análise dimensional e semelhança nova versão
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ANANÁÁLISE DIMENSIONALLISE DIMENSIONALE SEMELHANE SEMELHANÇÇAA
(Fox, Bennett e(Fox, Bennett e MunsonMunson))
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Análise dimensional é uma forma de simplificar um problema físicousando a homogeneidade dimensional, visando diminuir o número de
variáveis envolvidas.
A análise dimensional é utilizada para:
- Avaliação de dados experimentais,- Resolução de problemas cuja solução analítica é complexa,
- Avaliação da importância de um dado fenômeno em relação aosoutros presentes; etc.
Análise dimensional
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Semelhança
Vários problemas de Engenharia → poucas resoluções exclusivamente por
análise teórica ⇒ muito comum os estudos experimentais.
Métodos analíticos: limitações associadas às simplificações necessárias pararesolução das equações diferenciais,
- Detalhamento: alta complexidade, custo elevado.
→ experimentos envolvendo o próprio equipamento ou réplicas perfeitas
→ na maioria das vezes usam-se modelos em escala
→ necessidade de planejamento (controlar tempo, ser objetivo, reduzir custos
dos experimentos)
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→Artigo no Scientific American (1991): analisou a velocidade de dinossauros a partir
dos dados: comprimento médio das pernas (l
) e comprimento médio dos passos (s)dos dinossauros (como?!?)
→ Comparação de dados de l e s de quadrúpedes (cavalos, cachorros, gatos...) ebípedes (humanos, aves, etc.) → nenhuma conclusão.
→ Análises posteriores: gráfico de s / l em função de v2
/g l (onde v é a velocidade doanimal) → para a maioria dos animais os dados caiam aproximadamente sobre umamesma curva!
→ Assim, usando a razão s / l dos dinossauros e entrando no gráfico citado, obteve-seum valor para v2 /g l que permitiu a estimativa da velocidade dos dinosssauros.
ANÁLISE DIMENSIONAL
→ Surgem as questões:
• Será que dá para usar esse artifício também em outras áreas?
• Se sim, como são obtidos esses grupamentos adimensionais “mágicos” que
permitem esse tipo de correlação?• Grupamentos como número de Reynolds e outros grupos importantes namecânica dos fluidos podem ser envolvidos em estudos semelhantes e trazem emsi algum significado físico?
• O estudo de um dado fenômeno em um protótipo pode ser ampliado para umaescala maior fazendo uma mera regra de três?
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→ A maioria dos fenômenos em mecânica dos fluidos apresenta dependênciacomplexa de parâmetros geométricos e do escoamento ⇒ análise dimensional:importante ferramenta.
ANÁLISE DIMENSIONAL
QUEDA DE PRESSÃO EM TUBULAÇÃO (POR COMPRIMENTO DE TUBO)
→ Escoamento em regime permanente, incompressível, de um fluido newtoniano emtubo longo, horizontal e parede lisa: uso de dados experimentais
→ No projeto da tubulação: queda de pressão no escoamento por comprimento detubo → apesar de simples, não pode ser resolvido sem o uso de dados experimentais.
Planejamento experimental: identificar parâmetros que contribuam, de formasignificativa, com a queda de pressão:
Tomar cuidado com a possibilidade de não se incluir parâmetros que interfiram naqueda de pressão numa tubulação (como a rugosidade do tubo, por ex.). A equaçãoobtida vai funcionar bem para, por exemplo, tubos lisos.
)v,,,D(f P µρ=∆
Quais e quantos experimentos devem ser realizados para determinar a queda depressão no tubo?
Entenda-se ∆P como sendo quedade pressão por comprimento detubulação.
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→ Considerando a relação acima, poderíamos definir experimentos variando cadaparâmetro individualmente, ou seja, faríamos experimentos variando apenas D, depoisρ, em seguida µ e finalmente, v. Dessa forma, o número de experimentos é colossal.Se fizéssemos um estudo envolvendo 10 diâmetros diferentes, 10 fluidos com ρdiferentes, mais 10 com µ e mais 10 com vazões diferentes, chegaríamos num total de104 experimentos. Estimando que cada experimento dure 30 min, levar-se-ia 2 anos emeio (trabalhando 40 h por semana) para finalizá-los. Em seguida, viria a etapa detratamento dos dados, que também seria complexa: como traçaríamos gráficos de ∆Pem função de v tendo D, ρ e µ como parâmetros?
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→ Felizmente não é necessário todo esse esforço. Será mostrado que é possível obteruma relação simples entre ∆P e os parâmetros citados, agrupando as variáveis em doisgrupos adimensionais:
→ Portanto, pode-se trabalhar com dois grupos adimensionais ao invés de
analisarmos os 5 parâmetros. A figura a seguir mostra como é possível relacionar osresultados usando uma única curva. Note que essa curva é válida para qualquercombinação de tubo (parede lisa) e fluido (incompressível e newtoniano). Todos osexperimentos podem, por exemplo, ser realizados usando um único tubo de diâmetroD, um único fluido e variando apenas a vazão, o que minimiza os custos. Dessaforma, o tempo gasto seria mínimo.
2v
PD
ρ
∆
µρVD
µ
ρ=
ρ
∆ Dvf
v
PD2
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QUEDA DE PRESSÃO SOBRE UMA PLACA TRANSVERSAL
→ Queda de pressão sobre uma placa transversal dentro de uma tubulação.
→ Identificação dos parâmetros que interferem no cálculo da queda de pressão:
Grupos adimensionais que se mostraram representantes do fenômeno:
Nesse caso, os experimentos podem envolver uma única esfera e um único fluido,variando-se apenas a vazão.
→ Forma gráfica: os resultados experimentais podem incluir experimentos de
vários pesquisadores, envolvendo fluidos e tubulações diferentes.
Placadeslizante
)h,d,,,V(fp µρ=∆
µ
ρ=
ρ
∆
d
h,
dVf
V
p2
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FORÇA DE ARRASTE SOBRE UMA ESFERA
→ Considere a força de arraste sobre uma esfera lisa, estacionária, imersa em umacorrente uniforme.
→ Identificação dos parâmetros que interferem no cálculo da força de arraste:
Grupos adimensionais representantes do fenômeno:
Nesse caso, os experimentos podem envolver uma única esfera e um único fluido,variando-se apenas a vazão.
Forma gráfica: os resultados experimentais podem incluir experimentos de vários
pesquisadores, envolvendo fluidos e esferas diferentes.
µ
ρ=
ρ
Dvf
Dv
F22
)v,,,D(f F µρ=
v vv
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→ Esse gráfico pode ser usado para calcular o arraste sobre um balão de arquente em uma corrente de vento ou para estimar o arraste sobre uma hemácia(considerando que se aproxima de uma esfera) movendo-se através da aorta.
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Teorema ππππ de Buckingham
→ Dado um problema físico onde o parâmetro dependente q1 (seria o ∆P ou o F dosproblemas anteriores) é uma função de n-1 parâmetros denominados q2, q3, q4....qn
(como D, ρ, µ, v, etc.) pode-se escrever que:
q1 = f(q2, q3, q4....qn), ou ainda:
g(q1, q2, q3, q4....qn) = 0
onde g é uma função diferente de f, ou seja, no caso do arraste na esfera:
F = f (D, ρ, µ, v), ou poderíamos escrever
g (F, D, ρ, µ, v) = 0
→ Segundo o teorema π de Buckingham, dada uma relação entre n parâmetros, daforma g (q1, q2, q3, q4....qn) = 0, os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões
adimensionais independentes, ou parâmetros π expressos na forma:G(π1, π2, .... πn-m) = 0 ou
π1 = G’(π2, π3, .... πn-m)
mas, quem é m?
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→ O número m é, em geral (mas não sempre) igual ao número mínimo de dimensõesindependentes necessárias para especificar as dimensões de todos os parâmetros q1,
q2, q3, q4....qn.→ Conjunto de dimensões fundamentais (primárias): sistemas MLT ou FLT
MLT (massa, comprimento, tempo): força é dimensão secundária
FLT (força, comprimento, tempo): massa é dimensão secundária
→ A relação funcional entre os parâmetros adimensionais independentes π, deve serobtida experimentalmente.
→ Os n-m parâmetros π obtidos segundo esse procedimento são independentes. Um
parâmetro π não é independente se ele puder ser formado por um produto ouquociente dos outros parâmetros do problema.
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DETERMINAÇÃO DOS GRUPOS ππππ
Segundo FOX
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Sobre a escolha das variáveis (MUNSON):
Obs.: a escolha das variáveis repetentes deve, de preferência, tambémcontemplar os seguintes aspectos:
• variáveis mensuráveis,• que sejam bons parâmetros de projeto• quando combinadas contêm todas as dimensões M, L e T.
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(Munson)GRUPOS ADIMENSIONAIS USUAIS NA MECÂNICA DOS FLUIDOS
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Número de Reynolds (Re): Reynolds (1842-1912) demonstrou pela primeira vezque a combinação de variáveis poderia ser usada como um critério para a distinçãoentre escoamento laminar e turbulento.
→ Re será importante quando as forças envolvidas (inerciais e viscosas) foremrelevantes no escoamento em estudo. Se Re <<1 (creeping flow) as forças viscosas são
dominantes e é possível desprezar os efeitos de inércia. Nesses casos, a massaespecífica do fluido não será uma variável importante. Se Re for muito alto, efeitosviscosos pequenos em relação aos efeitos de inércia (pode-se desprezar os efeitos daviscosidade: escoamento invíscido).
Número de Froude (Fr): único grupo da tabela que envolve a aceleração dagravidade.
onde L é o comprimento característico. Fr é importante na maioria dos escoamentosque apresentam superfície livre. É usado para determinar a resistência de um objetoparcialmente submerso movendo-se através da água e permite a comparação de objetosde diferentes tamanhos. O escoamento de água ao redor de um navio (com a ação dasondas resultantes do movimento do navio) e os que ocorrem nos rios e canais abertossão bons exemplos.
viscosasforçasinérciadeforçasDvRe =
µ
ρ=
nais)gravitacio(forçasfluidodopeso
corpodoinérciadeforças
gL
v
gL
vFrou
gL
vFr
222 =
ρ
ρ===
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Número de Euler (Eu): dados de pressão na forma adimensional.
Também chamado de coeficiente de pressão, Cp.
No estudo dos fenômenos de cavitação a diferença de pressão, ∆p, é tomada como ∆p = p –pv, onde p é a pressão na corrente livre (pressão de referência) e pv é a pressão de vapor do
fluido na temperatura do escoamento:
- quanto menor o número de cavitação (Ca), maior a probabilidade de ocorrer cavitação.Esse fenômeno é (normalmente) indesejável.
Número de Cauchy e Mach: quando a compressibilidade do fluido é significativa.
c = velocidade do som e E ν = módulo de elasticidade
Quando Ma < 0,3 as forças de inércia presentes no escoamento não são suficientementegrandes para causar uma variação significativa na massa específica do fluido e nesses casosos efeitos de compressibilidade podem ser desprezados. O número de Mach é mais usado
do que o de Cauchy na análise de escoamentos compressíveis (particularmente, nadinâmica dos gases e na aerodinâmica).
inérciadeforças
pressãodeforças
v
pEuou
v
pEu
22=
ρ
∆=
ρ
=
vppCa2
v
ρ
−=
c
v Ma e
ilidadecompressibdeforças
inerciaisforças
E
vCa
2
==ρ
= ν
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Número de Strouhal: é um parâmetro adimensional importante nos problemastransitórios (aceleração local) que apresentam oscilações com freqüência w.
(aceleração local/aceleração convectiva)
Escoamento tipo transitório pode ser desenvolvido quando um fluido escoa em tornode um corpo colocado em um escoamento. O número de Strouhal mede a freqüênciade formação dos vórtices de Von Karmann na esteira do corpo.
Ex.: um escoamento transitório se forma na região traseira de um cilindro colocadonum escoamento uniforme. Esse escoamento oscilatório apresenta uma freqüência ω.
Nesse caso, o número de Strouhal pode ser bem correlacionado com o Re.
SEMELHANÇA DE ESCOAMENTOS E ESTUDOS DE MODELOS
• Modelos: muito usados na mecânica dos fluidos→ maior parte dos projetos de engenharia envolvem estruturas, aviões, navios,portos, barragens, emissões em ar e água, etc. frequentemente utilizam modelos.
→ vamos nos restringir a modelos físicos → parecem com o protótipo (sistema
real) mas apresentam tamanho diferente, podem estar envolvidos por fluidosdiferentes e sempre operam sob condições diferentes: pressão, velocidade, etc.
escoam.noptoaptoevelocidaddevariaçãoàdevidasinérciadeforças
escoamentodoiedadetransitoràdevidasinérciadeforças vlSt =ω=
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A solução do escoamento de fluidos em torno de corpos rombudos é muitoimportante para a engenharia devido às suas aplicações em situações reais comorisers de plataformas de petróleo e pilares de pontes. O escoamento que apresente
número de Reynolds superior a 45 induz o aparecimento de vórtices logo após ocorpo bojudo, formando a esteira de vórtices de von Karmann. O corpo fica entãosujeito a forças dinâmicas fazendo com que o mesmo vibre com freqüênciasassociadas às freqüências com que se desprendem os vórtices. Outro exemplo é oconjunto de redemoinhos que objetos como barcos deixam para trás, no mar.
Conforme o barco se move, ele divide a água em dois. E quando ela se reúnenovamente, cria esse padrão de vórtices.O fenômeno também atinge o projeto de prédios altos, chaminés e periscópios desubmarinos, por exemplo, que têm que lidar com o fenômeno. Conforme essaforça chega, as estruturas vibram fortemente.
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•Teste de modelo: deve resultar em dados que possam, por mudança de escala,fornecer forças, momentos, cargas dinâmicas, etc.
• Modelo: normalmente menor que o protótipo (menos custoso construir e operar).Mas, o protótipo pode tb ser muito pequeno (uso de modelo maior).
•Com o desenvolvimento de um modelo adequado é possível predizer, sob certas
condições, o comportamento do protótipo.
•Que condições devem ser atendidas para assegurar a semelhança entre osescoamentos de modelo e de protótipo?
→modelo e protótipo devem ser geometricamente semelhantes → ambos têm amesma forma e as dimensões lineares do modelo são relacionadas com ascorrespondentes dimensões do protótipo por um fator de escala constante
→ protótipo e modelo devem ser cinematicamente semelhantes: apresentam omesmo regime de escoamento. Como as fronteiras sólidas formam as linhas decorrente de contorno do sólido, escoamentos cinematicamente semelhantesdevem ser também geometricamente semelhantes.
→ protótipo e modelo devem ser dinamicamente semelhantes: ambos apresentama mesma distribuição de forças. Todas as forças devem ser relacionadas pelo
mesmo fator de escala.
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TEORIA DOS MODELOS
• pode ser desenvolvida a partir da análise dimensional: qualquer problema pode serdescrito em função de um conjunto de termos π
• formulação do problema: conhecimento da natureza geral do fenômeno físico e dasvariáveis relevantes do fenômeno
assim, - para o protótipo: π1
= f(π2, π
3, .... π
n)
- para o modelo (m): π1,m = f(π2,m, π3,m, .... πn,m)
nesse caso, a forma da função será a mesma desde que os fenômenos envolvidos noprotótipo e no modelo sejam os mesmos.
• Uma igualdade dos grupos adimensionais para protótipo e modelo define a relaçãoentre as variáveis, já que a função f é a mesma entre eles:
π1,m = π1 π2,m = π2 π3,m = π3 ......
Exemplo: Considere o problema de arraste sobre uma esfera: F = f (D, v, ρ, µ)
Pelo teorema π de Buckingham obteve-se:
=
µ
ρ
ρ
vD
v
F
122f
D
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protótipo
22
modelo
22 v
F
v
F
=
D D ρ ρ
22p
p
22m
m
v
F
v
F
p p m m D D ρ ρ
=2
m
p
2
m
p
mP
D
D
v
vFF
=
m
p
ρ
ρ
p
p
m
m
µ
ρ
µ
ρ ppmmDv
Dv
= D
D
v
v
p
m
m
p
m
p
p
m
µ
µ
ρ
ρ =
2
m
p
2
p
mmP
D
D
D
DFF
=
m
p
p
m
m
p
µ
µ
ρ
ρ
ρ
ρ
2
mP FF
=
m
p
p
m
µ
µ
ρ
ρ
Pela teoria dos modelos:
⇒
⇒
Remodelo = Reprotótipo
Assim,
e
⇒
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SEMELHANÇA BASEADA NAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
→ Análise dimensional: requer apenas o conhecimento das variáveis que influenciamo fenômeno que se deseja analisar.
→ Omissão de uma ou mais variáveis: pode provocar erros sérios de projeto
→ Abordagem alternativa: analisar equações que descrevem o fenômeno desde que
conhecidas (normalmente essas equações são diferenciais).→ Nesse caso: é possível desenvolver as leis de semelhança a partir das equações quedescrevem o fenômeno (mesmo sabendo que pode ser impossível obter uma soluçãoanalítica das equações).
→ Para ilustrar essa possibilidade: considere o escoamento bidimensionalincompressível de um fluido Newtoniano com viscosidade constante. As equaçõesque regem esse fenômeno são:
o Equação da continuidade: (1)
o Equações de Navier-Stokes:(2)
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→ Equações de difícil solução para a maioria dos escoamentos. A equação (1) temdimensão de (tempo)-1 e as equações (2) tem dimensões de força/volume.
→ Transformando as equações acima em equações adimensionais:
o Eq. (1): dividir todos os comprimentos por um comprimento de referência L
o Eq. (2): dividir todas as velocidades por uma velocidade de referência v∞
(normalmente adota-se a velocidade da corrente livre).o dividir a pressão por duas vezes a pressão dinâmica da corrente livre.
o denotar por asterístico as variáveis adimensionais:
o exemplos de procedimentos de adimensionalização:
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o seguindo esse procedimentos, as equações (1) e (2) ficam:
L / v∞ L / v2∞ρo dividindo a primeira equação por e as duas seguintes por
0*y
*v
*x
*u=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
ρ
µ+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
∞2
2
2
2
*y
*u
*x
*u
Lv*x
*P
*y
*u*v
*x
*u*u
∂
∂+
∂
∂
ρ
µ+
∂
∂−−=
∂
∂+
∂
∂
∞∞2
2
2
2
2 *y
*v
*x
*v
Lv*y
*P
v
gL
*y
*v*v
*x
*v*u
o analisando essas equações observa-se que aparecem coeficientes
adimensionais nas equações de N-S:→ - identificado como o inverso do nº de Reynolds → em frente ao
termo associado a forças viscosas
→ - no termo da força da gravidade (associado ao nº de Froude)
Lv
∞ρ
µ
v
gL2
∞
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o Lembrando: a forma matemática da solução das equações é muito sensível aosvalores dos coeficientes das equações (por ex., certas equações diferenciaisparciais podem ser elípticas, parabólicas ou hiperbólicas, dependendo dos
valores dos coeficientes).o Com base nas equações obtidas: a solução (configuração real do escoamento)depende de 2 coeficientes → por ex.: se Re for muito grande ( µ /(ρv∞D) muitopequeno) as diferenciais de segunda ordem podem ser desconsideradas (pelo
menos na maior parte do escoamento, pois sempre haverá uma camada limiteonde os efeitos viscosos serão importantes) e caímos nas equações de Euler.
o Obs.: muito cuidado em desconsiderar derivadas de ordem superior mesmo queseus coeficientes sejam pequenos, pois isso significa a perda de uma condição decontorno (especialmente a condição de não escorregamento)
ser grande ou pequeno permite prever se as forças da gravidade serãosignificativas ou não, respectivamente.
o A escrita das equações na forma adimensional pode auxiliar na compreensão dofenômeno físico e na identificação das forças dominantes.
o Para que dois escoamentos sejam geometricamente semelhantes, mas em escalasdiferentes (por ex., um modelo e um protótipo) as equações somente levam a ummesmo resultado matemático se os dois escoamentos tiverem os mesmos coeficientes,ou seja, apresentarem a mesma importância relativa da gravidade, viscosidade e das
forças de inércia.
v
gL2
∞