exercicios resolvidos de limites e derivadas

44
Celton Ribeiro Barbosa Prof. Gislan Silveira Santos Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia Programa de Educação Tutorial - PET Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha

Upload: marcosaraujo

Post on 12-Sep-2015

111 views

Category:

Documents


8 download

DESCRIPTION

Exercicios Resolvidos de Limites e Derivadas

TRANSCRIPT

  • Celton Ribeiro BarbosaProf. Gislan Silveira Santos

    Apostila de Exerccios Resolvidos deClculo

    Instituto Federal de Educao Cincia e Tecnologia daBahia

    Programa de Educao Tutorial - PETTutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha

  • 2014 Celton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan SilveiraSantos & Instituto Federal de Educao Cincia e

    Tecnologia da Bahia.Programa de Educao Tutorial - PETTutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha

    Qualquer parte desta publicao pode serreproduzida, desde que citada a fonte.

    Dados Internacionais de Catalogao na Publicao(CIP) Cmara Brasileira do Livro, BA, Brasil

    Barbosa, Celton Ribeiro; Santos, Gislan Silveira.Apostila de Exerccios Resolvidos de Clculo. / Cel-ton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos. Vitria da Conquista-BA: Instituto Federal de Edu-cao Cincia e Tecnologia da Bahia. Ltda., 2014.

    Bibliografia.ISBN XXXX-XXXX-XX.

    1. Matemtica. 2. Clculo 1.

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 2

  • SUMRIO

    1 Limites e Continuidade 2

    2 Derivadas 22

    1

  • CAPTULO 1

    LIMITES E CONTINUIDADE

    1. O ponto P (2, ln2) pertencente curva y = lnx.

    (a) Se Q o ponto (x, lnx), use sua calculadora para determinar o coefi-ciente angular da reta secante PQ, com preciso de seis casas decimais,para os seguintes valores de x:

    (i) 1,5(ii) 1,9(iii) 1,99(iv) 1,999

    (v) 2,5(vi) 2,1(vii) 2,01(viii) 2,001

    (b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinao da retatangente curva no ponto P (2, ln2).

    (c) Use a inclinao obtida na parte (b) para achar uma equao da retatangente curva em P (2, ln2).

    (d) Faa uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a reta tan-gente.

    Resoluo:

    (a) A equao da reta dada por:

    (y y0)=m(xx0)onde m - coeficiente angular da reta.

    (x0, y0) - ponto onde se deseja encontrar a reta.

    2

  • Limites e Continuidade

    y0 = ln2 e x0 = 2

    m = y ln2x2 =

    lnx ln2x2 =

    ln(x/2)

    x2(i) x = 1,5

    m = ln(1,5/2)1,52 = 0,575364

    (ii) x = 1,9m = ln(1,9/2)

    1,92 = 0,512933

    Os demais itens ficam a cargo do leitor.

    x m1,5 0,5753641,9 0,512933

    1,99 0,5012541,999 0,500125

    2,5 0,4462872,1 0,487902

    2,01 0,4987542,001 0,499875

    (b) Os valores se aproximo de 0,5.

    (c)y ln2= 0,5(x2)y = 0,5x+ ln21

    2. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem atravs das suaspropriedades.

    (a)limt0

    [1+ 1|t |

    1

    |t |

    ]Resoluo:

    |t | ={

    t , se t > 0t , se t < 0

    Para t > 0:

    limt0

    [1+ 1

    t

    1

    t

    ]

    1+ 1

    t+

    1

    t1+ 1

    t+

    1

    t

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 3

  • Limites e Continuidade

    = limt0

    1+ 1t 1t

    1+ 1t+

    1

    t

    = limt0

    11+ 1

    t+

    1

    t

    = 0

    Para t < 0:

    limt0

    [1+ 1t

    1

    t

    ]

    1+ 1t +

    1

    t1+ 1t +

    1

    t

    = limt0

    1+ 1t 1

    t1+ 1t +

    1

    t

    = limt0

    11+ 1t +

    1

    t

    = 0

    Como os limites laterais so iguais a resposta 0.

    (b)(1/px)1

    1xResoluo:

    limx1

    1pxpx

    1x = limx1(1px)

    (1x)px 1+px1+px

    limx1

    (1x)(1x)px(1+px) = limx1

    1px(1+px) =

    1p1(1+p1) =

    1

    2

    3. Esboce os grficos da funo abaixo e , use-o para determinar os valoresde a para os quais lim

    xa f (x) exista:

    (a) f (x)=

    1+x , se x

  • Limites e Continuidade

    Resoluo:

    Figura 1.1: Grfico de f(x)

    4. Prove que o limx0

    |x|x

    no existe.

    Dicas:

    Os limite s existe se os limites laterais forem iguais.

    |x| ={

    x , se x > 0x , se x < 0

    5. Na teoria da relatividade, a massa de uma partcula com velocidade v

    m = m0p1 v2/c2

    , em que m0 a massa da partcula em repouso e c, a

    velocidade da luz. O que acontece se v c?

    Resoluo

    limxc

    m0p1 v2/c2

    = m0p11 =

    6. Considere a funo f definida por:

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 5

  • Limites e Continuidade

    f (x)={

    0 , se x racional1 , se x irracional

    Para todo a R, limxa f (x) no existe. Por qu?

    Resoluo:

    Suponha que a Q, ento f (a)= 0, logo limxa f (x)= 0

    Por outro lado, a 3Q, ento f (a)= 0, logo limxa f (x)= 1

    Como a R , ento 3 limxa f (x), pois os limites laterais dessa funo so

    diferentes.

    7. Calcule, se possvel, os seguintes limites:

    (g) limx0

    px+1p1x

    3x

    (l) limx1

    x31x21

    (o) limt9

    9 t3pt

    (t) limx2

    x4168x3

    (w) limx7

    2px3x249

    Resoluo:(a)

    limx0

    px+1p1x

    3xpx+1+p1xpx+1+p1x

    limx0

    (x+1) (1x)3x(

    px+1+p1x)

    limx0

    2x

    3x(px+1+p1x) =

    2

    3(px+1+p1x)

    limx0

    px+1p1x

    3x= 2

    3 (1+1) =2

    6= 1

    3

    (b)

    limx1

    x31x21 = limx1

    (x1)(x2+x+1)(x1)(x+1)

    limx1

    x2+x+1x+1 =

    12+1+11+1 =

    3

    2

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 6

  • Limites e Continuidade

    (c)

    limt9

    9 t3pt

    3+pt3+pt

    limt9

    (9 t )(3+pt )9 t = 3+

    p9= 6

    (d)

    limx2

    x4168x3 = limx2

    (x2+4)(x24)(x2)(x22x4)

    limx2

    (x2+4)(x+2)(x2)(x2)(x22x4)

    limx2

    (x2+4)(x+2)(x22x4) =

    8

    3

    (e)

    limx7

    2px3x249

    2+px32+px3

    limx7

    4x+3(x+7)(x7)(2+px3) =

    (x7)(x+7)(x7)(2+px3)

    limx7=

    1(x+7)(2+px3) =

    1

    56

    8. Calcule, se existirem, os limites abaixo:

    (a) limxa

    pxpapx2a2

    com a > 0

    (b) limxa

    pxpa+pxap

    x2a2com a > 0

    (c) limx0

    (p1+x2+x

    )m (p1+x2x)mx

    Resoluo

    (a)

    limxa

    pxpapx2a2

    = limxa

    pxpap

    (xa)(x+a)pxpap

    xapx+a px+papx+pa

    xapxa px+a (px+pa)

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 7

  • Limites e Continuidade

    pxap

    x+a (px+pa) =0

    2pa p2a = 0

    (b)

    limxa

    pxpa+pxap

    x2a2

    limxa

    pxpa+pxapxapx+a

    limxa

    pxpap

    xa px+a + limxapxap

    xa px+a

    limxa

    1px+a =

    1p2a

    (c)

    limx0

    (p1+x2+x

    )m (p1+x2x)mx

    m = 1

    limx0

    (p1+x2+x

    )(p

    1+x2x)

    x= 2

    m = 2

    limx0

    (p1+x2+x

    )2 (p1+x2x)m2

    = limx0

    2 6 x(2p

    1+x2)6 x = 4

    .

    .

    .

    Resolvendo mais limites para outros valores de m possvel observar oseguinte padro: 2m

    9. Mostre que o limx0x

    2 cos(20pix)= 0.

    1 cos(2pix) 1x2 x2 cos(2pix) x2

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 8

  • Limites e Continuidade

    Pelo teorema do confronto:

    limx0x

    2 = 0, limx0x

    2 = 0

    limx0x

    2 cos(2pix)= 0

    10. Calcule, pelo Teorema do Confronto, limx+(

    px+1px).

    Resoluo:

    limx+(

    px+1px) (

    px+1+pxpx+1+px = limx+

    1px+1+px

    px+1>px px+1+px > 2px

    limx+

    1px+1+px 2

    (a) Calcule, se existirem, os limites.i. lim

    x0+h(x) ii. lim

    x0h(x) iii. limx0h(x) iv. limx2h(x)v. lim

    x2+h(x)

    vi. limx2h(x)

    (b) Esboce o grfico da funo h.

    Dica:

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 11

  • Limites e Continuidade

    Figura 1.5: Grfico da funo h(x).

    15. Determine os limites.

    (a) limx4

    x5(x4)2

    Resoluo:

    limx4

    x5 (Esse termo tende a -1)(x4)2 (Esse termo tende a 0)

    y = (x4)2limy0

    1y=

    (b) limx0

    cos(x)

    x sen (x)Resoluo:

    limx0

    cos(x) (Esse termo tende a 1)

    x sen (x) (Esse termo tende a 0 )

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 12

  • Limites e Continuidade

    y = x sen xlimy0

    1

    y=

    16. Calcule os limites:

    (a) limx+

    1+2+3+ . . .+xx2

    (b) limx+

    12+22+ . . .+x2x3

    Sugesto: Para (a)x

    k=1k = x(x+1)

    2e para (b)

    xk=1

    k2 = x(x+1)(2x+1)6

    .

    Resoluo:

    (a) limx+

    xk=1

    k

    x2

    limx+

    x(x+1)2x2

    limx+

    1+ 1x2

    (b) limx+

    xk=1

    k2

    x3

    limx+

    x(x+1)(2x+1)6x3

    limx+

    2x3+3x2+x6x3

    limx+

    2+ 3x + 3x26

    = 13

    17. Calcule os seguintes limites no infinito:

    (a) limx+

    3px3+2x1px2+x+1

    Resoluo:

    limx+

    3x3(1+ 1

    x2 1

    x2)

    x2(1+ 1x + 1x2 )

    limx+

    1+ 1

    x2 1

    x2(1+ 1x + 1x2 )

    = 1

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 13

  • Limites e Continuidade

    (b) limx+

    px4+2x3

    Resoluo:

    limx+

    x6( 1

    x2+ 2

    x6)

    x3

    limx+

    x3

    ( 1x2+ 2

    x6)

    x3= 0

    (c) limx

    x9+1x9+x6+x4+1

    limx

    x9(1+ 1x9

    )

    x9(1+ 1x3+ 1

    x5+ 1

    x9)= 1

    18. Numa cidade, uma determinada notcia foi propagada de tal maneira queo nmero de pessoas que tomaram conhecimento dado por:

    N (t )1768

    1+33e10tem que t representa o nmero de dias aps ocorrer a notcia. Pergunta-se:

    (a) Quantas pessoas souberam a notcia de imediato?

    (b) Determine limtN (t ) e explique o seu resultado.

    Dicas: o tempo tende a 0 no quesito (a)

    19. Um tanque contm 5000 litros de gua pura. gua salgada contendo 30 gde sal por litro de gua bombeada para dentro do tanque a uma taxa de25l/min.

    (a) Mostre que a concentrao de sal depois de t minutos (gramas porlitro)

    C (t )= 30t200+ t

    (b) O que acontece com a concentrao quando tResoluo:

    (a)30 g6l 25t 6 l

    (5000+25t )l =750t

    5000+25t =30t

    200+ t

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 14

  • Limites e Continuidade

    (b) limt

    30t

    200= 30 6 t

    ( 200t +1) 6 t= lim

    t30

    ( 200t +1)= 30g/l

    onde t o tempo.

    20. Encontre as assntonas horizontal e vertical e esboce o grfico da seguintefuno:

    (a) f (x)= x2

    x21 =x2

    (x+1)(x1)Resoluo:

    Tire o limite da funo f (x) tendendo as razes para encontrar as assn-tonas verticais :

    limx1

    x2

    x21 =x2

    (x+1)(x1) = limx11

    1 1x2=

    limx1

    x2

    x21 = limx11

    1 1x2=

    Tire o limite da funo f (x) tendendo a infinito para encontrar as assn-tonas horizontais:

    limx

    x2

    x21 = limx1

    1 1x2= 1

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 15

  • Limites e Continuidade

    Figura 1.6: Grfico da funo f (x).

    21. Investigue a continuidade da funo seguinte:

    (a) f (x)={ x|x| , x 6= 01,x = 0

    Resoluo:

    |x| ={

    x,x 0x,x < 0

    limx0

    x

    |x|limx0+

    x

    x= 1

    limx0

    x

    x =1A funo descontnua, pois os limites laterais so diferentes.

    22. O potencial de uma distribuio de carga num ponto do eixo dos x

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 16

  • Limites e Continuidade

    dado por:

    (x)=

    2pi

    (px2+a2x

    ), se x 0

    2pi(p

    x2+a2+x)

    , se x < 0com a > 0 e > 0. contnua em 0? Justifique.

    Resoluo:

    limx0+

    2pi(x2+a2x)= 2pia

    limx0+

    2pi(x2+a2+x)= 2pia

    Como os limites laterais so iguais a funo contnua em 0;

    23. Dizemos que uma funo f contnua em um ponto a se, e somente se,

    limh0

    f (a+h)= f (a)

    Use esse fato para demonstrar que as funes sen (x) e cos(x) so cont-nuas.

    Resoluo:

    limx0 sen (x+a)= sen a

    24. Calcule:

    (a) limx0

    sen 3x

    xResoluo:

    limx0

    3 sen 3x

    3xu = 3x

    limu0

    3 sen u

    u= 3

    25. Calcular o valor de limx0

    tanx+xx

    limx0

    sen x

    cosx+x

    x= lim

    x0sen x

    x cosx+1

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 17

  • Limites e Continuidade

    limx0

    sen x

    x limx0

    1

    cosx+1

    limx0

    tanx+xx

    = 2

    26. Determine: limx0

    1cos2 x1cosx

    Resoluo:

    limx0

    1cos2 x1cosx

    1+cosx1+cosx

    limx0

    (1cos2 x)(1+cosx)(1cos2 x)

    limx0 1+cosx = 2

    27. Sabendo que limx0

    sen x

    x= 1, calcule lim

    xpi4

    cosx sen xcos2x

    Resoluo:

    cos2x = cos(x+x)= cosx cosx sen x sen x

    cos2x = cos2 x sen 2x

    limxpi4

    cosx sen xcos2 x sen 2x = limxpi4

    cosx sen x(cosx sen x)(cosx+ sen x)

    limxpi4

    1

    cosx+ sen x =p

    2

    2

    28. Calcule os limites:

    (a) limx0

    sen 3x

    2x

    (b) limx0

    1cosxx

    (c) limx0

    p1+ sen xp1 sen x

    x

    Resoluo:

    (a) limx0

    sen 3x

    2x

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 18

  • Limites e Continuidade

    u = 3x x = u3

    limu0

    sen u2u3

    3

    2limu0

    sen u

    u= 3

    2

    (b) limx0

    1cosxx

    limx0

    1cosxx

    1+cosx1+cosx = limx0

    1cos2 xx(1+cosx)

    sen 2x+cos2 x = 1 sen 2x = 1cos2 x

    limx0

    sen x

    x limx0 sen x limx0

    1

    1+cosx = 1 0 1

    2= 0

    (c) limx0

    p1+ sen xp1 sen x

    x

    limx0

    p1+ sen xp1 sen x

    xp

    1+ sen x+p1 sen xp1+ sen x+p1 sen x

    limx0

    1+ sen x (1 sen x)x(p

    1+ sen x+p1 sen x)

    limx0

    2 sen x

    x(p

    1+ sen x+p1 sen x)2 lim

    x0sen x

    x limx0

    1

    x(p

    1+ sen x+p1 sen x) = 2 1 1

    2= 1

    29. Calcule os limites:

    (a) limx

    (1 3

    x

    )x(b) lim

    x

    (1 4

    x

    )5x(c) lim

    x

    (x+1x1

    )x(d) lim

    x

    (x+5x

    )2x+3

    Resoluo:

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 19

  • Limites e Continuidade

    (a) limx

    (1 3

    x

    )xLimite fundamental: lim

    x

    (1+ 1

    x

    )x= e

    1 3x= 1+ 1

    y 3

    x= 1y

    x =3y

    limy

    (1+ 1

    y

    )3y=(

    limy

    (1+ 1

    y

    )y)3limx

    (1 3

    x

    )x= 1e3

    (b) limx

    (1 4

    x

    )5x

    1 4x= 1+ 1

    y 4

    x= 1y

    x =4y

    limx

    (1 44y

    )20y=(

    limy

    (1+ 1

    y

    )y)20= e20

    (c) limx

    (x+1x1

    )x

    x+1x1 = 1+

    1

    y

    6 x+1=6 x1+ x1y

    2y = x1x = 2y +1( 6 2y+ 6 2

    6 2y)2y+1

    =

    (y +1y

    )2y+1=

    (1+ 1

    y

    )2y(1+ 1

    y

    )

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 20

  • Limites e Continuidade

    (limy

    (1+ 1

    y

    )y)2 limy

    (1+ 1

    y

    )y= e2

    (d) limx

    (x+5x

    )2x+3

    x+5x

    = 1+ 1y

    6 x+5=6 x+ xy

    5y = x( 6 5y+ 6 56 5y

    )10y+3=(1+ 1

    y

    )10y+3limx

    (1+ 1

    y

    )10y+3=(

    limx

    (1+ 1

    y

    )y)10(

    limx

    (1+ 1

    y

    ))3= e10

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 21

  • CAPTULO 2

    DERIVADAS

    1. Ache uma equao da reta tangente curva y = 2x2+3 que paralela reta 8x y +3= 0.

    Resoluo:8x y +3= 0y = 8x+3

    y = 2x2+3y = 4x = 8x = 2

    y(2)= 11

    y 11 = 8(x2)y 11 = 8x16

    y = 8x5

    2. Usando a definio, determine a funo primeira derivada e as derivadasnos pontos indicados:

    f (x)= x21, f (0) e f (1)

    22

  • Derivadas

    Resoluo:

    limh0

    (h+x)21x2+1h

    = limh0

    6 h2+2 6 hx+ 6 x2 6 1 6 x2+ 6 16 h

    = limh0

    h+2x = 2x

    f (0)= 0 ; f (1)= 2

    3. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, a sua altura(em metros) deposis de t segundos dada por y = 10t 4,9t2. Encontrea velocidade quando t = 2.Resoluo:

    y(t )= 10t 4.9t2v(t )= y (t )

    v(t )= limh0

    10(h+ t )4,9(h+ t )210t +4,9t2h

    v(t )= limh0

    10h+10t 4,9(h2+2ht + t2)10t +4,9t2h

    v(t )= limh0

    6 h(104,9h9,8t )6 h = 109,8t

    v(2)=9,6m/s

    4. Determine se existir ou no f (0).

    f (x)= x2 sen

    1

    x, se x 6= 0

    0 , se x = 0

    Resoluo:

    f (0)= limx0

    f (x) f (0)x0 = limx0x sen (1/x)= 0

    Logo o limite existe.

    5. Seja f (x)= 3px.(a) Se a 6= 0, usando a definio de derivada no ponto, encontre f (a).(b) Mostre que f (0) no existe.(c) Mostre que y = 3px tem uma reta tangente vertical em (0,0).

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 23

  • Derivadas

    Resoluo:

    (a)

    f (a) = limh0

    f (a+h) f (a)h

    = limh0

    3p

    (a+h) 3pah

    = limh0

    3p

    (a+h) 3pah

    3

    (a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2

    3

    (a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2

    = limh0

    3

    (a+h)3 3pa3

    h( 3

    (a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2)

    = limh0

    6 a+ 6 h 6 a6 h( 3

    (a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2)

    = limh0

    13

    (a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2

    = limh0

    13pa2+ 3

    pa2+ 3

    pa2= 1

    33pa2

    (b) f (0)= 1/0, que indeterminao.(c) A funo contnua em x = 0 e a f (0) = +. Por isso, existe a retatangente vertical nesse ponto.

    6. Mostre que a funo f (x)= |x6|no diferenciavel em 6. Encontre umafrmula para f e esboce seu grfico.

    Resoluo:

    Lembre-se:

    |x| ={x , x > 0x , x < 0

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 24

  • Derivadas

    Para x > 6f (a)= lim

    h0h+ 6 a 6 6 6 a+ 6 6

    h= 1

    Para x < 6f (a)= lim

    h0h 6 a+ 6 6+ 6 a 6 6

    h=1

    Os limites laterais so diferentes, logo no existe derivada no ponto 6.

    f (x)={ 1 , x < 6

    1 , x > 6

    Figura 2.1: Grfico da funo f (x).

    7. Em que ponto da curva y = x2+8 a inclinao da tangente 16? Escrevaa equao dessa reta tangente.

    Resoluo:

    f (a)= 16 f (x)= x2+8

    limh0

    (h+a)2+8a28h

    = limh0

    6 h2+2 6 ha+ 6 a2+ 6 8 6 a2 6 86 h

    = limh0

    h+2a = 2a

    f (a)= 2a = 16, a = 8, y = 82+8= 72

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 25

  • Derivadas

    Ponto (8,72)

    Encontrando a reta tangente:

    y 72= 16(x8)y = 16x56

    8. Se f (x)= 2x2x3, encontre f (x), f (x), f (x) e f (4). Trace f , f , f e f em uma nica tela. Os grficos so consistentes com as interpretaesgeomtricas destas derivadas?

    Resoluo:

    f (x) = 4x3x2f (x) = 46xf (x) = 6f (4) = 0

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 26

  • Derivadas

    Figura 2.2: Grfico das funes f (x), f (x), f (x), f (x).

    9. Lembre-se de que uma funo f [e chamada par se f (x) = f (x) paratodo x em seu domnio e, mpar se f (x)= f (x) para cada um destes x.Demonstre cada uma das afirmativas a seguir:

    (a) A derivada de uma funo par uma funo mpar.(b) A derivada de uma funo mpar uma funo par.

    Resoluo:

    (a) Escolhendo a funo cos(x) :

    limh0

    cos(h+x)cosxh

    limh0

    cosh cosx sen x sen hcosxh

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 27

  • Derivadas

    limh0

    cosx(cosh1)h

    limh0

    sen x sen h

    h sen x Uma funo mpar

    (b) Escolhendo a funo sen (x) :

    limh0

    sen (h+x) sen xh

    limh0

    sen h cosx+ sen x cosh sen xh

    limh0

    cosxsen h

    h+ lim

    h0sen x

    (cosh1)h

    cosx uma funo par

    10. Encontre a derivada de cada uma das funes.

    (a) f (x) = 32x+2x( 5

    px3) 2p

    x

    (b) f (x) = t33tt55t (t

    22t )

    (c) f (x) = x2 sen (x) ln(x)cos(x)

    Resoluo:

    (a) f (x)= 32x+2x( 5

    px3) 2p

    x

    f (x)= 32x1+2x x3/52x1/2

    f (x)= 32x1+2x8/52x1/2

    f (x)= 32x2+ 16

    5x x3/5+x3/2 = 3

    2x2+ 16

    55px3+ 1

    3px2

    (b) f (x)= t33tt55t (t

    22t )

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 28

  • Derivadas

    Utilizando a regra do quociente:

    f (t )= (t55t )(5t48t39t2+12t ) (t52t43t3+6t2)(5t45)

    (t55t )2

    f (t )= 2t8+6t718t620t5+30t4+30t330t2

    (t55t )2

    (c) f (x)= x2 sen (x) ln(x)cos(x)

    Utilizando a regra do produto:

    f (x)= 2x sen x+x2 cosx(

    1

    xcosx+ lnx sen x

    )f (x)= sen x(2x+ lnx)+cosx(x21/x)

    11. Suponha que a curva y = x4+ax3+bx2+cx+d tenha uma reta tangentequando x = 0 com equao y = 2x+1 e, uma reta tangente quando x = 1com equao y = 23x. Encontre os valores de a,b,c ed .Resoluo:

    f (0)= 2; f (1)=3

    f (x)= 4x3+3ax2+2bx+ c

    f (0)= c = 2f (1)= 3a+2b =9

    f (0)= d = 1f (1)= a+b =5{

    3a+2b = 9a+b = 5

    a = 1; b =6

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 29

  • Derivadas

    12. Se f (x)= ex g (x), em que g (0)= 2 e g (0)= 5. correto dizer que f (0) :(a)7 (b)2 (c)5 (d) 10

    Resoluo:

    f (x)= exg (x)+exg (x); f (0)= e0g (0)+e0g (0)f (0)= 2+5= 7Resposta: letra (a)

    13. Encontre um polinmio de segundo grau P tal que P (2) = 5,P (2) = 3 eP (2)= 2.Resoluo:

    P (x) = ax2+bx+ cP (x) = 2ax+bP (x) = 2a

    P (2) = 4a+2b+ c = 5P (2) = 4a+b = 3P (2) = 2a = 2a = 1

    4+b = 3 b =1

    42+ c = 5 c = 3

    14. Encontre as derivadas das funes dadas.

    (a) f (x) = (3x51)10(2x4)(b) f (s) = ln(e5s3)

    (c) f () = 2cos2() sen ()(d) f (x) = ln( sen 2(x))

    Resoluo:(a) f (x)= (3x51)10(2x4)

    Obs. Utiliza-se a regra da cadeia e a do produto.

    10(3x51)9(15x4)(2x4)+ (3x51)10 4x3

    (b) f (s)= ln(e5s3)5e5s3

    e5s3= 5

    (c) f ()= 2cos2() sen ()f () = 4cos() sen () sen ()+2cos2()cos()

    = 4cos() sen 2()+2cos3()(d) f (x)= ln( sen 2(x))

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 30

  • Derivadas

    1

    sen 2(x)2 sen (x)cos(x)= 2cosx

    sen x= 2cotx

    15. Usando a regra da cadeia, determine y , sendo:(a) y = (3x+5)50(b) y = 1

    (x3+3x26x+4)

    (c) y = sec2[(x36)3](d) y = 1

    x(x+1)Resoluo:

    (a) y = (3x+5)50y = 50(3x+5)49 3= 150(3x+5)49

    (b) y = 1x3+3x26x+4 = (x

    3+3x26x+4)1

    y = (x3+3x26x+4)2 (3x2+6x6)= (3x3+6x6)

    (x3+3x26x+4)2

    (c) Derivada tabelada:d secx

    dx= secx tanx

    y = sec2[(x36)3]y = 2sec[(x36)3] sec[(x36)3] tan[(x36)3] 3(x36)2 3x2y = 18x2 sec2[(x36)3] tan[(x36)3](x36)2

    (d) y = 1x(x+1) = [x(x+1)]

    1

    y = [x(x+1)]2 [(x+1)+x]= (2x+1)

    [x(x+1)]216. Seja f uma funo derivvel e g (x)= ex f (3x+1). Cacule g (0) se f (1)= 2

    e f (1)= 3.g (x) = ex f (3x+1)g (x) = ex f (3x+1)+ex f (3x+1) 3g (0) = e0 f (1)+e0 f (1) 3= 2+9= 11

    17. A curva y = 1/(1+x2) chamada bruxa deMaria Agnesi.

    (a) Encontre uma equao da reta tangente e uma equao da reta normapara essa curva no ponto (1, 12 ).(b)Ilustre a parte (a) fazendo o grfico da curva e das retas tangentes enormal no mesmo plano.

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 31

  • Derivadas

    Resoluo:

    y = (1+x2)1y = (1+x2)2 2x = 2x

    (1+x2)2Encontrando a reta tangente no ponto (1, 12 )

    f (1)= 2 1(1+ (1)2)2 =

    1

    2

    y 12 = 12 (x (1))

    y 12 = 12x+ 12

    y = 12x+1Encontrando a reta normal no ponto (1, 12 )

    y 12= 1

    f (1)(x+1)

    y 12

    = 2(x+1)

    y 12

    = 2x2

    y = 2x 32

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 32

  • Derivadas

    Figura 2.3: Grfico da curva bruxa Maria Agnesi e das retas tangente e normalno ponto (1, 12 ).

    18. Calcule a derivada de:

    (a) y = 3p3x1(b) z(x) = ln(x26)Resoluo:

    (a) y = 3p3x1= (3x1)1/3y = 16 3(3x1)

    23 6 3

    y = 13

    (3x1)2

    (b) z(x)= ln(x26)

    z (x)= 1x26 2x =

    2x

    x2619. Calcule as derivadas das funes:

    (a) y = 5x1

    (b) y = log5(x2)

    (c) y = ln( xx+1

    )

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 33

  • Derivadas

    Resoluo:

    Dica:d(loga x)

    dx= 1x lna

    (a) y = 5(x1)ln y = ln5(x1)ln y = (x1)ln5

    1

    y y = ln5y = y ln5y = 5(x1) ln5

    (b) y = log5(x2)

    y = 1x2 ln5

    2x = 2x ln5

    (c) y = ln( xx+1

    )= lnx ln(x+1)

    y = 1x 1x+1 =

    1

    x2+x

    20. Calcule y se:

    (a)y =

    1 tan2(x)

    (b)y = x cot(2x)

    (c)y = tan(sec(x2))

    Resoluo:

    Derivadas tabeladas:

    d(tanx)

    dx= sec2 x; d(secx)

    dx= secx tanx

    (a)y =

    1 tan2(x)= (1 tan2 x) 12

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 34

  • Derivadas

    y = 16 2(1 tan2 x)

    12 [ 6 2tanx sec2 x]

    y = tanx sec2 xp

    1 tan2 x(b)y = x cot(2x)

    y = cot(2x)2cossec2(2x)(c)y = tan(sec(x2))

    y = sec2[sec(x2)] sec(x2) tan(x2) 2x

    21. Encontre:d99

    dx99( sen x)

    Resoluo:

    d

    dxsen x = cosx

    d2

    dx2sen x = sen x

    d3

    dx3sen x = cosx

    d4

    dx4sen x = sen x

    d5

    dx5sen x = cosx

    99 43 24

    d99

    dx99( sen x) = d

    3

    dx3( sen x)

    = cosx22. Encontre constantes A e B de forma que a funo y = A sen x +B cosx

    satisfaa a equao diferencial y + y 2y = sen x.Resoluo:

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 35

  • Derivadas

    y = A cosxB sen xy = A sen xB cosx

    A sen xB cosx+ A cosxB sen x2A sen x2B cosx = sen x(3AB) sen x+ (A3B)cosx = 1 sen x+0cosx

    { 3AB = 1A3B = 0

    A = 310

    ; B = 110

    23. Achey

    xpor derivao implicita de x2+ y2 = 16

    Resoluo:

    2x+2y y = 02y y = 2x

    y = 6 2x6 2y

    y = xy

    24. Ache uma equao da reta tangente curva 16x4+y4 = 32 no ponto (1,2).Resoluo:

    Derivando a curva:

    64x3+4y3 y = 04y3y = 64x3

    y = 64x3

    4y3=16x

    3

    y3

    y (1,2)=2Equao da reta tangente:

    y 2 = 2(x1)y 2 = 2x+2

    y = 2x+4

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 36

  • Derivadas

    25. Ache uma equao da reta normal curva x2+xy+ y23y = 10 no ponto(2,3).

    Resoluo:

    2x+ y +xy +2y y 3y = 0(x+2y 3)y = 2x y

    y = 2x yx+2y 3

    y (2,3)= 75

    Equao da reta normal:

    t t0 = 1y

    (xx0)

    t 3 = 57

    (x2)

    t 3 = 57x 10

    7

    t = 57x11

    7

    26. Use a derivao logartmica para encontrar as derivadas das seguintesfunes:

    (a) y = (2x+1)5(x43)6

    (b) y =

    x1x4+1

    (c) y = xx(d) y = xcosx

    Resoluo:

    (a)y = (2x+1)5(x43)6ln y = ln[(2x+1)5(x43)6]ln y = ln(2x+1)5+ ln(x43)6ln y = 5ln(2x+1)+6ln(x43)

    1

    y y = 10

    2x+1 +24x3

    x43y = [(2x+1)5(x43)6]

    [10

    2x+1 +24x3

    x43]

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 37

  • Derivadas

    (b)y =

    x1x4+1

    ln y = ln[(

    x1x4+1

    )1/2]

    = 12

    ln

    (x1x4+1

    )

    = 12

    [ln(x1) ln(x4+1)]

    1

    y y = 1

    2(x1) 4x3

    2(x4+1)

    y =

    x1x4+1

    [1

    2(x1) 4x3

    2(x4+1)]

    (c)y = xx

    y = xxln y = lnxxln y = x lnx

    1

    y y = lnx+x 1

    x

    y = y [lnx+1]y = xx [lnx+1]

    (d)y = xcosx

    ln y = ln(xcosx)ln y = cosx lnx1

    y y = sen x lnx+ cosx

    x

    y = xcosx[cosx

    x sen x lnx

    ]27. Seja f (x)= a+b cos(2x)+ c cos(4x), onde a,b,c R. Sabendo que f ( pi2) =

    1, f (0) = f (0) = f (0) = f (3)(0) = 0 e que f pode ser escrita na formaf (x)= sen n(x),n N, determine a,b,c en.Resoluo:

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 38

  • Derivadas

    f (x) = a+b cos(2x)+ c cos(4x)f (x) = b2 sen (2x)4c sen (4x)f (x) = 4b cos(2x)16c cos(4x)f (3)(x) = 8b sen (2x)+64c sen (4x)

    f (0) = 4b16c = 0f (0) = a+b = c = 0

    f (pi/2) = ab+ c = 1Resolvendo o sistema acima:

    a = 38

    ; b = 12

    ; c = 18

    f (x) = 38 1

    2cos(2x)+ 1

    8cos(4x)

    = 38 1

    2(cos2 x sen 2x)+ 1

    8cos(4x)

    = 38 4

    8(12 sen 2x)+ 1

    8cos(4x)

    = 18+ sen 2x+ 1

    8cos(4x)

    1

    8cos4x = 1

    8[cos(2x)cos(2x) sen (2x) sen (2x)]

    = 18

    [cos2(2x) sen 2(2x)]

    = 18

    (12 sen 2(2x))

    f (x) = 18+ sen 2(x)+ 1

    8 2

    8sen 2(2x)

    = sen 2x 28

    sen 2(2x)

    sen 2(2x) = ( sen x cosx+ sen x cosx)2= (2 sen x cosx)2= 4 sen 2x cos2 x

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 39

  • Derivadas

    f (x) = sen 2x 28

    (4 sen 2x cos2 x)

    = sen 2x sen 2x cos2 x= sen 2x( 6 1+ 6 1+ sen 2x)= sen 2x sen 2x = sen 4x

    n = 4

    28. Determine a equao da reta tangente e da reta normal curva y = arcsin(x1

    2

    )no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x.

    Resoluo:

    Valor tabelado :d

    dxarcsinx = 1p

    1x2

    Encontrando o ponto onde a curva intersecta o eixo dos x:

    arcsin

    (x1

    2

    )= 0

    x12

    = 0 x = 1

    Ponto : (1,0)

    y = 11(x1

    2

    )2 12y = 1

    2

    Reta tangente:

    y 0= 12

    (x1)

    y = 12x 1

    2

    Reta normal:

    y 0= 11/2

    (x1)

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 40

  • Derivadas

    y =2(x1)y =2x+2

    APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 41

  • REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

    [1] LEITHOLD, L. O Clculo com Geometria Analtica. Vol. 1. 3 ed. So Paulo:Harbra, 1994.

    [2] STEWART, J. Clculo. Vol. 1. 6 ed. So Paulo: Cengage Learning, 2011.

    [3] GUIDORIZZI, H. Um Curso de Clculo. Vol. 1. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC,2012.

    42

    Limites e ContinuidadeDerivadas