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NOTAS DE AULA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

ERON

SALVADOR – BA 2006

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 2

Infinitos e indivisíveis transcendem nosso entendimento finito, o primeiro por conta de sua magnitude, o segundo pela sua pequenez; imagine o que eles são quando combinados.

Galileu Galilei (1564-1642).


Ao estudante

Este texto é resultado da tentativa de produzir um material que ajude o aluno de um primeiro semestre de exatas que precisa estudar e acompanhar melhor as aulas da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. É uma seleção de “retalhos” porque juntei partes de livros, listas, textos de professores de matemática e algumas contribuições próprias. Mas, desde já, assumo a responsabilidade por todos os erros que possam conter estas notas, ainda incompletas, e agradeço a quem indicar as correções, críticas e sugerir melhorias. Observo também que este material não substitui a consulta, leitura e estudo de textos e livros de Cálculo já consagrados. Deve servir como um material de auxílio, principalmente no momento em que se realizam a aulas.

Divisão das notas: Parte I – Limite de funções Parte II – Derivada Parte III – Derivada: aplicações Parte IV – Derivada: estudo das funções Parte V – Integral indefinida Parte VI – Integral definida e aplicações

Eron [email protected]


PARTE I

LIMITE DE FUNÇÕES


SUMÁRIO Limites – um pouco de história Introdução ao limite Limites laterais Existência e unicidade de limites Propriedades dos limites Continuidade Propriedades das funções contínuas Limites envolvendo indeterminação 0/0 Limites infinitos Limites no infinito Limite envolvendo função infinitesimal e função limitada Limites fundamentais Equação de retas assíntotas Séries numéricas infinitas Definição de derivada. Exercícios de fixação Funções hiperbólicas Tabela de indeterminações Resposta dos exercícios Referências bibliográficas


LIMITES – UM POUCO DE HISTORIA

Limites nos apresentam um grande paradoxo. Todos os principais conceitos do cálculo – derivada, continuidade, integral, convergência/divergência – são definidos em termos de limites. Limite é o conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática. Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do cálculo, limites devem vir primeiro. Porém, o registro histórico é justamente o oposto. Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século XVIII e início do século XIX, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a idéia de limite foi usada rigorosamente e corretamente.

A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo uma distância finita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo (o tempo necessário para se mover metade da distância, em seguida o tempo necessário para se mover metade da distância restante, etc.) durante o qual o movimento deve ocorrer. A conclusão surpreendente de Zenão foi que o movimento era impossível! Aristóteles (384-322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zenão com argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão.

Para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes, Arquimedes (287-212 a.C.) encontrou várias séries infinitas – somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo o conceito de limite propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados de redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que agora chamamos de limites.

O Cálculo é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e sólidos. O desenvolvimento da geometria destes objetos floresceu seguindo a invenção da geometria analítica por Pierre Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650). A geometria analítica é, essencialmente, o casamento da geometria com a álgebra, e cada uma melhora a outra.

Fermat desenvolveu um método algébrico para encontrar os pontos mais altos e mais baixos sobre certas curvas. Descrevendo a curva em questão por uma equação, Fermat chamou um número pequeno de E, e então fez alguns cálculos algébricos legítimos, e finalmente assumiu E = 0 de tal maneira que todos os termos restantes nos quais E estava presente desapareceriam! Essencialmente, Fermat colocou de lado o limite com o argumento que E é "infinitamente pequeno". Geometricamente, Fermat estava tentando mostrar que, exatamente nos pontos mais altos e mais baixos ao longo da curva, as retas tangentes à curva são horizontais, isto é, têm inclinação zero.

Encontrar retas tangentes a curvas é um dos dois problemas mais fundamentais do cálculo. Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. Durante o século XVII, vários geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas tangentes a certas curvas. Descartes desenvolveu um processo que usava raízes duplas de uma equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628-1704), que era também o prefeito de Amsterdam. René de Sluse (1622-1685) inventou um método ainda mais complicado para obter tangentes a curvas. Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas não foi. Nenhum destes geômetras percebeu a necessidade da idéia de limite, e assim cada um encontrou uma maneira inteligente para alcançar seus resultados, os quais estavam corretos, mas com meios que, agora reconhecemos, faltam fundamentos rigorosos.


Determinar valores exatos para áreas de regiões limitadas, pelo menos em parte, por curvas é o

segundo problema fundamental do cálculo. Estes são chamados freqüentemente de problemas de quadratura, e, intimamente relacionados a eles, estão os problemas de cubatura - encontrar volumes de sólidos limitados, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Eles nos levam a integrais. Johannes Kepler (1571-1630), o famoso astrônomo, foi um dos primeiros estudiosos dos problemas de cubatura. Bonaventura Cavalieri (1598-1647) desenvolveu uma teoria elaborada de quadraturas. Outros, tais como Evangelista Torricelli (1608-1647), Fermat, John Wallis (1616-1703), Gilles Personne de Roberval (1602-1675), e Gregory St. Vincent (1584-1667) inventaram técnicas de quadratura e/ou cubatura que se aplicam a curvas e sólidos específicos ou famílias de curvas. Mas nenhum deles usou limites! Seus resultados eram quase todos corretos, mas cada um dependia de um malabarismo algébrico ou apelavam para intuição geométrica ou filosófica questionável em algum ponto crítico. A necessidade de limites não era reconhecida.

Em quase todos os seus trabalhos que agora são considerados como cálculo, Isaac Newton (1642-1727), também não reconheceu o papel fundamental do limite. Para séries infinitas, Newton raciocinou meramente por analogia: se fosse possível executar operações algébricas em polinômios, então seria possível fazer o mesmo com o número infinito de termos de uma série infinita. Newton calculou o que ele chamou de flúxions a curvas, não exatamente derivadas, mas muito próximo. O processo que ele usou para esses cálculos era muito próximo do método de Fermat. Neste e na maioria dos outros trabalhos comparáveis, Newton negligenciou o limite.

Por outro lado, em seu Principia Mathematica (1687), talvez o maior trabalho em matemática e ciência, Newton foi o primeiro a reconhecer que o limite deve ser o ponto de partida para problemas de tangência, quadratura e afins. No início do Livro I do Principia, Newton tentou dar uma formulação precisa do conceito de limite:

Quantidades, e as razões de quantidades, as quais em qualquer tempo finito convergem continuamente para igualdade, e antes do final daquele tempo se aproximam entre si por qualquer dada diferença, tornam-se iguais no final.

Existiram críticas sobre esta afirmação e sobre a discussão que a seguiu, notadamente por George Berkeley (1685-1753). Mas a genialidade de Newton tinha descoberto o papel fundamental que o limite tinha que desempenhar no desenvolvimento lógico do cálculo. E, apesar de sua linguagem rebuscada, a semente da definição moderna de limite estava presente em suas afirmações.

Infelizmente, para a fundamentação rigorosa do cálculo, por muitas décadas, ninguém observou estas dicas que Newton tinha fornecido. As principais contribuições ao cálculo de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) foram as notações e as fórmulas básicas para as derivadas e integrais (as quais usamos desde então) e o Teorema Fundamental do Cálculo. Com estas ferramentas poderosas, o número de curvas e sólidos para os quais derivadas e integrais podiam ser facilmente calculadas se expandiram rapidamente. Problemas desafiadores de geometria foram resolvidos; mais e mais aplicações do cálculo à ciência, principalmente física e astronomia, foram descobertas; e novos campos da matemática, especialmente equações diferenciais e o cálculo de variações, foram criados. Dentre os líderes desse desenvolvimento do século 18 estavam vários membros da família Bernoulli, Johann I (1667-1748), Nicolas I (1687-1759) e Daniel (1700-1782), Brook Taylor (1685-1731), Leonhard Euler (1707-1783), e Alexis Claude Clairaut (1713-1765).

O cálculo se desenvolveu rapidamente pelos seus vários sucessos no século 18, e pouca atenção foi dada aos seus fundamentos, muito menos ao limite e seus detalhes. Colin Maclaurin (1698-1746) defendeu o tratamento dos fluxions de Newton do ataque de George Berkeley. Mas Maclaurin reverteu a argumentos do século XVII similares aos de Fermat e apenas ocasionalmente usou a redução ao


absurdo dupla de Arquimedes. Apesar de suas boas intenções, Maclaurin passou por oportunidades de seguir a sugestão de Newton sobre limites. Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) foi o único cientista daquele tempo que reconheceu explicitamente a importância central do limite no cálculo. Na famosa Encyclopédie (1751-1776), d'Alembert afirmou que a definição apropriada da derivada necessitava um entendimento do limite primeiro e então, deu a definição explícita:

Uma quantidade é o limite de uma outra quantidade quando a segunda puder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisão dada, não importa quão pequena, apesar da segunda quantidade nunca exceder a quantidade que ela aproxima.

Em termos gerais, d'Alembert percebeu que, "a teoria de limites era a verdadeira metafísica do

cálculo".

A preocupação sobre a falta de fundamento rigoroso para o Cálculo cresceu durante os últimos anos do século XVIII. Em 1784, a Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para um ensaio que explicasse com sucesso uma teoria do infinitamente pequeno e do infinitamente grande em matemática e que poderia, por sua vez, ser usada para colocar uma base sólida para o cálculo. Embora este prêmio tenha sido dado, o trabalho vencedor "longo e tedioso" de Simon L'Huilier (1750-1840) não foi considerado uma solução viável para os problemas colocados. Lazare N. M. Carnot (1753-1823) produziu uma tentativa popular de explicar o papel do limite no cálculo como "a compensação de erros" – mas ele não explicou como estes erros se cancelariam mutuamente perfeitamente.

No final do século XVIII, o grande matemático da época, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), conseguiu reformular toda a mecânica em termos de cálculo. Nos anos que seguiram a Revolução Francesa, Lagrange concentrou sua atenção nos problemas da fundamentação do cálculo. Sua solução, Funções Analíticas (1797), desligou o cálculo de "qualquer consideração do infinitamente pequeno ou quantidades imperceptíveis, de limites ou de flúxions." Renomado por suas outras contribuições ao cálculo, Lagrange fez um esforço heróico (como sabemos agora, com uma falha fatal) para tornar o cálculo puramente algébrico eliminando limites inteiramente.

Ao longo do século XVIII, havia pouca preocupação com convergência ou divergência de sequências e séries infinitas; hoje, entendemos que tais problemas requerem o uso de limites. Em 1812, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) produziu o primeiro tratamento estritamente rigoroso da convergência de sequências e séries, embora ele não tenha usado a terminologia de limites. Na sua famosa Teoria Analítica do Calor, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) tentou definir a convergência de uma série infinita, novamente sem usar limites, mas então ele afirmou que qualquer função poderia ser escrita como uma de suas séries, e não mencionou a convergência ou divergência desta série.

No primeiro estudo cuidadoso e rigoroso das diferenças entre curvas contínuas e descontínuas e funções, Bernhard Bolzano (1781-1848) olhou além da noção intuitiva da ausência de buracos e quebras e encontrou os conceitos mais fundamentais os quais expressamos hoje em termos de limites.

No começo do século 18, as idéias sobre limites eram, com certeza, confusas. Enquanto Augustin Louis Cauchy (1789-1857) estava procurando por uma exposição clara e rigorosamente correta do cálculo para apresentar aos seus estudantes de engenharia na École Polytechnique em Paris, ele encontrou erros no programa estabelecido por Lagrange. Então, Cauchy começou o seu curso de cálculo do nada; ele começou com uma definição moderna de limite. Começando em 1821, ele escreveu as suas próprias notas de aula, essencialmente seus próprios livros, o primeiro chamado de Cours d'analyse (Curso de Análise). Nas suas classes e nestes livros-texto clássicos, Cauchy usou o


princípio de limite como a base para introduções precisas à continuidade e convergência, a derivada, a integral, e o resto do cálculo.

Contudo, Cauchy perdeu alguns dos detalhes técnicos, especialmente na aplicação da sua

definição de limite a funções contínuas e à convergência de certas séries infinitas. Niels Henrik Abel (1802-1829) e Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) estavam entre aqueles que desencavaram estes problemas delicados e não intuitivos. Nas décadas de 1840 e 1850, enquanto era um professor do ensino médio, Karl Weierstrass (1815-1897) determinou que a primeira etapa necessária para corrigir estes erros era restabelecer a definição original de Cauchy do limite em termos estritamente aritméticos, usando apenas valores absolutos e desigualdades. A exposição de Weierstrass é exatamente aquela que encontramos no livro de Cálculo de Thomas. Weierstrass prosseguiu em uma carreira brilhante como professor de matemática na Universidade de Berlim. Lá ele desenvolveu um programa para trazer rigor aritmético para todo o cálculo e à análise matemática.

Fonte: George B. Thomas Cálculo vol I e II. Pearson Education.


PARTE I – LIMITE DE FUNÇÕES INTRODUÇÃO. Informalmente, o estudo do limite de uma função visa determinar o que acontece (estudo do comportamento) com os valores da imagem de uma função quando, no domínio dessa função, tomamos valores em torno de um determinado ponto (número). Em geral, dizemos que se uma função f definida num intervalo aberto I ⊆ contendo o número real a , exceto possivelmente em a , e se à medida que x se aproxima de a , o valor de ( )f x se aproxima de L∈ , escrevemos:

( )limx a

f x L→

= .

Isso significa que o ponto ( ), ( )x f x do gráfico de f se aproxima do ponto ( , )a L , quando x se aproxima de a . Veja as figuras abaixo.

lim ( )x a

f x L→

= e ( )f a L= . lim ( )x a

g x L→

= e ( )g a não está

definido.

lim ( )x a

h x L→

= e ( )h a b L= ≠ .

Uma outra maneira de “percebermos” um limite é utilizando tabelas de valores. Considere uma função

2 1( )1

xf xx−

=−

. Esta função está definida { }1x∀ ∈ − . Isto significa que não podemos calcular a

imagem quando x assume o valor 1. Vamos usar uma máquina de calcular e construir uma tabela com os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferentes de 1. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores do que 1: (tabela A)

x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 ( )f x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores do que 1: (tabela B)

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 ( )f x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001

Observamos que podemos tornar ( )f x tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. Veja a figura abaixo que representa o que está acontecendo nas tabelas A e B.

L

a x

y = f(x)

y

L

a x

y = g(x)

y

L

a x

y = h(x)

y

b


OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 1) Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais. ∗ Quando x se aproxima de 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela

esquerda, e denotamos simbolicamente por 1x −→ . Temos então que:

( )1

lim 2x

f x−→= ou

2

1

1lim 21x

xx−→

−=

−

∗ Quando x se aproxima de 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos

que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x → +1 . Temos então que:

( )1

lim 2x

f x+→= ou

2

1

1lim 21x

xx+→

−=

−

2) Podemos pensar em lim ( )

x af x

→ como um limite “bilateral”. Temos os seguintes resultados:

* O limite lim ( )

x af x

→ existe se, e somente se, existem e são iguais os limites laterais lim ( )

x af x−→

e

lim ( )x a

f x+→. De outro modo, ( ) ( ) ( )lim lim lim

x ax a x af x f x L f x L− + →→ →

= = ⇔ = .

* Quando os limites laterais tem valores diferentes, dizemos que não existe o limite “bilateral”. De outro modo

( ) ( ) ( )lim lim limx ax a x a

f x f x f x− + →→ →

≠ ⇒ ∃ .

3) Quando os valores de x crescem ilimitadamente, escrevemos x →+∞ . Quando os valores de x decrescem ilimitadamente, escrevemos x →−∞ . Exemplo prático – Seja : {3,5}f − → a função definida pelo gráfico a seguir. Determine os limites que se pedem:

a) lim ( )x

f x→+∞

b) 2

lim ( )x

f x→−

c) 3

lim ( )x

f x→

d) 4

lim ( )x

f x→−

e)

0lim ( )x

f x→

f) 5

lim ( )x

f x→

g) lim ( )x

f x→−∞

h) 4

lim ( )x

f x→

Obs: O sinal negativo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela esquerda.

Obs: O sinal positivo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela direita.

− 4 − 2

− 2

3 4 5 x

y

o

• 2

0

o

• 1


DEFINIÇÃO FORMAL DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO Seja :f I → , I ⊆ um intervalo aberto, onde 0x I∈ ou

0x I∉ . Dizemos que L é o limite de ( )f x quando x tende para 0x do seguinte modo

0 0

0, 0 ;lim ( )

0 ( ) .x xf x L

x x f x Lε δ

δ ε→

∀ > ∃ >⎧⎪= ⇔ ⎨ < − < ⇒ − <⎪⎩

Veja na figura ao lado: sempre que ( )0 0,x x xδ δ∈ − +

temos que ( )( ) ,f x L Lε ε∈ − + . x

y

0x x 0x δ− 0x δ+

L ε−

L ε+

L( )f x

gráfico de ( )

y f x=

Com esta definição podemos demonstrar propriedades que o limite de uma função possui que facilitam seu cálculo. ALGUMAS PROPRIEDADES DOS LIMITES. Considere lim ( )

x af x A

→= , lim ( )

x ag x B

→= e , e A B k∈

constantes reais. Então 1) lim

x ak k

→= 2) lim[ ( )] lim ( )

x a x ak f x k f x kA

→ →⋅ = =

3) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )

x a x a x af x g x f x g x A B

→ → →± = ± = ±

Mais geral, temos que se 1 1 2 2( ) , lim ( ) , , lim ( )n nx a x a

f x A f x A f x A→ →

= = =… onde 1 2, , ..., nA A A ∈ .

Então [ ]1 2 1 2 1 2lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )n n nx a x a x a x af x f x f x f x f x f x A A A

→ → → →± ± ± = ± ± ± = ± ± ± .

4) [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x A B→ → →

⋅ = ⋅ = ⋅ 5) lim ( )( )lim

( ) lim ( )x a

x ax a

f xf x Ag x g x B

→

→→

= = , com 0B ≠

6) lim ( ) lim ( ) nn nx a x a

f x f x A→ →

= = 7) lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x A→ →

= =

8) [ ]lim ( ) lim ( )nn n

x a x af x f x A

→ →⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

onde n∈ . 9) lim ( ) 0x a

f x A→

− =

Observação. Todas estas propriedades podem ser demonstradas a partir da definição (formal) de limite, o que não faremos aqui. Consulte as referências bibliográficas. TEOREMA DA UNICIDADE DO LIMITE. Seja :f I → , I ⊆ um intervalo aberto, onde 0x I∈ ou

0x I∉ . Se 0

lim ( )x x

f x L→

= e 0

lim ( )x x

f x M→

= ( ,L M ∈ ) então L M= .


Em outras palavras, se o limite existe (é um número real) então é único. Demonstração. Suponha

0

lim ( )x x

L f x→

= e 0

lim ( )x x

M f x→

= . Da definição de limite, temos que

0

lim ( )x x

L f x→

= ⇒ 1 0 10, 0; 0 ( )2

x x f x L εε δ δ∀ > ∃ > < − < ⇒ − < e 0

lim ( )x x

M f x→

= ⇒

2 0 20, 0; 0 ( )2

x x f x M εε δ δ∀ > ∃ > < − < ⇒ − < . Seja { }1 2min ,δ δ δ= . Em particular,

( ) ( )0 0 0, { }x x I xδ δ− + ∩ − ≠ ∅ . Logo, existe z I∈ tal que 00 z x δ< − < e

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

L M L M f z f z L f z f z M L f z f z M ε ε ε− = − + − = − + − ≤ − + − < + = .

Daí, L M ε− < , para todo 0ε > , então só podemos ter L M= . LIMITES LATERAIS. Seja :f I → , I ⊆ um intervalo aberto.

lim ( ) 0, 0 ; 0 ( ) .x a

f x L x a f x Lε δ δ ε+→= ⇔ ∀ > ∃ > < − < ⇒ − <

lim ( ) 0, 0 ; 0 ( ) .

x af x L x a f x Lε δ δ ε−→

= ⇔ ∀ > ∃ > − < − < ⇒ − <

TEOREMA DE EXISTÊNCIA DO LIMITE. lim ( )

x af x L

→= ⇔ lim ( ) lim ( )

x a x af x f x L

+ −→ →= = .

Isto quer dizer que o limite “bilateral” existe e é igual a L se, e somente se, existem e são iguais a L os limites laterais. Demonstração. A condição necessária segue das definições. Reciprocamente, se os limites laterais existem e lim ( ) lim ( )

x a x af x f x L

+ −→ →= = , temos que dado 0ε > , existem 1 2, 0δ δ > , tais que

1 ( )a x a f x Lδ ε< < + ⇒ − < e 2 ( )a x a f x Lδ ε− < < ⇒ − < . Note que 1δ e 2δ podem ser iguais

ou diferentes. Caso 1 2δ δ≠ , considere { }1 2min ,δ δ δ= , então 0 ( )x a f x Lδ ε< − < ⇒ − < . Exemplos

1) Suponha o gráfico de uma função ( )f f x= na figura ao lado. Temos então que

01lim ( )

x xf x L

−→= e

02lim ( )

x xf x L

+→= .

Logo, não existe o

0

lim ( )x x

f x→

.

2) Consideremos a função 2

2 1, 1( ) 6, 1

, 1

x xf x x

x x

⎧ − <⎪

= =⎨⎪ >⎩

. Verifique a existência de 1

lim ( )x

f x→

.

L2

L1

x

y

xo


CONTINUIDADE DE FUNÇÕES. Considere :f I → e a I∈ . Dizemos que f é contínua em a I∈ se as seguintes condições são satisfeitas

i) lim ( )x a

f x→

∃ [ou seja, lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x− +→ →= ] ii) lim ( ) ( )

x af x f a

→=

lim ( )x a

f x L→

= e ( )f a L= . lim ( )x a

g x L→

= e ( )g a não está

definido.

lim ( )x a

h x L→

= e ( )h a b L= ≠ .

Exemplos: Verifique a continuidade de cada função no ponto indicado:

a) 5 se 5

( ) 0 se 5x x

f xx

⎧ − ≠⎪= ⎨=⎪⎩

b)

2 2 3 se 1( ) 1 3 se 1

t t tg t tt

⎧ − −≠⎪= ⎨ +

⎪ =⎩

c)

2

2

3 se 2( ) 0 se 2

1 se 2

x xh x x

x x

⎧ + < −⎪

= = −⎨⎪ + > −⎩

Observações: 1) A definição de continuidade pode ser expressa em função de ε e δ . De fato, lim ( ) ( )

x af x f a

→=

significa que: para todo 0ε > existe 0δ > tal que, se Dom( )x f∈ e x a δ− < , então

( ) ( )f x f a ε− < . 2) As funções polinomiais 1 2

1 2 1 0( ) ...n nn np x a x a x a x a x a−

−= + + + + + onde 0 1, ,..., na a a ∈ são funções contínuas em , ou seja, lim ( ) ( )

x ap x p a

→= , a∀ ∈ .

3) Dizemos que uma função ( )f x é racional se é do tipo ( )( )( )

p xf xq x

= onde ( ) e ( )p x q x são

polinômios. Toda função racional é contínua exceto nos pontos onde seu denominador é zero. 4) Dizemos que f é contínua num conjunto I ⊆ se f é contínua em todo ponto de I . 5) Mostra-se, também, que as funções elementares: exponenciais, logarítmos, trigonométricas, raízes n-ésimas, módulo, hiperbólicas são contínuas em seu domínio. Propriedades das funções contínuas. Sejam f e g funções contínuas num ponto a . Então

1) k f⋅ é contínua em a . 2) f g± é contínua é continua em a .

3) f g⋅ é contínua em a . 4) fg

é contínua nos pontos onde 0g ≠ .

L

a x

y = f(x)

y

L

a x

y = g(x)

y

L

a x

y = h(x)

y

b


A demonstração de cada uma destas propriedades decorre diretamente da definição de continuidade. Exercícios 1) Das funções f e g definidas em , sabe-se que:

1lim ( ) 3x

f x→

= , (1) 5f = , 1

lim ( ) 10x

g x→

= e (1) 8g = .

Responda o que se pede: a) A função ( ) ( ) ( )S x f x g x= + , x∀ ∈ é contínua em 0 1x = ? b) A função ( ) ( ) ( )M x f x g x= ⋅ , x∀ ∈ , é contínua em 0 1x = ? 2) Determine as constantes m e n de modo a função dada seja contínua em 0 0x = 1 1x = .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−≥−≠<−

=0 , 1 , 0 e 1 , 1

)( 2

3

xmnxmxxxmx

xf

Teorema (continuidade da composta). Se a função g é contínua em a e a função f é contínua em

( )g a então a função composta f g é contínua em a . Demonstração. Considerando que g é contínua em a , isto é, lim ( ) ( )

x ag x g a

→= e f é contínua em

( )g a , temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )x a x a x a

f g x f g x f g x f g a f g a→ → →

= = = = , o que prova que

f g é contínua em a . Exemplos: Sendo :f I → contínua, f , n f , ( )nf , ln f , cos f , senf ,

vezes

n

n

f f f f=

também são contínuas. Teorema (valor intermediário). Se :[ , ]f a b → é uma função contínua em [ , ]a b e ( ) ( )f a d f b< < (ou

( ) ( )f b d f a< < ), então existe ( , )c a b∈ tal que ( )f c d= . Uma das possibilidades do significado geométrico deste teorema está na figura ao lado.

Exemplo: Considere a função 2 1( ) xf xx+

= . Determine o valor que satisfaz o Teorema do Valor

Intermediário para 3d = em [ ]1,6 . Muito utilizado para garantir a existência de raízes de equações, o teorema seguinte é um resultado imediato do anterior (corolário).

f(c)=d

X

Y

f(b)

f(a)

c ba


Teorema de Bolzano. Seja :[ , ]f a b → uma função contínua em [ , ]a b . Se ( )f a e ( )f b tem sinais opostos, ou seja, ( ) ( ) 0f a f b⋅ < , então existe ( , )c a b∈ tal que ( ) 0f c = . Seu significado geométrico no gráfico ao lado.

Exemplos: 1 – Uma aplicação deste corolário mostra que a função

2( ) 2xf x x= − (gráfico ao lado) possui um zero em cada um dos intervalos: [ 1,0]− , [0,3] e [3,5] . 2 – Se 4( ) 5 3f x x x= − + , localizar um intervalo onde tenha uma raiz real.

x

y

2

( ) 2xf x x= −

Observação: Este corolário também pode ser utilizado para localizar as raízes reais de um polinômio de grau ímpar. De fato, seja 1 2

1 2 1 0( ) ...n nnf x x a x a x a x a−−= + + + + + , ia ∈ uma função polinomial

de grau n ímpar. Para os 0x ≠ , escrevemos: 1 02 12 1( ) 1 ...n n

n n na aa af x x

x x x x−

− −⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

. Então

lim ( )x

f x→+∞

= +∞ e lim ( )x

f x→−∞

= −∞ , pois n é impar. Logo, existem 1 2x x< tais que 1( ) 0f x < e

2( ) 0f x > , como f é contínua em 1 2[ , ]x x ; pelo corolário anterior, existe ( )1 2,c x x∈ tal que

( ) 0f c = . Note que, se n é par a conclusão é falsa, por exemplo, o polinômio 2( ) 3p x x= + não possui raízes reais. Exercício – Para cada uma das funções determine um inteiro n tal que ( ) 0f x = para algum

[ ], 1x n n∈ + :

a) 3( ) 3f x x x= − + b) 5 4( ) 5 2 1g x x x x= + + + c) 5( ) 1h x x x= + + LIMITES “DIRETOS”. Considere a no domínio de f . Então se f é uma função contínua em a temos lim ( ) ( )x a

f x f a→

= . Isto significa que podemos calcular o limite x a→ de uma função ( )f x contínua

em a “diretamente” da função, calculando a imagem de a por f. Exemplos:

a) 2 2

3lim ( 5 2) ( 3) 5( 3) 2 22

xx x

→−− − = − − − − = b)

4lim cosh

2a

aa→

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

X

Y

f(b)

f(a)c b a


c) 2 1

21

3 1lim log4

z

z

z +

→

⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ d)

3lim sen arctg(4 )

1α

π αα→−

⎡ ⎤⎛ ⎞ − +⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠⎣ ⎦

Exercícios – Calcule os limites a seguir:

a) 5 41

lim ( 3 2)y

y y→−

− − b) 12

34

lim4 2

x

x

x x x− +

→

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 2

2 1

1

3 1lim log4

x

x

x +

→

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 2

332

2lim arcsenp

p pp→−

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

e) 5

1

2 1lim tg3 5a

a aa

π→

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

+⎝ ⎠ f) 3lim 2 ln( )

k ek k

→⎡ ⎤− +⎣ ⎦

g) 0

2

limu

u uu u−→

−−

h) ( )1

lim senh coshx

x x→−

+ i) ( )3

lim sec cosecx

x xπ→−

+

Respostas: ) 6a − ) 1/ 238328b − ) 3c − ) 3 / 2d π ) 1e ) 2 3f e− + ) 1/ 2g − ) 1/h e ) 2(3 3) / 3i .

LIMITES ENVOLVENDO A INDERTERMINAÇÃO 00

Exemplo prático. Determine 2

lim ( )x

f x→

, onde 2 4( )

2xf xx−

=−

.

Observamos que 2

2

4 0lim2 0x

x x→

−=

− ??

A expressão que aprece acima – 00

- é uma indeterminação matemática!. Portanto, devemos então

simplificar a expressão e depois fazer a substituição direta.

Observe que ( ) ( )( )2 2 24 2, 2.2 2

x xxf x x xx x

+ −−= = = + ∀ ≠

− − Então:

( )( )2

2 2 2 2

2 24lim ( ) lim lim lim( 2) 4.2 2x x x x

x xxf x xx x→ → → →

+ −−= = = + =

− − Logo,

2

2

4lim 42x

x x→

−=

−.

x

y 2 4gráfico de ( ) 2

xf x x−= −

2

4

x

y

2

4

gráfico de ( ) 2f x x= +

Para resolver limites deste tipo, utilizaremos o seguinte teorema.


TEOREMA. Se ( ) ( )h x f x= para todo { }x I a∈ − então lim ( ) lim ( )x a x a

f x h x A→ →

= = .

Demonstração. A verificação é imediata. O algoritmo da divisão de Euclides, o processo de Briott-Ruffini e o conhecimento (lembrança) de

alguns produtos notáveis podem ajudar a resolver mais rapidamente os limites do tipo 00

envolvendo

funções racionais. Alguns produtos notáveis

222 2)( BABABA +±=± ))((22 BABABA −+=− ))(( 2233 BABABABA ++−=− ))(( 2233 BABABABA +−+=+ ))(( 21

2 xxxxACBxAx −−=++ 32233 33)( BABBAABA ±+±=±

Se um limite envolve a expressão 00

, dizemos que este limite possui uma indeterminação matemática

e, para resolver o limite, é preciso “eliminar” a indeterminação. Exemplos – Elimine a indeterminação para resolver cada limite.

a) 2

23 3

9 ( 3)( 3)lim lim 2( 3)3x x

x x xx xx x→ →

− − += =

−− b)

2

3 21 1

6 7 ( 7)( 1) 8lim lim31 ( 1)( 1)u u

u u u uu u u u→− →−

− − − + −= =

+ + − +

c) 2

22 2

4 ( 2)( 2) 2lim arccos arccos lim arccos2 2 43 4 4 3 ( 2)3

t t

t t tt t t t

π→− →−

⎛ ⎞− − += = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞+ − ⎝ ⎠− +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Exercícios – Calcule os limites:

a)3

22

6lim 2 10x

x xx x→

− −+ −

b) 4

21lim sen

21t

t t tπ

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

c) 2

35

9 20lim125h

h hh→

− +−

d) 23

3lim

4 3z

zz z−→

−

− +

e) 3 2

21

2 5 6lim5 2 3n

n n nn n→−

+ − −+ −

f) 21

1lim2 3y

y y→

−

− + g)

9

3lim9x

x x→

−−

h) 2

21

1 2lim3 3u

uu u→

+ −−

Respostas: ) 11/ 9a ) 2 / 2b ) 0, 4c ) 1/ 2d − ) 3e ) 2f ) 1/ 6g ) 2 / 6h .

2) Estude a continuidade da função f definida ao lado, nos pontos 0 2t = − e 1 0t = . Justifique sua resposta.

3 2

2

22

4 4 , 0 e 22

( ) 4 , 2

log ( 4) , 0

t t t t tt t

f t t

t t

⎧ + − −< ≠ −⎪

+ −⎪⎪= = −⎨⎪ + ≥⎪⎪⎩


Além de 00

, existem indeterminações matemáticas envolvendo o infinito. Por exemplo: ∞−∞ , 0∞⋅ e

∞∞ são algumas que surgem no estudo de limites. Veja tabela na página

LIMITES INFINITOS

Dado 0, 0 ;lim ( )

0 ( ) .x a

Mf x

x a f x Mδ

δ→

> ∃ >⎧⎪= +∞ ⇔ ⎨ < − < ⇒ >⎪⎩

Dado 0, 0 ;lim ( )

0 ( ) .x a

Mf x

x a f x Mδ

δ→

< ∃ >⎧⎪= −∞ ⇔ ⎨ < − < ⇒ <⎪⎩

Exemplos: a) 0

1limx x→

b) 20

1limx x→

c) 0

lim lnt

t+→ d)

2

lim tgπθ

θ+→

TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DO SINAL. Se lim ( ) 0

x af x L

→= ≠ então existe um intervalo aberto I

contendo a tal que ( )x D f I∀ ∈ ∩ tem-se { }x I a∀ ∈ − , ( )f x tem o mesmo sinal de L . Demonstração. Pelo fato de que lim ( ) 0

x af x L

→= ≠ temos que 0, 0 ;ε δ> ∃ > 0 x a δ< − < implica

que ( ) <f x L ε− , ou seja, a x aδ δ− < < + implica que ( )L f x Lε ε− < < + . Suponha 0L > (fixo), como ε pode assumir qualquer valor positivo, tomamos Lε < (ou seja, 0 L ε< − ), logo, existirá

1 0δ > tal que 1 1a x aδ δ− < < + implicando em 0 ( )L f x Lε ε< − < < + e assim ( )1 1,x a aδ δ∀ ∈ − + temos ( ) 0f x > . Do mesmo modo, se fizermos 0L < temos ( ) 0f x < em algum intervalo. Como conseqüência do Teorema da conservação do sinal, podemos generalizar uma regra para

resolver limites infinitos que envolvem 0k , onde { }0k∈ − . Então, para resolver

( )lim , 0( ) 0x a

f x k kg x→

= ≠ onde ( ) 0g a = devemos “estudar” o sinal de ( )k

g x em torno de x a= . Assim,

, 0 e , 0.0 0

, 0 e , 0.0 0

k kk k

k kk k

+ +

− −

⎧ = +∞ > = −∞ <⎪⎪⎨⎪ = −∞ > = +∞ <⎪⎩

( )f x

a a δ− a δ+ x

Y

M

X

( )f x

a a δ−

a δ+ x X

Y

M


Exercícios – Resolva os limites:

a) 22

3 5lim4x

xx+→

−−

b) 3

63

2lim( 3)

t

t

tt

e +

→− + c) 4

0

log (2 )limsenx

xx x→

−⋅

d) 3

2

2lim n

ne −

−→

e) 0,3 1

3 22

4lim6

x

x x x x

+

→− − − f)

1lim

ln 1

x

x exx

−

−→ − g)

0

1limsenhu u→

Respostas: )a +∞ )b −∞ )c +∞ ) 0d ) e ∃/ )f −∞ ) g ∃/ .

LIMITES NO INFINITO. Seja :[ , [f a +∞ → (ou :] , ]f a−∞ → )

lim ( ) (ou ou ) Dado 0, 0 ; Dom( )x

f x L N x fε→±∞

= ±∞ ∃ ⇔ > ∃ > ∀ ∈/ tem-se

( )x N f x L ε> ⇒ − < . ( )x N f x L ε< − ⇒ − < .

Exercícios – Resolva os limites:

a) 26lim

x x→+∞ b) lim senh

xx

→+∞ c) 4

3limx x→−∞

− d) 6 1lim2x

xx→+∞

−+

e) limx

x→+∞

f) lim xx

a→−∞

e lim xx

a→+∞

g) lim lnx

x→+∞

h) 1 2lim2 3

n

nn→+∞

++

i) ( )lim 1x

x x→+∞

+ −

Respostas: ) 0a )b +∞ ) 0c ) 6d )e +∞ ) ou 0f +∞ )g +∞ ) 0h ) 0i .

LIMITES NO INFINITO (E INFINITOS) PARA POLINÔMIOS E FUNÇÕES RACIONAIS Considere n∈ , temos os seguintes resultados:

i) lim n

xx

→±∞= ±∞ ii) 1lim 0nx x→±∞

=

iii) [ ] 1 2

1 2 1 0lim ( ) lim ... limn n nn n nx x x

P x a x a x a x a x a a x−−→±∞ →±∞ →±∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

iv) 1 2

1 2 1 01 2

1 2 1 0

...( )lim lim lim( ) ...

n n nn n n

m m mm m mx x x

a x a x a x a x a a xP xQ x b x b x b x b x b b x

−−

−−→±∞ →±∞ →±∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ + + + + += =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

X

Y

x N−

( )f xL

L ε+

L ε−

( )f x

X

Y

x N

L

L ε+

L ε−


Exemplos – Determinar cada limite:

a)) 3 2 3

24 2 9 4lim lim 2 lim 2( )2 8 2x x x

x x x xx x→−∞ →−∞ →−∞

− −= = ⋅ = +∞ = +∞

+

b) 3 3

5 3 5 2

2 1 2 2 1 2lim lim lim 0 03 2 3 3 3q q q

q q qq q q q q→+∞ →+∞ →+∞

− − + − − −= = ⋅ = ⋅ =

+ −

c) 2 2

2 2

5 3 1 5 5lim lim4 2 4 4t t

t t tt t→−∞ →−∞

+ −= =

−

Exercícios: 1) Calcular os limites:

a) 4

215 40lim

60 0,7z

zz z→+∞

− +− −

b) 23 13lim 5 p p

p− + +

→−∞ c) ( )2

0,3lim log 5 200 13t

t t→−∞

− +

d) 5 3

52 5 1lim sen

6 2r

r rr

π→−∞

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

+⎝ ⎠ e)

42 3 1,5lim7x

x xx→+∞

− − f) 2

5 23 1lim cos

4n

n nn n→+∞

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

−⎝ ⎠

Respostas: )a −∞ ) 0b )c −∞ ) 1/ 2d )e +∞ ) 1f .

2) Mostre que não existe o lim ( )

nf n

→+∞ quando ( ) ( 1)nf n = − com n∈ .

FUNÇÃO INFINITESIMAL. Dizemos que uma função ( )f x é infinitesimal para (resp. )x a x→ →±∞ se lim ( ) 0

x af x

→= (resp. lim ( ) 0

xf x

→±∞= ).

Exemplos:

a) ( ) xf x e= é infinitesimal quando x →−∞ . b) 1( )g xx

= é infinitesimal para x →+∞ .

c) 3( ) ( 1)h t t= − é infinitesimal para 1t → . d)

2( ) xf x e−= é infinitesimal quando x →+∞ .

FUNÇÃO LIMITADA. Dizemos que uma função

:f I → é limitada em I se existem ,M N ∈ tais que ( )M f x N≤ ≤ , x I∀ ∈ . Dizer que uma função f é limitada significa, geometricamente, que o gráfico de f está plenamente contido numa “faixa” horizontal.

X

Y

gráfico de ( )

f xN

M


Exemplos: a) :[1, )f +∞ → , definida por 21( )

1f x

x=

+ é limitada em [1, )+∞ , pois 2

1 1021 x

< ≤+

,

[1, )x∀ ∈ +∞ logo 10 ( )2

f x< ≤ .

b) cosy x= e siny x= são limitadas em pois, 1 cos 1x− ≤ ≤ e 1 sin 1x− ≤ ≤ , x∀ ∈ . c) :f → ,

2( ) xf x e−= é limitada em .

d) :f → , ( ) arctgf x x= é uma função limitada em . TEOREMA. Suponha que ( )f x é infinitesimal para x a→ e que ( )g x é uma função limitada num intervalo I que contém a . Então [ ]lim ( ) ( ) 0

x af x g x

→⋅ = .

Demonstração. Seja ( )f x é infinitesimal para x a→ , então lim ( ) 0

x af x

→= , ou seja,

0, 0; 0 ( ) 0x a f xε δ δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − < . Assumimos 0N > e podemos tomar (sem perda de

generalidade) ( )f xNε

< . Como ( )g x é uma função limitada no intervalo I ,temos ( )M f x N≤ ≤ ,

x I∀ ∈ . Logo, ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x NNε ε⋅ − = ⋅ = < = , o que significa que

[ ]lim ( ) ( ) 0x a

f x g x→

⋅ = .

Exercício – Calcule cada limite, justificando sua resposta:

a) senlimlnx

xx→+∞

b) lim cos(2 1)xx

xe→−∞

+ c) 351

lim ( 1) sen1t

tt

π−

→ +⎛ ⎞− ⎜ ⎟−⎝ ⎠

d) 3

32 ( )3

3lim ln cos 35

x x

x

x x xx

e − +

→−∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

e) 3 32 2

sen( 2)lim2 u

u

u u→−∞

+

+ +

LIMITES FUNDAMENTAIS. Alguns tipos de limites podem ser usados para resolver outros limites, por isso são chamados de limites fundamentais. Para estudá-los precisamos do seguinte TEOREMA DO CONFRONTO (OU DO SANDUÍCHE). Considere ( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ , Dom( )x f∀ ∈ . Se lim ( ) lim ( )x a x a

g x h x L→ →

= = então lim ( )x a

f x L→

= .

Demonstração. Como lim ( ) lim ( )x a x a

g x h x L→ →

= = temos que

1 10, 0; 0 ( )x a g x Lε δ δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − < e

2 20, 0; 0 ( )x a h x Lε δ δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − < .

Tomemos { }1 2min ,δ δ δ= , como ( )L g x Lε ε− < < + , ( )L h x Lε ε− < < + e ( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ , temos que ( ) ( ) ( )L g x f x h x Lε ε− < ≤ ≤ < + , ou seja, ( )L f x Lε ε− < < + .

Logo, ( )f x L ε− < , o que significa lim ( )x a

f x L→

= .


Exemplo: Considere 2

22 3 2 5( )x x xf xx x

− +< < , 0x∀ > . Determine lim ( )x

f x→+∞

.

Limite Fundamental Trigonométrico: 0

senlim 1θ

θθ→

= .

Demonstração. Vamos demonstrar que 0

senlim 1θ

θθ→

=

utilizando a figura ao lado, onde med( ) tgmed( )

TAOA

θ= ,

med( ) 1OA = , então med( ) tgTA θ= . Tomemos 02πθ< < .

Da figura, temos:

área( ) área do setor( ) área( )OAP OAP OATΔ < < ⇓

med( ) med( ) arco raio med( ) med( )2 2 2

OA QP OA AT⋅ ⋅ ⋅< <

⇓

1 sen 1 1 tg tg sen 1 1 1

2 2 2 sen sen cosθ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ⋅ ⋅ ⋅

< < ⇒ < < ⇒ > > .

Assim, 0 0 0 0

sen 1 senlim 1 lim lim 1 lim 1cosθ θ θ θ

θ θθ θ θ+ + + +→ → → →

> > ⇒ > > . Pelo teorema do confronto, temos

0

senlim 1θ

θθ+→

= . Seguimos a mesma idéia construindo a figura de modo a termos 02π θ− < < e

mostrando que 0

senlim 1θ

θθ−→

= . Assim, 0

senlim 1θ

θθ→

= .

Ao lado, o gráfico da função senθθ

.

Exemplos: a) 0

sen( )lim kθ

θθ→

b) 0

sen( )limsen( )x

xx

αβ→

c) 0

1 coslimϕ

ϕϕ→

−

Existem algumas indeterminações matemáticas que ainda não apareceram em nossos estudos. Do tipo:

00 , 1∞ , 0∞ , 0∞ , 0 ⋅∞ .


Limites Fundamentais Exponenciais:

i) lim 1x

x xeαα

→±∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, onde α ∈ . ii) 0

1lim lnx

x

a ax→

−= , para 0a > .

Exemplos: a) 2lim 1x

x x→+∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 23lim

t

t

tt

−

→−∞

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 1lim1

n

n

nn→+∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

d) 0

2 1limx

x x→

− e) 0

ln(1 )limz

zz→

+ f) ( )

0

1limb a x

x xe −

→

− com b a≠ .

ALGUMAS APLICAÇÕES DE LIMITES Retas assíntotas 1. Dizemos que a reta y k= , k ∈ é uma assíntota horizontal do gráfico de ( )f x se uma das condições é satisfeita:

lim ( )x

f x k−∞→

= ou lim ( )x

f x k+∞→

= .

Exemplo: Ao lado, o gráfico de ( ) 3 sin(4 ) 1,5xf x xe−= + e sua reta assíntota horizontal 1,5y = . Observe que, neste exemplo, a reta assíntota intercepta o gráfico da função em vários pontos.

x

y gráfico de

( ) 3 sin(4 ) 1,5xf x xe−= +

1,5y =

Exercício – Determine, se houver, retas assíntotas horizontais do gráfico de cada função:

a) 3( ) 2f x x x= − b) ( ) tanhg x x= c) 2

27 1( )

3 4xh x

x x−

=+

2. Dizemos que a reta 0x x= é uma assíntota vertical do gráfico de ( )f x se uma das condições é satisfeita:

0

lim ( )x x

f x−→= ±∞ ou

0

lim ( )x x

f x+→= ±∞ .

Exemplo: Ao lado, o gráfico de 1( ) 11

f xx

= +−

, uma

assíntota vertical 1x = e uma assíntota horizontal 1y = .

x

y gráfico de1( ) 1 1f x x= + −

1x← =

1y =

Exercício – Determine, se houver, retas assíntotas verticais do gráfico de cada função:

a) 2 5( ) 5f x x x= − b) 23( )

2xg xx

=−

c) 2

31( )

3 4x xh x

x x− +

=−

d) ( )1( ) 1t

f t t−= +


Observação. Está claro então que assíntotas verticais envolvem limites infinitos enquanto assíntotas horizontais envolvem limites no infinito. Existem também as assíntotas oblíquas. 3. Dizemos que a reta y ax b= + é uma assíntota oblíqua do gráfico de ( )f x se [ ]lim ( ) 0

xf x y

±∞→− = . Desse modo, temos

que: ( )lim

x

f xax→±∞

= e [ ]lim ( )x

b f x ax→±∞

= − .

Se o coeficiente 0a = , não existe assíntota oblíqua.

Exemplo: Ao lado: o gráfico de 22 3( )

7 4xf xx−

=+

, 47

x −=

uma assíntota vertical e 14 849xy −

= uma assíntota oblíqua.

x

y

47x −= →

2 gráfico de

2 3( ) 7 4xf x x−= +

14 849xy −=

Exercícios – Determine, se houver, todas as retas assíntotas do gráfico de cada função:

a) 2 6( ) 3f t t t= + b) 2

( )2xg x

x=

− c)

2

21( )

3 4x xh x

x x− +

=−

d) ( ) tf t t e−= +

e) 22 7 1

2x xy

x− +

=−

f) 3 2 2 2 0y x y y− + + = (sugestão: “isole” x )

Derivada de uma função num ponto. Sabe-se que, se existir 0

0

0

( ) ( )limx x

f x f xx x→

−−

(finito), então

0

00

0

( ) ( )( ) limx x

f x f xf xx x→

−′ =−

onde 0( )f x′ significa a derivada da função f no ponto de abscissa 0x .

Exercícios – Baseando-se neste conhecimento, determine o que se pede em cada ítem: a) (3)f ′ para 2( ) 2 1f x x x= + − . b) (0)g′ para ( )g x x= .

c) ( )h a′ para 2( ) 1h t t= + . d) Mostre que (0)f ′∃/ quando 3( )f z z= .

e) Considere ( ) logaxf x = , 0 1a< ≠ e 0 0x > . Mostre que 0

0

1( )ln

f xx a

′ = .

f) Considere a função ( ) senf x x= e 0x ∈ . Mostre que 0 0( ) cosf x x′ = .

Respostas: ) 3a ) (0)b g′∃/ 2

) ( )1

ac h aa

′ =+

.


Convergência de uma série infinita. Uma série numérica infinita é uma expressão que pode ser

escrita na forma 1 2 31

n nn

a a a a a+∞

== + + + + +∑ .

Seja nS a soma dos n primeiros termos da série. Veja ao lado.

Dizemos que 1

nn

a∞

=∑ converge se lim nn

S L→+∞

= (um número),

caso contrário, a série ∑∞

=1nna diverge.

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2 3 1

n n n n

S aS a aS a a a

S a a a a S a−

== += + +

= + + + + = +

Exemplo: 1

1 1 1 1 1 1( 1) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6n n n

+∞

== + + + + +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ . Assim,

1 1

2 1 2

3 1 2 3

4 3 4

12

1 1 22 6 3

2 1 33 12 4

3 1 44 20 5

1n

S a

S a a

S a a a

S S a

nSn

= =

= + = + =

= + + = + =

= + = + =

=+

Com a “fórmula” 1n

nSn

=+

podemos calcular a soma de uma

quantidade qualquer de termos da série, por exemplo, a soma dos

100 primeiros termos é dada por 100100 100 0,9901

100 1 101S = = ≈

+.

Como queremos a soma dos infinitos termos, ou seja, n = ∞ , temos

lim lim 11nn n

nS Sn∞ →+∞ →+∞

= = =+

.

Isto significa que 1

1 1 1 1 1 1( 1) 1 2 2 3 3 4 4 5n n n

+∞

== + + + + =

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ .

Exercícios: 1 – Para cada série dada, determine os seis primeiros termos da série, uma expressão para

nS e verifique se a série converge ou diverge.

b) 1

1(2 1)(2 1)n n n

+∞

= − +∑ c) 1ln

1n

nn

+∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ d) 1[1 ( 1) ]n

n

+∞

=+ −∑

2 – Suponha uma série do tipo 1 2 3

1

n

na r a ar ar ar

+∞−

=⋅ = + + + +∑ , onde 0 ,a r≠ ∈ . Este tipo de série

recebe o nome de série geométrica (por quê ?). Mostre que 11

n

nrS ar

−=

− e que lim

1nn

aSr→+∞

=−

quando 1r < . 3 – Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa a quicar ao atingir o solo, como indica a figura ao lado. A altura máxima atingida pela bola após cada batida no solo é igual a três quartos da altura da queda correspondente. Calcule a distância vertical total percorrida pela bola até parar. Sugestão: Utilize série geométrica.


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – LIMITE DE FUNÇÕES Esboços de gráficos de funções elementares, limites, limites laterais e continuidade. 1. Esboce o gráfico das funções abaixo, determine ( )lim

x af x−→

, ( )limx a

f x+→ e, caso exista, ( )lim

x af x

→.

a) ( ) ( )3 2, 12, 1 14 1, 1

x xf x x a

x x

− >⎧⎪= = =⎨⎪ + <⎩

b) ( ) ( )

2 1, 1 e 21, 2 21 , 1

x x xf x x a

x x

⎧ − ≥ ≠⎪

= = =⎨⎪ − <⎩

c) ( ) ( )2 , 0 0

, 0x x xf x a

x x⎧ − ≥⎪= =⎨− <⎪⎩

d) ( ) ( )2 22

xf x ax+

= = −+

2 – Considere a função de domínio ,

definida por

2 , 1 ( ) 1 , 1 1

log , 1

x xf x x x

x x

⎧ < −⎪

= − + − ≤ <⎨⎪ ≥⎩

.

2.1) Esboce o gráfico de f . 2.2) Determine: a) )(lim

xf

x ∞−→ b) )(lim

xf

x ∞+→

c) )(lim1

xfx −→

d) )(lim0

xfx→

e) )(lim1

xfx→

.

3. Determine, se possível, a∈ para que exista

0

lim ( )x x

f x→

, sendo:

a) ( ) ( )0

3 2, 13, 1 15 , 1

x xf x x x

ax x

− > −⎧⎪= = − = −⎨⎪ − < −⎩

b) ( ) ( )( ) ( )0

12 4 2 , 2 2

, 2

x x xf x x

a x

−⎧ − − ≠⎪= =⎨=⎪⎩

4. Considere as funções dos itens a), b) e c) do exercício 1. Verifique se f é contínua em ax = . Justifique. 5. Potencial. O potencial φ de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos x é dado por

( )( )

2 2

2 2

2 se 0( )

2 se 0

x a x xx

x a x x

πσφ

πσ

⎧ + − ≥⎪= ⎨⎪ + + <⎩

onde, , 0a σ > são constantes. A função φ é contínua ?

6. Determine, se possível, as constantes e a b∈ de modo que f seja contínua em 0x , sendo:

a) ( ) ( )2

03 2, 1 1

2, 1ax xf x x

x x

⎧ + <⎪= =⎨− ≥⎪⎩

b) ( ) ( )2

02

2, 1 1

, 1

bx xf x x

b x

⎧ + ≠⎪= =⎨=⎪⎩


c) ( ) ( )0

2

3 3, 3, 3 3

1, 3

x xf x ax x x

bx x

⎧ − > −⎪

= = − = −⎨⎪ + < −⎩

d) ( )( )

( )0

2

2 .cos 1, 07 3 , 0 0

2 , 0

a x xf x x a x x

b x x

π⎧ + + <⎪

= − = =⎨⎪ − >⎩

7. Esboce o gráfico de uma função f satisfazendo as condições indicadas: ( )Dom f = ,

( )0

lim 1x

f x→

= , ( )1

lim 0x

f x→

= mas f é descontínua em 1 e 0 == xx .

8. Para cada um dos seguintes itens, exiba o esboço gráfico de uma função que satisfaz às condições: a) Lxf

ax=

→)(lim

e ).( fDa∉

b) f é contínua em , ∞+=∞−→

)(lim

xfx

e 0)(lim

=∞+→

xfx

.

c) ∞−=−→

)(lim

xfax

, 0)(lim

>=+→

Lxfax

e 0)( <af .

d) f de domínio que seja descontínua em dois pontos.

9. Seja 3

( ) sen( ) 34xf x xπ= − + . A função f atinge o valor 7

3 no intervalo [ ]2, 2− ? Justifique sua

resposta. 10. Seja [ ] [ ]: 0,1 0,1f → contínua. Mostre que existe [ ]0 0,1x ∈ tal que 0 0( )f x x= . Note que isto significa que o gráfico da função f , obrigatoriamente, “corta” a primeira bissetriz. 11. Função sinal. A função sinal de x é definida por

1 se 0sgn( ) 0 se 0

1 se 0

xx x

x

>⎧⎪= =⎨⎪− <⎩

Verifique se ( ) sgn( )f x x= e ( ) sgn( )G x x x= são funções contínuas.

x

y gráfico de sgn( )x

1

1−

0

12. Suponha que existe um conjunto (intervalo) ( ),a r a r− + ⊆ e um número real 0M > tal que

satisfaz a condição: ( ) ( )f x f a M x a− ≤ − , para todo ( ),x a r a r∈ − + . Mostre que f é contínua em x a= . 13. Suponha que ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + para todos os ,x y∈ e que f é contínua em 0 . Mostre que f é contínua a∀ ∈ . 14. Calcule os limites a seguir:


a) ( )5 4 21

lim 3 12x

x x x→−

− − + b)

23

4lim

4 2x

x xx→

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 2

1

1lim tg1x

xx→−

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

d) ( )3

1lim 2 4x

xx

→− e)

2

senlim1 cosx

x xπ→ +

f) ( )

3 5

cos1

3lim2

x

xx π

+

→−

g) 2

2

9lim2x

xx→

−+

h) 1

5lim2x

xx−→

− i) 2

1

2 1lim10x

xx→−

−+

j) ( )2

0lim 3 sgn 1 1x

x x→

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎣ ⎦ k) ( )2 2

2lim 5 sgn 1 1

xx x

→⎡ ⎤+ + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

Limites infinitos e limites no infinito 15. Calcule ( )lim

xf x

→−∞ e ( )lim

xf x

→+∞ para as funções do exercício 1.

16. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede: (Obs.: Use o Winplot para visualizar os gráficos)

a) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+−

≤≤−

−<+

=

1 312

2 124

2

2

x,xx,xx,x

xf

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 1 1 2

2 2

lim , lim , lim , lim , lim ,

lim , lim , limx x x x x

x x x

f x f x f x f x f x

f x f x f x

− + −

+

→−∞ → → → →−

→− →− →+∞

Intervalos onde f é contínua.

b) ( )( )1 2 , 01 , 0

x xf x

xx

⎧ >⎪= ⎨

<⎪⎩

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0 0 0 1

1

lim , lim , lim , lim , lim ,

lim , limx x x x x

x x

f x f x f x f x f x

f x f x

− +→−∞ → → → →

→− →+∞

c) ( )1 2log , 0

0, 01 , 0

x x

f x xx x

⎧ >⎪⎪= =⎨⎪− <⎪⎩

( ) ( ) ( ) ( )0 1

lim , lim , lim , limx x x x

f x f x f x f x→−∞ →+∞ → →

Estude a continuidade de f em 0=x .

17. Campo elétrico. Uma esfera de raio R está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A intensidade de um campo elétrico ( )E E x= num ponto P localizado a x unidades do centro da esfera é determinada pela função dada abaixo. Verifique se a função E contínua e esboce seu gráfico.

2

2

0 se 01( ) se

3 se

x R

E x x Rx

x x R−

⎧ < <⎪⎪= =⎨⎪⎪ >⎩

x

y

2

13R

0 R

2

1R


18. Função de Heaviside. A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento de corrente elétrica ou de voltagem quando uma chave é instantaneamente ligada e, é definida por

0 se 0

( )1 se 0

tH t

t<⎧

= ⎨ ≥⎩ x

y

1

0

a) Discuta a continuidade de 2( ) ( 1)f t H t= + e de ( )( ) sen( )g t H tπ= . Esboce os respectivos

gráficos no intervalo [ 4,4]− ;

b) A função ( ) ( )R t ct H t= ⋅ ( 0)c > é chamada rampa e representa o crescimento gradual na voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de R e esboce o gráfico para 1, 2, 3.c =

Limites do tipo 0/0 envolvendo fatorações 19. Calcule os seguintes limites:

a) 2

22

4lim2x

xx x→

−−

b) 2

22

2 8lim3 4 4x

xx x→

−− −

c) 2

31

2 1lim1x

x xx→

− +−

d) 2

31 2

2 3 2lim8 1x

x xx→

+ −−

e) 3

2

8lim2x

xx→

−−

f) 2

22

4lim3 4 4x

xx x→−

−+ −

g) 2 2

2 2lim 03 2x a

x a ax ax a→

−≠

− − h) ( )2

3 31

lim 0x a

x a x aa

x a→

− + +≠

− i)

3

62

3 24lim log2x

xx→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

j) ( ) ( ) 13

2lim en 8 2x

s x xπ −

→⎡ ⎤− ⋅ −⎣ ⎦ l) ( )( ) 14 316 8

2lim 2 x x

x

−− −

→ m)

3

25

2 250lim6 5x

xx x→

−− +

Limites do tipo 0/0 envolvendo conjugado de radicais 20. Calcule os seguintes limites:

a) 1

1lim1x

xx→

−−

b) 0

1 1lim3x

x xx→

+ − − c) 2

1

1lim2x

xx x→−

−+ +

d) 31

2 3lim1x

xx→

+ −−

e) 4

3 5lim1 5x

xx→

− +− −

f) 4

2lim4x

xx+→

−−

g) 4

3 5lim2x

x xx→

− − −−

h) 364

8lim4x

xx→

−−

i) lim , 0x a

x a ax a→

−>

− j) 27

2 3lim49x

xx→

− −−

l) 2

2 2lim4 2x

xx→

+ −− +

m) 2 2

lim ; 0x a

x a x a ax a→

− + −>

−

Limites do tipo k/0, onde k é constante e k≠0 21. Calcule os seguintes limites:


a) 2

0

1limsenx

xx→

+ b) 20

1lim senhx

xx+→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( )

2

25

2 3lim5x

xx→

+

− d) 21

5lim5 4x

xx x→

+− +

e) 2

5 4lim2x

xx→

−−

f) ( )0

cos 3limx

xx→

g) 0

coslimsenx

xx x→ ⋅

h) 3

3 11lim3x

xx→

−−

22. Verifique, justificando, se f é contínua em oxx = .

a) ( ) ( )( ) ( )13

0125 5 , 5

575, 5

x x xf x x

x

−⎧ − − ≠⎪= =⎨=⎪⎩

b) ( ) ( ) ( )1

03 12 4 , 4 4

4, 4x x xf x xx

−⎧ + ⋅ + ≠ −⎪= = −⎨= −⎪⎩

23. Calcule as constantes de modo que:

a) 2

lim 4x b

x ax b→

−=

− b)

2

3lim 5

3x

x ax bx→

− +=

− c) 3lim 5

1x

bxaxx→+∞

+⎡ ⎤− =⎢ ⎥+⎣ ⎦

d) ( ) ( )2

lim 3 e lim 1x x

f x f x→+∞ →−

= = sendo ( ) ( )3 2

24 2ax bx cx df x

x x+ + +

=+ −

24. Sabe-se que 31

( )lim 41x

f xx→

=−

e 21

( )lim 61x

g xx→

= −−

. Mostre que 1

( )lim 1( )x

f xg x→

= − .

25. Sabendo que 2

( 2)lim 82 2x

f xx−→

+=

− − e 22

( 2)lim 34x

g xx−→

+=

−. Mostre que

0

( ) 1lim( ) 3x

f xg x→

= .

26. Contração de Lorentz. Na teoria da relatividade especial, temos que o comprimento de um objeto

é função de sua velocidade: 2

0 2( ) 1 vL v Lc

= − , onde 0L é o comprimento do objeto em repouso e c é

a velocidade da luz. A velocidade da luz é de aproximadamente 830 10 m/s⋅ . Da teoria da relatividade é conhecido que nenhum objeto pode ir além da velocidade da luz; logo v c−→ ; lim ( ) 0

v cL v−→

= . Isto

significa que para um observador parado o objeto desaparece. 27. Massa relativística. Na teoria da relatividade especial, a massa de uma partícula é função de sua

velocidade:

122

0 2( ) 1 vM v mc

−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Onde 0m é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz. Logo, lim ( )v c

M v−→= +∞ , em

outras palavras, se a velocidade de uma partícula aumenta, sua massa aumenta em relação à sua massa inicial 0m .


Indeterminações do tipo ∞ ∞ 28. Calcule os limites a seguir:

a) 2

3 22 4 25lim18 9x

x xx x→+∞

− −−

b) ( )( )( )( )( )

3 2 5lim

1 3 4 2x

x x xx x x→−∞

− +− + −

c) 2

22lim sen12 4x

x xx x

π→+∞

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

d) 2

42 3 4lim

1x

x xx→+∞

− −+

e) ( )( ) 11 3 2lim 2 x x

x

−− −

→−∞

f) ( ) 13 2 11lim

x x

x π

−−

→+∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

g) ( ) ( )3 31 2 1 2lim log 2 log 2

xx x x x

→+∞⎡ ⎤− − +⎣ ⎦

h) ( )lim ln 2 ln 3 1x

xx

→+∞⎡ ⎤− +⎣ ⎦ i)

2 3

3 23 5 9lim5 9 9x

x x xx x→+∞

− −+ −

j) ( 2)! ( 1)!lim( 3)!n

n nn→+∞

+ + ++

k) ( )21lim 1 2 3

nn

n→+∞

⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ l)

4 4

4 4(2 1) ( 1)lim(2 1) ( 1)n

n nn n→+∞

+ − −+ + −

m) 1 2 3lim2 2n

n nn→+∞

+ + + +⎡ ⎤−⎢ ⎥+⎣ ⎦ n)

2 2 2

31 2 3lim

n

nn→+∞

+ + + + o) ( )limx

x x x x→+∞

+ − −

Indeterminações do tipo ∞−∞+ 29. Calcule os limites a seguir: a) ( )lim 2

xx x

→+∞+ − b) ( )lim 3

tt t

→+∞− − c) ( )2lim 2

xx x

→+∞+ − d) ( )2lim 4

xx x x

→+∞+ −

Limites envolvendo funções limitadas 30. Calcule os limites a seguir:

a) 0

1lim senx

xx→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) senlimx

xx→+∞

c) lim senxx

xe→−∞

d) 3 2

0lim 4 cos( )

x

x

ex xx+

−

→

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤− +⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭ e) ( )

3

72 5lim cos ln1 3x

x xx→+∞

+−

f) 3cos 2lim2

x

xx

x→+∞

+

Limites envolvendo o limite fundamental trigonométrico 31. Calcule os seguintes limites:

a) ( )0

sen 7limx

xx→

b) ( )0

tg 3lim

2x

xx→

c) 20

1 coslimx

xx→

−

d) 20

1 seclimx

xx→

− e) 0

1 coslimsenx

xx x→

− f) 2

20

7 7 coslim3x

xx→

−


g) senlimx

xxπ π→ −

h) 0

1 sen 1 senlimx

x xx→

+ − − i) ( ) ( )0

sen senlimx

x a ax→

+ −

j) 0

tglimtgx

x xx x→

−+

k) 2

20

tglimsecx

xx x→

l) 0

1 cos(1 cos )limx

xx→

− −

m) 0

arcsenlimx

xx→

n) 0

arctglimx

xx→

Limite fundamental exponencial 32. Calcule os seguintes limites:

a) 2lim 1x

x

x→−∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 3lim 1x

x

x→−∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 31lim 1

x

x

x→+∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1lim 1x

x

x→+∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

e) limx

xx ax a→+∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

f) 0

1lim , 0x

xa ax→

−> . g)

0lim , 0

h x h

x

a a ax

+

→

−> . h)

2

0

1limx

x

xe

→

−

i) 3

0

1limx

x

ex→

− j) 20

3 1limx

x x→

− k) 0

lim ; , 0sen( ) sen( )

ax bx

xa b

ax bxe e

→

−≠

− l) lim , 1

x x

x xx

a a aa a

−

−→+∞

⎡ ⎤−>⎢ ⎥

+⎣ ⎦

33. Calcule as constantes de modo que:

a) 1

3 1lim1 6x

b x ax→

+ −=

−

b) 2

1

2 8 2lim1 3x

x bx→−

+ −= −

+

c) ( )

2 9 , 33

, 33 1, 3

x ax xx

f x bx xx x

⎧ − +< −⎪ −⎪⎪= = −⎨

⎪ + > −⎪⎪⎩

seja contínua em 0 3x = − .

d) 2lim 1 0x

x x ax b→+∞

⎡ ⎤− + − − =⎢ ⎥⎣ ⎦ e)

32

21lim 2 01x

x x axx→+∞

⎡ ⎤++ + − =⎢ ⎥

+⎣ ⎦

34. Verifique se f é contínua em 0x :

a) ( ) ( )3

0

1 1, 0 03, 0

x xf x xxx

⎧ + −≠⎪= =⎨

⎪ =⎩

b) ( ) ( )0

2 , 44 4233 , 44

x xxf x xx x

⎧ −>⎪⎪ −= =⎨

⎪ − ≤⎪⎩

35. Estude a continuidade da função f definida abaixo em , justificando. ( )

3

2 , 2 e 13 2

2, 110, 5

ln 5 , 2 e 5

x x x xx x

xf xx

x x x x

⎧ −< ≠⎪

− +⎪⎪− == ⎨⎪ =⎪

− ≥ ≠⎪⎩


36. Fractal de Koch. A Curva de Koch (floco de neve) é obtida em estágios pelo processo seguinte: i) no estágio 0, ela é um triangulo equilátero de lado 1 ; ii) o estágio 1n + é obtido a partir do estágio n , dividindo cada lado em três partes iguais, construindo externamente sobre a parte central um triangulo eqüilátero e suprimindo então a parte central (veja na figura).

Denote por nA a área compreendida pela linha poligonal após n passos; logo, 03

4A = , 1

33

A = ,

210 3

27A = , em geral 3 3 41 1

4 5 9

n

nA⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

para 0n ≥ . Então, 2 3lim5nn

A A+∞ →+∞= = . O que

significa o resultado deste limite ?

Agora, denote por nP o perímetro da linha poligonal após n passos. Logo, 0 3P = , 1 4P = , 2163

P = ,

em geral, 433

n

nP ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, 0n ≥ . Então, lim nnP P+∞ →+∞

= = +∞ . O que significa este resultado ?

37. Paradoxo de Zenão. Na Grécia Clássica, foi travada uma disputa entre Aquiles e uma tartaruga, sob o júdice do sofista Zenão. Era conhecida a lentidão da tartaruga, de modo que enquanto Aquiles corria 1 m, a tartaruga percorria apenas 1

10 m. Zenão afirmava categoricamente naquela época, que se a tartaruga largasse 1m na frente de Aquiles, ele nunca a ultrapassaria e seu argumento foi o seguinte: enquanto Aquiles percorria 1 m, a tartaruga percorrerá 10 cm, de modo que a sua liderança é indiscutível. Quando Aquiles vencer os 10 cm que a tartaruga já percorreu, esta por sua vez, estará a 1 cm a sua frente, e assim por diante. É óbvio que nenhuma tartaruga ganhou do maior corredor grego da antiguidade. Porém ninguém conseguiu refutar Zenão satisfatoriamente. Então:

a) Encontre as funções que determinam a distancia percorrida por Aquiles e pela tartaruga, respectivamente, em função do tempo.

b) Explique porque Aquiles ultrapassa a tartaruga, refutando o argumento de Zenão, utilizando o

conceito de limites, que não era conhecido na naquela época.


DEFINIÇÕES E GRÁFICOS DE ALGUMAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS. Utilizando as funções exponencial e logaritmo natural podemos definir outras funções. As funções trigonométricas hiperbólicas utilizam apenas a exponencial em suas definições. As inversas das funções trigonométricas hiperbólicas utilizam o logaritmo. As funções trigonométricas hiperbólicas são definidas por:

cosh2

x xy x e e−+= = senh

2

x xy x e e−−= = senhtgh

cosh

x x

x xxy xx

e ee e

−

−−

= = =+

coshcotghsenh

x x

x xxy xx

e ee e

−

−+

= = =−

1 2sech

cosh x xy xx e e−

= = =+

1 2cosechsenh x xy x

x e e−= = =

−

arcsenhy x=

Algumas relações fundamentais entre funções hiperbólicas. 1. 2 2cosh senh 1x x− = 2. 2 21 sech tghx x− = 3. 2 2cotgh 1 cosechx x− = 4. senh( ) senh cosh cosh senhx y x y x y+ = ⋅ + ⋅ 5. cosh( ) cosh cosh senh senhx y x y x y+ = ⋅ + ⋅


6. senh(2 ) 2senh coshx x y= ⋅ 7. 2 2cosh(2 ) cosh senhx x x= +

8. 2 cosh(2 ) 1cosh ( )2

xx += 9. 2 cosh(2 ) 1senh ( )

2xx −

=


Tabela de indeterminações matemáticas

lim ( )f x = lim ( )g x = ( )h x = lim ( )h x Simbolicamente

01 ∞± ∞± f (x) + g (x) ∞± ±∞=∞±∞±

02 ∞+ ∞+ f (x) - g (x) ? ( ) ( )∞+−∞+ é indeterminação.

03 ∞+ K f (x) + g (x) ∞+ +∞=+∞+ k

04 ∞− K f (x) + g (x) ∞− −∞=+∞− k

05 ∞+ ∞+ f (x) . g (x) ∞+ ( ) ( ) +∞=∞+⋅∞+

06 ∞+ ∞− f (x) . g (x) ∞− ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+

07 ∞+ k > 0 f (x) . g (x) ∞+ ( ) 0, >+∞=⋅∞+ kk

08 ∞+ k < 0 f (x) . g (x) ∞− ( ) 0, <−∞=⋅∞+ kk

09 ∞± 0 f (x) . g (x) ? 0⋅∞± é indeterminação.

10 k ∞± f (x) / g (x) 0 0/ =∞±k

11 ∞± ∞± f (x) / g (x) ? ∞±∞± / é indeterminação.

12 k > 0 0+ f (x) / g (x) ∞+ 0,0/ >+∞=+ kk

13 ∞+ 0+ f (x) / g (x) ∞+ +∞=∞+ +0/

14 k > 0 0- f (x) / g (x) ∞− 0,0/ >−∞=− kk

15 ∞+ 0- f (x) / g (x) ∞− −∞=∞+ −0/

16 0 0 f (x) / g (x) ? 00

é indeterminação.


RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) a) ( ) ( )lim , lim

x xf x f x

→ →− += =

1 15 1 , não existe

( )limx

f x→1

b) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x

f x f x f x→ → →− +

= = =2 2 2

3

c) ( ) ( ) ( )lim lim lim

x x xf x f x f x

→ → →− += = =

0 0 00

d) ( ) ( )lim , limx x

f x f x→− →−− +

= − =2 2

1 1 , não existe

( )limx

f x→−2

.

2.1) 2.2) a) +∞ , b) +∞ , c) ∃ , d) 1, e) 0. 3) a) –10 b) ( )lim

xf x

→2 existe, independente do valor de a. Por isso a pode ser um número real

qualquer. 4) a) Não é contínua em x = 1 pois não existe ( )lim

xf x

→1 . b) Não é contínua em x = 2 pois

( ) ( )limx

f x f→

≠2

2 .

c) É contínua em zero pois ( ) ( )limx

f x f→

= =0

0 0 .

5) 6) a) a = −1 . b) b b= − =1 2 ou . c) a b= = −4 13 9 e d) 3 e 1 =−= ba

7) 8) 9) Note que a função é contínua e observe seu conjunto imagem. 10) Utilize a função [ ] [ ]: 0,1 0,1g → definida por ( ) ( )g x f x x= − e os teoremas de continuidade. 11) 12) Utilize a definição formal de continuidade em um ponto. 13)


14) 15) a) − ∞ ∞, + b) ∞∞+ +, c) + ∞ ∞, + d) -1, 1 16) a)

b)

c)

a) ,,, 2 1 ∞− não existe, { }4, 4, 4, , 1−∞ − .

b) 0 1, , , − ∞ não existe, 1 2 1 0, , − .

c) 0 0, , , − ∞ + ∞ , não é contínua em zero porque 0

lim ( ) (0)x

f x f→

≠ .

17) 18) 19) 20)

21). a) Não existe pois limsenx

xx→ −

+ = −∞0

2 1 e limsenx

xx→ +

+ = +∞0

2 1 . b) −∞ c) +∞

d) Não existe pois limx

xx x→ −

−− +

= +∞1 2

55 4

e limx

xx x→ +

−− +

= −∞1 2

55 4

. e) +∞

f) Não existe pois lim cosx

xx→ −

= −∞0

3 e lim cosx

xx→ +

= +∞0

3 . g) +∞

h) Não existe pois +∞=−−

−→ 3x11x3lim

3x e −∞=

−−

+→ 3x11x3lim

3x .

22) a) é contínua. b) f não é contínua em xo = −4 pois não existe ( )lim

x f x

→−4.

23) a) a b= =4 2, b) a b= = −1 6, c) a b= = −0 5, d) a b c d= = = =0 12 36 24, , , 24) 25) 26) 27) 28) a) 0 b) - 2/3 c) 2 2 d) 0 e) 502 ,− f) 0 g) –1 h) −∞ i) -1


29) a) 0 b) 0 c) 0 d) 2 30) a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞+ e) 0 f) 1 31) a) 7 b) 3/2 c) ½ d) -1/2 e) 1/2 f) 7/3 g) -1 h) 1 i) cos(a) 32) a) e2 b) e-3 c) e3 d) 1/e e) e2a f) ln(a) g) ah.ln(a) 33) a) a b= =4 3 2 3, b) b = 6 c) a b= =10 8 3, 34) a) f não é contínua em 0xo = . b) f não é contínua em 4xo = . 35) f é contínua { }2,5x∀ ∈ − . 36) 37)


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. H. Anton. Cálculo – Um Novo Horizonte, vol 1, 6ª edição. Editora Bookman, 2002. 2. L. D. Hoffman. Cálculo um Curso Moderno e suas Aplicações, LTC. 3. G. Ávila. Introdução às Funções e às Derivadas. Editora Atual, 1997. 4. Boulos, P. Introdução ao Cálculo, vol1. São Paulo. Ed. Edgard Blucher Ltda. 5. Edwards Jr., C. H. Penney, David E. Cálculo com Geometria Analítica, Prentice-Hall, 1994. 6. D. Figueiredo, A. Neves. Equações Diferenciais Aplicadas, Col. Matemática Universitária. IMPA.

7. Piskounov. Cálculo Diferencial e Integral, vol I e II. Editora Lopes da Silva.

8. Leithold, L. Cálculo com Geometria Analítica. Harbra, 1994.

9. Fleming, D. M. Cálculo A. 5a edição. São Paulo. Makron Books, 1992. 10. Ayres, F.J. Cálculo diferencial e integral I. 2a edição. 11. Guidorizzi, H. L. Um Curso de Cálculo. Vol. I. Rio de Janeiro. LTC Editora. 1994. 12. Iezzi, G. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 8. São Paulo. Atual Editora. 1998. 13. Stewart, J. Cálculo Vol. 1. Ed. Pioneira. 4a edição. 14. Munem, M. Cálculo. Vol. 1. Rio de janeiro. Guanabara Dois Editora. 1978. 15. Pinedo, C. Q. Cálculo 1 – Notas de aula. Cefet-PR, Pato Branco. 16. Pinedo, Christian Q. Elementos de Cálculo II. CEFET Pato Banco, 2001. 17. George B. Thomas. Cálculo vol I e II. Pearson Education, 2005. 18. Elon L. Lima. Análse real, vol 1. 3ª. edição, Col Matemática Universitária. IMPA, 1997.

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