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31 de julho a 03 de agosto

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VII Congresso Nacional de Engenharia Mecnica

SIMULAO NUMRICA DE TRANSFERNCIA DE CALOR PORCONVECO NATURAL EM UMA CAVIDADE CBICA

Marcelo Dias de Moura, marcelo.moura@ufms.br1Antonio Cesar Pinho Brasil Junior, brasiljr@unb.br11Laboratrio de Energia e Ambiente (LEA), Universidade de Braslia (UnB), Departamento de Engenharia Mecnica (EnM), CampusUniversitrio Darcy Ribeiro, Braslia, DF, CEP 70.910-900

Resumo: A transferncia de calor por conveco natural transiente em um fluido confinado em recintos um problemarelacionado a diferentes situaes prticas. O condicionamento de produtos na indstria de alimentos, a calefao ourefrigerao, so exemplos de aplicao para este tipo de problema convectivo. O problema especfico aqui analisadodiz respeito ao aquecimento transiente de uma cavidade 3D completamente cheia, inicialmente a uma temperatura T0.Em um determinado momento, todas as paredes da caixa so aquecidos a uma temperatura TW , maior que T0. O calorse propaga por conveco natural em recintos at o seu equilbrio trmico completo. Este problema analisado aquipor simulaes numricas e comparado com dados experimentais. Diferentes situaes do nmero de Rayleigh iniciaisso observados, para uma determinada geometria de cavidade. As simulaes numricas so realizadas utilizando oprograma OpenFOAM atravs da hiptese de Boussinesq. Uma discusso sobre a topologia, padres do escoamento eperda de simetria dentro da cavidade e os efeitos da conveco natural so apresentados.Palavras-chave: conveco natural, cavidades, OpenFOAM

1. INTRODUO

A transferncia de calor por conveco natural em um fluido confinado entre superfcies (cavidade) a diferentes tem-peraturas um problema que est relacionado com diversas situaes prticas: processos de esterilizao de produtoslquidos em embalagens em indstria de alimentos, coletores solares, resfriamento de componentes eletrnicos, aque-cimento ou arrefecimento em edifcios e a transferncia de calor dentro dos tanques de armazenamento trmico, soexemplos de aplicao para este tipo de problema convectivo.

Muitos artigos relativos conveco natural transiente em invlucros bidimensionais e tridimensionais so apresen-tados na literatura. Hsieh e Wand (1994) e Hsieh e Yang (1996) analisaram o problema tridimensional de uma cavidadeaquecida de vrias formas. Esses trabalhos apresentam a visualizao do escoamento experimental e o campo transientede temperatura. A histria da temperatura e da visualizao do escoamento durante o aquecimento mostrou um compor-tamento oscilatrio inicial at a formao de uma zona de ncleo estvel de recirculao e uma estratificao do campotrmico. Fusegi et al. (1991a) e Fusegi et al. (1991b) aplicaram o mtodo de diferenas finitas com esquema de precisode terceira ordem para simular uma cavidade cbica com ar para os nmeros de Rayleigh de 105 e 106. Os efeitos es-pecficos das condies de contorno trmicas horizontais sobre a estrutura de escoamento foram examinadas em detalhe.Foi constatado que a transferncia de calor atravs das paredes horizontais melhoraram as atividades de fluxo convectivo.A velocidade numericamente prevista e perfis de temperatura nos planos de simetria so consistentes com as mediesexperimentais.

O trabalho experimental de Lin (1982) e Lin e Akins (1983) tambm analisa os padres de escoamento e de transfe-rncia de calor em cavidades. Neste caso, a cavidade cbica e todas as paredes so subitamente aquecidas. O artigomostra um grande nmero de padres de fluxo que evoluem ao longo do tempo de aquecimento e so dependentes donmero de Rayleigh. Seguindo a mesma linha de pesquisa, Tollini (1996) analisou a transferncia de calor transientee tridimensional em uma cavidade em forma de paraleleppedo, com razo de aspecto de Ah = 1, 74, com as mesmasdimenses de uma caixa de leite. Foram feitas comparaes entre os parmetros representativos da transferncia de calore a visualizao da estrutura do escoamento convectivo, para valores de nmero de Rayleigh entre 1, 08 109 e 8, 24 109,experimentalmente e por simulao numrica. Estes dois estudos so semelhantes ao que ser analisado no presentetrabalho, conforme mostrado na Fig. (1a).

Na maioria dos estudos de aquecimento por conveco natural transiente em cavidades, um comportamento interes-

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sante do campo de escoamento observado: na fase inicial, nas paredes laterais verticais, camadas limites so formadas.Recirculaes internas e um campo oscilatrio trmico observado. Depois disso, a zona central estabelecida e umaestratificao trmica observada. O mesmo comportamento transitrio esperado para os casos de teste propostos nopresente estudo, mas algumas questes que ficaram em aberto, sero exploradas:

Quais as caractersticas fsicas do escoamento influenciam no aparecimento de recirculaes internas? Quais estruturas do escoamento ocasionam a quebra de simetria? O estabelecimento da estratificao trmica est sincronizado com a formao da camada limite vertical?

A interao entre os padres de escoamento prximas da parede inferior aquecida com a zona de recirculao principal, uma caracterstica muito interessante deste tipo de escoamento. A quebra da estabilidade dinmica e a simetria doescoamento durante o tempo de aquecimento explorada nas simulaes dos casos.

Neste trabalho, o atendimento dessas questes so exploradas. Os resultados numricos obtidos pelo Mtodo deVolumes Finitos so utilizados atravs do OpenFOAM (Open Field Operation and Manipulation)para encontrar o campode escoamento e analisar a evoluo de dois parmetros integrais: o coeficiente de transferncia de calor (expresso pelonmero de Nusselt) e a energia cintica do escoamento ao longo do tempo. As simulaes numricas so realizadas nageometria de uma cavidade cbica, de acordo com a Fig. (1a) para diferentes nmeros de Rayleigh. A validao dosresultados numricos ser feita pela comparao entre parmetros representativos da transferncia de calor obtidos emexperimentos disponveis nos trabalhos de Lin (1982) e Lin e Akins (1983).

2. MODELAGEMMATEMTICA

Considere uma cavidade cbica de medida de lado H = L = W preenchida com fluido com massa especfica ,viscosidade dinmica e condutividade trmica k. A distribuio de temperatura no interior da cavidade est inicialmentea temperatura uniforme T0, com o fluido em repouso. As seis paredes da cavidade so submetidas a uma temperatura TW ,maior que T0. A conveco natural resultante aumenta consideravelmente a transferncia de calor para a cavidade. Apsum perodo de tempo suficiente, quando a temperatura da cavidade atinge a temperatura TW , a conveco no seu interiorcessa. A distribuio de transiente de temperatura e a transferncia de que resultam desse processo so o interesse maiordo nosso trabalho.

(a) (b)

Figura 1: Cavidade cbica: (a) Condies de contorno; (b) Malha

A modelagem matemtica do problema envolve as equaes de conservao de massa, Eq. (1), de balano da quanti-dade de movimento, Eq. (2), e de conservao de energia, Eq. (3), considerando as seguintes hipteses simplificadoras:

O escoamento tridimensional, incompressvel, transiente e laminar; Os gradientes de temperatura so moderados, de tal modo que a aproximao de Boussinesq possa ser admitida

( = 0[1 (T T0)]) (Arpaci e Larsen (1984)); So desprezados a dissipao viscosa e o trabalho realizado pelas foras de compresso.

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Assim, as equaes governantes para o problema so expressas como:

u = 0 (1)

[u

t+(u u)

]= p+ 2u + (T T0)gez (2)

cp

[T

t+ (uT )

]= k2T (3)

Os valores homogneos para as variveis T e u so utilizados como condies iniciais. As condies de contorno so:

As condies de no deslizamento para a velocidade nas paredes da cavidade, ou seja, u = 0. Temperatura prescrita nas paredes aquecidas: TWApesar de muitos problemas de transferncia de calor serem observados em geometrias simples, conforme apresen-

tados na Fig. (1a), a soluo analtica ocorre pela resoluo simultnea de um sistema de equaes diferenciais parciaisno-lineares e acopladas. Devido complexidade de se obter solues analticas para tais problemas, torna-se necessriaa utilizao de mtodos numricos para a obteno dos campos de escoamento e trmico do domnio estudado (Maliska(2004)).

Para resolver o sistema de equaes transientes e no-linear dado pelas Equaes (1)-(3), primeiramente se fez adiscretizao das equaes no espao e tempo atravs do Mtodo de Volumes Finitos com o OpenFOAM. O solver doOpenFOAM escolhido para resolver o problema de conveco, atravs da hiptese de Boussinesq o buoyantBoussinesq-PimpleFoam, este utiliza um conjunto de arquivos onde esto armazenadas as informaes necessrias para a soluo doproblema (caso) que podem ser vistos na Fig. (2b). Estes arquivos se encontram num diretrio e possuem as informaescomo a descrio da geometria, detalhes da malha, condies de contorno, parmetros para os mtodos numricos e aspropriedades fsicas do problema, mostrados na Fig. (2a).

(a) (b)

Figura 2: (a) Estrutura de Diretrio de Caso (Adaptado de OpenFOAM (2011)); (b) Arquivos do Solver do OpenFOAM.

Na Figura (1b) podemos ver uma malha com 729000 volumes hexadricos e com um refinamento prximo a paredeque foi constuda na plataforma Salom (The Open Source Integration Platform for Numerical Simulation).

Um nmero de Prandtl (Pr) de 7, 07 usado correspondente a uma cavidade cheia de gua, a temperatura inicialT0 = 293 K. Trs nmeros de Rayleigh so utilizados para as simulaes numricas 7, 22 107, 1, 44 108 e 2, 17 108,correspondentes, respectivamente, s temperaturas finais (TW ), 298 K, 303 K e 308 K. Na Fig. (3) temos uma ilustraodas curvas de aquecimento da temperatura para os trs casos simulados.

O nmero de Nusselt global (Nu) pode ser obtido a partir do fluxo de calor das paredes aquecidas como (Bejan(2004)):

Nu =hH

k, (4)

considerando h = q

(TT0) o coeficiente de transferncia de calor e q = kA

T d o fluxo de calor na parede

representada por , com rea A na direo , perpendicular parede correspondente.A energia cintica do campo de escoamento calculado pela integral sobre o volume da cavidade como:

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Figura 3: Curva de Aquecimento de Temperatura na Cavidade.

Ec =

(u u) d, (5)

3. RESULTADOS E DISCUSSES

Os resultados a seguir decorreram das simulaes para os trs casos ilustrados na Fig. (3) at que se atingissem atemperatura TW , o que ocorreu em torno de t = 1600 s, para um passo de tempo de t = 0, 1 s e nmero de Courantmximo de Co = 0, 5. As imagens foram obtidas pela ferramenta de ps-processamento do OpenFOAM, denominadaparaFOAM, adaptada do programa ParaView (Open-source, multi-platform data analysis and visualization application).

Quando comeamos a observar o campo de temperatura verificamos que a regio mais fria est sempre na parte inferiorda cavidade, acentuando-se esta caracterstica nas camadas de fluido mais prximas s paredes verticais, caracterizandouma estratificao trmica na cavidade, como pode ser observado nas Figs. (4f, 4g, 4r, 4s, 5f, 5g, 5r, 5s, 6f, 6g, 6r e6s). Para as camadas mais centrais, a estratificao da temperatura, ao longo da linha vertical da cavidade, no toacentuada. Isso se explica pelo fato de que, nas camadas centrais da cavidade, as velocidades so relativamente baixas,conforme observado nas Figs. (4b, 4c, 4j, 4k, 5b, 5c, 5j, 5k, 6b, 6c, 6j e 6k). Por outro lado, as correntes convectivasexplicam a localizao da regio mais fria na parte inferior da cavidade.

No que diz respeito ao campo de velocidade interessante observar que, conforme pode ser visto nas ilustraes dosvetores das Figs. (4, 5 e 6), o centro de circulao do movimento principal se situa muito prximo parede, e que algumaspartculas que sobem no chegam a atingir a camada aquecida superior, desviando-se de seus caminhos e fazendo umacirculao menor, tomando um movimento descendente em direo face inferior.

O movimento do fluido dentro da cavidade representa a composio dos efeitos da transferncia de calor atravs decada uma das suas seis faces, j que o fluido se encontrava em repouso e em equilbrio trmico com o meio exterior. Aface inferior, a superior e as quatro faces laterais, representam, separadamente, um diferente efeito sobre o movimento dofluido.

As quatro faces laterais verticais, ao receberem calor, ocasionam uma tendncia para o fluido subir rapidamente atravsde uma fina camada junto s paredes laterais e descer lentamente por uma grande massa na regio central da cavidade.

Como o somatrio das reas das quatro faces laterais representa 2/3 da rea externa da cavidade e a direo destasfaces est alinhada com o vetor gravidade, de se supor que o movimento ocasionado pela transferncia de calor nelasseja de importncia primordial para o movimento do fluido dentro da cavidade.

A face inferior, por sua vez, ocasiona uma tendncia para o fluido subir como um todo, especialmente pelo centro dacavidade. Como h uma grande massa de fluido descendo pelo centro, impulsionada pelo movimento principal do fluido,alguns padres de recirculao so criados na base da cavidade, anlogos a escoamentos do tipo Clulas de Bnard,mostrado nas isosuperfcies de temperatura das Figs. (4, 5 e 6). De fato essas estruturas assemelham-se a pequenastrmicas ascendentes, em formato de cogumelo, como relatado por Sparrow et al. (1970).

J a face superior da cavidade causa a formao de uma pequena camada aquecida e mais leve prxima do topo, ondeas velocidades so relativamente muito baixas. O fluido que sobe pelas paredes laterais, ao atingir a camada aquecidajunto ao topo, se dirige em direo ao centro da cavidade, iniciando um movimento lento de descida. Desta forma, de sesupor que a influncia da face superior no movimento do fluido dentro da cavidade seja quase nula, ilustrado pelos vetoresdas Figs. (4, 5 e 6).

Ao longo das simulaes realizadas, durante o perodo restante, o movimento das partculas no se altera muito,havendo apenas um pequeno aumento da espessura da camada superior, caracterizada por baixas velocidades, fazendo,

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(a) (b) (c) (d)Contornos de Velocidade

(e) (f) (g) (h)Contornos de Temperatura

(i) (j) (k) (l)Vetores

(m) (n) (o) (p)Linhas de Corrente

(q) (r) (s) (t)Isosuperfcies de Temperatura

(i) t = 10 s (ii) t = 40 s (iii) t = 50 s (iv) t = 400 sFigura 4: Visualizao do Campo de Temperatura e Velocidade para T = 5 K

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(a) (b) (c) (d)Contornos de Velocidade

(e) (f) (g) (h)Contornos de Temperatura

(i) (j) (k) (l)Vetores

(m) (n) (o) (p)Linhas de Corrente

(q) (r) (s) (t)Isosuperfcies de Temperatura

(i) t = 10 s (ii) t = 40 s (iii) t = 50 s (iv) t = 400 sFigura 5: Visualizao do Campo de Temperatura e Velocidade para T = 10 K

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(a) (b) (c) (d)Contornos de Velocidade

(e) (f) (g) (h)Contornos de Temperatura

(i) (j) (k) (l)Vetores

(m) (n) (o) (p)Linhas de Corrente

(q) (r) (s) (t)Isosuperfcies de Temperatura

(i) t = 10 s (ii) t = 40 s (iii) t = 50 s (iv) t = 400 sFigura 6: Visualizao do Campo de Temperatura e Velocidade para T = 15 K

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conseqentemente, com que as partculas que atingem o topo no tenham energia para ir at o centro antes de iniciaro movimento descendente, como se v na Fig. (4d). A velocidade mdia das partculas do fluido comeam a diminuirgradualmente e a camada estvel no topo cresceu um pouco. Alm disso, as partculas de clulas de Bnard parecem terdiminudo de velocidade, especialmente pela diminuio aparente do tamanho das clulas, at que a temperatura em todaa cavidade torne-se TW e o escoamento cesse.

Figura 7: Componentes de Velocidade Mdia para T = 5 K.

Figura 8: Comparao de Nusselt x Rayleigh com dados experimentais (Lin e Akins (1983)).

Com a finalidade de avaliar a capacidade de predio do solver do OpenFOAM a respeito da transferncia de calor nocubo, foram comparados valores de Nusselt variando com Rayleigh para dados experimentais de Lin (1982) e Lin e Akins(1983). Mesmo os experimentos terem sido executados com fluidos diferentes da gua, como a glicerina e, o tamanho docubo e variao de temperatura serem diferentes, foi estabelecida uma curva de ajuste entre Nusselt e Rayleigh que serviucomo parmetro de comparao na Fig. (8) com a simulao.

Os primeiros 5 min de simulao so os que mais apresentam os efeitos da transferncia de calor. A energia cinticaatinge seu pico neste perodo, mostrado na Fig. (9). J a velocidade tem um comportamento oscilatrio de suas compo-nentes de velocidade, principalmente na direo x e y, enquanto na direo do eixo z apontando para cima nesses perodo,logo aps assumindo movimento descendente, conforme a Fig. (7).

Apesar das condies de contorno serem as mesmas para as seis faces do cubo, o fluxo de calor atravs da paredeinferior e superior ocorre num processo bem distinto. Ao observarmos a Fig. (10a) pode-se notar que os valores dascurvas de gradiente de temperatura muito maior na face inferior quanto ao da face superior. A mesma observao pode

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Figura 9: Variao da Energia Cintica (EC)

ser feita quando analisamos o gradiente de temperatura nas faces na Fig. (10b).

(a) (b)

Figura 10: Variao do Gradiente de Temperatura nas Faces para T = 15 K: (a) Curvas do Gradiente de TemperaturaMdio para cada Face; (b) Visualizao do Gradiente de Temperatura nas Faces do Cubo para t = 40s

4. CONCLUSES

Resultados tridimensionais para a simulao da conveco natural em um cubo para trs nmeros de Rayleigh foramapresentados, atravs das quais se evidencia a influncia do fluxo de calor em cada face. Simultaneamente, nos primeirossegundos, as camadas limite trmica e hidrodinmica so formadas. Pode ser observado que ao mesmo tempo em quese inicia a estratificao trmica da cavidade, bolhas de fluido aquecidas, em forma de cogumelo, se formam na paredeinferior, devido ao aumento do gradiente de temperatura na face inferior, interagindo com o fluido que se aquece pelasparedes laterais, descendo lentamente. O escoamento do fluido na cavidade tem um comportamento oscilatrio nosprimeiros instantes da simulao e isso tem uma ligao com o pico de energia cintica das partculas. Essas oscilaesocorrem no momento da formao das bolhas de fluido que sobem e atingem a regio de fluido que esto descendo. Issoocorre repetidas vezes at determinado instante em que a energia cintica diminui rapidamente, ao mesmo tempo em quea velocidade e a cavidade se aquece por completo.

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5. REFERNCIAS

Arpaci, V. e Larsen, P.S., 1984. Convection Heat Transfer. Englewood cliffs: Prentice-Hall, New Jersey. 512 p.Bejan, A., 2004. Convection Heat Transfer. John Wiley & Sons, New York, 3rd edition. 673 p.Fusegi, T., Hyun, J.M. e Kuwahara, K., 1991a. A numerical study of 3d natural convection in a cube: effects of

the horizontal thermal boundary conditions. Fluid Dynamics Research, Vol. 8, No. 5-6, pp. 221230. URLhttp://iopscience.iop.org/1873-7005/8/5-6/A04.

Fusegi, T., Hyun, J.M., Kuwahara, K. e Farouk, B., 1991b. A numerical study of three-dimensional natural convectionin a differentially heated cubical enclosure. Int. J. Heat and Mass Transfer, Vol. 34, No. 6, p. 1543?1557. URLhttp://dx.doi.org/10.1016/0017-9310(91)90295-P.

Hsieh, S.S. e Wand, C.Y., 1994. Experimental-study of 3-dimensional natural convection in enclosures with differentworking fluids. Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 37, No. 17, pp. 26872698.

Hsieh, S.S. e Yang, S.S., 1996. Transient three-dimensional natural convection in a rectangular enclosure. Int. J. HeatMass Transfer, Vol. 39, No. 1, pp. 1326. URL http://dx.doi.org/10.1016/S0017-9310(96)85002-2.

Lin, Y.S., 1982. An experimental study of flow patterns and heat transfer by natural convection inside cubical enclosures.Dissertao de Mestrado, Kansas State University, Manhattan, Kansas.

Lin, Y.S. e Akins, R.G., 1983. An experimental study of flow patterns and heat transfer by natural convection insidecubical enclosures. ASME HTD, Vol. 26, pp. 3542.

Maliska, C.R., 2004. Transferncia de Calor e Mecnica dos Fluidos Computacional. Ed. LTC, Rio de Janeiro, Brasil.433 p.

OpenFOAM, 2011. OpenFOAM 2.1 - The Open Source CFD Toolbox - User Guide. OpenFOAM Foundation.Sparrow, E.M., Husar, R.B. e Goldstein, R.J., 1970. Observations and other characteristics of thermals. Journal of

Fluid Mechanics, Vol. 41, pp. 793800.Tollini, P.M., 1996. Conveco transiente em uma cavidade 3 D: Uma aplicao ao aquecimento de produtos embalados.

Dissertao de Mestrado, Universidade de Braslia, Braslia, DF.

6. DIREITOS AUTORAIS

Os autores so os nicos responsveis pelo contedo do material impresso includo no seu trabalho.

NUMERICAL SIMULATION OF HEAT TRANSFER BY NATURALCONVECTION IN A CUBIC CAVITY

Marcelo Dias de Moura, marcelo.moura@ufms.br1Antonio Cesar Pinho Brasil Junior, brasiljr@unb.br11Laboratrio de Energia e Ambiente (LEA), Universidade de Braslia (UnB), Departamento de Engenharia Mecnica (EnM), CampusUniversitrio Darcy Ribeiro, Braslia, DF, CEP 70.910-900

Abstract: The heat transfer by transient natural convection in a fluid confined in enclosures is a problem related todifferent practical situations. The conditioning of products in the food industry, heating or cooling, are examples ofapplication for this type of convection problem. The specific problem considered here concerns the transient heating of acavity completely full 3D, initially at a temperature T0. At one point, all the walls of the flask are heated to a temperatureTw greater than T0. The heat spreads by natural convection in enclosures until its complete thermal equilibrium. Thisproblem is analyzed here by numerical simulations and compared with experimental data. Different situations the initialRayleigh number is observed for a given geometry of the cavity. The numerical simulations are performed using theprogram OpenFOAM through the Boussinesq hypothesis. A discussion of the topology, flow patterns and loss of symmetrywithin the cavity and the effects of natural convection are presented.Keywords: Natural Convection, enclosures, OpenFOAM