notas de aula - limites e derivadas - 2011

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Universidade Norte do Paraná

CCBS - CENTRO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS E DA SAÚDE CURSO DE QUÍMICA INDUSTRIAL / LICENCIATURA

CÁLCULO INotas de Aula

Profª Ms. Adriana Quimentão Passos

Londrina

agosto / 2011

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SUMÁRIO

Programação 03

1. Limites 04

1.1 O limite de uma função 04

1.2 Definição 07

1.3 Limites Laterais 11

1.4 Cálculo de limites 12

1.5 Limites no infinito 14

1.6 Limites fundamentais 17

2. Continuidade 18

2.1 Definição 18

2.2 Propriedades 19

3. Derivadas 22

3.1 A derivada de uma função 22

3.2 A definição de derivada de uma função 25

3.3 Derivadas Laterais 25

3.4 Regras de derivação 26

3.5 Derivada de uma função composta 33

3.6 Derivada de uma função inversa 34

3.7 Derivada de funções elementares 35

3.8 Derivadas sucessivas 40

3.9 Diferencial 41

4 Aplicações da derivada 42

Referências 46

3

Programação para a disciplina Cálculo II

1º bimestre

29/07 – Lista de exercícios05/08 – Avaliação diagnóstica – Lista de exercícios12/08 – Limites 19/08 – O limite de uma função – Definição - Limites Laterais 26/08 – Cálculo de limites - Limites no infinito 02/09 – Limites fundamentais - Continuidade09/09 – Derivadas – A derivada de uma função16/09 – A definição de derivada de uma função23/09 – Prova – Limites, continuidade e a definição de derivada

2º bimestre

30/09 – Vista de prova – Derivadas07/10 – Derivadas Laterais14/10 – Regras de derivação21/10 – Derivada de uma função composta28/10 – 14º Encontro de Atividades Científicas da UNOPAR04/11 – Derivada de uma função inversa - Derivada de funções elementares11/11 – Derivadas sucessivas18/11 – Diferencial25/11 – Aplicações da derivada02/12 – Avaliação – Derivadas e Diferencial

Obs.: A programação acima pode ser alterada no decorrer das aulas.

Para a avaliação:1. Prova – (8,0 pontos)2. Listas de exercícios – (1,0 pontos)3. Participação, assiduidade, etc. – (1,0 pontos)

Bibliografia Básica:FLEMMING, DIVA MARILIA. Cálculo A. 6ª edição. Ed. PRENTICE HALL, São Paulo. 2007 HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L.. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 525p.SWOKOWSKI, Earl W.. Cálculo com geometria analítica. 2ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v1. 744p.

Bibliografia Complementar:BATSCHELET, Edward. Introdução à matemática para biocientistas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. 596p. BROWN, Theodore L. et al. Química: a ciência central. 9ed. São Paulo: Pearson, 2007. 972p. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v1. 635p.LEITHOOLD. LOUIS. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo. HARBRA. Volume 1. 1977

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1. Limites

1.1 O limite de uma função

Segundo Pereira Netto (2001, pág. 1105) “a noção de “Limite” é fundamental para a compreensão do Cálculo Diferencial e Integral, ferramenta indispensável para o desenvolvimento físico-matemático dos fenômenos das Ciências Exatas, e também muito importante nas interpretações desses fenômenos”. No entanto a definição rigorosa de Limite nem sempre é a mais adequada para as aplicações nas Ciências Exatas, uma vez que não são conhecidas as equações matemáticas rigorosas dos diversos fenômenos.

Ainda segundo Pereira Netto (2001) “a análise e o desenvolvimento físico-matemático de um fenômeno está associado aos seguintes aspectos: experimentação, hipótese e teoria.” Para delinear um experimento matematicamente, com certa frequência, alguns fenômenos são simplificados.

Alguns exemplos da simplificação de fenômenos físicos para compreensão do conceito de “Limite” são:

a) Lei de Gay-Lussac: “Em condições de massa e pressão (baixa) constantes, a variação do volume com a temperatura em graus Celsius é linear” (PEREIRA NETTO, 2001, pág. 1105)

Considerando a validade dessa linearidade, para um volume igual a zero (V=0) a temperatura corresponde a -273,16ºC. No entanto, V = 0 é uma impossibilidade física (um gás resfriado não pode desaparecer), mas pode-se afirmar que essa seria a temperatura fosse possível realizar o experimento. Essa impossibilidade física pode ser expressa da seguinte maneira: “quando o volume de um gás tende a zero a temperatura tenderá a -273,16ºC. Matematicamente essa expressão pode ser escrita da seguinte forma:

Co

VctesPm

16,273lim0

,,

−=→

θ

Essa equação tem a seguinte interpretação: “o limite de θ quando V tende a zero, em condições de massa e pressão constantes é igual a – 273,16ºC” (PEREIRA NETTO, 2001, p. 1106).

A lei de Gay-Lussac pode ser expressa pelas equações:)1(0 α θ+= VV

ou

),(, 222 PmkkkTV ==

A experiência indica que a linearidade só é verdadeira em condições de baixa pressão, dessa forma ela pode ser expressa por:

5

2

0

lim kTV

P

=→

c) Lei do Gás Ideal: O comportamento físico dos gases é um dos estudos mais importantes para Física e para a Química. Os primeiros estudos relacionaram as grandezas que interferem no comportamento volumétrico dos gases: pressão, volume, temperatura, densidade e massa (ou mol). Para temperatura constante foi observado que:

A figura 2 mostra o comportamento do quociente Pµ

, no qual µ é a densidade e P a

pressão. Para os gases ideais e reais a situação é semelhante aos casos anteriores. Ela pode ser expressa por:

00

lim

=

→PP

P

µµ

Conforme Pereira Netto (2001, p. 1108) “como P→0 é a condição para que o gás real

tenha comportamento ideal, 0

Pµ

deve coincidir com o valor obtido a partir da equação do

gás ideal, isto é:”

RTM

P=

0

µ

O autor também indica que outra importante lei do gás ideal é lei de Boyle que estabelece que “em condições de massa e temperatura constantes, o produto da pressão pelo volume é constante”. Matematicamente essa lei é expressa por:

),(,. 111 TmkkkVP ==

Graficamente a lei de Boyle é representada por uma hipérbole equilátera.

Observando o gráfico nota-se que a lei de Boyle apresenta duas singularidades: uma, em V=0,

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denominada assíntota vertical, expressa matematicamente por:

+ ∞=→ 0

limV

P

e outra, em P=0, denominada assíntota horizontal, expressa por:+ ∞=

→ 0lim

PV

Rigorosamente a lei de Boyle é dada pela Eq.10

lim kPVP

=→

3. LimitesPereira Netto (2001, p. 1114) distingue três tipos de limites:a. Limite matemático;b. Limite experimental;c. Limite funcional.Segundo o autor os dois últimos limites são extensões do conceito matemático de

limite aplicado a situações particulares das Ciências Exatas.

4. Limite ExperimentalSegundo Pereira Netto (2001) o limite experimental é fruto do pesquisador das

Ciências Exatas. Ele é um número, com ou sem unidade, para o qual tende o valor de uma propriedade que está sendo objeto de estudo, em condições que é impossível realizar o experimento para a sua obtenção como ter: pressão igual a zero, temperatura zero, temperatura tendendo ao infinito, volume tendendo a zero, concentração tendendo a zero, entre outras.

5. Limite FuncionalConforme PEREIRA NETTO (2001) o limite funcional também tem origem na

experimentação. Ele é obtido na tentativa de obter leis para explicar o comportamento de certos fenômenos. Com o limite funcional pretende-se dar rigor a uma expressão obtida empiricamente, a qual a validade só é obedecida em condições de impossibilidade experimental. Tal como na lei de Boyle para os gases ideais entre outros. “O limite funcional significa em que condições uma dada função representa corretamente um fenômeno físico (p. 1118)”.

6. Limite MatemáticoA definição formal de limite matemático será apresentada de acordo com a proposta

de Flemming (2007) que inicialmente apresenta a noção intuitiva, depois analisa a idéia de limite por meio de gráficos e tabelas e finalmente apresenta a definição formal.

Sabe-se que no conjunto dos números reais podemos sempre escolher um número segundo uma regra preestabelecida.

Exercícios:

1) Analise os exemplos de sucessões numéricas a seguir e indique a tendência de cada sequência.

a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...b) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...c) 3, 0, -3, -6, -9, ...d) 1, 3/2, 4, 5/4, 5, 7/6, 7, ...

7

2) Esboce o gráfico das funções a seguir e analise o limite de cada uma delas para os valores críticos:

a)x

y 11 −=

b) 232 −+= xxy

c)112

−+=

xxy

d) ( ) 211+

=x

y

e) 321 += xy

Conforme proposto por Flemming (2007, pg. 66) observe que no exercício 2 item e, à medida que tomamos os valores de x cada vez mais próximos de 4 ou ( 4 → x ), os valores de y tornam-se cada vez mais próximos de 5 ou ( 5 → y ), independente da sucessão de valores de x usados.

Para a introdução da definição formal de limite é conveniente observar

que é possível tornar o valore de y tão próximo de 5 quanto desejamos, desde que tornemos x suficiente próximo de 4 ( 4 ≠ x ). A idéia “tornar o valor de y tão próximo de 5 quanto desejarmos”, é traduzida matematicamente pela desigualdade

ε<− 5y (1)sendo ε um número positivo qualquer, tão pequeno quanto se possa imaginar. A idéia “desde que tornemos x suficientemente próximo de 4 ( 4 ≠ x )” significa que deve existir um intervalo aberto de raio 0 > δ e centro 4 = a , tal que x (4 ≠ x ) variar nesse intervalo (isto é, se δ<−< 40 x ), então deve valer a desigualdade (1).

Figura 4: Limite

1.2 Definição

Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos

Lxfax

=→

)(lim

se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que ε<− Lxf )( sempre que δ<−< ax0

8

1.2.1 Unicidade do LimiteSe 1)(lim Lxf

ax=

→ e 2)(lim Lxfax

=→ ,então 21 LL =

Exercícios:1. Usando a definição prove que 2)13(lim

1=−

→xf

x .

2. A equação de Van Der Waals para o dióxido de carbono (CO2) a 300 K pode ser escrita na forma:

26

366,010.9,42

32,2494VV

P −−

= −

Com V em m3/mol e P em Pascal (Pa). Verificar se P é uma função contínua nas seguintes condições:

a) 610.9,42 −>V e finito;b) 610.9,42 −=V ;c) 610.9,420 −<< V

3. A lei cinética de segunda ordem para concentrações iguais dos reagentes é:

tkaxa

.112+=

−Para certa reação química que obedece essa equação, tem-se que 1.20,0 −= Lmola e

1132 ..10.50,2 −−−= smolLk . Sabendo que 01,0=ε , determinar os valores de δ quando

st 100→ . Calcular também o intervalo de consumo do reagente x.

4. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:

a) )(lim0

xfx −→

b) )(lim0

xfx +→

c) )(lim0

xfx→

d) )(lim xfx − ∞→

e) )(lim xfx + ∞→

f) )(lim2

xfx→


a) )(lim2

xfx −→

b) )(lim2

xfx +→

c) )(lim1

xfx→



9


a) )(lim1

xfx −→

b) )(lim1

xfx +→

c) )(lim1

xfx→



1.2.2 Propriedades dos Limites

Segundo Larson (2011), muitas vezes o limite de )(xf , quando x tende a c, é simplesmente )(cf . Toda vez que o limite de )(xf , quando x tende a c for )()(lim cfxf

cx=

→ o limite poderá ser calculado por substituição direta.

Alguns tipos básicos de funções que possuem essa propriedade são:

Propriedades de limites

Suponha que b e c sejam números reais e que n seja um número inteiro positivo.a) bb

cx=

→lim

b) cxcx

=→

lim

c)nn

cxcx =

→lim

d) nn

cxcx =

→lim

Obs.: Na propriedade d, se n for para, então c deverá ser positivo.

Ainda de acordo com o mesmo autor ao combinar as propriedades de limites às regras de às regras de operações com limites é possível determinar os limites de uma diversas funções algébricas.

Operações com limites

Suponha que b e c sejam números reais e que n seja um número inteiro positivo.Suponha também que f e g sejam funções com os seguintes limites: Lxf

cx=

→)(lim e

Kxgcx

=→

)(lim

1. [ ] bLxbfcx

=→

)(lim

2. [ ] KLxgxfcx

±=±→

)()(lim

3. [ ] KLxgxfcx

.)().(lim =→

4. KL

xgxf

cx=

→ )()(lim , desde que K≠0

10

5. [ ] nn

cxLxf =

→)(lim

6. nncx

Lxf =→

)(lim

Exercícios

1. Usando as propriedades de Limites calcule:

a) )573(lim 2

0xx

x−−

→

b) )26(lim 45

1++−

−→xx

x

c) )273(lim 2

3+−

→xx

x

d))72(lim

21

+→

xx

e) [ ]13

1)2.()4(lim −

−→++ xx

x

f) [ ])4.()2(lim 10

0+−

→xx

x

g)134lim

2 −+

→ xx

x

h)23lim

2 ++

→ tt

t

i)11lim

2

1 −−

→ xx

x

j)2

65lim2

2 +++

→ xxx

x

k)2

65lim2

2 −+−

→ xxx

x

l) xx

x 24lim

21

+→

m) 3

432lim +

→x

x

n)32

7)23(lim +

→x

x

o)x

xxx 3

2lim2

2

−→

p)43

2lim2 −

−→ x

xxx

q) [ ]gxxsenxx

cotcos2lim2

+−→ π

r) ( )xex

x4lim

4+

→

11

1.3 Limites Laterais

Definição 1: Seja f uma função definida em num intervalo aberto ),( ca . Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para a e escrevemos

Lxfax

=+→

)(lim

se para todo 0>ε , existe 0>δ , tal que ε<− Lxf )( sempre δ+<< axa .

Se Lxfax

=+→

)(lim , dizemos que )(xf tende para L quando x tende para a pela

direita. Usamos o símbolo +→ ax para indicar que os valores são sempre maiores do que a .

O limite à esquerda é definido analogamente.

Definição 2: Seja f uma função definida em num intervalo aberto ),( ad . Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para a e escrevemos

Lxfax

=−→

)(lim

se para todo 0>ε , existe 0>δ , tal que ε<− Lxf )( sempre axa <<− δ .

Se Lxfax

=−→

)(lim , dizemos que )(xf tende para L quando x tende para a pela

esquerda. Neste caso usamos o símbolo −→ ax para indicar que os valores são sempre menores do que a .

Teorema: Se f é definida em num intervalo aberto a , exceto possivelmente no

ponto a , então Lxfax

=→

)(lim se e somente se Lxfax

=+→

)(lim e Lxfax

=−→

)(lim .

Exercícios:

1. Seja

>−=

<+=

2,92,2

2,1)(

2

2

xparaxxpara

xparaxxf

Determine, se existirem, )(lim2

xfx +→

, )(lim2

xfx −→

e )(lim2

xfx→

. Esboce o gráfico da função.

2. Seja

>−≤−

=3,73

3,1)(

xxxx

xf

Calcule:

a) )(lim3

xfx −→

b) )(lim3

xfx +→

c) )(lim3

xfx→

d) )(lim5

xfx −→

12

e) )(lim5

xfx +→

f) )(lim5

xfx→

Esboce o gráfico de )(xf .

3. Seja 4)( −= xxF . Calcule os limites indicados se existirem:

a) )(lim4

xFx −→

b) )(lim4

xFx +→

c) )(lim4

xFx→

Esboce o gráfico de )(xF

4. Seja 152)( −+= xxf . Calcule os limites indicados se existirem:

a) )(lim5

1

xfx

−→

b) )(lim5

1

xfx

+→

c) )(lim5

1xf

x→

Esboce o gráfico de )(xf

5. Seja )5/()25()( 2 −−= xxxf . Calcule os limites indicados se existirem:a) )(lim

0xf

x→

b) )(lim5

xfx +→

c) )(lim5

xfx −→

d) )(lim5

xfx→

e) )(lim5

xfx −→

1.4Cálculo de Limites

Ao fazer o cálculo de limites é importante conhecer as expressões indeterminadas:

∞∞∞∞−∞∞∞ 1,,0,.0,,,

00 00

Sejam f e g funções tais 0)()( limlim ==→→

xgxfaxax

. Nada se pode afirmar,

antecipadamente, a respeito do quociente gf

. Dependendo das funções f e g ele pode

13

assumir qualquer valor real ou não existir. Escrevemos isso, dizendo que 00

é um símbolo de

indeterminação.

Para verificar o exposto, observe dois exemplos:

a) Sejam 3)( xxf = e 2)( xxg = . Dado que 0)()( limlim00

==→→

xgxfxx

. Calcule o

)()(lim

0 xgxf

x→

b) Sejam 2)( xxf = e 3)( xxg = . Dado que 0)()( limlim00

==→→

xgxfxx

. Calcule o

)()(lim

0 xgxf

x→

Para calcular o limite de funções indeterminadas é necessário usar artifícios algébricos.

Calcule:

a) 4

232

3

2lim −

+−−→ x

xxx

b) x

xx

22lim0

−+→

c) 113

1lim −

−→ x

xx

d) h

xhxh

22

0

)(lim −+→

e) 11

2

3

1lim −

+−→ x

xx

f) 253

1032

2

2lim −−

−+→ xx

xxx

g) ax

axaxax −

−−+→

)1(2

lim

h) 242

2lim −

−→ x

xx

14

i) )3)(2(

44 23

2lim −+

++−→ tt

tttt

j) h

hh

16)2( 4

0lim −+

→

l) t

tt

5325lim0

−+→

m) 11lim

1 −−

→ hh

h

n) t

tt

16)4( 2

0lim −+

→

o) xx

x −−+

→

11lim0

p) 11

4

3

1lim −

−→ x

xx

1.5 Limites no Infinito

Definição 1: Seja f uma função definida em num intervalo aberto ),( + ∞a .

Escrevemos Lxfx

=+ ∞→

)(lim quando o número L satisfaz a seguinte condição: para qualquer

0>ε , existe 0>A , tal que ε<− Lxf )( sempre Ax > .

Definição 2: Seja f uma função definida em ),( b− ∞ . Escrevemos Lxf

x=

− ∞→)(lim quando o número L satisfaz a seguinte condição: para qualquer 0>ε , existe

0<B , tal que ε<− Lxf )( sempre Bx < .

Obs: As propriedades dos limites permanecem inalteradas quando substituímos ax → por + ∞→x ou − ∞→x .

O teorema abaixo também ajuda muito no cálculo dos limites infinitos.

Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então:

i) 01lim =+ ∞→

nx x

ii) 01lim =− ∞→

nx x

15

Calcule os limites:

a) 852lim +

−+ ∞→ x

xx

b) 24

5325

3

lim −+−

− ∞→ xxx

x

c) 52

522lim −−

+ ∞→ xx

x

d) 52

522lim −−

− ∞→ xx

x

1.5.1 Limites Infinitos

Definição 3: Seja )(xf uma função definida em um intervalo aberto contendo

a, exceto, possivelmente, em ax = . Dizemos que + ∞=→

)(lim xfax

, se para qualquer 0>A ,

existe um 0>δ tal que Axf >)( sempre que δ<−< ax0 .

Definição 4: Seja )(xf uma função definida em um intervalo aberto contendo

a, exceto, possivelmente, em ax = . Dizemos que − ∞=→

)(lim xfax

, se para qualquer 0<B ,

existe um 0>δ tal que Bxf <)( sempre que δ<−< ax0 .

Temos ainda o um Teorema muito usado no cálculo de limites infinitos.

Teorema: Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:

i) + ∞=+→

nx x

1lim0

ii)

∞−∞+

=−→ ímparénse

parénsexn

x ,,1lim

0

Propriedades dos Limites Infinitos

A tabela abaixo dá um resumo dos fatos principais válidos para os limites infinitos.

16

FLEMMING (2006, pág. 89)

Exercícios:

1. Calcule os limites nos exercícios a seguir:

a) )1( 23

0lim x

xxx

++→

b) )143( 35lim +−+ ∞→

xxx

c)232

lim ++

+ ∞→ xx

x

d)28

5 3

lim +−

+ ∞→ xx

x

e) 4

24

41232lim x

xxxx −

+++∞→

f)2

133

2

lim −−+

+ ∞→ xxx

x

3. Se 2)2(1)(

+=

xxf , calcule:

a) )(lim2

xfx −→

b) )(lim xfx + ∞→

17

4. Calcule os limites:

a) )143( 23lim −++ ∞→

xxx

b)35232

2

2

lim −++−

+ ∞→ tttt

t

c)11

2lim ++

− ∞→ tt

t

d)115

34

23

lim +−+−+−

− ∞→ xxxxxx

x

e)7

82lim +−

+ ∞→ ss

s

f)3

72 2

lim +−

+ ∞→ xx

x

g) 2453lim y

yx +

−+ ∞→

h) 823

24

lim −−−

+→ xxx

x

i) 823

24

lim −−−

−→ xxx

x

j)3

72 2

lim +−

− ∞→ xx

x

1.6 Limites Fundamentais

A seguir são dadas três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais:

1ª Proposição: x

senxx

lim0→

é igual a 1.

2ª Proposição: ex x

x=+

± ∞→)/11(lim , em que e é o número irracional

neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459...

3ª Proposição: ax

ax

xln1lim

0=−

→ )1,0( ≠> aa .

1. Aplicando os limites fundamentais calcule os limites abaixo:

a) x

xsenx

2lim0→

18

b) xsenxsen

x 43lim

0→

c) x

tgxx

lim0→

d) t

tt

1

0)1(lim +

→

e) x

ba xx

x

−→

lim0

f) x

xsenx

9lim0→

g) xsenxsen

x 710lim

0→

h) x

x x

+

∞→

101lim

i) 2

110 2

2lim −

−−

→ x

x

x

j) 2255lim

2 −−

→ x

x

x

2. Continuidade

Quando definimos )(lim xfax→

analisamos o comportamento da função

)(xf para valores de x próximos de a , mas diferentes de a . Em muitos casos )(lim xfax→

pode existir, mesmo que f não seja definida no ponto a . Se f está definida em f e )(lim xf

ax→ existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de )(af .

Quando )()(lim afxfax

=→

diremos, de acordo com a definição a seguir,

que f é contínua em a .

2.1 DefiniçãoDizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes

condições forem satisfeitas:a) f é definida no ponto a ;

19

b) )(lim xfax→

existe;

c) )()(lim afxfax

=→

Figura 1 – Esboços de gráficos de funções que não são contínuas em a

Exemplos:

1. Sejam 11)(

2

−−=

xxxf e

=

≠−−

=1,1

1,11

)(

2

xse

xsexx

xg

2. Sejam ( ) 221)(

−=

xxf e ( )

=

≠−=

2,3

2,2

1)( 2

xse

xsexxg

3. Seja

−<+−−≥+

=1,1

1,3)(

xsexxsex

xh

2.2 Propriedades das Funções Contínuas

1ª Proposição - Se as funções f e g são contínuas em um ponto a , então:i) gf + é contínua em a ;ii) gf − é contínua em a ;iii) gf . é contínua em a ;iv) gf / é contínua em a , desde que 0)( ≠ag .

20

2ª Proposiçãoi) Uma função polinomial é continua para todo número real.ii) Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio.iii) As funções senxxf =)( e xxf cos)( = são contínuas para todo número real x .

Definição: Seja f definida num intervalo fechado [ ]ba, .

i) Se )()(lim afxfax

=+→

, dizemos que f é continua à direita no ponto a .

ii) )()(lim bfxfbx

=−→

, dizemos que f é continua à esquerda no ponto b .

iii) Se f é continua em todo ponto do intervalo aberto ),( ba , f é continua à direita em a e contínua à esquerda em b , dizemos que f é continua no intervalo fechado [ ]ba, .

Teorema do Valor Intermediário – Se f é continua no intervalo fechado [ ]ba, e L é um número tal que )()( bfLaf ≤≤ ou )()( afLbf ≤≤ , então existe pelo menos um

[ ]bax ,∈ tal que Lxf =)( .

Figura 2 – Teorema do Valor Intermediário

Consequência – Se f é continua em [ ]ba, e se )(af e )(bf têm sinais opostos, então existe pelo menos um número c entre a e b tal que 0)( =cf .

Figura 3 – Teorema do Valor Intermediário p/ )(af e )(bf com sinais opostosExercícios

1. Investigue a continuidade nos pontos indicados:

a)

=

≠=

0,0

0,)(

xse

xsex

senxxf em 0=x

21

b)

=

≠−−

=2,0

2,24

)(

2

xse

xsexx

xf em 2=x

c) 1

73)( 2

2

++−=

xxxxf em 2=x

d) 33

2)( 32 −−+=

xxxxf em 3−=x

2. Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.

a) )7)(3()(

+−=

xxxxf

b) )6)(3()( xxxf −−=

c) senx

xf211)(

+=

d) 10613)( 2

2

+−−+=

xxxxxf

3. O custo C (em milhões de dólares) para remover x por cento de poluentes emitidos pela chaminé de uma fábrica pode ser modelado por

xxC−

=100

2

a) Qual é o domínio implícito de C ? Explique seu raciocínio.b) Essa função é contínua em seu domínio?c) Encontre o custo de remoção de 75% dos poluentes da chaminé.

22

3. Derivadas

Apresenta-se nessas notas o conceito de derivada, algumas técnicas de derivação, a formalização de alguns conceitos e propriedade e certas aplicações.

Segundo Pereira Neto (2006) a partir do Cálculo Diferencial e Integral matemáticos, químicos, físico-químicos entre outros pesquisadores das Ciências Exatas passaram a dispor de uma poderosa ferramenta que facilitou o desenvolvimento de conceitos e teorias científicas. O cálculo Diferencial e Integral é utilizado para descrever assuntos como Fenômenos de Transportes, Quantidade de Movimento, Transferência de Calor e de Massa, Termodinâmica, Mecânica e Eletromagnetismo entre outros.

Conforme Stewart (2009) as origens do cálculo remontam à Grécia Antiga, há pelo menos 2500 anos, quando foram encontradas áreas usando o “método da exaustão. Naquela época os gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em triângulos, embora a ideia utilizada por eles remete-se a ideia de limite eles não utilizaram explicitamente este conceito.

Ao longo dos anos a ideia de limite tornou-se base para vários ramos do Cálculo, como, por exemplo, a derivada que é um tipo especial de limite usado para encontrar tangentes e velocidade, como será explorada posteriormente.

Isaac Newton foi o primeiro a falar explicitamente das ideias de limite e derivadas. Ele explicou que a ideia central por trás dos limites é que as quantidades ficam mais próximas quanto menor for a diferença dada. Ele afirmou que o limite era o conceito básico do cálculo, mas coube a matemáticos posteriores a ele, como Cauchy, tornar claras as ideias de limites.

Na formulação final do Cálculo, Newton foi fortemente influenciado pelos métodos para encontrar retas tangentes desenvolvido por Fermat e Barrow.

Outro importante matemático que contribuiu com o desenvolvimento do conceito de derivada foi Leibniz, particularmente a versão de Cálculo publicada por ele em 1684 estabeleceu a notação e as regras para encontrar as derivadas usadas até hoje.

Conforme Thomas (2002), no início do século XVII a forma de se determinar uma tangente a uma curva foi uma questão matemática determinante, não se sabe quanto os cientistas da época desejavam saber a resposta, pois ela apresentava diferentes aplicações em ótica, a tangente determinava o ângulo no qual o raio de luz penetraria numa lente curva. Em mecânica, a tangente determinava a direção do movimento de um corpo em qualquer ponto ao longo de seu percurso. Em geometria, as tangentes a duas curvas num ponto de intersecção determinavam o ângulo em que as curvas se cortam.

O problema de encontrar uma reta tangente a uma curva e o problema de encontrar a velocidade de um objeto envolve um tipo especial de limite denominado derivada que pode ser interpretado como taxa de variação. Como veremos a seguir.

3.1 A derivada de uma função

Antes de definir a derivada de uma função será apresentada uma aplicação do conceito de derivada no contexto geométrico.

23

3.1.1 A reta tangente1

Definimos inicialmente a inclinação de uma curva )(xfy = para, em seguida, encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto dado.

As idéias utilizadas por Flemming e Gonçalves (1992), foram introduzidas no século XVIII, por Newton e Leibnitz.

Seja )(xfy = uma curva definida no intervalo (a, b), como na Figura 1.Sejam ),( 11 yxP e ),( 22 yxQ dois pontos distintos da curva )(xfy = .Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q . Considerando o

triângulo retângulo PMQ , na Figura 1, temos que a inclinação da reta s (ou coeficiente angular de s ) é

Figura 1. Reta Secante

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P . Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P , a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante, como representado na figura 2.

Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P , ou também inclinação da curva em P .

Figura 2. Reta Tangente

Definição. Dada uma curva )(xfy = , seja ),( 11 yxP um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por

quando o limite existe

Fazendo xxx ∆+= 12 podemos reescrever o limite anterior na forma

Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P podemos encontrar a equação da reta tangente à curva em P .

Equação da Reta Tangente. Se a função )(xf é contínua em 1x , então a 1 Texto de: FLEMMING, D.V; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Makron, 1992. 617p.

24

reta tangente à curva )(xfy = em ))(,( 11 xfxP é:

(i) A reta que passa por P

tendo inclinação

, se este limite existe. Neste caso temos a equação .

(ii) A reta 1xx = se for infinito.

3.1.2 Velocidade e Aceleração

Velocidade e aceleração são conceitos conhecidos por todos. Eles podem ser calculados por meio de limites.

Velocidade – Dado um corpo que se move em linha reta em que )(tss = representa o espaço percorrido pelo móvel até o instante t . Então, no intervalo de tempo t e

tt ∆+ , o corpo sofre um deslocamento )()( tsttss −∆+=∆ .A velocidade média nesse intervalo de tempo é o quociente:

ttsttsvm ∆

−∆+= )()(

ou seja, a velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo.

A velocidade instantânea do corpo no instante t é obtida por meio do cálculo da velocidade média em instantes de tempo t∆ cada vez menores, ou seja, é o limite das velocidades médias quando t∆ se aproxima de zero, isto é,

)(')()(limlim)(00

tst

tsttststv

tt=

∆−∆+=

∆∆=

→∆→∆

Aceleração – O conceito de aceleração é semelhante ao conceito de velocidade.

A aceleração média no intervalo de tempo t até tt ∆+ é dada por:

ttvttvam ∆

−∆+= )()(

enquanto a aceleração do corpo no instante t , ou aceleração instantânea é o limite

)(')()(limlim)(00

tvt

tvttvtvta

tt=

∆−∆+=

∆∆=

→∆→∆

Exercícios:

1. No instante 0=t um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dada por 216)( ttts −= .Determinar:

a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [ ]4,2 ;b) a velocidade do corpo no instante 2=t ;c) a aceleração média no intervalo [ ]4,0 ;d) a aceleração no instante 4=t .

25

2. A equação do movimento de um corpo em queda livre é 2

21 gts = , sendo g um valor

constante. Determine a velocidade e a aceleração do corpo em um instante qualquer t .

3. Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 216)( tttf += , 80 ≤≤ t , em que o tempo é dado em segundos e a distância em metros.

a) Determine a velocidade média durante o intervalo de tempo [ ]hbb +, , 80 ≤≤ b .b) Determine a velocidade média durante os intervalos [ ]1,3;3 , [ ]01,3;3 e [ ]001,3;3 .c) Determine a velocidade do corpo num instante qualquer t .d) Calcule a velocidade do corpo no instante 3=t .e) Determine a aceleração no instante t .

3.2 A definição de derivada de uma função2

A derivada de uma função )(xfy = no ponto 1x , denotada por )(' 1xf , (lê-se f linha de x, no ponto 1x ), é definida pelo limite

xxfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim)(01

' , se este limite existe.

Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio.

Outras notações podem ser utilizadas no lugar de )('' xfy = :i) )(xfDx (lê-se derivada )(xf em relação a x );ii) yDx (lê-se derivada y em relação a x );

iii)dxdy

(lê-se derivada y em relação a x ).

3.3 Derivadas Laterais

Definição 1. Se a função )(xfy = está definida em 1x , então a derivada à direita de f em 1x , denotada por )( 1

' xf+ , é definida por:

xxfxfxf

x ∆−=

+→∆+)()(lim)( 1

01'

1

11

' )()(lim)(1 xx

xfxfxfxx −

−=+→

+

caso este limite exista.

Definição 2. Se a função y = f(x) está definida em 1x , então a derivada à esquerda de f em 1x , denotada por )( 1

' xf− , é definida por:

2 Texto de: FLEMMING, D.V; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Makron, 2006. 448p.

26

xxfxfxf

x ∆−=

−→∆−)()(lim)( 1

01'

1

11

' )()(lim)(1 xx

xfxfxfxx −

−=−→

−

caso este limite exista.

Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais.

Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes em um ponto 1x , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função.

Exercícios:

1. Seja f a função definida por

≥−<−

=2,72,13

)(xsexxsex

xf

a) Mostre que f é contínua em 2.b) Encontre )( 1

' xf+ e )( 1' xf− .

2. Seja a função xxxf )2()( −= . Encontre )0('+f e )0('−f .

3. Calcule as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboce o gráfico.

a) 32)( −= xxf

b)

≥−<

=1,12

1,)(

xsexxsex

xf

c) 342)( ++= xxf

3.4 Regras de derivação

As chamadas regras de derivação permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.

Proposição 1 (Derivada de uma Constante). Se c é uma constante e cxf =)( para todo x , então 0)(' =xf .

27

Figura 3: Prova da derivada de uma constante3

Proposição 2 (Regra da Potência). Se n é um número inteiro positivo e nxxf =)( , então 1.)(' −= nxnxf .

Figura 4: Prova da regra da potência4

Proposição 3 (Derivada do Produto de uma Constante por uma Função). Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por )(.)( xfcxg = . Se )(' xf existe, então )('.)(' xfcxg = .

3 Texto de: FLEMMING, D.V; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Makron, 1992. 617p.4 Idem a prova da derivada de uma constante

28

Figura 5: Prova da derivada do produto de uma constante por uma função 5

Proposição 4 (Derivada de uma Soma). Sejam f e g duas funções e h a função definida por )()()( xgxfxh += . Se )(' xf e )(' xg existem, então

)(')(')(' xgxfxh += .


A proposição 4 (Derivada de uma soma) se aplica a um número finito de funções e é igual à soma de suas derivadas, se estas existirem.

Proposição 5 (Derivada de um Produto). Sejam f e g funções e h a função definida por )().()( xgxfxh = . Se )(' xf e )(' xg existem, então

)().(')(').()(' xgxfxgxfxh += .

5 Idem a prova da derivada de uma constante6 Idem a prova da derivada de uma constante

29


Proposição 6 (Derivada de um Quociente). Sejam f e g funções e h a função definida por )(/)()( xgxfxh = , onde 0)( ≠xg . Se )(' xf e )(' xg existem, então

[ ]2)()(').()(').()('

xgxgxfxfxgxh −=

7 Idem a prova da derivada de uma constante

30


Proposição 7 Se -n é um número inteiro positivo e nxxf −=)( , então 1.)(' −−−= nxnxf .


31


Exercícios:

1. Encontre a derivada das seguintes funções:a) 2)( rrf π=b) 1063)( 2 −+= xxxfc) bawwf += 2)(

d) 3

2114)( −−= xxf

e) )63)(12()( 2 ++= xxxff) )4)(17()( +−= xxxfg) )2)(13()( 45 xxxf −−=h) )1)(1()( +−= xxxfi) )35)(13)(1()( 32 +−−= xsssfj) )2)(4()( 2 uaauuf −−=

k)1342)(

−+=

xxxf

l)11)(

+−=

tttf

m)1

153)(2

−−+=

ttttf

n)2

2)(2

−−=

tttf

o) 254)(

xxxf

−−=

p) )63(21)( 2 xx

xxxf +

++=


32

q) ( )btattf

−−=

2

)(

r) 5453)(xx

xf +=

s) 64 2

21)(

xxxf +=

t) 4)( xxg =

u) 3 23)( xxxf +=

2. A parábola 5132 2 +−= xxy tem alguma tangente cujo coeficiente angular seja -1? Se tem, encontre a equação para a reta e o ponto de tangência. Se não tem, por que não?

3. As equações para queda livre nas superfícies de Marte e de Júpiter (s em metros, t em segundos) são 286,1 ts = em Marte e 244,11 ts = em Júpiter. Quanto tempo uma pedra leva, a partir do repouso, para atingir a velocidade de 27,8 m/s (cerca de 100 Km/h) em cada planeta?

4. Uma pedra atirada verticalmente para cima na superfície da Lua com velocidade de 24 m/s (cerca de 86 Km/h) atinge uma altura de 28,024 tts −= metros em t segundos.

a) Determine a velocidade e a aceleração da pedra no instante t . (Nesse caso a aceleração é a da gravidade da Lua.)

b) Quanto tempo a pedra leva para atingir o ponto mais alto?c) Qual a altura atingida pela pedra?d) Quanto tempo a pedra leva para atingir a metade de sua altura máxima?e) Quanto tempo a pedra fica no ar?

5. O número de galões de água em um tanque, t minutos depois de iniciar seu esvaziamento, é dado por 2)30(200)( ttQ −= . A que taxa a água escoará ao fim de 10 min.? Qual a taxa média de saída da água durante os 10 primeiros minutos?

6. O volume 3)3/4( rV π= de um balão esférico muda de acordo com o valor do raio.a) Qual a taxa (em pés3/pés) de variação de volume em relação ao raio quando r = 2 pés?b) Aproximadamente quanto o volume do balão aumenta quando o raio muda de 2 para 2,2 pés?

7. A resposta do corpo a uma dose de um medicamento às vezes é representada por uma equação na forma:

−=

322 MCMR

em que C é uma constante positiva e M a quantidade de medicamento absorvida no sangue. Se a resposta esperada for uma variação na pressão sanguínea, então R deve ser medido em milímetros de mercúrio; se a resposta for uma variação na temperatura,

R será medido em graus centígrados e assim por diante. Determine dRdM . Essa

derivada, em função de M, é chamada de sensibilidade do corpo ao medicamento.

33

8. Se um gás (real) for mantido em um cilindro a uma temperatura constante T, a pressão P estará relacionada com o volume V de acordo com uma fórmula na forma:

2

2

Van

nbVnRTP −

−=

em que a, b, n e R são constantes. Determine dPdV .

9. Embora a erupção do Kilauea Iki, no Havaí, em novembro de 1959, tenha começado como uma linha de fontes laterais na parede da cratera, a atividade ficou restrita a uma única abertura no fundo da cratera, que em certo momento lançou lava a 1900 pés de altura (um recorde mundial). Qual foi a velocidade de saída da lava em pés/s? E em mi/h? (Dica: se v0 é a velocidade de saída da lava, sua altura no instante t será dada

por 20 16ttvs −= pés. Comece determinando o instante em que 0=

dtds

. Despreze a

resistência do ar.)

3.5 Derivada de uma função composta10

Consideremos duas funções deriváveis f e g onde )(ugy = e )(xfu = .Para todo x tal que )(xf está no domínio de g , podemos escrever

[ ])()( xfgugy == , isto é, podemos considerar a função composta ))(( 0 xfg .Por exemplo, uma função tal como 72 )25( ++= xxy pode ser vista como a

composta das funções )(7 uguy == e )(252 xfxxu =++= .A seguir apresentamos a regra da cadeia, que nos dá a derivada da função

composta fg0 em termos das derivadas de f e g .

Proposição (Regra da Cadeia). Se )(ugy = , )(xfu = e as derivadas dudy

e dxdu

existem, então a função composta [ ])(xfgy = tem derivada que é dada por

dxdu

dudy

dxdy .= ou )(').(')(' xfxgxy =

Regra do externo-interno

Segundo Thomas (2002), às vezes é mais fácil notar a Regra da Cadeia da seguinte forma: se ))(( xgfy = , então

)(')).((' xgxgfdxdy =

Ou seja, derive a função “externa” f , calcule-a na função “interna” )(xg isolada, multiplicando-a depois pela derivada da “função interna”.


34

Exercícios

1. Calcule as derivadas das funções dadas:f) 72 )25( ++= xxyg) 12 += xyh) ( )2010 2+= xyi) 2232 ).()13( xxxy −+=

j) 35)( 2 += xxfk) xxxy +++= 38 )42(

l) 3 22 )263()( −+= xxxf

m)3

2 3217)(

++=

tttf

n)13

2)(−

=xxxf

o)112)(

−+=

tttf

2. A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma coordenada é dada por ts 41 += ; com s em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a

aceleração da partícula para st 6= .

3.6 Derivadas da Função Inversa11

Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo aberto (a, b). Suponhamos que f(x) admita uma função inversa x = g(y) contínua. Se f’(x) existe e é diferente de zero para qualquer x ∈ (a, b), então g = f-1 é derivável e vale:

[ ])('1

)('1)('

ygfxfyg ==

Exemplos:

1. Determine a derivada da função 34 −= xy e da sua função inversa.

2. Determine a derivada da função 38xy = e da sua função inversa.

11Texto foi retirado de: FLEMMING, DIVA MARILIA. Cálculo A. 6ª edição. Ed. PRENTICE HALL, São Paulo. 2006

35

3. Calcule a derivada da função 1)( 2 += xxf e da sua inversa. b) Represente as duas funções graficamente. c) Determine a equação da reta tangente à curva 1)( 2 += xxf no ponto (2,5) e da sua inversa no ponto (5,2).

3.7Derivadas das Funções Elementares

Segundo Flemming e Gonçalves (2006), a derivada das funções elementares: exponencial, logarítmica, trigonométrica, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas podem ser sistematizada em uma tabela de Regras de Derivação, elas são utilizadas durante todo o estudo de Cálculo Diferencial e Integral. Todas essas regras são obtidas por meio da aplicação da definição de derivadas, no entanto para simplificar os cálculos utilizam-se as regras já previamente estabelecidas.

Na Tabela Geral de Derivadas apresentada por Flemming e Gonçalves (2006) u e v são funções deriváveis de x e c , α e a são constantes.

37

Exercícios:

1. Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

a)x

xf 1)( = ; 31=x ; 3=x .

b) xxf 2)( = ; 0=x ; 3=x ; ax = , 0>a .

2. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a equação 323 ttx −= , em que x vem expresso em metros e t , em segundos.

a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?b) Qual é a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos?c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos?

Respostas: a) – 16 m b) 3 m/s; 0 m/s; -9 m/s; -24 m/s c) 0 2/ sm ; -6 2/ sm ; -12 2/ sm ; -18 2/ sm

3. Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois de decorridos 1 e 2 segundos. (Da Física, use a equação

20 2

1 gttvy −= para determinar a posição y do corpo, onde 0v é a velocidade

inicial e 2/8,9 smg ≅ ).

Respostas: y1=-4,9 m; v1=-9,8 m/s e y2=-9,8 m; v2=-19,6 m/s

38

4. Calcule as derivadas:

a) )42(log)( 2 += xxfb) 1log)( 3 += ssf

c)

+= 2

11ln)(xx

xf

d) )42()( += xsenxfe) θθθ 22 cos)( += senff) )132cos(2)( 2 +−= θθθf

g)2

2cos1)( αα +=f

h)21)(

=

senxxf

i) 2)()( tguuuf =

j) )47ln(21)( 2 −= xxf

k)

−+=

xxxf

11ln)(

l)3

2cos)( xarcxf =

m) 211)(x

tgarcxf−

=

n) )12()( −= xsenhxfo) ][lnsec)( xhxf =

5. A posição de uma partícula no instante t≥0 que se desloca ao longo de uma reta coordenada é

+=

4cos10 πts .

a) Qual a posição inicial da partícula (t=0)?b) Quais são os pontos mais distantes da origem, à direita e à esquerda,

alcançados pela partícula?c) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula nos pontos mencionados na

parte (b).d) Quando a partícula atinge a origem pela primeira vez? Qual é a sua velocidade,

o módulo de sua velocidade e a aceleração nesse momento?

6. Suponha que um pistão se desloque para cima e para baixo e que sua posição no instante t segundos seja dada por

( )btAs π2cos=com A e b positivos. O valor de A é a amplitude do movimento e b é a frequência (número de vezes que o pistão de desloca para cima e para baixo a cada segundo). Que efeito a duplicação da frequência tem sobre a velocidade e a aceleração do pistão? (Ao descobrir, você entenderá por que uma máquina quebra quando acelera muito).

39

7. Calcule as derivadas (para estudar):

a) xey 3= R.: xey 33'=

b) 2senty = R.: 2cos2' tty =

c) xy 3cos= R.: xseny 33' −=

d) )3ln( 2 += xy R.: 3

2' 2 +=

xxy

e) 2senty = R.: 2cos2' tty =

f) 4

2 11

++=

xxy R.: 22

23

2 )1(12

114'

++−−

++=

xxx

xxy

g) 3 2 3+= xy R.: 3 22 )3(32'

+=

xxy

h) 3)cos( xsenxy += R.: )(cos)cos(3' 2 senxxxsenxy −+=

i) )93ln( 2 ++= tty R.: 93

32' 2 +++=tt

ty

j) )3cos( 2 += xy R.: )3(2' 2 +−= xxseny

l) xtgy 3= R.: xy 3sec3' 2=

m) xy 3sec= R.: xxtgy 33sec3'=

n) xey 5−= R.: xey 55' −−=

o) xey cos= R.: xxseneey −='

p) xexy += R.: x

x

exey+

+=2

1'

o) xxtgy cosln21 2 += R.: xtgy 3'=

40

3.8 Derivadas sucessivas12

Seja f uma função derivável definida num certo intervalo. A sua derivada f' é também uma função, definida no mesmo intervalo. Podemos, portanto, pensar na derivada da função f'.

Definição. Seja f uma função derivável. Se f' também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por f"(x) (lê-se f-duas linhas

de x) ou 2

2

dxfd (lê-se derivada segunda de f em relação a x).

Se f" é uma função derivável, sua derivada, representada por f’’’ (x), é chamada derivada terceira de f(x).

A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, representada por f(n)(x), é obtida derivando-se a derivada de ordem n -1 de f.

Exercícios:

1. Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.

a) xxy 23 4 −= ; 5=n

b) dcxbxaxy +++= 23 ; 3=n

c) 52 423 xxy +−= ; 10=n

d) 23 xy −= ; 2=n

e)1

1−

=x

y ; 4=n

f) 12 += xey ; 3=n

g) xey 1= ; 4=n

h) xy 2ln= ; 2=n

i) axseny = ; 7=n

j)2

cos2 xy −= ; 5=n

k) xtgy = ; 3=n

l) xtgarcy = ; 2=n

12 Este texto foi retirado de: FLEMMING, DIVA MARILIA. Cálculo A. 6ª edição. Ed. PRENTICE HALL, São Paulo. 2007

41

4. Diferencial

Acréscimos. Seja y = f(x) uma função. Podemos sempre considerar uma variação da variável independente x. Se x varia de x1 a x2, definimos o acréscimo de x, denotado por x∆ , como 12 xxx −=∆ .

A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por y∆, dada por )()( 12 xfxfy −=∆ ou, )()( 11 xfxxfy −∆+=∆ (conforme a figura 10).

Figura 10: diferencial

Diferencial. Sejam y = f(x) uma função derivável e x∆ um acréscimo de x. Definimos:

(a) a diferencial da variável independente x, denotada por dx, como dx= x∆ ;(b) a diferencial da variável dependente y, denotada por dy, como

xxfdy ∆= ).(' .De acordo com a definição anterior, podemos escrever dxxfdy ).('= ou

)(' xfdxdy = .

Assim, a notação dxdy

já usada para f’ (x), pode agora ser considerada um

quociente entre duas diferenciais.

Exercícios:

1. Se 562 2 +−= xxy y, calcule o acréscimo y∆ para x = 3 e 01,0=∆ x .

2. Se 46 2 −= xy , calcule y∆ e dy para x = 2 e 001,0=∆ x .

3. Calcule um valor aproximado para 3 5,65 usando diferenciais

4. Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro se resolvermos usando diferenciais?

5. A área S de um quadrado de lado x é dada por 2xS = . Achar o acréscimo e a diferencial desta função e determinar o valor geométrico desta última.

6. Uma caixa em forma de um cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 4/1 cm. Se o lado da caixa é de 2 m, usando diferencial, encontre a quantidade de

revestimento necessária.

42

7. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é 12 cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.

8. Use diferenciais para obter um aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de 3cm a 3,1cm.

9. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que cada um de seus lados mede 1200m, com um erro de 10m. Usando diferencial, determine o possível erro no cálculo da área do terreno.

10. Um pintor contratado para pintar ambos os lados de 50 placas de 40 cm de lado. Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham ½ cm a mais. Usando diferencial, encontre o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada.

4. Aplicações da derivada

4.1 Taxa de variação

Segundo Flemming e Gonçalves (2006), em várias áreas existem problemas que são resolvidos por meio da derivada como uma taxa de variação. Essa interpretação da derivada tem aplicação prática em diversas ciências.

Para Flemming e Gonçalves (2006, p. 179)13 toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função )(xfy = , quando a variável independente varia de x a xx ∆+ , a correspondente variação de y seja

)()( xfxxfy −∆+=∆ . O quociente

xxfxxf

xy

∆−∆+=

∆∆ )()(

representa a taxa média de variação de y em relação a x .A derivada

xxfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim)('0

é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x .

Exercícios

1. A quantidade y (em gramas) de plutônio radioativo remanescente em uma amostra de 20g, após t dias, é dada pela fórmula:

140/)2/1.(20 tA =

13 Texto de: FLEMMING, DIVA MARILIA. Cálculo A. 6ª edição. Ed. PRENTICE HALL, São Paulo. 2006

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A que taxa o plutônio diminui quanto 2=t dias? Responda usando unidades apropriadas. Resposta: ≈ 0,098 g/dia

2. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é aproximadamente, dado por:

364)(

3tttf −= .

a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo 4=t ?b) Qual a razão de expansão da epidemia no tempo 8=t ?c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?

3. Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por:

2)80(50 tV −= .Determine:a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10

primeiras horas de escoamento.b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento.c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas do escoamento.

4. Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante 0=t . Após t horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:

14530)(+

−−=t

ttT , 50 ≤≤ t .

Qual é a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas?

5. A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm3 e volume v em cm3 estão relacionadas pela igualdade vp=c, onde c é constante. Achar a razão de variação do volume em relação à pressão quando esta vale 10 kgf/cm3 .

6. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2.500 t2 litros, determinar:a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina;b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5];c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.

7. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população

será de 1

520)(+

−=t

tp milhares.

a) Daqui a 18 anos, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?b) Qual será a variação real sofrida durante o 18º mês?

8. Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

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9. Enche-se de gás um balão esférico à razão de 4 mm3/min. Supondo que a pressão do gás permaneça constante, com que velocidade está crescendo o raio do balão quando este mede 1 metro?

4.2 Máximos e mínimos14

Segundo Flemming e Gonçalves (1992), por meio da derivada é possível obter alguns dados sobre uma curva )(xfy = . Esses dados podem indicar se a função tem pontos de máximo ou de mínimo, se é crescente ou decrescente. Essas informações auxiliam na construção do esboço do gráfico de funções.

Para iniciar o estudo dos pontos de máximo e mínimo de uma função )(xfy = Flemming e Gonçalves (1992) analisam pontos de abscissas x1 , x2 , x3 e x4 da

figura 11.

Figura 11: Máximos e mínimos

Esses pontos são chamados pontos extremos da função. )( 1xf e )( 3xf são chamados máximos relativos e )( 2xf e )( 4xf são chamados mínimos relativos.

Podemos formalizar as definições.

Definição 1. Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que )()( xfcf ≥ para todo )( fDIx ∩∈ .

Definição 2. Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que )()( xfcf ≤ para todo )( fDIx ∩∈ .

Proposição. Suponhamos que )(xf existe para todos os valores de ),( bax ∈ e que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se )(' cf existe, então 0)(' =cf .


45

Esta proposição pode ser interpretada geometricamente. Se f tem um extremo relativo em c e se )(' cf existe, então o gráfico de )(xfy = tem uma reta tangente horizontal no ponto onde cx = .

Da proposição, podemos concluir que quando )(' cf existe, a condição 0)(' =cf é necessária para a existência de um extremo relativo em c. Esta condição não é

suficiente. Isto é, se 0)(' =cf , a função f pode ter ou não um extremo relativo no ponto c.O ponto )( fDc ∈ tal que 0)(' =cf ou )(' cf não existe, é chamado ponto

crítico de f.Portanto, uma condição necessária para a existência de um extremo relativo

em um ponto c é que c seja um ponto crítico.É interessante verificar que uma função definida num dado intervalo pode

admitir diversos pontos extremos relativos. O maior valor da função num intervalo é chamado máximo absoluto da função nesse intervalo. Analogamente, o menor valor é chamado mínimo absoluto.

Proposição. Seja ℜ→],[: baf uma função contínua, definida em um intervalo fechado [a, b]. Então f assume máximo e mínimo absoluto em [a, b].

Para analisarmos o máximo e o mínimo absoluto de uma função quando o intervalo não for especificado usamos as definições que seguem.

Definição 3. Dizemos que )(cf é o máximo absoluto da função f, se )( fDc ∈ e )()( xfcf ≥ para todos os valores de x no domínio de f.

Definição 4. Dizemos que )(cf é o mínimo absoluto da função f se )( fDc ∈ , e )()( xfcf ≤ para todos os valores de x no domínio de f.

Critérios para determinar os extremos de uma função

Teorema (Critério da derivada primeira para determinação de extremos). Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] que possui derivada em todo o ponto do intervalo (a, b), exceto possivelmente num ponto c.

(i) Se 0)(' >xf para todo x < c e 0)(' <xf para todo x > c, então f tem um máximo relativo em c.

(ii) Se 0)(' <xf para todo x<c e 0)(' >xf para todo x > c, então f tem um mínimo relativo em c.

Teorema (Critério da derivada V para determinação de extremos de uma função). Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, 0)(' =cf , com a < c < b. Se f admite a derivada f" em (a, b), temos:

(i) Se 0)('' <cf , f tem um valor máximo relativo em c.(ii) Se 0)('' >cf , f tem um valor mínimo relativo em c.

Exercícios:

1. Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e mínimos relativos da função 67)( 3 +−= xxxf .

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2. Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério da derivada segunda:

a. 32 4318)( xxxxf −+=b. 2)1()( −= xxxf

c. 32

2136)( xxxxf +−=

d.4

4)( 2 +=

xxxg

e. xxxf 26)( 32 −=f. 57)2()( −+= xxxf

Referências Bibliográficas

FLEMMING, D.V; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Makron, 1992. 617p.

FLEMMING, DIVA MARILIA. Cálculo A. 6ª edição. Ed. PRENTICE HALL, São Paulo. 2006

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. v1 5ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.

THOMAS, George B.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. Cálculo. Tradução Paulo Boschcov. São Paulo: Addison Wesley, 2002.

STEWART, James. Cálculo: volume 1. São Paulo: Cangage Learning, 2009.

notas de aula - limites e derivadas - 2011

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