analise dimensional livro

5/11/2018 Analise Dimensional Livro

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Capitulo 7

ANALISE D IMENSIONAL ESEMELHAN(A

Como pouquissimos escoamemos Jeaispodem ser solrrcionadoscom exatidao usando-se apenas m&odos anaIfiicos.. 0desenvol-vimento damecsnica.des fluidos rem dependido mllito de resul-tados experimentais. Emgeral, a olll~o de problemas reaisenvolve uma combinao de analise e informacao experimental.Primeiro. a situac;ao do escoamento real e aproximada par meiodeurn modelo maresnatico simples a suficiente para fornecer umasolucan, Em segnida, medicoes experimentais sao feitas paraverificar as resultados analiticos, Com base ness as medicoes,refina-se a analise. Os resultados experimentais sao um elo es-sencial nesse processo iterati vo.Contudo, 0 trabalho experimental de laborat6rio e simultane-amente dispendioso e deroorado. Urn objetivo 6bvio e obter 0maximo de informacoes do minimo de experiencias. A analisedimensional e uma importante ferramenta que em muitos casasnos auxilia na consecucao desse objetivo. Os parametres adimen-sionais que obtemos tambern podem ser usados na correlacao dedados para apresentacao, usando-se a men or mimero possivel degraficos,

Quando arealizacao de teste experimental em urn prot6tipode tamanho real e impossfvel au de custo proibitivo (como aeon-tece com frequencia), a unico modo via vel de atacar 0problemaeo teste de modelos em laboratorio. Se desejamos prever 0com-portarnento do prot6tipo a partir de medicoes no modelo, e 6b-vio que nao podemos fazer qualquer teste em qualquer modelo.Os escoarnentos no modelo e no prototipo devem ser relaciona-dos por leis de escala conhecidas, Investigaremos as condicoesnecessaries para se obter essa similaridade entre os escoamentosno modele e no prototipo ap6s a discussao sobre analise dimen-sional.

7 .1 NATUREZA DA ANAL ISEDIMENS IONAL

A maioria dos fenomenos da mecanica dos fluidos depende, deuma maneira complex a, de parametres de geometria e de escoa-mente. Por exemplo, considere a f01"9ade arrasto sabre uma es-fera lisa estacionaria imersa numa corrente uniforme, Que expe-riencias devem ser conduzidas para determinar a forca de runs-to sobre a esfera? Para responder a essa pergunta, devemos es-pecificar 0 parametres que sao importantes na determinacao daforca de arrasto. Claramente, esperarfamos que a forca de arras-to dependesse.do tamanho da esfera (caracterizado pelo diame-

tro, D , da velocidade do fluido, V, e da sua viscosidade, J . L . Alemr u s s o . a massa especifica do fluido, p tambem poderia ser imponante. Representando a forca de arrasto por F, podemos escrever a equacso simb6lica

F = f C D , V , p, J . L )Embora possamos ter ignorado parametres dos quais a forca darrasto depende, tais como a rugosidade superficial (ou tenhamos incluido parametres dos quais ela nao depende), formula-mos 0problema da determinacao da forca de arrasto para umaesfera estacionaria em termos de quantidades que sao tanto controlaveis quanto mensuraveis em Iaboratorio.

Imaginemos uma serie de experiencias para determinar a dependencia de Fern relacao as variaveis, D, V,p e J . L . Depois dconstruir uma adequada instalacao de testes, 0 trabalho poderiacomecar, Para obter uma curva de F versus V para valores fixode p, f. L e D, precisanamos de testes para 10 valores de V. Paraexplorar 0 efeito do diarnetro, cada teste seria repetido para esferas de 10 diferentes diametros, Se 0procedimento fosse repetide para 10 valores de pede u; por sua vez, a aritmetica simples nos mostraria que 1Q 4 testes individuais seriam necessaries.Admitindo que cada teste levasse meia hora e que trabalhasse-mos oito horas por dia, a serie completa iria requerer dois anosmeio para se c encerrada. Desnecessario dizer que poderia havetambem algumas dificuldades 11aapresentacao dos dados, Plotando F versus V,com D como urn parametro, para cada combina


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lo:J;:x:r~::-: idos com 10 valores diferentes de roassa especffica~~~!rle_ em temos que fabricar 10 esferas de diametros

a::~3::i;S_ Em vez disso, apenas a razjio p VDIMdeve ser varia-s e r c onsegu ido simplesmente por uma mudanca naY-!iD::;b~ por exemplo.

ze orem a dos Pi de Buckingham e urn enunciado da relacao~mna funcao expressa em termos de parametres dimensio-z.. e uma funcao correlata express a em termos de parametres~ionais. 0 emprego do teorema dos Pi de Buckingham:r:mite-nos desenvolver os parametres adirnensionais de modo- e facil,

.2 TEOREM A DO S PI DE BUCK INGHAMurn problema ffsico no qual 0parametro dependente e uma~ de n - 1 parametres independentes, podemos expressarrelac;ao entre as variaveis em forma funcional, como

ql = f(q2 , q3, ... , q n)de ql eo parametro dependente e Q2' Q3' ... , q " sao os n - 1pariimetros independentes. Matematicamente, podemos expres-

sat" a relacao funcional na forma equivalenteg(qb Q z, ... , qll) = 0

onde g e uma funcao nao especificada diferente def Para 0 ar-rasto sobre a esfera, escrevemos a equacao simb6licaF = f eD , V, p , / 1 - )

Poderfamos do mesmo modo ter escritog(F, D, V, p, / 1 - ) = 0

o teoremados Pi de Buckingham [1] declara que: Dada umarelacao entre n parametres da formag(q t> q2 . . . , q n) = 0

entao os n parametres podern ser agrupados em n - m raz6esin de p en de n te s a dim e n sio na is , ou parametres TI, que podem se rexpressos em forma funcional por

G(Ih II2 , ... ,I1n-lII) = 0ouI1l = Gr (II2, II3, ... , IIn-lIl)o numero m e usualmente , ' mas nem sempre , igual ao mimero

mfnimo, r, de dimensoes independentes necessarias para espe-cificar as dim e nso es de todos os parametres q !, q 2 ' . . . , q " .o teorema nao preve a forma funcional de G ou de Gj A re-lacao funcional entre os parametres independentes adimensio-nais II deve ser determinada experimentalmente,as n - m parametres adirnensionais IIbtidos por esse pro-cedimento sao independentes. Urn parametro II nao e indepen-dente se ele puder ser formado por urn produto ou quociente dosou tr os p ar ame t re s do problema. Por exemplo, se

au

entao, nem ITsnem TI6 sao independentes dos outros parametresadimensionais.

'Ver 0 Problerna-Exemplo 7.3.

A NA LIS E D IM EN SIO A l E S EM ElH AN


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94 I IJ RODU< ;A _O A MECANICA DOS FLU IDOS

dos outros parlimetros para formar grupos dimensi-onais. (Havera n - mequacoes.) Resolva as equacoesdimensionais para ob ter os n - m grupos adimensio-nais.Passo 6. Yenfique.se cada grupo obtido iadimensional. Se arnassa foi inicialmente selecionadacomo um a d im e n-sao primaria, e aconselhavel verificar as grupos utili-

zando a forca como uma dimensao primaria, au vice-versa.A relacao funcional entre os parametres II deve ser determi-nada experimentalmente. 0procedimento detalhado para deter-minar as parametres IIadimensionais e ilstrado nos Problemas-Exemplo 7.1 e 7.2.

EXEMP lO 7.1 - Fo rca de A rrasto sobre um a E sfe ra lisaConforme observado na Secao 7.1, a forca de arrasto, F, sabre uma esfera lisa depende da velocidade relativa, V, do diametroda esfera, D, da massa especffica do fluido, p. e da viscosidade do fluido, 1 1 . . Obtenha u r n conjunto de grupos adimensionaisque possam ser usados para correlacionar dados experimentais,PROBlEMA-EXEMP10 7.1

IDADOS: F =](p, V.D. p) pam omaesiD ET ERM lN A R:: U m co njum o apropri2do de ~ adimensionais.SOlU~O:(Os D6:mt:ro circ-nnscriros referem-se aos passos do procedimento de determinacao dos parametres adimensionais II.)< D F V D P fJ - n = 5 parametres dimensionais@ Selecione as dimensoes primarias M, Let@ F V D P

ML L L MfJ -M r := 3 dimensees primariast2 t D Lt@ Selecione os parametros repetentes p, V,D m = r = 3 parametres repetentes Entao, resultarao n - m=2 grupos adimens-ionais. Estabelecendo eqnacoes dimensionais, obtemos

eEquacionando os expoentes deM, Let result a

M : a + I= 0 a := - I } FL: -3a + b + c + 1 =0 c = -2 P ortan to , T I I pV2D2t : -b - 2 = 0 b= -2De modo semelhante,

M :L:t :

d+l=O- 3d + e + f - 1 = 0-e - 1 = 0 P ortan to , T Il = P~D

@ Verifique usando dimensoes P, Let. [III] = [ P ~ D 2 ] e L4(t )21F- - - = 1Ft2 L L2

, onde [ 1 significa "tern dimensoes de", ee Ft L4 t 1V Ft2 II 1

A relacao funcional e II] =!(II2), ou

como observado anteriormente. A forma da funcao.j, deve ser determinada experimentalmente.


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ANAL IS E D IMENS IONAL E SEMELHAN< ;:A 19===============================================================================================/o '7.2 - Queda de Pressao no Escoamento Dentro de urn Tubo___ repressao, tsp , para escoamento perma~ente incompressfvel viscoso atraves de urn tubo retilineo horizontal, depende d:t::I::::p~mlO do tuba, l, da velocidade media, V, da viscosidade do fluido, } .L, do diametro do tuba, D, da massa espeeffica d- - _ p: e da altura media de "rugosidade", e. Determine umconjunto de grupos adimensionais que possa ser usado para eerrela

dados.

BlB.(A-EXEMPLO 7.2D-~D05. ~ = f{p, V, D, l, JL . e) para escoamento num tubo circular.OEIBL\U !AR:Urn conjunto adequado de grupos adimensionais,

mmeros eircunscritos referem-se aos passos do procedimentc'de determinacao dos parametres adimensionais II.)1. pJLVlDe~ Est-olha as dimensoes primarias MLet~ ~P JLVID eM I'd L----LLLL.2. L" Lt t

n = 7 parametr es

r = 3 dimens6es primariese ~lecione os parametres repetentes p, V, D m = r = 3 parametres repetidos~ .&nao~resultarao n - m :=: 4 grupos adimensionais. Estabelecendo equacoes dimensionais, temos:

e

M :L:t :

M :L:

( M ) C ( L ) I ' .t (L),L = MOl:ho0= s . 1o = -38 + h + i + 1O=-h, i=-l

g = 0h=O

t :

IPortanto, II3 = -D Verifique, usando dimensfies F , L , t[rId = [ b . T ! ]pV2 F L4 t2VF{20

e Ft [4 t 1-_._- = IV Ft2 LL

e

M:L :

( M ) d ( L ) e . f M oo 0t t (L) i = M L t: : ~ : d . , + i:1 1 : : = ~0= -e - 1 f = -1:

III.[I[III[I[

II JL _Portanto, 2 = -=-pVDT I 4 = = phlkD1e e

( ~ ) ( ~ ) \ L ) ' L = M O L O t OO=j 1 )=0o = -3) + k + l + 1 k= 0O=-k [=-1

M :L :t :

ePortanto, II4 = ....:....D

[T I3 ] = [~]. L 1L[IT 4 ] = [ ~ ] L .1L


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96 1\;lRODU


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ANALIS E D IM EN SIONA L E SEME LHANC;:A 197

Entao, para cada conjunto de dimensoes primarias perguntamos, "m e igual a r?" Vamos verificar a matriz dimensional para descobrir. Asmatrizes dimensionais sao .! : : : . . h D y o ! : : : . . h D y a

M 0 0 1 1 F 0 0 1 IL I J -2 0 L 1 1 -3 -10 0 -2 -2o ponto de uma matriz 6 igual a ordem do seu maior detenninante Ilio nuIo.

o 1 11 -2 0 = 0- (1)(-2) + (1)(-2) = 0o -2 -2

11=-1+3=2>"'0-1:. In = 2

1 -2 . 1 = 4,.00-2 -2:. m = 2

m , . o r m=r

m=2. Escolha D, y como parametres repetentes.@ Resultarao n - m = 2 grupos adirnensionais.

EscoIhaD, ycomo parametres repetentes.Resct;I2ti-~n - Hi = 2 gropos adimensionais.

e III=U-yf Mlf _ y L = F J L O t O3LM :L:t :

F:L:

/=0e-3/- e = -1

! : : : . . hPortanto, II. = -D! : : : . . hPortanto, II . = -D

II2 = DC-- / ( j eCL), ( M ) d M = M O L O t O" Ot2 t2

M: d+l=O } d=-lL : c-2d=Ot: -2d - 2 = 0 c = -2

II2 = D fJ y1 1 (ja ( ! ! _ ) h ! : : _ = p O L O tOV L

F: h+l=O } h=-lL: s: 3h - 1 = 0 g = -2

aPortanto, II, = --, - D'y-@ Verifique usando dirnensoes F , L , t.

aPortanto, II2 = --D2yVerifique usando dimensoes M, L, t

'[ITI] = [~]

[IhJ = [ ; : y ]e LL [ild = [~]

[II2J = [ ; y ]e LL

e e

Portanto, ambos os sistemas de dimensoes fomecem os mesmos parametres adirnensionais II. A relacao funcional predita eou

{Esse resultado e razoavel d.0 ponto de vista ffsico, 0 fluido e estatico; nao se poderia esperar que 0 tempo fosse uma dimensao importante.}A fmalidade desse problema e ilustrar 0 emprego da matriz dimensional na determinacao do mimero requerido de parametres repetentes,


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7. GRUPOSAD IM ENSIO NA IS DEIM PO RTANCIA NA M ECAN1CA DO SF lUIDOS

Ao longo dos anos, varias centenas de grupos adimensionaisdiferentes que sao importantes na engenharia foram identifica-dos. Seguindo a tradicao, cada urn desses grupos recebeu a nomede urn cientista ou engenheiro proeminente, geralmente daqueleque foi 0pioneiro no seu uso. Varies grupos sao tao fundamen-tais e ocorrem com tanta frequencia na rnecanica dos fluidos quedispenderemos algum tempo para aprender as suas definicoes.o entendimento do seu significado fisico tambem aumenta a per-cepcao dos f enomenos que estudamos.As forcas, encontradas nos fluid os em escoamento incluemaquelas devidas a inercia, viscosidade, pressao, gravidade, ten-sao superficial e cornpressibilidade. A razao entre duas forcasquaisquer sera adimensional . Mostramos previamente que a f o rc ade inercia e proporcional a pV1D. Para facilitar a formacao derazoes entre forcas, podemo expressar cada uma da s forcas re-manescentes como segue:

G~' du V?'_v~ VISCO a ='iA = f. L dy A a: f. L L L-= f. L VL,(l1p) A a: (l1p)Umg a: gpl?

= al:Forca de pressaoForca de gravidadeForca de tensao superficialParga de compressibilidade =

As forcas de inercia sao importantes na maioria dos proble-mas de mecanica dos fluidos. A razao entre a forca de inerciae cada uma das outras listadas anteriormente, leva a cinco gru-pos adimensionais fundamentais encontrados na rnecanica dosfluidos.Na decada de 1880, Osborne Reynolds, engenheiro britani-co, estudou a transicao entre osregimes laminar e turbulento numtubo. Ele descobriu que 0parametro (que mais tarde recebeu seunome)

Re = pVD = VDf . 1 . . 11

e um criterio pelo qual 0 regime do escoamento pode ser deter-minado. Experiencias posteriores mostraram que 0 numero deReynolds e urn parametro chave para outros casos de escoamen-to tam be m . E ntao , em geral,

Re = pV L = VLf . 1 . . jJ

onde L e um comprimento caracteristico, descritivo da geome-tria do campo de escoamento. 0nurnero de Reynolds e a r az aoentre as forcas de inercia e as forcas viscosas, Escoamentos com"grandes" numeros de Reynolds sao, em geral, turbulentos. Es-coamentos nos quais as forcas de inercia sao "pequenas" com-paradas com as f or ca s v is co sa s sao escoamentos de caracterfsti-cas laminares. :Em ensaios com modelos aerodinamicos e outros e conveni-ente apresentaros dados de pressao na forma adimensional. Arazao

Eu = I1p! pV2

e farmada, onde I1 p e a pressao local menos a pressao de corree-te livre, e p e V sao propriedades da corrente livre do escoamea-to. Ess.a..razaorecebeu 0nome de I.eonhm;d Eu-lef. ; -materruUicoSU1yO que fez muitos trabalhos analiticos pioneiros em mecani-ca dos fluidos. Euler recebeu a credito de ter sido 0primeim ar e conhece r 0papel da pressao no movimento dos fluidos; as eqna-y6es de Euler do Cap. 6 demonstram esse papel, 0 numero deEuler e a razao entre as forcas de pressao e as forcas de inercia,(0 fator 112 e introduzido no denominador para dar,a pressao_dinamica.) 0 numero de Euler e frequentemente chamado decoeficiente de pressiio, Cr .No estudo dos fenornenos de cavitacao, a diferenca de pres-sao, I1p, e tomada como 6 .p =p - p ; onde pea pressao na cor-rente lfquida e p" e a pressao de vapor do liquido na temperaturage teste. Combinando esses parametres com p e V na correntelfquida, resulta 0parsmetro adimensional denominado n tenerode cavitaciio,

ca = P - plJ!p V 2

William Froude foi um engenheiro naval brit.nico.J untamen-te com seu filho, Robert Edmund Froude, descobriu que a para-metroVFr = JiL

era significative para escoamentos com efeitos de superffcie li-vre. Elevando 0numero de Froude ao quadrado, temos2 ~ p V 2 L 2Fr =-=--gL pgV

que pode ser interpretado como a razao entre as forcas de iner-cia e as forcas de gravida_?e.0 comprimento, L, e um compri-menta caracterfstico descritivo do campo de escoamento. No casode escoamento em canal aberto, a comprimento caracterfstico ea profundidade de a gu a: m im e ro s de Froude inferiores a unida-de indicam escoamento subcritico e valores maiores que a uni-dade indicam escoamentos supercrfticos,O .n um e ro de Weber e a razao entre as forcas de inercia e asfo rcas d e te nsao superficial, Ele pode ser escrito

p V 2LWe= --(T

Na decada de 1870, 0 ffsico austriaco Ernst Mach introduziuo parametroM=V c

onde V e a velocidade do escoamento e c a velocidade local dosam. Analises e experiencias mostraram que oi l1umero de Mache urn parametro chave que caracteriza os efeitos de cornpressi-bilidadejium escoamento. 0 mimerode Mach po e ser e . 0

VM=- cvP iv M 2=~ ouque pode ser interpretado como uma razao entre as forcas deinercia e as forcas devidas a compressibilidade, Para escoamen-


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to realmente incompressfvel (sob algumas cond icoes mesmo osliquidos sao bastante compressfveis), c = 00 de modo queM =o .7 .5 SEM ELHAN (A DE ESCOAM ENTO S EESTU DO S D E M OD ELO SPara ser util, urn teste com modelo deve fomecer dado que pos-sam, por meio de transposicao de escalas, fornecer as forcas, mo-mentes e cargas dinamieas que existiriam no prot6tipo em tama-nho real. Que condicoes devem ser atendidas para se as egurar as emelhanca entre os escoamen tos de modelo e de prototipo?

Talvez 0 requisite mais 6bvio e que 0 modele e 0 prot6ti:podevem ser geornetricamen te sernelhantes. A semelhanea geome-trica requer que 0modelo eo prot6tipo tenham a mesma formae que todas as dimensoes lineares do modele sej am relacionadasas correspondentes dimensoes do prot6tipo por urn fator dees-cala constante.

Urn segundo requisito e que os escoamentos de~protot:ipo ede modelo sejam cinematicamente seme lhanies. Dois escoamen-t Q _ sao cinernaticamente semelhantes quando as velocidades empontos correspondente estao no mesmo sentido e . re lacionam-se em magnitude por meio de urn fator de escala constante, As-sim, dois escoarnentos einematicamente semelhantes tambemt~m configuracoes de linhas de eorrentes relacionadas par urn.fator de escala constante. Como as fronteiras formam as linhasde corrente limitrofes, eseoamentos que sao cinematicamentesernelhantes devem ser tarnbem geometricamente seme1bantes.

Em principio, a semelhanca cinematic a exigiria que urn ni-nel de vento de secao transversal ret a infinita fosse usado naobtencao de dados para arrasto sobre urn objeto, a firn de mode-jar corretarnente 0desempenho num campo de escoamento infi-nito. Na pratica, essa restricao pode ser consideravelmente rela-xada, permitindo 0 emprego de urn equipamento de tamanhorazoavel,

A s eme lh an ca cinematic a requer que os regimes de escoamen-to sejam os mesmos para modele e prot6tipo. Se efeitos de com-pressibilidade au de c av ita ca o, - qu e podem ate rnudar os padroesqualitativos de um escoamento, nao estiverem presentes no es-coamento de prototipo, eles devem ser evitados no escoamentode modelo.

Quando. doisescoamentos tern distribuieoes de fo rca tais quetipos identicos de forcas sao paralelas e relacionam-se em mag-nitude pOl' urn fator de escala constante em todos os pontos cor-respondentes, entao os dois escoamentos sao dinamicamentesemelhantes.

Os requisitos para semelhanca dinamica sao os mais restriti-vas. Semelhanca .cinematic a requer semelhanca geometric a; asemelhanca cinematic a e urn requisito necessario, mas nao.sufi-ciente, p-ata a semelhanca dinamica.

A fim de estabelecer as condicoes necessarias para a com le-ta semelhan9a dinamica, todas as forcas que sao importantes noescoamento devem ser consideradas. Dessa forma, os efeitos deforcas viscosas, de forcas de pres sao , de forcas de tensao super-

ANALIS E D IM EN SIONA L E SEMELHA 'c;A

ficial, e assim por diante, devem ser considerados, As condicoesde teste devem ser estabelecidas de tal forma que todas as forcasimportantes sejam relacionadas pelo mesmo fator de escala en-tre as escoamentos de modelo e de prot6tipo. Quando existe sernelhanca dinamica, os dados rnedidos num escoamento sabre 0modele podem ser relacionados quantitativamente com as con-dicdes do escoarnento sobre 0 prot6tipo. Quais sao, entao, acondicoes que asseguram semelhanca dinamica entre as escoa-mentos de modelo e de prot6tipo?o teorema dos Pi de Buckingham pode ser usado na obten-fao dos gl11POSadimensionais que governam ur n fen6meno deescoamento; para a consecucao da semelhanca dinamica entreescoamentos geometricamente semelhantes devemos duplicar ogrupos adimensionais independentes; assim procedendo, 0 parametro dependente e tambem duplicado.

POl' exemplo, ao considerar a forca de arras to sobre uma esfera no Problema- Exemplo 7.1 comecamos com

F = f eD , V, p, p.,)o teorema dos Pi de Buckingham predizia a relacao funcionaIF (PVD )pV2D2 = fi M

a Se9ao 7.4 mostramos que os parametres adimensionais po-dem er vistos como razoes entre forcas, Assim, ao considerarurn escoamento de modele e urn escoamento de prot6tipo emtomo de uma esfera (as escoamentos sao geometricamente s rmelhantes), as escoamentos serao tambem dinamicamente seme-lhantes eo parametro independente p VD I u. for duplicado entremodelo e prot6tipo, isto e , se

(PVD ) (PVD )MO~e l o = ---;- prototipoAlem dis so, seentao 0 parametro dependente, FlpV2D2 , e duplicado entre modele e prot6tipo, is to e

( p ; D2 tOdelO = C : : D2 )Prot6tiPOe os resultados obtidos doestudo d o modelo podem serr~H:"~TJdos na predicao do arrasto no prot6tipo em tamanho

A forca real decorrente do fluido sobre 0objeto n a n e .L.rna em ambos os casos, mas 0 valor do seu grupo adi:mez.sa.1Ie. Os dois testes podem ser realizados usando-se f1II-~~


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200 INTRODUt;AO A MECANICA DOS FLUIDOS

PROBLEMA~EXEMPLO 7.4DADOS : Transdutor sonar a ser te stado num nine l de vento. _ f E ' ;pJPB

Vp " 5 no sAgua a 5 C

F6PCl I .- -- V ", F", " 5 ,581b fETERMINAR: (a) V...(b) F,.Ar

sow\=A.O:Uma vez qu e 0 p ro t6 tip o o pe ra na agua e 0 te ste d o modele deve ser feito no ar, resul tados dteis poderao seresperados somente se os efeitos decavitacao e stive re m ause nte s n o e sco am en to so bre 0 proto tipo e os e fe ito s de com pre ssib ilidade e stive re rn ause nte s no s te ste s com a m ode lo . S obe s sa s c o nd i9 0 e s,

F (PVD )pV2D2 = f jJ--e 0 teste deve ser conduzido a

p ara ass eg urar se m e lh an ca d in am ica, Para a ag ua do mar a 5C, p = 1,99 slug/pel e v "'" 1 ,6 9 x lO-S p62/s. N as c on dic oe s de prot6ti po,VI' = 5 nm i 6080 p e x _h_ "" 8 4.4 ' < / '11x nmi 3600 s ' p o ; sVpDp ~ 8,44 pe I pe s 5Rep = - - - ; ; ; - ~ s x . x 1 ,69 x 1O-5p e 2 = 4,99 x 1 0

A s c on dic de s de teste com 0modele devem reproduzir esse mimero de Reynolds. Entao,Re; = V",D", = 4,99 x 105

II",Para 0 ar padrao (6W F e 14 ,7 p s ia ), p = 0,00238 sIug/pt9 e v = 1,57 x 1O -~ pe2ls. 0 n ine l de ven t e deve ~er operado a

V R lim 4,99 X lOS . 1,57 x 1O-4pe 2 1m = em Dm = x Sx 0,5 p eEssa velocidade e baixa 0 s uf ic ie n te p ar a que os efeitos de compressibilidade sejam desprezados,

N e s sa s c on dic oe s de teste, os escoamentos de modele e de prot6tipo sao dinamicamente semelhantes. Portanto,

P : Z D 2 ) . me

V2 D2 2~ P I' P P _ 5,581bf 1,99 (8,44) 1FF--- x X-.~x-~.-. p ~ m P m . v ; , D ~ ~ 0,00238 (157)2 (0,5)2r, = 53,91bf.,.._ _F_:_

Se a c av itac ao f os se esperada - se a sonda do sonar fosse operada a alta v e lc cid ad e p ro xim o it superffcie livre da agua - e ntao resultadosuteis nao poderiam se r obtidos de ur n teste com modele no ar .{ Esse problema dernonstra 0 calculo de valores de prot6tipo a partir de dados de teste de modelo. }

7.5.1 Semelhanca Incompleta rou escoamentos dinamicamente semelhantes. Testes no ar per-mitiram a reproducao exata do numero de Reynolds (0que tam-Mostramos que para alcancar semelhanca dinamica completa bern poderia ter sido obtido nurn tiinel de agua, para essa situa-entre escoarnentos geometricamente semelhantes e necessario du- yao)..A forca de arrasto sobre uma esfera realmente depende daplicar os grupos adirnensionais independentes; assim proceden- natureza do escoamento de camada limite. Portanto, a semelhancad01 0parametro dependente sera duplicado. geornetrica requer que a rugosidade superficial relativa seja aNa situacao simplificada do Problerna-Exemplo 7.4, a dupli- mesma para modelo e prot6tipo. IS30 significa que a rugosidadecacao do mimero de Reynolds entre modele e prot6tipo assegu- relativa tarnbem e urn parametro que deve ser reproduzido entrer ----- ... ...---.- ........_._.._._... ..! Ur.iw ,~;i(iiie i:::~c;;.ii !'-', F : ' . : . ' C , i J l ! : ' . J O l i e JI ;:J I r-: , ""!~ ,', _. . ,-, I j I !\ i! _-;~ ..... ~ '.. ~ . , ~ r " : _ . ! " r ~ ~\ f I


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~~a 5es para modele e para prototipo. Se admitirmos que 0~"-='-~ foi cuidadosamente construido, valores medidos do ar-

estes com 0modele pode rao se r transpostos por esca-. prever 0 arrasto nas condicoes de operacao do prot6tipo.~ muitos estudos com modelos, a consecucao da semelhanca.:r:::z:lcru::aexi.,gereproducao de diversos grupos adimensionais.::.......di'gu:ns casas, a completa semelhanca dinamica entre mode-;:::prototipo pode nao ser alcancada, A determinacao da forca

o (resistencia) de urn navio e urn exemplo de uma des-~oes. A resistencia sobre a superficie de urn navio surgearrito de contato com 0 casco (forcas viscosas) e da resisten-&ndas de superficie (forcas de gravidade). A semelhanca- ica completa requer que as mimeros de Proude e de Rey -sejam reproduzidos entre modele e prot6tipo.Emgeral nao e possfvel preyer analiticamente a resistencia= ~ t u < 1 pela formacao de ondas, entao ela deve ser modelada.

Vm 'V p= (g L rrJll2 = Frp = (gLp)1/2_ :gualdade dos mimeros de Froude entre modelo e prot6tipoer uma razao entre velocidades de

( )

l/2

~: = i ; ;fim de garantir configuracoes de ondas de superffcie dinami-zamente semelhantes.Para qualquer escala de comprimento do modelo, a igualda-

iJoi! dos mimeros de Froude determina a razao entre velocidades.Apeaas a viscosidade cinematica pode ser alterada a fim de re-produzir 0mimero de Reynolds. Entao,

eva a condicao que11 m

Se utiiizarmos a razao entre velocidades obtida da igualdade dosmimeros de Froude, a igualdade dos 'mimeros de Reynolds levaa nma razao entre viscosidades cinematic as de

Se Lff lLp igualar 11100 (uma escala tipica de comprimento paratestes com modelos de navios), entao 1I,jvp deve ser 111000. AFig. A.3 mostra que a mercuric e 0unico liquido com viscosida-de cinematica inferior a da agua. Contudo, e apenas uma ordemde grandeza menor, aproximadamente; dessa forma, a razao en-tre viscosidades cinematic as necessaria para duplicar a mimerode Reynolds nao pode ser obtida.

A agua e 0 unico fluido viavel para a maioria dos testes commodelos de escoamentos com superficie livre. A obtencao dasemelhanca dinamica completa requereria, entao, urn teste comurn modelo em tamanho real. Entretanto, estudos de modelosfornecem informacoes riteis mesmo quando a sernelhanca com-pIeta nao e obtida. A Fig. 7.1 apresenta dados obtidos num testecom um modelo de navio, em escala 1:80, realizado no labora-

ANA LIS E D IM EN SIO NA L E S EMEL HAK y

0,006


11/23

202 INTRODUc;AO A MECANICA DOS FLUIDOS0,008 r--~-----'I~~-r'I~~----'-I~~-'--I~~"--I~---'

0,006 >-

I I0,2 0,3 0,4 0,5,1NOme r o de FroOOe

F ig . 7 .2 R e si stenci a de um navio em tamanho rea I p rsv ista a parti rde re sultados de te ste de modele, Dados do Laborat6rio de Hi-drornecanica da Academia 'aval dos E.U.A., cortesia do Prof.Bruce Johnson.)

local que correspooda ao compor tamento do na vio em tamanhoreal. Pregos, ou


12/23

fimire legal de veloci dade. En tao , nao hi problema qu an to aosda compressibilidade, mas as modelos em escala sao ca-e Ievam muito tempo para erem construfdos,Umgrande ninel de vento (as dimensoe da secao de teste sao

-~.....m de altura, 10,4 m de largura e 21 3 1 1 1 de eornprimento; areloeidade maxima do at' e de 250 km/b com 0 ninel vazio) e

pela General Motors para testar autom6veis em tarnanhoreal em velocidades de auto-estrada. A grande secao de testepennite 0usa de automoveis iafdos da 1inha de producao oumaqnetes de argila em tamanho real com os estilos de carroceria~ postos. Muitos OUtlOS fabricantes de veiculos autornotoresm o nsando instalacoes semelhantes; a Fig. 7.3 mostra um "se-dan" em tamanho real sendo testado n o n in el de vente da Volvo.A elocidade relativamente baixa perrnite a isualizacao do es-amento, usando-se tufos ou correntes de 'furnaca".' Empre-

gando "modelos" em tamanho real, estilistas e engenheiros po-dem trabalhar juntos em busca de resultados otirnos.

= u m a mistura de nitrogenio Ifquido e vapor d' agua pode ser usada para produzir linhas deemiss30 de "furnaca" que cvaporarn e nao entopern as telas finas usadas para reduzir 0 nivelde turbulcncia em urn uinel de vento. Linhas de emissao podem se lorna, "coloridas ' embas p ela co lo cacao de urn fihro sobre a le nte da camera. E ssa e o utras tccnicas para visu-aliza,.ao de escoamenio silo detalhadas em [3] e [4].

A ALiSE DIME SIONAL ESEMELH.---...

E mais diffcil obter sernelhanca dinarnica em testes irnhoes e onibus: as modelos devem ser feitos em escalasre do que aquelas usadas para automoveis.' Urna escala gpara te tes de caminhoes e fmibus e 1 :8. Para se obter umapleta semelhanca dinarnica pela reproducao do rnimero de ~ -nolds nessa escala, seria necessaria uma velocidade de tesae440 mph 0 que introduziria efeitos indesejaveis de compressbilidade, e os escoamentos de modelo e de prot6tipo nao s -cinematicamente emelhantes, Felizmente, 0 caminh6es eonibus ao objetos 'rombudos". Experiencias mostrarn que a -ma de urn certo mimero de Reynolds, 0 sell arrasto adimensio--nal torna-se independence do ruimero de Reynolds [5], Ernboraa semelhanca nao eja completa dados medidos de testes podemser transportado por escala para preyer as forcas de arrasto doprot6tipo. 0 procedimento e ilustrado no Problem a-Exemplo 7.5.

Para detalhes adicionais sobre as tecnicas e aplicacoes daanalise dimensional consulte [6-91.

'0 cornp r imemo do vciculo ~ particularmenre imponame em testes com grandes allgulod e ataq ue p ara sim ula r comportamento atrave s do ve mo . C ons idcraco es so bre o bs trucao dnineis lirnitam 0 ramanhc aceiravel do modele. Vcja [5] pam pratica recomendadas,

EXEMPlO 7.S - S em e lh an c;a In comp le ta : Arrasto Aerodlnarnico sobre urn Onibuso seguin tes dados de teste nu m tune! de vento de um modele em escala 1: 16 de UUl 6ni bus es tao disponf veis:21,8 46,7elocidade do ar(rn/s)Forca de arrasto

(N)

18,03,10 4,41

26,06,09

30,1 35,010,7 18,9

38,5 40,9 44,17,97 J2 9 16,94,7

U ando as propriedades do ar padrao, calcule e trace um grafico do coeficiente adirnensional de arras to aerodinarnico,c - FoD - ~pV2A

versus 0 rnimero de Reynolds, Re =pVw / M onde w e a largura do modele. Determine a velocidade minima de teste acima da qualC D permanece constante, Estime a forca de arrasto aerodinamico e os requisites de potencia para 0 veiculo prototipo a 100 kin/h. (Alargura e a area frontal do prot6tipo sao 8 pes e 84 pes2, respectivamente.)

PROBLEMA-EXEMPlO 7.5DADOS : Dados de teste de urn modele de onibus num niuel de vento. As dimensoes do prot6tipo sao: largura de 8 pe s e area frontal de 84 pei-_A escala do modele c 1:16. 0 ar padrao e 0 fluido de teste.DETERMINAR: (li 0 coeficiente de arrasto aerodinamico, CD = FcJ1I2 pV- A , v ers us 0 ruimerc de Reynolds, Re:=: pVw/p.; plotar,(b) A velocidade acima da qual Cn e constante.(e) A forca de arrasto aerodindmico estimada e a potencia requerida para 0 veiculo em escala real a 100 kmIh.SOlUC: :AO:A largura do modele IS

I. 8 pe 0,3048 m 0 l52-x x -= m16 p e 'A area do modelo e

A = ( _ ! _ ) 2 A = ( 2 . ) 2 84 p e l (0 305P m2 = 00305 1III 1 6 p 1 6 x x pel' m


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204 INTRODUC;:AO A MECANICA DOS FlU1DOS

o coeficiente de arrasto aemdimnrico pode ser calculado como

C. - 53,3 FD(N)D - [V(mls)Po numero de Reynolds pode ser calculado como

Re = pVw = Vw = V illX 0,152 m x .. s_p ., 11 s 1,46 X lO-~ m 2

Re :=: 1,04 X r o 4 V(m/s )Os valores calculados sao plotados na seguinte figura:

Numsro de Reynolds do modelo. R em (x 10-') CD" ve rs us R em

o grafico mostra que 0 coeficiente de arrasto do modele torna-se constante em C D m =0,46 aeima de Re m = 4 X lOS,0 que corresponde a veloci-dade do ar de aproximadamente 40 m/s, Como 0 coeficiente de arrasto e independente do numero de Reynolds acima deRe = 4 X 105, entao paraa velculo prot6tipo, (R e =4,5 X 106), CD = 0,46. A forca de arrasto no veiculo em escala real e

F D p = C D i P V ; A p= 0,.46 X 1,23 kg (100 km X 1000. m X _._h__ )2 X 84 pe 2 X (0,305)2 m2 X N s22 m3 h lcm 3600 s . pe 2 kg . m

F D p = 1,71kNA potencia correspondents necessaria para veneer arrasto aerodinarnico e

I l P p = F D p V pL,71 X 10 3 N 100lcmX -Xh 1000 m h W s-x--x--lcm 3600 s N . m

I l P p = 47,5 kW

(Esse exemPlo.ilustra a aplicacao de dados de tes.tes de mOd.elos numa siruacilo em que 0 arra.sto a.dime.n8io.na1e CODstante acima de um ce110)mimero de Reynolds minima. Nessa situacao, nao e necessaria reproduzir 0 nurnero de Reynolds do prot6tipo para se obter dados uteis dosteste-s.Contudo, Recommended Practice da SAE [5] sugere Re 2: 2 X 106 para testes com onibus e caminhces.

7.5.2 Lei das Escalas com Parametres MultiplesDependentesafetam 0desempenho da bomba. Os parametres de desempenhode interesse incluem 0 aumento de pressao (ou altura de carga)desenvolvido, a potencia de entrada requerida e a eficiencia damaquina medida sob condicoes de operacao especffica.' As cur-m algumas situacoes de importancia pratica pode haver mais deurn parsmetro dependente. Em tais casas, os grupos adimensionais

devemserformados separadamentepara cadaparametrodependente,Como exemplo, considere uma bomba centrffuga tfpica, Aconfiguracao detalhada do escoamento dentro de uma bombavaria com a vazao em volume e a velocidadetessas variacces'E fic ie nc ia e -d efin id a c om o a ra zao e ntre a p ore ncia liberada para 0 flu id o e a p or en cia deentrada. " = iJ ' /@ ~""", " ' Para escoamento incompressfvel, a equaclio de energia reduz-se a@ = pQI! (quando a "carga" It~expressa como sendo energia por unidade de massa), ou afl' '" pgQH (quando a altura H e expressa como sendo energia por unidade de peso).


14/23

~ ~ ~o sao geradas variando-se urn parametro inde-~ mlcomo a vazao em volume. Entao, as variaveis inde-~. sao vazao em volume, velocidade angular, diametrodo rome e propriedades do fluido . .As variaveis dependentes saoas diversasquantidades de desempenho de interesse.

A determinacao de parametres independentes inicia-se comas equacoes simb6licas para a dependencia da altura de carga, henergia por unidade de massa, Ult2), e da potencia, g p , em rela-;;20 aos par ame t r e s independentes, dada por

h = gl(Q, p, w, D , ;;. .)e

c ; P = g 2 (Q , p , w, D , J . L )o emprego direto do teorema dos Pi fomece 0 coeficiente dealtura de carga e 0coeficiente de potencia, adimensionais, como

(7.1)

(7.2)Opar.metro adimensional QlwD3 nessas equacoese 0coefici-ente de escoamento. 0parametro adimensional pWD2 / J .L (x p VDIp .) e uma forma de mimero de Reynolds.A altura de carga e a potencia, numa bomba, sao desenvolvi-das por forcas de mercia. Tanto a configuracao do interior de umabomba quanto 0 seu desempenho variam com a vazao em volu-me e com a velocidade de rotacao, E diflcil prever 0 desernpe-nho analiticamente exceto no ponto de projeto da bornba, por issoele e medido experimentalmente. Curvas caracterfsticas tfpicas,obtidas de dados experimentais para uma bomba centnfuga tes-tada a velocidade constante, sao mostradas na Fig. 7.4 como fun-90es da vazao em volume. As curvas de carga, potencia e efici-eocia na Fig. 7.4 foram suavizadas e ajustadas para passar pelospontos calculados a partir dos dados medidos. A maxima efici-encia ocorre em geral no ponto de projeto.

A completa sernelhanca nos testes de desempenho de bom-bas exigiria coeficientes de escoamento e mimero de Reynoldsidenticos. Na pratica, verificou-se que as efeitos viscosos sao

Vazao em volume _Fig. 7.4 Curvas caracterfsticas tfpicas para uma bomba centrffugatestada a velocidade constante.

ANALISE DIMENSIONAL E SEMELHA' f; .- .. 205

relativamente sem irnportancia quando duas maquinas geome-tricamente semelhantes operam sob condicoes de escoamemn"similares", Assim, das Eq s. 7.1 e 7.2, quando

segue que

QI Q 2--~-3 w2D~jD ]

hI h2w2D 2 = w2D 2] ] 2 2r t P 1 ~3D 5 -P2w3D5P1Wl 1 .. 2 2 (7.5)

(7.4)e

A observacao empfrica de que os efeitos viscosos sao semimportancia sob condieoes similares de escoamento permiteemprego das Eqs. 7.3 a 7.5 paratransportar, par escala, as carac-teristicas de desempenho de maquinas para diferentes condicoesde operacao, quando se varia 0diametro ou a velocidade, Essesliteis relacionamentos pOI'esc ala sao conhecidos como "leis" dabombas au dos ventiladores, Se as condicoes de operacao foremconhecidas para uma maquina, as condicoes de operacao de qualquer maquina geometricamente semelhante podem ser determina-das pela variacao de D ew de acordo com as Eqs. 7.3 a 7.5 ..(Maisdetalhes sobre analise dimensional, projeto e curvas de desempe-nho para maquinas de fluxo sao apresentados no Cap. 10.)

Urn outro parametro uti! de bomba pode ser obtido eliminan-do-se 0diametro da maquina nasEqs. 7.3 e 7.4. Designando III =QlwD3 e T I2 =h/ulD2, entao a razao J 1 i 12 111fNe urn outro parametro adimensional; esse parametro e a velocidade especifica, N

wQl12N s = 1 1 , 3 1 4 (7.6a)

A velocidade especffica, como definida na Eq. 7.6a, e um parametro adimensional (desde que a altura de carga total, h, seja expressa em unidades deenergia par unidade de massa). Voce podeimaginar a v e lo cid ad e e sp e cffic a como a velocidade requerida paruma ma qu in a produzir um a altura de ca rga un it ar ia a uma vazavolumetrica unitaria ..Uma velocidade especifica constante descreve todas as condicdes de operacao de rnaquinas geometricamentesemelhantes com condicoes de escoamento similares.

Embora a velocidade especffica seja urn parametro adimen-sional, e pratica comum usar urn conveniente, porem inconsis-tente, conjunto de unidades na especificacao das variaveis weQ ,. e usar a energia por unidade de peso H DO lugar da energiapor unidade de massa h . na Eq. 7.6a. Quando isso e feito, a velocidade especffica, dada pela equacao 7.6b,

wQl l 2N s c u = H3/4 (7.6b)

deixa de ser urn parametro sem unidades e sua magnitude depeade das unidades usadas para calcula-Ia, Unidades tipicas para bornbas utilizadas na pratica de engenharia nos Estados Unidos sao rpmpara w , gpm para Q e pes (energia por unidade de peso) para HNessas unidades, velocidades especificas "baixas" signific.am 50< N s", < 4.000, e "altas" significam 10.000 < N s . , .


15/23

_06 1.ITRODUc;;AO A MECANICA DOS FLUIDOS

EXEMPlO 7.6 - "leis" das BombasUma bomba centrffuga tern uma eficiencia de 80 por cento na sua velocidade especffica de projeto de 2000 (unidades de rpm, gpme pes). 0 diametro do rotor e 8 pol. Nas condicoes de escoamento do ponto de projeto, a vazao em volume e 300 gpm de agua a1170 rpm. Para se obteruma vazao volumetrica maior, a bomba deve ser adaptada com urn motor de 1750 rpm. Use as "leis" dasbombas para determinar as caracterfsticas de desempenho da bomba no ponto de projeto ua velocidade mais alta. Mestre que avelocidade especifica permanece constante para a velocidade de operacao mais alta. Determine a potencia requerida do motor.PROBlEMA-EXEMPlO 7.6DADOS: Bomba centrffuga com velocidade especifica de projeto de 2000 (em unidades derpm gpm e pes). 0diametro do rotor e D= 8 pol. Noponto de projeto da bomba, as condicoes de escoamento sao W = 1170 rpm e Q = 300 gpm, COmagua.DETERMINAR: (a) As caracterfsticas de desempenho, (b) a velocidade especffica e (c) a.porencia requerida do motor, para condicoes de escoa-men to similar a 1750 rpm.SOLm;AO:Das "leis" das bornbas, QlwDl = constants, enta~

W 2 ( D " l ) 3 (1750) .3Q 1 = Ql WI DJ = 300 gpm 1170 (1) = 449 g p m < E ' - - - - _ . . : ; Q _ 2A altura de carga da bomba nao e especificada emwt = 1170:rpm,mas pode ser calculada a partir da velocidade especifica, N,~= 2000. Usandoas unidades dadas e a d efin io ;:ao d e N.D,

entao HI = ( W 1 Q J ' 2 \ 4 / 3 = 21,9 pes; )Entao, Hlw2D 2 = constante, logo

( W 2 ) 2 ( D 2 ) 2 , (1750)2? .H2 = HI w ; - D I = 21,9pes ll70 (1)- = 49,Ope+s H_ 2A potencia fornecida pela bomba e !?PI = pgQIHh logo em WI = 1170 rpm,

1,94 slugQ J > J = -- Xpe3Q J > I = t,66 hp

Mas !?Plpw 1D 5 = constante, logo

32,2 pes 300 gal 21,9pes ptP min Ibf S2 hp s- X - X x X -- X X ::-=,. . :-,---, :7""';;52 min - 7,48 gal 60 s slug pe 550 pes Ibf

(1750)3 5_1,66 hp (1) 1170 (1) - 5,55 hp+-.: r : ; p ~ 2A potencia de entrada requerida pode ser calculada como

r l I ' I O f t = Q J > 2 = 5,55 hp = 694 hp m :.;:r.... 71 0,80


16/23

de ve ndo incluir de talhe s suficie nte s e m are as critic as para 0feno-meno so b avai iacao . Ba lance s aerodinamicas o n o utr os s is temasde m e dicao de fo rcas de ve m se r alinhados e calibrado s co rre ta-m e nte . D e ve m ser idealizados metodos de m ontagem que of ere-~am rigidez e libe rdade de movimentos adequados ao mode lo ,sem interferir co m 0 fenomeno que se de se ja avaliar, As refe-rencias [10-12] sa o consideradas fontes padrao p ara d etalhe ssobre tecnicas de tes tes em nineis de vente. Tecnicas mais espe-eializadas para te ste s de impacto de agua sao de scritas e m [13].As instalacoes e xpe rim e ntais de ve m ser projetadas e constru-W as cuidadosam ente . A qualidade de urn e scoam ento num nine lde ve nte de ve se r docurne ntada. 0 e scoam ento na secao d e te stedeve ser tao unifonne quanta possivel (a rnenos qu e se desejesimular um perfil e spe cial, com o um a cam ada lim ite atrnosferi-ea), livre de angulos e com a m inim a de re dem oinhos. Se inter-fe rire m com as rnedicoes, a s c amada s Iimites nas paredes do t o -nel devem ser removidas pOl' succao o u e n e rg iz ad as por sopro.O s gradie nte s de p re ssao n a se cao de te ste de urn ninel de ve ntopodem c au sar le itu ra s e rro ne as da forca de arrasto devido asvariacoes de pressao n a d ir e ca o d o e s co am e n to .

In sta la co e s e sp e cia is sa o n e ce ssa rie s p ara c on dic oe s in co rn un s o upara requisites d e te ste especiais , com o para se obte r g ra nd e e m ime -ro s d e R e yn old s: M u itas in stalaco es sao tao g ran de s o u e sp ecializa-das que nao po de m se r m an tid as par labo rat6rio s de unive rsidade s00p e la i ndu st ri a privada. A lguns e xe rnplo s m e l u em [14-16]: C om ple xo Nacional de Aerodinamica e m E scala R e al, NASA, Cen -tro d e P e sq uisa Am e s, M o ffe tt F ie ld , C alif6 rn ia

Duas secoes de te ste de ninel de vento, acionadas p ar s is tem a eletri-co de 125.000 hp: ' S~ao de te ste com 40 pe s de altura e 80 pe s de Iargura (12 m . x24 m), maxima velocidade do venro de 300 nos. S e 9ao de t e ste c om 80 pe s de altura e 120 pe s de Iargura (24 m X36 m), maxima velocidade do ve nto de 137 n6s... M arinha dos E stados Unidos, C entro de Pe squisas D avid Taylo r,

Carderock, Maryland. Bacia de re boque de alta v e lo ci da de , c om 2968 pe s de compri-mento, 21 pe s de largura e 16 pe s de profundidade, 0 carro dereboque pode trafegar a v e lo cid ad e d e a te 100 nos e n qu an to m e d ec ar ga s d e arrasto de ate 8000 lbf e c ar ga s laterals de ate 2000 lbf,.' Tiinel de agua de pressao v ar ia v e l d e 36 pol., c om ma xim a velo-cidade de te ste de 50 nos para pressoes entre 2 e 60 psia, Instalacoes para esccamento antieco, co m escoamento calmo, debaixa turbulencia, em secao de teste de jato abe rto de 8 p e s qu a-

drados por 21 pe s de comprimento, 0 ruldo do e scoam ento nav elo cid ad e m ax im a d e 200 pes /s is m enor do que aque le de um aconv e r sa cao no rma l .C orpo de E nge nhe iro s do E xe rcito do s E stado s Unidos, Sausalito,Calif6rnia.. M ode los da Bala de San F rancisco e do D elta, com POllCO rnaisde um acre de are a, e sc a la ho rizo ntal de 1:1000 e e s ca la v e rt ic alde 1:100, capacidade de bo mbe am e nto de 13.500 g pm ,. u so d eagua do ce e sal gada, e sim nlacao de m are .~ ~ AS A , C entro de Pe squisas L angle y, H am pto n, V irgin ia. Instalacao T ran s6n ica N acio nal (NTF) c om t e cn o lo g i a c rio g e ni-e a (ternperatnras t ao b aix as q ua nto -300F) p ara re du zir a v is-c osid ad e d o gas, elevando 0 nrimero de R eyno lds de urn f ato r 6,e nqn anto re du z p ara a m e rad e a p ote ncia d e acio nam e nto .

7.6 EQ UAC;OES DIFERENCIAIS BA slCAS EMFORMA S ADIMENSIO NA ISople na e x ito na utiiizacao do te o rem a dos Pi de Buckinghame de re nninado pe la sabe doria na se le cao dos param etre s. S e um

ANA LIS E D IM EN SIO NA L E SEME LHAN (A 20

c on j u nto complete fo r escolhido, o s re su l tad os serao completes.S e urna variavel importante for omitida, a s r e su lt ado s serao semsignificado. Varia ve is adicionais pode m se r in clu id as s e hou vealguma incerteza, Com 0 ganho de experiencia sobre os fenomenos de e scoam e nto dos fluidos, 0 proce sso de selecao to rn ase mais facil. A experiencia tambem prove maior entendimentosobre 0 significado ffsico de cada grupo adimens ional .Um enfoque mais rigoroso e am ple u a d ete rm inac ao das CODdicoes sob as quais do is escoamentos s ao s em e lh an te s e utilizaas equacoes diferenciais que as gove mam e as respectivas condicoes de fronteira. A semelhanca pode ser obtida quando doife n om e n os ffsic os sao govem ados par equacoes dife re nciaiscondicoes de fronteira qu e tern as rnesmas faunas adimensionais,A semelhanca dinamica e garantida pela duplicacac ou reprodu-c;:aodos coeficientes adimensionais das equacoes e das condicoesde fronte ira entre pro t6tipo e modele.

C omo e xem plo do proce sso de tornar adim e nsio nais as equac ;:o e s dif er en cia is b asic as , c on sid e re 0 e sco am e nto p erm an en te ,incompressivel e bidim ensional no plano xy. Adm ita que a gravidade atua no s e nti do n ega ti ve da direcao y.A equacao para a conservacao da m assa ea u + a u = 0a x a y (7.7

e as equacoes de Navier-Stokes (E qs. 5 .27) re duzem -se a

( a u . a u ) d p ( a 2 u a 2 u )u-+v- = --+!J.. -+_. -(7.8)a x a y a x a x 2 a y 2' ( a u a v ) dp ( a 2u a 2u )u- +v- = =pg> - +!J.. - + -_ .. (7.9a x a y d y a x 2 a y 2

Para to rnar e ssas e quacoe s adim ensionais, d iv ida todos os comprimentos po r urn com prim e nto de re fe re ncia, L, e todas as velo cid ad e s p or uma v e lo cid ad e de referencia , V " " qu e u sualmen tee tom ada com o a ve locidade da corrente livre . Tom e a pressaoadimensional dividirrdo-a por pV: (duas vezes a pressao dinam ica da co rre nte livre ). D e no tando as quantidade s adim e nsio naisco m aste risco s, o bte rno s

* x ". y ," ux=- y = . ; . . . . u=-.-L L V% e p" =__E_ (7.10)pV;v~- v- V e oA fim de ilustrar 0 proce dim e nto de tam ar adim e nsionais ae quacoe s, conside rs do is te rm os tfp icos ne ssas e quacoe s,

ea 2 u a (au) a [ a ( u . / v o o ) V o o ] v, a 2 u ~a y 2 = a y ay =a(y/L )L a(y/L )L =Oay"2

Se guindo e sse proce drm ento , as Eqs, 7.7 , 7.8 e 7.9 podem seescritas

V '" a u ~ V " " av"_.-.-+-.--=0Lax' L a y ~pV; ( u ~ a u ~ + v ~ a u ~ ) = _ pV~ a p . : ' +L \ a z" a y * L a x"

! J . . V cc ( a 2 u " . a 2 u ,. , )+----+-_.-2 a x ~ 2 a y ~ 2

(7.11)

(7.12)


17/23

208 I :TRODUC;:AO A MECANICA DOS FLUIDOS

p V;( * iJ v ~ . ~ av ~ ) _ p V~ a it .-- u-+v - --pg-~.---+L iJ x3 ay * L i Jy~(7.13)

Dividindo a Eq. 7.11 por V,JL e as Eqs. 7.12 e 7.13 por pVJ / LobtemosiJ u* av *- + - = 0 (7.14)ax* ay*

u*iJu' : ' + v",au* = _ iJp':' + _ _ _ f ! ' _ _ (a 2u * + a 2u ' < ) (7 .15) -ax" ay* d x" pVooL d x ..2 iJy",2'< i Jv~ * i Jv* gL i Jp "u--+v--=- ---ax* iJ y* v~ 8y*

..!.. .n: ( 8 2V* + a2u ) ( .16), pV% L vx"2 8y*2Das equacoes adimensionais (Eqs, 7.14,7.15,7.16), conclui-rna que as equacoes diferenciais para dois sistemas de escoa-menta serao identicas se, e samente se, as quantidades pip V",L e

gLI V; forem a mesmas para ambos os escoamentos, DessafOID1aestudos com modelos para determinacao da forca de ar-rasto sobre urn navio exigern a reproducao tanto do mirnero deFroude quanto do mimero de Reynolds para assegurar escoarnen-tos dinamicamente semeIhantes.Para escoamentos em tome de corpos subrnersos, bern abai-xo da superficie liVIe,como 0caso da esfera do Problema -Exem-plo 7.4, as forcas de campo nao sao importantes. As equaeoesque govemam a situacao nao incluem 0 tenno de forca de corpo,pg . Para esse caso, a reducao das equacoes que a governam afonnas adimensionais mostra que as equacoes adimensionais quegovernam dois escoamentos serao identicas se0mimero de Rey-nolds for 0mesmo para ambos os escoamentos.Ate aqui, concentramo-nos nas equacoes diferenciais quegovernam 0 escoamento. E importante enfatizar que alem deequacoes adimensionais identicas, as condicoes de contornoadimensionais tambem devem ser identicas para que as dois es-coamentos sejam cinematicarnente semelhantes, Isso conduz ao7 .7 RESUM O DO S OBJET IVOSAo completar 0 estudo do Cap. 7, voce sera capaz de:1. Definir:

Nume r o de ReynoldsNtimero de Euler(coeficiente de pressao)Nume r o de cavitacaoNt ime ro de FroudeNume r o de Weber

ume r o de MachNumero de Strouhals eme lhanca geometric asemelhanca cinematicas er ne lh an ca d in ar nic a

2. Enunciar 0 teorema dos Pi de Buckingham.

REFERENCIAS

requisito de semelhanca geometrica entre os escoamentos, Areducao das condicoes de contorno a formas adimensionais podelevar a requisitos adicionais que devem set atendidos entre os doisescoamentos, Par exemplo, considere a caso em que a velocida-de num ponto especificado e periodica. A condicao de contomo(be) especifica, entao, .

Ubc =V", sen wtSe tomannos 0tempo adimensional usando a razao entre a velo-cidade eo comprimento de referencia, vern

se tVrot =LA condicao de contomo adimensional toma-se

. . u b c ( W L ~ )bc =- = sen --tV", v;A reproducao da condicao de contomo requer que 0 parametrowLlV"" seja 0mesmo para os dois escoamentos. Esse parametroe 0numero de Strouhal

wLSt =-V " " ,assim denominado em homenagern ao ffsico alemao que desco-briu a sua imporrancia enquanto investigava 0 "cantar'' auto-excitado de fios ao vento.

D estabelecirnento de semelhanca a partir das equacoes dife-renciais e condicoes de contomo que descrevern 0escoamento eurn procedimento rigoroso. Se comecarmos com as equacoescorretas e executarmos cada etapa corretamente poderemos es-tar seguros de que todas as variaveis apropriadas estarao inclui-das. Deducoes e exemplos adicionais do estabelecimento de se-melhanca, a partir das equacoes que govemam 0escoamento, saoapresentados em [17] e [18].As equacoes diferenciais govemantes sao freqtientementeescritas na forma adimensional para solucao numerica, 0 trans-porte por fator de escala e simplificado e os problemas de con-versao de unidade sao reduzidos quando se empregam forrnasadimensionais das equacoes. 0 emprego de equacoes adimensi-onais muitas vezes permite a apresentacao das solucoes em for-ma generalizada.

3. Dado urn problema ffsico no qual 0 paramet ro ' dependente e umafuncao de parametres independentes especificados, determinar umconjunto de raz5es adimensionais i ndependent e s que 0caracte r izam,4. Enunciar as condicoes sob as quais 0 comportamento do prot6tipopode ser previsto a partir de testes de modelos.5. Prever as resultados para u rn p ro to ti po a p ar tir de dados obtidos comtestes de modelos,

6. Obter coeficientes adimensionais pela reducao das equacces dife-renciais que govern am 0 escoamento a formas adimensionais,7. Resolver osproblemas ao final do capitulo que se relacionem com 0material que voce estudou,

1. Buckingham E ., "O n Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimens iona lEquations," P h ys ic a l R e vie w , 4, 4, J 9]4, pp. 345-376.


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210 1NfR()D';


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-=:.c"'--".....de uma helice de embarcacao deve ser medido duranteem "agua aberta" a diversas velocidades angulares e velo-- a frente ("velocidades de avaneo"). Sup5e-se que 0 im-F T ' depende da massa e spec f fi ca da agua, p, do diametro da. D, da velocidade de avanco V, da aceleracao da gravida-

. , cia velocidade angular, w, da pressao no Iiquido, p, e da vis-de do lfquido, f . L . Desenvolva urn conjunto de parametres2fooensionais para caracterizar 0 desernpenho da helice, (Urn dos- etros resultantes, gDIV-, e conhecido como velocidade defO de Froude.)Aperda de potsncia, r ! / ' , num mancal de deslizamento depende dorimento, l, do diametro, D, e da folga, c, domancal alem da'dade angular, w.A viscosidade do lubrificante e a pressao

~ tambem silo importantes, Obtenha os paramerros adimen-- . que caracterizam esse problema. Determine a forma fun-~. al da dependencia de r ! / ' em relacao a esses parametres.:\, porencia, r ! / ' , necessaria para acionar uma MIke depende dassegninres variaveis: velocidade de corrente livre, V, diametro da- ce D, velocidade angular, w , viscosidade do fluido, / - L , massaespecffica do fluido, p, e velocidade do som no fluido, c. QuantosIUPQsadimensionais sao necessaries para caracterizar essa situ-3t}lo1 Obtenha esses grupos,

- Que propriedades do lfquido e do gas envolvente voce:espera quecoetrole a separacao de umjato lfquido em gotas? Faca uma ana-lise dimensional desse problema.Admite-se que, num forno de conveccao assistido l?orventilador,a taxa de transferencia de calor para urn assado, Q (energia porenidade de tempo), depende do calor especffico do ar, c p, da dife-IeIlf

-~1 Medi


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ilRODU


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em outro experimento, mel for girado no mesmo cilindro a mes-ma velocidade angular, determine, partindo dos seus parametresadimensionais, se 0 mel atingira urn movimento permanente taodepressa quanta a agua, Explique por que 0 m.1mero de Reynoldsmio seria urn paramerro adimensional irnportante para transferirpor escala 0 movimento estabilizado do lfquido no vaso.

-.51 Admite-se que a potencia, r ! J , necessaria para acionar urn ventila-dor, depende da massa especffica do fluido, p, da vazao em volu-me, Q , do diametro do rotor, D, e da velocidade angular, W. Se urnventilador com D, = 8 pol., fornece Q I = 800 pes ciibicos porminuto de ar a WI = 2400 rpm, que vazao em volume poderia seresperada para urn ventilador geometricamente semelhante com D2= 16 pol. a W2 = 1850 rpm?32 0 aumento de pressao, tsp, de um liquido escoando em regimepermanente atraves de uma bomba centrffuga depende do diame-tro da bomba, D, da velocidade angular do rotor, w, da vazao emvolume, Q , e da massa especffica, p. A tabela fornece dados paraur n prot6tipo e para um modele de bomba geometricamente se-melhantes. Para condicoes correspondentes a semelhanca dinarnicaentre.modelo e prototipo, calcule os valores que faltam na tabela.

Prototipo Modelo29,3 kPa

1,25 m3/min800 kg/m'183 rad/s150mm

999 kg/rn'367 radls50mm

-..3 Uma bomba de fluxo axial e necessaria para fornecer 25 pes1/s de


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214 INTRODUC;:AO A MECANICA DOS FLUIDOS

sionais que caracterizam esse escoamento, Determine as con~_para semelhanca dinamica, .

7.64 Utilizando analise de ordem de grandeza, as equacoes da conti-.-nuidade e de Navier-Stokes podem ser simplificadas pa:raas ~yoes de camada limite de Prandtl. Para e s co am e nm p e rm :m e nr eincompressivel e bidimensional, desprezando a grmidade.. 0re-sultado e

a u + a 1 J =0a x a ya u a u - 1ap iru-+1)- = --- -p--a x oy P dX -y-

Utilize L e Vo como comprimento e eJocjdarle caraeterfsticos, res-pectivamente. Tome essas ~ adimens10nais e identifiqueos parametres de semelhanca qu e resaltam,

.65 Em urn hotel, observou-se a oscilacao de urna lampacta suspensana corrente de ar de urn aparelho de ar condieionado. Explique parque isso pede ocorrer,

7.66 Freqi.ientemente observa-se uma bandeira em urn mastro tremu-lando ao vento. Explique por que isso pode ocorrer,.6 7 Explore a variacao na velocidade de propagacao de ondas dadapela equayao do Problema 7.61 para escoamento na superffcie livreda agua. Determine a profundidade de operacao para minimizar avelocidade das ondas de capilaridade (ondas com pequenos eom-primentos de onda, tambem ehamadas de ondulacees). Primeira-mente suponha que 0 comprimento de onda e muito menor que aprofundidade da agua, Em seguida explore 0 efeito da profundi-dade. Que profundidade voce recomenda para uma mesa d'aguautilizada para visualizar 0 fen6meno de ondas em escoamentocompressfvel? Qual e 0 efeito da reducao da tensao superficial pelaadiy30 deum detergente?

analise dimensional livro

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