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FAAP – Faculdade Engenharia

Código da Disciplina: 1EB176 – FÍSICA I 1

Capítulo 1 - Análise Dimensional Grandeza Física – é todo elemento suscetível de definição quantitativa, convencionalmente introduzida com o objetivo de facilitar o estudo e a descrição de um grupo de fenômenos físicos. Toda grandeza física é concebida de uma operação bem definida, realizada em laboratório ou em campo, a qual chamamos de medida. Lei Física – é a descrição exata das relações de interdependência entre as grandezas associadas a um dado fenômeno; sempre que possível ela é representada por relações matemáticas entre símbolos que representam as grandezas físicas. Chega-se às leis físicas a partir de conhecimentos adquiridos anteriormente (método racional ou por meio de observação e/ou experimentação/método). Embora a Física se utilize de métodos matemáticos, estes entram como ferramenta de trabalho ao lado da observação e da experimentação. A Física não é uma disciplina matemática e muito menos construída sobre um modelo matemático: “é a ciência do estudo geral da matéria bruta, da e nergia e de suas transformações, que se utiliza predominantemente do método experimental e também do método dedutivo – matemático ”

É, portanto uma CIÊNCIA EXPERIMENTAL. Medição de uma grandeza física – “medir uma grandeza física significa compará-la com outra da mesma espécie, denominada unidade”. Assim sendo, para medirmos uma grandeza física devemos: 1º) Eleger uma unidade de medida (quantidade da mesma espécie). 2º) Comparar a grandeza física a ser medida, com a unidade eleita (quantas

vezes a grandeza a ser medida está contida ou contém a unidade eleita). 3º) O resultado dessa comparação é a medida ou medição da grandeza física. Exemplo:

Para medir a área de um terreno, devemos compará-la com uma unidade escolhida, (quantidade da mesma espécie), no caso um quadrado de 1 m de lado, ou seja, de 1m2 de área (note que estamos comparando a grandeza física, área de um terreno, com a unidade escolhida, que é um quadrado de área 1m2, portanto estamos comparando quantidades da mesma espécie). O resultado dessa comparação é a medida da grandeza física área. Se a unidade escolhida (quadrado de área 1m2) coube 100 vezes dentro do terreno, o resultado 100 é a medida obtida; se o mesmo coube 500 vezes dentro do terreno, a medida obtida será 500.



Resumindo: para medirmos uma grandeza física devemos.

a) Eleger uma unidade (QUANTIDADE DE ESPÉCIE) b) Comparar a unidade escolhida com a grandeza a ser medida c) Resultado da comparação = medida

Seja: G: uma grandeza física qualquer m: medida obtida U: unidade escolhida, da mesma espécie de G. Assim sendo, considere: “G e G’ duas grandezas físicas da mesma espécie, cujas as medidas são “m e m’ : medidas realizadas num mesmo sistema de unidade U.

G = m.U e G’ = m’.U. Se dividirmos uma pela outra, teremos: 'm

m'G

G ====

Esta expressão demonstra que a relação entre duas grandezas da mesma espécie, independe da unidade de medida usada (caráter unívoco da medição ).

A maioria das grandezas da mesma espécie satisfazem essa condição, que se denomina “condição do significado absoluto do valor relativo ” .

Significado Absoluto: porque independe da unidade. Valor Relativo: porque trata da relação entre duas grandezas.

Exemplo: dizer que uma pressão é o triplo da outra, esta expressão independe das unidades de medida.

Consideramos agora uma grandeza G, relativamente a duas unidades U e U’, com medidas de m e m’ , assim sendo, podemos escrever:

G = m.U

G = m’.U’. Se dividirmos uma expressão pela outra, teremos:

U'U

'mm ====

Nesta expressão, verificamos que a medida de uma grandeza varia inversamente com a unidade adotada. Esta é chamada “Lei do Valor Inverso” .

Ou seja: “tomando-se uma unidade n vezes menor teremos uma medida n vezes maior e reciprocamente”. Esta lei, também recebe o nome de: “Lei da Conversão de Unidades”.

Sistema Internacional de Unidades – Foi em 1948 que a 9ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), encarregou o Comitê Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) de:

“Estudar o estabelecimento de uma regulamentação co mpleta das unidades de medidas”.



Observação Antigamente quase todas as unidades eram definidas de um modo arbitrário o que levava a não existir nenhuma relação entre as unidades de um mesmo sistema. Isto causava um sério problema, pois era necessário introduzir nas fórmulas físicas coeficientes numéricos, denominados “coeficientes parasitas”, o que gerava os chamados “Sistemas Incoerentes”, completamente fora de uso. Hoje em dia, as unidades são definidas mediante as equações de definição. O Sistema de Unidades estruturado desse modo recebe o nome de “Sistema Coerente” que por sua vez é composto por unidades fundamentais. A 10ª Conferência Geral de Peso e Medidas (1954), decidiu a adotar como unidades fundamentais, as seguintes: • comprimento • massa • tempo • temperatura termodinâmica • intensidade elétrica • intensidade luminosa • quantidade de matéria A11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, adotou o nome de Sistema Internacional de Unidades (SI), em 1960. A 14ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (1971), acrescentou a essas unidades fundamentais o mol como unidade fundamental da grandeza quantidade de matéria. O SI foi adotado no Brasil em 1962.

Sistemas de Unidades Fundamentais Grandeza Nome Símbolo • Comprimento metro m

• Massa quilograma kg

• Tempo segundo s

• Intensidade Elétrica ampère A

• Intensidade Luminosa candela cd

• Temperatura

Termodinâmica

kelvin K

• Quantidade de Matéria mol mol

Representação Escrita – O nome de qualquer grandeza física quando escrita por extenso, é escrito com letra minúscula e leva s no plural. Exemplo: segundo - segundos joule - joules watt - watts



O símbolo correspondente de uma das grandezas fundamentais, não corresponde a uma abreviação, portanto, não leva ponto, nem “s” quando no plural. Exemplo: 1 segundo = 1s e não 1s. 10 watts = 10 w e não 10ws. 100 metros = 100 m e não 100ms. Algumas unidades têm nomes emprestados de físicos ilustres, portanto o símbolo dessas unidades deve ser escrito em letra maiúscula. Exemplo: newton = N joule = J hertz = Hz henry = H O produto de duas ou várias unidades é indicado por ponto como sinal de multiplicação, que pode ser suprimido se não houver possibilidade de confusão. N.m ou Nm e não mN Na divisão usamos (/), barra inclinada, ou traço horizontal, ou potência negativa.

1mssm

s/m −−−−========

Nunca repetir na mesma linha mais de uma barra, a não ser com o auxilio dos parênteses. Exemplo:

J/mol/k não e K.J.mol ou J/(mol.K) m/s/s não e .m.s ou s/m 1-1-22 − Teorema de Bridgman ou Princípio da Expressão Monôm ica – “Toda grandeza física que satisfaz a condição de significado absoluto do valor relativo, pode ser expressa pelo produto de um coeficiente numérico por outras grandezas físicas elevadas a certos expoentes”. Seja G uma grandeza física que depende das grandezas X, Y, Z, podemos, baseados em Bridgman, escrever:

zyx Z.Y.X.KG ==== Onde G = grandeza física que depende de outros X, Y, e Z; além disso, ela deve obedecer a condição do significado absoluto do valor relativo. K = número puro, também chamado de constante adimensional. x,y,z = números positivos, negativos, inteiros ou fracionários, que recebem o nome de dimensões. Exemplos:

2K g)L(

T

)g.L(fT

21

K v.m.21

E

)v.m(fE

2

2c

c

==

=

==

=



EQUAÇÃO DIMENSIONAL Considere a grandeza G dependente das grandezas X,Y,Z, as unidades das grandezas G,X,Y,Z são respectivamente U(G), U(X), U(Y), U(Z), em um sistema de unidades S e U’(G), U’(X), U’(Y), U’(Z) em outro sistema de unidades S’.

Segundo Bridgman: zyx

zyx

)Z('U.)Y('U.)X('U)G('U

)Z(U.)Y(U.)X(U)G(U

==

Dividindo membro a membro:

z

z

y

y

x

x

)Z('U)Z(U

.)Y('U)Y(U

.)X('U)X(U

)G('U)G(U =

Símbolo Analogamente, símbolos dimensionais dimensional de X, Y e Z. da grandeza G. e representa-se

[G] = [X].[Y].[Z]

Representações Devidas a Maxwell:

[G]=[X] x.[Y] y.[Z] z

EQUAÇÃO DA GRANDEZA FÍSICA G EM RELAÇÃO AS GRANDEZAS X, Y E Z.

Numa equação dimensional, não podem aparecer coeficientes numéricos. Portanto:

“EQUAÇÃO DIMENSIONAL de uma grandeza física é a equa ção que relaciona o símbolo dimensional da grandeza, com os símbolos di mensionais de outras que a definem”.

DIMENSÃO: é qualquer um dos expoentes reais (x, y e z). se x = 1, diz-se que G é diretamente proporcional a X. se x = -1, diz-se que G é inversamente proporcional a X. se x = -2, diz-se que G é inversamente proporcional ao quadrado de X. se x = 1/2, diz-se que G é inversamente proporcional à raiz quadrada de X. se x = 0, diz-se que a grandeza tem dimensão nula em relação a X. Tabela das Grandezas Fundamentais do Sistema Intern acional de Unidades (SI).

Grandeza Fundamental Nome Símbolo Dimensional

comprimento metro L

massa quilograma M

tempo segundo T

intensidade elétrica ampère I

Intensidade luminosa candela J

temperatura termodinâmica

kelvin θ

quantidade de matéria Mol N



Grandezas adimensionais: são aquelas que têm dimensão nula em relação a qualquer grandeza fundamental, ou seja, têm dimensão zero, ou seja, não sofrem alteração, não são afetadas por mudança de sistemas de unidades: funções trigonométricas, expoentes, logaritmos, coeficientes numéricos.

HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL

Princípio da Homogeneidade Segundo Fourier: “duas ou mais grandezas físicas são homogêneas entre si quando têm equações dimensionais iguais”. As equações físicas são necessariamente homogêneas – Princípio da homogeneidade. Estabelecimento de Equações Dimensionais.

[B][A]

[A/B][G] BA

G

[A].[B][A.B][G] B . A G

B. e A grandezas outras por definida é que física grandeza G

===

====

e ainda G=An [G]=[An]=[A]n As equações dimensionais dependem só da espécie da grandeza e não das suas medidas. Seguem alguns exemplos de estabelecimento de equações dimensionais:

1. Equação dimensional da grandeza área

2L[A]

L.L[A]

[a].[b][A]

a.b A área

===

==

Veja que a equação dimensional da grandeza área é sempre a mesma independente da configuração. Exemplo: equação dimensional da área de um circulo. Área do circulo = π.R2 = A [A] = [π].[R]2 [A] = L2

2. Equação dimensional da velocidade num movimento retilíneo e uniforme. 1LT

TL

]t[]s[

]v[ −===

LT-1 = exprime que a grandeza velocidade é: diretamente proporcional à grandeza fundamental comprimento (L) e inversamente proporcional à grandeza fundamental tempo (T).



3. Equação dimensional da grandeza energia elétrica.

222

2

2

2

2

2

T.M.L[E] TL

M.[E] ]t[]s[

]m][2/1[]E[

]v].[m].[2/1[]E[

v.m.21

E

−===

=

=

NOTE QUE PARA QUALQUER MODADALIDADE DE ENERGIA, A EQUAÇÃO DIMENSIONAL É SEMPRE A MESMA. Exemplo: Energia Potencial Gravitacional Ep = m.g.h

22

2

2

T.L.M]Ep[TL

.M]Ep[

TL.T/L

.M]Ep[

]h.[]t[

]t/[]s[].m[]Ep[

]h.[t]v[

].m[]Ep[

]h].[g].[m[]Ep[

−=

=

=

=

=

=

Período (T) = é o tempo que se requer para a realização de um ciclo completo num fenômeno periódico. Freqüência (f) = freqüência de um fenômeno periódico é o número de ciclos realizados por unidade de tempo:

T1

f =

Vazão (∅∅∅∅) = representa o volume (V) de fluído escoado através de uma seção transversal por unidade de tempo (t):

tv

o =/ .

Força (F) = exercida em uma partícula, equivale ao produto da massa (m) da partícula por sua aceleração (a): F = m.a Impulso (I) = impulso de uma força constante representa o produto da força (F) pelo tempo (t) de ação desta: I = F.t Quantidade de movimento (q) = é o produto da massa (m) da partícula por sua velocidade (v): q = m.v Pressão (p) = uniforme sobre uma superfície representa força (F) por unidade de área (A):

AF

p =



Trabalho (W) = realizado por uma força constante, é o produto da força (F) pelo deslocamento (d) e pelo cosseno (θ) formado entre a força e o deslocamento: W = F.d.cosθ (Potência) = de um sistema em funcionamento uniforme, representa o trabalho (W) realizado por unidade de tempo (t):

tW

P

Constante elástica (k) = é o coeficiente de proporcionalidade entre a força (F) aplicada em uma mola e a deformação linear (x) provocada:

x.KF = e xF

k =

Momento de força (M) = (em relação a um ponto) é o produto da força (F) pelo braço (b): M = F.b Massa específica ( f) = de uma substância pura representa massa (m), por unidade de volume:

Vm

f =

Densidade linear ( µµµµ) = de um fio – (para um fio homogêneo), representa massa (m) por unidade de comprimento (L):

Lm=µ

Densidade superficial ( σσσσ) = (de uma película homogênea), representa massa por unidade de área (A):

Am=σ

Peso específico (w) = (de uma substância), representa peso (P) por unidade de volume (V):

VP

w =

Modulo de Young (E) = barra de comprimento L e secção transversal de área A, quando sujeita à força longitudinal de tração, sofre deformação linear L; fenômeno é regido pela lei de Hooke:

E.AL.F

L =∆

Viscosidade dinâmica ( ηηηη) = (de um fluído) é a resistência que ele apresenta ao escoamento. As forças viscosas (F) que atuam em duas superfícies paralelas de área A cada uma separadas pela distância h, que se movem com velocidades, respectivamente v e v + v, têm intensidades:

hv.A.

Fη=

Viscosidade cinemática ( νννν) = é a relação entre a viscosidade dinâmica (η ) do fluído e sua massa específica (ρ):

ρη=ν



Tensão superficial ( σσσσ) = (de um líquido), é a relação entre a força (F) que experimenta todo limite da película líquida e o comprimento (l) dessa película:

L/F=σ Constante universal de gravitação (g) = duas massas m e m’ separadas pela distância d, atraem-se mutuamente com força de intensidade F; o fenômeno é regido pela lei de atração gravitacional de Newton:

2d

'm.m.GF =

Constante universal dos gases (R) = comparece na equação de estado dos gases perfeitos, equação de Clapeyron:

T.R.nV.p = Massa molecular (M) = de uma substância, representa a massa (m) por mol:

nm

M =

Ângulo plano ( ∅∅∅∅) = representa a relação entre o comprimento do arco (L) e o raio (R) deste:

RL

o =/

Velocidade (v) = do movimento retilíneo uniforme representa o deslocamento (d) por unidade de tempo (t)

td

v =

Velocidade angular ( ωωωω) = do movimento circular uniforme representa o ângulo central de giro (o/ ) por unidade de tempo (t):

to/=ω

Aceleração (a) = do movimento retilíneo uniformemente variado representa a variação da velocidade (v’-v) por unidade de tempo (t):

tv'v

a−= Estabeleça por contra própria, a equação dimensional das grandezas

relacionadas abaixo, em seguida preencha o quadro:

Equação Dimensional Grandeza fundam. Repr.

Unid. SI M L T θθθθ N

Coef. numérico log. expoentes, f. trigonom.

- - - - - -

Superfície (área) A m2 Volume V m3 ângulo plano θ rad velocidade v m/s velocidade angular ω rad/s aceleração a m/s2 aceleração angular α rad/s2





período T s freqüência f Hz vazão θ m3/s força, peso, empuxo F N impulso I N.s quantidade de movim. q kg.m/s pressão, tensão mec. p N/m2=Pa trabalho W J = joule

energia (∀) E J = joule potência P W = watt const. elástica k N/m momento de força M N.m massa específica ρ kg/m3 densidade linear µ kg/m3 densidade superficial τ kg/m3 peso específico w N/m3 módulo de Young E N/m3 viscosidade dinâmica η N.s/m2 viscosidade cinemática ν m2/s tensão superficial τ N/m constante universal gases R J/mol.K Constante universal gravit. G N.m2/kg2 massa molecular M kg/k.mol

Estabeleça por contra própria, a equação dimensional das grandezas relacionadas abaixo, em seguida preencha o quadro:



Coef. numérico log. expoentes, f. trigonom.

- 0 0 0 0 0

Superfície (área) A m2 0 2 0 0 0 Volume V m3 0 3 0 0 0 ângulo plano θ rad 0 0 0 0 0 velocidade v m/s 0 1 -1 0 0





velocidade angular ω rad/s 0 0 -1 0 0 aceleração a m/s2 0 1 -2 0 0 aceleração angular α rad/s2 0 0 -2 0 0 período T s 0 0 1 0 0 freqüência f Hz 0 0 -1 0 0 vazão θ m3/s 0 3 -1 0 0 força, peso, empuxo F N 1 1 -2 0 0 impulso I N.s 1 1 -1 0 0 quantidade de movim. q kg.m/s 1 1 -1 0 0 pressão, tensão mec. p N/m2=Pa 1 1 -2 0 0 trabalho W J = joule 1 2 -2 0 0

energia (∀) E J = joule 1 2 -2 0 0 potência P W = watt 1 2 -3 0 0 const. elástica k N/m 1 0 -2 0 0 momento de força M N.m 1 2 -2 0 0 massa específica ρ kg/m3 1 -3 0 0 0 densidade linear µ kg/m3 1 -1 0 0 0 densidade superficial τ kg/m3 1 -2 0 0 0 peso específico w N/m3 1 -2 -2 0 0 módulo de Young E N/m3 1 -1 -2 0 0 viscosidade dinâmica η N.s/m2 1 -1 -1 0 0 viscosidade cinemática ν m2/s 0 2 -1 0 0 tensão superficial τ N/m 1 0 -2 0 0 constante universal gases R J/mol.K 1 2 -2 -1 -1 Constante universal gravit. G N.m2/kg2 -1 3 -2 0 0 massa molecular M kg/k.mol 1 0 0 0 -1



EXERCÍCIOS

1) Verifique a homogeneidade das seguintes equações:

a) Equação de Torricelli: S.a.2vv o2 ∆+=

b) Equação da aceleração no MHS: )otcos(.A.a 2 /+ωω−=

2) Considere a seguinte equação por hipótese homogênea: S)(D.V sen UZ log.yBXA c

w +++=

Sendo as grandezas A, B, C e D homogêneas, respectivamente, a pressão, trabalho, freqüência e velocidade, determine a equação dimensional das grandezas físicas X, Y, Z, W, U, V e S. 3) Considere a equação de Weisbach que fornece a força resistente F devido ao

atrito quando um líquido real escoa com a velocidade média v através de uma tubulação do diâmetro D e comprimento L. Determine a equação dimensional das grandezas a e b.

4) Em certas condições, a resistência F que o ar oferece a um objeto em movimento

depende da área A da seção mestra do objeto, da velocidade v do objeto em relação ao ar e da massa específica ρ do ar. Deduza a forma da lei que relaciona essas grandezas entre si.

5) O peso de líquido escoado por unidade de tempo Ø, através de um vertedor

triangular depende da altura da carga h, da massa específica ρ de líquido e da aceleração da gravidade g. Deduza a fórmula Ø = Ø (h, g, ρ).

6) Uma gota de raio R é constituída de um líquido de massa específica ρ e tensão

superficial τ. A gota quando deformada ligeiramente e abandonada, vibra com período T. Deduza a fórmula T = T (R, ρ, τ).

7) O período de revolução de um planeta em torno do Sol é função somente da

constante de gravitação universal G, da massa M do Sol e do eixo maior a, da trajetória elíptica do planeta. A relação entre os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas em torno do Sol, é igual à relação entre os eixos maiores das elipses que eles percorrem, elevada a uma potência x, isto é:

x

2

122

21 )

aa

(T

T= Qual o valor do expoente X?

8) Supõe-se que a velocidade de propagação do som de um fluído seja função

exclusiva de sua viscosidade dinâmica η, de sua massa específica ρ e da pressão p. Determine a expressão da velocidade v.

9) Uma mola helicoidal leve tem constante elástica k, uma extremidade é fixa e

outra suporta um sólido de massa m. Põe-se o pêndulo a oscilar verticalmente. Deduza a lei da freqüência f das oscilações em função de m e k. A constante adimensional que comparece nessa lei vale ½ .



10) A freqüência fundamental de vibração f de uma corda depende do comprimento

l, da densidade linear µ e da força tensora F. A constante adimensional que comparece nessa relação vale ½ . Determine a freqüência fundamental numa corda de comprimento 50 cm e de massa 10g, sujeita a uma força tensora de 288 N.

11) A velocidade de escape de um gás para a atmosfera através de um orifício no

recipiente que o contém, depende apenas da massa específica do gás e da diferença ∆ρ entre a pressão do gás (pressão interna) e a pressão atmosférica (externa). A velocidade de escape do ar, sob pressão de 400 kPa, através do orifício de certo reservatório é de 480 m/s. Calcule a velocidade de escape se, em vez de ar, o reservatório contivesse hidrogênio, sob pressão de 200 kPa. Considere a densidade do hidrogênio em relação ao ar igual a 0,069 e que a pressão atmosférica é de 100 kPa.

12) Um projétil atirado horizontalmente com velocidade v, descreve uma trajetória

parabólica, seja ∅ o ângulo que a velocidade do projétil forma com a direção horizontal no instante genérico t. Verifica-se que a tangente trigonométrica de ∅ (tg ∅) depende apenas de v, t e g. Calcule ∅ no instante 3s, sabendo-se que ele vale 30º no instante 2s e que tg∅ é diretamente proporcional a t.

13) A potência P de uma hélice de avião depende do raio R da hélice, da velocidade

angular ω da mesma e da massa específica ρ do ar. Uma hélice desenvolve potência de 10 cv. Calcule a potência de uma segunda hélice que tem raio igual à metade do raio da primeira hélice e gira com velocidade angular igual ao quádruplo da velocidade angular da primeira.

14) Verifica-se experimentalmente que a velocidade de propagação de uma onda

longitudinal num meio contínuo depende da massa específica ρ e do módulo de Young E do meio. Calcule a velocidade das ondas longitudinais no alumínio, sabendo-se que no aço a velocidade vale 5 km/s. Dados: E (aço) = 20.1010 N/m2 (aço) = 7,8 g/cm3 E (alumínio) = 7.1010 N/m2 (alumínio) = 2700 kg/m3

15) A freqüência do som fundamental emitido por uma corda vibrante é inversamente

proporcional à raiz quadrada da área A de seção transversal da corda e depende ainda da intensidade da força tensora F do comprimento l da corda e da massa específica ρ do material que constitui a corda. Sendo de 150 hertz a freqüência fundamental numa corda X, calcule a freqüência fundamental numa corda Y, constituída com material de massa específica igual à metade da massa específica de X e que tenha comprimento igual à metade do comprimento de X, área transversal igual à metade da área de X e força tensora igual ao quádruplo da força tensora X.



16) A vazão de escape de um gás através de um orifício praticado no recipiente que

o contém, depende apenas do diâmetro do orifício, da massa específica do gás e da diferença entre as pressões interna e externa do recipiente. A vazão de escapamento de ar através de um orifício de diâmetro de 2 mm num certo reservatório é de 15 litros por segundo. Calcule a vazão de escapamento através de um orifício de 1 mm num reservatório que contém outro gás, sendo a pressão deste, a mesma que a do ar, e as condições externas sendo as mesmas que para o caso do reservatório conter ar. A densidade do gás em relação ao ar vale 0,09.

17) A velocidade do som num gás depende apenas da massa molecular do gás, de

sua temperatura absoluta e da constante universal dos gases. Sendo a velocidade do som num gás à temperatura de 0ºC igual a 330 m/s, calcule a velocidade do som em outro gás à temperatura de 27ºC, sabendo-se que a massa molecular deste é igual ao dobro da massa molecular daquele.

TEORIA DOS MODELOS

Muitas vezes, antes de se iniciar a construção de um dispositivo oneroso

(barragem, navio, avião, etc...) é conveniente analisar o seu comportamento através do ensaio experimental de uma réplica de tamanho reduzido, denominado modelo, construída a custo menor.

Agindo-se desse modo, evitam-se gastos desnecessários e ainda pode-se fazer no modelo, com maior facilidade, as modificações sugeridas pelos ensaios.

No princípio, os pesquisadores verificaram que uma vez construído o dispositivo original, denominado protótipo, este não apresentava o comportamento prognosticado com o ensaio de modelo. Isso ocorria porque havia a preocupação de manter-se apenas semelhança geométrica (semelhança de forma).

Para resolver essa questão Newton propôs que entre modelo e protótipo deveria haver uma semelhança física, isto é, deveria existir uma razão constante (escala) entre todas as grandezas observadas no modelo e as grandezas homólogas do protótipo.

Impondo-se a condição de semelhança física, verifica-se que os ensaios com modelo fornecem indicações, quando não precisas, pelo menos, bastante próxima a respeito do comportamento do protótipo correspondente.

O modelo e protótipo constituem, dois sistemas fisicamente semelhantes; a escala de uma grandeza qualquer é definida pela razão entre a grandeza Gm

relativa ao modelo e a grandeza homóloga Gp relativa ao protótipo.GpGm

G =λ

Semelhança Mecânica

Para que entre modelo e protótipo exista semelhança mecânica devem ser obedecidas as seguintes condições:



• Devem ser geometricamente semelhantes, isto é, deve ser possível a

definição de escala de comprimentos: pm

Ll

l=λ

• As trajetórias homólogas devem ser linhas semelhantes com a mesma escala, devendo ser os trechos homólogos percorridos em tempos tais

que: tptm

T =λ

Sendo determinada escala de tempos . A existência das escalas se caracteriza a semelhança cinética.

• Entre as massas de porções homólogas deve existir a relação constante:

MpMm

M =λ

Sendo denominada escala de massas.

Somente as escalas λL, λT, λM podem ser definidas arbitrariamente, quer dizer, todas as escalas das grandezas mecânicas terão suas escalas escritas em função dessas três. Essa é a lei básica da semelhança mecânica. Estendida às grandezas térmicas, elétricas, etc..., constitui o principio básico da semelhança física. Estabelecimento de Escalas

Como conseqüência direta da definição de escala, uma equação dimensional ligando grandezas físicas, deve ser idêntica à equação que relaciona as grandezas correspondentes. Exemplos:

área [A] = L2 λA = λL2

aceleração [a] = LT2 λa = λL λT2

força [F] = [m].[a] λF = λM λL λT-2

densidade [ρ] = ML-3 λρ = λM λL-3 ∴ λM = λρ λL

3

Neste texto somente serão analisados problemas simples onde a única força dominante é a Força da Gravidade, como no caso de modelos de navios, barragens, ancoradouro, ressaltos hidráulicos, vertedores, etc...

Impondo-se essa condição, a partir da equação dimensional da grandeza dominante, a aceleração da gravidade, pode-se estabelecer a relação entre a escala dos tempos e a escala dos comprimentos:

g

LT

2TLg

2 LT]g[λλ

=λλλ=λ= −−

A seguir o estabelecimento de algumas escalas importantes na solução de

problemas levando-se em conta que: 21

LT2

TLg e λ=λλλ=λ −

- vazão [θ] = L3T-1 = 25

21

LL3

L1

T3

Lo λ=λλ=λλ=λ −−/

- velocidade [v] =LT-1 = 21

21

LLLv−− λ=λλ=λ

- força [F] = MLT-2 = 3

L2

TL3

L2

TLMF λλ=λλλλ=λλλ=λ ρ−

ρ−

- potência [P] = ML2T-3 = 27

L3

T2

L3

LP λλ=λλλλ=λ ρ−

ρ



EXERCÍCIOS 1. A Torre Eiffel tem 300 m de altura e massa 7000t. Deseja-se construir um modelo

de mesmo material, na escala linear de 1:10. Calcule a altura e a massa do modelo.

2. Ensaia-se um modelo de vertedor construído na escala linear 1:10. Sendo a

velocidade num ponto do modelo 1 m/s, qual será a velocidade no ponto correspondente do protótipo?

3. Que força seria exercida pela água contra uma parede, se um modelo de 1m de

comprimento, constituído na escala linear de 1:36, experimenta-se a ação de uma onda de força 10N?

4. Um modelo de navio construído na escala linear 1:100, quando ensaiado em

água doce (ρ = 1g/cm3), sofre a ação de uma força resistente de 10 N na velocidade de projeto. Calcule a correspondente força resistente das ondas do mar (ρ = 1030 g/cm3) no protótipo.

5. Uma fábrica de locomotivas quer construir a título de propaganda, um modelo

reduzido de suas locomotivas. O projetista do modelo recebe os seguintes dados: - comprimento da locomotiva = 16 m - velocidade, via horizontal e sem curvas = 80 km/h - potência da máquina = 3000 cv - peso da máquina = 1200 kN

O modelo da máquina deverá ter 1 m de comprimento e será construído com o mesmo material da mesma. Determine a potência, velocidade e o peso do modelo.

6. Tem-se uma locomotiva de comprimento 20m, peso 100kN e velocidade 20m/s, feita com material com massa específica 4000 kg/m3. Deseja-se construir um modelo para ser ensaiado em outro lugar que tenha peso 32kN, velocidade 576 km/h e massa específica 8 g/cm3. Calcule o comprimento do modelo.

7. Tem-se um veículo de comprimento 16m e peso de 400 kN, feito com material de

massa específica 8 g/cm3. Deseja-se construir um modelo para ser ensaiado em outro local com 1m de comprimento e peso de 10 kN, feito com material de massa específica 800 kg/m3. Calcule a velocidade correspondente do veículo quando a do modelo for 40 km/h.

8. Um veículo de comprimento de 3 m e peso de 20 kN funciona na Terra (g=10

m/s2) com potência de 1000cv. Qual será a potência de um segundo veículo em outro planeta (g=5 m/s2).



Capítulo 2 – Estática do Movimento

Vetores

A matemática é o instrumento básico que os cientistas e engenheiros usam para descrever o comportamento dos sistemas físicos. As grandezas físicas que têm propriedades numéricas e propriedades de direção são representadas por vetores .

Exemplos de grandezas vetoriais são; a força, a velocidade e a aceleração.

As grandezas físicas que encontramos no nosso curso se enquadram em duas categorias: ou são escalares; ou são vetores .

“Escalar” só tem módulo e não tem direção. Por outro lado, um “vetor” é uma grandeza física que deve ser definida não só em módulo, mas também em direção.

O número de laranjas numa cesta é um exemplo de grandeza escalar. Se lhe disserem que 38 laranjas se encontram na cesta a informação identifica plenamente o objeto; não há necessidade de qualquer direção. Outros exemplos de escalares são a temperatura o volume, a massa e os intervalos de tempo. A força é exemplo de grandeza vetorial. Na descrição completa da força sobre um corpo, devemos especificar a direção da força aplicada e um número dimensional que indica o módulo da força. Ao descrevermos o movimento (velocidade) de um corpo, devemos especificar a sua rapidez e também a direção do movimento.

Outro exemplo simples de grandezas vetorial é o deslocamento de uma partícula, definido como a mudança de posição da partícula.

É importante acentuar que a distância percorrida por uma partícula é distintamente diferente do deslocamento da partícula. A distancia percorrida (grandeza escalar) é o comprimento da trajetória, que em geral é muito maior que o módulo do deslocamento. Além disso o módulo do deslocamento é a menor distancia entre os dois pontos terminais.

fig. Quando uma partícula se move, de O até P, sobre a curva tracejada, seu vetor deslocamento é a seta de O para d.

O

d



Há muitas grandezas físicas, além do deslocamento, que são vetores. Entre elas, estão a velocidade, a aceleração, a força, o momento, as quais serão definidas posteriormente. “ Estratégia para resolução de Problemas ” Recomenda-se para efetuar a adição de dois ou mais vetores, o seguinte procedimento:

1º. Escolher um sistema de coordenadas

2º. Fazer um diagrama dos vetores que vão ser somados (ou subtraídos) identificando-se cada um deles.

3º. Determinar os componentes “X” e “Y” de todos os vetores.

4º. Achar os componentes resultantes e a soma algébrica dos componentes, nas direções x e y.

5º. Usar o Teorema de Pitágoras para calcular o módulo de vetor resultante.

6º. Usar uma função trigonométrica apropriada para achar o ângulo do vetor resultante com o eixo dos x.

EXEMPLOS 1. Achar as componentes horizontal e vertical do deslocamento de 100m de um

super herói que voa do topo de um edifício alto, seguindo a trajetória que aparece na figura.

RESOLUÇÃO dx = 100 . cos 30º

dy = - 100 sen 30º

dx = 100 . 0,866 = 86,6m

dy = - 100 . 0,5 = - 50,0m

2. Uma excursionista principia um passeio com uma caminhada de 25km para sudeste, a partir do campo. No segundo dia, anda 40 km ao rumo 60º, ao norte do leste. Neste ponto encontra uma torre de vigia da guarda florestal. Determinar as componentes cartesianas dos deslocamentos da excursionista, no primeiro e no segundo dias.

x

dy

y

dx 30º



SOLUÇÃO a) Se os vetores deslocamento forem A e B, no primeiro e no segundo dias,

respectivamente, e se o campo de base for a origem das coordenadas, o gráfico dos vetores é o que se encontra na figura acima. O deslocamento A tem o módulo de 25,0 km e aponta no rumo 45º ao sul do leste. As suas componentes cartesianas são:

Ax = A cos 45º = 25 . 0,707 = 17,7 km

Ay = -A sen 45º = - 25 . 0,707 = 17,7 km

O valor negativo de Ay, indica que a coordenada Y diminui nesse deslocamento. Os sinais de Ax e de Ay também são na figura. O segundo deslocamento B tem o módulo 40,0km e está no rumo 60° ao norte do leste. As componentes retangulares são:

Bx = B cos 60º = 40 . 0,50 = 20,0km

By = B sen 60º = 40 . 0,866 = 34,6km

b) Determinar as componentes cartesianas do deslocamento total da excursionista, na caminhada completa.

O deslocamento resultante da caminhada R = A +B tem as componentes dadas por.

Rx = Ax + Bx = 17,7km + 20,0km = 37,7 km

Ry = Ay + By = - 17,7 km + 34,6 km = 16,9 km



Objetivo : Definir “Força”

Compor “Forças Coplanares”

"Resultante de Forças Coplanares”

“Noções de Equilíbrio”

Introdução à “Estática”

“1ª e 3ª Leis de Newton”

RESUMO DA AULA

Forças

Uma utilização importante da álgebra vetorial está na sua aplicação à composição de forças. A definição precisa de força será analisada quando discutirmos a dinâmica do movimento. Contudo para ganhar prática na manipulação de vetores, consideraremos agora o problema da composição de forças e, em particular, o equilíbrio de forças, problema este de vasta aplicação na engenharia. Admitiremos, provisoriamente, uma noção intuitiva de força, proveniente da experiência quotidiana como por exemplo, da força necessária para empurrar ou puxar uma determinada carga, da força exercida por algumas ferramentas, etc... Essa noção intuitiva sugere que uma força é uma grandeza vetorial, dotada consequentemente, de intensidade, direção e sentido. A experiência confirma que as forças se combinam de acordo com as regras da álgebra vetorial. Neste capítulo, consideraremos somente forças aplicadas a pontos materiais ( ou partículas ) e a corpos rígidos.

Composição de Forças Coplanares

Resultante R de um sistema de forças, é a vetorial das forças componentes do sistema:

∑==+++= iFRFFFR n21

rrrL

rrr

Duas forças F1 e F2 concorrentes ( Regra do Paralelogramo)

φ⋅++= cosFF2FFR 2122

21

2

2

1

1

Fsen

Fsen

Rsen φ

=φ

=φ

∅

∅1

∅2

1Fr

2Fr

Rr



Casos particulares:

a) forças de mesma direção e mesmo sentido

b) forças de mesma direção e sentido oposto

c) forças perpendiculares entre si

1

2

FF

tg =φ

22

21 FFR +=

APLICAÇÕES 1. Um barco navega para o norte com uma velocidade de 12 nós. Sabendo-se que

a velocidade da maré é de 5 nós e dirigida para o oeste, calcular o módulo, direção e sentido do vetor velocidade resultante do barco.

22 512R += 25144R += R = 13 nós

tg 42,0125tg ==θ θ = arc tg 0,42

θ = 23º para oeste a partir do norte

2. Decompor um vetor força, de 1000N, que forme um ângulo de 53° com a

horizontal, em suas componentes vertical e horizontal.

Fx = 1000 cos 53° = 1000 . 0,602 = 602 N

Fy = 1000 sen 53° = 1000 . 0,799 = 799 N

Existindo mais que duas forças, podemos usar:

Método da Poligonal de forças (gráfico)

2Fr

1Fr

Rr

21 FFR +=

2Fr

1Fr

0 0 Rr

12 FFR −=

∅

2Fr

1Fr

Rr

Norte

12

R

5

θ

Fy 1000N

53º

Fx



Escolhe-se um sistema cartesiano Oxy conveniente e calculam-se as componentes cartesianas de cada força (Fix e Fiy). De acordo com as convenções usuais, as componentes cujos sentidos concordam com o eixo são positivas; caso contrário, são negativas. As componentes cartesianas Rx e Ry da resultante são perpendiculares entre si; somando-se vetorialmente essas duas componentes pela regra de paralelogramo, obtêm-se a resultante R.

∑= FixRx ∑= FiyRy

22 RyRxR +=

RxRy

Tg =φ

*** Lembre-se que uma força fica definida só quando conhecemos seu módulo, direção, sentido e o ponto de aplicação.

APLICAÇÃO 1. Achar a resultante dos vetores força coplanares, aplicados a um corpo num

ponto A, de uma estrutura metálica

º30cos11º45cos16º60cos1519Fx −−+=∑

5,93,115,719Fx −−+=∑

7,5Fx +=∑ N

º30sen11º45sen16º60sen15Fx −−=∑

0,125,53,1113Fx −−+=∑

8,6Fx +=∑ N

( ) ( )22 8,67,5R +=

9,8R = N

127,58,6

Tg ==θ

2,1tgarc =θ

º50=θ

Equilíbrio Esta e as demais aulas a seguir, tratam das condições em que um ponto material ou um corpo rígido, estão em equilíbrio .

O termo “Equilíbrio ” significa que o corpo ou esta em repouso ou que seu centro de massa se move com velocidade constante. Trataremos dos corpos em repouso ou corpos em “equilíbrio estático ”

y

yRr

xRr

x

Rr

φ

5,7N

6,8N Rr

∅

60º 45º

30º

y

x A



Esta é uma situação comum na prática da engenharia, e os princípios invocados têm especial interesse para a engenharia civil, para os arquitetos e para os engenheiros mecânicos, que operam com diversos projetos estruturais, como, por exemplos os de pontes, edificações, máquinas, eixos etc. ...

Estática

“A Estática é a parte da Mecânica que estuda o equilíbrio dos corpos sob a ação de forças”. Relativamente ao referencial adotado um corpo se diz em equilíbrio, quando se apresenta em repouso (equilíbrio estático) ou executa translação retilínea uniforme ou ambas combinadas (equilíbrio dinâmico). Em problemas comuns de Engenharia e Arquitetura pode-se considerar o equilíbrio em relação a um referencial preso à Terra (referencial de Foucault), desprezando-se os efeitos de rotação da Terra em relação às estrelas. Com “Estas Observações”, é intuitivo no que: “A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, é que a resultante de todas as forças externas que atuam sobre o mesmo seja nula, e que, o momento resultante de todas essas forças externas que atuam sobre o mesmo seja nula, e que, o momento resultante de todas essas forças externas, também seja nulo”.

“1ª e 3ª Leis de Newton ”

Antes de enunciarmos a primeira lei de Newton, consideremos a seguinte experiência simples. Suponhamos que um livro, esteja sobre uma mesa. É evidente que, na ausência de perturbações externas, o livro permanecerá sobre a mesa. Imagine agora alguém empurrando o livro com força suficiente que supere a do atrito, que é uma força que, em geral, se acha presente, entre o livro e a mesa.

O livro pode ser mantido em movimento, com velocidade constante, se a força aplicada tiver módulo igual ao da força de atrito e direção oposta à força de atrito. Se a força aplicada por maior que a do atrito, o livro será acelerado.

Se deixarem de empurrar o livro, ainda assim ele deslizará, até cera distância, mas acabará parando pois a força de atrito reduz seu movimento (ou provoca aceleração negativa). Imagina agora que o livro seja empurrado sobre uma mesa muito lisa, bem encerrada. O livro acabará parando, mas não rapidamente como antes. Se você puder imaginar a possibilidade de uma mesa tão lisa que não cause nenhum atrito, o livro, uma vez posto em movimento, só irá parar se encontrar algum obstáculo.

Isaa

c N

ewto

n (

1642

-172

7)

Físico e Matemático inglês, foi um dos mais brilhantes cientistas da história. Antes dos 30 anos de idade, formulou os conceitos básicos e as leis da mecânica, descobriu a lei da gravitação universal e inventou os métodos matemáticos do cálculo



Nos idos de 1600, mais ou menos, os filósofos pensavam que o estado natural da matéria fosse o estado de repouso. Galileu foi o primeiro a defender um ponto de vista diferente sobre o movimento e o estado natural da matéria. Mediante experiências imaginadas, como a de um corpo em movimento sobre uma superfície sem atrito, concluiu que não é da natureza de um corpo parar uma vez posto em movimento, mas ao contrário, é de sua natureza resistir à desaceleração e à aceleração. Essa nova visão sobre o movimento foi formalizada posteriormente por Newton num enunciado que ficou conhecido como o da “primeira Lei de Newton”.

“Um corpo em repouso permanecerá em repouso, e um corpo em movimento continuará em movimento, com velocidade constante (isto é, em movimento retilíneo e uniforme), a menos que sobre ele atue uma força externa resultante diferente de zero”.

de maneira mais simples:

“Quando a força resultante que atua sobre um corpo é nula, a sua aceleração é nula”.

ou seja:

“ Quando F = 0 então a = 0 ”

A terceira lei de Newton afirma que quando há interação de dois corpos, a força que o corpo 2 exerce sobre o corpo, 1 é igual e oposta à força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2. Isto é

F12 = - F21

Terceira Lei de Newton

Terceira Lei de Newton. (a) A força de um corpo 1 sobre um corpo 2 é igual e oposta à força do corpo 2 sobre o corpo 1. (b) A força do martelo no prego é igual e oposta à força do prego sobre o martelo.



Objetivo : Enunciar, explicar e aplicar o “ Teorema de Lamy ”

Vínculos (reações vinculares)

Teorema de Lamy

“Um sólido quando em equilíbrio, sob a ação de apenas três forças externas, não paralelas, o módulo de cada uma das forças é proporcional ao seno do ângulo formado entre as outras duas forças”.

γ=

β=

α sen

F

senF

senF 321

Vínculos, Reações Vinculares

VÍNCULO: qualquer elemento que restrinja os movimentos de um corpo. REAÇÃO VINCULAR: é a força com a qual o vínculo atua sobre o corpo. A introdução das reações vinculares geralmente facilitam a solução de um determinado problema, uma vez que, introduzindo-as, não mais é necessário preocupar-se com os vínculos, pois o efeito mecânico deles passará a ser representado pelas reações vinculares. a) fio ideal e flexível, inextensível e possui massa desprezível. A força exercida por

um fio ideal é sempre de tração; o fio somente pode tracionar, nunca empurrar. O fio transmite a força aplicada em um extremo para o outro.

b) superfícies ideais – (perfeitamente lisas)

Uma superfície é lisa quando se pode desprezar em primeira aproximação, o atrito de um corpo sobre ela.

Desse modo, uma superfície lisa, somente impede o corpo de se movimentar na direção da perpendicular comum às superfícies dos corpos em seu ponto de contato. Assim a reação N

r de uma superfície lisa, ou de um apoio, é de

compressão e tem direção da normal comum às superfícies dos corpos.

1 2

T1 T2 T1=T2

3Fr

sólido

1Fr

2Fr

αβ

γ



Quando uma das superfícies de contato é um ponto, a reação normal Nr

tem a direção da normal à outra superfície BN

r.

c) superfícies reais (ásperas) - Considerar um corpo apoiado sobre uma superfície

áspera S; a superfície exerce no corpo uma força de contato Fr

, que admite uma componente normal N

rde compressão e uma componente tangencial Fat,

denominada força de atrito de escorregamento.

Força de atrito de escorregamento é a componente tangencial da força de contato entre os corpos; ela contraria o deslizamento ou a tendência de deslizamento de um corpo sobre o outro.

As forças de atrito se desenvolvem porque a superfície de um sólido real sempre apresenta asperezas, mesmo que sejam microscópicas.

O atrito se diz estático quando não há deslizamento, é dinâmico quando há deslizamento das superfícies em contato.

APLICAÇÕES: 1. Considere os sistemas em repouso indicados nas figuras. Calcule as forças

tensoras nos fios:

A

B

BNr

ANr

Nr

T3

T2

T1

T4 100 N

100 N

53°

37°

(a)

37°

T1

T2

T3 T4

53°

53°

100 N (b) 100N

T1 T2

T4

T3

45º 60º 75º

30º

(c)



SOLUÇÃO: C)

º30sen100

º165senT

º165senT 43 ==

º30senº165sen

100TT 43 ⋅==

º30senº165sen

100TT 43 ⋅==

D)

º75senT

º135senT

º150senT 312 ==

N8.26º75senº150sen

8,51T2 =⋅=

N9,37º75senº135sen

8,51T1 =⋅=

QUESTÃO – Despreze os atritos e considere o sistema da figura. A esfera pesa 100 N, o bloco A pesa 20 N e a reação do ponto D vale 75 N. Calcule a reação no ponto C e o peso do bloco B.

30º

165º 165º

T4

T3

75º

135º 150º

T2

T1

T3

A D

B 30º



COMPLEMENTAÇÃO DA AULA

REFERENCIAIS INERCIAIS - LEI DA INÉRCIA A primeira Lei de Newton, também chamada lei da inércia , define um conjunto especial de sistemas de coordenadas denominadas, referenciais inerciais. “Um referencial inercial é um referencial em que é válida a primeira lei de Newton”.

Um sistema de coordenadas que tem velocidade constante em relação às estrelas muito distantes é a melhor aproximação que se tem um referencial inercial. A Terra não é um referencial inercial, em virtude do movimento de translação em torno do Sol e também do movimento de rotação em torno do seu eixo.

Quando a Terra percorre sua órbita quase circular em torno do Sol, tem uma aceleração centrípeta, dirigida para o Sol, da ordem de 4,4 . 10-³m/s². Alem disso uma vez que a Terra gira em torno do seu eixo, uma vez a cada 24h um ponto do equador terrestre tem uma aceleração centrípeta adicional de 3,37 . 10-²m/s², dirigida para o centro da Terra. Essas duas aceleração são pequenas em relação à aceleração da gravidade g (9,80m/s²) e podem-se, muitas vezes, ser desprezadas. Na maioria das situações, vamos admitir que a Terra seja um referencial inercial.

Assim, se um corpo estiver em movimento retilíneo e uniforme ( v = constante ), um observador num referencial inercial (por exemplo, um referencial que esteja em repouso em relação ao corpo) dirá que a aceleração do corpo e a força resultante que atua sobre o corpo são nulas.

Um observador em qualquer outro referencial inercial também dirá que a = 0 e F = 0, para o mesmo corpo. Então a primeira lei afirma que são equivalentes um corpo em repouso e um outro que se move com velocidade constante. A menos que se diga outra coisa, vamos escrever, usualmente, as leis do movimento em relação a um observador “em repouso” num referencial inercial.



Objetivo : Introduzir noções de “Equilíbrio”

RESUMO DA AULA

Se um corpo estiver estacionário e permanecer estacionário, diz-se que o corpo está em equilíbrio estático. A determinação das forças que atuam sobre um corpo em equilíbrio estático tem muitas aplicações importantes, particularmente em Engenharia. Por exemplo, as forças exercidas pelos cabos de uma ponte pênsil precisam ser conhecidas a fim de que os cabos sejam projetados de modo a poder suportá-las. Analogamente, os guindastes devem ser projetados de modo a não tombarem, ao içarem uma carga. As colunas que sustentam uma ponte suspensa precisam ser suficientemente fortes, para não desmoronarem devido ao peso da ponte e ao tráfego que passa sobre ela; o trem de pouso de uma aeronave não poderá quebrar se o piloto fizer uma aterrissagem ruim; uma cadeira não pode ruir ou tombar quando nos sentamos nela. Em todos os problemas desse tipo, o projetista se preocupa com o fato de que todas estas estruturas, supostamente rígidas permaneçam rígidas sob a ação de forças e torques associados.

Noção de Equilíbrio Estático

Sabemos que a quantidade de movimento ou movimento linear são dadas por:

vmprr

=

Por outro lado, força também pode ser definida como sendo o agente capaz de

modificar o vetor p em relação ao tempo, portanto se

0dtdp ≠ ⇒ tem força externa

0=dtdp

⇒sem força externa

mdtdp =

dtdv

0=dtdmv

Quando a massa (m) é constante e o vetor v também, temos que v não varia nem de intensidade nem de direção.

Se v constante é igual à zero

0Fext =



Equilíbrio Estático Algumas Considerações sobre Momento Linear e Momento angular Momento Linear de Uma Partícula;

Momento linear de uma partícula é um vetor p definido como o produto da massa m pela sua velocidade v

p = m . v

A taxa de variação do momento linear de um corpo é igual à força resultante que atua nesse corpo e tem a mesma direção e sentido desta força.

Ou seja: ∑F = dtdp

Onde F representa a força resultante que atua na partícula. O momento linear é útil quando tratamos de movimento de translação de partículas ou sistema de partículas, incluindo corpos rígidos. Por exemplo: há conservação do momento linear nas colisões

Momento Angular de Uma partícula

No caso do movimento de rotação, o análogo do movimento linear é chamado de momento angular e é definido a seguir, para o caso especial de uma partícula. Considere uma partícula de massa m e momento linear p na posição r de um

referencial inercial. Por conveniência escolheremos os eixos x y para definirem p e

r (vide figura).

Definimos momento angular L da partícula em relação à origem 0 por L = r x p

O momento angular é um vetor. Enfatizando as Condições de Equilíbrio (importantís simo)



Um corpo rígido como uma cadeira, uma ponte ou um edifício, é dito estar em equilíbrio mecânico se, visto de um referencial inercial, tanto o momento linear, como o momento angular do corpo rígido, tiverem um valor constante. A definição de equilíbrio mecânico não exige que o corpo esteja em repouso, ou seja p e L não têm necessariamente o valor constante ou igual a zero. Se eles forem iguais a zero, então teremos a situação de “Equilíbrio Estático”. Neste capítulo, procuramos as restrições que devem ser impostas às forças e aos torques que agem no corpo para ocasionar uma condição de equilíbrio. O movimento de translação do centro de massa de um corpo rígido é dado pela equação.

dtdp

Fext =Σr

Onde =Σ extFr

soma de todas as forças externas que agem sobre o corpo.

Se p tiver qualquer valor constante, inclusive zero, teremos:

dtdp

= 0

Logo a primeira condição de equilíbrio é que “a soma vetorial de todas as forças externas que agem em um corpo deve ser nula”.

Ou seja: =Σ extFr

0

É uma equação vetorial que num corpo rígido é dado pela expressão:

=Σ extFr

dtdL

onde extFr

Σ = soma de todos os torques externos que agem sobre o corpo.

Se o momento angular L tiver qualquer valor constante, inclusive zero, teremos

dtdL

= 0

logo a segunda condição de equilíbrio é: “a soma vetorial de todos os torques externos que atuam em um corpo, deve ser nula”.

Ou seja ∑ T ext = 0

É uma equação vetorial que corresponde a três escalares.

∑ t x = 0 ∑ t y = 0 ∑ t z = 0

Freqüentemente lidamos com problemas em que todas as forças estão no mesmo plano. Neste caso as condições de equilíbrio se reduzem a:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0



E se calcularmos torques em relação a um ponto que também esteja no plano xy, todos os torques deverão ser perpendiculares ao plano xy.

Neste caso teremos ∑ T z = 0

Aplicação

1 – Uma viga uniforme de comprimento L, cuja massa m é de 1,8 kg, repousa com as suas extremidades sobre duas balanças digitais, conforme a figura. Um bloco cuja massa M é de 2,7 kg repousa sobre a viga, o seu centro situado a ¼ do comprimento da viga, em relação à extremidade esquerda. Quais as leituras das balanças?



Objetivo : Resolução de Exercícios, visando Equilíbrio Estático.

Aplicações Gerais

RESUMO DA AULA

1º Despreze os atritos e considere o sistema em equilíbrio indicado na figura. A esfera pesa 100 N e o bloco A 200 N. Calcule o peso do bloco B e a reação da parede vertical sobre a esfera. Solução :

Obtém-se facilmente que: equilíbrio de A: tração

TA = PA sem 45º

equilíbrio de B: tração TB = PB

equilíbrio de esfera:

∑ Fx = 0 TA cos45º - TB cos30º - Nc = 0

200 010021

22

.22 =−+ PB

B

A

45°

45°

30°



Calcula-se Nc = 100N

PB = 0

EXERCÍCIO PROPOSTO

Considere os sistemas em repouso indicados na figura. Calcule as reações em cada esfera, sabendo-se que elas são idênticas e tem peso de 48 N cada uma.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Na figura representa-se uma esfera de peso 1000N, presa a um fio e apoiada em um plano inclinado liso. Calcule a tração no fio e a reação do plano inclinado sobre a esfera. Solução

∑F x = 0

∑F y = 0

P sen45º - T cos15º = 0 N – P cos45º - T sen15º = 0 Obtém-se: T = 732N N = 897N

D

A C 37°

D

C

A

E

B

F

20°

45°

45°

15°

15°

45°

T

N

P



PROBLEMA PROPOSTO

Considere a figura. Calcule a força horizontal F aplicada ao centro de uma esfera de peso P = 1000N e raio r = 15 cm, necessária para arrastá-la sobre o obstáculo de altura h = 3cm.

F



Objetivo : Definir "Atrito Estático " - aplicações

Definir "Atrito Dinâmico " - aplicações.

RESUMO DA AULA

Atrito Estático

Só aparece quando há tendências de um corpo se deslocar sobre o outro.

O sentido da atFr

que um corpo A exerce sobre o outro B, e' sempre oposto ao do movimento que as demais forças agindo sobre B tentam lhe imprimir. (movimento relativo ao corpo A).

atFr

está compreendida entre zero e um máximo, denominado "força de destaque" e

dFr

é observada na iminência de movimento, superada a força de destaque vem o deslizamento.

NFF edestaquemáxat ⋅== µ

NestáticoF eat ⋅≤≤ µ.0

Atrito Dinâmico

Só aparece quando uma superfície desliza pressionada umas contra as outras. O sentido da força de atrito dinâmico que um corpo A exerce sobre um corpo B, é sempre oposto ao movimento de B em relação a A.

NF datdinâmico⋅= µ

O símbolo .dµ representa um número denominado coeficiente de atrito dinâmico correspondente ao par de superfícies em contato. Tal coeficiente é sensivelmente independente da área das superfícies em contato e da velocidade de uma em relação a outra. Para um mesmo par de superfícies a experiência mostra que

.dµ < .eµ Nas questões onde não se especifica se o coeficiente de atrito fornecido é o estático ou dinâmico, deve-se considerar

ed µ=µ

Costuma-se escrever as duas equações que fornecem as forças de atrito sem o índice de particularização:

N.Fat µ=

Exercício : Calcule o peso do corpo x para manter os sistemas em equilíbrio nas posições indicadas nas figuras.



Exercício Resolvido Considere a figura. Os blocos A e B têm os pesos indicados. Calcule o peso do bloco C para manter o sistema em repouso

Corpo (A) 0=∑ xF atfTA =

0=∑ yF NPANA 1000==

Nafat µ≤≤0 portanto

N200T0 A ≤≤

Corpo (C) 0=∑ yF PcTc =

Corpo (B) 0=∑ xF °+= 30senPBTATc

200

50400

+=×+=

TAPc

,TAPc

N200TA = N)máx(Pc 400200200 =+=

0=TA N200(min)Pc =

Para o repouso do sistema NPcN 400200 ≤≤ Complementação da Aula :

As observações experimentais se resumem nas seguinte leis do atrito. 1ª) A força de atrito estática entre duas superfícies em contato é oposta à força aplicada e pode ter valores dados por:

Nfs s ⋅= µ

1000 N

300

X µ = 0,2

450

X 12 N 450

10 N

µ = 0,5

450



onde a constante adimensional us é o coeficiente de atrito estático e N é a força normal. O sinal igual da equação acima, vale quando o bloco está a pique de iniciar o deslizamento, isto é, quando:

Nfsfs smáx ⋅== µ

A desigualdade prevalece quando a força aplicada é menor que esse valor. 2ª) A força de atrito cinético atuando sobre o corpo tem direção oposta à do movimento e esta representada por:

Nf kk .⋅= µ

onde kµ é o coeficiente de atrito dinâmico

3') Os valores de kµ e de sµ dependem da natureza das superfícies, mas kµ é, em

geral, menor que sµ . Os valores típicos de µ estão entre cerca de 0,05, em superfícies lisas, e 1,5 em superfícies rugosas. A tabela registra alguns valores medidos. Tabela 5.2 Coeficientes de Atrito (Todos os valores são aproximados)

sµ kµ

Aço sobre aço 0,74 0,57

Alumínio sobre aço 0,61 0,47

Cobre sobre aço 0,53 0,36

Borracha sobre concreto 1,00 0,80

Madeira sobre madeira 0,25-0,5 0,20

Vidro sobre vidro 0,94 0,40

Madeira encerada sobre neve molhada 0,14 0,10

Madeira encerada sobre neve seca - 0,04

Metal sobre metal (lubrificados 0,15 0,06

Gelo sobre gelo 0,10 0,03

Teflon sobre teflon 0,04 0,04

Juntas sinoviais, nos homens 0,01 0,003

Todos os valores são aproximados



Objetivo : Definir "Articulações " - Conexões de Pino

RESUMO DA AULA

O corpo indicado na figura, articulado mediante um pino cilíndrico, pode girar livremente ao redor do eixo e do pino; entretanto, o ponto 0 ligado ao pino não pode deslocar-se em nenhuma direção perpendicular ao eixo do pino. Por isso, a reação Fr

de um pino cilíndrico pode ter qualquer direção perpendicular ao seu eixo.

Desconhecem-se, portanto, a intensidade Fr

e a direção Fr

. Usualmente opera-se com as componentes cartesianas xF

r e yF

r:

FxFy

o

FxF

o sen FFy

o cos

22

=/

+=

/=/=

tg

Fy

FFx

Os sinais de Fx e Fy :obtidos mediante cálculos, através das equações de equilíbrio,

confirmam ou não os sentidos adotados para xFr

e yFr

:.

APLICAÇÕES

Exercícios: 1. Nos sistemas em repouso indicados nas figuras, o peso do corpo Suspenso vale 1k N e o peso da barra articulada é desprezível. Calcule as reações nos pontos A e B.

Fx

Fy F

o/

B

A •

(a)

30°

Fio C

•

B

A

Fio

C 45°

60°

• 30° 45°

Fio

C

A B

(b) (c)



Exercício Resolvido

N 173023

2000 30 cosRA T

N 2000

20005,0

100030

1000

0 1000 - 30 sen

0 T - 30 cos

=

⋅=°=

=

==°

=

=°=

=°=

∑∑

T

RAsen

RA

RAFy

RAFx

2. Considere a figura; o peso da barra é desprezível. Conhecendo-se a força tensora em um dos fios, calcule a força tensora no outro fio e a compressão da barra

Solução : A barra está sujeita à ação de 4 forças, pois seu peso é desprezado. As 3 forças concorrem no ponto D; logo a 4ª força, a reação da articulação F também deve concorrer em D

r. Deduz-se que a força F

r tem a direção da barra.

•

(a)

B

A

30°

Fio

1000 N

30°

1000 N x

y

T

RA

•

C

A

400 N

D

45°

30°

100 N B



∑ = 0Fx °+=° 4510030 cosTsenF

∑ = 0Fy 4004530 =°+° senTcosF

resolvendo

NT

NF

117

366

==

(b) N,T

N,F

574

6250

==



Objetivo : Introduzir noções sobre o "Equilíbrio do Corpo Rígido ".

RESUMO DA AULA

Corpo Rígido

Corpo Rígido ou sólido perfeito é aquele que não se deforma quando submetido a ação de forças; admite-se que a distancia entre seus pontos seja invariável. ***, Na realidade todos os corpos são deformáveis, podendo se plásticos (deformação persiste após ,cessada a força) e elásticos (volta a sua configuração natural, após cessada a força). Os corpos deformáveis senão estudados na Resistência dos Materiais.

Momento Polar de Força

Um corpo sujeito á ação de uma força, além de sofrer transformação pode girar em tomo de um ponto. Essa rotação é medida por meio do momento dessa força em relação ao polo. (momento escalar)

Momento escalar : b.Fbraço)F(M ±=±=r

0

"É o produto da força (F) pelo braço b, precedido pelo sinal + ou - o qual depende do sentido de rotação da força".

É usual: sinal + momento no sentido anti-horário Sinal - momento no sentido horário ***braço = é sempre a menor distância que vai da linha ação da força, até o polo. ***quando a linha de ação da força passa pelo polo, o braço é nulo, portanto o momento é nulo. ***unidade de M (momento) é no SI o Newton . metro (N.m).

Condições Gerais de Equilíbrio para o Corpo Rígido

DEFINIÇÃO DE EQUILÍBRIO Um corpo está em equilíbrio em relação a translação quando está em repouso ou quando se acha animado de movimento retilíneo e uniforme. Igualmente o equilíbrio relativo à rotação correspondente ao de um corpo desprovido de rotação ou animado, de uma rotação uniforme em torno de um eixo.



Um corpo sobre o qual age um sistema de força esta em equilíbrio, quando tal sistema de forças aplicadas simultaneamente não produz mudança alguma em seu movimento de translação (retilínea) nem no de rotação.

Condições de Equilíbrio Sob a Ação de Forças Coplan ares Paralelas.

1.a. "A soma das forças aplicadas a um corpo numa direção qualquer deve ser nula". Isto quer dizer que a soma das forças para cima é igual à das forças para baixo e o mesmo para as forças agindo em outras direções, tais como para a esquerda, para a direita etc... Quando é preenchida esta condição, nenhuma força está desequilibrada e, portanto este não possuirá aceleração linear, ou seja, o sistema de forças não produzirá modificação alguma no movimento linear ou de translação do corpo. 1.b. A soma algébrica do momento de todas as forças aplicadas a um corpo com relação a um eixo perpendicular ao plano que as contém deve ser zero. Isto quer dizer que a soma dos momentos relativo a um eixo qualquer no sentido dos ponteiros do relógio é igual A soma dos momentos em sentido contrário, relativo ao mesmo eixo. Verificando-se esta condição nenhum momento ou conjugado aplicado ao corpo estará desequilibrado e portanto este não possuirá aceleração angular. Em outras palavras o sistema de momentos não produzira' modificação alguma no movimento angular ou de rotação do corpo. Se inicialmente ele se encontrava em repouso continuará neste estado indefinidamente e se inicialmente possuía um movimento de rotação, continuará com ele na mesma velocidade angular (movimento de rotação uniforme). Observação : Centro de Gravidade de um corpo: é o ponto no qual se pode considerar concentrado todo o seu peso; isto é, a direção ou linha de ação do peso passa pelo centro de gravidade. Uma força vertical, com sentido para cima, cujo módulo seja igual ao peso do corpo, aplicada ao seu centro de gravidade, manterá o corpo em equilíbrio.

APLICAÇÃO 1. Achar o comprimento dos braços de uma balança de 36cm de largura sabendo

que permanece em equilíbrio. Quando de suas extremidades pendem dois pesos 10 N e 20 N , respectivamente. Supõem-se que a balança não tem peso e está em equilíbrio.



0106320

03601020

=−+−==−+−=

x,.xM

x),(.xM

A

A

mx

x

x.x

12,0

6,330

6,31020

=−=−−=−−

Obs.: Note que este exercício enuncia que o sistema está em equilíbrio, daí impormos a condição de equilíbrio de rotação universal ∑ = 0AM

Problemas Propostos 1. Uma viga uniforme, horizontal, de comprimento 8 m e peso 200 N, está fixa a

uma parede vertical por uma articulação que permite a sua rotação num plano vertical. Na outra extremidade, a viga esta suportada por um cabo que faz um ângulo de 53° com a horizontal. Se uma pessoa de 60 0 N estiver a 2 m da parede, calcular a tensão no cabo e a força exercida pela viga sobre a parede.

(a) viga uniforme suportada por um cabo.

(b) Diagrama de forças desta viga.

Resp.:

NR

º,

NT

518

171

313

==θ=

2. Uma escada uniforme, de comprimento l e peso W=50N está encostada numa parede vertical, lisa. O coeficiente de atrito estático, entre o pé da escada e o solo, é 400,=µ . Achar o ângulo mínimo, θ mínimo, tal que a escada não escorregue.

0,36 m

10 N 20 N A

0,36 - x X



(a) Escada uniforme, em repouso, apoiada em uma parede lisa. O solo oferece

atrito.

(b) Diagrama de forças da escada. Observe que as forças R, W e P passam pelo ponto comum 0'.



Objetivo : Resolver problemas que envolvem o conceito de "Momento" (Torque).

RESUMO DA AULA

1. Considere a viga abaixo submetida as forças indicadas, calcule a resultante bem como seu ponto de aplicação;

a) Resultante −↓+↑ N10020530R −=−−−−=

o sinal "-" que dizer que a resultante é para baixo o sinal "-" que dizer que a resultante é para baixo b) Ponto de aplicação

O M0 da resultante R será igual ao M0 de todas as outras forças aplicadas á viga.

m92010092

305012100

5102015040030

,x

x

x

,.,,.,.x.R

=

=

−−−=−−−−=−

então a resultante R está aplicada a 0,92m de 0 2. Dobra-se um perfil uniforme de ferro de 40cm de comprimento em ângulo reto,

obtendo-se um perfil L de 15 x 25cm. Se se suspende a vara assim dobrada como se indica na figura, achar o ângulo que formará com a vertical o lado que mede 25cm quando o sistema se achar em equilíbrio.



MP=0

0x15x25 12 =ω+ω− (I)

Seja ω o peso por cm de perfil, dai 15 ω e 25 ω

φ==φ

φ==φ

sen5,7x 5,7

xcos

sen5,12x 5,12

xsen

11

22

substituindo em I

36,0tg

5,3125,112

cossen

cos5,112sen5,312

cos5,7.15sen5,12.25

=φ

=φφ

φ−=φ−φω−=φω−

portanto °≅φ

°=φ20

8019,

Problemas propostos : 1. O conjunto indicado na figura é estático. A viga homogênea pesa 400 N. Tem-se

AC =0,9m e BC = 0,7m. Calcule as reações sobre a viga em; A e C.

B

D C

A

53º

FIO

100 N

••••



2. 0 sistema indicado na figura é estático. A barra homogênea vertical tem peso 20 N e a esfera homogênea 75 N. Tem-se AC =100cm; AB =60cm e AE =40cm. Despreze os atritos e calcule as reações em A, C, D e E.

Exercício proposto : Deseja-se fazer um cilindro, de peso W e R, subir um degrau de altura h, como mostra a figura. Uma corda está enrolada no cilindro e é puxada na horizontal. Admitindo que o cilindro não escorregue no degrau achar a força mínima necessária F para fazer o cilindro vencer o degrau e calcular a força de reação em P.

(a) Cilindro, de peso W, puxando por uma força F contra um degrau.

(b) O diagrama de forças do cilindro, quando estiver a pique de subir o degrau.

(c) A soma vetorial das três forças externas é nula.

80N

53º

F

B

E

C

D

•••• ••••

Fio



Capítulo 3 – As Leis do Movimento Objetivo:

• Conceituar Força • Primeira Lei de Newton • Massa Inercial • Segunda Lei de Newton (A Partícula sob a Ação de uma Força Resultante) • Terceira Lei de Newton

Resumo da Aula:

A Dinâmica é a parte da Mecânica que relaciona os movimentos dos corpos com as causas que os produzem.

Neste capítulo resolveremos os seguintes problemas: • Quais as condições que devem existir para que uma partícula tenha um

dado movimento; • Que movimento uma partícula realiza sobre certas condições. A palavra partícula é usada como sinônimo de ponto material, ou seja, como

um corpo cujas dimensões são desprezíveis em relação ao comprimento de sua trajetória.

Pela experiência sabemos que o movimento de um corpo é o resultado de sua interação com os outros corpos que o cercam. As interações são convenientemente descritas por um ente chamado força.

A Dinâmica tem por base um conjunto de princípios que são muitas vezes

designados pelo nome de Leis de Newton do Movimento. Lembre-se que os princípios da Dinâmica são enunciados em relação a sistemas de referenciais desprovidos de aceleração (sistemas inerciais)

São eles: Princípio da Inércia (1ª Lei de Newton) Se um corpo estiver em repouso (((( ))))ov ==== , tende a ficar em repouso (equilíbrio

estático).

Se um corpo estiver em movimento retilíneo e uniforme ( )ctev = tende a ficar realizando esse movimento (equilíbrio dinâmico), ou seja: “Uma partícula não pode modificar, por si só, o seu estado de movimento”.

ou seja: sob a ausência ov = - repouso (equilíbrio estático)

de forças ctev = - movimento retilíneo e uniforme (equilíbrio dinâmico)

Obs.: Este princípio é aproveitado no lançamento de naves espaciais. As mesmas são lançadas de tal maneira que uma vez livres da resistência do

ar da atração da Terra, tenham velocidade dirigida para o astro que devem atingir. A nave espacial manterá essa velocidade durante dias, meses, anos até

entrar no campo gravitacional do astro ou até que o centro do controle provoque o disparo de foguetes da astro-nave para modificar sua velocidade.



Princípio da Proporcionalidade ou Principio Fundame ntal da Dinâmica (2ª Lei de Newton)

Uma partícula sujeita à ação de uma força adquire uma aceleração com as seguintes características:

• Módulo: proporcional ao módulo da força • Direção: a direção da força • Sentido: o sentido da força Imagine uma experiência onde uma partícula é submetida sucessivamente a

diferentes forças, esquematizando:

1F 1a

2F 2a

3F 3a

nF na

verifica-se que: n

n

a

F

a

F

a

F

a

F================ LL

3

3

2

2

1

1 = constante

Esta constante recebe no nome de massa inercial da partícula ou simplesmente massa da partícula, sendo representada por um m. Quanto maior a massa de uma partícula, maior a sua inércia. Assim sendo é mais fácil empurrar uma caixa de fósforo, do que um caminhão. Da mesma forma, é mais fácil parar uma bola em movimento do que um carro também em movimento.

ma

F

a

F

a

F

a

F

n

n==================== LL

3

3

2

2

1

1 então m

a

F==== ou seja amF =

portanto, levando em conta a natureza vetorial teremos a Equação Fundamental da

Dinâmica amF = Princípio da Ação e Reação (3ª Lei de Newton) “A toda ação corresponde uma reação de mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto”.



Note que a ação e reação jamais atuam sobre a mesma partícula, pois isto violaria o princípio da proporcionalidade entre força e aceleração. Referencial Inercial São aqueles em relação aos quais vale o princípio da inércia. São referenciais inerciais:

a) Referencial de Copérnico ou referencial inercial primário: é formado por três eixos rígidos com origem no centro de gravidade do sistema solar (praticamente centro do Sol) e dirigido para as “estrelas fixas”.

b) Referencial de Galileu ou referencial inercial secundário: é todo referencial

que se translada retilínea e uniformemente em relação a referência de Copérnico.

c) Referencial de Focault: é todo referencial rigidamente ligado à Terra. Tal referencial não é inercial, mas comporta-se como tal, quando a duração do movimento é pequena em comparação com o dia, e a extensão da trajetória é pequena quando comparada ao raio da Terra. Salvo expressa declaração contrária fica subentendido que o referencial adotado seja inercial, ou que possa ser considerado como tal.

Movimento Retilíneo. Segunda a Lei de Newton do Mov imento. Se a força resultante exercida na partícula for não nula, a aceleração é não

nula. No caso particular de a força resultante e a velocidade terem direções iguais, a aceleração e a velocidade têm direções iguais e o movimento é retilíneo; a Dinâmica Retilínea pode ser tratada escalarmente.

Se escolhermos o eixo Ox coincidindo com a trajetória da partícula de massa m, a aceleração na direção Oy será nula e os componentes serão escalares.



Dinâmica Objetivo : Aplicação da 2 a Lei de Newton Resumo da Aula : Resolução de Exercícios 1. Um corpo de massa m=5 kg encontra-se em repouso, sobre um plano horizontal

liso. Em determinado momento, é aplicada ao corpo uma força horizontal F de intensidade 10 N. Determine, 2 segundos após a aplicação da força:

a) a aceleração do corpo b) a velocidade do corpo c) a distância percorrida pelo corpo

Solução Da 2ª Lei de Newton podemos concluir que sendo cte a força aplicada ao

corpo a aceleração também será, portanto o corpo adquire um movimento uniformemente acelerado.

a) F = ma 10 = 5 a a = 2 m/s2

b) no MUV a velocidade é: v = vo + at vo = 0, pois o corpo se achava em repouso v = a.t v = 2.4 = 4 m/s

c) para MUV a equação horária é: S = So + vot + ½ at2 So = 0, isto é o início da contagem dos tempos, coincide com a dos espaços vo = 0 S = ½ at2 S = ½ .2.4 = 4 m

2. Um corpo de massa m = 50 kg acha-se sobre um plano horizontal liso e possui uma velocidade v = 10 ms. Em determinado instante aplica-se a este corpo uma força horizontal F, oposta ao movimento do corpo e com intensidade de 100 N. Determinar:

a) a distância percorrida pelo corpo ao fim de 2s, contados a partir do instante em que se aplicou a força.

b) Quanto tempo após o instante em que a força foi aplicada, o corpo para.

Solução A força F , que se opõe ao movimento, faz com que o corpo adquira um movimento uniformemente retardado, cuja aceleração é: F = ma 100 = 50 a a = 2 m/s2

a) S = vot + ½ at2 S = 10.2 + ½ .(-2).22 S = 20 – 4 = 16 m



b) v = vo + at vo = 0 0 = 10+(-2).t 2t = 10 t = 5s

3. Determinar a aceleração com que se movimenta um corpo, num plano inclinado liso.

Olhe para a figura. Suponha que um corpo de peso

P , seja abandonado no plano inclinado. Faça a experiência, usando uma superfície inclinada bem lisa (por exemplo, uma régua de plástico) e uma moeda. A experiência mostra que o corpo desliza, plano abaixo. A força a que o corpo está sujeito é o seu

peso P .

A figura mostra que o vetor P é a diagonal de um paralelogramo, podendo assim ser considerado como a soma de dois vetores representados pelos lados do paralelogramo. (Isto foi visto no capítulo em que apresentamos a introdução aos

vetores). Em outras palavras, o peso do corpo é um vetor P , que pode ser

decomposto em duas componentes que chamaremos de nP P e P , respectivamente. Assim sendo:

a) No triângulo retângulo menor, temos: hipotenusa

oposto catetosen =α

mgP mas sen PP PP

sen PP =α==α∴

α=∴ sen g mP P No caso de um plano inclinado liso, PP é a única componente que influi no movimento do corpo plano abaixo.

b) Ainda no triângulo retângulo menor, podemos definir:

α=∴=α

=α

cos P PN PP

cos

hipotenusaadjacente cateto

cos

N

Durante o movimento, o corpo não abandona o plano. Isto significa que a ação do

corpo sobre o plano ( que é a componente NP do peso do corpo) é neutralizado pela

reação N do plano.

Em módulo, PN = N. Sendo a componente NP neutralizada pela reação N , o corpo

fica sujeito apenas à ação da componente PP , responsável pelo movimento do corpo plano abaixo.

nP PP

a α

α



Agora podemos calcular a aceleração com que o corpo desliza no plano inclinado. Se uma força de intensidade P age sobre um corpo de massa m temos, pela equação fundamental: PP = ma.

mas PP = mg. sen α, portanto mg sen α = ma ∴ a = g sen α Note que a aceleração é independente da massa do corpo. Considere agora o caso em que o corpo é lançado plano acima, com velocidade inicial vo.

Neste caso, a componente PP se opõe ao movimento do corpo. Este realizará então um movimento uniformemente retardado com aceleração a = -g sen α

4. Considere o conjunto apresentado na figura abaixo: dois corpos, A e B, unidos

por uma corda de massa desprezível, sendo que se aplica uma força F ao corpo A. Qual será a aceleração adquirida pelo conjunto, em virtude da aplicação da força F?

Solução Siga a receita. Aplique a equação fundamental da Dinâmica em cada corpo: Corpo A -: F – T = mA . a Corpo B -: T = mB . a Somando membro a membro:

)m(mF

a a).mm(FBA

BA +=∴+=

ov

α

F

B A

T T

a



As Leis do Movimento (Dinâmica)

Objetivo: Resolução de Exercícios

Resumo da Aula

1. Considere o conjunto apresentado na figura abaixo: os corpos A, B e C, unidos

entre si por cordas de massa desprezível, da maneira ilustrada pela figura. O conjunto se move com aceleração a, devido à força F aplicada ao corpo A. Pergunta-se: as tensões nas duas cordas são iguais ou desiguais, em módulo?

Solução Aplicando a equação fundamental da Dinâmica: para o corpo (B) T – T1 = mB . a sendo a ≠ 0 T – T1 ≠ 0, portanto T≠ T1 As forças tensoras que agem em B são necessariamente distintas, em módulo, sendo maior a que tem sentido concordante com o do movimento. 2. Considere a máquina de Atwood montada no topo de um plano inclinado,

conforme se vê na figura. Determine a aceleração do sistema que se movimenta no sentido indicado na figura.

Solução Verifique as forças que agem sobre o corpo de massa m1, quando desce o plano inclinado liso. Escrevendo para este corpo a Equação Fundamental da Dinâmica: P1 sen α - T1 = m1.a (I) Para o corpo subir verticalmente, você escreverá: T – P2 = m2.a (II) somando (I) e (II)

P1 sen α - P2 = (m1 + m2) a 21

21

21

21

mmmsengm

mmPsenP

a+

−α=

+−α

=

Resposta: O conjunto se move com gmm

msenma

21

21 ⋅+

−α=

F C B A

1T 1T T T

a

a

m1

m2

αααα 2P

1P

T

T



3. Um passageiro de massa m está no interior de um elevador que desce

verticalmente, com aceleração a. Determine a intensidade da força que o piso do elevador exerce no passageiro.

P a

N Portanto, a intensidade da força que o piso do elevador exerce no passageiro é: N = m (g-a) 4. Um corpo de peso P encontra-se suspenso a um dinamômetro preso ao teto de

um elevador. Determinar a indicação do dinamômetro quando: a) o elevador sobe com movimento uniformemente acelerado, de aceleração

a; b) o elevador sobe com movimento uniformemente retardado, cuja

aceleração tem módulo a. a) A indicação do dinamômetro é a ação do corpo sobre o dinamômetro, cujo módulo é igual a T. Quando o elevador sobe com aceleração (a). T - P = ma T = ma + P ∴ T = ma + mg T = m (a+g) maior que o peso do corpo

b) Quando o elevador sobe com movimento retardado, isto é, com aceleração (-a). T - P = -ma T = P-ma ∴ T = mg-ma T = m (g-a) menor que o peso do corpo

Solução O passageiro tem a aceleração do

elevador. A resultante das forças que agem

no passageiro é: R = P – N

Aplicando ao passageiro a equação

fundamental da Dinâmica, obtemos: R = ma

P – N = ma

N = -m + P

N = mg - ma

N = m (g – a)

P

T

a



5. Um projétil de massa m é atirado num bloco de madeira, com uma velocidade

inicial v e penetra no bloco até uma profundidade d. Calcule a força de resistência (suposta constante) que a madeira opõe à penetração.

por Torricelli

d2v

a

ad2v0

ad2vv

2o

2o

2o

2

−=

+=

+=

o sinal (-) quer dizer que o corpo realiza na madeira um movimento retardado

∴ F = m a ∴d2

vmF

2o−=

onde o sinal (-), indica que a força se opõe ao movimento do projétil.

Objetivo: Exercícios Propostos

Resumo da Aula

1. Certo balão (aeróstato) está sujeito a uma força ascensional F, tendo massa M,

ele desce com aceleração constante a. Atirando fora lastro com massa m, o balão sobe com igual aceleração. A força ascensional se conserva e a resistência do ar tem a mesma intensidade em ambos os casos. Determine a massa de lastro descarregado.

Resp. )ag(

)FMg(2m

+−=

2. Considere uma pessoa com massa m em pé no interior de um elevador. O

elevador sofre aceleração descensional a (partida para baixo ou parada na subida).

a) Determine a força com que o piso do elevador sustenta a pessoa. Resp. N = m(g-a) b) Em que condições reina imponderabilidade no interior do elevador? Resp. a=g; o elevador cai livremente; a pessoa flutua

3. Pretende-se construir o telhado de uma garagem. Supondo o atrito desprezível, determine o ângulo de inclinação do telhado, para que a água da chuva escoe sobre ele no mínimo tempo. Resp. α = 45º

4. No esquema anexo nota-se um caminhão que arrasta uma esfera mediante em fio. Considere L = 5,0 m; h = 4,0 m e g = 10m/s2. Qual é a aceleração do caminhão quando a esfera se destaca da pavimentação? Resp. a = 7,5 m/s2

madeira

d



Solução

Enquanto a esfera estiver sendo arrastada sobre a pavimentação com o fio tenso, sua aceleração é igual à do caminhão e b = 3,0 m. No instante de destaque do piso impomos: N = 0; Fat = 0.

5. O sistema esquematizado compõe-se de um elevador vertical de Massa M e um operador de massa m, estando apoiado na plataforma daquele. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante a, juntamente com o elevador. Determine a força que a plataforma exerce no operador?

Resp. 2

)ag()Mm(F

+−=

h

l

h = 4,0 m

x

P

b = 3,0 m

α

Fat

N α

y



Objetivo: Conceituar Força de Atrito

Resumo da Aula

Força de Atrito : quando um corpo está apoiado numa superfície, e aplicamos uma força para deslocar o corpo, aparece uma força que se opõe ao movimento; é a força de atrito.

A força de atrito é causada pelas irregularidades das superfícies em contato, que fazem com que as saliências de uma das superfícies esbarrem nas saliências da outra. Quando as superfícies são perfeitamente polidas, aparecem forças de aderência que se opõem ao movimento.

O módulo da força de atrito é igual ao módulo da força aplicada; aumentando-se a força aplicada, a força de atrito aumenta, até um determinado, valor máximo, chamada força máxima de atrito.

Uma vez atingido este valor o movimento é iminente, e qualquer aumento da força aplicada produzirá o escorregamento do corpo ao longo da superfície.

O atrito que tende a impedir que um corpo em repouso deslize sobre uma superfície chama-se força de atrito estático. A força que se opõe ao movimento, quando o corpo já está deslizando chama-se força de atrito dinâmico.

O atrito de escorregamento obedece as seguintes leis: 1ª lei: a força de atrito (estático ou dinâmico) depende da natureza das superfícies em contato. 2ª lei: a força de atrito (estático ou dinâmico) é praticamente independente da extensão da área de contato entre os dois corpos. 3ª lei: o valor máximo da intensidade da força de atrito estático é diretamente proporcional à reação normal às superfícies em contato (o fator de proporcionalidade chama-se coeficiente de atrito estático). 4ª lei: a intensidade da força de atrito dinâmico é diretamente proporcional a reação normal às superfícies em contato (o fator de proporcionalidade chama-se coeficiente de atrito dinâmico).

A seguir apresentamos uma tabela de valores do coeficiente de atrito determinados experimentalmente.

Superfícies em contato ue ud aço sobre aço (duro) 0,78 0,42 aço sobre aço (doce) 0,74 0,57 chumbo sobre aço (doce) 0,95 0,95 cobre sobre aço (doce) 0,53 0,36 níquel sobre níquel 1,10 0,53 aço fundido sobre aço fundido 1,10 0,15 teflon sobre teflon 0,04 0,04

Examinando a tabela de coeficientes de atrito, verificamos que o coeficiente pode tomar valores menores, iguais ou maiores que 1. Verificamos também que o coeficiente de atrito dinâmico é inferior ou igual ao coeficiente de atrito estático. A experiência mostra que o atrito de escorregamento diminui quando se lubrificam as superfícies; mostra ainda, que as forças de atrito independem, dentro de amplos limites, o aumento da velocidade com que uma superfície escorrega sobre a outra.



Objetivo : Resolução de Exercícios

Resumo da Aula

1. O sistema da figura é abandonado em repouso na data zero. Calcule a

velocidade do sistema constituído pelos blocos de pesos Pa = 100 N e Pb = 15 N na data t = 4,6 s. O coeficiente de atrito entre todas as superfícies em contato é µ = 0,50 e g = 10 m/s2.

Resp: va = vb = 1,4 m/s. 2. O corpo A com massa m = 3,00 kg movia-se com velocidade = 3,00 m/s para

baixo ao longo do plano inclinado, quando a força horizontal F constante foi aplicada no corpo. Calcule F sabendo-se que o corpo pára após percorrer a distância d = 1,00 m para baixo. O coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é µ = 0,200 e g = 9,81 m/s2.

Resp.: F = 23,9 N 3. Dois blocos com pesos P1 = 40 N e P2 = 60 N em contato entre si são

abandonados em repouso e deslizam sobre um plano inclinado, como mostra a figura. Os coeficientes de atrito entre os blocos e o plano valem µ1 = 0,60 e µ2 = 0,10. Dado: g = 10 m/s2, calcule:

a) a aceleração adquirida pelos blocos b) a velocidade dos blocos até percorrerem, a partir do repouso, a distância

d = 7,2 m c) a intensidade da força exercida pelo bloco (1) sobre o bloco (2) Resp.: a) 3,6 m/s b) F = 9,6 N c) v = 7,2 m/s

37º 53º

b a

θθθθ = 30º

A

F

θθθθ = 37º

2

1



Solução 2: x: P2 sen θ - F - µ2N2 = m2 . a (I) y: N2 - P2 cosθ = 0 (II) de (I) 31,2 + F = 6,0a (A)

de (II) N1 = 48N

1: x: P2 sen θ - F - µ1N1 = m1 . a (III)

y: N1 - P1 cosθ = 0 (IV)

de (III) 4,8 + F = 4,0a (A)

de (IV) N1 = 32N

resolvendo (A) e (B)

a = 3,6m/s2

F = 9,6N

4. O esquema indica dois corpos com pesos Pa = 100 N e Pb = 55 N. O corpo A

repousa sobre um plano horizontal e o corpo B. Apoiado sobre A, está preso por um fio a uma parede. O coeficiente de atrito entre todas as superfícies em contato é u = 0,10. Ao corpo A é aplicado a força horizontal F = 100 N. Dado g = 10 m/s2, calcule a aceleração adquirida por A.

Resp.: a = 8m/s2

1 2

x

F

F

x

a

θ θ θ θ

P1 P2

N2 N1 µ2N2

µ1N1

a

F

45º

B

A



horizontal: uN’ - T cos θ = 0

vertical: N’ + T sen θ - PB = 0

resolvendo: T = 5,0 = 7,1 N

N = 50 N

horizontal: F = uN – uN’ = m a

vertical: N – N'-PA = 0

resolvendo: N = 150 N a = 8,0 m/s2

B

A F

uN

PA

PB

N’

N’

N

uN’

uN’

aA

T

θ



Objetivo : Exercícios Propostos e Resolvidos

Resumo da Aula

1. A figura mostra o corpo B simplesmente apoiado no corpo A; entre eles o coeficiente de atrito é µ. Calcule a maior aceleração do corpo A sobre o plano inclinado do ângulo θ, para que o corpo B não deslize sobre ele. Analise as seguintes situações:

a) A desce em movimento acelerado. b) A sobe em movimento acelerado.

Resp.: a) θ+θµ

µ=cossen

ga

b) θµ−θ

µ=sencos

ga

2. Considere a figura e despreze os atritos.

Dados: F = 100 N, PA = PB = 250 N e g = 10 m/s2. Calcular a aceleração dos corpos e a tração do fio. Solução

B F A a

b

xA xB

aA aB

F 2T 3T

θ

A

B

B

F

A



comprimento do fio (1):

( ) ( ) ( ) 1LbXBXAbaXBXAbXB =−++−−++−

portanto cteXAXB =+ 23

Derivando uma vez em função do tempo vem:

023 =+ XAdtd

XBdtd

023 =+ VAVB

Derivando mais uma vez em função do tempo:

023 =+ VAdtd

VBdtd

023 =+ aAaB

donde em módulo: aAaB 23 =

aAaB32= (I)

comprimento do fio (1):

( ) ( ) ( ) 1LbXBXAbaXBXAbXB =−++−−++−

portanto cteXAXB =+ 23

Derivando uma vez em função do tempo vem:

023 =+ XAdtd

XBdtd

023 =+ VAVB

Derivando mais uma vez em função do tempo:

023 =+ VAdtd

VBdtd

023 =+ aAaB

donde em módulo: aAaB 23 =

aAaB32= (I)

e ainda Para corpo (A) aAmATF ⋅=− 2 (II)

Para corpo (B) aBmBT ⋅=3 (III)

Resolvendo as equações I, II e III, teremos:

2772s

m,aA =

2851s

m,aB =

N,T 415=



3. Um homem puxa um carro, sendo ele mesmo passageiro, em um plano inclinado

com ângulo θ = 20,0º, como mostra a figura. A massa do conjunto homem e carro é m = 100 kg e o coeficiente de atrito entre o carro e o plano é u = 0,250. Calcule a aceleração do carro com o homem tracionando o cabo com força T = 250 N. Dado g = 9,81 m/s2.

Resp.: a = 1,84 m/s2

4. O sistema esquematizado é abandonado em repouso na data zero. O coeficiente

de atrito entre o corpo B e o plano inclinado é µ = 0,50 e g = 10 m/s2. Calcule a velocidade de B na data t = 2,1s, em cada das hipóteses. a) PA = 20,0 N PB = 100 N b) PA = 400 N PB = 100 N

Resp.: a) aA = 0,476 m/s2 b) aA = 2,5 m/s2 aB = 0,952 m/s2 aB = 5,0 m/s2 vB = 2,00 m/s vB = 10,5 m/s Solução (item b)

A desce e B sobe a rampa, a força de atrito é dinâmica com intensidade

NFat ⋅µ= . Inextensibilidade do fio (1) cteXAXB =+ 2 .

Derivando uma fez em função de tempo

02 =+ XAdtd

XBdtd

02 =+ VAVB

••••

B

θθθθ = 370 ••••

A



Derivando mais uma vez em função do tempo

02 =+ VAdtd

VBdtd

02 =+ aAaB (I) em módulo aAaB 2=

(B) BB amsenmBgNT:x ⋅=θ−µ− (II)

0=θ− cosmBgN:g (III)

(A): AAA amTgm ⋅=−⋅ 2 (IV)

de (II) ( )AaT 2106040 =−−

de (III) NN 80= Resolvendo-se aA = 2,5 m/s2 aB = 5,0 m/s2 vA = 10,5 m/s2 5. O sistema indicado é abandonado em repouso. O coeficiente de atrito entre o

corpo B e o apoio é µ = 0,50 e g = 10 m/s2. Calcule a velocidade de B após A ter percorrido a distância d = 0,30 m, em cada uma das hipóteses. a) PA = 200 N PB = 100 N b) PA = 50,0 N PB = 1000 N

Resp.: a) vB = 1,00 m/s b) vB = 0,500 m/s

A

B

θθθθ = 370



Objetivo : Conceituar Trabalho, Potência e Energia

Resumo da Aula

Trabalho

Consideremos uma partícula movendo-se em trajetória C qualquer, e seja F uma das forças exercidas nela. No intervalo de tempo dt a partícula efetua

deslocamento dr tangente à trajetória em P e percorre sobre a trajetória o arco de

extensão ds, sendo dsdr e t.dsdr =µ= .

Seja θ o ângulo entre F e dr no instante t. O trabalho dw realizado pela força

F no deslocamento dr é definido pelo produto escolar.

θ== cos.ds.Fdr. F)F(dw

A unidade de trabalho no SI é o joule (símbolo J). Quando a força age a favor do movimento, ela é força motora, e realiza trabalho positivo chamado trabalho motor; o ângulo θ é nulo ou agudo. Quando a força age contra o movimento, ela é força resistente; e realiza trabalho negativo chamado trabalho resistente; o ângulo θ é obtuso ou 180º. Quando a força é normal ao deslocamento, o trabalho é nulo.

Assim, o trabalho de uma força qualquer coincide com o trabalho de sua componente tangencial.

Ao descrever um arco de trajetória PiPf , da posição inicial Pi até a posição final Pf, a partícula fica sujeita a forças que podem ser constantes ou variáveis; seja

F uma destas forças; o seu trabalho é: ∫ ∫=θ=sf

si

sf

sids.Ftcos.ds.F)F(w .

dr

y

x 0

C

t ds

P

P’

θθθθ

F

t.dsdr µ=

•••• •••• θθθθ

si

Pi

s sf

ds t

Pf

F

dr Ft



Daí, sendo F uma das forças exercidas na partícula que descreve a trajetória

C, denomina-se trabalho de F, entre as posições Pi e Pf, a integral de linha de F ao longo da Curva C, entre as posições Pi e Pf

Em diagrama cartesiano Ft versus s, o trabalho da força F é representado pela área da superfície L, representativa de Ft e o eixo das posições s, no deslocamento que interessa. W(F) = área. Exemplo : 1) Mediante um guindaste eleva-se lentamente (sem aceleração) um tambor contendo areia com peso global P = 800N à altitude H = 20m. Durante a ascensão perde-se 0 = 100N de areia que escoa uniformemente através de um orifício existente no fundo do tambor. Calcule o trabalho realizado pelo guindaste. Solução Como o tambor é elevado lentamente, a força de tração T no cabo exercida pelo guindaste, equilibra em cada instante, o peso do tambor, isto é, T = P. Em cada metro de ascensão, perdem-se 5,0N de areia através do orifício. À altitude x o peso global é P = 800 – 5,0x. O trabalho do guindaste é:

∫∫ −==20

005800 dx)x,(Tdx)T(W

xf

xi

Portanto: W(T) = 15 k . J Exemplo : 2) Um bloco como massa m = 50kg é puxado sobre uma superfície horizontal por uma força F que forma ângulo 0 acima da horizontal. Durante o movimento, a intensidade da força varia com a posição x de acordo com a equação F = 6,0x (SI) e o ângulo 0 de acordo com a fórmula cos 0 = 0,70–0,020x. Calcule o trabalho realizado pela força F no deslocamento do corpo. a) de x1 = 0 até x2 = 10m b) de x1 = 10m até x2 = 20m

W(F)

Ft

si sf

s

L

F θθθθ



Solução a)

[ ] Jxx

dxxxFW

dxxxdxFFWx

x

X

X

170.040,01,2

)12,02,4()(

).020,070,0).(0,6(cos..))(

100

32

10

0

2

2

1

2

1

=−=

=−=

−==

∫

∫∫ θ

b)

[ ] Jxx

dxxxFW

350.040,01,2

).12,0.2,4()(

2010

32

20

10

2

=−=

=−= ∫

Potência

Em aplicação prática, especialmente em relação à engenharia das máquinas, é importante conhecer a rapidez com que o trabalho é realizado. A potência de uma força é o trabalho que ela realiza por unidade de tempo. Se uma força F realiza trabalho dw (F) em duração dt, a potência da força é:

v.Ft v.Fdt

)F(dwP

dtdr.F

dt)F(dw

P

===

==

A unidade de potência no SI é o watt (símbolo W).

Uma força F pode agir com potência constante ou variável; em qualquer caso o trabalho que ela realiza entre os instantes ti e tf é:

∫==tf

tiP.dt W(F) dt.P)F(dw

Em diagrama cartesiano P versus t, o trabalho da força F é representado pela área da superfície compreendida entre a linha L representativa da potência P e o eixo dos tempos, no intervalo de tempo que interessa. W(F) = área.

W(F)

P

ti tf

t

L



Objetivo : Conceituar Energia Teorema da Energia Cinética Teorema da Conservação da Energia Mecânica Resumo da Aula Energia

Dizemos que um sistema possui energia quando ele é capaz de realizar trabalho; medimos a energia do sistema pelo trabalho realizado pelas forças que o sistema pode exercer. A energia de um sistema depende de seu estado: pode ser energia potencial e/ou energia cinética.

A energia potencial de um sistema é a energia que ele possui em virtude de sua configuração, isto é, das posições relativa de suas partes. Por exemplo, dizer que uma mola esticada possui energia potencial igual a 5,0 J equivale dizer que a mola ao contrair-se até sua configuração natural realizará trabalho igual a 5,0 J.

A energia cinética de um sistema é a energia que ele possui em virtude do movimento de suas partes. Por exemplo, dizer que um projétil possui energia cinética igual a 6,0 kJ equivale dizer que o projétil, ao ser detido por um obstáculo, realizará trabalho sobre o obstáculo igual a 6,0 kJ. A soma das energias cinética e potencial de um sistema chama-se energia mecânica. Teorema da Energia Cinética : o trabalho realizado entre dois pontos pela resultante das forças exercidas sobre uma partícula é igual à variação de energia cinética entre estes dois pontos. Energia Potencial

Quando ao modo de trabalhar, distinguem-se dois tipos de forças, as forças conservativas e as forças não conservativas.

Consideremos dois pontos fixos Pi e Pf e uma força F. O ponto de aplicação da força pode ser levado de Pi a Pf por inúmeras trajetórias, tais como Pi A Pf, Pi B

Pf, Pi C Pf, etc...Se o trabalho de F for o mesmo em todos os percursos de Pi a Pf,

exprime-se esta propriedade dizendo que a força é conservativa. Sendo F uma força conservativa aplicada em uma partícula, chama-se energia potencial da partícula numa posição genérica P o negativo do trabalho realizado pela força F, quando a partícula se desloca da posição de referência Po até a posição P.

Pi

A

B

C

Pf



Teorema da Energia Mecânica

Chama-se energia mecânica de uma partícula a soma de suas energias potencial e cinética. (EM) = (EP) + (EC)

O teorema da energia cinética afirma que a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Das forças exercidas na partícula, genericamente, umas são conservativas e outras não.

W(F) = W(Fcons) + W(Fñ.cons) W(F cons) + W(Fñ.cons) = (EC)f – (EC)i O trabalho das forças conservativas, é igual ao decréscimo de uma energia

potencial. Portanto: W(F cons) = -∆(EP) W(Fñ.cons)+(EP)i-(EP)f = (EC)f – (EC)i W(Fñ.cons) = [(EC)f + (EP)f] – [(EC)I + (EP)f] W (Fñ.cons) = (EM)f – (EM)i = ∆(EM)

Daí, o teorema da energia mecânica: o trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica. Suponha, como caso particular, que sejam conservativas todas as forças exercidas na partícula.

Neste caso, W (Fñ.cons) = 0 e (EM)f = (EM)i ∴ ∆(EM)=0 Daí, o teorema da conservação da energia mecânica: é constante a energia mecânica de uma partícula sobre a qual só atuam forças conservativas.

Exercícios – Propostos e Resolvidos 1. Um projétil com massa m = 10 g atinge um barranco horizontalmente com

velocidade v = 200 m/s e penetra nele até a profundidade h = 0,10 m. Supondo que o solo resista à penetração do projétil com força constante, calcule a intensidade desta força. Resp.: F = 2,0 x 103N Solução

Pelo T.E.C. X ( R ) = ∆ Ec

NF

vmhF

3

2

10.0,2

.21

.

=

=

2. Um operário dá n = 60 marteladas por minuto com um martelo de massa m=0,50 kg, movendo-se em trajetória aproximadamente horizontal é imprimindo-lhe, para cada martelada, a velocidade v = 3,0 m/s. Calcule o trabalho que o operário efetua sobre o martelo durante o tempo t = 1,0h. Resp.: 8,1 x 103J

3. Um bloco com massa m = 50 kg é puxado sobre uma superfície horizontal por uma força F que forma ângulo θ acima do horizontal. Durante o movimento, a intensidade da força varia com a posição x de acordo com a equação F = 6,0 x (SI) e o ângulo θ de acordo com a fórmula cos θ = 0,70 – 0,020 x. Calcule o trabalho realizado pela força F no deslocamento do corpo.



a) de x1 = 0 até x2 = 10m b) de x1 = 10 m até x2 = 20m

Resp.: a) 170 J b) 350 J 4. Um projétil com massa m = 2,00 g sai da boca de uma arma com velocidade v =

300 ms. A intensidade da força resultante que acelera o projétil no interior do cano é F = 400 – (8000/9) x (SI), sendo x a posição do projétil em relação à posição inicial. Calcule:

a) o comprimento do cano b) a potência que desenvolve a arma no instante em que o projétil se encontra

no ponto médio do ano Resp.: a) vm = 260 m/s b) 53,0 kW Solução

a) pelo T.E.C.

2

0

3

)300.(210.00,2

dx).x9

8000400(∫

−

=−l

portanto: l = 0,450m b) seja vm a velocidade da bala no ponto médio do cano

pelo T.E.C.

2225,0

0

3

.210.00,2

).9

8000400( vmdxx∫

−

=−

portanto vm = 260m/s x = 0,255m Pm = Fm.vm Fm = 200N Pm = 52,0kW

θ



Objetivo : Exercícios Complementares

1. Mediante um guindaste eleva-se lentamente (sem aceleração) um tambor

contendo areia com peso global Po = 800 N à altitude H = 20 m. Durante a ascensão perde-se Po = 100 N de areia que escoa uniformemente através de um orifício existente no fundo do tambor. Calcule o trabalho realizado pelo guindaste. Resp.: W (T) = 15 kJ

2. Uma partícula com massa inicial m = 4,0 kg, inicialmente parada na origem, é submetida à força resultante F = Fi, onde F segue o gráfico abaixo. Calcule:

c) o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de x = 0 até x = 3,0m e de x = 3,0 m até x 6,0 m.

d) a energia cinética da partícula em x = 3,0 m e em x = 3,0 m e em x = 6,0m. e) a potência da força F nas posições x = 3,0 m e x = 6,0 m.

Solução a) W = área = 1,5 + 6,0 = 7,5J

0 – 3 0 – 3

W = área = 1,5 – 1,5 – 3,0 = -3,0J 3 – 6 3 – 6

b) (EC) = W = 7,5J

3 0 – 3 (EC) = W = W + W = 7,5 – 3,0 = 4,5J

6 0 – 6 0 – 3 3 – 6

c) v (3) = 1,94m/s P(3) = F(3) v(3) = 3,0 . 1,94 = 5,8W

v (6) = 1,5 m/s P(6) = F(6) v(6) = (-3,0) . 1,5 = -4,5W

3

2

1

-1

-2

-3

1 2 3 4 5 6 7



3. Uma partícula com massa m = 4,0 kg, inicialmente parada na origem, é submetida

na data t =0 à força resultante FiF = , a potência da força está dada no gráfico. Calcule:

a) o trabalho recebido pelo corpo de t = 0 até t = 15s. b) a potência constante que forneceria o mesmo trabalho total anterior . c) o instante onde a velocidade é v = 10 m/s. d) a intensidade da força em t = 1,0s, t = 2,0s e t = 8,2s. e) a velocidade da partícula em t = 11s.

Solução a) W = área = 40 + 360 + 80 = 480J

0– 15 0 – 15

b) P (média) = Wt

W0,32

15480)150( ==

∆−

c) seja t a data onde v = 10m/s

W(0-t) = J200)10(20,4 2 =

Contabilizando o trabalho mediante o cálculo de áreas no gráfico cartesiano, verificamos que 2,0s < 1 < 11s Portanto 0= 40 + 40 (t – 2,0)

t = 6,0s d) F (1,0) = 4 N95,85 =

F (2,0) = 4,0 N95,85 =

F (8,2) = N33,33

10 =

e) W (0 – 11) = 40 + 360 = 400J

W (0 – 11) = 2.2

vm

400 = )11.(.20,4 2v

v(11) = 10. 2 v(11) = 14,1m/s

11 2,0

40

P(w)

15 t(s)



Objetivo : Exercícios Complementares Teorema da Conservação da Energia Mecânica 1. Um corpo com massa m = 40g é mantido em repouso encostado em uma mola

leve, comprimindo-a de x = 20 cm. Solto o corpo, ele recebe um impulso da mola e percorre o trecho ABCE, passando por C com velocidade Vc = 20 m/s dados: AD = 40 m, BD = 30 m, BC = 20 m e g = 10 m/s2. Calcule a constante elástica da mola nas seguintes hipóteses:

f) não existe atrito g) o coeficiente de atrito entre o corpo e todas as superfícies em contato com

ele é µ = 0,50. Solução a) E M ) A = ( E M ) C

22 ...2

VCmBDmgXAk += &&&

portanto: mN

k 103.0,1=

b) A até B joulesABgmuABNuABFatdissE 0,8cos......).( ==== θ

B até C joulesBCgmnBCNuBCFatdissE 0,4......).( ==== ( E M ) A = ( E M ) C = E diss + E diss

mN

k

dissEdissEBDgmXAk

3

2

10.6,1

....2

=

++=

2. No ponto A abandona-se um sólido com massa M=2,00 kg. O sólido desliza pelo

plano inclinado, passa sem choque para o plano horizontal, e caminha em direção

a uma mola (k = 32,0 N/m). A mola é leve e tem constante elástica mkN

18k = .

Dados: m/s 10 g e 53º 0,50; cm; 10 BC cm; 20 AB 2==θ=µ== . Calcule:

E C B

A •••• D

θθθθ

A

B

C



Solução

xm10xm.g.m.uCM.Fat)CM.diss.(E

joules050,0xd.g.m.u

CD.N.uCD.Fat)CD.diss.(E

joules10BC.g.m.u

BC.N.uBC.Fat)BC.diss.(E

joules2,1ABcos.g.m.u

AB.N.uAB.Fat)AB.diss.(E

===

====

==

==

=θ=

==

a)

smVc

topor

Vc

BCdissEABdissEVcm

oABgm

ACdissEcMEAME

/10

:tan

0,12,10,1)80,0).(20,0).(10(

....2

.sen...

..).()..(

22

2

=

++=

++=

+=

θ

b)

smVD

Vd

CDdissEVdm

Xdk

Vcm

CDdissEbMEcME

/85,0

050,0.10)0050,0.(9000)0,1.(0,1

...2

.22

..)..()..(

222

222

=++=

++=

+=

c) mXm 210.0,1= 3. Um sólido com massa m = 20 kg atirado no ponto A com velocidade VA=10 m/s,

percorre a superfície ABC, em direção a uma mola que se encontra na sua configuração natural e que tem constante elástica k = 856 N/m. Dados: 210m/sg e 20,0 ,º53 ,m0,5BC ,m0,6AB ==µ=θ== . Calcule a máxima compressão sofrida pela mola.

θθθθ

A

B C D M

xM

xD

x = 0

hA

θθθθ

VA A

B

C



Cinemática do Movimento Retilíneo

Objetivo : Relembrar os conceitos de tempo, posição, velocid ade, aceleração, introduzindo o capítulo Cinemática da P artícula

Resumo da Aula

a) velocidade média: tx

tt

xxVm ∆

∆=−−

=12

12

b) velocidade instantânea: dtdx

vtx

limV0t

i −=∆∆=

→∆

r

c) aceleração média: tv

ttvv

a12

12m ∆

∆=−−

=

d) aceleração instantânea: dtdv

ata

limat

i −=∆∆=

→∆

r

0

dtxd

dtdx

dtd

dtdv

a2

=

=

A aceleração é a derivada 1' da velocidade e derivada 2' do espaço, ambas em relação ao tempo. Outra expressão útil é obtida, multiplicando-se numerador e denominador por dx ou seja,

dtdx

dxdv

a

dxdx

dtdv

a

=

=

mas vdtdx =

dt

dvva =

portanto

dtdv

vdt

xddtdv

a ===2

2

Aplicação Deduzir as equações para o seguinte movimento / M R U / v=cte / a=0



xCvt

xABvt

AxBvt

dxdtv

dxvdt

dxvdtdtdx

v

=+=−++=+

=

=

=

=

∫ ∫

∫ ∫

Condições especiais: 0=t Cx = 0xx =

00 =X posição inicial

vtxX += 0

Problemas propostos 1. Deduzir as equações para o movimento retilíneo uniforme variado. 2. Um automóvel com massa m = 1200 kg percorre uma pista reta e horizontal com

velocidade invariável v0 = 40,0 m/s = 144 km/h. As rodas motrizes desenvolvem potencial global P = 60,0 kW = 81,5 cv (P = F.v).

a) Determine a resultante R das forças exercidas no veículo por atrito e por resistência do ar.

b) Admitir que R seja proporcional ao quadrado da velocidade. Desligado o motor, após quanto tempo a velocidade cai para v = 20,0 m/s = 72,0 km/h.

3. Usando o "Interactive Physics", executar as seguintes simulações: Arquivo : cinem1.ip Nome : Simulação de cinemática escalar I Conceitos explorados : Posição, deslocamento, espaço percorrido, velocidade, aceleração, movimento acelerado e movimento retardado. Resumo: Esta simulação permite visualizar o movimento de uma partícula, inicialmente com

velocidade constante, e assim, explicar o conceito de posição. Após um certo tempo,

uma aceleração passa a agir no corpo, em sentido contrário ao da velocidade, e o

corpo é inicialmente freada e então acelerado (quando a velocidade inverte o seu

sentido). No instante t=2s, a aceleração deixa de agir e o corpo continua com

velocidade constante. Os gráficos de posição, velocidade e aceleração são visíveis.



Arquivo : cinem2.ip Nome : Simulação de cinemática escalar II Conceitos explorados : Velocidade média e velocidade instantânea. Resumo:

Através desta simulação, é possível acompanhar o movimento de dois corpos que

partem da mesma posição (x=0). Um deles se move com uma velocidade constante

(vermelho) de 2 m/s, e outro (verde) possui uma velocidade que se altera com o

tempo, acelerando em alguns trechos, e desacelerando em outros. No instante

t=3,76s, os corpos ocupam novamente a mesma posição (x=7,52m), embora o

comportamento da velocidade tenha sido bastante distinto. Assim, é possível discutir

o conceito de velocidade média para o corpo verde no intervalo 0 - 3,76 s,

comparando com o movimento executado pelo corpo vermelho no mesmo intervalo.



Objetivo : Exercícios Complementares

Resumo da Aula 1. Um corpo com massa m = 5,0 kg efetua movimento retilíneo em um plano

horizontal sob ação da força de direção invariável e intensidade variável com o tempo (S.I.) t25F = . Sabe-se que na data 1,0s o corpo está na posição 7,5 m animado com velocidade 6,5 m/s. Dado g = 10 m/s2. Calcule a posição, velocidade e aceleração no instante t = 4,0 s.

2. Um corpo com massa m = 2kg efetua movimento retilíneo em um plano

horizontal sob ação da força de direção invariável e intensidade variável com o

tempo (S.I.) t30F = . O coeficiente de atrito entre o corpo e o plano é 50,0=µ . Sabe se que na data 1,0s o corpo está na posição 25,5 m animado

com velocidade 20 m/s. Nessas condições a posição do corpo na data t = 4,0s, considerando g = 10 m/s2, assume qual valor?

3. O corpo A com massa m = 10 kg efetua movimento reto sobre um plano inclinado

sob ação da força de direção constante e intensidade variável com o tempo F = 6,0t + 150 (SI). Na data 1,0 s o corpo está em posição 15 m animado de velocidade 10 m/s. Dado: g = 10 m/s2 e µ = 0,50 (coeficiente de atrito entre o corpo e o apoio) calcule a posição do corpo na data t = 2,0 s.

Solução – Exercício 1

X : F cosθ = m a (I)

y : N – F senθ - m g = 0 (II) de (I) 15t = 5,0 a a = 3,0 t

F 53º

F 37º



mas a = dtdv

At5,1v

A2t

0,3v

dt.t0,3dv

tdt0,3dv

t0,3dtdv

2

2

+=

+=

=

=

=

∫∫

0,5

5,15,6

0,1.5,15,6 2

==−

+=

A

A

A

t = 1,0s então v = 1,5t2 + 5,0

mas v = dtdx

Btt

x

dtdttdx

dtdttdx

tdtdx

++=

+=

+=

+=

∫∫

.0,53

5,1

.0,5...5,1

0,5.5,1

0,55,1

3

2

2

2

x = 0,5 t3 + 5,0 t + B

p/ x= 7,5 m t = 1s 7,5 = 05 . 13 + 5,0 . 1 + B 7,5 – 0,5 – 5,0 + B (III) 7,5 – 5,5 = B B = 2,0 X = 0,5 t3 + 5,0 t + 2,0

P/ t = 4s a = 3,0 . 4 a = 12,0m/s2

v = 1,5 t2 + 5,0 v = 1,5 . 42 + 5,0 v = 29 m/s

x = 0,5 t2 + 5,0 t + 20 x = 05 , 43 + 5,0 . 4 + 20 x = 54m



Solução – Exercício 2 x : f COS θ - U n = m . a (I) y : N – F seno θ - mg = 0 (II) de (II) N= F seno θ + mg

em (I)

20,5t.15

a

mmg.useno.u(cosF

a

−=

−θ−θ=

portanto:

( )0,6t202t5,2/t0,2x

dt0,2t0,5/t0,5dx

20t0,5/t5v

dt0,52

t15dv

25

23

23

++−=

+−=

+−=

−=

∫ ∫

∫ ∫

para t = 4s x = 110m Solução x : F - mg senoθ - u N = m.a (I) y : N - mg cosθ = 0 (II) de (II) N = mg cosθ em (I)

( )

( )7,4t.7,4t.5,2t.15,0x

dt7,4t.0,5t.30,0dx

7,4,t.0,5t.30,0v

dt0,5t.060dv

)SI(0,5t.60,0am

)cos.useno.(mgFa

23

2

2

+++=

++=

++=

+=

+=

θ+θ−=

∫ ∫

∫ ∫

para t = 4,0s x = 27,9m



Objetivo : Analisar o Movimento Curvo Plano de uma Partícula

Resumo da Aula

Movimento Curvo Plano

2.1 Movimento curvo: posição

Dependendo da trajetória do movimento ser conhecida ou não de antemão,

temos duas maneiras para estabelecer a posição da partícula, pela posição escalar

ou pela posição vetorial

Posição Escalar

Consideremos o movimento curvo de

uma partícula sobre uma trajetória C.

Para definirmos a posição P(t) da

partícula, escolhemos arbitrariamente

sobre a trajetória uma posição fixa de

referência representada pela letra

grega Ω (ômega), denominada origem

das posições e um sentido positivo

Fig. 2.1

ao longo da trajetória, indicada por uma seta. A posição P(t) da partícula sobre sua trajetória é dada pela coordenada de posição ou abscissa curvilínea representada pela letra s, que define a extensão do arco PΩ ao longo da trajetória; este comprimento será precedido do sinal (+) ou (-) conforme esteja na parte positiva ou na parte negativa da trajetória. É claro que, quando a partícula passa pela origem Ω, sua coordenada de posição é nula neste instante. Portanto,

s = ± (extensão do arco PΩ 2.1

Sendo o ponto material móvel, sua coordenada de posição é função do tempo, s = s (t). O ponto material estará em repouso se s for permanentemente o mesmo. Resumindo, para definirmos a posição do ponto material mediante este processo necessitamos conhecer:

a) a trajetória do ponto material; b) a origem das posições Ω e o sentido positivo da trajetória, ou seja, o

sentido dos s crescentes c) a lei horária do movimento sobre a trajetória na forma s = s(t)

Ω P(t)

C

s



Posição vetorial

Consideremos o movimento curvo de

uma partícula relativamente ao

referencial cartesiano retangular Oxy,

sobre trajetória desconhecida C.

Sejam ji os versores fundamentais

do referencial Oxy. A posição p(t) da

partícula neste caso é definida

vetorialmente, bastando utilizar o

vetor r traçado da seção ou raio vetor. Durante o movimento da partícula, sua

posição P(t) varia no decurso do tempo e o ver r tem módulo e direção variando.

Assim, r é o vetor dependente do tempo, isto é:

0)t(P)t( r r −== 2.2

Se r for um vetor constante no decurso do tempo, então a partícula está em repouso relativamente a Oxy. A Eq. 2.2 representa a lei horária do movimento na forma vetorial, porque permite,

em cada instante, construir o vetor r e determinar a posição da partícula. O lugar

geométrico da extremidade do vetor r determina a trajetória da partícula. A expressão cartesiana do vetor posição é:

jy ix r += (2.3) e seu módulo é

22 yxr += (2.4) 2.2 Movimento curvo: deslocamento

Quando num intervalo de tempo ∆t = t’ – t (t’ > t), a partícula muda sua posição P(t) para P’(t’), dizemos que ela efetuou um deslocamento naquele intervalo de tempo, relativamente ao referencial adotado. O deslocamento da partícula representa a variação de sua posição, isto é, a diferença entre sua posição final e a posição inicial. Dependendo do processo escolhido para estabelecer a posição, podemos ter o deslocamento escalar e o deslocamento vetorial.

Fig. 2.2

y

x

s s

C P(t)

x

y

r

j

l

ΩΩΩΩ



Sejam s e s’ as coordenadas de posição

da partícula nos instantes t e t’ (t’ > t).

Denominamos deslocamento escalar ∆s

da partícula, no intervalo de tempo ∆t, a

variação ocorrida na coordenada de

posição, ou seja, a seguinte grandeza

escalar.

Fig. 2.3

s'ss −=∆ (2.5)

Deslocamento vetorial

Consideremos o movimento curvo de uma

partícula em relação ao referencial Oxy,

sobre trajetória C. Sejam P(t) e P’(t’) as

posições definidas pelos vetores posições

r e r . Denominamos deslocamento

vetorial da partícula no intervalo de tempo

∆t = t’ – t, a variação do vetor posição, ou

seja, a grandeza vetorial.

Fig. 2.4

r 'r r −=∆ (2.6)

Observe que desta definição decorre que o deslocamento vetorial depende apenas da posição final P’(t’), e da posição inicial P(t), não dependendo da trajetória descrita pela partícula.

Sendo jy ix r +=

e j'y i'x 'r +=

resulta j)y'y( i)x'x( r −+⋅−=∆

ou jy ix r ∆+∆=∆ (2.7) O módulo de deslocamento vetorial é

22 )y()x( r ∆+∆=∆ (2.8)

note que, em geral

s r ∆=≤∆ (2.9)

Ω’

s

s' C

s

P(t)

P’(t’) ∆s

y

x • θ

•

• C

s

∆s

P’(t’)

P(t)

r∆

r

'r



Cinemática do Movimento Curvo Plano

Objetivo : Analisar a Velocidade num Movimento Curvo

Resumo da Aula

2.3 Movimento curvo: velocidade

Seja um movimento curvo e r∆ o deslocamento vetorial da partícula no intervalo de tempo

∆t = t’ – t (t’ > t)

Fig. 2.5

Chamamos, por definição, velocidade vetorial média da partícula no intervalo de

tempo ∆t, o quociente entre r∆ e ∆t:

t r

m v∆∆= (2.10)

Notamos que, sendo ∆t uma grandeza escalar positiva, resulta que mv e r∆ têm sempre a mesma direção e o mesmo sentido. Por definição, chama-se velocidade vetorial instantânea ou simplesmente velocidade da partícula, o limite da velocidade vetorial média para intervalo de tempo tendendo a zero:

dt rd

t r

0t

limv =

∆∆

→∆= (2.11)

A velocidade de uma partícula é a derivada do vetor posição em relação ao tempo, derivada esta correspondente ao instante considerado. Analisamos agora o módulo, a direção e o sentido da velocidade. Com

s(t) s e )s( r r == escrevemos:

ds rd

dtds

dt rd

v ⋅== (2.12)

y

x • θ

•

•

s

P’(t’)

P(t)

r∆

vm



Consideremos as posições P(t) e P’(t’), nos instantes t e t’ (t’ > t), respectivamente. No intervalo de tem pó

ct = t’ – t seja r∆ o deslocamento vetorial e ∆s o deslocamento escalar. Aproximando-se P’(t’) de P(t), ∆s diminui,

acontecendo o mesmo r∆ .

Quando fazemos no limite ∆t 0, t’ t, P’(t) P(t), r∆ ∆s e a direção r∆

tende à direção da tangente à trajetória em P(t). Portanto, o vetor r∆ /∆s tende a um

limite t u , que é um vetor unitário tangente (versor tangente) à trajetória em P(t), cujo sentido coincide sempre com o sentido positivo da trejetória, ou seja, dos crescentes.

Portanto: ds

rds r

0t

lim t =

∆∆

→∆=µ (2.13)

Substituindo na Eq. 2.12 tds rd

dtds

dt rd

v µ⋅== (2.14)

Para a velocidade v , concluímos:

• Módulo: dtds

dt rd

v ==

• Direção: tangente à trajetória na posição considerada • Sentido: sempre do movimento

Concordante com 0dtds

se t >µ

Discordante de 0dtds

se t <µ

É usual denominar-se velocidade escalar v da partícula a grandeza escalar ds/dt que figura na Eq. 2.14. É evidente que a velocidade vetorial e a velocidade escalar têm mesmo módulo.

vv e vv ±==

Se um dado problema não fornecer elementos para decisão em relação ao duplo sinal, adotamos o sinal positivo (+), ou seja, orientamos a trajetória no sentido do movimento.

"vm

•

• •

•

•

v

P(t)

tµ

P’

P”

'vm

s



Objetivo : Movimentos Circulares

Resumo da Aula

Movimentos Circulares

Denomina-se movimento circular todo movimento cuja trajetória é uma circunferência

ou um arco de circunferência.

Consideremos uma partícula que

descreve uma circunferência de centro 0

e raio R. Na trajetória, escolhamos uma

origem Ω e um sentido positivo para a

medida dos espaços s.

Seja P(t) a posição da partícula num instante t; este ponto é determinado pela

coordenada de posição ou espaço s = ± PΩ e também pelos espaços.

R2N P s π⋅±Ω±=

sendo N um número inteiro e positivo qualquer. A cada espaço s corresponde um

ponto P; a cada ponto P correspondem infinitos espaços s.

É mais fácil medir um ângulo do que um arco de circunferência; daí a conveniência da noção do ângulo horário. Entende-se por ângulo horário ou abscissa angular da

partícula o ângulo θ entre o eixo 0Ω e o raio vetor P0 do ponto P, sendo o sentido positivo de θ concorde com o sentido positivo de s (Fig. 2.14). A lei horária de um movimento pode ser dada em forma linear, isto é, espaço em função do tempo s = s(t) ou em forma angular, isto é, ângulo em função do tempo θ = θ(t). Em tudo o que se segue, salvo declaração contrária, fica subentendido que os

ângulos sejam medidos em radiamos (símbolo rad); sob esta condição:

s = R. θ (2.27)

Derivando em relação ao tempo:

dtd

Rdtds

vθ==

R θ

Ω

s +

P(t)

v



Denominamos velocidade angular ω, da partícula no instante t a derivada do ângulo horário em relação ao tempo:

dtdθ=ω

A velocidade angular mede-se habitualmente em rad/s. Substituindo-se, vem

V = R ω

Significa dizer que, em cada instante, a velocidade escalar da partícula é o produto do raio da trajetória pela velocidade escalar angular. Derivando a Eq. 2.29 em relação ao tempo:

dtd

Rdtdv

a tω==

Denominamos aceleração angular ∝ da partícula no instante t a derivada da velocidade angular em relação ao tempo; sua unidade é rad/s2.

∝ = dtdω

Substituindo-se:

at = R. ∝

Significa dizer que a aceleração tangencial escalar, em cada instante, é o produto do raio da trajetória pela aceleração escalar angular. Executando-se os pontos de parada (v = 0), uma partícula executando movimento circular possui aceleração normal (aceleração centrípeta), cuja intensidade é

RRv

a 22

n ⋅ω==

As grandezas cinemáticas angulares apresentadas são escalares; definem-se também grandezas cinemáticas angulares vetoriais.

Entende-se por ângulo horário vetorial θ da partícula o vetor representado pelo

segmento orientado com origem 0, direção perpendicular ao plano do ângulo θ, e sentido dado pela regra da mão direita: empunhando com a mão o vetor em questão, de modo que o polegar aponte o sentido do mesmo, os demais dedos indicam o sentido de rotação que, a partir de 0Ω conduz a 0P (Fig. 2.15).



Objetivo : Movimento Circular Uniforme

Resumo da Aula

Movimentos Circular Uniforme

Uma partícula P com massa m descreve trajetória circular com centro O e Raio R; sua velocidade v

r tem intensidade invariável. A aceleração tangencial 0=ta

r; a

aceleração normal nnn URUva 22 ω==r

.

Assim:

∑

∑

ω===

==

RmRv

ma.mF

a.mF

nin

tit

22

0

Aplicações : Um pássaro realiza um vôo planado descrevendo uma trajetória circular horizontal. O ângulo em relação à horizontal segundo o qual ele inclina as asas é estimado em

°=φ 25 e ele gasta o tempo st 13= para efetuar uma volta completa. Dado 289 sm,g = , calcule a velocidade do pássaro e o raio da trajetória. Suponha que a

força de sustentação provocada pelo ar seja perpendicular às asas dos pássaros. Solução

Rv

mFn2=∑

Rmv

senN2

=φ

0=∑Fy mgcosN =φ

portanto

Rg1

TR2

Rgv

tg22

π==φ

φπ

= tg4

gTR

2

2 m,R 619=

TR

vπ= 2

sm,v 469= (=34km/h)



Exercícios Propostos

1. Um menino gira uma pedra com massa m = 0,30 kg em uma circunferência localizada num plano horizontal à altura h=2,0m do solo, por meio de um fio com comprimento l=2,5m. Suponha que o fio arrebente e a pedra seja atirada horizontalmente, atingindo o solo à distancia d=10m. Qual era a tração no fio enquanto a pedra estava em movimento circular uniforme? Dado g=10m/s2.

2. Um automóvel percorre com velocidade v=30m/s uma curva horizontal com raio R=90m em uma estrada em nível (sem sobrelevação). Dado g=10m/s2.

1. Calcule o menor coeficiente de atrito u entre os pneus e a pista para não haver derrapagem.

2. Calcule o Angulo de sobrelevação φ da pista, para que a segurança do veiculo na curva não dependa do atrito.

Objetivo : Exercícios Propostos

Resumo da Aula

1. Uma roda gigante com raio R = 5,0 m em movimento uniforme, efetua uma volta completa no tempo T = 10s. Dado g = 9,8 m/s2

a) Calcule a diferença entre os pesos aparentes de um passageiro nos pontos mais baixo e mais alto da trajetória, expressando-a como fração do peso real.

b) Qual seria a duração de uma volta se o peso aparente no ponto culminante fosse nulo?

c) Neste caso, qual seria o peso aparente no ponto mais baixo, em função do peso real P = mg?

d) O que acontecerá, se na situação do item (b), o cinto de segurança se rompesse e o passageiro não conseguisse se afirmar no assento?

2. Um menino gira uma pedra com massa m = 0,30 kg em uma circunferência

localizada num plano horizontal à altura h = 2,0 m do solo, por meio de um fio com comprimento l = 2,5 m. Suponha que o fio arrebente e a pedra seja atirada horizontalmente, atingindo o solo à distância d = 10 m. Qual era a tração no fio enquanto a pedra estava em movimento circular uniforme? Dado g = 10 m/s2.

3. A linha média de um trecho de rodovia situa-se em um plano vertical e tem o perfil indicado na figura. O raio de curvatura é R = 40,0 m e g = 9,81 m/s2. Um carro com massa m = 900 kg percorre a baixada com velocidade

v = 15,0 m/s. No ponto mais baixo da pista, calcule:



a) a força que a pista exerce no carro b) a velocidade que o carro deveria ter para comprimir-se contra a pista com o triplo

de seu peso. 4. A linha média de um trecho de rodovia

situa-se num plano vertical e tem o perfil indicado no esquema. O raio de curvatura é R = 80 m, g = 9,8 m/s2 e o θ = 60°. Um carro percorre a lombada

com velocidade v = 10 m/s. Calcule a força que a pista exerce no carro nos pontos A e B e a maior velocidade que o carro pode ter nos pontos A e B sem que se destaque da pista nestes pontos



EXPERIÊNCIAS Algarismos Significativos

1. Introdução

Verifica-se que a medida de uma grandeza física qualquer, é sempre de uma incerteza intrínseca ao processo de medição, tanto em relação ao instrumento utilizado como ao operador. Torna-se, então, necessário considerar o conceito denominado de “algarismos significativos” durante qualquer processo de medição, envolvendo uma medida.

Portanto o resultado de uma medida deve ser expresso com um número de algarismo que seja compatível com a precisão obtida durante o processo de medição e nenhum algarismo a mais, deve ser acrescentado.

Para ilustrar essa idéia vamos supor que dispomos de uma régua cuja escala esteja graduada apenas em centímetros, e que desejamos medir com ela a distância d entre os pontos A e B, conforme mostra a figura abaixo.

Como a menos divisão da escala e u = 1 cm, a medida d deverá ser:

d = 17 cm + fração de u

Os 17 cm inteiros são facilmente identificados por qualquer operador, porém, sobre a fração de u é onde reside a incerteza da medida, sendo que esta somente poderá ser estimada pelo operador, pois depende de sua destreza experimental.

Se vários operadores efetuarem a medida do comprimento d, com certeza, todos concordariam com os 17 cm inteiros, mas é certo também que haverá discordância em relação aos décimos de centímetros, que seriam avaliados diferentemente por cada um, de acordo com sua habilidade experimental e limites de percepção.

As medidas poderiam ser por exemplo:

d = 17,6 cm

d = 17,7 cm

d = 17,8 cm, etc..., de acordo com a prática de cada operador.

Estas medidas poderiam ser melhoradas sob o ponto de vista de precisão, se tivéssemos uma régua graduada em milímetros. Porém de qualquer forma, mesmo utilizando um instrumento de medida mais preciso, sempre teremos problema para avaliar o último algarismo da medida (aquela da direita).

Assim nasce o conceito de “algarismos significativos” ou seja, de uma necessidade experimental.

Chamamos algarismos significativos de uma medida todos aqueles considerados corretos, mais aquele que se tem dúvida.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B A d



2. Como Estabelecer o Número de Algarismos Signific ativos (A.S.) Corretamente?

O número de algarismos significativos de uma medida são contados da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo não nulo. São computados como significativos todos os algarismos corretos mais o último chamado duvidoso, e mais nenhum.

Exemplo: a medida 438, 56 cm tem 5 algarismo significativos, dos quais o 4, 3, 8 e 5 são corretos e o 6 é o duvidoso.

É claro que, como já dissemos, cada medida deve ter o número de algarismos significativos compatível com a precisão do instrumento utilizado no processo de medição.

Não devemos confundir, casas decimais (CD) com algarismos significativos. O deslocar da virgula não influencia na quantidade de algarismos significativos, devendo-se geralmente ao ajuste de unidades ou a uma melhor apresentação da medida.

Exemplo: 35,64 cm ---- 2CD e 4AS

3,564 dm ---- 3CD e 4AS

0,3564 m ---- 4CD e 4AS

Também devemos ressaltar que o zero à esquerda não é contado como algarismo significativo, em hipótese nenhuma.

Exemplo:

30,4 ---- 3AS e 1CD

0,48 ---- 2AS e 2CD

Resumindo

Os algarismos corretos são todos os algarismos sobre os quais temos certeza na medida. Os algarismos duvidosos e o algarismo significativo cujo valor temos dúvida ou onde há incerteza experimental, normalmente é o último algarismo da direita.

3. Notação Científica e Conversão de Unidades

Ao fazer-se a conversão de unidades deve-se ter cuidado para não se alterar a precisão do resultado obtido. Após efetuar a conversão, a quantidade de algarismos significativos da medida não poderá ser alterada, em nenhum caso. Por isso é conveniente escrever a medida utilizando a Notação Científica. E a regra fundamental para usar a Notação Científica é representar a medida com apenas um algarismo diferente de zero à esquerda da virgula, respeitando-se a quantidade correta de algarismos significativos e sua ordem de grandeza, através de potências de 10.

Exemplo: 102,3 cm ou1,023 .102 cm ou 1,023 m.



4. Critérios de Arredondamento

Na apresentação de uma medida devemos, necessariamente, respeitar as pressões dos instrumentos utilizados e para isso, geralmente, precisamos fazer ajustes nas medidas, desprezando as casas decimais que estão fora de precisão desejada. Essa operação é denominada Arredondamento, e suas regras básicas são estabelecidas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT): P – NB – 87 – 1961 apresentados em anexo.

É importante observar, que o aluno conheça as regras da ABNT, porém em nosso trabalho em laboratório, é possível fazermos algumas simplificações nessas regras, dado as precisões envolvidas, de forma a tomar o trabalho mais ágil sem perda de qualidade. Para tanto, adotaremos os seguintes procedimentos.

4.1. Quando o algarismo situado imediatamente após o duvidoso for maior ou igual a 5, aumenta-se uma unidade ao duvidoso abandonando-se os demais.

Exemplo: a medida 5,7G85kg deverá ser expressa com 3 algarismos significativos.

Resposta: 5,77 kg

4.2. quando o algarismo situado imediatamente após o duvidoso for menor do que 5, escreve-se até o algarismo duvidoso, mantendo-o, e eliminam-se os demais.

Exemplo: a medida 2,743kg deverá ser expressa com 2 algarismos significativos.

Resposta: 2,7kg.

5. Operações com Algarismos Significativos

Quando a medida de uma grandeza não é obtida diretamente, mas através de operações com valor de outras grandezas, torna-se necessário saber quantos algarismos significativos conterá o resultado de tal operação. Para isso utilizamos as seguintes regras para operar com algarismos significativos;

1ª Regra – Adição e subtração: o resultado da operação deverá ter o mesmo número de casas decimais que o termo de menor número em casas decimais.

Exemplo: 5,34 + 3,4 = 8,72 = 8,7

2ª Regra – Multiplicação, Divisão, Potenciação, Radiciação, et c...: o procedimento mais simples consiste em efetuar a operação normalmente. O resultado final deve conservar tantos algarismos significativos, quantos houver no termo mais pobre (ou esse número mais um em operação intermediária).

Exemplo: 5,87 x 9,8 = 52,243 = 52



1ª Série de Exercícios Laboratório de Física I Operações com algarismos significativos (I)

1. Preencha os espaços em branco indicando o número de algarismos significativos corretamente e reescreva conforme a quantidade de algarismos significativos pedidos.

a) t = 0,465s ( ) com 2 AS____________________

b) 1 = 5,47m ( ) com 2 AS____________________

c) S = 3526,8m2 ( ) com 2 AS____________________

d) m = 438,5kg ( ) com 1 AS____________________

e) v = 2345,7m3 ( ) com 1 AS____________________

f) F = 78943 N ( ) com 1 AS____________________

g) E = 2,30020 J ( ) com 1 AS____________________

2. Converter as medidas abaixo para unidades indicadas

a) t = 3600s = h

b) t = 5,47m = cm

c) S = 648cm2 = m2

d) m = 0,34g = kg

3. Resolva as seguintes operações:

a) 6,28 + 3,6 – 0,53 + 0,325 =

b) 35,48 – 0,2 + 9,061 =

c) 25985,6 x 0,02 =

d) 0,500 ÷ 3,2 =

e) 232,0

6,4808,3

4. Calcule a Energia Cinética de um corpo de massa m = 0,5820 kg e velocidade v

= 12m/s. (Dado 2v.m21

Ec = )



2ª Série de Exercícios Laboratório de Física I

Operações com Algarismos Significativos (II)

Nome:__________________________________________________________

Turma:_______________Data:_______________Professor________________

1. Calcule a força gravitacional entre duas massas m1 = 0,853kg e m2 = 5,434kg, quando estiverem a uma distância de 5,0m entre si.

Dado: 2211-2

21 kg.m.N6.673.10 G e d

mmGFg −==

2. Ache o volume de uma esfera com raio r = 10,32m, adotando π = 3,14.

(Dado )R34

V 3π=

3. Um paralelepípedo de lados a, b e c tem as seguintes dimensões:

a = 3,4m, b = 12,8m e c = 30,6m

Determine:

a) Volume

b) Densidade



EXPERIÊNCIA 2

Elementos de Teoria dos Erros

1. Introdução

Quando dois observadores fazem a medida do comprimento de uma peça utilizando um mesmo instrumento e nas mesmas condições ambientais, ou ainda, quando um observador realiza duas vezes a mesma medida de uma peça nas mesmas condições, é comum que os resultados obtidos sejam diferentes.

Esta diferença não é necessariamente um “erro” de quem as executou, é na verdade uma conseqüência do fato de que qualquer medida é independente de qualquer outro resultado obtido para ela.

A posição do instrumento, o modo de observação, ou mesmo a posição da peça que foi utilizada para se fazer a nova medida, foram modificadas, ou seja, as condições da primeira medida, ou do operador, podem não terem sido necessariamente repetidas, de modo que se obtém um novo valor na segunda medida.

Se essa medida for repetida um número “n” de vezes, obteremos uma grande variedade de resultados. Isto pode levar à questão: Qual deles é o melhor valor para representar essa grandeza?

2. Melhor Valor Experimental ou Valor Médio

O melhor valor experimental que representa uma grandeza medida em função de n valores individuais é definida por:

n

xX ou

nx...x...xxx

X

n

1ii

ni321∑

==++++++

=

onde ∑=

n

1iix , representa a soma de todos os valores xi medidos

O valor x também é conhecido como valor médio da grandeza. Ele representa um valor “intermediário” em torno do qual os valores obtidos se distribuem.

A variação dos diversos valores individuais medidos em torno do valor médio é devido a erros estatísticos que ocorrem todas as vezes que fazemos medidas. As causas dos erros estatísticos são diversos:

- irregularidade da peça;

- empunhadura do instrumento;

- posicionamento do observador em relação ao instrumento; e sobre elas não temos controle.

x4

x3

x5 x1

x7 x2 x6

x

x



3. O Desvio Absoluto de uma Medida

Pela própria definição de valor médio, as medidas, devido aos erros estatísticos, se distribuem em torno da média. Podemos então, definir uma grandeza que forneça uma medida de quanto cada valor experimental esta distante do valor médio. Chamamos de desvio absoluto de uma medida (d i) a diferença dada por: d i = x i – x

Como o valor médio representa um ponto que divide simetricamente os pontos experimentais devemos ter ora desvios positivos, ora negativos e percebe-se assim que a soma de todos os desvios de um conjunto de medidas deve tender a zero.

∑=

n

1i

di0 Obs: a soma será zero para um grande número de medidas.

4. Média dos Desvios

Este conceito não tem muita utilidade prática. Ele é definido por:

n

did

n

1i∑

==

Se num conjunto de n medidas (sendo n bastante alto) 0din

1i

=∑=

, a média destes

desvios deve ser, também zero. Desse modo o d serve para uma verificação do valor médio experimental obtido.

5. Desvio Médio (d m)

A dispersão de uma referencia sobre como os dados de um conjunto de n valores experimentais se espalham em torno do valor médio.

Uma maneira de fazer esta medida é através do desvio médio (note que este conceito é diferente da média dos desvios).

O desvio médio é dado por:

n

xxd

n

1ii

m

∑=

−=

O conceito desvio médio pode ser interpretado como a média da distância que cada ponto x i tem do valor médio x.

Ao contrário da média dos desvios, o desvio médio, não é um valor que representa sempre um valor positivo.

Atenção : o desvio médio deverá ser arredondado para um único algarismo significativo.



6. Desvio Padrão ( σσσσ)

1n

di2

−=σ ∑

Atenção: o desvio padrão deverá ser arredondado para um único algarismo significativo

7. Desvio Relativo

É a razão entre o desvio médio da medição e o valor médio

x

dd m

r =

8. Desvio Percentual

d% = dr . 100

Quando se diz que o erro é de 2%, significa que foi cometido um erro de 2 unidades para cada 100 das mesmas. Para avaliar a qualidade de uma medição, o desvio relativo é mais importante que o desvio absoluto.

Convenciona-se apesar o desvio relativo e o percentual com apenas dois algarismos significativos.

9. Apresentação do Resultado de uma Série de Medida s

O resultado de uma série de medidas de uma grandeza deve ser apresentado do seguinte modo:

x = (x ± σ) unidade

Obs: Respeita-se o número de casas decimais do valor médio e o desvio.

Exemplo: s02,035,4tCD2CD2

±=

10. Exemplo Resolvido

Numa experiência de queda livre, através da utilização de um cronômetro que fornecia leituras de até centésimos de segundos, foram obtidos os seguintes resultados:

t(s): 2,35; 2,25; 2,28; 2,32; 2,38; 2,31; 2,32; 2,27; 2,33; 2,30

Calcular:

a) o valor médio do tempo;

b) os desvios absolutos;

c) o desvio médio;

d) o desvio padrão

e) o desvio relativo;



f) o desvio percentual;

g) apresentar o resultado da série de medidas

Solução:

a) s31,210

11,23n

tit === ∑

b) d1 = t1 - t = 2,35 - 2,31 = 0,04s

d2 = t2 - t = 2,25 - 2,31 = -0,06s

d3 = t3 - t = 2,28 - 2,31 = -0,03s

d4 = t4 - t = 2,32 - 2,31 = 0,01s

d5 = t5 - t = 2,38 - 2,31 = 0,07s

d6 = t6 - t = 2,31 - 2,31 = 0,00s

d7 = t7 - t = 2,32 - 2,31 = 0,01s

d8 = t8 - t = 2,27 - 2,31 = -0,04s

d9 = t9 - t = 2,33 - 2,31 = 0,02s

d10 = t10 - t = 2,30 - 2,31 = -0,01s

c) Desvio médio

s03,0029,01029,0

n

dt

n

xxd 1

n

1i1

m ====−

= ∑∑=

c’) Desvio Padrão

s04,01n

S2i =

−=σ ∑

d) Desvio relativo

013,001298,031,203,0

td

d mr ====

e) Desvio percentual

d% = dr . 100 = 1,3%

f) Resultado

t = (2,31 ± 0,04)s



Série de Exercícios de Laboratório Física 1

Elementos de Teoria dos Erros – 1

Para as séries de medidas abaixo, determine:



c) o desvio médio;

d) o desvio padrão

e) o desvio relativo;

f) o desvio percentual;

g) a apresentação dos resultados da série de medidas

1. Ao medir o diâmetro de uma peça, com um paquímetro, foram obtidos os seguintes resultados:

d(cm) = 8,45; 8,40; 8,35; 8,50; 8,35; 8,40; 8,45; 8,35; 8,40; 8,35.

Série de Exercícios de Laboratório Física 1

Elementos de Teoria dos Erros – 2

Para a série de medidas abaixo, determine:



c) o desvio médio;

d) o desvio relativo;

e) o desvio percentual;

f) a apresentação dos resultados da série de medidas

1. Com um instrumento de medição, foram obtidos os seguinte resultados:

s(cm) = 0,348; 0,350; 0,360; 0,345; 0,354; 0,340; 0,342; 0,358; 0,348; 0,352.

2. Numa experiência, foram obtidos as seguintes forças:

F(N): 0,081; 0,080; 0,085; 0,078; 0,080; 0,083; 0,079; 0,082; 0,078; 0,083.

3. Com um amperímetro foi medida a intensidade da corrente elétrica que passa através de uma resistência, sendo obtidos os resultados:

i(A): 0,842; 0,851; 0,848; 0,845; 0,847;0,845; 0,864; 0,852; 0,846; 0,850.



Experiência 3 : Instrumentos de Medida 1. Objetivo

- Familiarização com o uso do paquímetro

- Familiarização com o uso da balança de braço

- Determinação do volume do cilindro

- Determinação da densidade do cilindro

2. Material utilizado

- Paquímetro

- Balança de Braço

- Cilindro metálico

3. Introdução teórica

a) Paquímetro

O paquímetro é um instrumento constituído de uma régua metálica graduada, terminada por uma espera fixa, ao longo da qual desliza uma espera móvel, na qual existe uma janela onde estão acoplados um NÔNIO e um parafuso de pressão que permite a sua fixação (figura 1a).

a)

b)

Figura 1. a) Paquímetro; b) Medida externa utilizando as esperas; Medida interna

utilizando as orelhas e medida de profundidade utilizando a haste.

Orelha Parafusos de Fixação

Espera Fixa

Espera Móvel

Nônio Impulsor

Escala Principal

Haste de Medida de Profundidade



Acoplado a espera móvel existe uma haste destinada a medir profundidade de cavidades. Quando as duas esperas se tocam, o zero do nônio deve coincidir com a marca zero da escala principal do paquímetro.

O nônio ou venier, inventado por Pierre Vernier (1580/1637) é uma segunda escala que permite a leitura de frações da menor divisão de uma escala principal.

O nônio é dividido num certo número de partes iguais e de valor conhecido, podendo deslocar-se paralelamente a escala graduada em divisões de valor conhecido.

Define-se NATUREZA (N) DO NÔNIO, com sendo a razão entre o valor da menor divisão da escala principal e o número de divisões do nônio.

Figura 2. Representação da escala principal e do nônio. Na figura o nônio tem 20 divisões, cad divisão corresponde a 1 20 da

menor divisão da escala principal.

Na ilustração da figura 2, a menor divisão da escala principal é 1 mm como se pode facilmente observar o nônio tem 20 (vinte) divisões, assim sendo sua natureza:

mm05,0mm20

1N ==

Para efetuarmos uma leitura do comprimento de um corpo, devemos proceder da seguinte forma:

a) Calcula-se a natureza do nônio;

b) Ajusta-se de forma conveniente o instrumento sobre o objeto de modo que as duas esperas toquem as superfícies laterais do objeto:

c) Lê-se o número L0 da escala principal, correspondendo ao traço da régua que encontra-se imediatamente antes do traço zero do nônio (vide figura a seguir). Esse número representa a parte inteira da medida.

d) Lê-se no nônio o número i correspondente ao traço do nônio que coincide com um dos traços da escala principal;

e) O valor do comprimento é L é dado por:

NiLL0

⋅+=



Figura 3. Medida externa de uma peça

OBS: Alguns instrumentos permitem a leitura de um valor intermediário entre duas marcas que definem a menor divisão de sua escala, isto porque a distância entre duas marcas é grande o suficiente para a avaliação de um valor intermediário entre elas, nestes casos, podemos fazer a leitura da medida até este algarismo intermediário que está sendo avaliado. E o caso da balança de braço com que trabalharemos.

A) Balança de Braço

A balança de braço tem por princípio o equilíbrio de forças aplicadas em dois pontos distintos ao longo de um braço móvel que se apóia num ponto determinado.

O braço da balança na condição zerado deve estar em equilíbrio, ou nivelado. A aplicação de uma força num ponto qualquer deste braço provoca um momento que o faz movimentar em torno do ponto de apoio.

Num dos lados do braço encontramos o prato da balança, onde coloca-se o corpo cuja massa se quer determinar. Do lado oposto do braço temos 3 massas (ou dependendo da balança) que se movem sobre escalas graduadas e cuja finalidade é buscar estabelecer o equilíbrio perdido em função da colocação da massa no prato. Estas massas que se movem nas escalas graduadas dão leitura da massa do corpo.

Como já citado, a balança de braço que utilizaremos em nosso curso permite a leitura de uma fração da menor divisão de sua escala. Esta fração será avaliada pelo observador e incluída no resultado da medida.

Parte Experimental

1. Nesta primeira atividade você deverá medir com o paquímetro o diâmetro D e a altura H do cilindro e anotar os resultados na tabela.

Em seguida feche o paquímetro e passe-o ao seu parceiro de equipe para ele efetuar as mesmas medidas anteriores. Repetir a operação até completar 15 medidas de cada comprimento. É importante observar que cada operador vai fazer duas medidas diferentes. Ou seja, todos da equipe deverão fazer as mesmas medidas de comprimento, porém você perceberá que estas medidas não deverão coincidir necessariamente. Enfim, todos deverão operar e manusear o paquímetro.



2. Determinar a natureza do paquímetro

N = _______________=_______________mm

3. Efetuar 15 medidas de altura H e do diâmetro do cilindro, e anotar os valores na tabela abaixo:

N (H ± )mm (D ± )mm H mm D mm (Hi - H ) mm (Di - D ) mm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

∑

4. Medir a massa do cilindro utilizando a balança.

M ( ± )g

5. Cálculos

a) Calcule o volume do cilindro: HD4

V 2 ⋅⋅π=

V = ( ± )mm3

b) Calcule a densidade do cilindro:

P = m/V P = ( ± ) g/mm3

c) Calcule o erro percentual relativo da densidade.



Experiência 4: Instrumentos de Medida II

1. Objetivos :

- Aprender a usar o micrômetro

2. Materiais utilizados

- Micrômetro

- Esfera de Aço

- Balança de prato

3. O Micrômetro

O micrômetro é um instrumento que permite medidas com precisão de milésimo de milímetro (0,001 mm), ou seja: mícron. daí a origem do nome deste instrumento.

Comparado com o paquímetro, o micrômetro fornece valores de medidas bem mais precisos, por outro lado, ele apresenta um limite de escala pequeno, servindo para medidas de comprimento maiores.

Basicamente, o micrômetro (figura 1) é constituído de um arco, tendo numa de suas extremidades uma ponta fixa, na outra extremidade encontramos uma ponta móvel ligada a um parafuso micrométrico que a cada volta completa, desloca esta ponta, afastando-a ou aproximando-a da ponta fixa, de 0,5 mm.

Esta figura representa apenas esquematicamente um micrômetro, não indicando suas partes componentes, que são: parafuso micrométrico, ponta móvel, ponta fixa, trava, arco, catraca, tambor, escala do tambor (nônio) e escala principal.

Figura 1: Detalhes do Micrômetro



O acionamento do parafuso micrométrico é feito através de um tambor graduado com 50 divisões. O giro de uma volta do tambor corresponde a uma volta do parafuso. Deste modo temos que:

1 volta – 50 divisões – 0,5 mm

1 divisão – x mm

x = mm01,0mm50

5,0 =

ou seja, cada divisão do tambor pode ser comparada ao nônio do paquímetro sendo que a medida de usa menor divisão é o erro limite do instrumento e, em um instrumento calibrado, uma leitura até esta casa decimal fornece um valor com nível de confiança de aproximadamente 100% de ser verdadeiro.

A qualidade da construção do micrômetro permite que valores intermediários entre duas marcas do tambor sejam avaliadas pelo observador, gerando assim valores de medidas da ordem de milésimo de milímetro (0,001 mm).

Além da escala do tambor que dá a precisão da medida, existe a escala principal gravada no cilindro fixo. Esta escala tem uma divisão em milímetro e uma subdivisão de 0,5 mm que facilita a definição da medida.

Na extremidade do tambor temos um parafuso de fricção, ou catraca, com o qual se deve girar o tambor. A função deste parafuso e evitar que se aperte a peça entre as pontas da medição ou uma espera contra a outra o que pode desregular o instrumento.

O micrômetro é ainda equipado com uma trava que permite a fixação da haste móvel impedindo que a sua medida realizada tenha seu valor alterado, facilitando assim sua leitura.

Como Medir :

Verifique antes de cada medida se o zero da escala principal coincide com o zero do nônio quando o micrometro estiver completamente fechado, o que indica que o instrumento está zerado.

Para se efetuar uma medida devemos colocar a peça entre as pontas de medição (Figura 2) a do micrômetro girando o tambor através da catraca. Em seguida, na escala fixa fazemos uma leitura com precisão de até 5 décimos de milímetros , verificando o traço que coincide com a borda do tambor (Figura 2b):

Figura 2. a) Medida da peça; b) Leitura da escala principal; c) Leitura do nônio



Para a leitura do nônio, ou seja da escala do tambor, busca-se qual valor coincide com o traço do “zero” do cilindro fixo, avaliando-se o algarismo intermediário entre duas marcas quando for necessário (Figura 2c).

Um cuidado que se deve tomar é de não confundir a medida de inteiros e meio milímetros, para isto deve-se observar a marcação inferior da escala principal que corresponde a 0,5mm. Se a borda do tambor tiver ultrapassado uma destas marcas, em mm lido na escala do cilindro fixo.

Cuidados com o Instrumento

Como todo equipamento, deve-se evitar quedas ou choques do micrômetro. As pontas dos encostos e o arco são construídos com metal de alta dureza para evitar deformações. Por outro lado este metal pode quebrar se for forçado além de sua capacidade.

Utilize a catraca para apoiar os encostos na peça a ser medida, acoplando-a suavemente.

Parte Experimental

6. Medir com o micrômetro o diâmetro D da esfera, anotando o resultado na tabela. Em seguida, feche o micrômetro e passe-o ao seu parceiro de equipe para ele efetuar a medida. Repetir a operação até completar as 15 medidas da tabela. Todos deverão operar e manusear o micrômetro.

7. Determinar a natureza do micrômetro.

N = ____________=____________mm mm005,0mm2

01,0p ==

8. Efetuar 15 medidas do diâmetro da esfera, e anotar os valores na tabela abaixo e depois padrão.



N (Di ± )mm D mm (Di – D)mm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

∑

D = ( ± )mm

9. Medir a massa da esfera utilizando a balança.

m ( ± )g

10. Cálculos

a) Calcule o volume do cilindro: 3D6

V ⋅π=

V = ( ± )mm3

b) Calcule a densidade do cilindro:

ρ⇒−ρv

m = ( ± ) g/mm3

c) Calcule o erro percentual relativo da densidade.



Experiência : Anamorfose

Introdução :

Devemos nos lembrar das duas ultimas experiências realizadas, de que os

gráficos até então construídos se referiam as funções do 1º grau. Todavia, é

importante destacar que nem sempre um fenômeno físico pode ser interpretado por

funções do 2º, 3º grau, Logarítmicas, Exponenciais, etc.

Também é conveniente ressaltar que nem as funções cujos gráficos são

retilíneos, além de serem facilmente interpretados, estes gráficos são de construção

imediata. Assim sendo, em determinados casos, nos quais a função estudada não é

do 1º grau, podemos, através de uma mudança de variáveis, “transformá-la” de

modo que o gráfico possa ser retilíneo. Este processo é chamado de

ANAMORFOSE e é muito utilizado na prática.

Outra aplicação comum do processo de Anamorfose é no estudo do Pêndulo

Simples, que verificaremos no exemplo seguinte.



Admitimos que um astronauta tenha efetuado algumas médio s com um pêndulo simples, na Lua, e obteve os dados constantes na tabela abaixo. Qual será o módulo da aceleração gravitacional na superfície da Lua?

l(s) 10,0 14,4 25,6 40,0 57,6 t(s) 1,57 1,88 2,51 3,14 3,77

Primeiramente devemos verificar que a expressão do período pode ser reescrita da seguinte forma:

2

2T

4

g

π=l ou k.a=l onde a (coeficiente angular) = 24

g

π

e k = T2, aplicando o processo de Anamorfose e representando-se a função do 1º grau l = f (k).

Em seguida reescrevemos a tabela em função de k e construímos o respectivo gráfico de acordo com as instruções das experiências.

l(cm) 10,0 14,4 25,6 40,0 57,6 t(s) 1,57 1,88 2,51 3,14 3,77

K=T2(s2) 2,46 3,53 6,30 9,86 14,2

Num papel 10 cm x 10 cm, teremos o gráfico abaixo

cm)0,10g.(210,0d cm/cm 210,0cm)0,106,57(

cm10 −=∴=−

=λ ll

cm)46,2g.(852,0d cm/s 852,0s)46,22,14(

cm10k

2

2k −=∴=−

=λ



cm0,10)0,102,14(210,0d

cm30,6)0,100,40(210,0d

cm28,3)0,106,25(210,0d

cm924,0)0,104,14(210,0d

0)0,100,10(210,0d

5

4

3

2

1

=−=

=−=

=−=

=−=

=−=

l

l

l

l

l

cm0,10)46,22,14(852,0d

cm30,6)46,286,9(852,0d

cm27,3)46,230,6(852,0d

cm912,0)46,253,3(852,0d

0)46,246,2(852,0d

5

4

3

2

1

k

k

k

k

k

=−=

=−=

=−=

=−=

=−=



Experiência: Pêndulo simples

Objetivo :

Investigar a relação entre o período de um pêndulo simples e seu comprimento. Determinação da aceleração da gravidade.

Material :

Pêndulo simples; cronômetro; fita métrica; paquímetro.

Introdução :

Um corpo qualquer, suspenso de um ponto de modo a poder oscilar, ou um corpo móvel em torno de um eixo horizontal e sujeito exclusivamente à ação da gravidade, é denominado pêndulo.

Considerar o movimento de um corpo de massa m, suspenso por um fio inextensível de comprimento L e de massa desprezível. Devem ser satisfeitas as condições:

dimensões do corpo « L

massa do fio « m

Nessas condições, o sistema é denominado pêndulo matemático ou pêndulo simples.

A condição necessária para que o movimento pendular seja harmônico simples é que a força restauradora seja diretamente proporcional à elongação e de sentido oposto.

Se F é a força restauradora e F = -k . x, então o movimento é harmônico simples.

Figura (1)



No nosso caso, .L-kF portanto, Lx θ⋅=θ⋅= Na figura acima. T = m . g. cos θ P = m . g F = m . g . sen θ é a força restauradora. Como a força restauradora não é proporcional a θ mas o sen θ, logo o movimento não é harmônico simples. Entretanto, se o ângulo θ é pequeno, sen θ é aproximadamente igual a θ, ou seja, para oscilações de pequena amplitude, pode-se fazer o desenvolvimento em série:

L−θ+θθ=θ!53!

- sen53

Em primeira aproximação, sen θ ≅ θ = x/L, e o arco x pode ser considerado como uma pequena porção da tangente horizontal à trajetória. Assim, )L/x(gmgmF ⋅⋅−=θ⋅⋅−= (1) e a força restauradora do equilíbrio é do tipo elástico. O movimento será, portanto, harmônico quando as oscilações apresentarem pequena amplitude; seu período será expresso por

gL

2L/)gm(

m2T π=

⋅π= (2)

O período de um pêndulo simples independe da amplitude e da massa pendular, fato este que caracteriza a “lei do isocronismo das pequenas oscilações” (Galileu). É conveniente ressaltar o fato de o movimento se realizar num plano vertical contendo o ponto 0, quando a velocidade inicial é nula (nas posições extremas) ou máxima (ao passar pela vertical). O movimento de um pêndulo simples é variado, pois a velocidade não é constante nem uniformemente variada, não sendo a aceleração tampouco constante. O período pode ser calculado com qualquer precisão desejada tomando-se um número suficiente de termos na série infinita.

+θ⋅+θπ= L

2sen

43

21

2sen

21

1gL

2T 42

2

2

22

2

2

(3)

Quando θ = 15º (para qualquer lado da posição de equilíbrio), o período real difere do que seria obtido pela expressão (2), de menos de 0,5%. No caso desta experiência, usaremos ângulos menores de 15º, quando poderemos nos valer da expressão (2). A fim de comprovarmos que a expressão (2) pode ser utilizada para pequenos ângulos, admitamos ser a equação do período simples do tipo nLkT ⋅= (4) Aplicando-se logaritmos a ambos os membros de (4), teremos: L log n k logT log ⋅+= (5) que é a equação de uma reta. Sendo, log T = y, log L = x e log k = b, obteremos y = a . x + b onde a = declividade da reta, sendo o valor d en da Eq. (4). Construindo-se um gráfico em papel di-log T versus L. obteremos uma reta do

tipo apresentado na figura abaixo. B0

A0n =

Para que se possa obter a Eq. (2), n = 1/2.



Figura (2) Procedimento 1. Medir o tempo de vinte oscilações completas de pêndulos com seis

comprimentos diferentes.

2. O comprimento L do pêndulo é a distância entre o ponto em que o fio é fixado até

o baricentro da esfera de massa m.

3. Medir o comprimento do fio com a fita métrica e o diâmetro da esfera de massa

m, com o paquímetro. Somar o raio da esfera ao comprimento do fio para obter

cada um dos valores de L. Anotar os resultados na Tab.1.

4. Construir em papel milimetrado o gráfico L versus T2.

5. A partir do gráfico, obter o valor de g, sabendo-se que 2

2

TL4

gπ=

6. Calcular o erro percentual em g, considerando que, em São Paulo, g = 9,78 m/s2

7. Calcular o erro percentual da medida de g obtida em laboratório, admitindo-se

que ∆L = 0,001 m e ∆T = 0,01s. TT

.2LL

gg ∆+∆=∆

8. Analisando os resultados obtidos, citar as possíveis fontes de erro.

9. Construir na folha de papel di-log um gráfico T versus L. Locar o eixo das

ordenadas no “segundo numero 1”, da escala logarítmica.

10. A partir do gráfico, calcular o valor de n, onde B0/A0n = , lembrando-se de que

A0 e B0 são os logaritmos dos valores das grandezas T e L.

11. Considerar o quarto par de dados da Tab. 1 e verificar a validade da Eq. (5). Para

isso, calcular g

2k

π=

12. O período do pêndulo depende da massa? Justificar.

o

T (s)

L (m)

A

B



FOLHA DE DADOS

Experiência: Pêndulo simples Aluno:__________________________________________Número:_____________ Turma:____________Grupo:_________________Data:_______________________ Professor:___________________________ 1.

L(m) t (tempo de 20 oscilações)

T= t/20 (s)

T2 (s2)

0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20

2. Construir o gráfico L versus T2 em papel milimetrado.

3. Do gráfico, obter o valor da aceleração da gravidade g. g =

4. Calcular o erro percentual em g, admitindo g = 9,78 m/s2.

5. Calcular o erro percentual em g através da equação de erro.

6. Citar as possíveis fontes de erros nesta experiência.

7. Construir em papel di-log o gráfico T versus L.

8. Obter a partir do gráfico o valor de n.

n =

9. Qual a conclusão em relação ao valor obtido para n?

10. Verificar a validade da Eq. (5).

11. Qual o valor do log T em A? (Veja a Fig. 2).

12. O período depende da massa do pêndulo?



Experiência : Mesa de forças

Objetivo :

Determinação da força equilibrante de um sistema de duas forças

concorrentes utilizando o Teorema de Lamy.

Introdução :

Se certo número de forças não-paralelas atuar num mesmo ponto de um

corpo, pode-se demonstrar a possibilidade de uma substituição das mesmas por

uma única força que produzirá o mesmo efeito no corpo; essa força é conhecida

como o resultante das forças aplicadas . O processo para a determinação dessa

resultante denomina-se composição de forças.

A força isolada, que manterá o sistema de forças concorrentes em equilíbrio,

é chamada equilibrante do sistema . É igual em módulo à resultante, mas de

sentido oposto.

Os processos para a determinação das componentes de forças, segundo

direções específicas, são denominadas decomposição de forças . Os processos

composição e decomposição podem ser executados mediante outros métodos

gráficos e analíticos.

Se F for a força considerada, o método analítico para a determinação de suas

componentes consistirá na aplicação das relações trigonométricas no triângulo.

formado por F, Fx e Fy na figura, as forças Fx e Fy são, respectivamente, as componentes horizontal e vertical da força F. Para calcular a resultante de duas forças em módulo, utilizamos a relação:

β++= cos.F.F2FFR 2122

21

21 β+β=β



Para determinarmos a direção da resultante, usamos a lei dos senos:

( )β−=

β=

β º180senR

senF

senF

2

2

1

1

Teorema de Lamy Seja 3 forças coplanares concorrentes aplicadas sobre um ponto conforme figura abaixo: podemos dizer Aplicando-se a lei dos senos:

α=

β=

γ

θ=θβ−

=β

=β

senF

senF

senF

:então

como

)º180sen(R

senF

senF

321

2

2

1

1

sen)(180º- sen

Material utilizado: Mesa de forças cenco (pequena mesa circular dotada de roldanas as quais podem se fixar em suas bordas em posições variáveis); porta-pesos; massas aferidas; fios; escalas graduadas, transferidor.

2β

1β

R 1F

2F

β

1β

1F

3F

2F

1F

2F3F

α

β

γ α

γ

β

180º -β

180º -α

180º -γ



Procedimento Experimental

1) Retirar o anel da mesa de forças e nivela-la. Essa operação é feita da

seguinte maneira:

a) Colocar o nível sobre a mesa de forças de modo que seu eixo longitudinal

fique paralelo a um dos pés do suporte da mesa e ajustar a “bolha“ com o

auxilio do parafuso (P1) desse pé;

b) Mudar a posição do nível sobre a mesa, de modo a fazer com que seu

eixo longitudinal fique paralelo a uma reta imaginária que passe pelos

outros dois parafusos (P2 e P3) dos outros dois pés. Girar então ambos os

parafusos simultaneamente, em sentidos contrários, até ajustar a posição

correta da bolha.

2) Fixe as polias nos ângulos α1 = 50.0º e α2 = 105º. Coloque o anel metálico no

pino existente no centro da mesa. Passe os barbantes sobre as polias e, em

cada extremidade livre, suspenda um suporte com peso próprio igual a 50,0gf.

Coloque massores nos suportes de modo a aplicar as forças F1 = 300,0gf e F2

= 200,0gf (Não esqueça de incluir o peso dos suportes).

3) Por tentativas, obtenha a intensidade E da força equilibrante e o ângulo α que

determina a sua direção. A posição ou equilíbrio é aquela em que o pino fica

exatamente no centro do anel e que as direções dos barbantes se cruzam no

pino (veja figura). Anote esses valores.

E (exp) =________________________ α(exp) = ________________________

4) Determine analiticamente o módulo E aplicando a lei dos cossenos.



5) Determine analiticamente a direção e o sentido de E, que é dado pelo ângulo

α aplicando o teorema de Lamy.

6) Ache o erro percentual de E(exp) relativamente a E(analítico).

7) Ache o erro percentual de α(exp.) relativamente a α(analítico).

8) No papel anexo, adequado para fazer um diagrama polar, represente através

de vetores as forças F1 e F2 com seus respectivos ângulos e aplicando a

regra do paralelogramo (método gráfico), determine a força resultante

graficamente.

9) Calcule o resultante do sistema de forças aplicando o método de

decomposição retangular. Ache a força equilibrante aplicando este processo.

10) Ache o erro percentual de E(exp) relativamente a E(analítico), obtido pela

decomposição retangular.

11) Ache o erro percentual de α(exp) relativamente a α(analítico), obtido pela

decomposição retangular.

12) Compare os valores obtidos para a resultante, para a força equilibrante obtida

experimentalmente, analiticamente e graficamente. Esses valores devem

coincidir.



Laboratório de Física

Estudo do momento polar de Forças

1ª Parte – Barra não Homogênea

1. Localize o baricentro G da barra homogênea, suspendendo-a por um de seus furos, até equilibrá-la na posição horizontal.

2. 3. Utilizando-se os massores e os suportes,

aplique na barra as forças indicadas na figura (não se esqueça de incluir os pesos próprios dos suportes) e determine a força F3 que equilibra a barra na posição horizontal.

F3 = ...............................gf

X1 = 16,0 cm F1 = 100,0 gf X2 = 8,0 cm F2 = 80,0 gf X3 = 20.0 cm F3 = ?

4. Use a condição de equilíbrio de rotação ∑ML = 0 e calcule Fa analiticamente

(compare com o resultado obtido experimentalmente no item anterior)

F1 x1 + F2 x2 – F3 x3 = 0 F3 =……………………………..gf

2ª Parte –Barra não homogênea

1. Por meio de um gancho, suspenda o prato no furo da barra localizado mais próximo da extremidade (veja figura). Suspenda a barra pelo furo situado à distância x = 4,0 cm do gancho. Coloque massores no prato e determine a força F necessária para manter a barra em repouso na posição horizontal (porque às vezes esta operação se torna difícil de ser realizada).

Não se esqueça de incluir o peso próprio do prato na determinação de F.

MANTENHA O PRATO SUSPENSO SEMPRE NO MESMO FURO, SEMPRE NO

PRIMEIRO DA ESQUERDA, varie a distância x, de acordo com a tabela, e anote os

novos valores da força F. F (gf)

x (cm) 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0

1/x (cm-1) 0,25 0,17 0,13 0,10 0,083 0,071

•••• ••••

•••• •••• ••••

X1

X2

X3

F1

F2

F3

••••

Furo Fixo

•••• x = 4,00 cm Variar este

furo

F



2. Nas condições realizadas, demonstra-se que, F = (1/x) – P, sendo c constante e P o peso da barra não-homogênea.

3. Construa no papel milimetrado o gráfico cartesiano anamorfoseado F versus (1/x), adotando 15,0 cm para comprimento de cada eixo coordenado.

eixo das abscissas (1/x) eixo das ordenadas (F)

omax (1/x) - (1/x)eixo ocompriment

x =λ omax F - F

eixo ocomprimenty =λ

(1/x)o = 0,0 cm-1 Fo = 0,0 gf (1/x)Max = 0,25 cm-1 Fmax = gf

1-cm/cm 0,600-0,25

0.5,1x ==λ gf/cm

0-15,0

y LL==λ

dx = λx.(1/x) dy = λy . F

d1x = …………………………cm d1y……………………………..cm d2x = …………………………cm d2y……………………………..cm d3x = …………………………cm d3y……………………………..cm d4x = …………………………cm d4y……………………………..cm d5x = …………………………cm d5y……………………………..cm d6x = …………………………cm d6y……………………………..cm

1. No gráfico, prolongue a “reta média” obtida, mediante uma linha tracejada, até interceptar o eixo das ordenadas. Meça a distância d e obtenha graficamente o peso P da barra não-homogênea. d = .............................cm

P = =λyd

_____________

P (exp) = .........................gf

2. Indique o peso da barra determinado mediante uma balança (o valor está gravado na própria barra):

P(verd) = ..............................................gf

3. Admitindo como verdadeiro este último valor, calcule o erro percentual cometido na experiência.

%100P(verd)

P(exp)-P(verd) %erro ⋅=

erro% = 100%

erro% = ......................................

1/x

F

d

0 ••••

••••

••••

••••

••••

•••• ••••



Experiência: Molas helicoidais Objetivo

Estudo da elasticidade de molas helicoidais em relação às suas dimensões e

ao material de que são feitas.

Material

Molas helicoidais; porta-pesos; pesos aferidos; escala métrica; grampo de

mesa; hastes; presilha de 90º.

Introdução

A elasticidade é a propriedade que determina como um corpo retorna ao seu

tamanho e à sua forma originais após ter sido deformado por forças. Se o

restabelecimento do tamanho e da forma primitivos for completo, o corpo será

denominado perfeitamente elástico.

Existem vários módulos de elasticidade que descrevem as propriedades elásticas de um dado material.

Chama-se por definição módulo de elasticidade a relação entre uma força

aplicada e a deformação correspondente. O módulo de elasticidade é uma constante

dos materiais dentro do limite de elasticidade.

Observações experimentais indicam que corpos, como, por exemplo, uma

mola helicoidal, ou uma tira de borracha, se alongam sempre que uma força for

aplicada. Se a distensão não é muito grande, esses corpos tendem a retornar aos

seus comprimentos originais ao ser removida a força responsável pela distensão.

As propriedades elásticas das molas helicoidais são freqüentemente citadas

em Mecânica. A distensão da mola é na realidade uma combinação de tração, flexão

e torção do arame de que ela é construída, sendo preponderante o efeito da torção,

podendo portanto os outros ser desprezados.

A torção de um material sob a ação de uma força é fisicamente descrita pelo

módulo de rigidez .

Assim, sabemos que, se uma força for aplicada a uma mola helicoidal, ela

sofrerá uma deformação tal que força a deformação são proporcionais entre si,

obedecendo à lei de Hooke:

F = k . x (1)



A lei de Hooke para cada mola é válida num certo intervalo de valores das

forças aplicadas. Aplicando-se gradativamente forças ao terminal livre de uma mola

suspensa, a partir do valor zero, estando suas aspiras encostadas uma às outras e

como a deformação se realiza através de uma torção, deve ocorrer uma natural

rotação do fio de que é feita a mola. Isso implica a existência de atrito entre as

aspirais, provocando assim uma dificuldade de movimento, “mascarando” assim a lei

de Hooke. Esse efeito desaparece logo que a força aplicada for suficiente para as

espiras se separarem adequadamente. Este valor da força aplicada constituí o limite

mínimo da validade da lei de Hooke.

A partir da situação de separação das espiras da mola (limite mínimo) até a

correspondente ao limite máximo é valida a lei de Hooke. O limite máximo é

caracterizado pela mínima força que, aplicada à mola, provoca uma deformação

permanente (de efeito irreversível), ou seja, deixa uma deformação residual, mesmo

após ter sido retirada.

O fator de proporcionalidade entre a força aplicada e a deformação

correspondente, na fase elástica, é chamado constante elástica da mola:

xF

k = (2)

Figura 01 A constante elástica de uma mola depende das características de construção

da mesma, ou seja:

• número de espiras

• diâmetro interno da espira

• diâmetro do fio

• natureza do metal



Notar também que a constante elástica de uma mola é inversamente proporcional à elasticidade, ou seja, a mola mais elástica possui constante elástica menor que a mola menos elástica . Isso é ilustrado pelo gráfico abaixo.

Temos:

.xF

k e xF

k2

22

1

11 ==

Se .kk logo ,xx 2112 >> Observamos através do gráfico que a mola a é menos elástica que a mola b,

pois, para uma mesma força F1, sofre uma deformação menor (x1) e, assim, a mola cuja constante elástica é maior, é a menos elástica.

A constante elástica (k) e o módulo de rigidez (ρ) podem ser relacionados através da expressão:

3

4

Dn8d

k⋅⋅

⋅ρ= (3)

onde: ρ = módulo de rigidez do material d = diâmetro do arame n = número de espiras da mola D = diâmetro interno da espira. Pela análise da expressão (3), podemos concluir que a constante elástica k

aumenta com o módulo de rigidez ρρρρ e com o diâmetro do arame d; diminui com o número de espiras n e com o diâmetro interno D. Procedimento

1. Medir nas três molas fornecidas D, d e n de cada uma e anotar na folha de dados.

2. Suspender a mola 1, por um de seus extremos, e colocar na extremidade livre o porta-pesos.

Figura 02



Figura 03

3. Marcar a posição da face inferior do porta-pesos na escala, por meio do

cursor, considerando-a como origem das deformações.

4. Colocar no porta-pesos um peso de 50 gf e ler a deformação em milímetro.

5. Repetir o item 4 até atingir 600 gf no porta-pesos.

6. Repetir os itens de 1 a 5 com as molas 2 e 3.

7. Construir o gráfico F versus x para cada mola, num mesmo referencial,

observando que, quando começamos a tracionar a mola, como foi citado na

introdução, a lei de Hooke não tem validade. O gráfico terá a configuração da

Fig. 03, ou seja, a reta será traçada desprezando-se os primeiros pontos.

8. Obter, a partir dos gráficos, as constantes elásticas das molas.

9. Colocar em ordem crescente de valores as constantes elásticas obtidas.

10. Calcular os módulos de rigidez dos materiais das três molas.

11. Calcular o trabalho realizado por cada mola helicoidal devido à ação de uma

força de 400 gf, sabendo-se que uma mola, ao se deformar sob a ação de

uma força, realiza um trabalho dado pela expressão:

( ) ( ) ( ) ( ).xxk21xk21xk21

x

xxkdxxKFdxW

20

21

20

21

0

1x

x

x

x

21

0

1

0

−⋅=⋅−⋅=

=⋅=⋅⋅== ∫ ∫

Se x0 = 0 e x1 = x. Assim,

W = (1/2)k.x2. (4)



Folha de dados EXPERIÊNCIA: Molas Helicoidais Aluno: .................................................................................Número: ........................... Turma: .......................Grupo: ......................................Data: ........................................ Professor: .................................................................................................................... 1.

Mola 1 Mola 2 Mola 3 n1 = d1 = D1 =

n2 = d2 = D2 =

n3 = d3 = D3 =

F(gf) x(cm) F(gf) x(cm) F(gf) x(cm) 50 50 50

100 100 100 150 150 150 200 200 200 250 250 250 300 300 300 350 350 350 400 400 400 450 450 450 500 500 500 550 550 550 600 600 600

Observação: x1, x2,…são as diferenças entre as leituras com o porta-pesos carregado e o porta-pesos vazio. 2. Construir os gráficos F versus x. 3. Do gráfico, obter os valores de:

k1 = gf/cm k2 = gf/cm k3 = gf/cm

4. Colocar os valores obtidos de k em ordem crescente. 5. Calcular os valores dos módulos de rigidez das molas.

ρ1 = ρ2 = ρ3 =

6. As molas são feitas do mesmo material? Justificar. 7. Calcular os trabalhos realizados pelas molas helicoidais devido à ação de uma

força de 400 gf. W1 = gf.cm W2 = gf.cm W3 = gf.cm

8. Fazer um estudo comparative dos valores obtidos de k em relação aos diâmetros dos fios, aos diâmetros das espiras e ao tipo do aço das molas.



Experiência: Comportamento semi-elástico de uma tir a de borracha

Objetivo a) Estudo do comportamento de uma tira de borracha sob a ação de cargas

crescentes e decrescentes. b) Determinação da energia mecânica dissipada em uma deformação

permanente da tira

Material Tira de borracha; escala graduada com cursores (ou catetômetro); porta-pesos; grampo de mesa; haste.

Introdução Aplicando-se trações crescentes a um fio metálico, por exemplo, este sofrerá inicialmente uma deformação elástica, que obedece à lei de Hooke. Ultrapassado o limite de proporcionalidade, e aumentando-se o valor da força de tração, o material passará a apresentar elongações não mais proporcionais às forças aplicadas. O gráfico da força de tração versus deformação tem o aspecto da Fig. 01. Aumentando-se a força de tração, a partir de zero, a cada valor da força haverá uma deformação correspondente. Se porém, ao atingirmos o ponto B e iniciarmos a diminuição da força de tração, o caminho de volta, no gráfico, não mais será o mesmo e, quando o valor da força for igual a zero, haverá uma deformação residual ∆∆∆∆r. A esse fenômeno dá-se a denominação histerese mecânica .

Figura 01 Se, a partir do ponto C, aumentarmos novamente a força de tração, o fato se repetirá e assim por diante. Isso fará com que a energia perdida em cada vez, sob a forma de calor para o ambiente, deixe o corpo extremamente sem resistência, rompendo-se com facilidade. Fato semelhante ocorre quando queremos quebrar um arame e vamos entortando-o para um lado e para outro até a ruptura. Sob o ponto de vista físico, a histerese mecânica representa um trabalho perdido durante o processo, podendo ser calculado através da medição da área ABC . Nesta experiência será analisada a histerese mecânica, usando como corpo que sofre a deformação uma tira de borracha, a qual é presa por uma de suas extremidades e tem suspensa, na outra, um porta-pesos.

AC = ∆∆∆∆T = elongação

residual

elongação

Força de tração

C

B

A



Figura 02 Procedimento

1. Anotar o valor l0 que se lê na escala, indicado pelo extremo inferior da tira de borracha, quando ela for tracionada apenas pelo porta-pesos.

2. Colocar um massor de 50 g sobre o prato e ler a nova posição l1, por diferença com l0.

3. Repetir o procedimento do item anterior até completar dez massores sobre o porta-pesos, anotando os valores correspondentes na 1ª coluna da tabela.

4. Retirar agora os massores, um por vez, e ler as posições correspondentes na escala, anotando os valores correspondentes na coluna 2 da tabela.

5. Traçar um gráfico deformações versus cargas na folha de papel milimetrado. 6. A partir do gráfico, calcular a área limitada pelo eixo das ordenadas e a curva

externa (cargas crescentes). 7. Para podermos calcular a área citada no item 6, dividi-la por meio de um certo

número de retas paralelas ao eixo abscissas de 1 em 1 centímetro. Assim,

(trapézio) BC/2Cc) Bb(S

(trapézio) AB/2Bb) Aa(S

)(triângulo (cm) x Aa)/2OA(S

3

2

1

⋅+=⋅+=

=

Portanto: S = S1 + S2 + …+ Sn



8. Calcular agora a área limitada pelo eixo das abscissas e a curva interna

(cargas decrescentes):

(trapézio) BC/2)Cc' 'Bb('S

(trapézio) AB/2)Bb' 'Aa('S

)(triângulo (cm) )/2 x Aa'A'O('S

3

2

1

⋅+=⋅+=

=

Portanto: S’ = S’1 + S’2 + S’3 +

…+ S’n 9. As áreas S e S’ calculadas são, respectivamente, proporcionais ao trabalho

fornecido à tira quando submetida a cargas e ao trabalho que a tira realiza quando submetida a cargas decrescentes.

10. A constante de proporcionalidade entre as áreas calculadas e o valor numérico do trabalho efetivamente realizado (área entre as curvas) será λx λy. Portanto:

,cmgf'SS

Wyx

⋅λλ

−=

onde λx e λy.são os módulos das escalas adotados para os eixos das abscissas e das ordenadas, respectivamente.

11. Numa outra folha de papel milimetrado, traçar novamente o gráfico, recortando agora a área limitada pelas duas curvas (∆S):

Oabcd e O’a’b’c’d’ Recortar da mesma folha um quadrado de 4 cm2, cuja área denominaremos S0.

12. Numa balança de precisão, determinar as massas de S1 e S0: m1 = massa de S1 m0 = massa de S0

Se admitirmos que a distribuição superficial de massa da folha de papel considerada é constante, poderemos escrever: m1/S1 = m0/S0 ou S1 = (m1/m0)⋅S0 Como no caso anterior, obter-se-á:

cmgfS

'Wyx

1 ⋅λλ

=

13. Comparar W e W’. Qual dos dois métodos utilizados é o melhor? Justificar.



Folha de dados

EXPERIÊNCIA: Comportamento Semi-Elástico de uma Tira de Borracha Aluno: .................................................................................Número: ...........................

Turma: .......................Grupo: ......................................Data: ........................................

Professor: ....................................................................................................................

1. l0.= cm 2. Tabela (l e l’ deverão ser obtidos por diferença relativamente a l0.)

F(gf) l(cm) l' (cm)

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

3. Construir o gráfico deformações versus cargas. 4. Cálculo dos módulos das escalas:

λx = cm/gf λy = cm/cm

5. Cálculo das áreas S1 = cm; S’1 = cm S2 = cm; S’2 = cm S3 = cm; S’3 = cm S4 = cm; S’4 = cm S5 = cm; S’5 = cm S6 = cm; S’6 = cm S7 = cm; S’7 = cm S8 = cm; S’8 = cm S9 = cm; S’9 = cm S10 = cm; S’10 = cm S = S1 + S2 + …+ Sn S = cm2 S’ = S’1 + S’2 + …+ S’n

S’ = cm2 ∆S = S – S’ =

6. =λλ

−=yx

'SSW



W = gf.cm

7. Obter o valor da massa da tira de papel correspondente a S – S’ = ∆S m1 = g

8. Idem para o quadrado de 4 cm2:

m0 = g

9. Calcular o valor de ∆S = S – S’ através da relação: ∆S = (m1/m0) S0 ∆S = cm2

10. Calcular o valor do trabalho W’:

W’ = yx

Sλλ

∆

W’ = gf.cm

11. Comparar os valores obtidos para W e W’. Qual deles estará menos gravado de erros? Justificar.



Experiência: Aceleração de um projétil

Objetivo

Estudar a natureza de um movimento acelerado através da observação da trajetória de um projétil sobre um plano inclinado.

Material

Aparelho de Packard: esfera de aço; papel milimetrado; papel carbono.

Descrição do Aparelho

Se não for possível obter um aparelho de Packard, pode-se perfeitamente substituí-lo por uma tábua de aproximadamente 800 cm2, com inclinação de 10º a 30º em relação à horizontal. A tábua deverá ser coberta por uma lâmina de vidro ou outro material duro. O dispositivo com o qual a esfera é projetada é feito de metal ou madeira e consta de uma canaleta (p) situada na extremidade superior esquerda do plano principal (P), de tal modo que a esfera (diâmetro aproximadamente igual a 2,5 cm) seja projetada numa direção horizontal.

O plano principal é dotado de duas presilhas que se destinam a fixar uma folha de papel carbono disposta sobre uma folha de papel milimetrado, cujas linhas horizontais devem ser paralelas aos bordos do plano.

Figura 1

Introdução

Quando a esfera se projeta sobre o plano principal através da canaleta, rola plano abaixo, deixando gravada sobre o papel milimetrado a trajetória de seu movimento que é do tipo da Fig. 02.



Figura 2

Desprezando-se o atrito da esfera contra o papel, a trajetória do movimento descrito pela esfera é um arco da parábola, sendo que:

a) Na direção 0x não atuam forças; a projeção do movimento será um movimento retilíneo e uniforme, com origem no ponto 0, onde a esfera tocou a folha de papel milimetrado. Logo, a equação do movimento será:

x =vox .t MRV (1)

b) A projeção segundo a direção 0y, será a de um movimento retilíneo uniformemente acelerado, com aceleração a, pois as forças que agem sobre a esfera são:

1. a reação normal do plano N, que equilibra a componente normal do peso da esfera no plano inclinado. N = m . . cos α.

2. a componente tangencial do peso da esfera T, paralela ao plano. α sen.g.mT = .

A força T produz a aceleração. constante sen.gm

sen.g.mmT

a ==== αα.

O valor de g (aceleração da gravidade) é conhecido e α pode ser facilmente determinado.

Sendo

∫ ∫ +===

=

1x

y

C .t g.sen.dt sen.gdt.av

adt

dv

αα

Figura 3

tP

α

α

N

nP

P



Para t = 0, vy = voy = C1

Como a direção de vo é horizontal, resulta que voy = 0 e, portanto, C1 = 0,

Vy = g . sen α . 1 MRJA (2)

Mas, ,dtdy

ry = logo ∫∫ +=== 2

2

y C2t

.sen.gtdt.sen.gdt.vy αα

Para t = 0, y = yo = C2

Como a esfera parte da origen dos eixos coordenadas, yo = 0 e, portanto, C2 = 0. Assim,

2t.sen.g21

y α= (3)

Deduziremos agora a equação da trajetória:

20

22

o

o

r2x.sen.g

t.sen.g21

y

,vx

t

,t.vx

αα =

=

=

=

Designando-se 2v x

2sen.g

kα= (4)

Podemos escrever a equação da trajetória, y = k . k2, (5) que é a equação de uma parábola.

Procedimento

1. Nivelar o plano inclinado.

2. Fixar uma folha de papel milimetrado no plano de Packard e verificar por tentativas os seguintes itens:

a) se a esfera toca o papel milimetrado numa posição conveniente, ou seja, se a origem da trajetória está dentro do papel milimetrado. Se isso não acontecer, ajustar o papel milimetrado para que aconteça;

b) se a trajetória ocupa a máxima distância segundo a direção horizontal. Se isso não ocorrer, soltar a esfera de outra posição sobre a canaleta (p). Determinada a posição conveniente sobre a canaleta, fixá-la com o parafuso que o aparelho dispõe especificamente para essa finalidade.

3. Medir o ângulo de inclinação do plano (α) através das medições de l e h, conforme a Fig. 4.



Figura 4

Observar que l é o comprimento do plano inclinado, considerado sobre a superfície em que a esfera rola até seu prolongamento.

4. Colocar o papel carbono sobre o papel milimetrado e abandonar a esfera da posição que foi determinada no item 2, obtendo a trajetória do movimento descrito pela esfera no papel milimetrado.

5. Locar a origem dos eixos 0x e 0y no canto esquerdo do papel, rigorosamente no ponto em que a esfera tocou o papel milimetrado. A partir desse ponto, traçar os eixos do referencial adotado.

6. Sobre o eixo 0x, e a partir da origem, marcar pontos de 1 em 1cm. Desses pontos, baixar verticais até interceptar a linha contínua representativa da trajetória. A partir dos pontos de interseção, traçar as horizontais até encontrar o eixo das ordenadas, obtendo-se assim os valores de y correspondentes.

7. Preencher a Tab. 1 nos itens x, y e x2.

8. Na folha de papel milimetrado, construir o gráfico anamorfoseado 2xversus y . Obter-se-á assim uma reta, cuja inclinação nos dará o valor k, conforme as Eqs. (4 e 5).

9. A partir do valor obtido de k, através da Eq. (4), determinar-se-á o valor de vo.

10. Assim, poder-se-ão avaliar na trajetória original os tempos em segundo, que correspondem às distâncias (de 1 em 1 cm) no eixo das abscissas.

11. Num movimento retilíneo uniformemente acelerado, sabe-se que a velocidade média entre dois pontos é igual à velocidade instantânea no ponto médio do intervalo considerado, ou seja,

2

vv

tt

yyv 2y1y

12

12y

+=

−−

= sendo t1 =0, y1 = 0 e vyi = 0

Assim, yv)2/1(1y = , ou seja vy = 2(y/t) (6)

Através da Eq.(6), complementar a tabela lembrando-se de que todos os valores de y e t devem ser considerados em relação à origem.

12. Construir o gráfico vy versus t, o qual, de conformidade com a Eq. (2), será reta.

13. Determinar através do gráfico a inclinação da reta obtida, a qual será o valor da aceleração do movimento uniformemente acelerado ay.



FOLHA DE DADOS

Experiência: Aceleração de um Projétil

Aluno:______________________________________Número:_____________

Turma:____________Grupo:_____________Data:_______________________

Professor:________________________________ 1. h = cm; l = cm;

α = ; sen α = tg α = 2.

x (cm) y (cm) x2 (cm2) t = x/vo(s) vz = 2 (y/t)cm/s)

Construir o gráfico y versus x2.

A partir do gráfico, obter o valor de k = tg θ

k =

vox = cm/s

Preencher na tabela a coluna correspondente ao tempo.

Locar no gráfico o valor de t em segundo correspondente a cada centímetro.



Experiência: Movimento de Projétil e Pêndulo Balíst ico

Objetivo

Determinação da velocidade inicial do movimento de um projétil.

Introdução Teórica :

Seja o movimento de um projétil, conforme mostra a figura acima teremos as seguintes equações:

a) A distância vertical percorrida no eixo y tem a equação

2gt21

y =

b) Simultaneamente o deslocamento horizontal tem a equação

t.vx o=

De 1 e 2, temos que y2

gxv o =

Onde g = 9,78 m/s2, que é a equação para obter a velocidade inicial, para o projétil que pretendemos obter.

Material Utilizado

• Lançador de projétil

• Esfera de aço

• Trena

Procedimento Experimental

a) O arranjo experimental desta experiência é o seguinte:

vo

y

x



b) Faça 10 (dez) lançamentos horizontais do projétil de acordo com o arranjo experimental acima, de modo a atingir a folha de papel que se encontra no solo.

c) Medir em cada caso a altura da queda (h) e o respectivo alcance horizontal R, e anote os valores na tabela.

d) Calcule as velocidades de lançamento, determine o seu valor médio e o seu desvio médio.

TABELA

Lançamentox

(m)

y

(m)

V0

(m/s) 0V

(m/s)

)VV( 00 −

(m/s)

)VV( 00 σ+

(m/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Pêndulo Balístico

O pêndulo balístico consiste em esferas vazadas, uma pistola de mola e um sistema para suspender as esferas por meio de uma haste.



Conservação do momento linear mv = (m + M)v1 (1)

substituição (2) em (1) Y.g.2m

)Mm(v

+= (2)

onde, m = 0,0673 kg

M = 0,271 kg

Y1 (m) Y2 (m) h (m) v (m/s) )s/m(v )s/m(vσ )s/m)(vv( σ+

1

2

3

4

5

Questão: O que pode-se concluir desta experiência?



Experiência: Força Centrípeta

Objetivo Determinação da força centrípeta exercida sobre um corpo em movimento de

rotação com velocidade escalar constante. Quando um corpo executa movimento circular uniforme, a força resultante

exercida no corpo está dirigida para o centro da trajetória. Esta força é denominada força centrípeta e tem intensidade:

Rvm

rmFc2

2 ⋅=⋅⋅= ω

onde: m = massa do corpo em movimento de rotação v = velocidade escalar do corpo ω = velocidade angular do corpo R = distância entre o centro da trajetória e o baricentro do corpo Por outro lado, sendo o movimento circular uniforme, tem-se:

Rf2T

2v ππ == l

onde: T = período do movimento (duração de uma volta completa) F = freqüência do movimento Portanto: Rfm4F 22 ⋅⋅⋅⋅= π

O aparelho utilizado consiste em um balancim (massa cilíndrica B que pode deslocar livremente sobre duas hastes). Uma mola S de tensão ajustável exerce força centrípeta sobre o balancim quando o conjunto móvel estiver em movimento de rotação. Este conjunto pode ser acoplado a um motor.

Por meio de um parafuso que aciona um dispositivo específico, situado na parte inferior do acoplamento, pode-se controlar a velocidade do rotor (conjunto móvel) até que seja atingido um valor tal que o balancim (como massa m) se afaste da posição normal até a posição terminal. Nesta posição, o balancim acionará a haste p (indicador), que se elevará e deixará a extremidade alinhada em relação a um cabeçote de referência. Através do conta-giros, poder-se-á determinar a freqüência do movimento após se ter determinado o número de voltas realizadas num certo tempo. O rotor consiste essencialmente em um grande disco principal sobre a qual fira um disco de fricção, acoplado a um eixo. A velocidade do disco pode ser controlada através de um parafuso.

Figura 1



Figura 2

A) Método Dinâmico 1. Faça o aparelho funcionar e ajuste a velocidade de rotação de tal forma que a

haste p seja tocada pelo balancim o suficiente para levantá-la. 2. Use o conta-giros e o cronômetro e determine o número n de rotações

efetuadas durante o tempo t = 1,0 minuto. Repita esta operação 05 (cinco) vezes e anote os valores na tabela. Ao efetuar estas medidas, a velocidade do aparelho deverá ser estritamente necessária para elevar a haste p.

r Tempo (min.) n (rpm ) 1 1,0 2 1,0 3 1,0 4 1,0 5 1,0

média ******************

3. Calcule a freqüência f de rotação, em hertz (Hz)

Hz.........................................................6060

ntn

f ====

4. Meça o raio de rotação r. A distância a ser media é a que separa o ponto por onde passa o eixo de rotação e o centro do corpo girante.

m0 0,055cm 50,5r ==

5. Calcule a intensidade da força centrípeta exercida pela mola sobre o corpo, sabendo-se que a massa do balancim é m = 150,7 g = 0,150 7 kg.

......N........................................ Fd Rfm4Fd 22 =→⋅⋅⋅⋅= π

B) Método Estático 1. Retire a parte girante do aparelho e pendure-a na haste vertical. No gancho

situado na parte inferior suspenda o suporte e adicione massores, até conseguir com que o balancim toque o ponteiro p, deslocando-o da mesma forma com que o fez durante a rotação. massas adicionadas =.......................................g massa do balancim = 150,7 g massa do suporte = 15,0 g

Massa total suspensa no gancho: M = ....................g = ...........................kg

2. Calcule a intensidade da força centrípeta, sendo g = 9,78 m/s2:



Fo = M. G Fo = …………………………N

3. Calcule o erro percentual em Fd relativamente a F.

erro % = %100F

FF

o

do ⋅−

erro % = ..................................



Experiência: Queda Livre

Objetivo Determinação da aceleração da gravidade local, através do movimento de um

corpo em queda livre.

Introdução Teórica Sabemos que todo o corpo, quando abandonado próximo à superfície da Terra,

cai em direção à mesma. Esse movimento realizado pelo corpo na ausência do ar atmosférico (vácuo), recebe o nome de queda livre.

Esse movimento foi estudado por Galileu Galilei, que em suas observações experimentais, estabeleceu as três leis que se seguem:

a) Todo corpo próximo à superfície da Terra e na ausência de forças resistentes, caem com a mesma aceleração independente de sua massa é volume.

b) A velocidade do corpo cai, próxima à superfície da Terra é proporcional ao tempo de queda.

c) Os espaços percorridos por um corpo de queda livre são proporcionais ao quadrado dos tempos gastos em percorrê-los.

Depois Newton percebeu que os corpos caem em direção à Terra devido à ação da força peso (P = mg).

Portanto, uma força atua nos corpos e de acordo com o princípio fundamental da dinâmica, os movimentos realizados pelos corpos são acelerados. Como a força peso é constante, os movimentos realizados são uniformemente acelerados.

A equação que rege esse movimento é:

2

oo2

oo

gt21

h então

,0V e 0h como ,t.g21

tVhh

=

==

++=

Procedimento Experimental a) Meça com a trena metálica a altura h da esfera em relação à placa receptora.

Como se trata de uma única medição, adote para incerteza a metade da menor divisão da escala, ou seja, m0005,0cm05,0h ==∆ .

h = ( ± )

b) Ligue o aparelho e coloque a esfera de aço no eletro-imã de modo a ficar presa. Zere o cronômetro digital. Pressione com firmeza a chave tipo Morse, mantendo-a pressionada até a esfera cair e atingir a placa receptora; esta operação fará com que o cronômetro pare. Leia o tempo gasto na queda da esfera e anote na tabela. Zere o cronômetro e repita as operações 20 vezes.

c) Complete a tabela achando o valor médio do tempo e seu respectivo desvio

médio. d) Pela equação (a) calcule o valor médio da aceleração da gravidade local e seu

respectivo desvio médio. e) Apresente a aceleração da gravidade adequadamente:



g = (g ± ∆g) m/s2 f) Calcule o erro percentual obtido na experiência, sabendo que

glocal = 9,78 m/s2

n ti(s) t(s) (ti-t)s (t ±±±± ∆∆∆∆t)(s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Valor mais provável do tempo: t =..................................s Desvio médio no cálculo do tempo: ∆t = ...........................s Tempo de queda: t = (..........................± ..........................)s Valor mais provável da aceleração local da gravidade;

2

t

h2g

⋅= g = .......................................m/s2

Desvio médio no cálculo de g:

tt

2hh

gg ∆∆∆ ⋅+= ∆g = ………………………….m/s2

Aceleração da gravidade escrita adequadamente: g = (.............................±.........................)m/s2 Sendo em São Paulo g = 9,78 m/s2, calcule o erro percentual obtido na determinação experimental da aceleração da gravidade: erro% = (valor tabelado – valor experimental)/valor tabelado.100% erro% = (............................................................).100% erro% = .....................................



Laboratório de Física I Uso do Interactive Physics

Objetivo

Montar algumas simulações mais complexas, bem como aprender a realizar medidas de

Introdução

O Interactive Physics, além de criar uma animação do sistema físico que está sendo simulado, permite também a realização de medidas das mais variadas grandezas físicas, como velocidade, aceleração, força, e etc. Todas as medidas são realizadas em relação a um sistema de referência interno fixo. A origem do sistema de coordenadas pode ser observado através do menu selecionarmos a opção para a apresentação das réguas (horizontal e vertical). Para tanto, selecione no menu a seguinte opção: View Workspace Rules.



A posição do mouse em relação ao sistema de coordenadas definido pelo computador, também pode ser observada. Para tanto, selecione a opção: View Workspace coordnates.

Vamos agora montar o sistema físico mostrado abaixo. Desejamos posicionar o centro do retângulo na posição (0;0), e o centro do disco na posição (0;2). Para conseguirmos um posicionamento preciso dos objetos, após desenhá-los, podemos controlar a posição do centro de gravidade clicando-se duas vezes sobre o objeto para trazer a tela de propriedades do objeto. Para o cado do retângulo, estabeleça os valores x = 0 e y = 0. Para o disco, faca x = 0 e y = 1. Ancore a seguir o retângulo e execute a simulação.

Vamos agora medir a posição do disco. Clique sobre o botão de reset e a seguir sobre o disco. Selecione então do menu “Measure”, selecione “Position” e a seguir “Y-graph”. Se executarmos novamente a simulação veremos agora um gráfico da posição do centro do disco. Para alterar o tipo de medida, clique sobre a seta conforme mostrado na figura abaixo.

Meça agora, a velocidade do disco em função do tempo e sua aceleração.

Monte agora os seguintes sistemas, realizando as medidas indicas em cada figura.



Arquivo: circular.ip

Nome: Simulação de movimento circular

Conceitos explorados: Velocidade tangencial, força centrípeta e aceleração centrípeta

Resumo: Neste sistema é simulado o comportamento de um corpo preso a uma corda, que pode rodadr no plano horizontal ou no plano vertical. É possível controlar a velocidade inicial do corpo para verificar o comportamento de parâmetros como a tração da corda. A corda pode ser cortada em qualquer instante, e assim ser observado o comportamento da trejetória descrita pelo corpo.



Arquivo: cinem2.ip

Nome: Simulação de cinemática escalar II

Conceitos explorados: Velocidade média e velocidade instantânea

Resumo: Através desta simulação, é possível acompanhar o movimento de dois corpos que partem da mesma posição (x = 0). Um deles se move com uma velocidade constante (vermelho) de 2 m/s, e o outro (verde) possui uma velocidade que se altera com o tempo, acelerando em alguns trechos, e desacelerando em outros. No instante t = 3.76 s, os corpos ocupam novamente a mesma posição (x = 7.52 m), embora o comportamento da velocidade tenha sido bastante distinto. Assim, é possível discutir o conceito de velociade média para o corpo verde no intervalo 0 – 3.76 s, comparando com o movimento executado pelo corpo vermelho no mesmo intervalo.



Arquivo: dinam1.ip

Nome: Simulação de dinâmica I

Conceitos explorados: Leis de Newton

Resumo: Através desta simulação é possível explorar as três Leis de Newton. Dois blocos são colocados em contato, e então são aplicados duas forças, uma para a direita no bloco 1 e outra para a esquerda no bloco 2. A intensidade destas forças é ajustável através de dois controles deslizantes. A velocidade incial do conjunto também pode ser controlada desta forma.



Arquivo: elevador.ip

Nome: Simulação do problema do elevador

Conceitos explorados: Força normal, Leis de Newton

Resumo: Esta simulação explora o conceito de força normal através do clássico experimento do peso aparente observado por uma pessoa que está sobre uma balança que se encontra dentro de um elevador. O elevador pode estar acelerando, desacelerando ou se movendo com velocidade constante, sendo possível o peso aparente em cada caso.



Arquivo: pendulo.ip

Nome: Simulação de Pêndulo Simples

Conceitos explorados: Período, amplitude, aproximação de pequenas oscilações movimento harmônico simples.

Resumo: Esta simulação cria um pêndulo simples, cujas características como comprimento do fio, ângulo de lançamento, massa do corpo e aceleração da gravidade podem ser alteradas.

análise dimensional - programa.faap.brprograma.faap.br/1eb176.pdf · faap – faculdade engenharia...

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