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Prof. Nilson Costanilson.mtm@hotmail.comSo Luis 20111

CLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL IProf. Nilson Costanilson.mtm@hotmail.comSo Luis 2012

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Limites das Funes TranscendentesFunes ContnuasComo vimos, quando se trata de funes polinomiais ou racionais, o clculo do limite relativamente simples. A pergunta que surge, naturalmente, a seguinte: existem funes cujo clculo do limite similar ao clculo para funes polinomiais e racionais? A resposta a esta pergunta sim, e as funes que cumprem esta propriedade so denominadas Funes Contnuas. Esta classe de funes formam um importante subconjunto do conjunto das funes, que veremos em detalhes a seguir.

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Funes ContnuasDefinio (Funo Contnua no Ponto). Dizemos que a funo f contnua em a Dom(f ) se,

Exemplo : Seja temos que o . Logo, f contnua em x = 1.

Exemplo : Seja temos que o . Logo, f contnua em x = 0.

Limites das Funes Transcendentes 4

Observao:1. Decorre da definio de funo contnua num ponto que s faz sentido indagar a continuidade de uma funo f em x = a se este ponto pertence ao domnio de f .2. Se f no verifica qualquer uma das condies da definio anterior, dizemos que f descontnua em a ou, simplesmente, que f descontnua.3. A continuidade de uma funo em um ponto indica que o grfico desta no apresenta interrupes nesse ponto. Limites das Funes Transcendentes 5

Exemplo: A funo

descontnua, pois f no contnua em x = 3.

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Exemplo: Seja a funo f definida em R dada por

f no contnua em 1, pois

Limites das Funes Transcendentes

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Observao: Se consideramos a funo f definida por f (x) =(x2 1)/(x 1) sem especificar o seu domnio,fica subentendido que o domnio de f o maior subconjunto dos nmeros reais para os quais (x2 1)/(x 1) faz sentido, ou seja R-{1}. Deste modo, f contnua. De fato,

Exemplo: Seja a funo g uma funo definida por contnua em 2?

Limites das Funes Transcendentes 8

A funo g no contnua em 2, pois no existe o limite de g(x) quando x2. Veja o grfico.

Nota. A definio de continuidade pode ser expressa em funo de e . De fato, limite de f(x) quando xa igual a f (a) significa que: para todo > 0 existe um > 0 tal que se x Dom(f ) e |x a| < , ento |f (x) f (a)| < .

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Proposio (Propriedades das Funes Contnuas). Sejam f e g funes contnuas no ponto a. Ento, as seguintes funes so contnuas em a:

Definio (Funo Contnua num Intervalo). Uma funo f : (c, d) R contnua em (c, d) se contnua em todos os pontos deste intervalo. Nota. Se f uma funo contnua em todos os pontos do seu domnio dizemos, simplesmente, que f contnua.

Limites das Funes Transcendentes 10

Teorema. Uma funo polinomial contnua.Prova: Consideremos f como sendo uma funo polinomial. Pelo Teorema que diz (Seja f uma funo polinomial definida num intervalo real, com valores reais. Ento, lim f(x) = f(a) , o que prova que f contnua. xa Limites das Funes Transcendentes 11

Teorema [do Confronto ou do Sanduche]. Se as funes com valores reais f (x), g(x) e h(x), definidasem R, so tais que f g h e, se

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Teorema. A funo cosseno contnua ou, equivalentemente,

Limites das Funes Transcendentes

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Teorema. A funo tangente contnua. Mais precisamente,

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Alm dos exemplos anteriores, so tambm contnuas:1.As Funes racionais;

2.As Funes secante, cossecante, cotangente;

3.As Funes exponenciais e as Funes logartmicas. Limites das Funes Transcendentes 15

Definio. A funo f contnua direita (resp. esquerda) se est definida para x = a e Se f contnua em (a, b) e em seus extremos, diremos que f contnua no intervalo [a, b].

Proposio (Limite de uma Funo Composta). Sejam I e J intervalos, a I , f uma funo definidaem I , exceto possivelmente em a e

e g contnua em b, ento, temos que:

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Como aplicao direta deste resultado temos:Exemplo: As funes u(x) = ex , g(x) = sen(x), h(x) = cos(x) so funes contnuas em R e afuno s(x) = ln(x) contnua em (0,+). Se ento:

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Exemplo:

Exemplo:

Exemplo:

Limites das Funes Transcendentes 18

Teorema. [Continuidade da Funo Composta] Se a funo g contnua em a e a funo f contnua em g(a), ento a funo composta (f g)(x) = f (g(x)) contnua em a.

Limites das Funes Transcendentes 19

Exemplo: A funo f (x) = |x3 + 5x + 3| uma funo contnua em R, pois f a composta da funo h(x) = x3 + 5x + 3 com a funo g(x) = |x|. Limites das Funes Transcendentes 20

1-Verifique se a funo uma funo contnua em R. Soluo: Sim.

2-Determine, se possvel, as constantes reais a e b de modo que f seja contnua em 3, sendo

Soluo: a = 4 e b = 13/9 .

Exerccios Propostos

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3- Determine, se possvel, a constante real k de modo que f seja contnua em a, sendo Soluo: k = 6.4- Para cada funo f a seguir, verifique se f contnua em x0 = a.

Soluo:(a) No; (b) Sim.

Exerccios Propostos 22

5- Determine, se possvel, b R para que exista lim f(x), sendo:xa

Soluo: b = 10.6- Determine o valor de b R para que f seja contnua em a = 1, sendo

Soluo: b = 1.

Exerccios Propostos 23

7- Investigue a continuidade nos pontos indicados

Exerccios Propostos

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Exerccios Propostos

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Exerccios Propostos

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8- Calcule p de modo que as funes abaixo sejam contnuas.

Exerccios Propostos

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[1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de clculo. 5.ed. So Paulo: LTC, 2001.

[2] THOMAS, George B. Clculo. v.1. 10.ed. So Paulo: Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 8588639068.

[3] STEWART, James. Clculo. v.1. So Paulo: Thomson Learning, 2005. ISBN: 8522104794.

[4] LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica. v.1. So Paulo: Harbra, 1994.

Referncias Bibliogrficas 2728

[5] FLEMMING, Diva Marlia. Clculo A. 5a edio. So Paulo: Makron Books Ltda., 1.992.

[6] HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 9788521616023.

[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Clculo com aplicaes. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333.

[8] ANTON, Howard. Clculo: Um Novo Horizonte Vol. 1. 6a edio. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.

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Referncias Bibliogrficas 28