Tema 6 | Sólidos geométricos 125

Exercícios e problemas propostos

1. A fotografia é de uma escultura, o Cubo da Ribeira, noPorto. O cubo tem 2 metros de aresta.Determina:

1.1 o volume do cubo, em m3;

1.2 a área da superfície do cubo, em m2.

2. Na figura ao lado está representado um paralelepípedo e arespetiva planificação.

2.1 Na planificação faltam duas medidas. Qual é a medidarepresentada por a ? E a medida representada por b ?

2.2 Determina:

2.2.1 o volume do paralelepípedo, em cm3;

2.2.2 a área da superfície do paralelepípedo, em cm2.

3. O esquema ao lado é de uma caixa de piza. A caixa tem aforma de um prisma triangular reto. A altura do triângulo em relação à aresta que mede 21 cm é, aproximadamente, 26 cm.

3.1 Classifica o triângulo da base do prisma quanto àmedida dos seus lados.

3.2 Determina o volume da caixa, em cm3.

4. A base da pirâmide reta da figura ao lado é um retângulo.

4.1 Atendendo às dimensões assinaladas na figura, deter-mina o volume da pirâmide, em cm3.

4.2 Qual das opções seguintes pode representar uma pla-nificação reduzida da pirâmide?

Transcreve a letra da opção correta.

(A) (B) (C) (D)

4 cm

b cm

a cm

28 cm

4,5 cm

21 cm

28 cm

6 cm

4 cm

5 cm

3 cm

2 cm

4 cm

PREPARAR A PROVA FINAL | Matemática 9.o ano126

Exercícios e problemas propostos (continuação)

5. A fotografia ao lado é de uma lata cilíndrica de tinta. A lata tem 3,8 dmde altura e a base tem um diâmetro de 2,6 dm.

5.1 Calcula a capacidade da lata, em litros, sabendo que 1 dm3 corres-ponde a 1 litro. Apresenta o resultado aproximado às unidades.

5.2 Os fabricantes da tinta pretendem colocar à volta da lata uma tiraplástica retangular com 1 dm de largura e 8 dm de comprimento. A tira dará uma volta completa à lata? Justifica a tua resposta.

6. O sólido representado na figura ao lado é composto por um prismaquadrangular regular e por uma pirâmide reta de base quadrada.

6.1 Atendendo às dimensões assinaladas na figura, determina ovolume do sólido, em cm3.

6.2 Qual dos seguintes comprimentos deveria corresponder àaltura da pirâmide para que a pirâmide e o prisma tivessem omesmo volume?

Transcreve a letra da opção correta.

(A) 3 cm (B) 6 cm (C) 9 cm (D) 12 cm

7. Em baixo está uma fotografia de um chapéu de aniversário feito em car-tolina e uma planificação esquemática desse chapéu. O chapéu tem a forma de um cone com 20 cm altura, o raio da basemede 7 cm e a geratriz mede 21 cm.

7.1 Determina o comprimento do arco AB , em cm. Apresenta o resultado aproximado às unidades.

7.2 Qual é, aproximadamente, a área da cartolina utilizada na construção do chapéu? Apresentao resultado em cm2, aproximado às décimas.

20 cm

21 cm

B

A

15 cm

3 cm

6 cm

O volume de uma pirâmideé a terça parte do volumede um prisma com base ealtura iguais à pirâmide.

Tema 6 | Sólidos geométricos 127

Exercícios e problemas propostos (continuação)

8. A caixa de chocolates da fotografia seguinte é um prisma triangular regular. O lado do triânguloda base do prisma mede 3,5 cm e a caixa tem 21 cm de comprimento.A área de superfície do triângulo é, aproximadamente, 5,3 cm2.

8.1 Qual é, em cm, a altura do triângulo da base da caixa? Apresenta o resultado aproximado àscentésimas.

8.2 A embalagem da fotografia seguinte tem a forma de um prisma hexagonal regular e é com-posta por seis caixas como as da fotografia acima.Determina o volume da embalagem, em cm3.

8.3 A figura 1 mostra uma embalagem feita de cartão que contém sete caixas de chocolate, a qualjá foi aberta e retirada uma tampa. A figura 2 mostra o modelo geométrico dessa embalagem.Qual é a quantidade mínima de cartão necessária para a embalagem? Mostra como chegasteà tua resposta.

9. A casa da fotografia é esférica e tem 3,2 m de diâmetro.

9.1 Determina a área da superfície da casa, em m2. Apresenta o resultado aproximado às décimas.

9.2 Determina o volume da casa, em m3. Apresenta o resultado aproximado às décimas.

Figura 1 Figura 2

PREPARAR A PROVA FINAL | Matemática 9.o ano128

Exercícios e problemas propostos (continuação)

10. Na fotografia abaixo (figura 1) podes ver um dos vulcões de água da Alameda dos Oceanos, noParque das Nações, em Lisboa. Estes vulcões deitam, periodicamente, jatos de água.Na figura 2 está representado um cone de revolução. A parte colorida desta figura é um esque-ma do sólido que serviu de base à construção do vulcão de água.

As medidas de comprimento indicadas na figura 2 estão expressas em metros.Os comprimentos dos raios das duas circunferências são 1,8 m e 0,6 m, respetivamente.A altura do cone é 6 m.Determina, em metros cúbicos, o volume do sólido colorido representado no esquema.(Se a tua calculadora não possui a tecla , utiliza o valor aproximado 3,14.)Apresenta o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares.Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casasdecimais.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática, 3.o Ciclo, 1.a Chamada, 2006.

Figura 1 Figura 2

1,8

4

20,6

2. ]–3, 13[

3. (C)

4. (B)

5.1 [–2, 3]5.2 [–1,8; 0]5.3 (B)

1.1 ��43

�, + �1.2 2

2.1 Por exemplo, 2x + 50 > 150 , x é o número de pontos obtidos nosegundo jogo.2.2 51

3. (D)

4.1 �– , + �41

��4.2 ��

227� , + �

5. {–2, –1, 0, 1}

6.1 36.2 ]– , 3[ � ]3, + [6.3 1 e 2.

x + y = 301.1 Por exemplo,

x2 – y2 < 180

1.2 Por exemplo, 13 e 17.

2. ]– , 1]

3.1 3, pois A(0, 4) e B(0, 1) .

3.2 � �32

�, + �3.3 ]0, 4] (a abcissa de P varia entre –2 e 0 e a ordenada varia 0 e 4).

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

1.1 8 m3 (= 23)1.2 24 m2 (= 6 22)

2.1 a = 2 , b = 32.2.1 24 cm3 (= 4 3 2)2.2.2 52 cm2 (= 2 4 3 + 2 3 2 + 2 4 2)

3.1 Triângulo isósceles.

3.2 1228,5 cm3 �= 4,5�4.1 40 cm3 �= �

31

� 4 5 6�4.2 (C)

5.1 20 litros ( 1,32 3,8 20 dm3 = 20 l).5.2 Não, porque a base da lata tem um perímetro maior do que 8 dm,cerca de 8,2 dm.

6.1 288 cm3 �= 6 6 3 + �31

� 6 6 15�6.2 (C)

7.1 44 cm ( 2 7)7.2 461,8 cm2 ( 7 21)

8.1 3,03 cm � = 5,3�8.2 667,8 cm3 (= 5,3 21 6)

8.3 735,7 cm3 � 2 21 3,5 + 10,5 21 + 14 21 + 2 3,03�9.1 32,2 m2 ( 4 1,62)

9.2 17,2 m3 � �34

� 1,63�10. 20 m3

Vsólido = Vcone maior – Vcone menor = �31

� 1,82 6 – �31

� 0,62 2

1. 6,8 m2 �aresta �3 �17,6 2,6�2.1 (C)2.2 108 cm2 (= 6 3 + 6 3 + 6 6 + 6 3 + 6 3)

3.1 Quatro cubos.3.2.1 175 76 cm3 (n2 + n = 182 , logo n = 13 ; aresta cubo maior = 2 13 = 26 cm ; volume = 263)3.2.2 Uma torre com 13 cubos tem uma altura de 1,82 m e uma torrede 14 cubos tem uma altura de 210 cm = 2,1 m , logo não existenenhuma torre com 2 metros de altura.

4. 8 cm �aresta = �������

5.1 14,31 m3 �= 2,73 2,81 1,63 + 2,81�5.2 11,87 m2

G�E� 2 = 0,472 + 1,3652 , logo G�E� 1,44Área = 2 [(2,81 + 0,60) (1,44 + 0,30)]

6.1 38,2 cm. Pelo teorema de Pitágoras, A�B� = 9�2� , e portanto,P = 3 9�2� .6.2 60o, porque o triângulo [ABC] é equilátero.

7.1 67,5o �B^QC = = 45o ; Q

^BC = = 67,5o�

7.2 Sim, porque a capacidade do jarro é, aproximadamente, 1,123 dm3 1,1 litros .

8. 1260 cm3

Vsólido = V[ABCDEFGHIJ] – V[KLMNOPQRST] = 1500 – � �2 1500

9. 7,2 m

72,8 = 13 2h + h = 2,4 m

3h = 3 2,4 = 7,2 m

10. 6 bolas.Vdesocupado = V3 bolas

r2 2r n – r3 n = 3 r3

n �2 r3 – r3� = 4 r3

n =

n = 6

1.1 Estritamente paralelos.1.2 (C) 1.3 Plano b .

2.1 FC ou GB .2.2 Por exemplo, plano HGB .2.3 Por exemplo, AB e GC .

3.1 Por exemplo, AD e BC . 3.2 (C)

NÍVEL DE APROFUNDAMENTOPÁGS. 131 a 134

PÁGS. 138 e 139

NÍVEL DE APROFUNDAMENTOPÁG. 118

PÁGS. 125 a 128

PÁG. 117

2,73 0,47��

2

360o�

8180o – 450��

2

1�2,5

13h�

3

4�3

4�3

4�3

4 r3�

�23� r3

21 26��

3

3,5 altura��

2

14 + 10,5��

2

Resoluções 203

576 : 9