limites aula 1 a aula3

BELÉM-PA-2008

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁCENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICALICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

Ot C\ÊNC\AS SOCIAIS E EDU--..~RO C,.qç_

C~~ ~O

,

Prof. Dr. Pedro Franco de SáProf. DT. Fábio José da Costa AlvesProf. Esp. Everaldo Raiol da Silva

SUMÁRIO

Aula 1 LIMITES 01

Aula 2 LIMITES INFINITOS E NO INFINITO 14

Aula 3 LIMITES FUNDAMENTAIS 24

Aula4 VARIAÇÃO INSTANTÂNEA 32

Aula 5 RETA TANGENTE A UMA CURVA 35

Aula 6 A DERIVADA E SUAS PROPRIEDADES 40

Aula 7 ESTUDO DAS FUNÇÕES 49

Aula8 OTIMIZAÇÃO 54

Aula 9 REGRA DE L'HOSPITAL 58

Aula 10 INTEGRAL DEFINIDA 61

Aula 11 TÉCNICA E INTEGRAÇÃO - MUDANÇA DE VARIÁVEL 66

Aula 12 TÉCNICA E INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTE 71

Aula 13 TÉCNICA E INTEGRAÇÃO -INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES 77

PARCIAIS

Aula 14 ÁREA ENTRE CURVAS 84

Aula 15 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 89

Aula 16 FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 96

Aula 17 LIMITE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 105

Aula 18 DERIVADAS PARCIAIS 113

UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite

AULA 1: LIMITESObjetivos:

• Calcular limites de função por meio de gráfico;• Conceituar função continua;• Estudar as propriedades operatórias dos limites de funções contínuas;• Calcular limites de funções contínuas

Agora para iniciarmos nosso estudo do conceito de limite, realize a atividadeproposta a seguir, respondendo as questões e no fim de cada seqüência dequestões confira sua resposta, no final do texto da aula.

ATIVIDADE

o gráfico abaixo representa uma função y = f(x)

Observe o gráfico e responda as questões a seguir.y

6

x

1 ~II

-3 I-4 I-5 I

I

01. Qual o valor da função quando x é igual a 8 ?02. Qual o valor da função quando x é igual a 5?03. Qual o valor da função quando x é igual a 9?04. Qual o valor da função quando x é igual a -7?05. Qual o valor da função quando x é igual a -5?06. Qual o valor da função quando x é igual a -1?07. Qual o valor da função quando x é igual a 7?08. Qual o valor da função quando x é igual a -3?09. Qual o valor da função quando x é igual a -2?10. Qual o valor da função quando x é igual a -6?11. Qual o valor da função quando x é igual a 2?12. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 8 pela

direita?13. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 8 pela

esquerda?

1


14. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 9 peladireita?

15. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 9 pelaesquerda?



18. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de -3 peladireita?

19. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de -3 pelaesquerda?



Em Matemática a pergunta: Para que valor a função se aproxima quando x seaproxima muito de 7 pela esquerda? É equivalente a pergunta: Para que valor afunção tende quando x tende a 7 pela esquerda?

22. Para que valor a função tende quando x tende a 7 pela direita?23. Para que valor a função tende quando x tende a 8 pela direita?24. Para que valor a função tende quando x tende a 5 pela esquerda?25. Para que valor a função tende quando x tende a 5 pela direita?26. Para que valor a função tende quando x tende a -3 pela direita?27. Para que valor a função tende quando x tende a -3 pela esquerda?28. Para que valor a função tende quando x tende a -6 pela esquerda?29. Para que valor a função tende quando x tende a 9 pela direita?30. Para que valor a função tende quando x tende a 9 pela esquerda?

Em Matemática a pergunta: Para que valor a função tende quando x tende a -6 pelaesquerda? Equivale a pergunta: Qual é o limite da função quando x tende a -6 pelaesquerda?

31. Qual é o limite da função quando x tende a -3 pela esquerda?32. Qual é o limite da função quando x tende a -3 pela direita?33. Qual é o limite da função quando x tende a -1 pela esquerda?34. Qual é o limite da função quando x tende a -1pela direita?35. Qual é o limite da função quando x tende a 7 pela esquerda?36. Qual é o limite da função quando x tende a 7 pela direita?37. Qual é o limite da função quando x tende a -5 pela esquerda? ,38. Qual é o limite da função quando x tende a -5 pela direita?39. Qual é o limite da função quando x tende a 9 pela esquerda?40. Qual é o limite da função quando x tende a 9 pela direita?41. Qual é o limite da função quando x tende a 5 pela direita?42. Qual é o limite da função quando x tende a 5 pela esquerda?

2

UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 3

Quando os limites laterais de uma função num ponto são iguais dizemos que o limiteexiste no ponto e o valor é o dos limites laterais.

43. Qual é o limite de f(x) quando x tende a 9?44. Qual é o limite de f(x) quando x tende a 7?45. Qual é o limite de f(x) quando x tende a 5?46. Qual é o limite de f(x) quando x tende a 8?47. Qual é o limite de f(x) quando x tende a -3?48. Qual é o limite de f(x) quando x tende a -2?49. Qual é o limite de f(x) quando x tende a 2?50. Qual é o limite de f(x) quando x tende a -1?51. Qual é o limite de f(x) quando x tende a -6?52. Qual é o limite de f(x) quando x tende a zero?

Em a pergunta: qual é o limite da função quando x tende a 6 pela esquerda? Érepresentado por Lim f(x). Qual é o limite da função quando x tende a 6 pela direita?

x-eô

É Limf(x)x~6+

Calcule:53. Limf(x)

x~9+63. Lim f(x)

X~ -1-54. Lirnf(x)

x~9- 64. Lim f(x)X~ -I

55. Lirn f(x)x~9

56. Lirn f(x)x~5+

57. Lim f(x)x~5-

58. Lirn f(x)x~5

59. Lirnf(x)x~7+

60. Limf(x)c-vt:

61. Limf(x)x~7

62. Lirn f(x)X~ -1+

65. Lim f(x)X~ -3+

66. Lim f(x)x~-3-

67. Lim f(x)x~-3

68. Lim f(x)x~ 2+

69. Lim f(x)x~2-

Lirn f(x)70. H2

Quando limite de uma função num ponto existe e é igual a imagem da função noponto dizemos que a função é continua no ponto.

71. A função f(x) é continua no ponto x = 7? Por que?72. A função f(x) é continua no ponto x = 9 ? Por que?73. A função f(x) é continua no ponto x = 5 ? Por que?74. A função f(x) é continua no ponto x = -1 ? Por que?75. A função f(x) é continua no ponto x = -3 ? Por que?76. A função f(x) é continua no ponto x = -5 ? Por que?77. A função f(x) é continua no ponto x = -6 ? Por que?


78. A função f(x) é continua no ponto x = -7 ? Por que?79. A função f(x) é continua no ponto x = o ? Por que?80. A função f(x) é continua no ponto x = 2 ? Por que?

Podemos operar com o limite da mesma forma que manipulamos asexpressões algébricas, por isto apresentaremos agora algumas propriedades deoperações com limite.PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LIMITES:

Sejam as funções f(x) e g(x) continuas tais que lim f(x) = ~, lirn g(x) = L;X---7Xo X---7Xo

e k uma constante então valem as seguintes propriedades operatórias:

1) Limite de uma constante:O limite de uma constante é a própria constante.Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:

~ Lirnk=k IX-7x •...•

cExemplos:a) Lirn 5 = 5

x --> 2b) Lirn 7 = 7

x-->o

2) Limite da soma:O limite da soma é a soma dos limites.Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:

Lirn [f(x) + g(x)] = Lirn f (x) + Lirn g(x)X---7Xo X---7Xo X---7Xo

Exemplos:a) Lirn (x2 + 3x) = Lirn x2 + Lirn 3x = 22 + 3 x 2 = 10

x-->2 x-->2 x-->2

b) Lirn (2x3 + 3x2 +5x + 3) = Lirn 2X3 + Lim Sx' + Lim 5x + Lirn 3x-->l x-->l x-->l x-->l x-->l

Lim (2x3 + 3x2 +5x + 3)= 2x13 + 3xe + 5xl + 3 = 13x--> I

3) Limite da diferença:O limite da diferença é a diferença dos limites.Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:

Exemplos:a) Lim (x2

- 3x) = Lim x2- Lirn 3x = 22

- 3x 2 = -2x-->2 x-->2 x-->2

b) Lirn (2x3- 3x2

- 5x - 3) = Lirn 2X3 - Lim Sx' - Lirn 5x - Lirn 3x-s l x-e l x-->l x-e l x-->l

Lim (2x3- 3x2 -5x - 3)= 2x13

- 3x12 -5xl-3 =-9x--> I

Lim [f(x) - g(x)] = Lim f(x) - Lirn g(x)X-7Xo X---7Xo X--Lro

4) Limite do produto:

5UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite

o limite do produto é o produto dos limites.Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:

1- Lim [f(x)xg(x)] = Lim f(x)xLim g(x)

x~xo x~xo x---?xo

Exemplos: Lim (x2 x3x) = Lim x2 xLirn 3x = 22 x(3x2) = 4x6 = 24x->2 x->2 x->2

5) Limite do quociente:

O limite do quociente é o quociente dos limites.Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:

com Limg(x)::;t Ox---?xo

f() Limf(x)L· x X->Xo1m -- =--"---x->xo g(x) Limg(x)'

X->Xo

Exemplos: Lim~= ~~~X2 =~=iH2 x-t-I Limlx+I] 2+1 3

x->2

O limite da potência é a potência do limite.Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:

r Lim[f(x)]1I = [Lirnf(x)JIII x->xo x->xo

Exemplo: Lim x ' = [LimxJ3 = [2r =8x->2 x->2

Agora vejamos um resultado muito importante:

Proposição 1: Toda função polinomial é contínua.Este resultado garante que o cálculo do limites de funções da forma comof( ) 11 11-' ,,-2 2 - tix = allx + an_, x + a"_2x + .....+ a2x + a,x + ao sao con muas.Desse modo o cálculo do limite de funções polinomiais é realizado, por meio docalculo da imagem no ponto.

Exemplo:Dado f(x) =X3 +2X2 +1 calcule o Lirnf(x)

x->2

Solução

Como f(x) = x3 + 2X2 + 1 é uma função polinomial então Lirnf(x) = f(2)x->2

Assi . Limftx =f(2)=23+2x22+1=17

=


RESUMO• A pergunta: Para que valor a função tende quando x tende a -6 pela

esquerda? Equivale a pergunta: Qual é o limite da função quando x tende a -6pela esquerda?

• Quando os limites laterais de uma função num ponto são iguais dizemos queo limite existe no ponto e o valor é o dos limites laterais.

• Em a pergunta: qual é o limite da função quando x tende a 6 pela esquerda?É representado por Lim f(x). Qual é o limite da função quando x tende a 6

x-->6 -

pela direita? É Lim f(x)x -->6 +

• Quando limite de uma função num ponto existe e é igual a imagem da funçãono ponto dizemos que a função é continua no ponto.

• O limite de uma constante é a própria constante.• O limite da soma é a soma dos limites.• O limite da diferença é a diferença dos limites.• O limite do produto é o produto dos limites.• O limite do quociente é o quociente dos limites.• O limite da potência é a potência do limite.• O cálculo do limite de funções polinomiais é realizado, por meio do calculo da,

imagem no ponto.

Resposta das atividades1. f(B) = o2. f(5) =-3

3. [(9) = 14. f(-7) = 3

5. f(-5) = t96. f(-1) = ~

7. 1(7) = 18. f(-3) =4

9. f(-2) = tl

10.f(-6) = 511.f(2) = ~

12. tafunção se aproxima de zero13. a funçã.o se aproxima de zero14. a funçâo se apro xíma de 115. a função se aproxima de 1

16. a função se aproxima de 3

17. a função se apro xima de 3


18.não é possível x se aproximar de 3pela dire ita, não é defínida em ] - 3,-2[19. a função se aproxima de 4

20. a função se aproxima de - 2

21. a função se aproxima de - <122. a funçâo se aproxima de 323. a função se aproxima de zero

24. a função se aproxima de - 225. a função se aproxíma de - 426. não é possível x se aproximar de 3pela dire ita, não é definida em ] - 3,-2(

27. a função se aproxima de 4-

28. a função se aproxima. de 529. a funçao se aproxima de 130. a função se aproxima de 1

31. o limite peta esquerda e'm- 3 não existe

32. o limite pela direita em - 3 é 4-33. o limite pela esquerda e'm-l é 434. o limite pela direita em - 1 é 4'

35. o limize pela esquerda em 7 é 336. o limite pela direita em 7 é 337. o limite pela esquerda em - 5 é 338. o limite pela direita em - 5 é 2

39. o limiz« pela esquerda em 9 é 140. o limite pela direita em 9 é 141. o limite pela direita em 5 é - 242. o limite pela esquerda em 5 é - 4

43. o limite de f(x) quando a x tende 9 é 144. o limite de f(x) quando a x tende 9 é 345. o limite de f(x) quando a x tende 5 não existe.os Iimizes laterais são diferentes

46. O limite de fCx) quando a x tende 8 é zero

47. o limite de f(x) quando a x tende - 3 não existe, não existe o limite pela direita48. o limite de f{x) quando a x tende - 2 não existe, não existe o limite a esquerda

49. (1 limite de t(x) quando a x tende - 2 não existe50. o limite de f(x) quando a x tende - 2 é <151. o limite de f(x) quando a x tende - 6 éS52. o limite de f(x) quando a x tende zero é:5

53. Lirn f(x) = 1x....,9+

54. Lirn f(x) = 1x....,9-

55. Lirnf(x) = 1x....,9

56. Lirnf(x) =-2x---t5 +

57. Lirnf(x) =-4x....,5 -


58. Lim f(x) = não existeX--75

59. Lim f(x) = 3x-:;7 +

60. Limf(x) = 3X--77-

61. Lim f(x) = 3X--77

62. Lim f(x) = 4X--7 -) +

63. Lim f(x) = 4X--7 -1-

64. Lim f(x) = 4X--7 -I

65. Lim f(x) = não existeX--7 ·3 +

66. Lim f(x) = 4X--7 -3-

67. Lim f(x) = não existeX--7 -3

68. Lim f(x) = +00, não existeX--72+

69. Lim f(x) = -00, não existeX--72-

70. Lim f(x) = não existeX--72

71. f(x) não é continuo em x = 772. f(x) é continuo em x =973. f(x) não é continuo em x = 574. f(x) não é continuo em x =-175. f(x) não é continuo em x = - 376. f(x) não é continuo em x = - 577. f(x) é continuo em x = - 678. f(x) não é continuo em x = - 779. f(x) é continuo em x = O80. f(x) não é continuo em x = 2

QUESTÕES

(01) A partir da observação do gráfico responda as questões abaixo


y

.--~ f(x)6 -------------------~-------~

I II I

I I

II

I

10

x

5 7 9

a) f(5) = j) Lim f(x) =b) f(7) = x~7

c) f(9) = k) Lim f(x)=x~9+

d) f(10) = I) Lim f(x)=e) Lim f(x) = x~9-

x~5+ m) Lim f(x) =f) Lim f(x)= x~9

x~5- n) Lim f(x) =g) Lim f(x) = x~lO+

x~5 o) Lim f(x) =h) Lim f(x) = x~lO-

x~7+ p) Lim f(x)=i) Lim f(x) = x~lO

x~7-

(02) Calcule os limitesa) LimlO=

x~5e) Lim xtx ' -2i =

X---72

b) Lim(2x-l) =X---72

f) Lim x2

-2 =X---72 x '

c) Lim (x2 + 2x-l) =X---7-]

d) Lim (x ' -7x2- 3x- 9) =

X---7-]

(03) Calcule os seguintes limites

{3X-2, x~l

(a) f(x) =4x-3, x x I

(i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)X~ 1+ X~ 1- X~ 1

(b) f(x) = {x2

+ 1, x ~ Ox+l, x < O

(i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)X~ 0+ X~ 0- X~ O


!2+X2, x<2

(c) f(x) = O, x=2

3x, x> 2

(i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)x~2+ x~T x~2

{

x2, X < 2

(d) f(x) = O, X = 2

3x, x> 2

(i) lim f(x) (i i) lim f(x) (iii) lim f(x)x~2+ x~T x~2

{

x2 + x, X <-1(e) f(x) = 3, X = -1 (i) lim f(x) (ii) lim f(x)

x~ -1+ x~ -1-x+ 2, x>-l

(04) Verifique quais das funções abaixo são continuas

(a) a função f(x) a cima é continua em x = 1.

(b) a função f(x) a cima é continua em x = 1.

(iii) lim f(x)x~ -1

{3X-2, x~l

f(x) =4-x, x<l

f(X)={X2+1, x~Ox+ 1, x < O

(05) Verifique se as funções são contínuas nos valores de x especificados

{

2 {SX - 2, x > 2x x<2(a) f(x) =' em x = 2 (b) f(x) = 8, x = 2 em x = 22x, x ~ 2 2 4 2x+ , x<

{

2X' x>-2

(c) f(x)= -4,x=-2 em x=-2

-2+x, x<-2{2X-S, x ~ 3

(d) f(x)= em x=33-x, x < 3


(06) O gráfico a seguir mostra a variação da taxa de crescimento R (T) com

temperatura T para uma colônia de bactérias.

(a) Qual o intervalo de temperaturas no qual a taxa de crescimento dobra de valor?

(b) O que se pode dizer a respeito da taxa de crescimento para 25 < T < 45?

(c) O que acontece quando a temperatura atinge aproximadamente 45 "C? Faz

sentido calcular lim R(T) ?x--->50

R: (a) 10 < T < 15 (as respostas podem variar).

(b) A taxa de crescimento se mantém aproximadamente constante.

(c) A taxa de crescimento diminui para T > 45; lim R(T) = O.x--->50-

(07) No correio, a "função de porte" p(x) pode ser descrita da seguinte forma:33 se O < x :s; 1

55 se 1< x:s; 2

p(x) = 77 se 2 < x:s; 3

275 se 11 < x :s; 12onde x é o peso de uma carta em onças e p(x) é o preço correspondente do porte,

em reais. Faça o gráfico de p(x) para O < x :s; 6. Para que os valores de x a função

p(x) é descontínua, dentro do intervalo O < x:s; 6?

R: p(x)é descontínua em x=1, 2, 3, 4 e 5:

50

.2 3 6

(08) O gráfico a seguir mostra o volume de gasolina no tanque do carro de Sue

durante o período de 30 dias. Em que pontos o gráfico é descontínuo? O que

acontece nessas ocasiões?

Q (litros}40" ,


R: O gráfico é descontínuo nos pontos x = 10 e x = 24. Nessas ocasiões, Sue está

provavelmente no posto de gasolina, enchendo o tanque. Sue, você se lembrou de desligar a

ignição e o telefone celular?

(09) O diagrama esquemático em anexo representa um circuito elétrico, o qua

consiste de uma força eletromotriz que produz uma voltagem V, um resistor co

resistência R, e um indutor com indutância L. a teoria dos circuitos elétricos mostr

que se uma voltagem for aplicada no instante t = 0, então a corrente I que percorre

o circuito no instante t é dado por 1= V. (1- e-RI/L). Qual o efeito sobre a correnteR

num dado tempo t fixo, se a resistência tender a zero(isto é, R ~ 0+) R: VtL

(10) A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após

introdução de uma toxina é dada pela função:

{t2 +7

f(t) =R: (a) Depois de 9 minutos -8t+72 se t?:.5

(b) Porque fel) -10 < O e f(7) -10 > O e f(x) -10 é contínua no intervalo [1,7].

(11) O raio da Terra tem o raio de aproximadamente 6.400 km e um corpo situado a

x Km do centro da Terra pesa p(x) Kg, onde:

se t < 5

R: B = A(6.400)3(12) Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade

estática, a intensidade do campo elétrico E (x) em um ponto P situado a uma

distância de x unidade do centro da esfera é dada por:

P(X)={;x2

se x::; 6.400

se x > 6.400

O se 0< x < R

E(x) = 1se x=R

2X2

1 se x s Rx2


Faça um gráfico de E(x). A função E(x) é contínua para x> O?

R E() -" R ., li 1 1 1: x nao e continua no ponto x = .ja que m -2 = -2 "* -2 .HR+ X R 2R

(13) Se R$ 1.000,00 são investidos a juros de 9% capitalizados n vezes por ano, oI

montante após 1 ano será 1.000· (1+ 0,09x F, onde x = 1/ n é o período de

capitalização. Assim, por exemplo, se n = 4, o período de capitalização é 1/4 deano, ou seja, 3 meses. No caso da chamada capitalização contínua dos juros, omontante após 1 ano é dado pelo limite:

I

B= liq1.000·(1+0,09FX---70

Estime o valor desse limite completando a segunda linha da tabela a seguir:X 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

I

lim 1.000·(1+0,09FX---7O+

R:X 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

I

lim 1.000· (1 + 0,09F 1.090 1.093,73 1.094,13 1.094,17 1.094,17x---*o+

RESPOSTA(01) A partir da observação do gráfico responda as questões abaixo

a) 6 j) 6b) Não existe k) Não existec) Não existe I) 6d) 6e) 6 m) Não existef) 4 n) 6g) Não existe o) Não existeh) 6 p) Não existe

i) 6

(02) Calcule os limitesa) 10b) 3c) -2d) -14e) 64f) 1/4g) não existe

(03) Calcule os seguintes limites(a) (i) 1 (ii) 1 (iii) 1


(b) (i) 1 (ii) 1 (iii) 1

(c) (i) 6 (ii) 6 (iii) 6

(d) (i) 6 (ii) 4 (iii) não existe

(e) (i) 1 (ii) 3 (iii) não existe(04) Verifique quais das funções abaixo são continuas(a) a função f(x) não é continua em x = 1.

(b) a função f(x) é continua em x = 1.

Aula 02 - Limite

AULA 2: LIMITES INFINITOS E NOINFINITOObjetivos:

• Calcular limites no infinito;• Calcular limite que tendem para o infinito;• Estudar as propriedades dos limites no infinito;• Estudar as propriedades dos limites que tendem para o infinito.

Iniciaremos nosso estudo de limite infinito estudando o gráfico da função

f (x) =..!. , cuja representação gráfica esta na figura abaixo.x

Observe o gráfico de f (x) =..!. responda as seguintes questões:x

(01) Qual o valor do limite de f(x) =..!. quando x cresce indefinidamente?x

(02) Qual o valor do limite de f (x) =..!. quando x decresce indefinidamente?x

Quando calculamos o limite de uma função f (x) com xcrescendo ou decrescendo indefinidamente dizemos queestamos calculando o limite no infinito.

Representamos o limite de uma função f(x) com x crescendo indefinidamente por

Lim f(x)X--++OO

e representamos o limite de uma função f (x) com x decrescendo indefinidamente

por

Um f(x)x--+-oo

A expressão _1_ não tem nenhum significado de número+00

fracionário, é somente uma representação docomportamento da função quando x tende para o infinito, e

convencionamos por zero (_1_ = O).+00


Observando o gráfico da função f(x) =.!. , mostrado na figura anterior, temos qux

Lim ..!. = O e Lim ..!. = Ox->+oo X x->-oo X

Usando o mesmo procedimento usado no cálculo de limites de funções contínuas

teremos:

Lim..!. =_1_ = Ox->+oo X +00

Podemos estender o raciocínio apresentado e afirmar que funções da fo

kf(x) = - , com n * O e k constante, o valor do limite no infinito sempre resulxn

em zero, simbolicamente pode ser expresso por:

I Lim~=OX--7+OO x

Observe os exemplos a seguir:

Exemplo 1 - Determine o valor do limite Lim ~X--7+OO X"

Solução: Lim-1 = 1 =0X--7+OO x ' (+ De r

Exemplo 2 - Determine o valor do limite Lim ~X--7-oo x '

Solução: L· 1 1 Oim -3 = ( )2 =x->-oo X - 00

Para aprofundarmos o estudo de limite no infinito responda as questões:1) Determine o limite de f(x) = x2 quando x cresce indefinidamente.

2) Determine o limite de f(x) = x2 quando x decresce indefinidamente.3) Determine o limite de f(x) = x3 quando x cresce indefinidamente.

1


5) Determine o limite de f(x) = x ' quando x decresce indefinidamente.

o gráfico e a tabela abaixo ilustra a função f{x) = x2

1616 I

14 I12 i10 I

Y B6 I4 I2 i

~o 1 2 3 4

16

14

12

10

1 2 31 4 9

14

12

10

16 i - -,

2 3 4

14 I12 !

10

2 3 4

4 5 6 7 816 25 36 49 64

Quando x cresce indefinidamente o valor da função f(x) = x2 também cresceindefinidamente, simbolicamente podemos representar por

Lim x2 =+00

o gráfico e a tabela abaixo ilustra a função f{x) = x2

16 16

14 14 \12 12

10 10

Y B B

o -

-1 -2

o _. -------4 -3 -2 -1 o

-4 -6

o gráfico abaixo ilustra a função f(x) = x3x~-oo

-3

4 9-5 -7 -8

16 25 36 49 64

Quando x decresce indefinidamente o valor da função f(x) = x2 também cresceindefinidamente, simbolicamente podemos representar por

Lim x2 = +00

Quando x cresce indefinidamente o valor da função f(x) = x3 também cresceindefinidamente, simbolicamente podemos representar por

Lim x3 = +00X-7+OO

Aula 02 - Limite---------------- 1

Quando X decresce indefinidamente o valor da função f(x) = x ' também decrescindefinidamente, simbolicamente podemos representar por

Lim x3 =-roX-+ -00

Usando o mesmo procedimento usado no cálculo de limites de funções contínuas

teremos:

Lim x2 = _(ro)2=+00x -+ -00

A expressão (-ror não tem nenhum significado de número,

é somente uma representação do comportamento dafunção quando x tende para o infinito.

Podemos estender o raciocínio apresentado e afirmar:

1) quando x cresce indefinidamente o limite da função f (x) = x" sempre crescer,

indefinidamente, não irrportando se n for par ou ímpar, em símbolo temos:

00

2) quando x decresce indefinidamente, o limite da função f(x) x" sempre cresce I

indefinidamente, se n for par, em símbolo temos:

r Lim x" =+00 ,se n for parx~ -00

3) quando x decresce indefinidamente, o limite da função f(x) =x" sernpi

decrescerá indefinidamente, se n for ímpar, em símbolo temos:

Lim x" = +co ,se n for ímparx~ --00

I

lL- ~~- --- -

Observe os exemplos a seguir:

Exemplo 1- Determine o valor do limite Lim x5

X-+ + 00

Solução: Li 5 51m x = (+ ro)= +rox-++oo

Exemplo 2 - Determine o valor do limite Lim x6X-fo +00

Solução: Lo 6 61m x = (+ ro) = +rox~ co


Exemplo 3 - Determine o valor do limite Lim x'X~-(X)

Solução: Lim x5 =(_00)5 =-00x~-oo

Exemplo 4 - Determine o valor do limite Lim x"X---7-OO

Solução: Lim x 6 = (- 00)6= +00x,-oo

Dando prosseguimento ao nosso estudo, abordaremos agora um procedimento paradeterminar o limite de polinômios quando x cresce ou decresce indefinidamente,para tal, responda a seguinte questão:

(01) Determine o limite Lim (4x 5 + 2x4- 3x3

- X + 7)x-++«>

SoluçãoPrimeiramente vamos colocar o monômio de maior grau em evidência

" (4 5 2 4 3 3 )" 5 ( 2 3 1 7 )Lim x + x - x -x+7 = LIm x 4+--2-4+5X-7+~ X-7+~ x X X xLembre-se que na primeira aula você aprendeu a seguinte propriedade

Lim [f(x) X g(x)] = Lim f(x)xLim g(x)X---7Xo X---7Xo X---7Xo

de onde temos que

Lim (4x5 +2x4 -3x3 -x+ 7)= Lim x5" Lim(4+~-~-~+2.)

X-7~ X-7+~ X-7+= X x2 x4 x5

Lembre-se também que.-----------------------------~Lim [f(x) + g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)X--7Xo X---7Xo X---7Xo

De onde temos

L" (4 2 3 1 7) L" 4 L" 2 L" 3 L" 1 L" 71m +---2 -4+5 = 1m + 1m-- 1m-- lm-+ lm-X-7~ X X X X X-7~ X-7+= X X-7+= x2 X-7~ x4 X-7~ x5

como

Lim~=O Lim~=OX-7~ xX-7~x

Lim~=OX-7~ x Lim~=O

X-7+= xtemos que

Lim(4+ 2 -~-~+2-) = Lim4X-7~ x x2 X x) X-7+=

Com isto podemos afirmar queLim (4x 5 + 2x4

- 3x3- X + 7) = Lim x 5 " Lim 4

X---7+oo X--7 +00 X---7+oo

Que equivale dizer queLim (4x5 + 2x4

- 3x3- x+ 7)= Lim 4x5 = +00

X---7+OO X---?+OO


Podemos estender o raciocínio apresentado na questão anterior e afirmar qulimite de um polinômio de grau n, quando x cresce ou decresce indefinidamentigual limite do monômio de grau n que está contido neste polinômio, e pode srepresentado simbolicamente por:

Exemplo 1 - Determine o valor do limite Lim (x5 + x4- x3

)X~+(X)

Exemplo 2 - Determine o valor do limite Lim (x - 3x4- 2x3

)X~+OO

Solução: L' (5 4 3) L' 5Iffl x + x - x = LIl] x = +=X4+oo x---?+oo

Solução: Lim (x - 3x4- 2x3)= Lim (- 3x4)=-00

.~+- X~+-

Solução:

3 4 _ 2 3 Lim (3x4- 2x3

) Lim 3x4 3 4 3Lim _x 4 X 3 = X~+-( 5 4 3) = X~+- = Lim ~ = Lim - = Ox ~ +- x~ - X - x Lim x - x - x Lim x5, x ~ +- x~ x ~ +- X

X~+OO x---?+<Xl

Solução:

Lim 3x4 + x = !dr::(3x4

+ x) = !dr::3x4

= Lim 3x = -00

H-- 3 - 4x2 + x3 Lim (3- 4x2 + x3) Lim x3 x~--

X-7-OO

Exemplo 3 - Determine o valor do limite

Solução:

, x5 -3x4 -2x3

Lim 4 3X~+- 3x - 2x

Lim (x5- 3x4

- 2x3)

x---?+oo

Lim (3x4- 2x3

)X-7+OO



Solução:

, 2X5 - 3x 4 - 2X3Llm------,-x~+- 3x5 - 4x4 + x3

Lim (2x5- 3x4

- 2x3)

X---7+OO

Lim (3x5- 4x4 + x3

)x---?+oo


, x5 -3x4 -2x3

L1m 4 3x~+- 3x -2x

,x5 ,xX~+- = Llm-= L1m-=+=Lim 3x4 x~+- 3x4 X~+- 3

L' 3X4 -2x3

ím 5 4 3x~+- X -x -x

L' 3X4+Xim 2 3

x~-- 3-4x + x

x---?-oo


Vamos estudar agora o limite no infinito, isto é, estudar situações ondealgumas funções f(x) crescem ou decrescem indefinidamente quando o valor de x

se aproxima de um determinado valor. Para isto, tomemos a função f(x) = ~, ex

vamos responder a questão a seguir com base no gráfico da função que estailustrado na figura a seguir.

11) Determine o limite de f(x) = -2 quando x se aproxima indefinidamente de zero

xpela direita.

12) Determine o limite de f(x) =-2 quando x se aproxima indefinidamente de zero

xpela esquerda.

3) Determine o limite de f(x) = _1_ quando x se aproxima indefinidamente de doisx-2

pela direita.

4) Determine o limite de f(x) =_1_ quando x se aproxima indefinidamente de doisx-2

pela esquerda.

A figura a seguir apresenta o gráfico da função f(x) = ~x

Antes de responder a questão (1) e (2) devemos fazer o estudo do sinal da

função f(x) = ~, que é:x

• oPodemos observar tanto no gráfico quanto no estudo do sinal da função que quandoo valor de x se aproxima indefinidamente de zero pela direita, o valor da função

. f(x) = ~ aumenta indefinidamente, simbolicamente podemos representar por:x

Um~=~ I +X~O+ x2 .111--

O

20


1Usando o gráfico e o estudo do sinal da função f(x) = 2 podemos observar que

xquando x se aproxima indefinidamente de zero pela esquerda, o valor da função

f(x) = ~ aumenta indefinidamente, simbolicamente podemos representar por:x-

---+-.~I----o

Se substituirmos o zero na função f(x) = ~ teremos f(O) =.!. que representax O

uma situação impossível, logo quando o valor de x se aproxima de zero função

f(x) =~ tende para o infinito.x

Lo 1lm-=+oox....,o- X 2

Antes de responder a questão (3) e (4) devemos fazer o estudo do sinal da

função f(x)=_l_, que é:x-2

IIIII1111 +1 I11 • 111I'1 21111111111

Podemos observar tanto no gráfico quanto no estudo do sinal da função f(x) = _1_x-2

que quando o valor de x se aproxima indefinidamente de dois pela direita, o valor da

função f(x) = _1_ aumenta indefinidamente, simbolicamente podemos representarx-2

por:

---I~-+--111

2

Usando o gráfico e o estudo do sinal da função f(x) =_1_ podemos observar quex-2

quando x se aproxima indefinidamente de dois pela esquerda, o valor da função

f(x) = _1_ diminui indefinidamente, simbolicamente podemos representar por:x-2 _

Lim-1- = -00 • Ix....,T X - 2 2

1 1Se substituirmos o dois na função f(x) = -- teremos f(O) = - que

x-2 Orepresenta uma situação impossível, logo quando o valor de x se aproxima de dois


função f(x) =_1_ tende para o infinito, que será +00 oux-2

estudo do sinal da função.RESUMO

-00 dependendo do

• Quando calculamos o limite de uma função f(x) com x crescendo oudecrescendo indefinidamente dizemos que estam os calculando o limite noinfinito.

• A expressão _1_ não tem nenhum significado de número fracionário, é somente+00

uma representação do comportamento da função quando x tende para o infinito,

e convencionamos por zero (_1_ = O).+00

• Lim _1_= O , n:;t-1x~+~ x n

• A expressão (- 00)" não tem nenhum significado de número, é somente uma

representação do comportamento da função quando x tende para o infinito.

• Lim x" = +00X~~

• Lim x n = +00 , se n for parx~-oo

• Lim xn = -00 , se n for ímpar

•

QUESTÕES

(01) Calcule os limites

li 3(a) m-_

x~+~ x~-1

(b) lim-4x~+~ X

-1(e) lim-

3x~-~ x-5

(d) lim-8x~-= X


(a) lim (4x2 -7x+3)x~+oo

(b) lim (-3x3 + 2x2 - 5x + 3)x~+oo

(e) lim (5x3 - 4x2 - 3x + 2)x~-oo

22

(02) Calcule os limites(a) +00

(d) +00

(g) 2/3(j) 1/3

(b) - 00

(e) +00

(h) -00

(e) - 00

(f) O(i) O


(d) lim (3x4 -7x3 +2x2 -Sx-4)x--4 -00

(e) lim 2x~ + x + 3x~+=5x +x+3

1. 2X2 +x-7

(f) im ----::----x~ += x5 - 2x + 9

. 2X5 +x(g) 11m - 4

x~ += 3x) - 2x + 9

(h) lim 2X3 \X2

+ 3xX~-= Sx-x

. x2 +x='](i) 11m ---=4--

x~-= x -2x5

(j) lim x 5+ xx~ -= 3x -9


1· 2 1· 2(a) 1m-- e 1ffi--x~ 3+ X - 3 x~ r x - 3

(b) lim _6_x~5+ x-s

(c) lim-;-x~2+ x -4

(d) lim _x_x~ -3+ x2-9

e 1. 61m--

x~ 5- x-S

li 6m--

X~r x2-4e

e 1. x1ffi--

X~-r x2-9

Resposta da atividade(01) Calcule os limites(a) O (b) O (e) O (d) O

(03) Calcule os limites(a) +00 e -00

(b) +00 e -00

(c) +00 e -00

(d) +00 e -00


AULA 3: LIMITES FUNDAMENTAIS

Objetivos:• Apresentar o limite exponencial fundamental;• Apresentar o limite fundamental trigonométrico;• Calcular limites envolvendo o limite exponencial fundamental;• Calcular limites envolvendo o limite fundamental trigonométrico.

IntroduçãoVejamos a seguinte situação-problema!

Como cresceria um depósito bancário ao longo do tempo se os juros, aoinvés de serem creditados anualmente ou semestralmente, o fossem emintervalos de tempos cada vez menores, até que os acréscimos pudessem serconsiderados instantâneos e sobre eles, imediatamente incidissem as mesmastaxas de juros?

Este problema foi proposto por Jacques Bernoulli, matemático suíço, no século XVII.

A resolução do problema levou a necessidade de calcular o seguinte limite

( 1)"Lim1+--;;n.~oo

( 1)"Vejamos alguns valores de 1+ n !

( 1)"Para n = 10 temos que 1+--;; = 2.59374246010000

(1)1!

Para n = 100 temos que 1+ n = 2.70481382942153

Para n = 1000 temos que (1+~J= 2.71692393223559

( 1)"Para n = 10000 temos que 1+ n = 2.71814592682493

( 1)"Para n = 100000 temos que 1+--;; = 2.71826823719230

Como podemos observar que à medida que n aumenta o valor (1+ ~Jconverge

para um valor próximo de 2,7182818284.

n~oo

UEPA- Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite

o matemático suíço Leonardo Euler (pronuncia-se Oiler) dedicou-se aoproblema proposto por Jacques Bernoulli e concluiu que o valor do limite

Lim(l+ ~)' é um número que converge para próximo 2,7182818284.n~oo

Anos depois outro matemático provou que o valor de Lim (1 + ~r é u

número irracional.

Hoje o número resultante do cálculo de Lim(l + ~ )' é representado pela letra

é denominado limite exponencial fundamental.

n~oo

e em homenagem ao matemático Euler.

Assim, podemos chegar ao seguinte resultado Lim~+ ~r= e.n-eco

n~oo

( 1)'O limite Lim 1+-;;- = e

Vejamos um teorema, sem sua demonstração que amplia dos naturais para os reaia variável n.

Teorema:

Seja f a função definida em { XER x< -1 ou x > O} por f(x) = (1+ ~ ) , então

Lim (1 + :) = e .

O limite de f a função definida em

( 1)' (l)X{xER x<-1 ou x> O}porf(x) = 1+~ queé Lim 1+ x =e

Agora vejamos as seguintes proposições que são conseqüências do limiteexponencial fundamental!


Proposição X

Seja f a função definida em { XE R I x-, -1 ou x > O} por f(x) = (1+ ~J ' então

Lim(l+ ~J= e ,X->-OO

Demonstração:

,Seja f a função definida em {XE R I x-e -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~JFazendo x = - (w+ 1) e notando que se x tende a -00então w tende a +00,

Assim, temos que

(l)X (' 1 )-<W+I)

Lim 1+ x = Lim 1- w + 1X---7-OO

. ( w )-<10+1)= Llm--

w+1

(1)

<IV+I)

L' w+= lm--

w

(1)'"+1= Lim 1+ w

w-+too

= Lim[(l + !)IV • (1+ !)] = Lim (1+ !)IV • Lim (1+!)w w w->_ W IV->_ vV

Desse modo, fica demonstrado que se f é uma função definida em{ XE R Ix < -1 ou x > O} por

( l)X ( l)Xf(x) = 1+ x ' então Lim 1+ x = e '

Proposição X1

Seja f a função definida em { XE R I -1< x :f. O} por f(x) = (1+ x):;, então1Lime + x)-; = e ,

x->o

Demonstração:1

Seja f a função definida em { XE R I -1< x :f. O} por f(x) = (1+ x)-; ,1 1

Fazendo x =- temos que y = - ,y x

,26


Assim, temos que• quando x tende a 0+ , Y tende a +CXl;

• quando x tende a 0- , y tende a - CXl.

Desse modo, obtemos:

1) Lim(1+x)~ = Lim(1+~)Y = e ;X~O+ y~- Y

2) Lim(1+x)~= Lim(1+~)Y = e.X~O- y~~ Y

I I

Como Lim (1+ x)-; = Lim (1+ x)~ = e então

ILim (1+ x)~ = e , como queríamos demonstrar.x~o

Agora vejamos a aplicação do limite exponencial e suas conseqüências no cálde alguns limites.

Exemplo 1:

(1)3X

Calcular l:J'!! 1+ x

Solução:

Como (1+~r=[(1+ :JJentão

LiJn(1+ !)3X = Lim[(1 + !)X]3 = [Lim(1 + !)X]3 = e 3.x~_ X x~_ X X~_ X

Exemplo 2:

( 4)XCalcu lar Lim 1+-x~_ x

Solução:x

Fazendo w= - temos que x = 4w .4

Assim, quando x tende a +00, w também tende a +00.

Desse modo,

Lim(l+ 4)X = Lim(1+!)4W = Lim[(1+!)W]4 = [Lim(1+!)W]4 = e4X~_ X IV~_ W IV~_ W w~_ W


• O limite trigonométrico fundamentalAgora vamos ver um resultado importante no cálculo devido, entre outros

motivos, o mesmo possibilitar a determinação do valor de outros limites.Teorema:

Seja f a função definida em R - {O} por f(x) = senx então Lim senx = 1.X .(--H-oo X

Demonstração:

Seja f a função definida em R - {O} por f(x) = senx.x

Consideremos a figura abaixo

+ -

//

Suponhamos que o raio da circunferência é 1.

Seja x a medida em radianos do arco AÔM .

Limitando a variação de x ao intervalo (O, Te ) podemos da observação da2

figura acima concluir que:

área do triângulo MOA < a área do setor MOA < área do triângulo AOT.

OAxMM' OAxAM OAxATQue equivale a afirmar que < < ---

2 2 2

Multiplicando a desigualdade acima por 2 temos que

- --- - ,....,..-.. -AO xMM'< OA xAM < OA xAT

Como o raio AO é 1 então a ultima desigualdade é equivalente a

MM'< AM<AT

Da figura podemos concluir que MM' = senx , AM= x e AT = tgx.

Assim, a desigualdade MM'< AM< ATse torna equivalente a

28

limite trigonométrico fundamental!

UEPA- Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite

senx < X < tgx .

Como senx > O para X em (O, 7r ), dividindo a desigualdade acima por2

obtemos a seguinte desigualdadex 11<--<--

senx cosxInvertendo os termos da desigualdade teremos a inversão da desiguald

que nos dá a seguinte relação que é equivalente a ultima desigualdadesenx1 > -- > cosx

x

C f - senx - tomo as unçoes -- e cosx sao pares emos quex

sen C-x) _ senx-~~ --- e cos(-x)= cosx.C-x) x

Assim, podemos concluir que a desigualdadesenx1 > -- > cosx

xé válida para todo X ~ O.

Calculando o limite de cada termo da desigualdade quando x tende a zeroobtemos a seguintes desigualdade

L . 1 L . senx L .tm < im==:" zmCOSXx~o x~o x x~o

Como Lim 1= 1e Lim=» = 1então pelo teorema do confrontox~o x~o

. senxpodemos afirmar que Lim -- = 1.

x~o x

A . d t L . senx 1SSlm, emons ramos que zm-- = .x~o X

O I· . L . senx l' hecidimite tmr=:: e con eCI o comox~o X

Agora vejamos algumas aplicações do limite trigonométrico fundamentalcálculo de outros limites.

Exemplo 3

Calcular L. sen3xzm--·x~o x


Solução:

C L ' sen3x L ' 3sen3x L ' 3 L ' sen3x 3 1 3 t-0mo tmr=r: = lm = lm X lm-- = . = , en aox~o x x~o 3x x~o x~o 3x

d I . L ' sen3x 3po emos conc urr que lm-- = .x~o X

Exemplo 4, sen3x

Calcular Llm--.x~o sen7x

Solução:sen3x

C L' sen3x L' -x-

omo lm--= im =x~o sen7x x~o sen7x

x

L' sen3xtm==r:x~o x =

L' sen7xtm=:r:x~o x

L' 3sen3ximx~o 3x

L' 7sen7xtmx~o 7x

L' 3 L' sen3xtm - tm=:":x~o x~o 3x=

L' 7 L' sen7xim - tm=z=:x~o x~o 7x

3-1 3= =7-I 7

A· di' L ' sen3x 3ssirn po emos conc uir que tm==z: = -.x~o sen7x 7

RESUMO

- Lim(l+ ~Jé um número irracional aproximadamente igual a 2,7182818284;11-700

( 1)"- O número Lim 1+-;; é representado por e em homenagem ao matemático

suíço Leonardo Euler;

- Se f é a função definida em { XE R I x-e -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~J ' então

Lim(l+ ~J= e ;

- O Lim(l+~J = e é denominado limite exponencial fundamental.

X-7-OO

I

- Lim(1+x):;: = e;x~o

- O limite Lim senx =1 é conhecido como limite trigonométrico fundamental!x~o x

30


QUESTÕES

Calcule os limites abaixo

(1)7X

01) Lim 1+- =x-H"" X

13) L" sen(x2 + x)im (2 ) =

X--40 X + X

(3)X02) Lim 1+- =

x-Hoo x

04) Lim(l + a)bX=X---7-<><> x

06) Lim(l- !)3X =X---7-<><> x

08) Lim(X+4)X =x--4+oo x - 3

10) Lim(X-4)X+3 =X---7+oo x-I

12) Lim sen5x =X--40 3x

14) Lim senSx2- 3x + 2) =H2 (x- - 3x + 2)

x

03) Lim(l + ~)4=X---7+oo x

05) Lim(_X_)X =X--4+oo x + 1

(3)2X

07) l:J'Z! 1- x =

09) Lim(x + 2)X =X--4-<><> X + 1

11) Lim sen5x =X---70 X

2

15) Lim senx =X---70 X

16) Lim se~x =X--40 X

17) Lim sen;x -1) =X---70 x-I

18) Lim sen(x2

-4) .,X--40 x - 2

2

19) Lim sen x =X--40 X

20) L" sen24xzm 2

X--40 2x

22) Lim senx + sen3x + sX--40 X

21) Lim senx· sen~x • sm5x =X---70 X

RESPOSTAS3

01) e7 02) e3 03) e4 04) eab 05) e-1 06) e-3 07) e-6 08) e7 09) e 1

11) 5 12)1 13) 1 14) 1 15)0 16) Não existe 17) 1/2 18) 4 19) O3

21) 15 22)9

limites aula 1 a aula3

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