análise dimensional e leis de semelhança

7/31/2019 Anlise Dimensional e Leis de Semelhana

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ANLISE DIMENSIONALE

LEIS DE SEMELHANA

Miguel H. [email protected]

1


2/95

MOTIVAO

2


3/95

MOTIVAOUm exemplo O PROBLEMA Pretende-se determinar a fora que um

fluido exerce sobre um cilindro de seocircular que nele se desloca comvelocidade constante.

Mais especificamente pretende-sedeterminar a fora de arrasto - D - porunidade de comprimento, isto , acomponente da fora na direo do

movimento. 3


4/95

FORA AERODINMICAFora de Arrasto

V

D

L F

dFLUIDO-Temperatura T- Massa especfica -Coeficiente de Viscosidade

4


5/95

FORA DE ARRASTOAlguns resultados experimentais

- Cada valor apresentado nas tabelas representa a mdia de trsvalores medidos!

- Assim sendo uma tabela com 7 pares de valores representa arealizao de 42 medidas realizadas!

AR (300K) =1.16 =1.85E-05 AGUA(20) =998 =1.E-03

V(m/s) D D V(m/s) D D

d=0,1m d=0,2m d=0,05m d=0,1m

0,159 1,48E-03 2,80E-03 0,02 0,010 0,019

0,319 0,00561 0,0118 0,04 0,038 0,08

0,638 0,0236 0,0543 0,08 0,16 0,369

1,595 0,179 0,357 0,2 1,212 2,425

3,19 0,714 1,42 0,401 4,85 9,619

4,784 1,59 3,18 0,601 10,822 21,571

7,974 4,41

5


6/95

FORA DE ARRASTOVisualizao grfica dos resultados

0.00E+00

5.00E-01

1.00E+00

1.50E+00

2.00E+00

2.50E+00

3.00E+00

3.50E+00

4.00E+00

4.50E+00

5.00E+00

0.000 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000

Arrasto

(N)

Velocidade (m/s)

Cilindros no ard=0,1m d=0,2m

0.000

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Arrasto

(N)

Velocidade (m/s)

Cilidros na guad=0,05m d=0,1m

6


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FORA DE ARRASTOAnlise do problema A anlise dos resultados experimentais

apresentados mostra que a fora dearrasto depende:

- da geometria do corpo (forma e tamanho)- das propriedades do fluido (massa

especfica e viscosidade)- do movimento (velocidade, acelerao,

etc.)

7


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FORA DE ARRASTOEquao funcional

8

A equao que mostra implicitamente como afora de arrasto depende das variveis denominada de EQUAO FUNCIONAL. Para

escrev-la, observemos que a fora de arrastodepende de: Geometria do corpo (forma, tamanho e

orientao) Propriedades do fluido (, , etc.) Movimento do fluido (V, a, etc.)


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FORA DE ARRASTOEquao funcional A EQUAO FUNCIONAL na sua forma geral

escrita como:X1 = f(X2, X3, ... , Xn)

Para identificar as n variveis, convenientegrup-las:X1 = f( Geometria,Fluido,Movimento)

X1 = f( Forma, tamanho, orientao,,,...,V,a,...)X1 = f(1,2,3,...,h,,,,...,V,a,...)

9


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FORA DE ARRASTORestringindo o problema O problema como proposto muito amplo. Vamos restringir a gama de variveis

- Geometria: s cilindros de seo circular- Movimento: regime permanente- Movimento: baixos valores de Ma

Logo a equao funcional pode serexpressa como:

D = f(d, , , V)10


11/95

FORA DE ARRASTOAinda uma matriz de grficos

V

D d1d2d3

V

D d1d2d3

V

D d1d2d3

1 1 2 1 5 1

V

D d1d2d3

1 3 V

D d1d2d3

2 3 V

D d1d2d3

5 3

V

D d1d2d3

1 2 V

D d1d2d3

2 2 V

D d1d2d3

5

3

11


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FORA DE ARRASTOUm nico grfico!

A equao funcional

D = f( d, , , V)

Pode ser reduzida a uma forma adimensional equivalente

CD = (Re)

Cuja representao grfica mostrada atravs de UM NICOGRFICO, como mostra a figura abaixo

12


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FORA DE ARRASTOObteno do grfico

AGUA T=20 C =998 =1.00E-03

d=0.05m

Re V (m/s) V*V CD D (N)

100 0,002 4,016E-06 1,900 0,000

400 0,008 6,426E-05 1,400 0,002

1000 0,020 4,016E-04 1,000 0,010

2000 0,040 1,606E-03 0,950 0,038

4000 0,080 6,426E-03 1,000 0,160

8000 0,160 2,570E-02 1,150 0,737

10000 0,200 4,016E-02 1,210 1,212

20000 0,401 1,606E-01 1,210 4,850

30000 0,601 3,614E-01 1,200 10,82240000 0,802 6,426E-01 1,200 19,238

50000 1,002 1,004E+00 1,196 29,960

60000 1,202 1,446E+00 1,196 43,142

70000 1,403 1,968E+00 1,200 58,918

Para a obteno do grfico bastautilizar os dados de uma nicasrie de medidas (veja slide de

resultados experimentais)No exemplo utilizamos os dadosda srie referente aos testes deum cilindro circular de dimetro0,05m testados na gua a 20 C.

Observe que os dadosdisponveis permitem traar ogrfico para apenas umapequena faixa de Re.

14


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FORA DE ARRASTOUtilizao do grfico 1. Para um cilindro de dimetro dp Movimentando-se com velocidade Vp

Num meio fluido com p , p Calcula-se o nmero de Reynolds Do grfico obtm CD

Com CD calcula-se o valor de D

15


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FORA DE ARRASTOUtilizao do grfico 2 Considere um cilindro circular de dimetro d = 50 cmcom comprimento de 10m. Se a velocidade do ar de 2m/s, qual ser a fora de

arrasto?

Propriedades do ar a 20oC. = 1.2 kg/m3 = 1.82*10-5 kg/(m.s)

Calculo do nmero de Reynolds

Obteno do coeficiente de arrasto

CD =1.196

4

5 10*593.610*82.1

)5.0)(2)(2.1(VdRe

16


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FORA DE ARRASTOUtilizao do grfico 3 Obteno da fora de arrasto por unidade

de comprimento

Obteno da fora de arrasto no cilindroDt = 10*D = 11.4 N

OBS: No se considerou os efeitos tridimensionais queocorrem nas extremidades do cilindro.

N14.1)5.0()2)(2.1)(5.0)(196.1(dVCD22

2

1

D

17


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FORA DE ARRASTOEquao de correlao

Se uma expresso que exprima o curva

CD versus Re

for obtida, tem-se a equao que

correlaciona os valores de CD com asvariveis das quais a fora de arrastodepende.

18


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20/95

DIMENSOSistema de dimenses SISTEMA DE DIMENSO: Dimenses

Primrias

[M] massa

[L] comprimento

[T] tempo

[] temperatura DIMENSO DE UMA GRANDEZA

[g] = [Ma Lb Tcd]20

DIMENS O


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DIMENS OGrandeza adimensional

GRANDEZA ADIMENSIONAL[g] = [M0 L0 T00]

EXEMPLOS:Grandeza Smbolo Dimenso Unidade

velocidade V [MoL1T-1o] m/s

acelerao a [MoL1T-2o] m/s2

fora F [M1L1T-2o] N

potncia P [M1L2T-3o] W

coef. trans cal. h [M1L0T-3-1] W/(m2K)

coef. arrasto CD [MoL0Too] ---

21


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LEI DA HOMOGENEIDADEDIMENSIONALTODA EQUAO QUE EXPRIME UMA LEI

FSICA DEVE SERDIMENSIONALMENTE HOMOGNEA

EXEMPLOZ = ZO - VO t - 0.5gt2

LE = Z

LD = ZO - VO t - 0.5gt2

1tLD = Zo 2tLD = Vot 3tLD = 0.5 gt2

[z] = [ZO + VO t + 0.5gt2][z] =[zo] = [Vot] = [0.5gt2]

22


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EQUAO FUNCIONALEXEMPLO (Continuao)

Z = ZO - VO t - 0.5gt2

A equao governa um fenmeno simplificado o quepermite que ela seja escrita explicitamente.

Em situaes mais complexas pode ser impossvel de seescrever a equao que governa o fenmeno na formaexplicita. Nesta condies a EQUAO FUNCIONALque relaciona as variveis envolvidas pode ainda ser de

grande utilidade; no exemplo se escreve

z = f(zo, Vo, g, t)

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GRANDEZAS REPRESENTATIVAS

EXEMPLO (Continuao)Z = ZO - VO t - 0.5gt2

ZO representa o comprimento caracterstico ou

representativo.Vo representa a velocidade caracterstica ourepresentativa

To representa o tempo caracterstico ou

representativo. Qual o seu valor?

OBS: Para adimensionalizar use sempre asgrandezas representativas.

24


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ADIMENSIONALIZAOEtapas EQUAO DIMENSIONAL

Z = ZO - VO t - 0.5gt2

ETAPA 1: Identificao das grandezas representativas

{ zo, Vo , To } onde To = Vo/ zo

ETAPA 2: Definio das grandezas adimensionais

z* = z/zo t* = t/To

ETAPA 3: Substituio e manipulao algbrica2*

2

** t)Fr(

1

2

1t1Z

o

o

gx

VFr

25


26/95

EQUAOADIMENSIONALIZADA

26

FORMA EXPLCITA

FORMA IMPLCITA

Como na forma dimensional, a equao naforma implcita pode ser de grande utilidade,especialmente nos trabalhos experimentais.

2*

2

** t)Fr(

1

2

1t1Z

*)t,Fr(Z*


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EQUAOADIMENSIONALIZADA OBSERVAO IMPORTANTE Na forma adimensionalizada verifica-se que Z*

depende apenas do valor de Fr e de t*

No importa os valores assumidos por qualquerdas variveis Zo, Vo e g, se a combinao delasproduz o mesmo valor de Fr ento a equaoadimensionalizada produz o mesmo resultado Z*para um dado valor de t*.

Esta observao ser de grande importncia nautilizao da Anlise Dimensional

27


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EQUAOADIMENSIONALIZADA Um corpo em queda livre (i.. no vcuo) foi o fenmeno

analisado no exemplo. Um fenmeno simplificado pelautilizao da hiptese de que se pode desprezar a aodo ar que se ope ao movimento.

Como se escreveria a equao quegoverna a queda de um corpo no ar?

Talvez fosse mais fcil escrever aequao na forma implcita. Como elaficaria?

28


29/95

ADIMENSIONALIZAOExemplo 1: Equao de Euler

29

s

p1

s

uu

t

u

EQUAO DE EULER: Equao do movimento

GRANDEZAS CARACTERSTICAS

L Comprimento caractersticoV Velocidade caractersticaT =L/V Tempo caracterstico

GRANDEZAS ADIMENSIONALIZADAS

L

s*s

L

Vt

T

t*t *t

V

Lt

V

u*u *Vuu

2

21 V

p*p

*pV

2

1p

2

s = Ls*


30/95


30

s

p1

s

uu

t

u


SUBSTITUIO NOS TERMOS DA EQUAO

*t

*u

L

V

L

V

*t

*uV

dt

*dt

*t

*uV

t

*)Vu(

t

u 2

*s

*u*u

L

V

ds

*ds

*s

*u*uV

s

*)Vu(*)Vu(

s

uu

22

*s

*p

L

V

2

1

ds

*ds

*s

*pV

2

1

s

*pV

2

1

s

*pV1

s

p1 2222

21


31/95


31

s

p1

s

uu

t

u


EQUAO ADIMENSIONALIZADA

*s

*p

*s

*u*u

*t

*u

a soluo da equao adimensionalizada fornece, por exemplo, p* queindepende do valor particular de L, V, s, t, , etc.; depende apenas dos

valores de u*, s* e t* que representam combinaes especficas dasvariveis dimensionais (L, V, s, t, , etc.):

p* = ( u*,s*, t*)


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ADIMENSIONALIZAOExemplo 2: Eq. de Navier-Stokes

32

2

2

s

u

s

p1

s

uu

t

u

EQUAO DE NAVIER STOKES: Equao do movimento

GRANDEZAS CARACTERSTICAS

L Comprimento caractersticoV Velocidade caractersticaT =L/V Tempo caracterstico

GRANDEZAS ADIMENSIONALIZADAS

L

s*s

L

Vt

T

t*t *t

V

Lt

V

u*u *Vuu

2

21 V

p*p

*pV

2

1p

2

s = Ls*


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33

EQUAO DE NAVIER STOKES : Equao do movimento

SUBSTITUIO NOS TERMOS DA EQUAO

*t

*u

L

V

L

V

*t

*uV

dt

*dt

*t

*uV

t

*)Vu(

t

u 2

*s

*u*u

L

V

ds

*ds

*s

*u*uV

s

*)Vu(*)Vu(

s

uu

22

*s

*p

L

V

2

1

ds

*ds

*s

*pV

2

1

s

*pV

2

1

s

*pV1

s

p1 2222

21

2

2

s

u

s

p1

s

uu

t

u

2

2

22

2

2

2

*s

*u

L

V

s

*)Vu(

s

u


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34

EQUAO DE NAVIER STOKES : Equao do movimento

EQUAO ADIMENSIONALIZADA

2

2

*s

*u

Re

1

*s

*p

*s

*u*u

*t

*u

a soluo da equao adimensionalizada fornece, por exemplo, p* queindepende do valor particular de L, V, s, t, , , etc.; depende apenas dosvalores de u*, s* e t* que representam combinaes especficas dasvariveis dimensionais (L, V, s, t, , , etc.):

p* = ( u*,s*, t*, Re)

2

2

s

u

s

p1

s

uu

t

u

UL

Re


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SEMELHANA

DINMICA

35

SEMELHANA


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SEMELHANASemelhana Dinmica

A anlise dos fenmenos fsicos, presentes no exemplo utilizado, mostra apresena de APENAS dois tipos de fora atuantes:

A fora gravitacional, representada pelo peso:

FG = mg

A fora inercial:

A relao entre estas foras

ou

DUAS SITUAES DO MESMO FENMENO SO DINAMICAMENTESEMELHANTES SE :

ou

2

0t

mV

V

V*m

t

V*mma

t

V*mlimFI

o

2

o

gz

V

FG

FI

o

or

gz

VF

2o2

2o

1o1

1o

zg

V

zg

V

2r1r FF 36


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SEMELHANASemelhana Geomtrica e Cinemtica PARA A COMPLETA SEMELHANA SEMELHANA GEOMTRICA

SEMELHANA CINEMTICA

OBS.: Se houver mais de dois tipos de fora h a necessidade deque outras relaes de fora sejam obedecidas.

2

1

2

1

L

L

2

1

2

1

V

V

v

v

37


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SEMELHANA DINMICAEtapas A determinao dos grupos adimensionais

necessrios para a semelhana dinmicaobedece as seguintes etapas

ETAPA 1: EQUAO FUNCIONAL

ETAPA 2: TEOREMA DE BUCKINGHAN

ETAPA 3: LEI DO HOMOGENEIDADEDIMENSIONAL

38

SEMELHANA DINMICA


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SEMELHANA DINMICAEquao funcional EQUAO FUNCIONAL (n variveis)

x1 = f(x2, x3, x4, ..., xn )

OBTENO DA EQUAO FUNCIONALx1 = f(geometria, fluido, movimento )

x1 = f(forma, tamanho, orientao, fluido, movimento )OBS: X1 em geral representa a grandeza de interesse

39


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SEMELHANA DINMICAEquao funcional (fora de arrasto)

X1 = DD = f (forma, tamanho, orientao, fluido,movimento)

D = f (b, h, cte, , , V)

V

D

L F

b

h

40


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SEMELHANA DINMICATeorema de Buckinghan

1. A equao funcional envolve n grandezas

2. As dimenses das variveis pode der escrita em funo de r dimensesprimrias

3. A equao funcional adimensional equivalente envolve (n-r) grupos

adimensionais.

X1 = f ( X2, X3, X4, ..., Xn )

[Xi ] = [ G1aG2b... Gre] i =1,nGi = dimenso primria

1 = (2, 3, 4, ... n-r )

i = grupo adimensional

41

SEMELHANA DINMICA


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SEMELHANA DINMICATeorema de Buckinghan(fora de arrasto)

EQUAO FUNCIONAL

D = f (b, h, , , V) n = 6

DIMENSES

[D] = [M T-2] (D = fora por unidade de comprimento)[b] = [L][h] = [L] r = 3 (n-r) = 3[] = [M L-3][] = [M L-1 T-1]

[V] = [L T-1]

EQUAO FUNCIONAL ADIMENSIONAL

1 = ( 2, 3 )

42

SEMELHANA DINMICA


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SEMELHANA DINMICAHomogeneidade dimensional EXPERINCIA1 2 3, etc.

HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL 1 desejamos que seja do tipo D1(....) 2 = b/h dois comprimentos 3 a determinar utilizando a homogeneidade

...VhbVhbVhbD 3q3p3z3y3x32q2p2z2y2x

2

1q1p1z1y1x

1

]Vhb[]D[ qpzyx

43

SEMELHANA DINMICA


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SEMELHANA DINMICAHomogeneidade dimensional REPETIO DE VARIVEIS

1. Equao funcional: n variveis dimensionais

X1 = f ( X2, X3, X4, ..., Xn )

2. Representao da dimenso das variveis[Xi ] = [ G1aG2b... Gre] i =1,n

Gi = dimenso primria

3. Teorema de Buckingham: (n-r) gruposadimensionais.

1 = (2, 3, 4, ... n-r )

i= grupo adimensional 44

SEMELHANA DINMICA


45/95

SEMELHANA DINMICAHomogeneidade dimensional

45

REPETIO DE VARIVEIS4. Variveis de repetio: escolha r variveis que sero

combinadas com as demais variveis para formar os

grupos adimensionais.- no incluir a varivel dependente- as variveis devem ser dimensionalmenteindependentes.

- incluir aquelas de dimenso simples5. Combine as variveis de repetio com cada uma das

demais variveis para formar os gruposadimensionais.

SEMELHANA DINMICA


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SEMELHANA DINMICAHomogeneidade dimensional (arrasto)

Equao funcionalD = f(b,h, , ,V)

Teorema de Buckinghann = 6 r = 3 (n-r) =3

1 = (2, 3 )

Homogeneidade dimensional

bV

DC

2

21D1

h

b2

Vh

Re3

46

SEMELHANA DINMICA


47/95


47

Repetio de variveisD = f(b,h, , ,V)

- variveis repetitivas: b, , V

- primeiro grupo:1 = Da1bb1 c1Vd1

e, para que 1 seja adimensional

a1 = 1, b1 = -1, c1 = -1 e d1= -2logo:

bV

DC

2

21D1

SEMELHANA DINMICA


48/95


48



- segundo grupo:2 = ha2bb2 c2Vd2


a2 = -1, b2 = 1, c2 = 0 e d2= 0logo:

h

b

2

SEMELHANA DINMICA


49/95


49



- terceiro grupo:3 = a3bb3 c3Vd3


a3 = -1, b3 = 1, c3 = 1 e d3= 1logo:

Vh

Re3

FORA DE ARRASTO


50/95

FORA DE ARRASTOCilindro com diferentes sees RESULTADOS EXPERIMENTAIS

50


51/95

TESTES

COM

MODELOS51

TESTES COM MODELOS


52/95

TESTES COM MODELOSSemelhana Semelhana geomtrica

52

HP

LPBP

MODELO EM ESCALAREDUZIDA

HmLmBm

PROTTIPO

p

m

p

m

p

m

H

H

B

B

L

L

ESCALA GEOMTRICA

OBSERVAO: O modelo pode ser reduzido ou aumentado

TESTES COM MODELOS


53/95

TESTES COM MODELOSSemelhana Semelhana cinemtica

53

PROTTIPO

MODELO EM ESCALA REDUZIDA

VP

Vm

TESTES COM MODELOS


54/95

TESTES COM MODELOSSemelhana Semelhana dinmica

54

PROTTIPO

MODELO EM ESCALA REDUZIDA

VP

Vm

Dp

Dm

D = f(L,B,H, , , V)

CD = (B/L, H/L, Re)

p

p

m

m

L

B

L

B

p

p

m

m

L

H

L

H

p

ppp

pmm

mmmLV

ReReLV

pp

2

pp21

p

pDmD

mm

2

mm21

m

HBV

DCD

HBV

D

UTILIZAO DOS


55/95

UTILIZAO DOSRESULTADOS DE TESTES

55

D = f(d,H, , , V) onde d = dimetro e H = altura

(D/H) =f (d, , , V) onde (D/H) = fora por unidade de comprimento

CD = (Re) onde

Deseja-se estimar a fora que um vento com velocidade de110 km/h exerce sobre uma chamin cilndrica de 2m de

dimetro e 30m de altura.SEMELHANA DINMICA

dV

H/D

dHV

DC

2

2

12

2

1D

Vd

Re

UTILIZAO DOS


56/95


56


dimetro e 30m de altura.RESULTADOS DE TESTES

UTILIZAO DOS


57/95


57


dimetro e 30m de altura.CLCULO DA FORA DE ARRASTO SOBRE UM COMPRIMENTO UNITRIO

NMERO DE REYNOLDS DO PROTTIPO

6

510*4

10*8.1

)2)(55.30)(2.1(VdRe

COEFICIENTE DE ARRASTO: dos resultados dos testes

6.0dV

H/D

dHV

DC

2

212

21D

UTILIZAO DOS


58/95


58


dimetro e 30m de altura.CLCULO DA FORA DE ARRASTO

COEFICIENTE DE ARRASTO: dos resultados dos testes6.0

dV

H/D

dHV

DC

2

212

21D

FORA POR UNIDADE DE COMPRIMENTO

FORA NA CHAMIN

N672)2()55.30)(2.1)(5.0)(6.0(dV2

16.0H

D22

N1602030*672HH

DD


59/95

APLICAES

59

AEROFLIO


60/95

AEROFLIOFora de sustentao (unidade comprimento)

V

D

L F

HIPTESES

H1. Regime permanente

H2. Efeitos da compressibilidade so desprezveisH3. Efeitos da viscosidade so desprezveis

EQUAO FUNCIONAL (forma constante)L = F (forma, , , , V) n = 5

60

AEROFLIO


61/95

AEROFLIOFora de sustentao (equao adimensional)

TEOREMA DE BUCKINGHANr = 3 (n-r) = (5 3) = 2

1 = ( 2)

HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL1 desejamos que seja da forma: =L1 (...)

Logo:

2 = pois ngulo medido em radianos adimensional

finalmente

2

21L1 V

LC

2

21L V

LC

61

AEROFLIO


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AEROFLIOFora de sustentao (caso limite) De uma maneira geral as asas so projetadas

para operar com ngulos de ataque pequenos,isto , = O(), 0

Nestas condies, a expanso em Taylorfornece:

CL () = CL(0) + C*L(0) + 0.5 C**L(0) 2 + ...

e, em primeira aproximaoCL () CL(0) + m uma reta!

62

AEROFLIO


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AEROFLIOFora de sustentao (Resultados experimentais)

AEROFLIO NACA (Arrasto e sustentao)

CL

SIMTRICO

NO SIMTRICO

63

TUBO SEO CIRCULAR


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TUBO SEO CIRCULARPerda distribuda (Equao funcional)

L

dpp+pQ

HIPTESESH1. Regime permanenteH2. Efeitos da compressibilidade so desprezveis

EQUAO FUNCIONAL (seo circular)

p = f (e, L, d, , , V) n = 7

p/L = f (e, d, , , V) n = 6

64

TUBO DE SEO CIRCULAR


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TUBO DE SEO CIRCULARPerda distribuda(Equao adimensional)


1 = ( 2 , 3 )

HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL

1 desejamos que seja da forma:

2 = = e/d rugosidade relativa

Finalmente, como a nica grandeza no utilizada foi e como a anlise dofenmeno fsico mostra a presena de foras inerciais e viscosas, tem-se:

no. de Reynolds

Logo

e finalmente

(...)p1

Vd

Re3

2

211 V

dpf

Re,V

dpf

2

21

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TUBO DE SEO CIRCULARPerda distribuda(Caso limite)Quando h predomnio das foras inerciais

(Regime turbulento, Re )

n = 5(n r ) = 2

p/L f ( e, d,, , V)

Ref T

Re

f

laminar turbulento

123

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TUBO DE SEO CIRCULARPerda distribuda(Resultados experimentais)

Diagrama de Moody

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TUBO DE SEO CIRCULARPerda distribuda(Resultados experimentais)

Diagrama de Moody

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COMPLETAMENTETURBULENTO

LAMINAR

TRANSIO



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TUBO DE SEO CIRCULARPerda distribuda(Equao de correlao)

Colebrook (1939) (eq. transcendental)

Aproximadamente

Swamee e Jain

fRe

51.2

7.3ln86.0

f

1

Re

9.6

7.3log8.1

f

111.1

29.0

Re

174.527.0ln325.1f

70

CONVECO NUM TUBO


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CONVECO NUM TUBOCoef. transferncia de calor (Eq. funcional)

L

dpp+pQ

HIPTESESH1. Regime permanenteH2. Efeitos da compressibilidade so desprezveis


h= f (d, , , k, Cp, V) n = 7

DIMENSES PRIMRIAS n = 4[m] massa [L] comprimento

[T] tempo [] temperatura71

CONVECO NUM TUBO


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CONVECO NUM TUBOCoef. transferncia de calor (Eq. adimensional)


1 = ( 2 , 3 )


1

desejamos que seja da forma:

Utilizando os procedimentos usuais, resulta:

no. de Nusselt

no. de Reynolds Nu = ( Pr, Re)

no. de Prandtl

(...)h1

Vd

Re2

k

CPr

p

3

k

hdNu1

72

CONVECO NUM TUBO


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CONVECO NUM TUBOCoef. transferncia de calor (Casos limites)

ESCOAMENTO LAMINAR Tw = const. Nu = 3.66 q = const. Nu = 4.364 ESCOAMENTO TURBULENTO

Colburn

OBS: Existem outras correlaes maisprecisas.

31

PrRe023.0Nu 8.0

73

CONVECO NATURAL


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CONVECO NATURALCoef. transferncia de calor

HIPTESESH1. Regime permanente


h= f (L,d, , , k, Cp,,V,g) n = 10DIMENSES PRIMRIAS n = 6

[m] massa [L] comprimento

[T] tempo [] temperatura

74

CONVECO NATURAL


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CONVECO NATURALCoef. transferncia de calor


1 = ( 2 , 3,4, 5, 6 )


1

desejamos que seja da forma:

2 = l/d

Utilizando os procedimentos usuais, resulta:

no. de Nusselt relao comprimento

no. de Reynolds no. de Prandtl

no. de Grashoff

(...)h1

k

hdNu1

d

L2

Vd

Re3 k

CPr

p

4

2

32

5

g)T(DGr

75

CONVECO NATURAL


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CONVECO NATURALCoef. transferncia de calor EQUAO ADIMENSIONAL GERAL

EQUAO DE CORRELAO (Exemplo)

C = 0.47

e

w

dcba

D

LGrPrRe.CNu

4

1

4

1

GrPrCNu

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ETAPAS

OBSERVAES77

ETAPAS E OBSERVAES


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ETAPAS E OBSERVAES 1 As seguintes etapas so observadas na utilizao das

ferramentas da Anlise Dimensional ETAPA 1: ANLISE DO PROBLEMA Identifique a varivel X1 que se deseja analisar Identifique os fenmenos que governam o

problema e identifique as hipteses viveis; utilize-as.Exemplo:- um corpo que cai no vcuo: o fenmeno governado pela fora da

gravidade; adicionalmente, nele intervm a fora inercial uma vez

que uma massa encontra-se em movimento.- se o corpo cai no ar, por exemplo, tem-se um novo mecanismo

presente: a fora viscosa que se ope ao movimento do corpo

78

ETAPAS E OBSERVAES 2


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ETAPAS E OBSERVAES 2 ETAPA 2: EQUAO FUNCIONAL Escreva a equao funcional na forma

dimensional

X1 = f(X2, X3, ..., Xn) Identifique o nmero de variveis - n -independentes.

- Esta a etapa mais importante do processo

- Se houver dvida quanto a importncia de uma varivel, inclua-a.- Existem procedimentos que facilitam a identificao das variveis;

nenhum deles completo!- Na determinao do valor de n, no se esquea da varivel X1

79



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ETAPAS E OBSERVAES 3 ETAPA 3: TEOREMA DE BUCKINGHAM A equao funcional dimensional

X1 = f(X2, X3, ..., Xn) equivalente a equao adimensionalizada

1 = (2, 3, ..., n-r ) onde r o nmero de dimenses primrias que

so necessrias para exprimir as dimenses

das variveis Xi , i = 1,n- O procedimento para a determinao de r consiste em escrever a

dimenso de cada varivel[Xi ] = [ G1aG2b... Gre] i =1,n e Gi = dimenso primria

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ETAPA 4: DETERMINAO DOS s Existem muitos procedimentos que podem

ser utilizados para a determinao doss.- Em geral interessante comear pela identificao de 1, escrevendo:

- Os grupos adimensionais podem ser identificados utilizando tabelasque fornecem os grupos adimensionais mais comuns; se uma dasvariveis Xi for o coeficiente de viscosidade - Xj = - tem-seimediatamente que um dos grupos adimensionais Re, e assim pordiante.

81

gnb

3

a

211 X...XXX



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ETAPA 5: ANLISE DE CASOS LIMITES Consiste em analisar casos extremos, isto ,

casos em que uma das variveis assume

valores muito altos ou muito baixos.- A realizao desta anlise possui duas conseqncias importantes:- Permite verificar se os resultados finais esto consistentes (corretos)- Reduz sensivelmente o trabalho de coletada de dados e clculos

- Para a realizao desta anlise importante saber interpretar

fisicamente os grupos adimensionais. Por exemplo:- Re fornece uma indicao da importncia de FI em relao a FV- Nu fornece uma indicao da importncia relativa da conveco em relao

a difuso

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ETAPA 6: COLETA DE DADOS Tendo completado as etapas 5 e 6 a etapa

seguinte consiste na coleta de dados para a

determinao da funo adimensional1 = (2, 3, ..., n-r )

- A equao acima pode ser disposta na forma de um grfico, o que

possvel se (n-r) 3- Se (n-r) > 3 ou se a equao ser muito utilizada mais interessante

determinar a equao de correlao.

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EXERCCIOS

85

EXERCCIOS


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EXERCCIOS Para a soluo dos exerccios propostos os

seguintes procedimentos devem serobservados:

Procedimento 1: Utilize todas as etapas acima descritas;

para isto assuma que voc no conhea as equaes quegovernam os fenmenos. Observe que nem sempre vocter a oportunidade de realizar a etapa 6: Coleta deDados

Procedimento 2: Tendo passado pelas etapas doprocedimento 1, procure verificar se seus resultados estocorretos comparando seus resultados, agora com asequaes que governam os fenmenos

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EXERCCIO 1


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C C OCorpo em queda livre Considere um corpo em queda livre e

obtenha a equao adimensional quegoverna o fenmeno.

Utilize seus resultados para uma situaoque ocorre na Terra

Em seguida transfira seus resultados para

o mesmo fenmeno, agora ocorrendo naLua.

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EXERCCIO 1 (C ti )


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EXERCCIO 1 (Continuao)

Utilizando a equao adimensionalizada aseguinte tabela elaborada

OBS: estes resultados poderiam ser dispostos num grfico (Z* x t*)tendo Fr como parmetro

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t* Z* Z* Z*

Fr = 0.030 Fr =0.031 Fr =0.0320.01 0.9344 0.9380 0.9412

0.02 0.9578 0.7719 0.7847

0.03 0.4700 0.5017 0.5305

0.03 0.0711 0.1275 0.1787

EXERCCIO 1 (C ti )


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EXERCCIO 1 (Continuao)

Supondo que o experimento seja realizado na Terrag = 9.81 m/s2e que: Zo = 100m

Vo= 1m/s

Tem-se imediatamente que: To = 100s e Fr = 0.0319.Se o desejo conhecer a posio do corpo aps 3s de

queda, a definio de t* fornece:t* = 0.03

Com t* e Fr = 0.0319 a tabela fornece Z* = 0.5305Utilizando a definio de Z*, obtm que Z = 53.05m

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EXERCCIO 2


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Pndulo operando no vcuo Determine o perodo de oscilao de um

pndulo de comprimento e massa m,

que oscila no vcuo.

- Para a soluo do problema considere a massa dahaste como sendo desprezvel.- Analise o caso extremo, alis o mais importante, em que

o ngulo que a haste faz com a vertical seja pequeno

- Observe que: este ngulo - - quando medido emradianos adimensionalcalcule = 15 = ( ) radianos

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EXERCCIO 3


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Corpo em queda na atmosfera Considere o exerccio 1 e o repita os itens

1 e 2 para um corpo caindo na nossaatmosfera (25oC).

Obtenha os resultados do exerccio 1como um caso limite de uma atmosferararefeita

Para exercitar utilizando dados numricosassuma que o corpo possua formaesfrica e que neste caso CD = 0.5

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EXERCCIO 4


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Velocidade de descarga Considere um cilindro vertical de dimetro

D, cheio de gua. Um orifcio de dimetrod, tal que D >> d feito a uma distncia h

da superfcie livre. Obtenha a forma daequao que fornece a velocidade nasada do orifcio.

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EXERCCIO 5


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Trajetria de um jato de gua Considere que o cilindro do exerccio 4

esteja posicionado acima do solo demaneira que o orifcio localiza-se a uma

altura H. Calcule a distncia em que o jatoatingir o solo. Resolva o problema sob duas condies:

- despreze a influncia da atmosfera- considere a influncia da atmosfera

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análise dimensional e leis de semelhança

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