2- limites definição infinitos - para alunos

Slide 1

Prof. Nilson Costa

[email protected]

So Luis 2011

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CLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I

Prof. Nilson Costa

[email protected]

So Luis 2012

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Limites Infinitos

Para ajudar a explicar o mistrio do infinito, Hilbert criou um exemplo de infinito conhecido como Hotel de Hilbert. Este hotel hipottico tem o desejvel atributo de possuir um numero infinito de quartos.

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Um dia um novo hospede chega e fica desapontado ao ser informado de que, apesar do tamanho infinito do hotel, todos os quartos esto ocupados.

Existe um Hotel que infinito com um infinito nmero de quartos.

O Hotel est cheio todos os quartos ocupados.

Chega um novo hspede. Ser que ele tem lugar no hotel?

Se pensarmos de forma regular, ento se o hotel est cheio, o novo hspede no tem lugar.

Limites Infinitos

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No entanto, como o Hotel tem um nmero infinito de quartos, o gerente do hotel pede a todos os hspedes para se mudarem para o quarto adjacente um nmero acima: o hspede no quarto 1 muda-se para o 2, o que estava no 2 muda-se para o 3, e assim sucessivamente.

Assim, o novo hspede cabe no quarto 1.

Todos os que estavam no Hotel continuam hospedados. E o novo hspede tambm fica agora com um quarto.

Ou seja, apesar do Hotel estar cheio, ao mesmo tempo cabe sempre mais um.

Limites Infinitos

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Matematicamente, isto quer dizer que infinito mais um igual a infinito!

Na noite seguinte Hilbert precisa lidar com um problema ainda maior. O hotel continua cheio quando um veculo infinitamente grande chega com um numero infinito de novos hospedes.

Hilbert no se deixa abalar e esfrega as mos de contentamento pensando na quantidade infinita de dirias.

Ele pede a todos os seus hospedes anteriores que para que se mudem para os quartos cujos nmeros sejam o dobro do numero do quarto anterior.

Limites Infinitos

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Assim, o hospede do quarto 1 se muda para o quarto 2, o hospede do quarto 2 se muda para o quarto 4, e assim por diante.

Todos aqueles que se encontravam no hotel continuam alojados e, no entanto, um numero infinito de quartos, os de nmeros impares, ficaram vagos para receber os recm-chegados. Isto mostra que o dobro do infinito continua sendo infinito.

Os matemticos tiveram que desenvolver todo um sistema de nomenclatura para lidar com as escalas variveis do infinito, e lidar com esse conceito um dos assuntos mais quentes hoje em dia.

Limites Infinitos

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Fonte: SINGH, Simon. O ltimo teorema de Fermat: a histria do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo por 358 anos; Traduo de Jorge Luiz Calife. 7 ed. Rio de Janeiro:Record,2000.

Limites Infinitos

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Limites Infinitos

O que acontece com os valores de

quando x se aproxima de 1?

Observe que a funo f(x) no est definida para x= 1. Ou seja, o domnio de f {x R / x 1}. Para determinarmos o limite desejado, vamos recorrer a intuio.

Procedamos como segue:

Tomemos valores cada vez mais prximos de 1, respectivamente, esquerda e direita.

Temos:

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Limites Infinitos

O que acontece com os valores de

quando x se aproxima de 1?

Observe que a funo f(x) no est definida para x= 1. Ou seja, o domnio de f {x R / x 1}. Para determinarmos o limite desejado, vamos recorrer a intuio.

Procedamos como segue:

Tomemos valores cada vez mais prximos de 1, respectivamente, esquerda e direita.

Temos:

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Limites Infinitos

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Notemos, nas duas tabelas, que medida que os valores de x tendem a 1, os valores de f (x) so cada vez maiores. Em outras palavras, podemos tornar

f (x) to grande quanto desejarmos, tomando valores

para x bastante prximos de 1. Simbolicamente:

em que o smbolo + (l-se mais infinito) no representa qualquer nmero real, mas indica o que

ocorre com a funo quando x se aproxima de 1. Formalmente, temos:

Limites Infinitos

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Definio. Seja I um intervalo real, com a I , e f uma funo real definida em I-{a}. Ento, dizemos que lim f (x) = +

xa

quando x se aproxima de a e f(x) cresce ilimitadamente, ou seja, quando, para qualquer nmero M > 0, existe um nmero > 0 tal que, se

0 < |x a| < , ento f (x) > M, Ou ainda,

Limites Infinitos

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Tomemos, agora, a funo g como sendo

g(x) = 1/(x 1)2 definida para todo x real e x diferente de 1. Tomemos valores cada vez mais prximos de 1, respectivamente, esquerda e direita. Temos:

Limites Infinitos

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Limites Infinitos

Assim, para a funo g, quando x se aproxima de 1, os valores de g(x) decrescem ilimitadamente.

Simbolicamente,

em que o smbolo l-se menos infinito e no representa nenhum nmero real, mas indica o que

ocorre com a funo quando x se aproxima de 1. Formalmente,

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Limites Infinitos

Definio. Seja I um intervalo real, com a I , e f uma funo real definida em I -{a}. Ento, dizemos

que limf (x) =

xa

quando x se aproxima de a e f(x) decresce ilimitadamente, ou seja, quando, para qualquer nmero M < 0, existe um nmero > 0 tal que, se

0 < |x a| < , ento f (x) < M. Ou ainda,

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Teorema. [Teorema da Conservao do Sinal] Se

lim f (x) = b 0,

xa

ento existe uma vizinhana Va de a, tal que x Va, x a, tem-se f (x) com o mesmo sinal de b.

Teorema. Sejam f (x) e g(x) funes reais. Se

Se lim f (x) = k, k R, e lim g(x) = 0, ento

xa xa

Limites Infinitos

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Exemplo: Calcular o limite

Soluo:

Limites Infinitos

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( Exemplo para facilitar)

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Limites Infinitos

Teorema. Se n um nmero inteiro positivo qualquer, ento:

i)

ii)

, se par

, se impar

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Soluo:

Limites Infinitos

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Propriedades dos Limites Infinitos

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Exemplo: Calcular os limites e

Soluo:


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Exemplo: Calcular o limite e


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Exemplo: Calcular os limites


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Exemplos: Calcule os seguintes limites:

Soluo:

EXECCIOS PROPOSTOS

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Limites no Infinito

Situao Problema

A partir de uma coleta de dados, verificou-se que, daqui a um certo nmero de anos, digamos t anos, a quantidade de construes prediais de um certo pas ser de milhes.

A medida que os anos forem passando e desconsiderando as construes finalizadas o nmero de construes se aproximar de que nmero?

Soluo: Basta calcularmos o limite

quando t .

Vejamos a seguir Limites no Infinito para resolver

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Limites no Infinito

Ampliaremos o que foi exposto com o conceito de limites infinitos que nos d informaes sobre a funo quando os valores de x crescem ou decrescem indefinidamente.

Considere a funo f definida por

f(x) =(x + 1)/(x 1) para todo x real diferente de 1. Atribuindo a x os valores 2, 6, 20, 50, 101, 1.001, 10.001, e assim por diante, de tal forma que x cresa ilimitadamente, conforme mostra a tabela a seguir.

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Soluo: Tomando valores cada vez maiores para x, temos:

medida que x cresce

ilimitadamente, os valores

de (x + 1)/(x 1) se

aproximam cada vez

mais de 1. Desta forma,

podemos escrever

Limites no Infinito

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Formalmente, temos,

Definio. Seja f uma funo definida em R. Temos:

Analogamente,

Limites no Infinito

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Definio. Seja f uma funo definida em R. Temos:

Ateno: procure exemplos para cada um dos tens da definio acima.

Limites no Infinito

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Limites no Infinito

Agora, apresentamos alguns resultados que nos ajudaro a concluir algo sobre o comportamento dos valores de uma funo quando os valores de x crescem (ou decrescem) ilimitadamente, sem, necessariamente termos que construir uma tabela.

Teorema:

Exemplo:

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Limites no Infinito

Teorema:

Exemplo:

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Propriedades dos Limites no Infinito

Teorema:

Teorema:

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Exibiremos, agora, uma tabela contendo as propriedades dos limites no infinito. Note que trocando x + por x as propriedades continuam verdadeiras.

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Como vimos na tabela anterior, muitas vezes aparecem os smbolos:

Estes so chamados smbolos de indeterminao. Quando aparece um destes smbolos no clculo de um limite, nada se pode dizer sobre este limite, isto , ele poder existir ou no, dependendo da expresso da qual est se calculando o limite.

Mostraremos, a seguir, atravs de exemplos, como resolver os limites de funes contendo indeterminaes apresentadas nas propriedades P.10, P.11, P.12 e P.13.

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Limites no Infinito

Calcule os limites:

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EXERCCIOS PROPOSTOS

Calcule os limites:

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EXERCCIOS

Calcule os limites:

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EXERCCIOS PROPOSTOS

Calcule os limites:

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Observao: Se p(x) e q(x) so funes irracionais, o procedimento para o clculo do limite anlogo ao das funes polinomiais e racionais.

Exemplo: Calcular:


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Exemplo: Calcular:

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Aplicao

Situao Problema

A partir de uma coleta de dados, verificou-se que, daqui a um certo nmero de anos, digamos t anos, a quantidade de construes prediais de um certo pas ser de milhes.

A medida que os anos forem passando e desconsiderando as construes finalizadas o nmero de construes se aproximar de que nmero?

Soluo: Basta calcularmos o limite

quando x .

Vejamos

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Da, o nmero de construes ser 10 milhes, ou seja, a medida que o tempo for suficientemente grande o nmero de contrues se aproximar deste valor. Como vemos graficamente:

Aplicao

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Lembra da nossa aplicao inicial

Em uma indstria de So Luis acontece a seguinte situao. A Salmora contendo 30 g de sal por litros de gua bombeada para dentro do tanque (contendo 5000 litros de gua pura) a uma taxa 25 litros/mim. O que acontece com a concentrao quando t aumenta infinitamente (t)?

Aps alguns minutos, 25 litros de soluo salina com 30 g de sal por litro foi bombeada para o tanque,

de modo ele contm (5000+ 25.T) litros de gua 25T.30 = 750t gramas de sal.

Portanto, a concentrao de sal EM FUNO DO tempo ser

Aplicao

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Assim, as abordagens de concentrao de sal que a do salmoura bombeado para o tanque passa a ser de 30g/l.

Aplicao

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Exerccios

Determine:

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Limites

AGORA A SUA VEZ BONS ESTUDOS

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[1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de clculo. 5.ed. So Paulo: LTC, 2001.

[2] THOMAS, George B. Clculo. v.1. 10.ed. So Paulo: Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 8588639068.

[3] STEWART, James. Clculo. v.1. So Paulo: Thomson Learning, 2005. ISBN: 8522104794.

[4] LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica. v.1. So Paulo: Harbra, 1994.

Referncias Bibliogrficas

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[5] FLEMMING, Diva Marlia. Clculo A. 5a edio. So Paulo: Makron Books Ltda., 1.992.

[6] HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 9788521616023.

[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Clculo com aplicaes. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333.

[8] ANTON, Howard. Clculo: Um Novo Horizonte Vol. 1. 6a edio. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.

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Referncias Bibliogrficas

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2- limites definição infinitos - para alunos

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