ENGENHARIA

Tema Análise Dimensional

Professor:

Data:

Componente: Física

Dulceval Andrade

Engenharia 13/03/2011

Grandezas Físicas Fundamentais

Unidade no SI

Comprimento L metro m

Massa M quilograma kg

Tempo T segundo s

kelvin K

I ampère A

candela cd

N mols mol

GrandezaFísica

Símbolo daDimensão

Símbolo da Unidadeno SI

Temperatura termodinâmica

Corrente elétrica

Intensidade luminosa

I0

Quantidade de matéria

www.laboratoriodefisica.com.br

EXEMPLOS

ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS

Velocidade: [v]=LT-1

Aceleração: [a]=LT-2

Força: [F]=MLT-2

Trabalho: [E]=ML2 T-2

Energia: [E]=ML2 T-2

Torque: [E]=ML2 T-2

Potência: [Pot]=ML2 T-3

Momento: [Q]=ML T-1

Velocidade angular: [ω]=T

Freqüência: [f]=T-1

DIMENSÃO

Carga elétrica : [q]=IT

Campo elétrico : [E]=MLT-3I

Potencial elétrico : [U]=ML2T-3I-1

Resistência elétrica: [R]=ML2T-3I-2

Campo magnético: [B]=MT-2I-1

Fluxo magnético [Ф]=ML2T-2I-1

Calor específico: [c]=L2 T-2 θ-1

Coeficiente de dilatação [ α ]= θ-1

Fluxo de calor: [ Ф ]= ML2 T-3

Intensidade sonora [I]=MT-3

GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS

Coeficientes de atrito

Índice de refração

Rendimento

Nível de intensidade sonora

Principais usos:

Verificação da homogeneidade de

fórmulas;

Previsão de equações físicas;

Mudança de unidades;

TEOREMA DE BRIDGMAN

Toda grandeza secundária pode ser expressa por um produto de potências das grandezas primárias.

Suponhamos que uma grandeza secundária G seja uma função das grandezas primárias A, B,C ... Z. O teorema de Bridgman diz que se poderá escrever:

G=KAαBβCγ...Zω

ATENÇÃO!!!

Todo arco é adimensional.

Toda função trigonométrica é adimensional

Todo expoente é adimensional.

Toda grandeza definida pela razão de duas

grandezas físicas, de mesma dimensão, é

adimensional.

Só podemos somar e subtrair grandezas

físicas de mesma dimensão.

HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL

Uma equação física verdadeira deve ser

dimensionalmente homogênea, isto é,

dever ter em ambos os membros a

mesma fórmula dimensional.

Homogeneidade das equações

Num movimento oscilatório, a abscissa (x)

da partícula é dada em função do tempo

(t) por: X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L,

obtenha a fórmula dimensional de A, B e

C.

Resolução...

X= A + B cos(Ct)

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 1

0 0

...

...cos( )

A M LT

sendo Ct M L T

C t M L T C T

C M L T

sendo ct adnensional

B M LT

exemplos

2 2

0V V 2a S

2 2

0[V ] [V ] [2a S]

2 2 2 2 2 2L T L T L T

2

0 0

aS S V t t

2

2

0 0

a[S] [S ] [V t] [ t ]

2

1 2 2L L LT T LT T

L L L L

1 2 1 2 2(LT ) (LT ) LT L

exemplos

Teorema do Impulso

I Q

F 0F t mV mV

F 0[F t] [mV ] [mV ]

2 1 1MLT T MLT MLT

1 1 1MLT MLT MLT

Previsão de fórmulas -TIPLER

A intensidade da resultante centrípeta é

função apenas da massa, da velocidade

e do raio da trajetória. Por análise

dimensional obter, a menos da

constante adimensional(K), a expressão

da intensidade da força centrípeta.

Resolução

2 1

2

1 2 1

2

1

1 1; 2; 1

2

x y z

cp

yx z

x y z y

cp

cp

F Km v r

MLT K M LT L

MLT KM L T

x

y z x y z

y

F Km v r

mvF K

r

Previsão de fórmulas

Um cientista, fazendo experiências em um laboratório, verifica o período(t) de oscilação de um pêndulo simples alterando o comprimento do fio(L), a massa(m) e considerando a gravidade(g) local. Como pode ele, usando análise dimensional, obter uma fórmula para calcular t, isto é, uma função do tipo t=f(L,m,g).

Resolução

1

2

0 0 1 2

0 0 1 2

1

0 2

g

[ ] ( ) ( ) ( )

1 10 0; ;

2 22 1

g g

x y z

x y z

x y z z

x y z

t Km l

t M L T M L LT

M L T M L T

x o

y z x z y

z

t Km l Km l

lT K

g

EXERCÍCIOS TIPLER

Sabe-se que o momento angular de uma

massa pontual é dado pelo produto vetorial do

vetor posição dessa massa pelo seu momento

linear. Então, em termos das dimensões de

comprimento (L), de massa (M), e de tempo

(T), um momento angular qualquer tem sua

dimensão dada por dada por

a) L0MT–1. b) LM0T–1. c) LMT–1.

d) L2MT–1. e) L2MT–2.

resolução

EXERCÍCIOS (DISCUTIDO EM AULA)

Define-se intensidade I de uma onda como a razão entre a potência que essa onda transporta por unidade de área perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para uma certa onda de amplitude a, freqüência f e velocidade v, que se propaga em um meio de densidade ›, foi determinada que a intensidade é dada por: Indique quais são os valores adequados para x e y, respectivamente.

a) x = 2; y = 2

b) x = 1; y = 2

c) x = 1; y = 1

d) x = - 2 ; y = 2

e) x = - 2; y = - 2

Resolução

Exercícios

01- Determine a equação dimensional de

Capacitância de um capacitor.

2 2

2 3 1

1 2 4 2

2 3 1

QC Q is IT

U

J ML Tw s TPot Ui UA A I

U ML T I

ITC M L T I

ML T I

Exercício 02

No estudo de um fenômeno da natureza foram envolvidas as grandezas A, B,C e D, diferentes entre si. A relação entre as grandezas é:

Se B tem dimensão de massa, C de comprimento e D dimensão de tempo, a unidade de medida de A no Sistema internacional de Unidade é:

a)m/s b) N.s c)J/m d)N e)J

2 2A BC D

resolução

2 2

2 2

2 2

A=BC D

[A]=[B][C] [D]

[A] ML T

Portanto “A” representa energia e sua unidade no Sistema

Internacional é o Joule (J)

Resposta E

Exercício 03

Com relação as grandezas fundamentais

MLT I, determine as equações

dimensionais das seguintes grandezas:

a)Constante Universal dos gases perfeitos

(R).

b)Resistência elétrica (R).

resolução

2 -2

3

2

-2

2 -2 1 0

a)PV=nRT

[PV]=ML T (trabalho)

ou

F[PV] V(m ) N.m

A(m )

[n] adimensional

PV=nRT

MLT [R]

[R] ML T I

2

2n

2 22

2 3 2 0

P=Ri

ERi

t

ML T[R]I

T

[R] ML T I

exercício

Um estudante do 1º ano de Engenharia não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo da velocidade V de propagação do som, com a pressão P e a massa específica , num gás. No entanto, ele se recorda que a fórmula é do tipo (vide eq. ao lado) , em que C é uma constante adimensional. Após um exame da equação dimensional ele conclui que os expoentes e valem respectivamente:

a)1;2 b)1,1 c)2,1 d)2,2 e) 3,2

C.PV

resolução

3

21 2

2

1 1 2 3 1

1 3 2

C.PV

[ ] ML

F MLT[P] ML T

A L

substituindo

[LT ] [ML T ] [ML ]

L T M L T

1 0

3 1; 2

2

resp.C

Será discutido em aula

A figura abaixo representa um sistema experimental utilizado para determinar o volume de um líquido por unidade de tempo que escoa através de um tubo capilar de comprimento L e seção transversal de área A. Os resultados mostram que a quantidade desse fluxo depende da variação da pressão ao longo do comprimento L do tubo por unidade de comprimento ( P/L), do raio do tubo (a) e da viscosidade do fluido ( ) na temperatura do experimento. Sabe-se que o coeficiente de viscosidade ( ) de um fluido tem a mesma dimensão do produto de uma tensão (força por unidade de área) por um comprimento dividido por uma velocidade. Recorrendo à análise dimensional, podemos concluir que o volume de fluido coletado por unidade de tempo é proporcional a

resolução