AULA 01LIMITES E CONTINUIDADE

PROFESSOR JOÃO ALESSANDRO

JULHO - 2012

Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha. Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km de comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)

Noção IntuitivaSucessões numéricas

Dizemos que:

1, 2, 3, 4, 5, ....Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite

x +

Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor

x 1

1, 0, -1, -2, -3, ...Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite

x -

Os termos oscilam sem tender a um limite

,.....6

5,

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

,...7,7

6,5,

4

5,3,

2

3,1

Definição de Limites

Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de “a” (um número real), exceto talvez em a.

c a d

Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “a” e escrevemos

Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10).

Figura 1:

Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto, possivelmente em x0.

Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, então

dizemos que a função f tem limite L quando x tende para x0 e escrevemos:

Definição informal de limite

0x xlim f(x) L

x0

Definição de Limite y

L +

L

L -

0 a - a a + x

O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a R, indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer (épsilon), R, 0, por menor que seja, existir (delta), R, > 0, tal que:

I x – a I < I ƒ(x) - L I < .

Exemplo - LimitesSeja y = f(x) = 2x + 1

Aproximação à direita Aproximação à esquerda

x y

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

x

Limites

Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:

3)12(lim)(lim11

xxfxx

Neste caso o limite é igual ao valor da função. f(x) = f(1) = 3

1limx

Limites

No caso da função f(x) = é diferente pois

f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe

e é igual 3.

Ver gráfico a seguir:

1

22

x

xx

Limites

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

x

Limites

Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -

Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a +

Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:

[f(x)] = [f(x)] axlim

axlim

Limites Laterais

x f(x) = x + 3

2 5

1,5 4,5

1,25 4,25

1,1 4,1

1,01 4,01

1,001 4,001

1,0001 4,0001

4)(lim1

xfx

4)(lim1

xfx

Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.

x f(x) = x + 3

0 3

0,25 3,25

0,75 3,75

0,9 3,9

0,99 3,99

0,999 3,999

Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.

4

1 x

yPela esquerda

Pela direita

)(lim1

xfx

Determinar, graficamente,

Dada a função f: IR IR, definida por

1,3

1,1)(

xparax

xparaxxf

4)(lim1

xfx

2)(lim1

xfx

1

Não existe limite de f(x), quando x tende para 1

2

4

“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.

Noção Intuitiva de Limite Noção intuitiva de limite

2

x 2lim(x ) =4

EXERCÍCIO 1

y

x1 5

2

1

O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?

Lim f(x) não existex 1

O que ocorre com f(x) quando x = 1?

y

x1 5

3

2

EXERCÍCIO 2

Lim f(x) = L = 2x 1

Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1)x 1

x1

y

5

2

1

EXERCÍCIO 3O que ocorre com f(x) quando x = 1?

Uma função f é contínua em um número x0 se

)()(lim 00

xfxfxx

Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.

Continuidade de uma função em um número

a) b) c)

Uma função f é contínua em um intervalo aberto

se for contínua em todos os pontos desse intervalo.

ba,

Continuidade de uma função em um intervalo aberto

BIBLIOGRAFIA

1) DEMANA, WAITS, FOLEY, KENNEDY. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson, 2009.2) DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercícios de análise matemática. Moscou: Mir, 1977. 488 p.3) FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006.4) LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. v. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: HARBRA, 1982. 5) PISKUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. v. 1. Moscou: Mir, 1977. 6) ROGAWSKI, J. Cálculo. v.1. Porta Alegre: Bookman, 2009.7) STEWART, J. Cálculo. v. 1. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. 577 p.8) SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. v. 1. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1994. 744 p.9) THOMAS, G. B. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pearson, 2002.