2.5- limites fundamentais - para alunos

Slide 1

Prof. Nilson Costa

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So Luis 2011

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CLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I

Prof. Nilson Costa

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Limites Fundamentais


Outros limites importantes que aparecem com muita frequncia, so os chamados limites fundamentais

que discutiremos a seguir.

Teorema. [Limite Trigonomtrico Fundamental]

Considere a funo f : R R definida por

f (x) = sen(x)/x . Ento,

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Esse limite trata de uma indeterminao do tipo 0/0. Como as funes sen(x) e x so mpares, nota-se que a funo f (x) =sen(x)/x par, ou seja, f (x) = f (x), x Dom(f ). De fato,

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Exemplo: Mostre que

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Soluo:

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Exerccios Propostos

Exemplo: calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

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Exerccios Propostos

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Exerccios Propostos

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Exerccios Propostos

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Limite Exponencial Fundamental

Motivao: dvida de R$ 1.00 a 100% ao ano

Valor do dinheiro considerando 1 perodo de 12 meses: 1 + 1 = 2:

Valor do dinheiro considerando 2 perodos de 6 meses:

Valor do dinheiro considerando 3 perodos de 4 meses:

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Valor do dinheiro considerando n perodos de 12/n meses:

o valor justo do pagamento um emprstimo de R$ 1.00 a 100% ao ano aps 1 ano deveria ser de

e = 2,718281828459045235 ... reais.

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Teorema:[do Limite Exponencial Fundamental] Considere a funo f : R \ [1, 0] R definida por

Ento

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Tomando valores cada vez maiores para x, temos:

Tomando valores cada vez menores para x, temos:

Observe que quando x cresce ou decresce indefinidamente, a funo f assume valores cada vez mais prximos de e 2, 7182818. Desta forma, escrevemos

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A prova direta deste teorema pode ser encontrada em [4]. No entanto, vamos fazer uma prova usando o Teorema de LHospital que veremos mais adiante.

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Exemplo: Determine:

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Exerccios Propostos

Exemplo: Calcule os limites seguintes:


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Exerccios Propostos


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Exemplo: Sabemos que se uma determinada quantia L0 investida a uma taxa i de juros compostos, capitalizados n vezes ao ano, o saldo total L(T), aps T anos dado abaixo. Se os juros forem capitalizados continuamente, o saldo dever ser:

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Teorema. Considere a funo f : R R definida por

Ento,

Prova: Seja t = ax 1. Assim, somando 1 a ambos os membros, temos, ax = t + 1.

Segue que, ln(ax ) = ln(t + 1). Aplicando-se uma propriedade do logaritmo, x ln(a) = ln(t + 1).

Isolando-se a varivel x, temos, x = ln(t + 1)/ln(a). Observe que quando x 0 temos que t 0 e:

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O nmero e tem grande importncia em diversos ramos das cincias, pois, est presente em vrios fenmenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, desintegrao radioativa (datao por carbono), circuitos eltricos, etc. Na rea de economia, aplicado no clculo de juros.

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Exerccios Propostos


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Foi o Matemtico Ingls John Napier (1.550 1.617) o responsvel pelo desenvolvimento da teoria logartmica utilizando o nmero e como base. O nmero e irracional, ou seja, no pode ser escrito sob forma de frao, e vale, aproximadamente, 2, 7182818.

Como o nmero e encontrado em diversos fenmenos naturais, a funo f(x) = ex considerada uma das funes mais importantes da matemtica, merecendo ateno especial de cientistas das diferentes reas do conhecimento humano.

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TEOREMAS SOBRE LIMITES

Teorema. [do Valor Intermedirio]- Se f uma funo contnua no intervalo [a, b] e f (a) < c < f (b)

(ou f (a) > c > f (b)), ento existe um nmero

x0 (a, b) tal que f (x0) = c.

Vejamos algumas aplicaes deste teorema.

Seja f : [1, 1] R tal que f (x) = x3 cos(x) + 1, ento f assume o valor 3/2 . De fato, f contnua e

1 = f (1) < 3/2< f (1) = 3. Logo, segue do teorema do valor intermedirio que existe um x0 (1, 1) tal que f (x0) =3/2 . Veja no grfico.

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Corolrio: Seja f : [a, b] R uma funo contnua. Se f (a) e f (b) tem sinais opostos, ento existe um nmero c (a, b) tal que f (c) = 0.


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Nota: Este resultado pode ser usado para localizarmos as razes de um polinmio de grau mpar. De fato, seja f (x) = anxn + an1xn1 + . . . + a0 uma funo polinomial de grau n mpar, ai R. Para os valor de x que so diferentes de zero podemos escrever:

Como

ento


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pois n mpar. Logo, existem x1 e x2 tais que

f (x1) < 0 e f (x2) > 0. f contnua no intervalo

[x1, x2]; pelo corolrio existe um nmero c (a, b) tal que f (c) = 0.

Exemplo: Verifique que a equao x3 x = 1 possui pelo menos uma soluo.

Soluo: Primeiro, observemos que, considerando a funo f (x) = x3x, estamos querendo saber se a equao f (x) = 1 tem soluo.


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Como f contnua em R, sabemos que contnua em qualquer intervalo [a, b].

Assim, usando o teorema do valor intermedirio, garantimos que essa equao tem soluo, e suficiente encontrarmos os nmeros a e b com a propriedade do nmero 1 estar entre f (a) e f (b). De fato, note que f (0) = 0 e f (2) = 6.

Como f (0) < 1 < f (2) e f contnua no intervalo

[0, 2], usamos o teorema com a = 0, b = 2 e c = 1, para concluir que existe x0 [0, 2] tal que f (x0) = 1, isto , a equao x3 x = 1 tem pelo menos uma soluo no intervalo [0, 2].


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Definio: Uma funo f chamada limitada, se existe uma constante M R, tal que |f (x)| M,

x Dom(f ), isto M f (x) M, x Dom(f ). Em outras palavras, f possui o conjunto imagem contido num intervalo de extremos reais.

Exemplo: As funes sen(x) e cos(x) so limitadas em todo R, pois, a imagem de cada uma o intervalo

[1, 1].

Funes limitadas

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Exemplo:

Funes limitadas

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Exemplo:

Funes limitadas

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Exemplo:

Funes limitadas

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Exemplo:

Funes limitadas

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Exemplo:

Funes limitadas

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O teorema do anulamento.

Exemplo:

Soluo:

O teorema do anulamento

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Limites

AGORA A SUA VEZ BONS ESTUDOS

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[1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de clculo. 5.ed. So Paulo: LTC, 2001.

[2] THOMAS, George B. Clculo. v.1. 10.ed. So Paulo: Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 8588639068.

[3] STEWART, James. Clculo. v.1. So Paulo: Thomson Learning, 2005. ISBN: 8522104794.

[4] LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica. v.1. So Paulo: Harbra, 1994.

Referncias Bibliogrficas

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[5] FLEMMING, Diva Marlia. Clculo A. 5a edio. So Paulo: Makron Books Ltda., 1.992.

[6] HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 9788521616023.

[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Clculo com aplicaes. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333.

[8] ANTON, Howard. Clculo: Um Novo Horizonte Vol. 1. 6a edio. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.

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Referncias Bibliogrficas

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