itens para resolver -...

TRIGONOMETRIA

21

6. Na circunferência trigonométrica da figura ao lado, considere o heptá-

gono regular de lado 1 tal que:

• um dos lados do heptágono coincide com o raio da circunferência e

encontra -se no semieixo positivo Ox ;

• P é um ponto do heptágono pertencente à circunferência;

• Q é um ponto do semieixo negativo Ox ;

• o segmento [OQ] é um raio da circunferência;

• a é a amplitude do ângulo cujo lado origem passa no semieixo positivo

Ox e cujo lado extremidade passa no segmento [OP] .

Qual é, aproximadamente, a área do triângulo [OPQ] ?

(A) 0,191 (B) 0,312 (C) 0,391 (D) 0,512

7. Na circunferência trigonométrica da figura ao lado está representado o

ângulo de amplitude 3p ___ 10 , que tem por lado origem o segmento de reta

[OA] e por lado extremidade o semieixo positivo Oy .

Tal como a figura sugere:

• [OA] é um raio da circunferência;

• B é um ponto do semieixo positivo Ox ;

• o ângulo OBA é reto.

Qual é o valor, arredondado às centésimas, de ‾ AB ?

(A) 0,81 (B) 0,75 (C) 0,63 (D) 0,59

8. Na figura ao lado está representada uma artéria principal do corpo humano,

cuja secção é um círculo com raio R , e uma sua ramificação, mais estreita, cuja

secção é um círculo com raio r .

Seja q å ] 0, p __ 2 [ a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz

com a sua ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares

dos dois cilindros).

Sabendo que r2 = R2 √ ________

cos q , indique, arredondado à centésima do radiano, o

valor de q no caso em que R = √ ___

2 r .

(A) 1,11 (B) 1,18 (C) 1,25 (D) 1,32

Adaptado do Exame Nacional de Matemática, 12.° ano, 2.ª fase, 2007.

Itens para resolver

PE.2011.0018.01.02Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO

DT1_PE12_0201.a prova

13 SET 2013

α

x

y

O

P

Q



13 SET 2013

x

y

O

A

B

�310



13 SET 2013

rθ

R

014_024_Tema2_5P.indd 21 14/08/17 14:58

PREPARAR O EXAME NACIONAL

46

2. Na figura ao lado encontra-se, num referencial o.n. Oxyz , a pirâmide qua-drangular reta [OPQRS] .

Sabe-se que:

• a base é o quadrado [OPQR] de lado 2 e está contida num plano concor-rente ao plano xOy ;

• a área total da pirâmide é igual a 24;

• o ponto P pertence ao eixo Ox ;

• o ponto S pertence ao plano xOz ;

Admita que o ponto R tem cota igual a 1.

2.1 Determine as coordenadas do ponto S .

2.2 Mostre que as coordenadas do ponto Q são (2, - √ ___

3 , 1) .

2.3 Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta SR com o plano xOy .

2.4 Mostre que y + √ ___

3 z = 0 é uma equação do plano POR .

3. O plano a representado parcialmente no referencial o.n. Oxyz da figura ao lado tem de equação x + z = 4 e contém o ponto A(2, 1, 2) .

3.1 Seja r a reta que passa no ponto A e é perpendicular ao plano a . Justifique que esta reta interseta o plano xOy exatamente no eixo Oy .

3.2 Considere agora o plano b definido pela equação 3x - 5y - 3z = 5 . Mostre que a e b são perpendiculares.

3.3 Considere o ponto P , pertencente ao eixo Ox , e o ponto Q , pertencente ao eixo Oz , ambos do plano a . Escreva uma equação vetorial e um sistema de equações paramétricas do plano que contém os pontos A , P e Q .

4. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. Oxyz , o octaedro [OPQRAB] .

Sabe-se que:

• um dos vértices do octaedro é a origem O do referencial;

• a reta AB é paralela ao eixo Oz ;

• o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox ;

• o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy ;

• a altura do octaedro é igual a 6 √ ___

2 .

4.1 Mostre que a aresta do octaedro tem comprimento 6 e que as coordenadas do ponto A são (3, 3, 3 √ ___

2 ) .

4.2 Escreva a equação geral de um plano perpendicular à reta PR e que passa no ponto de coordenadas (3, 4, 5) .

4.3 Escreva a equação geral do plano AQR .

Itens para resolver (CONTINUAÇÃO)

PE.2013.0001.01.01Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO


28 out 2013

O

Q

R

S

P

z

y

x



28 out 2013

O

�A

z

y

x



28 out 2013

O Q

R

A

P

B

z

y

x

025_047_Tema3_5P.indd 46 15/08/17 08:46

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

81

7. O telescópio espacial Hubble é um satélite não tripulado que transporta um grande telescópio para a luz visível e infravermelha e tem, desde 1990, uma órbita elítica em torno da Terra, tal como se representa nas duas figuras seguintes ( H representa o Hubble). Como é óbvio, os ele-mentos dessas figuras não estão na mesma escala.

T4DDT3

Prep Exame Nacional - MAT 12. ano / TEXTO

x

d

H

x

dPeriélioAfélio

H

Figura 2Figura 1

Tal como se pode observar na elipse da Figura 1, estão assinalados dois pontos:

• o afélio, que é o ponto da órbita do Hubble mais afastado do centro da Terra;

• o periélio, que é o ponto da órbita do Hubble mais próximo do centro da Terra.

O ângulo de amplitude x radianos, assinalado nas figuras, tem o seu vértice no centro da Terra, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado extremidade passa no Hubble.

Admita que a distância d , em quilómetros, do Hubble à Terra, é dada por d(x) = 625 - 25 cos x , x å [0, 2p[ .

7.1 Determine a distância do Hubble à Terra quando este se encontra no afélio.

Apresente o resultado em quilómetros, arredondado às unidades.

7.2 Num certo instante, o Hubble está na posição indicada na Figura 2.

Sabe-se que distância do Hubble à Terra nesse ponto é igual a 642 quilómetros.

Determine o valor de x , em radianos, arredondado às centésimas.

8. Uma mola está suspensa por uma extremidade, tendo na outra extremidade um corpo C. Após ter sido alon-gada na vertical, a mola inicia um movimento oscilatório no instante t = 0 .

A distância ao solo do corpo C , em metros, é dada em cada instante t , em segundos, pela expressão:

D(t) = 4 + 3 cos (pt + p __ 2 ) para t å [0, 4]

8.1 Determine a distância máxima e a distância mínima do corpo C ao solo.

8.2 Indique o valor da amplitude do movimento do corpo C.

8.3 Determine o período, a frequência e a respetiva fase deste oscilador.

8.4 Determine os instantes, em segundos, em que o corpo C está à distância de 5,5 metros do solo.

9. Um ponto P move-se no eixo das abcissas de forma que a sua abcissa no instante t , em segundos, é dada por:

x(t) = 5 cos ( p __ 8 t) - 5 √ ___

3 sen ( p __ 8 t)

9.1 Prove que se trata de um oscilador harmónico escrevendo x(t) na forma A cos (ωt + φ) , com A > 0, w > 0 e φ å [0, 2p[ .

9.2 Indique a amplitude, o período e a frequência do movimento, bem como o respetivo ângulo de fase.

Itens para resolver

048_105_Tema4_5P.indd 81 14/08/17 15:11

SUCESSÕES REAIS

117

1. Considere as sucessões (un) e (vn) definidas, respetivamente, por un = 5n + 4 ______ 2n + 1 e vn = (un)n .

Sem usar a calculadora, resolva os itens seguintes.

1.1 Prove, usando a definição, que lim un = 5 __ 2 . 1.2 Calcule lim vn .

2. Calcule, se existirem:

2.1 lim 4n3 + 6n2 - 1000 _____________________ 3n3 + 3n2 + 22n + 1000 2.2 lim 3

√ __________________

1 - 16n4 ___________ 2n4 + 5n2 + 3

2.3 lim 3n + 3n + 2

__________ 4n + 4n - 1 2.4 lim [5n (- 1)n + 7 _______ n2 - 40 ]

2.5 lim an , sendo an =

⎧

⎪ ⎨

⎪

⎩

( 4n - 1 ______ 6n + 3 )

n

se n < 1020

cos n _____ n + 7 - 4

se n ≥ 1020

2.6 lim ( √ ________

16 n 2 + 2n - 4n)

2.7 lim un , sabendo que, para n ≥ 12 , un ≥ n __ √

__ n 2.8 lim vn , sabendo que, para n ≥ 5000, vn ≤

n √ ___

4 - n

2.9 lim sen2 ( pn ___ 10 )

__________ n , usando o teorema das sucessões enquadradas.

2.10 lim n2 + cos n2

___________ 4n2 + 1 , usando o teorema das sucessões enquadradas.

2.11 lim (1 + 2 _____ 3n + 5 ) 6n

2.12 lim (1 + 2n ______ 3 n 2 + 5 ) 6n

2.13 lim ( 4n + 5 _____ 7 - 4n ) n + 1

2.14 lim ( 3 n 2 + 4 ______ 3 n 2 + 2 ) 2 - n 2

2.15 lim ( 5 n 4 + 4 _________ 5 n 4 + 2n + 1 ) 4 n 4

3. Considere a sucessão (an) , de termos positivos, definida por: ⎧

⎪

⎨ ⎪

⎩ a1 = 10

an + 1 = √

__________ 4an - 4 , An å N

3.1 Mostre que (an) é monótona decrescente. 3.2 Justifique que (an) é convergente e calcule lim an .

4. Seja R1 um retângulo de área 1. Dividindo R1 em quatro retângulos iguais, constrói-se o retângulo R2 pintando um dos quatro retângulos mais pequenos. Em cada um dos outros retângulos, procede-se analogamente para construir R3 , e assim sucessivamente.



03 dez 2013

R1



03 dez 2013

R2



03 dez 2013

R3



03 dez 2013

R4 …

Designe por (an) a sucessão que dá a área total da parte pintada do retângulo Rn .

4.1 Escreva a expressão geral de (an) .

4.2 Calcule lim an e interprete o resultado no contexto do problema.

Itens para resolver Itens de construção

106_117_Tema5_5P.indd 117 14/08/17 15:13


186

17.1 Mostre que a área do quadrilátero [ABCD] é dada, em função de q , pela função f definida por:

f(q) = sen (q + p __ 6 )

Percorra sucessivamente as seguintes etapas:

• escreva uma expressão, em função de q , para a área do triângulo [BCD] ;

• identifique, no triângulo [ABD] , a amplitude q ;

• escreva uma expressão, em função de q , para a área do triângulo [ABD] ;

• mostre que f(q) é a área pedida.

17.2 Sem usar a calculadora, determine o valor de q para o qual é máxima a área do quadrilátero [ABCD] .

18. Na figura seguinte está representada a trajetória de uma bola, depois de ter sido pontapeada por um atleta.

PS

B

x

h(x)

Seja h uma função de domínio [0, p] , definida por h(x) = 2,2 [p sen (0,5x) - x] .

Admita que h dá a altura, em metros, da bola ao solo em função da amplitude x , em radianos, do ângulo SPB ( S é o ponto de saída da bola, P é um ponto fixo do solo e B é o ponto onde se encontra a bola).

18.1 Mostre que se o ângulo SPB for reto, a altura da bola será, em metros, igual a 1,1p( √ ___

2 - 1) .

18.2 Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permita resolver o seguinte problema:

Quais são os valores para a amplitude, em radianos, do arco SPB , para que a altura da bola seja igual a 1 metro?

Apresente todos os elementos recolhidos da utilização da calculadora, nomeadamente o(s) gráfico(s) obtido(s). Apresente também os resultados na forma de dízima, arredondados às centésimas.

18.3 Num certo instante em que x < p __ 2 , a bola encontra-se a uma distância do ponto P que é igual ao dobro da distância da projeção da bola no solo (ponto R , como se pode ver na figura ao lado) a esse ponto P .

Qual é a altura da bola nesse instante? Apresente o resultado em metros, arre-dondado às centésimas.

18.4 Recorrendo a métodos analíticos, determine a altura máxima que a bola atinge, apresentando o resul-tado em metros, arredondado às centésimas.

Nota: nos cálculos intermédios, conserve pelo menos duas casas decimais.

18.5 Considere agora a função f de domínio ]0, p] , definida por f(x) = h(x)

____ x .

Sem recorrer à calculadora, estude-a quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico.

Preparação Exames − Mat. 12ª

DT_218 — 1.ª prova

19/05/2011

RCoelho

P

2d

d

xR

B


156_200_Tema7_5P.indd 186 14/08/17 15:22


148

22. Na figura ao lado está representada parte do gráfico da função f , cujo domínio é R .

As retas de equações y = 2x + 4 e y = - 2x + 4 são assíntotas ao gráfico de f .

Qual é o valor de lim x " - ∞

f(x)

____ x ?

(A) + ∞ (B) 2 (C) - 2 (D) - ∞

23. Acerca da função h , de domínio R , sabe-se que:

• lim x " 0+

h(x) 0 lim x " 0-

h(x) ;

• o seu gráfico admite apenas duas assíntotas de equações x = k e y = k , sendo k um número real.

Qual dos gráficos cartesianos seguintes pode representar a função h num referencial o.n. xOy ?

(A) (B)

Dt_408

2.ª prova

Preparar o Exame Mat. 12°

15/10/2011

Bruno Fragoso

x

y

O

Dt_409

2.ª prova


15/10/2011

Bruno Fragoso

x

y

O

(C) (D)

Dt_410

2.ª prova


15/10/2011

Bruno Fragoso

x

y

O

Dt_411

2.ª prova


15/10/2011

Bruno Fragoso

x

y

O

24. Na figura seguinte está representada parte do gráfico da função f , de domínio R \ {2} .

Dt_413

2.ª prova


15/10/2011

Bruno Fragoso

x

y

Of

2

2

Tal como a figura sugere, as retas de equações x = 2 e y = 2 são assíntotas ao gráfico de f .

24.1 Considere a sucessão (un) definida por un = ln n3 ______ n . Qual pode ser o valor de lim f(un) ?

(A) - ∞ (B) - 0,3 (C) 1,6 (D) 2

24.2 Considere a sucessão (vn) definida por vn = - 3 · en · n- 15 . Qual é o valor de lim f(vn) ?

(A) - ∞ (B) - 0,3 (C) 0 (D) 2

Dt_405

2.ª prova


15/10/2011

Bruno Fragoso

x

y

f

O


118_155_Tema6_5P.indd 148 14/08/17 15:16

DERIVADAS DE FUNÇÕES

199

10. Acerca da função g , de domínio [0, π] , sabe-se que a expressão da primeira derivada, também de domínio [0, π] , é dada por:

g’(x) = x – cos (2x)

Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes.

10.1 Calcule o valor de lim x " 0

g (x + p __ 2 ) - g ( p __ 2 )

_______________ x .

10.2 Seja r a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 0. Sabe-se que r passa no ponto de coorde-nadas (0, 2) e num outro ponto de ordenada 6. Qual é a abcissa desse ponto?

10.3 Sabe-se que, no intervalo [0, p __ 2 ] , o gráfico da função g’ interseta num só ponto o gráfico da função h definida por:

h(x) = 2x + 1 ______ 2 Determine as coordenadas desse ponto.

10.4 Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e determine as abcissas dos pontos de inflexão.

11. Um projétil foi lançado verticalmente e a respetiva altura h , em metros, acima do solo é dada, em função do tempo decorrido t , em segundos, após o instante inicial t = 0 , por h(t) = - 4,9 t 2 + 44,1t + 5 .

11.1 Determine, em km/h, a velocidade média do projétil nos dois primeiros segundos.

11.2 Determine, em km/h, a velocidade do projétil nos instantes t = 2 e t = 4 .

11.3 Entre o instante inicial e o instante t = 4 , qual foi a velocidade máxima atingida pelo projétil? Qual foi a sua aceleração nesse instante?

12. Um ponto P desloca-se, durante alguns segundos, sobre uma reta numérica cuja unidade é o centímetro. A abcissa de P (nessa reta) da respetiva posição no instante t , em segundos, é dada por:

p(t) = 4 t 3 - 2 t 2 + 3t + 2

12.1 Determine, em centímetros por segundo, a velocidade média de P :

12.1.1 nos primeiros três segundos;

12.1.2 entre os instantes t = 2 e t = 6 .

12.2 Determine, em centímetros por segundo, a velocidade de P nos instantes t = 1 e t = 3 .

12.3 Determine, em centímetros por segundo ao quadrado, a aceleração média de P :

12.3.1 nos primeiros cinco segundos;

12.3.2 entre os instantes t = 3 e t = 10 .

12.4 Determine, em centímetros por segundo ao quadrado, a aceleração de P no instante t = 3 .

12.5 Supondo que o ponto esteve em movimento entre os instantes t = 0 e t = 3 , em que instante, em segun-dos, o ponto atingiu a velocidade mínima? Qual foi a aceleração do ponto nesse instante?

Itens para resolver

156_200_Tema7_5P.indd 199 14/08/17 15:22

PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA

243

6. Considere o conjunto A = {0, 1, 3, 5, 8} .

6.1 Quantos números naturais distintos, menores do que 5000, é possível escrever com os elementos de A ?

6.2 Quantos números naturais distintos, com quatro algarismos diferentes, é possível escrever com os elementos de A ?

6.3 Admita que numa urna estão cinco cartões, indistinguíveis ao tato, cada um com um dos algarismos do conjunto A . Extraem-se, ao acaso, dois cartões da urna.

Calcule a probabilidade de os algarismos serem ambos ímpares nas duas situações seguintes: se a extra-ção for com reposição e se a extração for sem reposição.

6.4 Suponha que, na urna anterior, foram acrescentados mais alguns cartões. Sabe-se que agora existem 756 maneiras de se extraírem dois quaisquer cartões diferentes, um de cada vez e sem reposição.

Quantos cartões foram acrescentados?

7. Uma caixa tem dez bombons de café e outros de chocolate. A Isilda pretende comê-los todos, um de cada vez.

7.1 Suponha que a caixa tem 20 bombons de chocolate. Verifique que a probabilidade de a Isilda comer os dez

bombons de café consecutivamente é igual a 21! * 10! ________ 30! .

7.2 Suponha agora que a caixa tem n bombons de chocolate. Prove que a probabilidade de a Isilda comer os

dez bombons de café consecutivamente é dada por n + 1 _______ n + 10C10

.

8. Na figura seguinte está representado o prisma quadrangular regular [OPQRSTUV] .

Preparação Exames − Mat. 12ª

DT_007 — 1.ª prova

14/05/2011

RCoelho

QP

T U

S V

RO

8.1 Considere que dispomos de cinco cores (amarelo, branco, castanho, azul e encarnado) para pintar a base superior e as quatro faces laterais desse prisma.

Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas essas faces, de modo que:

• duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes;

• duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor.

8.2 Escolhidos três vértices ao acaso do prisma, qual é a probabilidade de definirem um triângulo que contenha o ponto P ?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Itens para resolver

212_258_Tema9_5P.indd 243 14/08/17 15:29


280

29. No plano complexo da figura seguinte está representado o trapézio retângulo [OPQR] .

Dt_533

2.ª prova


15/10/2011

Bruno Fragoso

O

PQ

R

Im (z)

Re (z)

Sabe-se que:

• o ponto O é a origem do referencial;

• o ponto P é a imagem geométrica do complexo z1 = 3 e i 3p ___ 2

;

• o ponto Q é a imagem geométrica de um complexo z2 ;

• o ponto R é a imagem geométrica do complexo z3 = 5 .

Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes.

29.1 Suponha que Im (z2) = 4 .

Calcule a e b de modo que a + 2bi 45 – 3b = z2 + 2

_____ 1 - 2i .

29.2 Sabendo que a área do trapézio [OPQR] é igual a 17, determine, na forma algébrica, o complexo z2 .

29.3 Calcule, na forma trigonométrica, o número [z1 + 5 + (–1 – 3i )2] (3 – √ ___

3 i) .

30. Na figura ao lado está representado, no plano complexo, uma circunferên-cia de centro na origem.

Sabe-se que:

• o ponto A pertence a essa circunferência e é a imagem geométrica do número complexo w1 ;

• um argumento de w1 é 7p ___ 12 ;

• o ponto B pertence a essa circunferência e é a imagem geométrica do número complexo w2 ;

• α é a amplitude do ângulo POB , onde P é um ponto do semieixo negativo real.

Sem recorrer à calculadora, exceto para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva os itens seguintes.

30.1 Mostre que w1 ___ w2

= e i (a - 5p ___ 12 )

e determine um valor para α de modo que w1 ___ w2

seja um número imaginário puro.

30.2 Considere agora que:

• o número complexo w3 = 2 – 3i 123 é tal que |w3| é o raio da circunferência da figura;

• sen a = 1 __ 2 e a å ] 0, p __ 2 [ ;

• w1 e w2 são raízes consecutivas de índice n do número complexo z .

Escreva w2 e z na forma trigonométrica.Dt_534

1.ª prova


07/07/2011

Bruno Fragoso

O�

A

B

P

7�—12

Im (z)

Re (z)


259_291_Tema10_5P.indd 280 14/08/17 15:39

itens para resolver -...

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