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Derivadas de Funções Trigonométricas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Derivadas de Funções Trigonométricas

1.Derivadas de funções trigonométricas

2.Extremos relativos de funções trigonométricas

3.Aplicações

3

Na aula anterior, vimos dois limitesimportantes:

1. Derivadas de funções trigo-nométricas

0 0

sen 1 coslim 1 lim 0x x

x xe

x x∆ → ∆ →

∆ − ∆= =∆ ∆

4

Esses dois limites são utilizados na dedução daderivada da função seno:

Portanto:

1.1. Derivada da função seno

[ ]0 0

0 0 0

0 0 0 0

sen ( ) sen sen cos sen cos sensen lim lim

sen cos sen (1 cos ) sen cos sen (1 cos )lim lim lim

sen (1 cos )lim cos lim lim sen lim

c

x x

x x x

x x x x

d x x x x x x x xx

dx x xx x x x x x x x

x x xx x

x xx x

∆ → ∆ →

∆ → ∆ → ∆ →

∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆ + ∆ −= =∆ ∆

∆ − − ∆ ∆ − ∆= = −∆ ∆ ∆∆ − ∆= ⋅ − ⋅

∆ ∆= os 1 sen 0 cosx x x⋅ − ⋅ =

[ ]sen cosd

x xdx

=

5

Esses dois limites também são utilizados nadedução da derivada da função cosseno:

Portanto:

1.2. Derivada da funçãocosseno

[ ][ ]

0 0

0 0 0

0 0 0 0

cos ( ) cos cos cos sen sen coscos lim lim

cos cos 1cos cos cos sen sen sen senlim lim lim

1 cos senlim lim cos lim sen lim

0

x x

x x x

x x x x

d x x x x x x x xx

dx x xx xx x x x x x x

x x xx x

x xx x

∆ → ∆ →

∆ → ∆ → ∆ →

∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ − ∆ − ∆ −= =∆ ∆

∆ −∆ − − ∆ ∆= = −∆ ∆ ∆

− ∆ ∆= − ⋅ − ⋅∆ ∆

= − ⋅cos sen 1 senx x x− ⋅ = −

[ ]cos send

x xdx

= −

6

Lembrando que tg x = sen x/cos x e utilizando aregra do quociente, teremos

Portanto:

1.3. Derivada da funçãotangente

[ ]( ) ( )

( )( )

2

2 2

2 2

22

cos sen sen cossentg

cos cos

cos cos sen sen cos sencos cos

1sec

cos

d dx x x xd d x dx dxx

dx dx x x

x x x x x xx x

xx

⋅ − ⋅ = =

⋅ − ⋅ − += =

= =

[ ] 2tg secd

x xdx

=

7

Lembrando que cotg x = cos x/sen x e utili-zando a regra do quociente, teremos

Portanto:

1.4. Derivada da função co-tangente

[ ]( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2

2 2

2 2

2 2

22 2

sen cos cos sencoscotg

sen sen

sen sen cos cos sen cossen sen

sen cos 1cossec

sen sen

d dx x x xd d x dx dxx

dx dx x x

x x x x x xx x

x xx

x x

⋅ − ⋅ = =

⋅ − − ⋅ − −= =

− += = − = −

[ ] 2cotg cossecd

x xdx

= −

8

Lembrando que sec x = 1/cos x e utilizando aregra do cadeia, teremos

Portanto:

1.5. Derivada da funçãosecante

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2

2

1sec cos 1 cos sen

cos

1 1 sensen sec tg

cos cos cos

d d dx x x x

dx dx x dx

xx x x

x x x

− − = = = − ⋅ ⋅ −

= ⋅ = ⋅ = ⋅

[ ]sec secd

x x tg xdx

=

9

Lembrando que cossec x = 1/sen x e utilizandoa regra do cadeia, teremos

Portanto:

1.6. Derivada da funçãocossecante

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2

2

1cossec sen 1 sen cos

sen

1 1 coscos cossec cotg

sen sen sen

d d dx x x x

dx dx x dx

xx x x

x x x

− − = = = − ⋅ ⋅

= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅

[ ]cossec cossec cotgd

x x xdx

= −

10

1.7. Resumo das derivadas dasfunções trigonométricas

A seguir, são apresentadas as versões da Regrada Cadeia para as regras de diferenciação de todas asseis funções trigonométricas.

[ ]sen cosd du

u udx dx

=

[ ]cossec cossec cotgd du

u u udx dx

= −

[ ]cos send du

u udx dx

= −

[ ] 2tg secd du

u udx dx

=

[ ] 2cotg cossecd du

u udx dx

= −

[ ]sec sec tgd du

u u udx dx

=

11

Exemplo 1: Diferencie as funções: (a) y = sen (2x),(b) y = cos (x - 1) e (c) y = tg (3x).

1.8. Exemplos

[ ]

[ ]

'

'

'

2 2

( ) Fazendo 2 , temos que 2

cos cos (2 ) 2 cos (2 ) (2) 2cos(2 )

( ) Fazendo 1, temos que 1

sen sen ( 1) 1 sen ( 1) (1) sen ( 1)


sec sec

a u x u

dy du du x x x x

dx dx dxb u x u

dy du du x x x x

dx dx dxc u x u

dy duu

dx dx

= =

= = = =

= − =

= − = − − − = − − = − −

= =

= = [ ] 2 2(3 ) 3 sec (3 ) (3) 3sec (3 )d

x x x xdx

= =

12

Exemplo 2: Diferencie f(x) = cos (3x2).

1.8. Exemplos

2 '

2 2

2 2


sen sen (3 ) 3

sen (3 ) (6 ) 6 sen (3 )

a u x u x

dy du du x x

dx dx dxx x x x

= =

= − = −

= − = −

13

Exemplo 3: Diferencie f(x) = tg4 (3x).

Pela Regra da Potência, podemos escrever

1.8. Exemplos

[ ] [ ] [ ]

[ ]

4 3

3 2

3 2

tg (3 ) 4 tg (3 ) tg (3 )

4 tg (3 ) sec (3 ) (3)

12 tg (3 ) sec (3 )

d dx x x

dx dx

x x

x x

=

=

=

14

Exemplo 4: Diferencie y = cossec (x/2).

1.8. Exemplos

cossec cotg2 2 2

1cossec cotg

2 2 2

dy x x d xdx dx

dy x xdx

= −

= −

15

Exemplo 5: Diferencie .

1.8. Exemplos

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

12

1' 2

1' 2

'12

'

( ) sen 4

1( ) sen 4 sen 4

2

1( ) sen 4 4cos 4

2

2cos 4( )

sen 4

2cos 4( )

sen 4

f t t

df t t t

dt

f t t t

tf t

t

tf t

t

−

−

=

=

=

=

=

( ) sen 4f t t=

16

Exemplo 6: Diferencie y = x sen x.

1.8. Exemplos

[ ] [ ]sen sen

cos sen 1

cos sen

dy d dx x x x

dx dx dxdy

x x xdxdy

x x xdx

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= ⋅ +

17

Exemplo 7: Determine os extremos relativos de

no intervalo de (0, 2π).

Para achar os extremos relativos da função,determinemos inicialmente seus pontos críticos.A derivada de y é:

2. Extremos relativos defunções trigonométricas

sen2x

y x= −

1cos

2dy

xdx

= −

18

Igualando a derivada a zero, obtemos cos x =1/2. Portanto, no intervalo (0, 2π), os pontos críticossão x = π/3 e x = 5π/3. Aplicando o Teste daDerivada Primeira, concluímos que π/3 dá um mínimorelativo e 5π/3 dá um máximo relativo, conforme afigura acima.


19

Exemplo 8: Ache os extremos relativos def(x) = 2 sen x – cos 2x no intervalo de (0, 2π).


'

( ) 2sen cos 2

( ) 2cos 2sen 2

2cos 2sen 2 0

2cos 2 2sen cos 0

4sen cos 2cos 0

2cos (2sen 1) 0

f x x x

f x x x

x x

x x x

x x x

x x

= −= +

+ =+ ⋅ =

+ =+ =

20

Por aí vemos que os pontos críticos ocorremquando cos x = 0 e quando sen x = -1/2. Assim, nointervalo (0, 2π) os pontos críticos são x = π/2, 3π/2,7π/6 e 11π/6.

Aplicando o Teste da Derivada Primeira,determinamos os máximos relativos, (π/2, 3) e(3π/2, -1), e os mínimos relativos (7π/6, -3/2) e(11π/6, -3/2), conforme a figura a seguir.


21


22

Exemplo 9: Um fabricante de fertilizantes acha queas vendas de um de seus produtos segue um padrãosazonal que admite o modelo

onde F é a quantidade vendida (em libras) e t é otempo (em dias), com t = 1 representando 1o dejaneiro, conforme a figura a seguir. Em que dia do anoocorre o máximo de venda de fertilizantes?

3. Aplicações

2 ( 60)100.000 1 sen

365t

Fπ − = +

23

A derivada do modelo é

Igualando a zero esta derivada, vem:

Como o cosseno é zero em π/2 e 3π/2,obtemos:

3. Aplicações

2 2 ( 60)100.000 cos

365 365dF tdt

π π − =

2 ( 60)cos 0

365tπ − =

24

O 151o dia do ano é 31 de maio e o 334o dia doano é 30 de novembro. Pelo gráfico seguinte, vemosque, de acordo com o modelo, a venda máxima ocorreem 31 de maio.

3. Aplicações

2π ( 60)365t π− =

2365

604

36560

4151

t

t

t

− =

= +

≈

2π ( 60) 3365t π− =

23 365

604

3 36560

4334

t

t

t

⋅− =

⋅= +

≈

25

3. Aplicações

sen

26

Exemplo 10: A temperatura T (em graus Fahrenheit)durante certo período de 24 horas tem como modelo

onde t é o tempo (em horas), com t = 0 correspon-dendo à meia-noite, conforme a figura seguinte.Determine a taxa de variação da temperatura às 6horas da manhã.

3. Aplicações

( 8)70 15sen

12t

Tπ −= +

27

3. Aplicações

28

A taxa de variação da temperatura é dada peladerivada

Como 6 da manhã corresponde a t = 6, a taxade variação a essa hora é

3. Aplicações

15 2 5 5 3cos cos 3,4 F por hora

12 12 4 6 4 2odT

dtπ π π π π = − = − = ≈

15 ( 8)cos

12 12dT tdt

π π −=

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