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INTEGRAL DEFINIDA APLICAÇÕES Aula 05 – Matemática II – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

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INTEGRAL DEFINIDA

APLICAÇÕES

Aula 05 – Matemática II – Agronomia

Prof. Danilene Donin Berticelli

Variação Total

• Em certas aplicações práticas, conhecemos a taxa de variação 𝑄’(𝑥) de uma

grandeza 𝑄(𝑥) e estamos interessados em calcular a variação total

𝑄(𝑏) − 𝑄(𝑎) de 𝑄(𝑥) quando 𝑥 varia de 𝑥 = 𝑎 até 𝑥 = 𝑏.

• Fizemos isto anteriormente resolvendo problemas de valor inicial.

• Entretanto, como 𝑄(𝑥) é uma antiderivada de 𝑄’(𝑥), o teorema fundamental

do cálculo permite calcular a variação total usando a seguinte fórmula de

integração definida:

Variação Total

• Se Q’(x) é contínua no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, a variação total de Q(x) quando

x varia de x = a até x = b é dada por

𝑄 𝑏 − 𝑄 𝑎 = 𝑄′ 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Exemplo

01) Em uma fábrica, o custo marginal é 3(𝑞 − 4)² reais por unidade quando o

nível de produção é q unidades. Qual é o aumento do custo de fabricação

quando o nível de produção aumenta de 6 para 10 unidades?

C 10 − C 6 = 3 𝑞 − 4 2𝑑𝑞

10

6

Captaram?

02) Uma amostra de proteína de massa m (em gramas) se decompõe em

aminoácidos a uma taxa dada por

𝑑𝑚

𝑑𝑡=

−30

(𝑡 + 3)² 𝑔/ℎ

Qual é a variação da massa da amostra de proteína durante as primeiras 2

horas?

ÁREA ENTRE CURVAS

• Como vimos, uma área pode ser expressa como um tipo especial de limite de

uma soma conhecida como integral definida e calculada com o auxílio do

teorema fundamental do cálculo.

• Esse processo recebe o nome de integração definida, e foi apresentado a

partir do cálculo das áreas porque as áreas são fáceis de visualizar, mas

existem outros problemas práticos, que podem ser resolvidos com o auxílio

da integração definida.

Aplicação da Integral definida

• A integração pode ser imaginada como o processo de “acumular” um

número infinito de pequenos pedaços de uma grandeza para obter o valor

total da grandeza.

• Vejamos o processo para usar integração definida em problemas práticos.

• Para “acumular” uma grandeza Q em um intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 através da

integração definida, faça o seguinte:

Step by step

Divida o intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 em 𝑛 subintervalos iguais de largura ∆𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛. Escolha um número 𝑥𝑗 no

subintervalo para j = 1, 2, ..., n.

Aproxime a contribuição do intervalo 𝑗 para o valor total da grandeza 𝑄 pelo produto 𝑓 𝑥𝑗 ∆𝑥, onde f(x) é uma função apropriada que seja contínua no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 .

Some todos os produtos para estimar o valor total da grandeza Q através da soma de Riemann

[𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 +⋯+ 𝑓𝑥𝑛)∆𝑥

Torne exata a aproximação do 3º passo calculando o limite da soma de Riemann quando 𝑛 → ∞ para expressar Q na forma de uma integral definida:

𝑄 = lim𝑥→ +∞

[𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 +⋯+ 𝑓 𝑥𝑛 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

Use o teorema fundamental do cálculo para calcular 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎 e assim obter o valor desejado de Q.

Área entre duas curvas

• Em certos problemas práticos, pode ser necessário representar a grandeza de

interesse na forma de área entre duas curvas.

Inicialmente, vamos supor que f e g sejam funções contínuas, não-negativas [ou

seja, 𝑓(𝑥) ≥ 0 e 𝑔(𝑥) ≥ 0] e satisfazem a desigualdade 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) no

intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

-10

-5

0

5

10

15

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

g(x)

f(x)

Chamando a área de f(x) de

R1, a área de g(x) de R2 e R

a área entre as duas curvas,

temos:

R = R1 – R2

a b

• Nesse caso, para determinar a área da região R entre as curvas y = f(x) e y =

g(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, simplesmente subtraímos a área sob a curva de

baixo y = g(x) da área sob a curva de cima y = f(x) .

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑅 = á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑦 = 𝑓 𝑥 − á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏 𝑦 = 𝑔 𝑥

= 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Essa expressão é válida se

𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) no intervalo

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, mesmo que as curvas y

= f(x) e y = g(x) não estejam acima

do eixo dos x para todos os valores

de x.

Área entre duas curvas

• Se f(x) e g(x) são funções contínuas, com 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) no intervalo

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, a área A entre as curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo é dada

por:

𝐴 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Exemplo

• 01) Determine a área da região R limitada pelas curvas y = x³ e y = x².

1º passo

Obter os pontos de interseção

x³=x²

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

02) Determine a área da região limitada pela reta y = 4x e pela curva

𝑦 = 𝑥³ + 3𝑥²

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

1º passo

4𝑥 = 𝑥³ + 3𝑥²

Exercícios:

01) Determine a área da região sombreada em cada gráfico:

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = x(x²-4)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 y = x²+1

y = 2x-2

Exercícios

1) Nos problemas abaixo, indique a região R dada e determine sua área:

a) R é a região limitada pelas retas y = x, y = -x e y = 1.

b) R é a região limitada pelo eixo x e a curva y = -x²+4x-3

c) R é a região limitada pelas curvas y = x³-3x² e y = x²+5x.

d) R é o triângulo cujos vértices são os pontos (-4, 0), (2, 0) e (2, 6).

Gráficos

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Valores Y

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Casa

02) A figura mostra uma casa de

campo situada à beira de um

lago. Quando um sistema de

coordenadas é traçado da forma

indicada, a margem do lago pode

ser descrita aproximadamente

por um arco da curva

𝑦 = 10𝑒0,04𝑥 . Supondo que a

casa custe R$ 2.000,00 o metro

quadrado e o terreno do lado de

fora da casa (a região sombreada

da figura) custe R$ 800,00 o

metro quadrado, qual o valor da

propriedade?

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Lago