analise dimensional 2013

Dimensão – Análise dimensional e Sistema de Unidades. Página 1

Unidades de Medida e o Sistema Internacional (SI)

Importância do SI

Clareza de entendimentos internacionais (técnica, científica) ...

Transações comerciais ...

Garantia de coerência ao longo dos anos ...

Coerência entre unidades simplificam equações da física ...

As sete unidades de base

Grandeza unidade símbolo

Comprimento metro m

Massa quilograma kg

Tempo segundo s

Corrente elétrica ampére A

Temperatura kelvin K

Intensidade luminosa candela cd

Quantidade de matéria mol mol

O quilograma (kg): é igual à massa do protótipo internacional do quilograma.

incerteza atual de reprodução: 10-9 g, busca-se uma melhor definição.

O ampére (A): é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível, e situados à distância de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre estes condutores uma força igual a 2 . 10-7 newton por metro de comprimento. incerteza atual de reprodução: 3 . 10-7 A.

Universidade São Judas Tadeu


O kelvin (K):unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da água.

A candela (cd): é a intensidade luminosa, numa dada direção, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de frequência 540. 1012 hertz e cuja intensidade energética nesta direção é de 1/683 watt por esterradiano. Incerteza atual de reprodução: 10-4 cd.

O mol (mol): é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares quantos átomos existem em 0,012 quilograma de carbono 12. incerteza atual de reprodução: 6 . 10-7 mol.

As unidades derivadas

Estas grandezas, quando associadas, podem formar outras referências de unidades tais como, força, energia, potência e carga elétrica que já são familiares no dia a dia.

Sistema Internacional de Unidades - SI - versus fator de potência de 10


As unidades de medida padrão que nós brasileiros utilizamos com maior frequência são o grama, o litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cúbico.

Além destas também fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por exemplo a medição de tempo, de temperatura ou de ângulo.

Dependendo da unidade de medida que estamos utilizando, a unidade em si ou é muito grande ou muito pequena, neste caso então utilizamos os seus múltiplos ou submúltiplos. O grama geralmente é uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isto em geral utilizamos o quilograma, assim como em geral utilizamos o mililitro ao invés da própria unidade litro, quando o assunto é bebidas por exemplo.

Múltiplos e Submúltiplos

Os múltiplos e submúltiplos mais frequentemente utilizados estão expostos na tabela a seguir:

Tabela de Múltiplos e Submúltiplos mais Utilizados das Unidades de Medida Múltiplos Submúltiplos

múltiplo sigla relação com a unidade submúltiplo sigla relação com a unidade quilo k mil vezes a unidade deci d décima parte da unidade hecto h cem vezes a unidade centi c centésima parte da unidade deca da dez vezes a unidade mili m milésima parte da unidade

Abaixo temos a tabela completa com todos os múltiplos e submúltiplos definidos:

Utilização das Unidades de Medida

Quando estamos interessados em saber a quantidade de líquido que cabe em um recipiente, na verdade estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume interno de um recipiente é chamado de capacidade. A unidade de medida utilizada na medição de capacidades é o litro.

Se estivéssemos interessados em saber o volume do recipiente em si, a unidade de medida utilizada nesta medição seria o metro cúbico.

Para ladrilharmos um cômodo de uma casa, é necessário que saibamos a área deste cômodo. Áreas são medidas em metros quadrados.

Para sabermos o comprimento de uma corda, é necessário que a meçamos. Nesta medição a unidade de medida utilizada será o metro ou metro linear.

Se você for fazer uma saborosa torta de chocolate, precisará comprar cacau e o mesmo será pesado para medirmos a massa desejada. A unidade de medida de massa é o grama.

Veja a tabela a seguir na qual agrupamos estas principais unidades de medida, seus múltiplos e submúltiplos do Sistema Métrico Decimal, segundo o Sistema Internacional de Unidades - SI:

Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Métrico Decimal


Medida de Grandeza

Fator Múltiplos Unidade Submúltiplos

Capacidade litro 10 kl hl dal l dl cl ml

Volume metro cúbico

1000 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Área metro quadrado 100 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Comprimento metro 10 km hm dam m dm cm mm Massa grama 10 kg hg dag g dg cg mg

Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicação pelo fator multiplicador (10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida), assim como as setas que apontam para a esquerda indicam uma divisão também pelo fator.

A conversão de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza é realizada multiplicando-se ou dividindo-se o seu valor pelo fator de conversão, dependendo da unidade original estar à esquerda ou à direita da unidade a que se pretende chegar, tantas vezes quantos forem o número de níveis de uma unidade a outra.

Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida

Converta 2,5 metros em centímetros

Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita. Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros:

Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.

Portanto:

2,5 m é igual a 250 cm

Passe 5.200 gramas para quilogramas

Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda. Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma:

Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.

Portanto:


5.200 g é igual a 5,2 kg

Quantos centilitros equivalem a 15 hl?

Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita. Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:

Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.

Portanto:

150.000 cl equivalem a 15 hl.

Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?

Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes:

Portanto:

0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação científica equivalem a 14 mm3.

Passe 50 dm2 para hectômetros quadrados

Para passarmos de decímetros quadrados para hectômetros quadrados, passaremos três níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes:

Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.

Portanto:

50 dm2 é igual a 0,00005 hm2

Equivalência entre medidas de volume e medidas de capacidade

Um cubo com aresta de 10 cm terá um volume de 1.000 cm3, medida esta equivalente a 1 l.

Como 1.000 cm3 equivalem a 1 dm3, temos que 1 dm3 equivale a 1 l.

Como um litro equivale a 1.000 ml, podemos afirmar que 1 cm3 equivale a 1 ml.

1.000 dm3 equivalem a 1 m3, portanto 1 m3 é equivalente a 1.000 l, que equivalem a 1 kl.


Exemplos de Conversão entre Medidas de Volume e Medidas de Capacidade

Quantos decalitros equivalem a 1 m3?

Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquerda. Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:

Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.

Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:

Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:

Portanto:

100 dal equivalem a 1 m3.

348 mm3 equivalem a quantos decilitros?

Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centimetros cúbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3 equivale a 0,348 ml, já que cm3 e ml se equivalem.

Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de medida de capacidade.

Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10 duas vezes:

Logo:

348 mm3 equivalem a 0,00348 dl.

Dúvidas Frequentes

Um metro cúbico equivale a quantos metros quadrados?

Converter medidas em decilitros para gramas.

Quantos litros cabem em um metro quadrado?


Como passar litros para milímetros?

Quantos centímetros lineares há em um metro quadrado?

Conversão de litros para gramas.

Um centímetro corresponde a quantos litros?

Como passar de centímetros quadrados para mililitros?

Quantos mililitros tem um centímetro?

Transformar m3 em metro linear.

Quanto vale um centímetro cúbico em gramas?

Observe que o problema é que elas buscam a conversão entre unidades de medidas incompatíveis, como por exemplo, a conversão de metro cúbico para metro quadrado. A primeira é uma unidade de medida de volume e a segunda é uma unidade de medida de área, por isto são incompatíveis e não existe conversão de uma unidade para a outra.

EXERCÍCIOS:

1) As unidades de comprimento, massa e tempo no Sistema Internacional de unidades são, respectivamente, o metro(m) o quilograma(kg) e o segundo(s). Podemos afirmar que, nesse sistema de unidades, a unidade de força é: a) kg.m/s. b) kg.m/s2. c) kg2.m/s. d) kg.m2/s e) kg.s/m.

2. Qual a relação entre o metro cúbico e o litro? 3. Como transformamos 1 m¤ em cm¤? 4. Como transformamos 1 km£ em m£? 5. Como transformamos 1 km em metros? 6. O que é o sistema MKS? 7. Um metro cúbico corresponde a quantos litros? 8. Se convertermos 100 cm£ em m£, quantos m£ teremos? 9. Se convertermos 1km£ em m£, quantos m£ teremos?

Gabarito:

1. [B] 2. Ambas são unidades para medida de volume, e 1m¤ = 1000 litros. 3. Multiplicando por 1 milhão. 4. Cada 1 km£ = 1 000 000 m£. Basta portanto, multiplicar por 1 milhão. 5. Cada 1 km = 1000 m. Basta portanto, multiplicar por 1000. 6. É um sistema de unidades que utiliza para o comprimento o metro, para a massa o quilograma e para o tempo o segundo. É o atual Sistema Internacional (SI).

7. 1000

8. 0,01

9. 1 000 000


Análise Dimensional

Principais usos:

Verificação da homogeneidade de fórmulas;

Previsão de equações físicas;

Mudança de unidades;

Grandezas Físicas Fundamentais

EXEMPLOS: velocidade

aceleração

Força

Quantidade de movimento

Impulso de uma força

Energia ou trabalho de uma força


ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS

Velocidade:[v]=LT-1

Aceleração:[a]=LT-2

Força: [F]=MLT-2

Trabalho:[E]=ML2T-2

Energia:[E]=ML2T-2

Torque:[E]=ML2T-2

Potência:[Pot]=ML2T-3

Momento:[Q]=ML T-1

Velocidade angular:[ω]=T

Frequência:[F]=T-1

Carga elétrica:[q]=IT

Campo elétrico:[E]=MLT-3 I

Potencial elétrico:[U]=ML2T-3 I-1

Resistência elétrica:[R]=ML2T-3 I-2

Campo magnético:[B]=MT-2 I-1

Fluxo magnético[Ф]=ML2T-2 I-1 Calor específico:[c]=L2T-2 θ-1

Coeficiente de dilatação[ α ]= θ-1

Fluxo de calor:[ Ф ]= ML2T-3

Intensidade sonora[I]=MT-3 GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS Coeficientes de atrito => Índice de refração => Rendimento => Nível de intensidade sonora


TEOREMA DE BRIDGMAN

Toda grandeza secundária pode ser expressa por um produto de potências das grandezas primárias.

Suponhamos que uma grandeza secundária G seja uma função das grandezas primárias A, B,C ... Z. O teorema de Bridgman diz que se poderá escrever: G = K Aα Bβ Cγ...Zω ATENÇÃO!!! Todo arco é adimensional.

Toda função trigonométrica é adimensional

Todo expoente é adimensional.

Toda grandeza definida pela razão de duas grandezas físicas, de mesma dimensão, é adimensional.

Só podemos somar e subtrair grandezas físicas de mesma dimensão. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL

Uma equação física verdadeira deve ser dimensionalmente homogênea, isto é, dever ter em ambos os membros a mesma fórmula dimensional. Exemplo:

Homogeneidade das equações

Exemplo:

Num movimento oscilatório, a abscissa (x) da partícula é dada em função do tempo (t) por: X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L, obtenha a fórmula dimensional de A, B e C.

A = M0LT0, sendo Ct = M0L0T0, = CT => C = M0L0T-‐1

Sendo, cos(Ct) adimensional, temos que, B = M0LT0

Determine a homogeneidade das equações:

a)S = S0+ V0t + at2/2

b) V2 = V02 +2aΔs


Previsão de fórmulas

Exemplo: A intensidade da resultante centrípeta é função apenas da massa, da velocidade e do raio da trajetória. Por análise dimensional podemos obter a menos da constante dimensional(K), a expressão da intensidade da força centrípeta. [Frcp] = k.mx.vy.rz => MLT-2 = k Mx. (LT-1)y.Lz => MLT-2 = k .Mx. LyT-y.Lz MLT-2 = k .Mx. Ly+z .T-y => comparando os expoentes dos termos semelhantes, temos: x=1, y =2 , z = -1 Assim, Frcp= k.m1.v2.r-1 => Frcp= k.m.v2/r => onde k = 1. Exercícios: 1) Um cientista, fazendo experiências em um laboratório, verifica o período(t) de oscilação de um pêndulo simples alterando o comprimento do fio(L), a massa(m) e considerando a gravidade(g) local. Como pode ele, usando análise dimensional, obter uma fórmula para calcular T, isto é, uma função do tipo T=f(L,m,g). 2) Sabe-se que o momento angular de uma massa pontual é dado pelo produto vetorial do vetor posição dessa massa pelo seu momento linear. Então, em termos das dimensões de comprimento (L), de massa (M), e de tempo (T), um momento angular qualquer tem sua dimensão dada por dada por a) L0MT–1. b) LM0T–1. c) LMT–1. xd) L2MT–1. e) L2MT–2.

3) Define-se intensidade I de uma onda como a razão entre a potência que essa onda transporta por unidade de área perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para uma certa onda de amplitude a, frequência f e velocidade v, que se propaga em um meio de densidade ρ, foi determinada que a intensidade é dada por: I = 2π2.f x.ρ.v.ay Indique quais são os valores adequados para x e y, respectivamente. xa) x = 2; y = 2 b) x = 1; y = 2 c) x = 1; y = 1 d) x = -2 ; y = 2 e) x = -2; y = -2

4) Um estudante do 1º ano de Engenharia não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo da velocidade v de propagação do som, com a pressão P e a massa específica ρ , num gás. No entanto, ele se recorda que a fórmula é do tipo vα = CPβ/ρ , em que C é uma constante adimensional. Após um exame da equação dimensional ele conclui que os expoentes α e β evalem respectivamente: a)1;2 b)1,1 xc)2,1 d)2,2 e) 3,2


5) Uma partícula de massa m oscila no eixo OX sob a ação de uma força F = - k.x3, na qual k é uma constante positiva e x é a coordenada da partícula (figura 1).

Suponha que a amplitude de oscilação seja A e que o período seja dado por (figura 2).

onde c é uma constante adimensional e α, β e γ são expoentes a serem determinados.

Utilize seus conhecimentos de análise dimensional para calcular os valores de α, β e γ.

6) A força elástica de uma mola é dada pela Lei de Hooke, F = kx, onde k é a constante elástica da mola e x é o comprimento do tanto que a mola foi esticada (ou comprimida). Utilizando análise dimensional, encontre as unidades no SI da contante k. 7) A Lei da Gravitação Universal de Newton estabelece que a força de atração gravitacional entre dois corpos é dada por:

Onde G é a constante gravitacional, M e m são as massas dos corpos e r é a distância entre seus centros. Determine as unidades da constante G no SI, utilizando análise dimensional.


Referências Bibliográficas • Sistema Internacional de Unidades. 8

a Ed. Rio de Janeiro: INMETRO, 2007.

Disponível em www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf • Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 2, 3 e 4. 6

a. Ed. Rio de Janeiro:

LTC, 1996. .INMETRO. Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia - VIM. Versão brasileira do "Vocabulary of Basic and General Terms in Met rology". Rio de Janeiro: INMETRO, 1995. INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO E QUALIDADE INDUSTRIAL (INMETRO) et al. Guia para Expressão da Incerteza de Medição. Edição Brasileira do "Guide of Uncertaincy in Measurements" . 2. ed. Rio de Janeiro, 1998. Notas de aulas do Professor Dulceval Andrade de Santana- [email protected]

Universidade de Brasília (UnB) http://www.unb.br/portal

Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) http://www.unicamp.br

Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" (Unesp) http://www.unesp.br

Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ) http://www.uerj.br

Universidade de São Paulo (USP) http://www.usp.br

Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) http://www.ufrj.br

Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) http://www.ufrn.br

Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) http://www.ufrgs.br/ufrgs

Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) http://www.ufscar.br Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) http://www.ufsm.br

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