UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

APLICAÇÃO DA ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA NA

MECÂNICA DOS FLUIDOS

RUI CARLOS DE CAMARGO VIEIRA AFRÂNIO ROBERTO ZAMBEL

SÃO CARLOS 2021

Aplica~Ões da Análise Dimensional e Ser!!elhança na T'fe·cânica dos

Fluidos

l I .... , -_ n L.roauçao

2 - P.néÍ.lise Dim ensional e Semelhança

Rui C. c·. Vi eira

A ~R. Zar.1bel

2.1 - Teorema dos Coeficientes Adimensionais

2.2 - Si:e;nifi c ado Físico dos Coeficientes Ac1imP.nsionais '2.3- ~scalas de Semelhança

2.4 - Efeitos de Escala

2,5 Problema da héli ce pro pulsora 2. 6 ~studo do Conportamento das ríáq_uinas de Flu xo

3 - Cálculo de Perdas à_e Care;a em Condut os

3.1 Condutos lisos

3.2 - Conduto s ru~osos

3.3 ~x~eriência de _ikuradse

3. 4 Aplic 2.<:;Ões aos Condutos industriais ....3!5 Frevisão das perdas de car::;a de uma adutora

4 - hl~didores de Vaz~o

4 .1 Diaf r azma Padrão 4.2 Bocal Padrão

4.3 Venturi Padrão

Ante projeto de um medi dor

5 - Curvas Caracterí sti cas de 3ombas e Turbinas

5.1 - Coefici entes Adi mAnsionais

5.2 - Curva s Características de Bombas e Ventil ador~s

5.2.1 - AplicaçÕes

a) ~ iu d.n.nça de fluidos b) Fuda.n ça d8 ciclagem

c) I nst Rlação de bombeamento

·: .. ·,

!. l ...... : -. -.~ ~- ·

o·- C a.re.ct eriz ~lç ão c\ a 2.P.O T'1 ~tria dos rotores da s ; ,.áCJ.1l inas à..P Fl,_lXO

6 .1 - '1ot Pr_;-a,o ~s _> ecífica Unitária

6 .2- Apl :cn.ç08s a ) r·;1.~m P.r o de tlJ.rbinas de uma i nstal aç ão hidroel ótrj ca

b) Dsi:ndo d r= un: a ofert a. de t 1.. r binas

7 - Bi l'll io.::;r Rfia

•

AplicaçÕes da Análise D~mensional e

Semelhança na Mecânica dos Fluidos

1 Introdução

~ na T,Tecânica dos Fluid~s que as leis tiradas da

s emel han ça prestam maiores· serviÇos. T,odos os probleme.s da ~.1ec âni ' ' -

ca do s Flu idos deveriam poder ser r esolvidos à p~tir das equa --

çÕes cláss j_ca s dos princ!pios d.a consEirvação complem?ntadas pelas equaçÕes de estado do fiuido~ D6 pontq de vista físico, a soluç ã o

é dete r minada a plicando-se as condiçÕ~s limites e as condi çÕe s i ­

n iciais, geralme nte definidas por superfícies fixas ou em movimeg

to que limi tarn o espaço ocupado pelo f\luido sôbre as quais r ein21ll -~ressoes constantes e campos de velooijdades definidos. Sabe-se, entret anto, qu

1e o sister.1a de equa çÕes as­

sim co21sti t u ido é mui to complexo para permitir uma solução com:9l.§.

ta . Faz-se certas aproximaçÕes desprez~ndo-se influênci a de f a to­

re s secundários, surgindo a necessidad~ de justificar as aproxim.ê:_

çÕes procedidas. Frequentemente recorr~-se à experiência e a ma i o

r ia das vêzes procede-se a ensaio de modêlos redu zidos •

Os modê1os . alérn de muitq mais baratos que o pro tó­t i po s e prestam a estudos mais completos e permitem modificaçÕes event uais bem menos onerosas. Pode-'se determinar diretament e e r à

I '

pidaP.lent e as dis posiçÕes à adotar p1ara · seu funcion ament o, seu ren

dimento , sua economia, etc. ~

Bste método também s(e .a plica quando s e IJre ci s a re a

l izar o exemplar único de uma construç~o custosa ( barrage ) ou quando se t r ata de uma série de aparel~os idênticos (bombas, ven­

t i l ador es, tur bi nas, etc.). Na aeron áutica os ensaÜ>s de modêl os r eduzidos a­

TJr e s"ent&"'!1 int erêsse no e s t udo de ~m av~ão nôvo •. Analiza- s e a s ca ­

r c. ct eríst i cas aerodi nâmi ca s tan.to do a{Parelho i nt ei r o cor:w do s I - ~ r crfí s das asas, deter rüna-se as inter1a çoes e a s de f orma çoes el ás

t i c a s dos di vers os orc ãps, etc •• Os moldêlos podem s er moto r izados ou .não . Po de-se ensaiar na atmos fera l i vre ou em túne is aerodinâ­

mi cos . Ho cas o dos túneis, êles mesmos, podem ter sido estu dados

8 1;-~ modêl os ant P. s de serem construidos •1

'

-2-

-No estudo de .:::;randes barragens sao utilizados modê

lo s reduzidos a 1/20 e a 1/60. ·Quando se trata de construção de "':

portos, aproveitamento de cursos d'ágLta, dragagem de canais , a­

ç ão de correntes marítimas ou de ondas sôbre diques, etc ., cons-_

traem-se modêlos em escalas convenientes, modifica-se certos ele­

mentos até obter o resultado desejado.

O comportamento de um casco de návio pode ser es­

tudado. do mesmo modo permitindo ensaio de resistência, de_ defor :-::a

çao e de destruição o que seria imposível no protótipo.

Em todos os casos os ensaios de modêlos fornece~

inforrnaçÕes indispensáveis pois êles permitem verificar os cálcu

los e encontrar- soluçÕes que as teórias -atuais são impotentes d e

fornecer.

Gracas às informacÕes obtidas no modêlo a constrn-_, , ~

çao real l"JOderá ser empreendida com segurança e rapider. evi to.nõ.o

te ntativas e erros onerosos.

Os remtlt ados das medidas ex~erimentais bem cc2o

as conclusÕes deve r:: respeitar algumas condiçÕes ao serem trans :;>oE_

tadas para o protótipo, são as chamadas condiçÕes de se~elhonça.

As condiçÕes de seraelha_r1ça trG.duzem-se em certas analoc ias er..t:::-e

o prot6tipo e o modêlo: analogias e:eo!!'.étrica, cinemática e dj ~8 . ..., i

ca.

2 - Análise Dimensional e Semelhança

2.1 Teorena dos coeficientes adimensione.is

Na observáção de um fenômeno f ísico· em n11"' sP.

j a possível obterem-se medidas das erandezas envolvidas é 02s7,~ ~­

te ítil a representação da sua interdependência através d e : ·::::-{:o-i ­

cos que permi ta1:1 visualizar o andamento {~eral do fenôr:1 eno. -=-: :-: ei~:­

}.Ü ificando, no c a so de um movimento -oeriódico de um" ponto Ti'.atc:::.~i-::.~­

noder-se-ia obter a rerresentação e;ráfica da lei horária atrGvé s

da J.l.edida da elong c-.. ção x em fvnção do tel'!lpo t (fie; . 2.1). ~ clr:.r c

!)_1.le pa:ca cada cnso p2..rti cu l a r do fenône n o oscil :-::.tóri o exist irá ~1 -

,., e. am1)J_ i ttl.de. x0

e uma fr equêncj_ a .!_ bem det P.rrünad.as de r-: c::tr:.eil~ 2.

r:_ue pa.ra cada caso as nedidas efetna.das 1 evarão à construção ele

--:-r2.f icos diferent e s entre sí se bem que fundamentalmente análo ::::;os.

X -3-

f

Figura 2.1

Feita essa observação, verifica-se imediatamente

que todos os casos particulares possíveis do fenômeno oscilatório

em questão podem ser representados por uma única curva, ou em ou­

tras palavras ·por uma única função adimensional

X = sen 2 'ff ft X o

dos coeficientes adimensionais x

X o

e 2 'JTft inteiram ent e indepeg

tes das unidades das medidas efetuadas bem como dos valores numé­

ricos obtidos para as grandezas variáveis envolvidas no fenômeno

(fig. 2.2).

Figura 2.2

Pode P-ntão dizer-se que a função ad i mensional obti

da, re presenta verdad ei r amente o fenômeno em sí e -não s~ment e um

s eu as :pécto p2.rt iculEr. De f ato, a curva adirnensional obtida , in-

··"~

-4-

depehdénte das medidas efetuadas, depende somente da natureza fí­

sica do fenômeno, e portanto na realidade é representativa do fe .... ,

nomeno em s1.

No· caso de somente duas. grandezas estarem envolvi­das, no fenômeno, como anteriormente, a sua análise é bastante sim

pleso A medida em que aumenta o número das grandezas envolvidas no

fenômeno, aumenta também a complexidade do raciocínio envolviqo Ea

ra a deter~inação · da função adimensional representativa do fenôm~

no. De uma : ... maneira geral, quando no fenômeno físico estiverem en­

volvidas n grandezas G1 , G2 .•• ·Gn' os · coeficientes adimensionais procurados podem ser obtidos através do "Teorema dos coeficientes

adimensionais".

Este teorema, devido a Buckingham e tembém conheci do como nTeorema dos <J1' n é usualmente demonstrado nos cursos de

Cálculo e pode ser enunciado da seguinte maneira:

. -"Seja G1 , G2 ••• Gnj um , conjunto de e;randezas físi cas e constantes dimensionais e k. d número total das grandezas fun

damentais em têrmos das quais se exprimem as n grandezas G .. Se um . l

fenômeno físico puder ser considerado como uma função F(G1 ,G2 ...

..• Gn) =O dqs n grandezas Gi interdependentes, também poderá ser

cons,iderado c;omo uma função adimensional ~ ( il'1 , r,; , ... ~ 'ií"r\ _;._)==-o de n-k coe~icientes adimensionais rr4 independentes quaisquer, da forma

. . çr! A (,• '><, "'~ O(n

''.:.:: i.· ..,, ~ ..... .. G~

onde A. é um ·nÚmero puro." l

(eq. II.l)

Observe-se primeiramente que o teorema dos ~ -na o

dá a exnressão analítica da função adimensional ~ , o que poderá

ser conseguido em cada caso particular pelo desenvolviment o teóri

co correspondent e ou }'elo tratamento E)~tatístico dos result ado s ex . - .... perimentais obti do s pela observaçao do fenomeno.

Outra observação de ·impprtância merece ser feita re

lati vsJnente à determinação do conjunto dos n-k coeficientes adi ­

mensionais '1T • O feorer.1a dos 1f estabel~ce que os co eficiente s 'f(.:..

. s ejam independ entes entre sí, isto é, ~ue nenhum deles possa ser

obtido através dos produtos possíveis de qu aisquer potências . dos

"

-5-

restantes.

com rj (j = 1,2 •.• i- 1, i + 1, ••• n- k) inteirament o arbitrá rio.

Para a obtenção do conjunto dos coeficier;.tes 'T(i in

dependentes entre sí é usual a · escolha do chamado "sistema nrobã­sico" ·de grand·ezas, isto é, a escolha das grandezas envolvidas no

fenômeno que não podem form~ um produto agi~~nsional. Demonstra---- . --se ta~bém que o n~mero dessas grandezas é igual ao número das

grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno, de mo~ó que, esco­

lhidas k grandezas quaisquer pode verificar-se imediatamP. nte s e ~ las constituem :ou não um sistema probásico através do exame do de

terminante !) de· ordem k cujas linhas são compostas das dimensÕ.es

daquelas k grandezas ordenada~ente em relação às k grandezas fun

damentais.

Odeterminante D sendo nulo isso implicará na im-_ :•

possibilidade das ::;randezas escolhidas ,consti tuirem um sistema :9ro

básico. O deter~inante D sendo diferente de zero as grandezas es­

colhidas constituem .o ~s~~ma .prob~sico procurado.

Em particular, 'na r.1ecânica dos Fluidos, dentre as

grandezas que ordinàriamente se •. envól vem nos fenônenos destacam -

se a massa espec~fi?a f , a velqcidf de do escoamento V e uma di­mensão linear~ característica do fenômeno, que podem constitui r

um sistema pro básico. De fato, . a massa espeuífica sendo uma c;r an­

deza dinâmica, a :velocidade uma .': grandeza cinemática e a dimensão

linear uma gr andeza g eométrica, ~ e · as grandezas fundamentais usual

mente envolvidas. :· sendo também sqmente dessas três es pécies, resul • i '

ta qu e não é possível a · su_a com'9inação de !nane ira a produzir ur:1

coe fi cü:nte adirnensional. Adotaii.do o sistema técnico de unidades ter-se-ão as dimensÕ.es daquela·s >grandezas dadas pelas equaçÕes di

mensionais

.. ~

,

e o

[f} = [ ~1 ~L l -4

cvJ = LPr [L1' (r]-l [t] =: Cr-1° ~L 1' LTJ

0

determinante procurado será

1 -4 D = o 1

o 1

r o -6-

2 ~ -1 = 1 I o ""' o '---

mostrando que realmente as grandezas escolhide.s constituem· o sis­

tema probásico procurado.

O que foi exposto justifica o mét odo em geral ado­

tado para a determinação do conjunto de coeficientes adimensio

nais f(. Assim, toDando-se as k gra11.dez~ do sister:1a probá.sico e

combina.Yl.do-as respectivamente com cada uma das r e st::>.ntes n - >: grandezas envolvidas no fenômeno obter-se-á um conjunto possível

de coeficientes adimensionais, mediante o est a belecimento da con­

dição a q_ue devem s atisfazer os seus expoentes. · sendo por exem-oJ. o

G1 , . G2 ••• Gk as grandezas do sistema probásico tem-se o coefi­

ciente adimensional gen~rico, . com A. = 1. 1

. . . -

G. 1

e portanto o sistema das k equaçoes dimensionais correspondentP s

à condição de bomogeneida.de da expressão relativamente às k gran­

dezas fundame :1t ais · <leter!.!'linará o valor dos expoentes OS_, 0(2 , .. -~{.

No caso ha.stante simples em que além das gr ancle zas

f' V e ~ estejam envolvidas no fenômeno observado por exémpl o a

vi scos ide.d e r do fluido e uma fôrça . oualq~ f devida à ação )11 í. tua entre o fhüdo e um · obstáculo, ter-se-ão cinco gr "ndA zas en­

volvidas no fPnôy.--:e no, das quais três grandezas fund::-tT'1entais. Se­

guir8.o entã.o · Hs ex~oressoes dos dois possíve i s co Afi cientes adimen

siomüs

... -7-

e, adot ando-se o sistema técnico qe unidades resultarão as equa-_ -çoes dimensionai9

-F] o [F]~ + 1

=

[L] o _J4~ +a2 + a3 - 2

= \_L

~T]o [TJ~ ~ a2 + 1 =

(F]o = ~ + 1 [F

[L ] o = [LJ -4~1 + (32 : r 3

(T]o = [ T] 2(31 - f> 2

QUe por sua vez i mplicam nos sis temas ~e três equações e três i n­c6gnitas

-~ + 1 =o

A s ohJ.ção dêsses sistemas permite ent ão obter em-se as ex-pres s Ões

dos co eficient es adi mens i onais pr oclrados

11

-8-

' 'ií - f .A.-I ~vt

l

.I

'IT-::::: f 2 v 2 e 2.

('

Deve ser reialtado que os dois coeficientes obtidos constituem uma das infinitas soluções apresentadas -pelo problema,

pois qualquer potência a que êles fossem elevados seria também u­

ma solução. Também o produto conveniente daquelas potências dês-_

ses coeficientes determinados, pelo método exposto constituiriam s.:.t-~ ... o ~~- . ".><.!~o...

nov~ ~âtic~_ e a conveniência é que, no caso geral, podem ditar o

critério melhor a ser adotado para a escolha do conjunto de ~~

mais conveniente.

2. 2· - S~gnificado _ físi s._o dos coeficientes adimen­

sj_Qn.ais -

Apesar da infinidade de valores possíveis para os

'íÍ<. pode verificar-se que existem alguns valores particulares que

se prestam melhor à descrição do comportamento do fenômeno, devi­do ao fato de .apresentarem um significado físico intimamente rel a cionado com o fenômeno. _ ---

A partir da consideração de que nos casos comuns da lTecânica dos Fluidos int.ervêm fôrças de inércia, fôrças de at·ri to - . e fôrças de grayidade que são respectivamente proporcionais às

outras grandezas segundo as expressÕes

.... . 2C Fi _ f~

Fat .... rvi

conclui-se que os coeficientes adimensionais obtidos como quocien

tes d8.s fôrças;. d e inércia para as fôr ça s de atrito e de gravi dade,

-9-

-r-espectivamente, serao bastante representativos dos fenômenos em

geral.

Assim, chamando-se de número de Reyholds o quocieg

te entre as fôrças de inércia e as fôrças de atrito e de número

de Froude a relação entre as fôrças de inércia e as fôrças de gr~

vidade, tem-se:

Rey =

Fr=

Conseq_uentemente, nos fenômenos da r:Iecâilice. do s

fluidos em q_ue forem eleve.dos os números de Reynolds a i "lfl nênci a

das fôrças de atrito é pràtica:mente desprezível. J'T o fenômenos em

que os números de Froude são elevados,. anàlogamente é des ) re z í v el

a influência das fôr ç as de sravidade.

Os m.tmeros de Reynolds, em particu l ar, é um co e -=- i ­

ciente adimensional de suma ir:roortânci_a pois -r:> ermi t e c a r a cteri ?P..r --- - -- -- - - ~

o rê:,.,.. ime _de escoaJWnto dos f~d_os .. De fato, por exem'!'JlO na s v izi-

nhanças da s :paredes de um C?bstáculo a existência das r uc;osid2.d e s

in~~táveis ocasiona :pertubações no esco~~ento. Agrupamen tos de

partículas de fl u ido, ou somente partículas isoladas em cont a cto

com as p~r_edes sofrerão movimentos de rotação locais, que se co­

municam por sua vez às partículas vizinhas, de m~neira a propa-_

::sar a :p ertubação inicial através da massa fluida em esco amento(­

fig. 2. 3) •

f f ~r .. í.

Figt1.ra 2.3

..

f

-10-

QuaYJ.do as fôrças de v::iscosidade que intervêm no e.§_

coam~ntQ ~ão s~ficientemente grandes, ocasionarão o runortecimento .---- -- -

rápid.Q_ dess~s pertubaçÕes e pràticamente a sua propagação ficará ---- -- '

limi ta.da às vizinhanças das paredes. Nesse caso o número de Rey-_ - o-, - - - -

nolds correspondente ao escoa;nento d:::_:y~á ~e r pequeno, e o regime

de escoarnento ~erá laminar, isto é, as pertubaçÕes existentes no

seio da massa fluida serão devidas sbrnente à apitac~o molecul ar . ___. ._.~ - --

No caso contrário, às pequenas fôrças viscosas co_!:

responderão grandes números de _R 8 ynolds e o estabelecimento do r~

~ime tu:rbulento _no escoamento. As pertubaçÕes existentes no seio

da masc::- a fluida serão originadas pela pro:oagação d8.s peri~ubaçÕes

cri adas de m~neira sen elhante à exposta anteriormente.

Conclue-se portanto que, de una maneira seral, um

coeficiente adime_nsional que intervenh_a na de s crição de um fenôme

_no não denenderá do mlmero de Reynolds quando o escoarn e :1to se der - - -em r~ t::i me turbulento. Em outras palavras, as fôrças de visco sida-

des não têm :9;-àticamente ip.fluência na variação d8.s ~utras grcmd~ zas envolvidas nos escoamentos quando os regimes forem fran caP.!en­

te turbulentos.

Bxemplifi cando, no caso de uma função adime nsional

cp ( lí1

> Rey) = O dever-se-á obter u.-n a nda'!lent o geral do tipo re­

presentado na figv.ra 2.4.

~--1 •

Rey .. :::-

Ficu.ra 2. 4

·--i- - - - -- -

Rey i- -----~~--· ~

TI e v J c

1-fo c o.so de uma f nnção adinensional ~ ( ÍÍ 1 .,':!'~, Rey) =

= O d over- sA- á 6 ~te r UJ1l "". s6· cu rva <r( .+.. ( ~ \ , 1. 1 "" -r; ~t 2 1 para numeros d e

~eynol d s ba8tante elev ados .

Resu __ ta d o exposto que no ~-; fen ô,. enos em c;e ral Pxis

..

~·

-11-

t~ um número de Reynolds crítico Rey correspondente à passag em do c

reeime laminar para turbulento. Na realidade tem-se uma faixa de

valores pare, Rey correspondendo ao estabelecimento do chamado "re­

g ime de transição" entre o laminar e o turbulento. Dependendo do

fenômeno particular que se estuda obter-se~ão experimentalmente os

valores numéricos dos Rey corr~spondentes à faixa de transi ção. No

caso de escoamentos ao longo de tubos cilíndricos êsse valor é da

ordem de 8.103, referido ao diâmetro do tubo como dimensão car acte

rística d·o escoc:JJnento; no caso de orifícios medidores de vazão é 5 da ordem de 10 , etc.

Finalizando êste ítem deve acentuar-se que na q e t e~

minaçao do conju.:1.to dos coeficientes'ffi mais convenientes par a o estudo de cada fenômeno individualmente é de interêsse escol h~=> rem­

-se propositadamente os números de Reynolds e_ de Fraude quando in-

tervierem as grandezas : as grandezas viscos~dade e _acele~a~ ão

da gravidade, respectivamente.

De maneira análoga, intervindo no fenôme no uma :!:~ ô :r­

ça F genérica correspondendo a aç~es recíprocas entre o f lui do e

eventuais obstáculos, é conveniente a introdução do coeficient e d e fôrça

referindo a fô~ç a F à s fôrç a s de inércia envolvidas no escoament o o

Do mesmo modo seguir-se-ia o coeficiente de pressão.

-P.:- v 2 2

e os i~ú~ ero s outro s co eficientes que irao s endo int ro du zidos à me di da em que for en s endo necess ários.

"

..

-12-

2. 3. - Escalas de Semelhanças

Considerando-se um fenômeno físico descrito por in­

termédio da função F (G1 , G2 ••• Gn) =O que relaciona entre si as n gr andezas nêle envolvidas. t: claro, como foi indicado no início

do ítem 2.1, que o mesmo fenômeno po·derá manifestar-se sob uma in­

finidade de casos :particulares dependendo do conjunto de valores as sumidos :pelas grandezas G .•

l

Sabendo-se pelo .'feoremH dos 11 , q_ue o mesr:1o fenôme""' n o será descri to :pela função f> ('rr, , n'2 ) fT . ...,_,J = O indepen

ci entement e da s unidades de medida e dos val ores numéricos das medi

das efetuadas, :pode definir-se analiticamente a semelhAnça fís ica ~~--~~~~~

entre dois casos particulares possíveis daquêle fenômeno.

Seja assim um conjunto de valores ~ossíveis ~ara a s grande zas G. envolvidas no fenômeno satisfazendo a F(G, G2 ... G ) =

l 1 n = O. Outro conjunto, corres :rondendo a outro caso :particular do fe..:.

nômeno, t ambém satisfará a F(Gj_ , G; ••• G~) =O e portanto as equ_ê: çÕes adimensioanais respectivas serão 'i> (·il; , 'i12 -, - · •· fí-,....J...) =O e 1:> ( 'i1'1' , il~ l , -, 'ií'.,..--~c.) = O. Diz-se entã.o que h8 semelhança entre

os ã.ois ·casos particulares considerados quando sir.ml t ânearnent e se tiver

.,.-1.)

Observe-se que a i gualdade entre os co eficient es a­

dimensi onais <iíA.. ::: Y( não ir:1plica separadamente em i gu.aldade en­

tre as medida s das gr andezas G. = G! (i= 1,2, •.• n), mas sim na l l

existênci a de r elaçÕes de escala bem defindas ent re elas.

Torna-se evidente que nem todos os possíveis co:'ljUQ

tos d ~ valores para as ~-srandezas G. corresponderão ao est abelP.ci -l

mente da semel h::tnça entre os ca sos pR:rt iculares do fen ôneno est l.dR do. De f at o, dad o um conjunto de valores pos s íveis para as r\ {';ra~

de~as 0nvolvida s no fenômeno e corres~ondentes a um determinado c~

so :rarti cular , pela ~t?;naldn.d e dos co efici entes adimensionais ter­

- se - ão n-k equaç Ões estabelecidas en tre ela s n gr andezas G. cor-. l -

respondentes a outro da so particuJar qualquer . Resulta então ue

s~~ent e s e forem impost as mai s k ~quaçÕ es compatíveis que rel acio­

nem ent re si a. s '-~:r anà.ezas G. e G? se,r 8. nnss ível que a f unçã.o l l

-13-

F(Gi, G2 o• • G~) =O descreva um aspecto do fenômeno semelhante ao

primeiro o

Em outras palavr a s , tem-se a liberdade de fixar rel a

çÕes de escala para k grandezas que não · formém um produto adimensio

nal, result ando as demais relaçÕes de escala da igualdade dos~ cor.

respondentes. Como a s k grandezas que não formam um :produt o adimen­

sional são as do sistema probá_.si co, resulta que, fixadas as rela­

çÕes de escala para elas, a i gualdade entre cada par dos n - k coe­

ficientes adimens iona is '11'.:.=-'iÍ~ corresponderá a9 est abelecimento da

relação de escala para uma das rest antes n - k grandezas.

Particularizando, no estudo de dois escoamentos s el!!e

lha.."'ltes ter-se-ia a liberdade de impor, por exemplo, as escalas das

de n s i dades, das velocidades e dos comprimentos, resul t ando então

das n - k igu8.ldades f( .. = '1( 1 a s restante s escalas em função daque­

las prefixadas arbitràriamente.

Como ilustração, apl i cando o que foi ex~osto ao caso

c itado em 2.1, chamando-s e de R, V e L a s escalas das dens idades, v~ 1oci dad es e compriment os , respectivamente , tem-se a escala das fôr­

ças cp dada pela igv.aldade entre os coeficientes de f-ôrça

Assi-,.

ou

dades po is

e :port anto

ou

f

De mane ira análoga resultaria a <=:s c ala r.r das . v isco si

t,L. '

f'"'Q'

M=f:: = ~ .v f'

.1 =RVL

v v

t 1'

Corno resu tadó da def inição g eral de semelhança f~si

•

-14-

ca apresent ada tem-se a ~ossibilidade de definir também alguns ca­

sos particuJares de semelhança: Assim, a existência de uma escala

para as grandezas g eométricas implica . na semelhança geométrica; a

existência da VJT!a escala para os tempos, uma semelhança cinemática;

a existência de uma escala para as massas ou fôrças, uma semelhan­

ça dinâmica. N2o se deve perder de vista, porém, que a existência

de semelhança física implica na existência conjunta de tôdas essas

outras semelhanças parciais.

2.4 - Efeitos de escala

Dependendo da natureza particular de cada fenômeno

que se analisa através da Análise Dimensional podem ser introduzi­

das s implificaçÕ~s no seu estudo, que por sua vez se refletirão no

est abelecimento das condiÇões de semelhança.

Assi~ pelo significado físico que se pode_atribni r

a al c;v.ns coefic i entes adimensionais particula.res COnclui-se C]_Ue um

fen ôm8no q_ue possa ser à.escrito pela equação <f (Rey, Fr ..• 'Tí"'_t..)=

=O .poderá dentro de certa a proximação ser convenientem8nte descri ­

to por uma eq·uação CJ.Ue envolva um mí.mero menor de coeficientes adi

mensionais.

No caso, por exemplo, de escoamentos de fluidos com

eleva QOS números de R8 ynolds, as fôrças de viscosidade sendo des ­

prezíveis poQer- se-i a escrever a equação anterior como sendo cp ( ç:,~ í • ' ' fí.,.. -l_) = o .

·Ta ausênci a de superfícies livres onde se T'"lanifes­

tem os efei t os da a celeraç ão da gravidade também serão desprezí­

veis as fôrç a s de gravidade e consequentemente o fenômeno poderia

ser descri t o por rp (Rey, • . • rf.....__.k..) = O

Qv.r:.nd o as fôrçe.s de atrito e de y,r avidade puderem

ser des ::rez. Bdas simul t âneamente em f <tce das fôrças de inércia, T'.S:.

lo expost o r e s ü t ::t t ct,t.;bém <{>· =()li ~~ -v-,.-/... ) =O

O aba0doho dos coeficientes adimensionRis cons i der a

dos constitu i o c}] :.lmado 11 efei to de escala" e evidentenente in tro ­

<Llz R.l [:,v.m êrr o ao se estabelecerem as condi çÕes de senelhança de

doi s e s co:~.m entos . Diz- se nesses casos q_ue os escoamentos são sem0-

•

-15-

lhantes a menos de efeito de es cala.

De maneira análoga introduzir- se-iam outros efei to s

de es cala abandonando- se outros coefici ent es ndi mencionais de pe­

~uena influência no fenômeno. Somente a ~esquisa, entretanto, po d~

rá .indicar a intensidade do êrro que se comete através de tais sim plificaçÕeso

2. 5 - Problema da hélice propulsora

Numa série de ex:9eriên cias efetuadas com uma héli ce pro pulsora, compl et amente mereulhada na água, obtiveram- se os re ­

sultados da tabela, sendo F a fôrça axial sôbre a hélice, V a velo

ci dade de escorunento do flu ido rel ativamente à . hélice e 00 a velo cidade angular da helice.

i I I

Pe c' e rn- se

v = O, 5 m/s v = l m/s

w rd/s

0,34

0, 39

0,43

Dados:

F w ke;f ·rd/s

22 0,57

33 0,69

050 0,80

0,86

R = 1,00 m

g - lO m/s 2

F kgf

16

74

150

204

f' = 10- 4 kg seg/ m2

r= 102 utm/ m3

v= 2 m/s

w F rd/s kgf

1 ,06 28

1, 25 1 192 I r I

l ,"47 I 420

I I

I 1,67 I I 720 I

a ) - os coefi cient es ad i mensionais convenientes que

d eFcr~veM o fenA~ eno;

..

..

-16-

b) - A cv.~va a<:liJnensional (ou curvas) que relaciona

(m) entre sí aquªles coeficient e s adimensionais~

2. 6 - Estudo do comportar.n_ento da s máqui nas de fluxo

T·To estudo sistemát ico do comport ament o das máquina s

d e fluxo envolvem-se as grandezas:

\ - massa es~ecífica do fluido

\) vi scosidade ci.nemáti c a do fluido

Q vazão do fluido

- ' il p diferença de pressao corres11ondent e a a l t r a

manométrica.

R dimensão da máquina.

Peden-se, na hip6tese de somente êsse s fatôres i nte r

virem n o fenômeno:

a) - descri ção do comportarnento d a.s mácruinas de f u

· xo por meio de uma função de coeficientes adimensionais;

b) - est a beleci . ento de cri téri o ex~., eriment c:ü Dar a

o estu do do seu cor:1porta7:1 ento.

3. - Cálcul~ de Perdas -de Carga em Condutos

3.1 - Coridutos lisos :

Se U l'll f. ,, i do e s coa num c onduto cilín dri_co _ iso el e

di â r.wtro D e v e locj dt:.de médir-t. V , pod e-se eXiJrin ir a perda d e car . -

ca eiltre d.u:ct s s e c çÕe s distant e s d e l por uma ex~ressão da f orma :

SP.YJ.do l 2 massa e s . ecÍf:i ca e ).) a v i sc os idc..cle c inemática. Não se

..

-17-

introduziu a aceleração da gravidade ~ no segundo mer1bro por se

- considerar as pressÕes asterisco,

neralidade do r roblema. ~

A análise dimensional permite chegar-se à expressao:

Como é intuiib e a experiência comprova, f~-r; é

diretamente proporcional a ~ · então:

·=-

i2-:~, . I . y

A fun ção <::.{ sem dimensã.o é usualmente c l18.1"1'::.da coe f i

c ient e de l)erda de carg a linee.r e permite caracteri?.ar a :_nerdq d e

c a r (Sa nos co ndutos ge ometricamP.nte semelhantes; sens v alores a a o

os r~1e sr1os se os osc oanlP..ntos têm os mesmos núme ro s de Reynoldl.s.

O 21ro b:-!.en'í8. que ee a prese ta é então detei"·:ir..or a va

ri a~ão da f nn'] r-í.o e.{ -= f (Rey). Essa detertTJin<'lÇ' ão :_noc1erR s er :i:ei­

t a te 'ri car·:nnte nF·ndo se tr~.ta de esco e.mento 1~.r.ü nar. ~Tn cr:.so g e­

r al d eve- st?. rP.cnrrPr fl ex~eriência.

3. 2 - Condutos ru~osos

· ::1 . 111Glhança r::eométri c a a. os c or1 ~iJ.t o s lüws é f6cil

::1c o .servar. r-~~t::~· P.tant o, a r"I ai or YJarte ' os condutos in cl1.1 triais não <', ::; 0 .i. j ,.._·, o~ .·~ ," .. ~.· .'.'1 ' 11.1_1 ,' l " 'l ~ n"'"" i ()""' V' -RO é ll'l "' l. ~ )- "" l..; C'L V "' l , '"' .. .., "'in" ~ ~ •' '· ol , j_ - ,C lo C <·•· ,-, 1 ,

1 I (·l_ \.o ' e ! (' \.,·- i,)~ }

-18-

tituir a express~o (III,l) por outra:

A n~gosidade de uma superfície n~o é uma no ç ~o sim­

~les de definir. Tôda sorte de irre~1laridades podem aparecer sô­

bre uma superfície as asperesas e cavidades a-presentam formas geo ­

métricas as mais diversas, a distribuiç~o da s mesmas sôbre a su­"Perfície são complexas. Pode-se, porém, apresentar uma definição _

estat ística, caract erizando-a pela altura média das asperesas, Em

certos casos esta definição é suficiente e a expressão (III,2 ) to-

ma a forma

que· por raciocínio análogo ao caso pre cedente transforma-se em:

O co eficiente de perda de carga ,f)(Rey 'i' I -:t) ) é

nê ~:;t e caso fu.nção do número de Reynolds e da rugosidade.

De uma maneira geral se escreve

ou

Se se det er r.üna r a função t. ~ (o q_ue se faz a see,-uir) uara 1.P11 condut o d cJ do e uma vm-;ÊÍ.o da da, será f8.ci calcular t ou os os

e . em P. nto s q_ue poclPm i nt eressa r: a perda de car ga, a pot ênci e. perdi

da , a f ôrça s 6hre as ~aredes, etc.

-19-

3o3 - Experiência de Nikuradze

Ni h-uradze estudou as var iaçÕes de c~ em f unção do ~ú

mero de Re ;:,r:nolds do escoamento e a rugosidade da parede. Nas suas

ex~eriências êle definia· a rugosidade por um único parâmetro ~ .A

r uEosidade era produzida artificialmente colando-se nas paredes in

ternas do conduto areia peneirada de maneira a se obter uma rugosi

dade homogênea sendo l a dimensão geomátrica correspondente à ma­

l ha da peneira usada.

Vaxiando ]) e -k , Nikuradze pôde variar a rel ação J) ~ entre 30 e 1.000, obtendo os seguintes resul t ados: para uma ru

g osidade dada, as variaçÕes de log _c+ em função de log Rey pod em

se r representadas esquemàticamente por três segment os de ret a s .I

III e V que se concordam entre si por meio de II e IV. (figura 1 )

e que no sistema de coordenadas de mesmas escalas apresentem in­

cl i n a çÕes seguint es: -1, -1/4 e O.

Quando 1:( varia, a posição da reta V varia, manten­

do-se pararela a si me smo concordando con a mesma reta III.

Nas regiÕes I, II e III enquanto Re y ma11.té~-s e infe rior a um certo valor Rey, . (!.f de pende somente de B.ey: a r ugosi ­

dade não intervem e o conduto diz-se hidràulicamente l i so.

t .,, . C:_

z '

I ' 1, I

.----t- ----~--~ ( .... ... . -. I ,( .. ,kitv."GI

,....; .-< ~ -I

r I

< ........... C11 •,.: ... .,

Fie . 3 . 1 - Ti :!J OS de 3sco ar P.ntos num conduto cil ind.ri c .o

..

..

-20-

Na região V, para Rey maior que um certo Rey2 , <!..i­não depende mai s de Rey, mas somente da rugosidade ~, e o .condut o

se co~~orta como hidràulicamente rugoso.

A fi::.;ura 3.2" ilustra o conjunt o dos result ados de

Nikuradze.

A região I car a cteri za o es coane:tt o l aminar que se (,/f

prolonea até Rey =; 2 oOOO e e. ~ -= ~ • A r egião II é· uma região de transi ção bastante mal

definida que caracteriza o aparecimento do escoament o turbulent o o

Na região III ;v 0~~, f6rmula. de Blasius, expressão que s at is­fas até Rey = 10. -~

O,IZ c;10 0,0&

A O,Oil o, os o.~

0,03

Opl

104 lO!J

R= !:!..Q. "

o k

Fig. 3.2 - Bxperiências de Nikuradze

Quando Rey > 105 os pontos experimentais se situam li

::.; eiramente acima da reta de Blasius. A rec-ião IV é uma região de t . - ' d d d R d D N .- V c.. -r anslçao em que ~~ e ;-::- en e e ey e e lZ . a regl a o , ~ nao d epende m<:üs de Rey.

3.4 - AplicaçÕes aos condutos indus t riais.

Os condut os insdustriais a~resentam uma n~gosi dade

irregu.lar di f ícil de defi nir-se. ~ntretanto, a experi ência per ... i te

generali7.ar um cr-;rto nÚIIlero de P.e sul t c.dos obtido s em condutos de

r l.,..,. os i dad. e homoeênea . Por medidas diretas da !lerda de car e a pode ­

- s e d. emonstre.r ("lJ.f' n ·1ra q 1.a.lquer conduto que : 1 º) existe u. valor

•

..

-21-

de Rey, acima do qual o conduto comporta-se como hidrà.ulica.r.lente li

so ; 2º) existe igualmente um valor de Rey2 acima do qual êle se com

:porta como hidrànlicamente rugoso, isto é C!.{ não depende mais de

Rey e permanece consta nte. Pode-se determinar o parâmetro de rugosidade l carac

t eríst ico da natureza da parede do conduto, chamado ru gosidade uni ­

fo r me efluivalent e cujos valores habitualmente utilizados são a pr e-_

s ent ados n a t abela 3.1

Ta bela 3.1 - Rugosidade uniforme equivalente

HltTUREZA DA F AREDE

t ~bo es t irado de v idro, cobre e latão

tubo indu.stri al de 1atã.o

t ubo de a ço l ami n ado novo t1.1bo de a ço 1a ,ünado enf erru jado

t ubo de a ço lami nado incrnstad.o

t v.bo à.A a ço 1aminado betuminado int erior­mel1te

tubo de aç o costur ado novo tv.bo d. e aço c os t u r ado enf er Y'lJ. jado

t11bo d R ferro gal V2,nizado

tubo de ferr·o f nndido n ovo

t. u 'lo de ferro f Fndi do enfe r r u jado

tubo de ferro :fvndido betuminado

tubos coJ-:J. r.m i ta incrust a ção

t ubo de cime>Dt rÜ Í S 8 d O

tu~o de cimP~t o bn~to

~

•r:[',; ei re. nao él.~'ar'2lha(la

1 b t d ~ -r o c. r a r l .a P. ~9 er J n r at]ao

r; . J. cria

RUGOSIDADE UNI FORT-TE

EQUIVAL~NTE

0,15 à

< 0 , 001

0 , 0? 5

0,050

0,25

3,0 1,5 à

0,03 ' a

0,15 à

1,0 à

até

0 , 3 à

0 , 01 5

0 , 1 0

0 , 4 0,20

0, ? 5

1 ,5

0, 1

3, 00 0 , 8

0,9 1,0

8

90

' , a -c e 3, 00

à ~ , oo

à ?. , 5

à ·1 5

à 600 L---- - - -··--- - - ---- ----- ---------4----------- ----!

•

-22-

3 .5 - Previsão das perdas de carga de v~a adutora

Dese ja-se conhecer as 11erdas de carga que deve:rão e

xistir no escoament o de á.sua a través de um túnel recérn-perfn r ado de

uma instalação hidroelétrica quando a vazão igualar a 7,5 rn3/s. Dis

pÕe-se p8ra isso ele vent iladore s que insufl am ar em um trecho do

túr:e l escolhido de maneira representativa, com comJ1riment o de 500m,

mc: di nc.o- se ent i3.o nesse trecho a perda de carc a do esco e..mento d e ar

( l\;::; == 120 mm de á[;Ua). Sabendo-s.e que o túnel tem o com-ori ment o to

tal cie 6 . 050 m, per gunta-se:

a) Qual a vazão que deve ser insuflada pelos venti ­

le.clcre s a fim de qu e se estabeleça semelhança entre os es coanento s

c"'.e g:_e de ~sua ;_,

b) A :9erda total no t úne l com escoamento de ~--s:-na.

são dados: massa específica do ar ., f= o, 12S .~/-.;<..'

massa especifica da água; P:.-= l oo -~/.._.___1 . -~

vi scosidad e cinemáti ca do ar'> -J, = \,\ '5 ..... \O .....,._y_.,

viscosidade cinem.ática da á :::,'l.-la1

.J -:.. = 14-,i • 1õ"' -~/~

4. - Medidores de Vazão

4.1 - Di afragma Padrão

O Teor ema de Bernouilli, relacionando diferenças d e

lr:!sc:: ~e~ com vari aç: Õps de velocidade permite a introdução de méto-

dn3 t _ me dida de vazÕes em condutos forçados ba seados em

de pressão em src çÕes de áre as diferentes, conhecidas. medida s

Dentre @sses métodos o que se estudará primeiro é o '!_'19 ·.:.ti l i za. um orifício, ou diafr agma , inserido na canal ização, con

. -forne 2. fi ,~ _:tra 4.1 i lust ra.

I (l) l 2.')

----·-·---r=:-·-==::]--:---~-- - r::::

-· L- · - • - -. - t:: !!Jo-- -

- --·· >-~r __ _ (2)

Pi {~.l.ra 4 .1

-23-

Observando-se que ap6s a secção (2) os filetes de

fluido continuam o seu percurso com trajet6ria ·curvilinea, devido

a _inércia, até a "secção contraída" (2') , chamando-se de coefi -­

ciente de contração C c 1

a relação entre as áreas A2 .. e A2 tem-se A2. V2 ~ t= ----

;:.. ~~2. v~~

Pelo Teorema de Rernouilli sendo

ou

re sult a a velo cidade te6rica V~~L na secção (2').

' .ri Sr:mdo a. velocidade rea1 v 2 = cv "2 u.. onde C I/ é o coefici Ante de velo cidade, que depende da viscosidade do fluido e atrito entre

o flui do e as par~dP.s, tem-se a vazão real

ou

ou ainda

ond e C.- é o co efic i. ent e de vazão, de pendente de <: .~ > <:...:... da lo-• ·:l · ,..,~ · - 1 ..L d- d -c ~ . . 1 . . ,.r,A.0 c .. a s uorna· a s e pres , ao

-24-

:SxalTl i nanà o o problema da determinação exp erimental

do c oeficiepte c0 pode estabelecer-se pela

a função F(p ,Q, 'A1 , A2

, tr_ , -6.'{J) =O que

grandezas que intervêm no fenômeno par a um

ma correspondente à função cp ("'", , 'íí2 ., 'lí~)

Análise Di mension al q_u e

relac i ona en tre si a s

dado formato d e dii a : r aB: ,

= O. Dentre os possl -_

veis conjuntos de coefi ciente s · adimensionais, o e stu do teórico in-

clicou como convenie!lte a escolha de crí~ ~ C.~ -~~ - A,_ . l - A,

o O tercei e

ro coPfi.cifmte admensional deverá necessàriamente conter a s rande ­

z a r e port anto será conveniente a escolh~ de í\3 = Rey es p ec i2l ­

mente IJelo seu significado físico já. visua.lizado anteriormentP..

Adotado então um formato geomét r i co pRr a o diaf:ra,:::­

ma medi dor poder- se- á efetuar em laboratóri o a sua c al i bração com

tôd.a a precisao possível , , obtendo-se a faT!li lia de curvas '1l; = <}, (ií;)

par a cada valor part icular de 'ilt... Observe- se, n a turalmente, q_ue

p a r a g r ande s valores de 'I(? = Rey' 'll'i delJenderá somente d e '\Íz.. ' 'DO ­

d endo - se então const r uir a curva do coeficiente de vazão CQ em

A2 fun ç ão somente da relaç ão de áreas

Para a medida de uma vaz a o e m um conduto for.çaclo es

colh e - se então uma relação de áre as A2 conveniente e const ro e -

- se u:m diafragr;;a r-; eoP'letricamente semelhé:u1.t e ao que foi c a l i brado

previamente em l abor a tóri o. Se o número à.e Reynolds re2.ati.vo ao es

co a' ~'(-' 1.t o for s u. f i c i e n t ement e a lto resultará que o coR ficiPnt P de ~

a z a o a ser auot ado r ara o d.i 2.f r agma constr-LJ.ido será o mesmo dad o

pe l:-:.s C'l'.rv ns d e c;::.l i br ·· .-·9o P.nteriore s para a ' .tela r e:!. a ção ·de 8reas

P.r; co l. ~-_ j_ das. A ar·Jj r:8r:- Ro c_,, P. X~res são A<t- ""-'-i~ :'<=Tmi t:.Tá e::1tão o co ­

ni.w ~i r! t' n t cJ <1.:.-. '/ :? r', ÊÍ. O C} Ftr'-' VéS <"a :-:!eJ.ida d FJ d_ j_ :f;:>V>P !'l ~a d0. ~l::-:'P. :J SÕes

e produzem- se ne i .:;ura 4 . 2 as curv:-1. ~ c1e cal i oração

corrps::·or..cl e r.tr s a 0 d.i.::?.f r Et ,'':Ji1R. pa o r8.o de forl' 1 ~üo ~; eomrtrico i·0.o. icado

..

-25-

4.2 - Bocal Padrão

No estu do do bocal padrão est abelecem-se as mesmas

eqHaC' Ões do :f tem anterior a:renas observando-se qu e o coefici.en t e de

c ontrFl.ção , be1'11. como o coeficiente de velocidade, tem v e.lor b1.1.stan-_ te !!aior , resul t Pndo maiores valores para o coeficiente de v8.za.o

e-r: i cu ald8.de d e c ondiçÕes.

A fi g1.ira 4. 3 dá a s curva.s de cal i bração nara o bo­

ca l ~adr~o conforme as nor~as D.I.N.

A vant 2-:_: em do bocal sôbre o diafr r=t c;r:1a nas medid.'='.S de ~

v azao reside na Me nor perda de pres s ão introduzida por êle no es coa

m~nt o, confor me s A visualiza na figura 4.4 .

f _·· --+-+ ··-; ---~

p

----x....-

4. 3 - Vent uri padrãd

ç - -(l -' . - !~

------~

X-

Par L os ~edi dores V~nturi a pli cR- se ainda o re . mo de

sA~!olviMPnt o te6rico fe i to para os di Rfr Aemas v~ rifi ~ ~ndo-s e ent r P

t2nto 1e n~o há contraç~o dn veia para gle.

A pP.:rda de pres s Ã.o ao lon~:o d g c an8.li zaç 2o pode ser

hp .tantn re~ ~tdq n o VRnt1 ri se a sua diver~ênci a fôr sufici en te-

,---~=--- - _----cr-) - (.- _r----. ____ j __

----~

.Ã'_

,

•

-26-

<li: 1 d d . " . ' d ~ 3 5 L . lill[':U os e 1 verg enc1 e, a2. o r, em a e a crc.us no

máximo carantem pequena i nfluênci a de f enôn enos inevit á v eis nas de

ce.&raçÕ es de fluido e :rre judiciais sob o ponto de v.~ sta d a s :perda.s

de e :1.ergi a. ~

A fi[;t.u'a 4.6 c1.é. as curv 2.s de cR.libraçao "Clara dois

ti i'OS à.P. Ver1turi padrão se;3"' 1n(1o e,R norJ.le.s D.I. :'T . -A}lljcando-se o "le orema d e -gernouill i ent r e 2.. secc_;ao

(1) anterior à contração e a secção contraída ( 2) de U<'TI medidor d e

orifício qual quer t e n:- se

e 310 rt 0.nt o

Dado ur.1 med ·_dor qw:.üqner observa- se que 2. !':'!edid?. P.T"l on:>

= V2A2· aumenta, :nantidas as condi ç Ões no. sec ção (1), 8.

d i n i ni.ü, até que par a '\)2 = O ter-se-i a o. vaz2o r~l~_x j_ m:.=>. ,

p ondentemente a ve. ocidade máxima v2 max

-2 v aza o Q= -'Dressao

-Na r eal idade í.Juando ...-::> a .J..inr:-2 o valor da ·.n::.ne -:-: sE'.O d e ~ r~ ~

va:9or d o líquido~- tcm;;ere,tur a local terr1-se des:9re néli. '··:e:1:~o d P. ':•ô -

lhas de vapor na (2 ) o llll.e interrompe a co n.ti.r:.lüd.;-:-."J. p dr:

sa l í qu-ida consti tuind.o uma l . ·~ - '\ l ' - T) ~ ..... (.j~l· .... .,., Q.,"'_. 1m1~açao a ap 1 c a r ao _ Lc. _ ~ ~ ~·~

dores de orifício.

~sse fenô , eno de formação de c ,vicL:J.clP.s de vapo:n no

seio " 1 _, . " aa massa 1~ .1aa constitui e se ré. C' stv.-

d a do o ~)ortunEJ:1e ~1te no cu!':'so de tJ.áquinas de fluxo.

~'T a fiCtlra 4. 7 c omparam-se os co eficiente s d~ -... vaz ao

dos d i ve.rsos 111edidores em função da sua r elac:;ã.o entre as , arens D =

4 . 4 - Anteprojeto de um mediclor

An t e-wco .~ eto do di P.,fra.grna r.1P.di clor utL izado na ':::_np-.. /-: ,. : ·'""'~_ () .:.

"

- 27-

~ Az. Quer- se determinar o valor da relaçao 'M -= A.. entre

a área da sec ção da adutora su~o sta circular e a área do orifício

d d . f ~ a a dr onl·zado uara uermitir med idas da vazão do ar e um la r a<.:.m p ... ...

da ordem de 100 rn3/s. A diferença de pressÕes ser ? medida por um

maDômetro diferê n cial de água cuja leitura de 30 em de água d eve

indicar a vazão prevista.

são dados: f = massa específica do ar = 0,125

, -::::mass a específi ca da água = 100 .. ' . l = v i s co sidade cinemáti ca do ar= l ~,?x v~

X 10- 6

~ = diâr1etro médi o da adutora= 2, J.R m

5. - Curvas Cara cterísti cas das Páqui nas de "Fl,J.xo

5.1 - Coeficient e s Adi~ensi onais

Na s a pli.c8.çÕes u suais das mé.quina s de flu :r&o ut::.., i. ­

zam- se curvas característi cas que des crevem o seu comport a.mP~to ,o h

tidas expRrimentalmente atrav~s de ensaios com a pr6pri a máquina

ou com modêlos em escala rRduzida , permitindo não s6 uma visu al i za

ção gl obal do seu car· IJ O ele f u..nci onament o, como t e.m'oérn a escolha a ­

propriada do ti po de máquina para cada apl icação !larticular.

Consider ando- se que as gr ende?:8S r;_,_~_ r> ca r8.cterizarn

os esco al!'.ent os at r avés das máquinas de flu:r&o po r.. e:-:1. ~ esumir-se nas

seguint es : ~

Q vazrl.O

\J cl.Pn sidad. e do flui do er.1 escoan:ento

l::.p- \ ~14 - difere.:'lça de pressÕes (totais Ol..J. estát i ­

c 2-S)

v.._,= rotação da máq1 .. ina

~ - diT"' - :1são li. !Pr:J r característica <12 ,.,p,~,Jina (us lal

r;1 ente o raio ou o di â:1: etro do rotor),

-.:- r- c·-·· - !Oi rye <ois coefj ciP.J tes a.di nlPl".sio.:'lais independent es entre si

•

,.

•

-28-

envolvendo as grandezas mencionadas são ·suficientes para a descri­

ção do escoamento a.través da má.~uina.

Dois coeficientes adimensi onais inde~endentes entre

si utilizados com frequência no estudo das máquina.s de fluxo (esp~

cia lmente no estu do de bombas e ven,tiladores) são respe ctivamente_

o coefic ientee de :rressão '-V e o coeficiente de vazão 'f , defi nidos

pelas exJ)ressÕes

\f= .6p

f- (-.JR)2

~ = Q

e WR3

são tar:1bém utilizados cor:1 frec;_uência no estudo das

máquinas de fluxo (es pe cialmente no estudo da.s turbinas) outros

doi s coeficientes adimencionais independent es entrP si, obtidos

dos coeficientes Y e 'f , e definidos res:Jecti vgmente :9elas ex-~

pressoes

o/ 1 = --Vy

e )6 = ~ v~

T'J a. prática uti l izam-se os coRficientes di:7lensiona.is

Qll re feridos .. di~Pnsão D 2 R, dados pelas -

nll e a = ex:'ressoes

n D 60 .r2g l 60 .J 2g' -tr nJ 1 = = = ·fH .·íT 1/--:j <iT 'i

Qll Q [2; f f'2g '

)6 e = = ~ = D2 rH 4 1---:y 4

em substiruiç8.o a.os coefi cient e=: s ad i rrtensionai s .o/ e )6, tendo e:-:. vis I

ta q_ue 1 sendo g ; ct e, n11 f ará as vê ze s do coeficiente adime nsi o-

na.l -'f e Q11

t mYJ bém f ará. as vê zes do coeficien t e a.dimensional ;6 -pa

efci t o d8.S a rü i caç Ões que levem em cont a eventuais senelha.nças en­

tre r>s coaJriel tos .

•

•

....

-29-

Para. o estudo de uma mesma máquina, sendo const ante

a dimensãp caracter~stica D, são também utilizados os soeficientes

n nl =

{H

e Ql = _g_ {H

que f arão as vêzes dos coeficientes n11 e Q11 par a efe i to das a~li

caçoe s que levem em conta eventuais ser.1 elhanças Pnt re esco ame nto so

Deve ser observado que, desej ando-se conhecer a re ­

lação entre a potência F introduzida ou retirada do eixo da máqu i ­

na de fluxo em funcionamento e as demais grandezas que foram su pos

tas caracteri zar o escoa."T!ento através da mácp.üna, deverá ser int ro

duzido um terceiro coeficiente adinensional :9ara completnr a rl es­

crição do esvoarn ento . "P:sse coeficiente adimensional é o ..,... endir:.ento

1 definido par a as bombas e ventiladores como

('g H Q

p

e para as turbina s como

~ = p

Par a ca r acteri zar t6das a s possibi]idades de escoa­

mento e.t r :".vés das t urbi nas deve ainda ser levn:io em c onta u:n n ~ar--to coefi c i Pnte adime~sional , que nao tem significado ~ara a s bom-

ba s e ventiladores - a e.bertnra o<. - defi ni da 3)artj_ cular~ e.::J.te P.ê:

r a cada ti no de máqui na .

Resur1ind.o o que fo i d i t o, resl] lta port n.nto qnE a

de s cri ção elo n • -"-

TP. l t- 8. 11 -

s ual nente me di~nt e os coef'cient es ad i mensi onais · , ~e 1 par a a s

bom'!Jas e vertiJ ::t. clnre s, e te.djant.e os co efici Pntes q1.,, n- J~"rt t=> · >< o l . .L .L .\.

CJl, n1, e •", ,, ::,r a as t'; r hi nas . As variaçÕes poss Í v Pis dos co ef :i.cj en

possi. v ei s

•

-30-

dos coefici Rnte s mencione.dos, corres pondentes ao campo de varia

ç Ões nossíveis d a s g r andezas envolvidas nos escoamentos através

das máquinas de fluxo, definem as chamada s "curvas caract erística s "

das máquinas d e fluxo.

são import antes os coefic i e nt es adime nsionais q_ue

foram i nt roduzidos, .bem como os coeficientes dimens iona i s q_ue de ­

se npe n h am :pa p el anál ogo ao dos coeficientes adimensionais Dc..r a e ­

feito do estudo da semelha nç a entre escoamentos através de mÂ.01 Ü -

·nas de fluxo, pois a sua utilização p err:ü te cômodament e não séí o

estu do do comport amen to de u ma mesma máf!_u i n8. de fluxo so b co ~:::. i

ç Õ es v a riáveis como t a;nbém a previ são do co!<·-port ~ r ent e de :~~ án· >-_."' s

geor.tet r icamP..nt e semelhantes u..rna vez con:.:.ecidas a s c aract~rí st ::._ cns

de fun-cioname nto de u m •Jrot6ti no. Est a Última a nlicac ã.o i mnl j c2. na .. .I.. - ... ~

utilização d a Teoria da Semelhanç a, e n o estabel~ci~ento de c c~di ­

ç oes de semelhanç a entre duas ;.J.Odali d ad e s de e ,., co a:-:1ent o , s.enclo l.J_rr.P.

das a iore s vanta~__, ens apresen t a das :pel a uti "Lização do~~ c o P.fic~:.. P_..., _,

tes ad i mens iona is.

5.2 - Cu:rv a s Características de Bomba s e 'l -":!-L;-: ·<. c -

res

Par a a s bombas e ventil adore s a s curvas c arecter~ s-

t. · ~ · · · , '1 -- \.JJ ( tÜ) e YJ ,--_ V) ( •· }. _, lcas aa lmenslo~al s se resumen nas cu rva s c. e '-r 1 , l \. 1...

cru e t êm usual nent e o a s pecto i ndicado na fi f'lJ.ra e. baixo.

'Yt

I I I

--------

•

•

-31-

~ usual na prática a r.e}Jrese ntação dimensional das

cu rvas cara cterísticas das bombas e ventiladores g eometricamente

semelhEmtes nos diag ramas H = H( Q) e -~ = 1 ( Q) com a s demais

grandezas envolvidas no escoarnento mantidas como parâmet ros. Ter

-se-ão então curvas com o as~ecto indicado na fi gura a b a ixo.

H

----~-----------------------~

Tendo em vista sim}üifica r a represen t e.ção de t:-".is

curva s c a r acterística s introduz-se o chamado 11 d i R.~;r aT!l.a t o :p ogr ;~ fj -_

co 11 cotando-se a s c;; .rvas H = H ( Q) com val orP s do rP. .!'ldi rr P !l_to coY­

respo nd ente a os seus pontos, con forme exemplificado na figtlr r:t n,,J.e

se se:::;ue .

- - +--...j._--;;-tQ

---·-.. -::- . . .:. f: ~ A ·· ~ · ... . -

•

•

-32-

5.2.1 - AplicaçÕes

a) ~-Tudança de fluidos:

...!).~ título de ilustraçã.o das apli caç Ões várias que

encontram os dia,r;r amas e curvas característ i cas das bor.bas e ven-'-' .

til adores, apre senta-se inicialmente o seguinte problern.F.l. : 11 Conhe ­

cendo-se a curva característica H = H (Q) de uma bomba, obtida m~

diant e ensaio de rotação constante e utilizando água lim:5m como

flu ido em esco2.r1ento, determinar a nova curva c a racterística H' = = H' ( Q') para a mesma bomba funcionando com a mesn:a ro tr.u_; ão, mas

utilizando água com i mpurezas em susp ensão, com densidade 20% mai

or que a água limy>a 11 •

Observa....:se que num ponto de funcionaTJe nto ::;er.éric o

têm-se as igualdades

sendo

e

r e S l_J_l_ t arn as

'V= __ l:l_...._p __ =

-j;- (wR) 2

f= Q vJ R3 --

b.p = fg H

Ap' = \' g H'

i gw=üà e.c1.e s

H = H'

Q = Q'

Q' wR3

Bm Ol}_t r ns :na.lav-ra.s, a bomba continua sempre con a

r1 ~soa curva car2tteríst i c a H = H(Q), independent en: ente da natu reza

do f l u ido em e s cow1:>nt o. Deve ser lem11rado, tão somente, qu e as a l

h ·,r8.s E em cs.d a c a.so devem ser medidas. em net ros de coluna do ur6-

..

..

•

-33-

prio . fluido em escoar:u'3nto •· Observa-se, também, que a potência sol i

citada depe:nderá sem:0re da natureza do fluido em escoamento ' sendo

dada nos dois casos respectivamente por

p =

b) }.~uda.Ylça de Ciclagem

Ainda com a finalidade de ilustrar as a pl icaçÕes do s

diat;ramas e curvas características das bombas e ventil adores, exa­

mina-se sucinte.mente a seguir o problema da mudença de ciclaeem de

uma rêde de energia elétrica e suas consequências no funcio namento

de uma bomba hidráulica acionada por . motor elétrico, mantendo o

mesmo fluido em escoc:unento. Considerando-se soment e a al teracão so . - -

frida pela curva característica da bomba, observa-se que num ::;onto

de funcionamento genérico têm-se as i~~aldades

b. n' =

Q =

Sendo

e fj. p ' = \~ g H I

resu ltam as i c;ualda des

H' = H ( vi' ) 2 w

Q' = Q (~) . \JJ

•

-34-

Em outras palavras, as a.l tura.s :nanométri c as ficam na

rel aç~o do ~~adrado ~as rotaç~es, e as vaz~es na rel aç~o direta das

rot aç~es •· Deve ser l emhr ado que a nova curva característica 1_ = vzí ( Q')

sofre 11ma transformaç~o .relativamente à curva 1 = 1 ( Q) o

As potªncias corre~pondentes a dois ponto s hom6lo~os;

para os qlJais deve ser ent~o ~ = 1' , serã,o dadas por

p = fg H Q

75 'L P' = tg H'Q' =

75 ~

resul t ando port anto

A rela. ç~o d a s rotaç~ es sendo :rr8.ti cam ent"e i;'::n~.l À Y'P -:

l aç~o à.8.s fr~q_uP.ncias, . a menos dos escorrega.mP.::J.tos que ~'JodP.rP..o ser

diferen tes nos doi s c a soé, conclui-se que a alt Praç~o d a fre qu§ncia

de 1..u:ra rêde acarreta variação na vazão, na al t1..1ra T"'lanom.étricP.., P na

pot8ncia , re s pecti vam~=mte na relação d :i -reta.; na. rel ação d o f11J 8.drado,

e na rel aç ão d o cubo das frequências.

c) I nstnl aç ã.o de bombeamento

Tem-s e n rrm bomba cuja curva c:~r...,cter:ísticb, é de.,dé'o na f i

cura 5 .1. Se.br=.mrJ. o 1":1UP. o esquema de funcion.an c~nt o da bonbR Obt?clece a 1 " . ~ , f" r- ') ' ) -ClS }JOsl çao 0.a l- :~tnra ?·t: , peo_em-se: l a V8 7. P..o que ~oderá ser bonbe ada at r e vés da c a na.li za.ção de ferro ,'~alv2.nj_ ?;Hd o _de 1 u ; ~) + A a IJO (.en- _

cia ne ces s .élria _1!ar 8. bombPar H vazão c al c, üac:l.a no i tP.m anterior:

~+ -- "-:!-o -

óO-

- - ·-· i i

; -- ···-- ··-- f-·---- ·+-----1-·· ... o.S 1,0 ~.~ Z,O 2,5

...

2.2.,9-

... - -- ~- -

I iH :: SW\ I ~ '

___ \_ ___ _

h 6.2

jó,O'V"'"\

- ··--1---------1

5o3 - Curvas Características de Tnrbinas

-35-

Para as turbinas as curvas características ~i~~~~io­

nais utiliz<::t.~as usualml':mte nc:. "Drática se resun.1em n a s cu r vas

e

ou, e.lternativam e nt e,

qv.8 tem o aspecto u sual · indica do .!"la fi gura a seeuir.

i.

0(,

->-

•

! ~ I

I ...._ __ __ _ c<,

! I

--------~------~---r------~--_,--------------~~ Y'l,

\ \ \

-36-

Da me~ma mane ira que foi feito ~ara a~ nombRs, tPndo

em v ista s implifi car a re~resentaç ~o das cu rvas característica s das

t urbinas j_nt rodu z-se o "die.~raJ11a topográfico" cotando- se a.s cnrvas

ou

c om os valores do rP~di~ento corr8spondente aos Reus pontos, confor­

r.-: e exer.:p1ific n.clo nR. fio~ra seguinte.

•

-37-

5.3.1 - A~licação: mudança de frequênci a

A título de ill.Jstra ç ã o da vantagem de u t ilizaç ão d os

él. i 8.c;r aTJas topog r áfi cos de turbinas examina-s e a se ,csv ... ir o pro bl ePl a d a

mud :OJ.nça de frAquência e suas consequênc ias no funcionaD.e nto de uma

turbina.· Para isso 7 supÕem-se dadas! nR fj_zura sesu.i n te a s curvas c a.­

r a.cterísticas topoc r áficas ( Q11 7 n11 ) de uma turbina qne fo i ~-ro j eta

cl.a para o f1.J ... 1vicionarnento 6timo nas condiçÕes Q= 7 m3 /s e B = 3 , 2 m.

\ . .,,

•

..

-38-

Sendo R = 3 , 2 m e Q = 7 m3/s , e no ~onto 6timo d~ funcionafll.en.t o 'l = O, 8.6 4 , ~l = 94 Q11 = l, 16 , r e sul ta,'TI

D = (0

Q ) 1 ./2 H-l/4 = 1,84 m "ll

11 = = 91,5 rpm

sendo t 8:11bém

e p

0{ = o' 81

= 'I Pe; H Q \ l

75 = 255 cv

Su~onc~o construída e funcionando Ur.18 turbi na co"'. 8.s

caracterí sticas é:Wim8. determ.inadas, verific8.- se a sec;-uir R "'l.t,::.r -::ç ;'o

r~as s·.J_g_s cond i ç0es de funcio na l ento d et~"' rl"'. i nqda r>e1n Y'JUd!lnça d e fre­

quência C!.e 50 c/s para 60 c/s. Observa - se inicialmente que o ~ôvo va

l or d o coefi ciente n1 _ da turhina deverá atin.r'"ir o v alor

1 60 Jl3 nll = 50 nll = ·

IJ ocaliz;a- se ent ão no d"i.a,sr A.rna topoc r éfico o nô vo 21onto de f,,nc:i ona­

n ent o d_a t,)_rbi_na qua::1do trabalhando com .nova ro t ação, res1) _ "t :?ndo

. I

0\= o, 78

e '"(= o, 8

I r,. rrP;O P~ = 1_ \ · TdJ. = ?.36 CV

'.f~r i :f ic a-se l'Orta.nto Unl8. rP.dl:Ç S.O J:1.8. :90tênciR fo resi -

().a ~Pl~ -~, 1r1•i i'l8, d.~ orri ern dP 7, 5 % da potêncJ. a a.nterj_ormP ~'1:; e , -:'OSS;VP_

r)_ p SP.I' 'n-[; ~ - f, 8 . •

•

•

-39-

6 - Cara.cterizaçã.o da ge ometria dos s etores das máqui

nas de fluxo

6ol - Rotação Específica Unitári a

Para caractRrizar o funr.iona'":: Anto el a s !1B.Q ünAs c e flu

xo semelhante s, trabalhando sob condiçÕes semel hantes no s SPllS res­

:rectivos pontos de fun cionamento 6timo, é fre<}uentemP. ntP. ut ili 7.ado _

outro coeficiente adimensiohal formado ~P.la elirninaç~o da ~rande 7, a

linP.ar cara c-terística K na combinação dos coeficiente s ~ e 'f . Pxem­

pl i fi c ando-se a introdução dêsse nôvo coeficiP.nte considere- se o an­

dnm<?nt o de uma cu rva característica adimensi onal 'ti= ~ ( l\l) genéri ­

ca (ficura abaixo), bem como a localização do ponto dP. f unr.ionament o

6timo, correspondente às condiçÕes de máximo rendimento e caracteri­

zado pelo par de valores (f 0

, '\" 0

) •

I I

'f'o+--------- - ---

1 -..f------- .. -r- fo -----~

~

•

•

..

•

-40-

Chamando de v êste nôvo co e ficiente procurado , e fa-s . zendo-o igual ao produto das potências o(e r dos coeficientes .fo e 'Yo resulta:

Subst ituindq-se ~o e 'f0

por seus valores see;ue-s e

Obs e rva-se então que a i nposição de elimina r - se R. ~ran

deza R no co efi ci ente -Js a carreta a i gualdade

-3 0<. -2 r = o

Então 1 impondo- se ainda que -~ seja dirP.taP.l.ente proporcional a w , a s soluçã.o d o sistema de equaçÕes

-o< -:L- r = {

_ ~ cZ - i2. r ~o

dará a sol1]_ção procurada , isto é,

Ass i m s endo, após as opera~Ões indicadas cheea- sP a

P.x r ressão de ~s' u sual mente chamada de rotação es::.>ecífica adir:H:msio

nal,

flll. e , com o v;:'l.lo r dP. g = 9 , 81 m/s 2 se redu z a.

Oot\.2. I

TPnd o em vi st a ai:1.da o f ;rt; o de sPr IJrs.t icmnP. .nt e cons­

ta.nt e o v;-:-J 0r dq 8 c oJ era'] ão ela. cr.ravid B.d e nP.s arl icaç Õ8s , s i n:pl i fica­

RP a 8X :-' rf?.~;f?R.o ::; .. ntr;rj_or de f j.:li .'1do- se o chfl.Mc d o coefici P.nt e dP. rota-

..

t

... Jj· ,

-41-

.ç;o específica unitária referida ~ v~zao

qué, da mesma. maneira que v , é 1..1.tilizado rara c aracterizar o fenô ­s meno de e s coamento através das máq1.1. inas à.e fluxo (utilizado fre qllen-

te~ente no estudo das bombas e ventiladores).

Fl.J.ndament al mente análog o a êste coefi ciente, e d e u so

bastante g en eralizado (especialmente no estudo das turbin2.s h i drául i

cas) é o coeficiente de rotação es ~J ecífica unitária :prÕ :9ri amente di-.

to, indicado por n , e obtido a partir da expres s ão de n subs t i-s SQ

tuindo-se .Q pel a potência P lembrando que, a menos do r endiment o,te!!!

-se

p = ~p Q

75 De fato, sendo t ar1.bém

Ll.p = fgH resulta - 75 p Q =

fgH

e portanto

podendo ser defini do o coeficiente de rot aç ão es :pecífi. ca v . .ni tá.ria ne ·-la exr res s ão

n s =

~sse coefi c.iP.!}te assim obtido, anà.logarnente a o co P.ficiente n , , e

SQ ta 1bÁn1 lUn c·oefi ci e~1t e qu.e c aracteriza o es co e.m ento atrav6s J.P S Mé.Í.nui

- -nas d e f l nxo, mant i da a massa es p ecífi ca do fluido const an.te.

Bvi d r-::~tement e, a. s enelhan9a entre os esco PJientos at r a

v é s de clu8.s máq ünr s d e flilxo · s emelha11te s, mas d i stintas , traba h:l..YI.­

do no se11. !_)Ont o 6ti P10 de fun .cionamento fi c a rá estabelecida indi s ti.n-

11 Pnt: r:; atr .<"l.v.és da i ~J.8..ldad e ent r e quaisqn er elos • a res corr es pondentes

': . . .

.,

'

..

.,

dos coefi r.if:mtes v· , n ou ns , desde que seja mantido o S SQ

me smo

flv ido em esco m:1ento •

Da mesma mane ira , a cada ti:f~O d e r otor ele rr. 8.~uina de

OH Rind a f luxo co r respon derá u m valor do co e ficiente n (ou de n S SQ

de \) ) re.l at i vo a o seu funcio namen to !: P,s c<"' pelj GÕr:>s el e s

mr-mt o , resn l t8ndo umA. corres :non dê nc:.a l'Y'~.rr. r':"~;e p.ntre n.

ro t cre s e os valore s d os co eficie nte s n 8 ' n ou

s ,~

A t í t u lo de ilqstrn';! 8.o s:r:.r e s ent a~-s e !1::>. fi ·-::· -.... ,- ~ .. se­

~ i r alE,v.n s ti:!lOS de rotores de !'1 1-i.r:.: l.:i.Y1 8,s él.e -;:'l 'D~o f<>,o:ri c é1cl.8.s ··o:- r2. i-

vers a s fLcr,e.s , com os v al or es corres110nd. e '1te s dos co eficien -:; e'3 n s J

n e ...) • Sr, S ·

<i.

6.2 - A~li ca~Õ e s

a) i'·.MmPro i_n:-.tr:-: ! .8.,-.'P.o ... . . .. , . ~ , .., ·. ~ . =-·, • ~. P. - . ~ .. c: 2.

'Sr1 ,l. e t P.rrij ~"'. do R.:f~Y'OVP. i t <"1."'1..P.n t o; c o r:r r~ :::; -.-, oniA'Ü P E· '.::.de:.s

r · o~· 1c~ i~n ns . da ~, J_ P.c~a e d e v 2.z?ío nem s Pm:-1re S PT~ ·,_,o s .:-; Í v el ,,"::.; '-;_:-';R r 11rn2.

dP. c;n.0da e de v azão da instalação, bem como à sol i c i tar:; ão c1P. cP.r:a . A

asso c i a çao er~ ~laral el o :pode s er cons e{:.tü da rr. edj_c.n te o f urcion8rlent o

nn. rne sr:1a i nstalaÇão d e di v ersa s t u r'oi::1.Hs inéle~ endPnte s e :~.t:re s i ou

J;'ecl.iémt e f orr:1as con s ti t u t i v o.s :9articnl.:=trPs, t <"'5 s c om o r odas c om jat o

rrn)l ti ~ l o n o c 2"so das t n r b:i.nas Pel ton, ou rotor~s :..; ê T1C O S n o cRso elas

Conlv;cidas a s c·=tract RrfsticP.s elo 2. 1-T~"'YP; t:.,:·, n-,t o n1_.1_ e

"' e <lr-;:-~ej8. !f a zer e escolh2. a t u rbina a ser u tj l iza:l.e. ~~ol~ consideraç Ões

2. respeito fla c 0rr es ·,:ondência entre n8

e a quP.d8, H , é DossÍ'Tí"l det er

·ü.n, .r o núJ·~ e:.~o z, ele tl..l.rbin8.s que :90C. em ser instaladas f m:.c i o:I8Pdo

ne.s co::-:'_ :. ç.Õns í'.r; -~~ otê:J.cü::. ? e rotaçÕes n , nor:linai s .

Je f a t o, par a a i ntal f'.ç ão t(m- s e:

'YL:, -== Y\ J z.7l v-; ""vi - ~ -=:. -- "L. Y\,

~ ~51.; \-\S/4 :)'

... :·

- 43-

t J.rbi..na e s colhid2 . • SP~le-se port anto o núr .ero de turbinas ~ l e :90à.em

so. r instaladas :

Q1 P ti ~·o d e t n rbina "!:' Ocl eri2. ser 11t i l i zado em nna n_ue -

200m f m; .~ i on2..!.l.d o c or1 530 r prt ~

~arR a ~ro~1çao dP 26. 500 r; • '1 o

da urr:a t n r bi r.a l<idr8.1.ü i ca. nova . Um rendü".C l•t o el e :;elo ! '1 8::-'_os ?Gcj. é ::;::_ Y'?I..,t:i. d o :ra r a R.s :00t P. ~. ci. 2.s ( d.P.. tnrbine.) c o::"" 'l)(' P •'md:i.cl..;><3 entre 1 .r:n e

300 .;·:v C}U 2.nà.o 8 v~ft:,'LÜ:'la gira à 300 r iJril sob ê': queda CcO. 5 n ·''t:"'ns .

l c\ .. - ) q1.12.l o ti:!'O de turbina?

r. fit S.CJ.UÍ:D.a i':l t e r essa 8. Url CCH~111rador 011.(' (1·: .-; .· ::) €' d e

u;, a c;_uec1a de sõ .r·>rte 3 rn ptros . Quai s pnt êDcias ~od e rá 81 e o ·-t "<r nas

rn esrnas con.c~",C. Õ 8s ele rr-mdimento e qual sP.rá a rot Rção c1,q t ur '')j ·- :-: ?

3º) Deseja..YJ..d o o bt e r pr:·l o lT..f'nos 150 k '.V êl_e ~n o \I.P -.~8 f a ­

:er ohrP.s co '! ~;l.e · entHres ~ara nti1iz8.r uma c;.ueda Cie 3 ,20 m . Con er-

V"Vlr3_o o rend.i"'l ento de 701S t:J.Uais seri am a rot ação , as rotê~'1cj é'.s P a s -v ~; :::. o es corre s}.'lonrlent Rs _? O re s1..1.lt e.do c3.e ::;e j ado s P. r i a a t i "1gido ?

7 - 3ibl t o~rPfia

- 'tCG Vio.i r a - T·Te cfl.ni c a dos FlLüdos , ~~.-::.: ;, 1~61

~co Vir:ira !;Iácn.ü n fl.S c1 P T.'j _-, ~xo fJ: .1'1 ·-" ~ ;: c: : 1.2.. s . '1-=> r ~ i ?.i s e Âxiais, ~~.-:se , 1~65 -· '

elos

A?.. ZamlJP.l e o ltros .... Bx~?rcic io s clP 7 -:~r;-, l i_n .--.r· ,· ' t:l -'l . ~ ­,o - -;;;-p;'1C , 1965

•

H o

1800 1200

600

300

180 120

PELT o 60 ~ l je t

3 0 2je t s

18 4jets 12

6jets KAPLA N

6 HELICE

3 0,01 0,02 ops 0,1 0,2 1 Ns

Domoines d ' ut il isot ion des di ftérents types de turbinas hydrouliqu es

-c Q)

E Cl)

100 90

80 70

60

FRAN! i::> KAPLAN _...,.. '\p LT( N

-..

l JE

"' c: o a:

O 0,1 O~ 0,3 Oj4 0 ,5 Op 0,7 Of3

Ns

Rendement maximal, en fonctíon de lsur de tours

spécifique, de di fferents t ypes de turbinas hydrO,!!

liques

~ o 60 ~

4 0 c 11> E 20 11>

"' c Q) o a: 0,2 0,4 0,6 0!3 1

CHARGE

Rendement, en f onction de lo choroe des différents types

de t urbina s hydrau liques. Charge d'une turbina =débi tac1uel débit maximal

•

..

0,1 , c:ovrl.~ d .. !i'ninanÍ J, /i~v dttR~ àpt7rlird<Aju -º-' o:>nduds 6,_.ezm,pcr/tr co-!lydrauli'{flemenf k

0,07 rugu,u-a• 20

0,05 50

A 0,04 3 100

0,03 250 ' 500

0,02 1000 2500 500 0 10000

0,01 ' 20000

'

·a_ooe 6 a i:f~ 3. 68 • 100000

1 10 lO. 1o• lO" l(iJ

R=UD

" Diogromme de Moody pour les condduites industrielles

~{8 = 0,30 r fL =0,50 n5= 70

·-*-·-~~~--),-1 I I :

Centrifugas I I I I I I I

I I I I I I I I I I I I multicelluloires

I

I I I I

E

I I I I

0,04

0,55

15

5

0,70

0,2

Op 40

2,2

0,73

! I I I I I ' I I I I I 1 I I I I

0,6 0/3 1 1,2

0,35 0,25 0)0 0,05

90 125 320 600

1,15 0,9 0,70 0,50

0,80 0,85 0,94 0,97

Les voleurs de 8, 1-'-o ds et E sont ropportées ou diomàtre

ex térieur sur le filet péríphérique

dn n A"'

•

SOI.TITÇÃO DOS PROBL V.Y.TAS

Apl icaç Ões da An<-Íl j_se Dimensional e. SemelhAnça na T· ·~ecânica

dos .Flu idos -

A.RoZambe1

E-ssc-1.969

2.5·- Problema dA. h élice propulsora

SP.t e g r a.n ü.ezas físi c a s s a o ~õ:nvol vi das no fenôn eno ~ a s:::<.ber:

F , V, w, R, g , \e/o ·

As três grandezas fund smentais, fôr ça, comprirento e temro, ex~rinem

a s é;""Y.'8.nd e7.as e nvo J vi d.as no fenômeno 9 O fe r.ône no :p ode ser P.nteo con­

si C.e :C'ado como função a din1eJv3ional de qu a tro coefici. e~1.tes ad · r.: r;nsio -

nai.s.

Tomando-se as ~r 8 ndezas f , V e R, para sis t ema pr J(sico

o conjunt o dos coeficientes adi~ensi ona is.

nai s:

~

Seguem- se as PX~1ressÕes dos pos s íveis co e fi cientes a.Ç.iP1? 11 s i o-

'l i ;;

=

=

v:.., .L

v

1)l v --

o w

w o

d.. p 2 H

-~2 R .

'à2 R

o g

l g

o(3

f r'.,3 I

•.f\

r3 ~

o I

Adot r.1 . .ndo- se o sj stP:rrra té cnico de unida.cie r e snl t ar8o às eoua -

çoes d inRneinn :::<is :

i;, l L ...J

\ J., l ...-'

~·

G-J L_ .

ÍT . _IJ

o =

o =

o

o

o =

-o{ 2 o<' ÍT] J+ .. , 3 L

- 4 c,.( 3

•

"

•

- ~-

~ Jo fTj - (61 - 1 + 2 (3 3 =

L

[F Jo = r~ J ·r3 L.

~J J o (rJ J l1 + '6' 2 + 1 - 4 f 3

=

[T J o ~T ]~1 - 2 + 2 r 3 =

- - - -, ~ . + 1 lF l o = LF J 3 . 1.. J

~J o f l "'1 +~ - 2 - 4 s 3 2 = LL

lT J o - l -~1 + 2 ~ 3 + 1

= \_T..!

i\ s equaçÕe s dir.JP.nsiona.is fornP cem quat ro sistemas d e três ~

e Q_uaç oes

a três inc6G1itas.

A so1uç~o d ê sses si s tP.mas~ permite obte r em- se as expre ss~es a

dimRnsj ona is pro cu r a dos:

,-J

~11

qj2

_../

' !I 3

. ,..,.J

' li 4

= p J

=

=

=

F

v2 R2

~ R

v

-º;R l =

v2 F r

]_ =

Rey

Os co e fj_ c: i ept es o 'Jtj dos s~o uma · das infin ita s s oluçÕe s s:rre - _

sen t Rdas pelo r rnbJ.ema , pois qual~~er potênci a a que f6ssem ~~es e -

1 Pv::-~do s seri e. t arnl.:i ém uma solução. Sendo usual na :;:J r áti ca o 1l2.nej o

r, o s nvm P. ros de ?ceyno leis e de Fraude, e o us o de

a o invéz de

v

•

•

..

- 3-

F v , Fr e Rey

Par a o traçado das curvas que rel a cionam entre sí os coP. f icien

tes adi mensionais determinam-se os valores dos coefi ci ent es ~art in­

do-se dos dados experime nt a is. A t aoela qu e segue agrupa ês s es valo

res.

F I .v I I F r

I Rey . 2 2 I

F ·v R I -.,0 R

0, 88 I 1,47 1 o, 025 ' ~ 0, 5 X

I 1. ,32 1,28 I o, 025 I O,~·~ I

X 1 06 1 I 2 ,00 1,16 0,025 0,5 l

I 0,16 1,76 1 0,10 106 i I

0,74 I 1 ,45 l o,lo '

I l 0,10 I 106 I I 1 ,50 1,25 I

' I I

106 j

! 2,04 1,16 0,10 I I I ! r---l

I

! 0,07 1,89 .o, 40 2 X 106 I ! I

t I I

0,48 1,60 0,40 I 2 X 106 I I

I i I ! I

X 1 0 6 1,05 I 1,36 0,40 ! 2 i I !

106 l 1 $ ·13 0 1 ,20 0,40 I

2 l i X ·Í

Veri fi ca-s e ent ~o, peJ.o estu do da m1r va obtida n a f i c1.ra 6.1

('~ 1 1.1'' 0d e1:1 s er i 1:1 tfi r odnzidas s i rnplift ca çÕes. O fenômen o poderia ser

c. r-:-:'ic ~ j t o ror

) = o

O ab<''.ndono d. n s <:O '? f . ci ent e s adi mens iona i s Rey e 'Pr co ns t i t ui o c 'r~8.­

~ I ;"J. d. o e f c.?i t o d e es cala . ·

•

..

-4-

Observan~es: 1) ~lando se fªz a vombinaç~o das grandezas do sistema

:9robásico com as r estantes gr andeza·s · os expoentes .ê: dote.dos ;foram i guais a 1. Se se adotassem para g, jJ-' e v.) o exiJoen

te -1 obter-se-iam diretamente os números de .Reynolds, ele Froucl.e e

do co eficiente de avanço V , e n~o os seus inversos 9 Geralment e v0R

quando as grandezas g e F descrevem um fenÔJ11.eno pode-se associar

a e l as imediatamente os núrn.eros de Froude e de R~=,ynolds o

I

i r --- .. I ! 1 l ! i

i t,o 1 i

I I

·i

1 I l

I .

0

r::l

8.

" t<" -= ~ -0,~ >( \0

~~ I c" r, ;..:

~ ;L.,. \0

(.

F;.. "" ~

---·~o~~--------L---~--+---4----r-------~------~~----~~ ~~ 1 2

1oo

, 1,00 1,50

I I

fi (._~ura 6.1

2.5 - 2

"\0

lOv\0 - í .

4 - l O -,t lO

~.

>.

•

"

a luno pÇ>d erá

êsse s ist e F:a

-5-

2) - Poder-se-ia utili7.ar outro sistema yrobásico como

por exemplo Í.:.., -..0 e D. A título de éxercício o

exp8rimentar. Os co efici entes· r esult a ntes utilizando

~o dem ser obtidos daqu@les do exercício, por meio d~

o peraç~es convenient es.

3) - O coe f ici ente cn' 1

, poderia taf'lbér:l ser escri to sob

a forma geral de co efi c iente d e fôr ça

F

o bse ~van.do-Ge q1).e qualo,uer dos " o bt ü 1os pode t P.""!b Pm ser m .1 ti "[Jli c a

d o ou u i v i dido por nÚ!:Jeros 1u.ros, :renn.a_npcenclo ainda a di i!i.ensione.l.

A PTLÜ ti p1icas.-ão ou d i visã.o de um í( por um m1rne ro :9uro tem em vista,

tão s omente, dar um signi f icado fís i co mai s definido ao co eficir-mte

e.di rnensi o.n. cli.

2 . 0 - T::stv.do do Corr:portmnPnto d n.s F8.cpJ.ine.s dr. Fl.ux0

SP.ndo seis o m5.mero de GT2.nde?.as f ís :i ~as P.rnrol v iàas no fen ôme

n o, ~x~remi d8 s em t~rnos das t rês Gr ande7.RS ft1ndPmenta~s, fBrça,co~

p r iment o e tempo, t rês coeficient e s ad ime ns iona i s podem d esc~ever o

fenôr:1eno .

Es c ol h.end o o .. sistema p, v.) e R c omo pro'b8.si co e cornbi n8YJ..do - o

com c;=trJa ur:1a n.as :~ f' !=rt; P,nte s ~randezas se obtém o conjunto dos co~fi­

cientes adirnension~is :

'r( .xl o( 2 ~ (X3 .6-r · - r v.J

1 l 02 r,

fl -:? \?3 Q = vJ K . 2 \

\\ lA)~ 2 ~ 'f 3 -v -1 -r 3 ~ .

"" TI ~" S P.fll18~o es d ünensiona.is, ad ot ~· ndo 0 siste:·1a técnico d8 1.:ni

d8d P.s :

•

-6-

[F] o = · ·-- J~l + l lF . .

[L j o LLJ ~4o<'l + o<3 - 2 =

[T] q = -] 2 o(l-o(2 IT L

CF J o = [F]fl

[t J o [LJ -4 r1 +F 3 + 3 =

. [T] o ~_T]2 r1 -f2 - 1 =

[F] O = [F J·r1

Lt] o (L] -4 ·~1 + '(3 - 2 =

[TJ o ·= LTJ2 'fl -r2 + 1

A soluçio dos tr@s sistemas de tr@s equaç3es a tr@s incógnit a s -fornece as exDressoes coeficientes adimencionais procurados:

<Jíl = D-f I ( ..,.)~)~

cn-2 Q - .

(v-i R)R2

cr\3 = wR2

v

O ·coP.:f ·í c.ient e 'IT1 é usualmente chRl"'.ado coe f iciente de 1•r e s s ão

~ · reprRSe ~t ~dO . ~ el ~ l etra e ree a

de v.tC zão ;e :rE" 1~ rs<1 A:,.I~ F.1.do -por f ; rid o h v0. l n c -i .(l.f'n n do r otor.

\f-' ; o co P.fic i ente <ri 2

, coefi c.iente

o CiÍ 3

é o m~.me ro cl.e Re:.rnold s r F) f E' .;.

O qor:~port;nnen to d a s 1A1?.qn inr:t s de f l,1xo ')"lo dr,rá, sis t P.mé ti c 8J'1. en~

te, Gf-'r' e st1.1.d n.do por

% ( 'f, f , Rey ) = O

· ~i '~' l O <l 0. rn'f.CJ.ll j., n. J r.o f", r~ ~rnnc1. e~EtS ,, ·.) 1 V, Q, Â'? 1 W e R V;:triá­

VPis , cnri!1h"ui n o o ":.··t'tfi c(") 'f em :fuhçÊÍ.o d.c 'f Jl14l"' v Al or el=l C01.1'"" -

•

-7-

tantes de Rey •

Por exempl o: para uma bomba r adial, encontrar-se-iam curvas,pa

ra diversos Rey, qu~ quase se confundem, o que mostra ser a i nfluên7

ci a de Rey pequena para o fenômeno estudado, ::oodeno.o-se :9ara ~ aior

simiJlicidade escrever a função 'f ., l\"( -t>) como de s crevendo o fenÔJ!leno o

Il1J.st ra-se por me io do diacrama da fi c;ura 6. 2, o r e sul t ado de er..saios

executa.dos.

't' ~

n o t a ç a o

~ .;- Rey 1

o~+ t:. Rey 2

\ o Rey 3

Cl Rey 4

O 'b s e r v a ...,

ç a o : As curvas ~

s a o ch r-un.2.das cnrvns ca-

ractP.rÍsticas adi r1 e:~1sionai s usadas atual Fmte C01'1 e r and e v ant:J :_ ens

s ôbre as cu rvas c aract ~rísticas H= H (Q). Na escolha d o sistena ~ro

bfsico, então, j á se ~aderia levar em cont a o fat o de se prPtPndP~

ohter V.!lla fm1t;ão q 1e lieasse a altura ne.nométrica co111 a va:?. ÊÍ.o, ~ -ca~

béJll veri.ficar 3. influência d EJ. viscosidade do f luido. De f at o, isso

foi fe ito cor,binendo-se . as ~rc:.ncleze.s d o sistema rro básico com 6,-:p, Q I

3. 5 - PrevisÊÍ.o das :re rd::>s de c a rza. de u ma ad ~tora

· A se , el h<"U.1<]:=t ~n.tre os do is escoaT'1 eDtos i myll:i ca ne. i ;:-ualr1e.U. e 0. o s

coP.-Iici..entes adi ' '! PYJ c i oncüs qne des crevem o f P.nômeno:

Rey1 = Rey2

E. -- t 1 2

•

-8-

o índice (1) indiccmdo o escoamento de a r e o índice (2) indic ando o

de á[;ua.

a) A igualdade entre os ·m[meros d e Reynolds dá:

e como por· cont i nuidade il, -: v, A. e

=

~1 -:--r-= 7,5 X y2

que 1,15

deve ser ins1..1.fl ada.}

b) A' j_e;ua1da de entre os coeficientes de :9erda dá:

~., ... \ 2.. o )( '5 '\, ~ ...:_ 'f. t 2. """"'- .:h. ~ A . .. 1 d d t . d. , l t. é l.. '-1... t l (.?;tl fl. R .e en re as rugosl aoes re __ a lVc-:.s alXvOI!'l<'.v l canJen e -

··s nt i s:fE" i t a :por t 0rem sido .ma.tltidas as mesmas c a ract eríst ica s c;eomé­

tricas no s dois c ~sos.

..

..

-9-

4. 4 - Ante pro j et.o ele um medidor

A va~ão qu·e ·escoa pelo diafragma pode ser e:xJ:Jressa pela f6rmu­

la see;uinte :·

Dividindo-se por

E por.t R.nto - ~,

t.Q ""' - ~ !L-à.1

0 . Sen:do vl

100 4 X 100 100 26,7 m/s = = = = n-'!>l. (2,\i\2 3,75 --ç "

A Q.iferc-mça de pr8ssÕes no manômetro di f eren ci al 8 dP_:--l a por :

 ·i' = ( \:&. _0_) ( bk -= LCoo "'o, ~o ·: ~co -l41~ Calcula-se então

~ !L-A.y 1

_ ~ 2 .,. ~co . ~~ c, 12.~

E

()~L 2.

No diagra.r!la rn x ~ trRça-se a curva C.."....,..,._ -=- ~. O ponto de

za:"~Anto com ' a c,1rva. do <h8.fr :'c:;r~a é a solução :9rocnrada.

'B.ey = V D l

Y1

. . VV\ -

0,60 o , 50 .

1 o, 5? t~ . t o' 53

CQ

0,643 0,780 0,701

0,73

cru

Sc.n<l o Re y1 > 105 c onclui-se seJ.1 em perfP- i t er:'!8nte válid él s as CO!!;

si à E':CR·?Ões r· e i t a s , inclusive pode-se usar o cl.iEl.~:r emFJ. com sP.u. coP.fi­

ci P-nte ele v P..zão constante numa larga f a ixa dP. vazÕes.

..

\ . \ \

5. 2.1 c) Inst alação de Bombeamento

· Sendo fixada a altura geométrica

mr-mto da bomba ficará determinado pela

· r!stica da b6mba com a curva de ~erdas ... ,

ex:rressao aF.Ls perdas pode-se determinar

llQ)-~ ~ ('_~ :+~ . \í : ( - 6

~ c.~ ~ . n2 ~lQ)= ~ ~ "2. ~ ~S"

-10-

H =-5 em o ponto de funcion2 g ...

intersecçao da curva caracte-

Al-= ~l + {CQ). A partir da

{~Q)(. 4 o )2 .!._ _1

- ,c:~ n ~L :D 1

coeficiente de perdas que :rode ser o0tido à ~artir d a

harDa de Nikn.radze: da tabela . toma-se para tubo de ferro {ialvani

· zado a ru.~osi.d8de equivalente .k de 0,15 mm; calcula-se D = . ~5 = k 0 ,75

= 167 ou ~ ;· o 15 =~= e da harpa de Nikuradze obtem- se

D 25 .

~= 0,03.5' ..

l = CO !'ll:Drimento cbrrespondente à.s IJe rdas que .é a soma d o

COP.ll.Jr iment6 ·total d a canalização mais os coP1primento s ecpü valente aos

acidente ~ ~xpressos em metros . de canalização retilínea. Tais valores

4! · são en contre.Q.os nas normas brasileiras P-NB-98 ( 3 cotovelo s r ai o médi o

e v álm1la de p ~ e crivo)

•

t = 30 :· 6 + 7, 3 + 2, 1 = 40, O m

Os · ~utros va1o:res são d8.dos, podendo-se cal cular então

Rx0,035x40· _ ~ =

10 \1 2 (0,025) 5

... . A.Mesma exnrn ~~ao com Q em

32x0,035

rc 2 c 2 , 5 ) 51 o -l 0

-l;s é éL da por \-C I2 ) = 11,5 q2

Consi;roi-se a c11rva d(3.s perdas d~x1.do v~:; lore s :pB.rti c11l~.r es a Q .

"'

..

•

-11-

obtendo-se os v alores de 6~ apresentados ma tabela

Q ( t/s) 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

n2 '"

o, 25' 1,0 2,25 4,0 6,25 - - --

{lQ) ""-""' 2,9 11, 5. 25,9 . 46,0 72,0

\-\c ..

'.V\. -5,0 -5,0 -5;0 .-5 ,0 -5,0 ~ -

I

t..t... ~ - 2,1 6,5 20,9 41,0 67,0 I I

A const1'1..:tçã:o gráfica da fi~ra 5. 3 dá o ponto de f uncion 2.TYJ ent o

d e bomba: . Q-0

= 1,6 . t;s e H0

= 28 m

A potência é obtida imediatamente r 'Y \.\., Q o

lembrando qu e P = -+y--lj-4----tfi {

e tomnndo "o rendimento correspondente da curva '1_ ~ 1 ( Q) dada .

Subs.ti tui rido-s·e os valores numéricos · obtem-se

~ = 103 .X 1,6 X 10-3 X 28 = 75 X 0,7

0,85 1 C.Vo

•

..

..

..

-12-

6.2.à.) Número de turbinas de uma instalação hi~oelétrica· •

A par-tir. do gr8.fico indicativo do limitE! superior de ns em fun­

ção da altura (Creager e Jüstin) verifica-se que é possível a utiliza

ção ta.nto de turbil);a ·Pelton corl'lo de turbina Francis. Em ca.da ca.so de­

veriam ser 1,1tili7.adios .: números de t·urbinas diferentes, devendo ser fei

to um estudo .. econôm;ico para a solução 'do problema.

dica:

O nú!jero de 1.mida des é determifr1ado por

Para .a instalação tem-se:

~~o J 2'-Soo'

. i)..O o ~/'t -::: ll s

Como par? cad·a tipo de turbina o gráfico de Greager e <Tu stin in

·- Y\ = 32 r para turbinas Pelton

Y\s = V\ =120 para turbinas Francis, resulta: . · ' F

1? = ~ "':..;-"-)' ~ I 2 ,'\ -:_ \ '!.

. 4

~ ç -=- ( ~~~) = o. q ~i ~ i ?fuito ~rovavelmente será mais econômica a ut il i zaç~o das t u rbi ­

nas Franci\3 •..

Se em ~rez de produzir nôda a potência fos~e nec essári a somente

a. potênciB- die 1. 300 CV, pergunta-s e qual do tipo mais aconsel (lado?

E port Rnt o:

5~c J \ . ~ c o ' ~ -~~--~~-----

.:.:,~"' .l...ôo ~I-+

= ~ -i 07

.. •

..

-13-

Verifica-se entretanto que o .. funcionar.1ento da·Francis não s e r á

mui to sati:.sfat6rio nêste caso·, devido a afastar-se dema siado do val or

n máximo indicado. A curva de rendimento das turbinas de det err:J. ir..a.­s tipo em função do coeficiente ns escla.rece o caso. Provavelmente se-

. rá mais iridicada a utilização de uma turbina Pel ton, nêste caso .

6.2.b) E~t~do de uma of~rta de turbina

1º.) {) tipo de · nv~quina é definido }lelo valor númérico da rot ação

P.SI'RCÍfica·

n = 300 rprit

n = s

P., = lnO x 1,3'6 = 245 CV ..L

P2 = 300 X :l ., 36 = 408 c v .. 5; L1. . .S;4

H4 ' = (5) / = 7,4

n = 300 X 15 = sl 7,4

n = 300 X 20,2 s2 7,4

608

= 819

Com, tais v<:üores de ns trata-se de uma t vrbina axial; J10r ter

lJJn8. relati\<rc;une'nte e;r ;::md e ree;ião de bom r endi mento c ertamente · é u ma tur

bina KaplaJ:?..•

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RESUIVIO DA TEORIÀ DAS Ii'IARJ!:S

1. Obser~ação do fenô~eno 2. Fôrça geradora das marés 3. Teoria de Newton 4. Teoria de Laplace

A.R. Zambel EESC 1969

5. Análise harmônica e previsão das marés 6. Aplicação do computador IBM-1130 7. Caracteristicas das marés 8. Bibliografia

1. Observação do fenômeno

Os ·antigos assimilavam a Terra a um verdadeiro ser humano; as marés seriam a sua respiração, tal a regularidade com que o fenômeno ocorria. Com a aproximação da maré o nivel das águas sobe: é a cheia culminando com a preamar ou maré-alta. O nivel começa a descer: é a vazante. Uma vez atingido o ni­vel mais baixo, baixamar ou maré-baixa recomeça o ciclo. Uma observação mais detalhada permite verificar que o intervalo entre duas preamares ou duas baixamares é de aproximadamente 12 horas e 25 minutos, isto é, se uma preamar ocorrer às 8 ho ras da manhã, às 8 h 25 min da noite ocorrerá outra , e no dia seguinte às 8 h 50 min mais outra. Para cada dia há uma di­ferença de 50 minutos. Por outro lado, a Lua cruza cada me­ridiano no intervalo de aproximadamente 24 h 50 min. Assim a Lua passa sôbre um meridiano 50 min mais tarde_ cada dia o que corresponde à diferença ocorrida com as preamares ou baixama res~ No entanto, a maré-alta não ocorre exatamente no momen to em que a Lua cruza o meridiano local. O intervalo entre a passagem da Lua e a maré-alta é constante para cada ponto ~a costa. Cada ponto tem seu estabel~cimento de maré. Assim quando se diz· que Heligoland - Mar do Norte (Alemanha) - tem um estabelecimento de 11 h 20 min, significa que a maré-alta ocorre 11 horas 20 min depois que a Lua passar pelo meridia- . no local.

A posição da Lua afeta a altura e a massa da água envolvi das no ocorrência da maré. Durante a lua cheia e a lua nova (sizigias) as diferenças entre a maré-alta e a maré-baixa,am Plitudes atingem o máximo: . são as chamadas águas vivas. D~ rante os quartos crescente e minguan:te (quadratura) a ampli­tude é pequena, tem-se as águas mortas. Isto signi fica que a maré depende ·também da POFlição relativa do Sol.

A amplitude das marés varia de um ponto para outro. Na Baia de Fundy no Canadá ultrapassa 15 metros no Monte Saint Michell na Normandia atinge 13 metros e meio enquanto no Me­diterrâneo ela é de apenas 10 ~ 20 em.

•

2

Nas · costas da Europa bem como da América do Sul existem duas marás altas e duas marás baixas por dia enquanto que em .Do-Son n o Vietnam do Norte há . somente uma maré alta e uma maré baixa cada 24 horas. Em certas regiÕes do Pacífico c~ mo por exemplo no Tahiti as m~rés alta e baixa ocorrem sem­pre às mesmas horas, desobedecendo portanto as ordens~ Lua. Compreende-se então, a lenda do suicídio de Arist6teles,af~ gado no Euripe desesperado por não poder explicar as cator­ze mudanças de direção da correnteza daquele rio por ~

Do que foi exposto · de~taca-se o seguinte fato que as teo rias apresentadas a seguir procuram explicar:

1º) o atraso entre a passagem da lua pelo meridiano local e a ocdrrência da maré alta ~

2º) a v~riaçã~ dêsse atraso de ponto para ponto;

3º) a ocorrência da maré alta . e da maré baixa;

4º) a variação da amplitude de ponto para ponto;

5º) a ocorrência de uma maré diária em alguns pontos e duas por dia em outros.

2. Fôrça geradora das marés '

Para explicar a ação da fôrça geradora das marés lança­-se mão da lei da gravitação ~niversal: a ação entre dois corpos é proporcional ao produto de suas massas e inversa­mente proporcional ao quadrado da distância que os separa. Essa fôrça determina o movimento anual da Terra ao redor do Sol (ou mais precisamente ao redor do centro de gravidade comum), como também o movimento semanal da Lua ao redor da Terra (ou mais precisamente ao redor do centro comum de gra vidade). Se Terra e Lua estivessem parados, a fôrça oo atra ção causaria uma colisão.· ~ntretanto seus movimentos ao r e: dor do centro comum de · gravidqde produz fôrças centrífugas que equilibram a fôrça de atração. No centro da Terra ou da Lua as fôrças centrífuga · e de atração são iguais e opostas (figura 2.1).

Apesar do sistema Terra-Lua como um todo estar em equ ilí brio, as partículas individuais sôbre as superfícies da Ter ra e da Lua não estão. A fôrça de atração sôbre uma partí­cula da Terra por exemplo , depende da sua dist6~cia à Lua , enquanto a fôrça centrífuga é a mesma para tôda · a superfí­cie da Terra, desde que todos os pontos descrevam o mesmo mo vimento ao redo~ do centro de gravidade do sist~ma. As fôr ças parciais resultantes são ~ais que a soma de tOdas sObre a superfície da Terra é igual a zero. Ess~s fôrças parciais sao as fôrças g eradoras das mqrés.

Nas figuras 2. 2 e ·2. 5 a Lua se encontra sObre a linha

..

3

ZN. No ponto Z a fôrça de atração é maiot que a fôrça centri fuga. A diferença é uma pequena fôTça parcial na direção da Lua. No ponto N, o ponto mais afastado em relação à Lua, a fôrça de atração. é menor que a fôrça centrífuga, então a resu! tante parcial tem sentido oposto à Lua. Nos dois casos as fôE ças geradoras das marés têm sentidos opostos aocentro da Terra.

Desenhando-se os vetores resultantes para todos os. pontos oo superfície da Terra tem-se para um meridiano o resultado esqu~ matizado na figura 2.3.

Fazendo-se o cálculo das fôrças de maré nos pontos E, Z e N obtém-se: no ponto E, centro da Terra, a fôrça de atração exe~ cida pela Lua sôbre cada quilograma-massa de terra é de 3,38mg* (miligrama-fôrça). A fôrça cen:trífuga devida aos movimentos Cb terra é igual e oposta: - J, 38 mg* • A soma é zero. · No ponto Z mais próximo da Lua a ·fôrça atrativa é maior 3,49 mg*, enq~ to no ponto N, mais distante da Lua, a fôrça at-rativa é menor 3,27 mg*. Nos três pontos E, Z e Na fôrça centrífuga é de -3 , 38 mg* . Então a fôrça de maré vale no ponto Z: 3, 49 - 3, 38 = 0,11 mg* e no ponto N: 3,27 - 3,38 = -0,11 mg*. Nos dois ponto s as fôrças de maré são orientadas para fora da superfí­cie terrestre. A figura 2.3 mostra a distribuição das fôrças de maré. Somente nos quatro pontos Z, N, D e D' a fôrçada m~ .ré é perpendicular à superfície da Terra. Para se ter uma idéia da grandeza da fôrça de maré basta lembrar que um homem pesando 90 kg* no ponto Z ou N perderia somente 10 mg* de pê­so, que corresponde ao pêso de uma gota de suor. A fôrça de m~ ré pode reduzir ou aumentar a fôrça da gravidade de no máximo l/9.000.000 (um nove milhonésimo) •

Entretanto, excepto nos pontos mencionados a fôrça de maré tern sempre uma componente horizont::ü atuando ao longo da super ficie da 're rra. Essa componente defletiria um pêndulo de 12m de comprimento de cêrca de 1/1000 demm. Apesar da insignifi­cância das componentes horizontais elas são mais · importantes que as componentes verticais, pois outras fôrças horizontais atuantes na superfície da Terra são da mesma ordem de grandeza. Na figura 2.4 a componente horizontal da fôrça de maré é zero nos pontos Z e N, ma iores ao loqgo de dois círculos a 450 de Z e N, e no grande círculo passando p elo centro da Terra e per ­pendi cular d linha ZN, igual a zero. Num h emisfério está diri g ija para Z, ~nquanto _ no outro está dirigida para N.

Esse sistema de fôrça geradora de maré é dirigido pela pos! ção da Lua. Como a Lua muda de posição o sistema move~se com ela. A figura 2.5 mostra o que_ acontece quando a Lua está no plano do equador terrestre e à direita quando está a 280 Norte.

A Terra não está parada, mas gira ao redor do seu eixo uma vez por dia. Um observador no ponto Al (figura 2. 4) nota que a fôrça geradora da maré está dirigida n ara o Sul. A rotação da Terra leva-o para o ponto A2. A fôrça horizontal awnentará continuamente até 3 horas mais tarde quando o observador esta-

•

4.

rá em A3: Nesse ponto a fôrça horizontal é máxima. Seis horas ma~s tarde o observador estará em A4 e a fôrça se anu­la. A fôrça muda de direção, atinge outra vez o máximo depois de mais três horas e se anula novamente, e assim su­cessivamente. Depois de 24 horas o observado+ estará nova­mente em Al· Assim a rotação da Terra produz duas varia­ções na fôrça geradora das marés em direção e em grandeza.

A figura 2.7 ilustra o efeito semi-diurno da Lua repre­sentado por v~tores polares representando as fôrças.

No equador a variação é retilínea sendo O às O, 6 e 12 horas, com um máximo às 9 horas (leste) e outro às 3 horas (oeste), não havendo componentes na direção Norte-Sul. Nas outras latitudes (30 e 60, por exemplo) os vetores . descr~ vem uma elipse. às zero e 12 horas lunares êles estão di rígidos para o Sul, às 6, para o norte, às 3, para Oeste e às 9 horas, para L~ste. As componentes nas direções N-S e L-0 são da mesma ordem de grandeza.

As fôrças geradoras das marés variam com a distância TeE ra-Lua. Como essa distância varia cont1nuamente no curso de ~~a semana, a fôrça geradora das marés é afetada por es­tas pequenas alterações.

A Lua possui também uma declinação que acarreta uma assi metria do sistema das fôrças geradoras em relação ao equa­dor terrestre (figura 2.6) e uma variação diária das fôr­ças geradoras. .Quanto maior a declinação, maior a varia--çao.

Até agora só se considerou a Lua, evidentemente o Sol também produz um .sistema de fôrças geradoras de marés. O efeito semi-diurno é da ordem da metade do efeito da Lua. Apesar da Lua ser muito menor que o Sol, ela se enco ntra muito mais próxima (a distância é mn fator mais decisivo).

As variaÇÕes quinzenais são o resultado dos efeitos con­juntos do Sol e da Lua. Na Lua-Nova, Sol, Lua e Terra es­tão na mesma reta. O efeito da Lua se sorna ao efeito do Sol resultando uma ação 3/2 vêzes maior que a ação da Lua. O mesmo acontece quando o Sol e a Lua estão em op6sição. Por ocasião das quadraturas os efeitos se reduzem à metade daquele da Lua ocorrendo então marés de águas mortas.

Os outros planetas do sístema solar são tão pequenos em relação ao Sol e estão tão distantes da Terra que seus efeitos são desprezados.

Resumindo: as variações contínuas das posiçÕes do Sol e da Lua em relação à Terra acarretam variações na fôr ça g e­radora das mar~~- Tais variações podem ser calculadas. As variações semi-diárias são as mais importantes. Há outras de menor importância e outras que podem ser despreza das.

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5

3. Teoria de Newton

Para explicar o efeito das marés, Newton imaginou um oce~ no ideal de profundidade constante cobrindo a Terra inteira mente. Voltando à figura 2.3, as componentes horizontais~ xariam as águas para os pontos Z e N, ocasionando calotas nesses . pontos e reentrâncias nos dois pontos à 90°. Esse processo já se ·apresenta falho uma vez que as diferenças de press~es no oceano obrigariam as águas~ retomarem a posi­ção primitiva.

Por esta teoria as marés são consideradas puramente est~ ticas. Ela pode explicar a ocorrência de duas marés diárias. Quando a Lua está fora do plano equatorial da Terra e as ma rés não são simétricas · em relação ao eixo da Terra, numa ro­tação da Terra há uma variação entre duas 11 ondas 11 de maré no mesmo dia. Todavia quando a Lua está no planoequator~l a variação desaparece e ocorre uma só maré , por dia. A teo­ria também explica o fen~meno das marés de águas vivas e de águas mortas. Os estabelecimentos das marés seriam sempre de zero ou de 12 horas por esta teoria.

4. Teoria de Laplace

Laplace complementou a teoria estática de Newton. Em vez das fôrças geradoras das . marés produzirem calotas num ocea­no ideal, produzem ondas de maré cujos períodos correspon­dem ao das fÔrças geradoras. Na produção dessas ondas ou­tros fatôres podem ser considerados: a profundidade e a la~ gura das bacias oceânicas, os efeitos da rotação da Terra e o atrito. O efeito devido à rotação da Terra é tal que as partículas se movimentando na . superfície da Terra sempre são desviadas para a direita no hemisfério Norte, para a es querda no hemisfério Sul: no equador o efeito é nulo, cre~ ce com a latitude para o polo e varia com a velocidade da partícula. Na formação das correntes de marés êsse efeito tem grande importância.

O atri~o interno das partículas do fluidó é pequeno com o comparado com o atrito produzido pela turbulência com uma grande corrente de maré. A turbulência consome uma energia apreciável modificando a forma e o tipo das marés.

Para examinar a influência da profundidade da água nas marés faz-se as seguintes considerações: somente se consi deram as ações da Lua; a Lua se move no plano equatorial e a água envolvida se encontra n~1 canal estreito de profundi dade uniform~ circundando o equador terrestre (40.000 km d; comprimento). Os dois pontos ZeN estão distantes 20.000 km. Por cau's _a do movimento da Lua êstes dois pontos se mo vem ao redor da Terra com uma velocidade de 1.610 km por hÕ ra, dando uma volta cada 24 h 50 min. A Lua produz· neste ca nal uma onda de maré cujo comprimento vale 20.000 km e a ve

..

6

locidade de propagação vale 1.610 km por hora, valores que in­dependem no nivel da água no canal.

Por outro lado uma onda gerada por uma p erturbação se prop~ ga no canal com velocidade proporcional à raiz quadrada da al-

tura (c=~). Se a profundidade fôr igual a 22 km , es-

ta onda livre se propaga com velocidade ~ = 1.610 km/h. A on da de- maré entra em ressonância com a onda livre e pode ocor­rer marés tremendamente altas. Entretanto a profundidade das águas são maiores ou menores que 22 km: em vez de ressonâ ncia ocorrem interferências. Se as profundidades forem maiores do , ', que 22 km mares altas ocorrem nos pontos Z e N diretamente em baixo da Lua e o estabelecimento pode ser de O a 12 horas.Tais marés são chamadas diretas. Por outro lado se a profun dida de do .canal é menor · que 22 km, marés baixas ocorrem e m Z e N e o ' estabelecimento seria de 6 ·ou 18 horas lunares respectivamente. Tais marés são indiretas.

Os oceanos reais apresentam profundidades con~ideràvelmente menores que 22km, as marés que ocorrem ao longo do equa dor são indiretas. Marés altas ocorrem 6h e 13 minutos depois qu e a Lua cruzou o meridiano e não zero horas como previu a teoria estática. Pode-se calcular o estabelecimento de marés em l a ti tudes diferentes. Por exemplo, num canal a 600. O comprimen to da onda de maré vale 10.000 km e a velocidade de propaga çã; 805 krn por hora. A profundidade de ressonância é de 5 , 5 km . Neste caso ocorrendo . profundidades maiores tém-se marés dire­tas e no caso menores, indiretas •

Admitindo-se que o oceano tenha a profundidade c o ~~~ ;nt ~ de 10 km e seja subdividido em canais lati tudinais estreitos, s e­parados por paredes, os canais próximos do equador ter ão marés indiretas, os próximos dos polos,diretas, enquanto que algun s lugares ocorrem marés elevadíssimas por causa de ressonâncias. Se as paredes forem removidas ·as diferenças nos níveis da água em cada lado das paredes ocasionarão movimentos confundirtdo a distribuição das marés. Laplace demonstrou que as marés pode riam ser in.diretas na região equatorial e diretas, na região po lar.

Até aqui considerou-se que a Lua sempre se achava no p l a no equatoria l. Devido à sua declinação que varia até o máx i mo de 28 ,5 o Norte ou Sul, as fôrças de maré não são simétr ica s en r e

.la ção ao e quador. O problema da propaga ção da s ondas noo cana is torna-se a inda mais complicado. As soluç~es teórica s ·apr e s e n­tadas não leva m a uma compreensão perfeita das marés r eais mas levam a uma conseqüência de alto significado prático: a pos s i­bilidade da previsão das marés em qualquer ponto .da co s t a .

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7

5·. Análise Harmônica e Previsão das Marés

Como foi visto, por causa da constante mudança de posi­ção da Lua e do Sol, constante Vé:lriação das suas dist.âncias

~ Terra, a órbita el í pt ica ao redor do centro de gravidade

comum .Terra-Lua, as fôrças geradoras das marés variam periQ

dicamente. Matemàticamente pode-se calcular as alturas de

uma maré pela soma dos constituintes das fôrças geradoras

(soma de oscilações harmônicas simples).

Uma oscilação harmônica simples é completamente determi­

nadé:l quando se conhece o período,a amplitude e a fase do movi mento.

O período de cada oscilação simples é determinado por COQ

siderações de leis da astronomia enquanto as amplitudes e f~ ses de cada pôrto de per si, são determinadas através da aná lise harmônica dos valores locais observados durante v á rios

anos.

A expressão da altura é dada pela fórmula:

A amplitude e a fase de uma componente da maré não v~riam com o tempo, a própria maré é imutável na nossa era. Esta s

constantes para um determinado pôrto, e a posição do Sol , da

Terra e da Lua calculadas permitem prever a maré para qual­

quer instante. l o que se fazconstruindo as Tábuas das Ma­rés. Quanto mais componentes se levar em considera ção , mais precisa a previsão. ·Usualmente as oi to componentes mencio­nadas na tabela I são suficientes para dar a um marinh eiro a previsão das condições de um dado pôrto num certo instan­te.

A análise harmônica co~o a p revisão das marés ser i am tr~ balhosas e demoradas se nao fôssem usadas as máqui n as prev i soras. Mais de mil portos deveriam ser analisados a par t ir dos dados observados durante muitos anos; mais de mil táboas deveriam ser confeccionadas cada ano. Surgiram as má qui nas previsoras cuja primeira foi inventa da por Lord Kelvin em 1872.

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.. .

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~ímbolo Período Amplitude Descrição

r ·~ - 100 em - ·~ 2 -I

horas

I M2 12.42 100,00 - lt;~.nar principal açao

s2 12.00 46,60 - solar principal I açao

Semi-diárias N2 12.66 19,10 açao devida à varia- I I çao da distância da I lua

K2 11.97 12,70 açao da variação da

I declinação

I Kl 23.93

I 58,4 . açao do Sol e da Lua

I I I Diárias

01 25.82 I 41,5 açao lunar diária I

p -1 24.07 19,3 açao solar diária

Longo Mt 327.86 17,2 açao quinzena·l da Lu a ! período

Tabela I - As mais importantes componentes da fôrça geradorB das marés

Uma máquina alemã construída em 1919 soma 20 oscilações e prepara wna tábua anual para um pôrto em 15 horas de traba l ho. A máquina do Instituto Oceanográfico de Hamburgo soma 62 com­ponentes.

Tais máquinas funcionam baseadas no princípio ilustrado nas figuras 5.1 e 5.2.

O ponto se move no círculo com velocidade uniforme. As pro jeções B e C descrevem oscilaç5es harmônic~s simples de perí~ do T. Cada revolução p roduz uma oscilação harmônica simples de amplitude O A

2 = raio do círculo e fase que depende do tem

po que A leva para passar por Al.

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.·.

9

.A máquina traça o movimento do ponto B da figura 5 .1. O raio OA é substituído pelo braço que girando com velocidade cons tag te ao redor do ponto M desloca a barra em forma de cruz no pl~ no vertical. Durahte cada revoluçâo do braço a barr~ descreve uma ·onda, inclusive o ponto B ao redor do qual gira a polia R. O fio TT fixo em P ajuda o estilete S movimentar-se no lado oposto. O estilete registra, numa tira de papel pp que se mo-­ve com velocidade uniforme, a oscilação harmônica simples.

Para somar oscilações faz-se a combinaçâo de aparelhos com os braços correspondentes a amplitudes girando com velocidades correspondentes aos períodos. A figura 5.3 ilustra. A poli a R2 é fixa, as polias R1 e R3 m6veis; o fio está fixo em P e o estilete, em S.

6 • .Aplicação do computador IBIW - 1130 na previsão das Marés

O problema é extremamente simples para o co mputador . . Corn o ilustração foram traçadas as oscilações para os quatro por

tos e uma maré teórica cujas constantes harmBnicas são apr~ s .entadas na tabela 2. As curvas foram traçadas pelo plot­

ter acoplado ao computador IBM - 1130. .6, programação f oi

feita pelo sr. Antonio Carlos Lirani, alunos da Escola d e Engenh aria de São Carlos, ao qual se _apresenta aqui os

mais sinceros agradecimentos. Além do traçado das curvas

acima referidas o programa permite traçar as curvas para

qualquer número de dias, para qualquer número de portos,em

tBdas as escalas do plotter, destacar influêncios parciais

do Sol e da Lua, traçar curvas totais, etc.

O autor ogradece a dedicação e a atenção do Centro de

Processamento de Dados da Escola de Engenharia de São Carlos, em especial aos Dr. Odelar Leite Linhares, Enge­

r-heiro José Savério Lia e Engenheiro Pa ltônio Daun Fra­

ga. O Engenheiro P.D. Fraga fêz os primeiros traba­

lhos, antes da instalação do Centro de Processamento de Da dos.

•

..

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10

'

Maré/Período Immingham !s.Francisco !

.Amplitude Manilla I Do-Son teórica Inglaterraj Califórnia Filipinas Vietnam

fase ampl fase ampl. fase ampl fase horas M

2 = 100

em em ampl.cm em

I I

M2 12,42 100,00 161° 223 I 330° 54 305° 20 113° 4

s2 12,00 46,6 · 2100 73 334° 12 338° 7 1 400 3 I

I N2 I 12,66 19,1 1410 45 303° 12 291° 4 1000 1

I I

I K2 11,97 12,7 2120 18 3280 4 325° 2 1400 1

I I I K I 23,93 58,4 I 279° 15 I 1060 37 320° 30 91° 72 1 1 I

I I I 01 25,83 41,5 120° 16 I 89° 23 279° 28 35° 70 I

p 24,07 19,3 I 257° 6 I 104° 12 I 317° 9 I 91° 24

~-~'----~----~---------~------~------~--~ Tabela 2 - Constantes harmônicas das marés de quatro portos e de

uma maré teórica

7. Características das marés

Uma vez conhecidas as constantes para um ponto da co sta,i~ to é, as amplitudes e as fases dos componentes da maré é pos­sível prever tôdas as marés dêsse ponto. A fase do componen­te M2 dá o tempo aproximado que a maré alta demora para ocor­rer depois que a Lua cruzou o meridiano local, ou seja, o es­tabeleci mento.

O componente M2 atrasa 50 minutos em relaçâo ao S2 e duas marés estarão em fase somente cada 1 4 .765 dias (46 anos).

Os efeitos M2 e S2 podem ser somados e então M2 + S2 produ­zem uma água viva. Entre duas á guu s vivas ocorre uma água morta IVI 2- S2.

:A . a rnpli tude de s2 determina uma varie.ção quinzenal. ·

A diferença de fase entre M2 e s 2 serve para determinar a tlidade da marétl, isto é, a demora entre a água viva e a lua cheia ou lua nova.

As componentes K1 e 01 são oscilações associadas à declina

•

•

11

çao da Lua. A diferença de fase entre K1 e 01 semelhantemente à diferença entre M2 e S2 podem ocasionar águas vivas .e águas mortas que oco rrem no intervalo de 13,66 dias. Assim, a supe~

posição de marés diárias e marés semi-diárias varia com a rela çao

F=

chamada forma da maré.

São quatro as formas . de maré classificadas como segue:

1. semi-dié:lria: F= 0,0- 0,25. Duas marés e~ltas e duas baixas de aproximadamente mesma altura.

2. mista c·om predominância semi-diária: F= 0,25 -1,50. Duas marés altas e baixas diàriamente, no entanto com grandes di ferenças de altura e de fase.

3. mista com predominância diária: F= 1, 5O - 3,00. De pois da declinação mé:lxima da Lua sbmente uma preamar por dia. Ou­tras vêzes duas preamares por dia com grandes diferenças de fase e altura.

4. diária: F maior que 3,00. Uma preamar por dia.

Calculando-se os valores de F, forma da maré para os quatro portos da tabela 2, obtém-se os seguintes resultados: ·

Imminghan: F = 0,11. Marés semi-diárias, predominantes n<:E]:Dr­tos europeus.

São Francisco: F= 0,9. Maré mista com predominância semi-diá­ria.

Ma nil1a: F= 2,15. Maré mista com predominância diJria

Do-Son: F= 18,9. Maré típica di ária.

8. BIBLIOGRAFIA

- Defc.nt, A. - Ebb and Flow- ~n Arbor Science Library - 1958.

- Kochin, Kibel e Roze - Theoretical Hydromechanics - . Interscience - 19 64.

- Churchi11 - Fourier Series and Bo undary Value Prob1ems -UcGraw-Hill - Kogakusha - 2ª Edição - 1963.

- Tolstov- Fourier Series - Prentice Hall - 2ª edição - 19 65.

- Gibrat- L'"Bnergie des Marées · - Presses Universitaire de Fran ce- 1 966.

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12

-Leinebti, R. - Introdução à Oceanografia - Insti~uto Oceanográ · fi~o da Universidade de São Paulo. 1966.

-Gohin Les Calculs de Marée - La Houille Blanche nº 2

-Pipes - Applied Nfathematics for Engi .neers and Physics -McGraw-Hill - 194 6

1962

-Vieira, R.C.C. -Mecânica dos Fluidos .- Escola de Engenharia de São Carlos ~ 1961 •

L·UA Z E N ·~ - - - - - - - - - - - - - ~G===::Iil:õk'12z:2?tzzztnzzznzz;uz~~ - - - -

Pi;~ . 2 . 1 "So.uil í bri o -entre a f ôrça e.tra tiva d.a lua e a

f8 r ça centríft1~a

D

E ~ úú???Zl?Z~

D

Fig. 2.2- Comrosiçio das f6r ças ~trat iva da Lua e cen- · trífuza

D

LUA ,.__--··----i

D

p · 2 3 T>· t ., . ...., d J . . "; . • - 1Jls . rlOUlÇ::J.O as

l onc;o de um lT!eridiano

..

LUA ~ ... -- -- --" --...... -....

......

- .. - -·----.. .. ..-- - - , -- - , -..

p

Fie . 2.4 - 0om ponentes hori~ont ais das f6rças de mar~ na ' sn"Y)prfície do oceano

p

·.~ .

., 5 T1' ' ., . ..., d . h . t . -· - lllB~rlmJl Çao as componen~es or1zon a1s q 1)·a.n.clo

a lua está no plano equatoriel

p

..

.. ~, i. c~· -.

.. o 90° N ou S

VI

XII

VI

• XII'

V.l ~ o~--------~o~----------olx E~

XII

Fie. 2.7- -r;;feitos semi - di urnos d8. I1ua

•

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8 " o 1'-t:>"") ...__ p

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Fi s . 5. 1 - O s c ilaç~o ha~m8nic a P4 • Pie. 5 .• 2 - r·táqlJ.ina pFtr R tra<:,>ar s eno i des .

s

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..

"

Tend ênc i::: s nodernas para o e oai..:_:c.:rr.E:rlt o das - - - - - - ·- -- - - - - -- - - - ..A - - - - - -

1 - Introdução

1.1 Seria e energia m8.remotri z c0~1e~itiv~? - ? .1. • ·-

.... "2: _:_ . ../

O :fenôlileno dc.s l'J<J. rés.

A u t ilização energia

2 ~ransiç5o j o sru10 clássico QO ~rup o ~ulbo

!t • -r • Z 2.::-: _0 e J_ --·----- .. -

.-. • 1 Utili7. r-.:.ção d:~ s tu::-binas G.~üais de eixo horizor~t3 =.. .

::.: .2 l ·oc a lização élo a l te rnador. r-, ~7

·- . .)

r;/ : • -r

r. r­' . ) 0 r. "- . ....;

7 l .,• • • .L.,.

7. "'2: -· . ./

r<i[l_ C! '-' l•.ol·~ ·::\ ·"•?:o r' o·-·. : ··;~u,o o~-· 1''•l ' · o c-v- ,..,. o....J ..!- ' -' •• ~· "-""' ....A ~ .. U- L ~ 1.. 1 1.A. - IJ , .,.. •

:Oescri r:ão de um ,:. n.l. ·,) o bulbo. . ~ . ~ Principais dispos i ç~es de i nst~l~ ç 3c s .

Aprovei tamen.to 81:. L;ranê:es ri os .

TlJ tl· .1...., ·i r.•p ,..., ;0 r'!:.' .1 • ._, ~:J,. 'J: ........ v -··

-~ . l Rer:: f r-: . :~ ·,~ n-~ o 8 <::::t:J.Il C}_Ue i.'laàe.

~ .2 J~ i~8. velocidade. "7.

·-:- • ...1

/, . .,. Geradore s a ssincronos.

·. '· ·

c

•

-1-

Tendências modernas para o equipamento das

baixas quedas - Grupo :Bulbo.

1 - Introdução 1.1 ~ Seria a energia marenotriz competitiva?

Sempre que se toca no Gssunto de ~rupos bulbo, aprovei­

t a mento de baixas quedas, usina maremotriz ele La Rance, marés,wna

pergunta sur.s;e ü1ec' iatamente: seria a energ ia marenotriz competi­

tiva? O cust o dG. energia varia de lugar para lugar, varia corr. as

c oncJ. iç Ões lX; culif-1 res de c adC!. pais, matéria prima, recursos mine ­

ràis, recursos técnicos, etc. O que · sairia caro aqui poderia ser

barat o em outro lu-:;ar. I.las, Llesmo ass im, pergu..'1ta-se: r..a

França seria a e11crgia maremotriz competitiva? Que razõss levG..can

Od fran cês es a ante - projetar o aproveitamento das Ilhas Chausey -

f i t;ura 1.1 - com seus 12 rai ll:J.Ões de kW ( 600 gru pos bul "b o de 2C. 'JOO

l<:Yf), a instal8.r a Usina de La Rance de 240.000 k'.V ( 24 grupos oul­

bo de 10.000 k\'i), ou mesmo, iniciar os estudos rara o aprovei te;.--

mento das marés há cêrca de três décadas? No inicio dos estudos

não se tinha t6ãa a certeza que a energia atBnica se tornaria cc:,

petit iva •

Desenvolver uma técnica nova que permitis s e o D.~: r·)Ve i ta

menta das Ilhas ele CJ:lausey, se ria uc2.

o futurc, no suprimento da demanda de energ ia. Resta c ons:L c~ e ra:r

se não valeria mais a pena i:'lvestir um suplenento de custo e:'l a ­

proveitamentos de rios, no Ródano por exemplo, che gando- Ge 2 u~

Ctlsto equivalen t e ~:.o da energia maremotriz. Resolveu- se e qui :r:ar La

Rance q_ue do ponto de vista econBmico con:::ti tuil.;. u tna O }J er~-- ~ 2c br.l~

c a , t1as c1ue t rari& ines t i máveis inforr:.açÕes e ex :p el~iência p::::~.:!.··-:, s~

r ant ir o equi palllen-'co d.::,o Ilhas de Chausey e m c;:?. so de 11 cl1e q_v.c!1 ecô-

mico da encr.::).c .. nuc lea r. Foi por estas -r &38es que e n 1 960

se a de cisão d e construir la Rance. p . __ OJ e , efeti Vf.~mente a energ i a nuclear é com) et:5. t ivn , ::.~.s

a o:pera ç8.c L8. R ::::l~ e;e a::_:1res en-'ca wn ba ..~.. anço lJOs i tivo. O <;.provei tc:..me~

to ' a. :;; r!!a:cé s en-.rolve.J. <-"'- i..m só temp o l..!.ue st ões el e astrono:ni .::: , de fi

s ica d .::_;l oto , de l::esquisn operacion.a l sôbre l:J ciclos à:..s :::.2-ré s ,

('r. ir-"tc:rli,_ :::~: .S: o l:c. : is ten::!..s ele proàução de energi a , de :p ro"ble E:..I.s

üe l: i c r2.-uJi c: u e CllL; el'~lJ8.r i :::. civil no 11 feci~ ;J. :::t:n -~o!' C.e lUilG cor-ce:::·ce

t:

•

:

--2 -

de ~rand e vaza o, -c·1"e p rol1 le.1:n8.8 de c orros2.o p or a reia em -s u.spe:ns2. o

e á ; ua saleada , a o lado d o desenvolviment o de um n ôvo t i 1~ o de -!_.:_lE.

t i r.:.<l : o gru po bu l o o . A a plicação deseas turbinas n o aprove i t amen-

to d2G baixas quedas const i tuiu um SUb- pr odut o QU8 na o pô6e 2Er

r:1.Jec' r:;s cio '\ eno e ·do ·Ródano só :fora.m ~ . poss í vei s c i f r a do , as ~aixas

depo is d os es tud0s

nh<.i.Tl sur g üJ o ant es

d o aproveitamento das maré s emborc:_; C::][UllS -!J E: -

da pr6pria de cisão de se c on°truir ~a 1?.2l1CE: . Ü""

out ros camp os c omo o de ~~rr o sã c, da t écnica dos ~ode l os reduzi - ­

do~- , d0 efei t o da 2,ce J.era.ç ã o de CoricJ i s re c ete r E1.rr) il'lest i r-:{ ve}

c ont ribui ç~o ~ O s uce ss o de I a Ra nc e n~o se mede sbc ente ~e:o f ato

da ope::::·aç~o a_e í'echarr~t:nt o . cio estu á ri o, difícil e arri sco.c: <) 9 ~er c

corri do c e ci ac i dent e s .

T:cê s f8.t os i mp ort :::.nte s , todavi a , i nf l u í ram Hlaü : oeci~:j ­

vament e no &prcve i t~ment o da en e rs i a ma ~e~ot riz: a ocorrê nci a de

Da ré s elevadas na Bre tanha; o efe i to do b o~b eament o e 8 arli cJ~ :c

C'ce. sru1~os bul'---·o . ~eL~nd o essa sequê ncia de f ..--. tos é c1ue se ~~=· re ­

~ enta êste trabe l ho : i Ljc i a l men te faz - s e algumas cons ideraç ~E:s s Q

br e o fe nômeno dos ~aré s c om a f i nalidade d e f aciliarizar o l e i ­

t or coD os t ê r mos usuais ; dep ois se estuda a uti l i zaçgo da enPr-

c s as suntos Que LAi s interes~are ao enc enhe ir o: t ransiç~o da t~rb i

na Ka ~ lan ao c r upo t ulbo, c lass ifi caç~o 1 de s cri ç5o~ t i pos, nor~a­

li za~5o e aplic aç ~e s d0s g r up os bul bo .

1 . 2 - O fe nDmen o das marés

Na s c ostDs c a Europa bem c OTI' O d8 Lr.:éric.: .. c o S l; . ClC OrTe:n:

~u2s marés ~ Jtas e duas r.:ar és baixas p or Gia, en ç uanto q1e em Do

Son no Vi etnar:.. c"o r:o r t e há s o:r.!entr ~una !laré alta e urr:a mEt.ré 1x< ixa

c; r,c1;:;; 2 ~- ho:;:·'].S . J s a:-:_r li tud e.E:, d i fer en ças oe n í ve l ent re m:_a pre a ­

r::a r e uma 'cc-tixR- m8.r consecut i vas variam d e Ul!'! yonto po.r a c~utro : na

:.<:~ ia de -c;>lil1<01 y no C2.nad<f u l t2·arassa 15 me tros, no T,·:ont e são r i c 'c e l

~ue no ~editerrâ~eo e!a é .

e ap enos l C ~ 20 cent i metros, em Santos a tinge 1,5 ~etros.

) :-:: J-l~ir •2 ire,_ f; C::X l->licaç Õe s do fenôLeno da s marés f or.s.m da

c'o.c :: or He':·; tc:::-J r.:r:. J. ~ 7 0 0 c ons iderando un i cé:!mente as atr3.ç~es do Sol r- .:: .-, t: ·-· lu:?.. . ,. :teorü1 d'e Nev;to11 explicave. s t.~f ic ientemente as va r i a -

r-:::: <:-~: lJ1.i ttHJe à ~ s maré~· a o l ongo das ho r a s e dos ~ias, es ma -, ., /. /.

T(; S o E: à 0 1.WG vi -.r3t:; E: c-:e ucuas mortas , conforme o So 1 E: a Iua est i

ve s~: el!! er;: c cn j u:~. ç· Él ou. e·r.'l q_u::C!l'é-: tL;_rfl. Cem a n0s mais t a rcE· Ia_pla ce

•

-3-

introduzindo concejtos de hidrodinâmica na teoria das ma.rés c onse

cuiu dar explicações mais razoávej_s a certos fenBmenos ainda obs­

curos pela teoria de Newton. Foi Henri Poj_ncaré em 1.909 q_uerrr mo s

trou C'{Ue o problema poderia ser pôsto em equações e resolvi do nos

casos

ra. de

mais gerais. "Na história das marés, Newton nos de u a manei

conhecer, J,aplace a de compreender, Poincaré a de agir".

A amplitude da maré nuw determinado ponto de pen:de -na o

só das influêncie.s do Sol e da Lua, mas também da extensão e d<?~

profundidade da bacia oceânica, e do perfil da costa.Constata-se,

comparando-se duas lunações (período de 29 dias ·e meio, espaço de

tempo q_ue a Lua consome para completar uma revolução ao redor da

Terra) quaisquer, que as energias disponíveis diferem em menos de

5% do seu valor médio. nio há mês sêco nem mês ~mido, não há ve­

ria nem inverno, não há ano sêco nem ano úmido, o que cons titu::.. ~

ma excelente vantagem do ponto de vista energético. Compare-secam

as va.riações dos desníveis do sal to de Sete Quedas na época das

cheias e das estiagens de 17 a 52 metros ou seja 67%.

1.3 - A utilizaçio ·da enereia das marés

A subida e a descida das marés representa, em razao dos

enormes volumes de água em movimento, uma energia consideráve l.C.2_

~o utilizar esta eriergia?

Considerando-se o estuário de um rio fechado por um d i­

que provido de comportas - figura 1.2 - quando a maré sobe manten

do-se as comportas abertas, a água penetra enchendo a bacia. Na

maré alta fecham-se as compor:tas. O mar voltando, no refluxo da

maré, cria uma queda entre o nível da bacia e o seu próprio nível.

Uma turbir:.a instalada no dique poderia produzir enereia ao esva­

ziar-se a bacia .• :f:sse ciclo, o mais simples, e que já f o i ut iliz~

do nos moinhos de maré, é chamado "simples ~ efeito de esvazia.men t d!

Se na instalação precedente se montar outra turbina f~ncionand o ~

t; ora no outro sentido, isto é, mar-bacia, pode-se produzir ener­

g ia t8n.bém. na maré montc<nte: tal ciclo é chamado "simple s efeito

de enchimento". Uma instala.çio que ,perrni te a cómbir~ação dos c oi s

efeitos fun c io112. en1 "duplo efeito", e aprovei ta bem mais energia

qv e qualquer dos simples efeitos.

Não p8 r a ai, entreta.nto, a possibj.lidade de se aprovei­

tar mais u1na fraçã o da ener[; ia das ntarés. Há a possibilidad e de ~

tiliza ç io do efeit o de bombeamento. Para ferfeito entendimento do

fen5meno f a z-se os consideraç~es que se seguem.

c

-4-

. Uma barragem construida numa baia ou estuário isola do

mar uma bacia. Uma turbina ftmcionanào nos dois sentidos permite utilizar a água para produçio de energia elátrica por ocasiio de sua passagem nos dois sentidos. Admitindo-se que a maré tenha uma aT:Jplitude A e que a bacia possa armazenar sob a altura A um volu­me V, propÕe-se determinar~ se é que existe, o limite máximo da ~ nereia utilizável por maré. Para simplificar, suprime-se a influ­ência da qualidade das máquinas admitindo-se que elas apresentem o rendimento de 100%, e que a potência do equipamento seja ilimi­tada.

Seja S a superffcie da bacia na cota z. A energia produ zida pelo esvaziamento· de · uma fatia. dz é dada por f g S z dz, e a energia produzida por ciclo no esvaziamento

~Afg s z dz

No enchimento será

I

supondo-se que o esvaziamento e o enchimento se fazem por fatias horizontais e se processem durante uma "parada" (isto é válido p~ ra vazões infinitas).

A energia total por ciclo' de duplo efeito será:

Isto é, a energia produzida é proporcional ao produto da amplitude pelo.volume utilizado, energia esta comumente chama­da de "natural", nome muito mal empregado em vista do que se verá adiante. Pensava-se que a energia "natural" era a máxima que se podia tirar de uma maré.

Um me canismo bastante engenl1oso permite explicar e uti­lizar mna enel"'::; i o superior à enercia "natu:-:."'aln.

I macinn.nã·o-se que se diSlJÕe de um reserva tório auxil i ar ,:;_uc se . as s enJ~a .:~e::."'f e i t amonte s ôbre a cot a .A, te ::1- se 3. superfície ... , .(.\ t )'"" ~ ; ~ t:) • ..J- ,...., ' C< ... 1 ' ........ A "f\T h . , -'· l .!. t_, c... O a v. c o "a :~ , 'Jenú o z -;;; . _,o e n<;.~l ~ , ent o, n o mOJ:lent o

•

' ·

I· I ~

-5-

da pr'eamar, a turbina acionada pela á gua que passa a limenta uma

bomba que aspira água do mar despejando- a no reservatório a uxi­

liar até uma cota B. se os rendimentos das duas máquinas toreJJ. i­

guais a 1 0 0% e as ope raç õ es se processam durante uma parada, t em­

se, à esquerda, a energia produzida pela turbina e à direita a

consumid:a no ' bombeamento, na igualdade abaixo: A B .

f g ~ · (A - z)sdz=fg~ (z' -A)Tdz'

cujo ~esenvolv~mento f~ito ·~ se~ir permitirá chegar- se a uma

pressáo que va2 ser út2l ma2s a~ iante. r . ;A dz = rfBz' B

lg A S dz- rg s ~ T az • -rgJ A o o . A A

f ,.~v_ "jA B

s z dz = rgf rn z' dz' -rg A VB o fo ....

. o A

e x -

T dz'

No esva ziamento, a energ ia pro duzida pela tur bina , ut i- .

lizando os dois reservatórios será dad a por:

E= fBr G T z' dz'

A

jA

+ o r g s z dz

ou seja, precisamente i gual a equaçao ant erior. 3 ntão:

}! ... energ ia produzida excede a "natural" da qu ant i dad e

f S A VB. Quanto maior o voll.une bombe ad o maior a en erg i a produz i­

da . Apr ove i t a n do- se a "parada" da preamar para eleva r uma g r 2.nd e

·.:ruan t idad e de á c ua a uma a ltura pequ ena ( d isp ensando p ou c a ener-

~ ia) , a q_uan't i à a de arma zenad a será u ti lizada s ôbr e tôda a a plit~

de da mar é 1:: :roduzin do ap reciável qu ant i dade d e e n e rg ia. A f i gur a

1. 3 , ilus t r a a ~xplicação.

No ne cani~m o descrito seria ne cessári o r et irar e~erg ia

c2:~. tur bÚJ.a e c onst r u ir reservatórios ind e p e nd ent e s . É mais p r á ti­

c Q usar a mesrr!a bs\c ia e tomar empr estsda e n erg ia da rê d e naci ona l

•

..

-6-

de distribuiç~o. Além disso será possível aplicar o mesmo efeito por ocá sião da maré baixa, desta vez bombeando água do reservat6-rio para

;

o mar. ·,

Resumindo, tem-se quatro fases:

1ª f a se: no fim da baixa-!mar quando a bacia está vazia --- - - - I

fecha-se a barrag.em e bombeia-se água da bacia para o mar até a '

cota -B tomando emprestada da rêde a energia dada por:

nergia

E - Jo S (-z)dz 1 -:- -B

z ~ o

2ª fase: o mar sobe até encher a bacia produzindo a e-

-B ~ z ~A

I

3 ª fase: na 11 parada 11 da P,reamar mediante um segu:.'ld o em-préstimo àe enereia da rêde bombeia-se água do mar para a bacia a té a cota c. A energia emprestada é dada por:

~~) --~c .:;.,_ S (z - A)dz

4ª fase: dttrante a "parada" da baixa-mar, esvazia-se a bacia de C até zero produzindo a energia dada por:

. c E4 = j g z dz

o o ~ z ~c

No balanço, tendo que pagar as energias empres t a das nos bombeament os t em~se:

J\. en etr'c; ia transformada é igual à soma da energia na tu­r al mais A vêze~ o volume total bombeado. Ela pode torna r-se tão grand e qua n t o m:;L ior-. a superfície da bacia.

Um ciclo de duplo efeito com duplo bombeamento parece produzir uma . energia sem limi tels a não ser aquêles provenientes das limitações do equipamento. ~videntemente deve haver uma limi­tação que no entanto não é estJdada· aqui onde se pretendeu estu­dar somente as vantagens do bombeaiJ+énto.

Além da utilização do duplo efeito com duplo bombeamen­to pode-se ainda aperfeiçoar mais a exploração da energia maremo­triz. O sesqui-efeito - figura 1.3 - realização de três turbina-­gens com. dois bombeamentos intercalados em duas preamares consec~ . tivas permite retirar-se mais energia que dos ciclos anteriores.

Um estudo dos ciclos ãe operação pode fixar quais devem ser usados conforme a amplitude da maré, hora do dia, etc. para o custo mais baixa da energia produzida. Uma primeira aproximação informa: para marés fracas, simples efeito com bombeamentos; para marés fortes, sesqui-efeito; para marés excepcionais, duplo efei­to sem bombeamento.

Graças às observações feitas pode-se fazer uma explora­ção "sob medida", função da hora e da maré, tendendo a abandonar o ritmo lunar das marés para se chegar ao ritmo solar das ativida des.humanas.

O aproveitamento das marés só se concretizou pela apli cação de uma máquina que pudesse funcionar nos dois sentidos como bomba, COPlO turbina e como orificio de passagem livre. O exemplo dêsse tipo de instalação é o aproveitamento de La Rance: 24 gru­pos previstos para turbinagem direta ou inversa sob queda de ·1 a 11 metros; bombeamento direto ou inverso de 1 a 6 metros; e orifi cio direto e inverso. A mudança de função ou sentido se efetua p~ l a rotação das pás ·de 35°. Cada grupo compreende uma turbina de 10~000 kW sob queda nominal de 5,75 m; vazão de 283 m3/s; rotor de 5,35 m; rotação de 93,75 rpm e alternador síncrono.

2 - Transição do grupo cláss~co ao grupo bulbo 2.1 - Utilização das turbi1~s axiais de eixo horizontal

A utilização de turbinas kxiais do tipo Kaplan de eixo hori zontal, com difusor retilíneo montado no prolongame nt o axial da t urbina c onduz a, importantes economias no aproveitamento das bai xas quedas . O Q.ifusor de eixo horizonta l evita o difusor com­pl exo das . turbinas de eixo vertical apresentand o a inda a s vanta-

...

-8-

gens da sua execução ser mais simples, das fundações serem menos profundas podendo mesmo o grupo assentar-se no fundo do curso d'água- figura 2.1 - O tubo retilíneo mantendo a simetria do es coamento conduz a rendimentos mais elevados. As turbinas Kap1an possuem características que permitem utilizá-las ao máximo tor-­nando ainda mais econô~ico o equipamento dessas quedas. A turbi­na Kaplan é reversível podendo funcionar como turbina e como bom ba, tanto nwn sentido como no C?utro; podem funcionar como dissi­pador e como orifício de passagem permitindo também economia de comportas.

2.2 - · Localização do alternador

O emprêgo das t~rbinas Kaplan de eixo horizontal coin­cidente com ·o eixo do escoamento acarreta problemas de localiza­ção e acoplamento do gerador elétrico: ou se conserva a solução

.clássica de alternador de eixo vertical acoplado ':por órgãos de transmissão ao eixo ho"rizontal da turbina; ou se instala o alter nador no ~prolongamento do eixo da turbina, mas no fundo de um P.2 ço ao redór do qual passam aságuas, o eixo de acoplamento atra­vessa a parede, não surge nenhum problema nôvo; ou, então, merg~ lha-se o ·alternador no escoamento, sureem problemas de estanque.!_ dade e deresfriamento.

2~3 ~· classificação dos grupos bulbo

Os bulbo - construídos potências ·des-grupos sao para as de a l .C"umas o centena s de kY'/ até uma dezena de riWl, conservando pràti

cament e em todos os casos o mesmo princípio -e a mesma concepçao. Pode-se distinguir quatro grandes categ orias de grupos bulbo:

a) - Os bulbos maremotores: para utilizar o fluxo e o reflux o das marés a turbina funciona em marcha direta e inversa

' sob a l tv::L~a s de c1ueda vari~veis, e para tuna maior rentabilidade c om bomba co1;1 a s funç ÕGs à.e aspiração e elevação reversíveis. A r eal i za;ã o e c onOrr ~ca de tais grupos . requer potências unitárias e l ev..:..0.es , 8.ss i :i c orao em La Ranc e, 24 . t; rupos bulbo de 10 r.r:"í .

~ .. ) - Os g,~:-and e buibos àe rios, cuj a s potências são da orl':leL'\ ·:e milllüres de }~Y:. são equipados à e a l tern2.dores síncro­nos , r otor de pá s de pnb ~ o · variável e regula ç~o de velocidad e.

,.

-9-

c) - Os grupos bulbo ~ara cadeia de barragens cujas PQ

tências são da ordem de 1.000 kW· geradores síncronos ou assíncro

n os e distribuidor fixo.

d) - Os grupos para microcentrais de potências de alg~ v -2as centenas de kTI, utilizando baixas quedas de vazoes medianas,

equipadas de geradores síncronos ou assíncronos, rotor de pás fi

xas e distribuidor fixo.

I~ ais

2.4 - Descrição de um grupo bulbo

Um grupo bulbo compÕe-se das seguintes partes

figura 2.2:

princ,;h

a - · carcas.a onde se aloja a r.1ác1uina elétrica, ej.xos e mancais.

1? - Distribuidor fixo ou r.16vel conforme o tipo de m.á­

q_uina serve par<l dar :for:wa hidráulica ao escoamento bem c or.io evi t ar perigos no caso de f enOmenos transitórios violentos no caso de disjunção nos grand es bulbos e nos bulbos maremotores.

c - Rotor hélice ou Kapla.n conforme o tj.po da máquina. 0 rotor hélic e é mais simples mas não pernite funcionamento com rendimento elevado fora do ponto de projeto . 0 rotor Kaplan per­rr, ite variações de vnzão nurne. larga faixa de rer..d i rnento a}.:'rec iá­vel, necessita, porém, de apareihagem de comando .

2.5 - Pr jncipais disposiçÕes de instalições

As condiçÕes de instalações depende evidentemente · das condiç~ões locais como sucede em hidráulica, sendo Ü'lllOssí-vel dar indicações válidas sempre ou para tod os os casos~ Quatro disposi ções principais são adotadas .

a) - ~isposição em sifão- figura 2.3.

Ne st e cas o o grupo bulbo á ins tal2do na pa~te as cendeQ te ou descendente de U!jJ conduto qp.e pa ssa por ci rr1a da bo.r-raeem. não tem comrortos de comsndo mas necessita dr:' l1Ifla bomba :x~.rél as ­

pirar o a:c- elo. r;ert e mediana no iníc i o do func i onamento, bem como ventosas rara Cl mw:'- l")ar::J.da . Os traball:.. os (le enc;enba:-ia civil são Eenores;no en tanto o seu rendimento cai em virtude das perdas de ca rca no conduto .

..

-10-

b) - Disposição em eclusa - figura 2.4.

~ uma disposição típica para aproveitamento de uma eclu sa aband.onada •. Instala-se o grupo à montante da barragem fechando a passagem. Um sistema de comportas deve ser aplicado sendo usual o sistema de parede girat6ria. A lâmina da comporta quando aberta constitui parede do difusor, quando fechada, o obturador.

c) - Disposição em conduto ~ figura 2.5.

O grupo bulbo é instalado no intervalo de um conduto que comunica o nível a montante com o nível aval do aproveitamen­to hidroelétrico. Goza de uma excelente facilidade de instalação por não necessitar de obras delicadas de desvio do leito do rio, na construção da barragem. ~ grandemente utilizada nos aproveita­mentos em cadeira de barragens. A comporta tipo borboleta. pode ser usada apresentando mais interê~se a comporta tipo íris (cuja constituição e funcionamento é semeD1ante a um diafragma de obje­tiva de máquina fotográfica) por ocupar menor espaço para movimen tação.

d) - Disposição em câmara de água - figura 2.6.

~ adap.tável a grupos ~e potências média e elevada até 10.000 kW. Trata-se da instalação do grupo no fundo de um poço

I construído nos contrafortes de uma barragem. A colocação e a reti

I rada do grupo se faz pelo poço de acesso. A marcha e a paradà da turbina podem ser obtidas por comportas planas ou de setor monta­das a montante 9U por comportas tipo Íris OU de parede girat6ria instalada no difusor.

2.6 - Normalização das microcentrais

Mesmo parecendo estranhof~ar-se em normalização de a­proveitamento hidro.elétrico algumas razões permitem a tentativa de normalização e fabricação em série no caso das microcentrais. Em primeiro lugar a ocorrência de baixas quedas é estatisticamen­te elevada; as potências são pequenas; um certo número de _ caract~

rísticas elétricas são obrigatbriamente já fixadas (frequência,nú mero de fases e tensões entre os fios). ·

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Além dos estudos e .ensaios indispensáveis em modelos re duzidos, os ensaios em protótipo são facilitados pela pequena po­tência dos grupos. Uma normalização além de reduzir o preço dimi­npi o prazo de entrega, permite reposição de peças, etc. Para co­brir o campo a firma Jeumont ensaiou três modelos reduzidos cor-­respondentes a perfis de pás diferentes (conforme a vazão especí­fica). Apresenta-se na figura 2.7 uma "grade., análoga a de bombas para a escolha das microcentrais onde são indicados os diâmetros dos rotores (1.000, 1.120, 1.250, 1.400, 1.600 , 1.800 e 2.000 mm) as rot~ções para frequências de 50 ciclos (167,5, 176,5, 188,2l4, 250, 300, 375, 428 rpm) e as potências em CV em função da vazão e da altura de queda.

3 - Aplicações dos grupos bulbo 3.1 -Aproveitamento em grandes rios

A Electricité de France, no Reno, em Marckolshein e a Compagnie Nationale du Rhône, em Pierre-Bénite instalaram grupos bulbos de grande vazão e baixa-queda de potências unitárias elev~ das. Assim o equipamento de Pierre-Bénite compreende quatro bul­bos de 25.000 CV sob quedas de 12 , 5 m na estiagem e de 4 m no · ca­so de fortes cheias. A produção média anual é de 485 milhÕes de kVI-h, cada máquina podendo turbinar até 320 m3/s. Foi feito um e§_ tudo comparativo minucioso entre a utilização de grupos verticais

Kaplan do tipo clássico e a utilização de grupos bulbo de eixo ho rizontal. A segunda solução adotada ~ermitiu ~a redução de 15 % no custo do kW instalado. Esta economia adveio do seguinte:

1º) -redução da ordem de 1/3 dos trabalhos de engenha­ria civil. A supressão dos caracóis de alimentação, a estrutura mais reduzida em altura permitiram diminuir o comprimento da usi­na de 100m para 70 m, a altura de 25 para 16 , 5 m.

2Q) ·- . redução de pêso, simplificação do escoamento, re­dução do preço do material. O tubo de alimentação cônico substitu to do caracol reduz a rotação da água na entrada da turbina. O di fusor retilíneo apresenta um rendimento superior ao difusor em f~rma de cotovelo e a recuperação da energia cinética na saída da roda é melhorada. Obtém-se um aumento de 20 % na potência.

f

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A relação l;n, comprimento do grupo-diâmetro, cai de

2,5 a 3 para 1,8, a turbina é mais leve, os mancais são mais redu

zidos. Contudo, uma dificuldade é apresentada. Necessita-se um

resfriamento maior do alternador (de potência mais elevada) e fe­chado em seu bulbo. A solução consiste em alongar·· o alternador,

diminuir seu diâmetro e insuflar ar sob pressão (2 a 3 kg/cm?)nos canais de resfriamento.

3º ) -Possibilidade do grupo bulbo funcionar como dissi pador de energia. Nas usinas de eixo vertical, no caso de disjun­ção nos despachos de carga na rêde de distribuição, é necessário descarregar a vazão não aproveitada por dissipadores comandados por comportas. Os grupos bulbos em virtude de suas qualidades hi­

dráulicas podem funcionar como dlissipadores. Assim, em Pierre-Bé­ni tes os dissipadores previstos ipara 1. 200 m3 / s f oram reduzidos para 500 m3/s pois cada turbina /poderá dissipar 200 m3/s.

3.2 -Aproveitamento hidroelétrico em cadeia de barragens

Um curso d'água de 15 a 20 km ainda não aproveitado, a­p~esenta uma declividade de 4 metros por km e uma vazão de 20m3/s. A queda total será da ordem de 80 metros. Duas soluções se ofere­cem ao engenheiro:

1 - Instalar uma barragem única permitindo utilizar um ou dois grupos hidráulicos funcionando sob a queda de 80 m. O cus to do aproveitamento, o alagamento considerável da região em vis­ta da pequena inclinação do rio levam a rejeitar tal hip6tese.

2 - Dividir o desnível em 5 ou 6 quedas de 14 metros e­quipadas por barragens comportando vazões de 20 a 30 m3/s (o su­perdimensionamento permitiria produções compensadas nas sêcas e nas cheias, bem como socorrer produções de pico). As barragens s~ ri.am tôdas iguais, os grupos dimensionados para mesmas vazÕes ,me.ê. mas rotações, permitindo uma normalização dos constituintes o que redundaria numa redução considerável nos custos aumentando consi­

àeràvelmente a rentabilidade do aproveitamento. Em vista do elev~ ~ do numéro de grupos . instalados o contrôle de carga seria feito p~

lo nú11e :::::-o de máquinas em trabalho, podendo a maioria delas funcio nar sem regulação de velocidade. Uma única central telecomandaria

\

t

a produção das centrais parc1a1s. Exemplo típico é

to do Baixo Maulde na França , onde .5 barragens são 4 grupos dispostos em ?onduto , cada uma turbinando

queda de 13 metros.

-13-

o aprove~tame~ equipada.s com 7 , 5 . m3 / s .s o b a

3o3 -Utilização da vazão de restituição de uma barragem de -c o.,...Jpensaçao

As posturas legais impõem no caso de usina s de deriva­ção a manutenção de uma vazão mínima (vazão reservada) n o leito a ntigo para assegurar a salubridade da região, a proteção aos pei xes, a alimentação dos ribeir~es, irrigação e turism6 . A barragem deve ser equipada de modo a permitir a restit?ição permanente des sa vazao.

Outras vêzes impõem a construção de um reservat·6rio de compensação na saída do canal de restituição de maneira que a va-- . , ' -zao restitu1da ao curso d ' água nao seja condicionada pelo progra-ma da usina alimentada pela barragem. A barragem é chama da de com pensação e a vazão de vazão restituída .

'

-14-

Tanto a vazão reservada como a vazão resütuída podem

ser aprove itadas pela ap licação dos grupos bulbo. Exemplo dêsse ti po é a Usina de Peyrissac (França) cuja turbina de 5 pás orientá­veis de 1~8 m de diâmetro funciona sob queda de 9,4 m e vazão de 15 m3/s. A disposição em câmara de água foi .adotada. Na ocasiao da construção da barragem foi previsto um poço para fut ura insta­lação de conjunto gerador. Uma comporta vertical estabelece a co­municação entre a retenção e a câmara de água. Esta comporta co­manda a mar·~ ha e a parada do grupo bulbo.

4 - Características dos alt ernadores 4.1 - Resfriamento e estanqueidade

Uma das dificulda des de realização do grupo bulb o pro­

vém da imersão total da máquina elétrica na água. Uma solução preconizada seria encher o gerad or do bulbo

de 6leo qt;.e asseguraria ao mesmo tempo o isolamento , lubrificação e a troca de cslor entre as bobinas e a água exteri or. ·N o entanto ape sar dos cuidados de es tanqueidade nota-se no 6leo dos grupos instalados tra ços de umidade provàvelmente incorporada n os perío­dos de parada. Essa umidade mesmo em pequena proporção diminui senslvelmente a eficiência do efeito dielétrico d o 6le o . Além dis so as perdas por atrito do 6leo são extremamente elevadas.

Por essas razões; ... constroem-se geradores re sfriados a ar

sob pressão. O resfriamento é assegurado por ventiladores solidá­:r·i os ao rotor.

As bobinas são impregnadas de poliéster de c ondutivida­de térmica elevada que conferem uma insensibilidade total à umida de. As chapas do circuito magnético são cpladas com araldi te.

4.2 - Baixa velocidade

Apesar da rotação específ ica elevada a ro tação dos gru~ pos é baixa (inferior a 150 rpm) para as quedas mui to baixas de 1 1 5 m. Isso a car:eta dificuldade nos ventiladores responsáveis p~ lo resfriamento e custo elevado das máquinas elétricas por . causa

ão pê so . DisposiçÕes especiais devem ser estudadas paralelamente à aplicação de multiplicador mecânico de velocid ade entre a turbi na e o gerador.

-15-

4.3 - Geradores assíncronos

A maioria dos grupos bulbo construidos sao assíncronos

pela sua simplicidade em funcionamento automático·e telecomandado,

entretanto; apresentam inconveniente que não se pode esquecer. Em

primeiro lugar s ó podem ser interligados a uma rêde de frequência

es tável capaz de impor sua frequência própria, o que equivale a di

zer que a potência fornecida pelo gerador assíncrono deve represe~

tar uma fração muit o pequena em relação à fornecida pelo s outros

geradores~ O~ alternadores assíncronos necessitam para funcionar

de energia reativa magnetizante . Esta deve ser fornecid a pela rêde

ou por uma bateria de condensadores instalada ao lado. Tais casos

se complicam quando ocorrem disjunções .

4o4 - Geradores síncronos de pequena potência

Para contornar as dificuldades dos geradores assíncronos

. e ao mesmo t empo, beneficiar-se de um rendimento melhorado e de um

dimensionamento mai s racional do estator , algumas firma s desenvol­

vem acelerados estudos para a produção de geradores síncronos de

pequena potência .

Em certos casos nas regiÕes desprovidas de d istribuição

de energia elétrica um grupo bulbo s íncrono pode alimentar uma rê­

de separada, satisfazendo as condiçÕes necessárias de moment o de i

nércia mais elevado que os normais, regulador de vel ocidades deli­

cado e aparelhamento completo de uma central síncrona. Pode-se sim

plificar a regulação faz e ndo o grupo funcionar a plena potência e

a diferença dissipar numa resistência mergulhada no própri o rio.

5 - Observação

As figuras apresentadas na sua quase totalidade foram ti

radas da Revista Jeumont, n2 56, cuja publicação é aut orização des

de que se indique a s ua origem , o que se faz aqui.

J

-16..-

6 - Bibliografia

- Revue J eumont nQ 56 - 1961/4.

- Var1et, H. - Turbines HydrauliQues et Groupes Hydroé1ectri--QUes - Eyrolles, 1964.

-Catálogo Neyrpic - Turbines Axiales pour Groupe s "Bulbe".

- Ginocchio, R. - Aménagements Hydroé1ectriques - Eyro11es, 1959.

- Catálogo Escher Wyss - Machines et Installations Hydrauli---ques.

- Revista Escher Wyss - Volume 35 - nº 3, 1962.

-Revista Escher Wyss- Volume 30- nº 2, 1957 .

- Information.s Techniques Charmiles - nº 9 , 1963.

- Varlet, H. - Aménagement , Utilization des Usines Hydrauli---QUes - Eyrolles, 1961.

- Gibrat, R. - L'Energie des Marés - Presses Universitaires de France, 1966 .

- Revue Française de l'Energie , n Q 183 - sept . oct. 1966 - numé ro special: La Rance.

Jupillat, R. - A primeira usina maremotriz no mundo: a usina do Rio Rance - c. F. D. T.

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Fi g. 1.1 - Aprove i tamento das Ilhas Chausey

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S IMPLES EFE ITO

com bombeamento

F ases c t o c t d c t r-~-+-~~~~~~,-~~~~~~~~~~~~

Horas 3 6 9 12 15 18 21 ~--~~---~--~~-~~---~--~~

D U P LO E FE I TO

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Horas 6 9 12 15 18 21 24 6 9

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