, utilizando o

Teorema dos Pi de Buckinham. O desenvolvimento é conduzido partindo de um mo-

delo simplificado isotérmico por parâmetros concentrados (global) e progredindo até o

modelo não-isotérmico com dependência espacial. A análise dimensional do problema

gerou uma contribuição relevante para literatura, resultando em um artigo publicado no

158

periódico International Journal of Thermal Sciences. Os grupos adimensionais foram

reorganizados em formas tradicionalmente utilizadas, e outras novas para a literatura,

porém com um significado físico relevante. Entre os grupos adimensionais que afetam

o problema estão, a razão de pressão p∗r , a razão geométrica r ∗

i n , razões de capacidades

térmicas C∗s e C∗

w , uma razão de calores específicos c∗l g , a fração máxima armazenada

na forma adsorvida M∗l , o calor de adsorção adimensional i∗sor , um parâmetro asso-

ciado ao aquecimento por compressão ω, um parâmetros associado à dependência do

fluxo de massa no meio poroso com o gradiente de pressão σ∗, assim como parâmetros

tradicionais encontrados em problemas de difusão como números de Biot Bi e Bii n e

o número de Fourier, Fo. Para proceder com as simulações as magnitudes dos gru-

pos adimensionais foram calculadas utilizando dados reais de construção e operação,

obtidos de diferentes estudos disponíveis na literatura.

Para poder avaliar o papel dos grupos adimensionais obtidos na transferência de ca-

lor e massa em processos de carga e descarga de gás adsorvido, uma solução numérica

para um caso unidimensional foi proposta. A solução é baseada no Método dos Volu-

mes Finitos, em combinação com o Método das Linhas Numérico, de modo que, ao

invés de aplicar os esquemas tradicionais (implícitos e explícitos) de integração tem-

poral, utiliza-se uma rotina numérica com controle de erro para resolver sistemas de

EDOs acoplados resultante da discretização espacial. A implementação numérica foi

feita no programa Mathematica, e a rotina utilizada para a solução do sistema de EDOs

foi a NDSolve. Para verificar a implementação numérica, diferentes configurações fo-

ram simuladas, e diferentes malhas foram utilizadas para cada caso, de forma que a

evolução do erro da solução com o tamanho da malha pudesse ser acompanhada. Com

base nesta informação uma análise de ordem foi conduzida, a fim de verificar a ordem

numérica obtida em cada caso. Em geral, as ordens calculadas ficaram coerentes com a

ordem da discretização utilizada (segunda ordem), de modo que a implementação nu-

mérica pôde ser considerada coerente. Em seguida, para validar o modelo utilizado e

a solução proposta, comparações com resultados disponíveis na literatura foram feitas,

mostrando que os resultados estão de acordo com estudos presentes na literatura.

159

Após a verificação do modelo e solução numérica, uma análise paramétrica foi

apresentada, a fim de avaliar a influência de parâmetros adimensionais sobre a evolu-

ção dos campos de temperatura e pressão no reservatório. Também foram analisados

a evolução da temperatura e pressão médias no reservatório, e a quantidade de massa

de GN armazenada no mesmo. Em geral, percebeu-se que para números de Fourier

(Fo) elevados, os processos tendem ao caso isotérmico, onde o armazenamento e recu-

peração de GNA é máximo na carga e descarga. Isto significa que quanto mais longo

os processos, ou quanto maior for a capacidade do material adsorvente difundir calor,

melhor será o desempenho de um reservatório de GNA. Verificou-se também que nú-

meros de Biot (Bi) elevados melhoram os processos de carga e descarga; todavia, a

melhora dos processos com Bi não são tão efetivas para valores pequenos de Fo. Em

relação a capacidade térmica do material, verificou-se que quando maior for Cs mais

massa pode ser armazenada e recuperada pois menor é a tendência da temperatura do

reservatório elevar-se.

Entre os comentários finais é importante salientar que embora as formulações de-

senvolvidas, no presente trabalho, sejam orientadas para o armazenamento de gás na-

tural, poderiam similarmente ser empregados para o armazenamento da adsorção de

outros gases. Para tal, bastaria utilizar diferentes isotermas de adsorção e eventual-

mente diferentes equações de estado (Beattie-Bridgeman, Benedict-Webb-Rubin ou

Virial), além das diferentes propriedades termofísicas, o qual passa como sugestão

para futuros desenvolvimentos. Nesta mesma linha, pode-se incluir um estudo mais

elaborado de gás natural, tratando o GN como multi-componente ao invés de metano

puro. Ainda como sugestão de trabalhos futuros está a solução numérica do modelo

bi-dimensional (r -z-t); realizar um levantamento de diferentes isotermas de adsorção

para diferentes componentes de GN, e analisar a utilização das diferentes isotermas e

calor de adsorção variável em modelos uni-dimensionais para GNA; adicionar a for-

mulação e avaliar a influência dos efeitos da difusão na capacidade de armazenamento;

estudar o parâmetro temporal como medida de desempenho, e utilizando a metodolo-

gia da formulação normalizada determinar os tempos característicos de relaxação da

160

pressão e da temperatura para realizar verificações de desempenho em problemas de

armazenamento de gás adsorvido; analisar a influência da parede do reservatório atra-

vés das variações do coeficiente de transferência de calor por convecção no perfil da

temperatura radial; adicionar a formulação utilizando controle térmico interno fazendo

uso de aletas-tubos de intercâmbio de calor no seio do material adsorvente para avaliar

a eficiência do sistema para carga e descarga de GNA. Embora a literatura apresente

sugestões para melhorar a capacidade de armazenamento de sistemas de GNA, o con-

trole térmico de um reservatório de adsorção não foi ainda completamente explorada.

161

Capítulo 8

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170

Apêndice A

Derivações

A.1 Diferencial de entalpia para um gás qualquer

Introduzindo o calor específico da fase gasosa e derivando i = i (T, p) temos que,

di = ∂i

∂T|p dT + ∂i

∂p|T dp (A.1)

onde o primeiro termo na equação acima é o calor específico a pressão constante,

∂i

∂T|p = cpg (A.2)

O segundo termo pode ser obtido a partir da relação di = T ds +υdp, e resulta em

∂i

∂p|T = T

∂s

∂p+ υ (A.3)

pela equação de Gibbs na equação dµ = T ds −p dυ chegamos à seguinte relação ter-

modinâmica,

∂s

∂p|T = − ∂υ

∂T|p (A.4)

logo substituindo na equação (A.3),

∂i

∂p|T = −T

∂υ

∂T|p + υ (A.5)

171

Somando os dois termos e aplicando a definição de coeficiente de expansão térmica

β= 1υ∂υ∂T |p , chega-se a seguinte forma para a equação (A.1)

dig = cpg dT + 1

ρgdp − βT

1

ρgdp (A.6)

172

Apêndice B

Resultados adicionais

As figuras a seguir apresentam a variação dos erros estimados |εp | e |εT | em função

do espaçamento da malha ∆r ∗, para valores de C∗s = 1 e 10 eliminando o efeito da

parede do reservatório em processos de carga à pressão constante e descarga à vazão

constante. Diferentes casos de Fo e Bi são apresentados em cada sub-figura. Em cada

uma destas são apresentados o ajuste utilizado para calcular a ordem do método.

B.1 Análise de erro para demais casos

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-8

-6

-4

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-8

-6

-4

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*=0.8, Cs

*=1, Cw

*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


Fig. B.1: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na descarga como tamanho da malha, para C∗

s = 1 e C∗w = 0.

173

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-8

-6

-4

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin

*=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-8

-6

-4

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin

*=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-8

-6

-4

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-8

-6

-4

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*=0.8, Cs

*=10, Cw

*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin

*=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


Fig. B.2: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na descarga como tamanho da malha, para C∗

s = 10 e C∗w = 0.

174

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=0, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


Fig. B.3: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga com otamanho da malha, para C∗

s = 10 e C∗w = 0.

175

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0

-6

-5

-4

-3

-2

-1

log10HDr *L

log 1

0HÈΕÈL

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=0, Fo=10, Bi=10, Kin*

=0.1


Fig. B.4: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga com otamanho da malha, para C∗

s = 1 e C∗w = 0.

176

B.2 Distribuição radial de temperatura na descarga

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

Fig. B.5: Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1, Fo = 10e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗

s = 10 e C∗w = 10.

177

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


s = 1 e C∗w = 10.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


s = 10 e C∗w = 1.

178

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


s = 1 e C∗w = 1.

179

B.3 Distribuição radial de pressão e temperatura na carga

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=10, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

Fig. B.9: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10, C∗

w = 10e Bi = 1.

180

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=10, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 10e Bi = 1.

181

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=10, Cw*

=1, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 1e Bi = 1.

182

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=1, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=10, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r *

p*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

r *

T*

Ml*

=0.8, Cs*

=1, Cw*

=1, Fo=100, Bi=1, Kin*

=0.1

t*=1

t*=0.5

t*=0


w = 1 eBi = 1.

183

Apêndice C

Cópia do artigo publicado

184

análise dimensional e simulação da transferência de calor e massa

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