itens para resolver -...

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO

39

3. Considere a reta r de equação y = 2x - 3 . Quais das seguintes equações representa a reta que contém o ponto de coordenadas (0, 8) e é perpendicular à reta r ?

(A) y = 1 __ 2 x + 8 (B) y = 1 __ 2 x - 8 (C) y = - 1 __ 2 x + 8 (D) y = - 1 __ 2 x - 8

4. Considere a reta s de equação y = 3 __ 2 x + 4 . Quais das seguintes equações representa a reta que contém o ponto de coordenadas (1, 0) e é paralela à reta s ?

(A) y = - 2 __ 3 x + 2 __ 3 (B) (x, y) = (7, 9) + k(3, 2) , k å R

(C) y = 3 __ 2 x + 3 __ 2 (D) (x, y) = (7, 9) + k(2, 3) , k å R

5. Na figura do lado estão, num referencial o.n. xOy , as retas perpendiculares r , de equação y = 1 __ 6 x + 2 , e AB . Tal como a figura sugere, o ponto A pertence ao eixo Oy e à reta r e o ponto B pertence ao eixo Ox .

Qual é o valor da área do triângulo [ABO] ?

(A) 1 __ 2 (B) 1 __ 3 (C) 1 __ 4 (D) 1 __ 5

6. Num referencial o.n. Oxyz , qual das seguintes condições define uma reta paralela ao eixo Ox ?

(A) { y = 0

z = 1

(B) (x, y, z) = k(0, 0, 1) , k å R

(C) x = 1 (D) ⎧

⎪

⎨ ⎪

⎩ x = 1 + k

y = k z = k

, k å R

7. Considere, num referencial o.n. Oxyz , a reta AB .

Sabendo que os pontos A e B têm a mesma abcissa, indique qual das condições seguintes pode definir a reta AB .

(A) ⎧

⎪

⎨ ⎪

⎩ x = 2 + 2k

y = 2k z = 1

, k å R (B) (x, y, z) = (2, 2, 2) + k(2, 0, 0) , k å R

(C) ⎧

⎪

⎨ ⎪

⎩ x = 2 + 2k

y = 0 z = 1 + 2k

, k å R (D) (x, y, z) = (2, 2, 2) + k(0, 2, 2) , k å R

8. Num referencial o.n. Oxyz , a reta r está definida pela equação: (x, y, z) = (- 4, 6, 3) + k(1, 2, - 2) , k å R

Quais são as coordenadas do ponto de interseção de r com o plano yOz ?

(A) (-7, 0, 9) (B) (7, 0, -9) (C) (0, 14, -5) (D) (0, -14, 5)

9. Num referencial o.n. Oxyz , as retas r e s são perpendiculares. Sabe-se que:

• a reta r está definida pela condição (x, y, z) = (-2, 0, 4) + k(a, 1, 1) , k å R ‹ a å R \ { 0} ;

• a reta s está definida pela condição (x, y, z) = (-2, 0, 4) + k(-2, 5, -2) , k å R .

Qual é o valor de a ?

(A) 3 __ 2 (B) 4 __ 3 (C) 5 __ 4 (D) 6 __ 5

PE.2013.0001.01.01Prep Testes - MAT 12. ano / TEXTO

DT2_PE12_0861.a prova

28 out 2013

B

Ar

O

y

x

Itens para resolver

025_047_Tema3_5P.indd 39 15/08/17 08:45

FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

87

17. Dada a função g definida por g(x) = log125 x , sabe-se que o ponto P faz parte do seu gráfico e tem ordenada

igual a 1 __ 3 . Qual é a abcissa de P ?

(A) 125 ___ 3 (B) 5 (C) 3 (D) ln ( 125 ____ 3 )

18. Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função g .

Considere a função h definida por h(x) = In (g(x)) .

Qual pode ser o domínio de h ?

(A) R+ (B) ]-2, 2[

(C) R \ ]- ∞, -2] (D) ]-2, 2[ ∂ ]2, +∞[

19. Na figura ao lado está parte da representação gráfica da função quadrática g .

Considere a função h definida por h(x) = In (g(x)) .

Qual pode ser o conjunto dos zeros de h ?

(A) {-1, 3} (B) {0, 2}

(C) {-1, 0, 2, 3} (D) {0, 1, 2}

20. Na figura ao lado está parte da representação gráfica da

função f definida por f(x) = ( 1 __ a ) x

, a > 1 .

Seja M um ponto do gráfico de f , de abcissa x não negativa, e seja g a função que dá a área do retângulo [MNOP] em função de x .

Qual das seguintes representações gráficas pode ser a da fun-ção g ?

(A) (B)

(C) (D)

Preparação Exames − Mat. 12ª

DT_025 — 1.ª prova

14/05/2011

RCoelho

2–2 O x

y

g



14/05/2011

RCoelho

2O x

y

g



01 - 10 - 2011

RCoelho

O x

y

f

N M

P



01 - 10 - 2011

RCoelho

O x

y



01 - 10 - 2011

RCoelho

O x

y

Itens para resolver



01 - 10 - 2011

RCoelho

O x

y



01 - 10 - 2011

RCoelho

O x

y

048_105_Tema4_5P.indd 87 14/08/17 15:11

SUCESSÕES REAIS

113

5. Os pais da Ambrósia vão começar a poupar todos os meses e durante os três anos do ensino secundário da filha, já a pensar nas propinas do seu curso superior. Eles têm em mente dois planos de poupança (durante 36 meses):

1.° plano Começam por guardar 100 € no primeiro mês e todos os meses aumentam em 5 € a quantia a guar-dar, isto é, guardam 100; 105; 110; …

2.° plano Começam por guardar 100 € no primeiro mês e todos os meses guardam mais 5% do que no mês anterior, isto é, guardam 100; 105; 110,25; …

5.1 Indique, justificando, qual é o melhor plano de poupança para a Ambrósia.

5.2 Suponha que os pais da Ambrósia começaram por guardar 100 € em janeiro de 2013. Com as caracterís-ticas do 1.º plano, quando é que terão, pelo menos, 30 000 €? Indique o mês e o ano.

6. Para um estudo estatístico, serão observados alguns automóveis de uma cidade. Na primeira semana serão observados 2500 automóveis e, em cada semana adicional, esse número aumentará 5%.

6.1 Verifique que, ao fim de n semanas, o número total de observações é igual a 50 000 (1,05n - 1) automóveis.

6.2 Usando a calculadora somente para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine o número mínimo de semanas em que serão observados, pelo menos, 250 000 automóveis.

Nota: nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

7. Seja (un) a sucessão definida por un = en + n - 6 _________ 3 , sendo e o número de Neper.

7.1 Justifique que (un) é uma progressão aritmética e calcule a sua razão.

7.2 Calcule o valor exato e um valor aproximado, com duas casas decimais, da soma de todos os termos entre o 3.° e o 60.°, inclusive.

8. Devido aos maus resultados de uma equipa de futebol, o número de espetadores ao longo das várias jornadas foi decrescendo: 20 000 na primeira jornada, 18 000 na segunda jornada, 16 000 na terceira, e assim suces-sivamente, mantendo-se esse decrescimento constante.

Numa análise a algumas jornadas, foi possível concluir que o número total de espetadores foi igual a 108 000. Quantas foram as jornadas analisadas?

9. Considere os círculos seguintes, de raios 10, √ ______

120 , 12 , √ _________

172,8 , e assim sucessivamente.



28 out 2013

10



28 out 2013

120�



03 dez 2013

12



03 dez 2013

172,8�

Supondo que se mantém a mesma lei de formação, calcule a soma das áreas dos primeiros 20 círculos. Apresente o resultado arredondado às unidades.

10. Um muro está construído da seguinte forma: na base (camada de baixo) há 209 blocos e no topo (camada de cima) há 5 blocos. Sabe-se que o número de blocos em cada camada está em progressão aritmética. Deter-mine o número de termos e a razão dessa progressão, sabendo que foram utilizados, no total, 3424 blocos.

Itens para resolver

106_117_Tema5_5P.indd 113 14/08/17 15:13

DERIVADAS DE FUNÇÕES

193

4. Considere uma função g , duas vezes diferenciável em R , e em que g’(x) · g’’(x) < 0 .

Em qual das figuras seguintes não pode estar representada parte do gráfico da função g ?

(A) (B)

(C) (D)

5. A primeira derivada de uma função g , de domínio R , é dada por g’(x) = (x2 - 2x + 2)ex .

Quantos pontos de inflexão tem o gráfico de g ?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

6. Seja h uma função de domínio ]- 1, + ∞[ . Sabe-se que a segunda derivada de h , também de domínio ]- 1, + ∞[ , está definida por h”(x) = (x - 3)2 In (x + 1) .

Relativamente ao gráfico da função h , qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) A concavidade está voltada para baixo no intervalo ]- 1, 3] .

(B) A concavidade está voltada para baixo no intervalo ]3, + ∞[ .

(C) O ponto de abcissa 0 é um ponto de inflexão.

(D) O ponto de abcissa 3 é um ponto de inflexão.

7. Na figura seguinte , - 1 é o único zero da função g e o ponto de abcissa 1 é o único ponto de inflexão do gráfico de g .



01 - 10 - 2011

RCoelho

–1 x

y

O

g

1

Qual é a afirmação necessariamente falsa?

(A) g”(- 1) = - 3 (B) g”(0) = - 1 (C) g”(1) = 0 (D) g”(3) = - 1



01 - 10 - 2011

RCoelho

x

y

O



01 - 10 - 2011

RCoelho

x

y

O



01 - 10 - 2011

RCoelho

x

y

O



01 - 10 - 2011

RCoelho

x

y

O

Itens para resolver

156_200_Tema7_5P.indd 193 14/08/17 15:22

PREPARAR O EXAME NACIONAL

226

14. O Macário e a Guadalupe são dois namorados que se zangaram.

Sabe-se que a probabilidade de o Macário ir ao centro comercial é igual a 20% e que a probabilidade de pelo menos um deles ir ao mesmo centro comercial é igual a 80%.

Qual é a probabilidade de a Guadalupe ir ao referido centro comercial?

(A) 60% (B) 65% (C) 70% (D) 75%

15. Uma empresa vai oferecer dois prémios a dois dos seus melhores empregados. Há, ao todo, 50 empregados, 20 dos quais do sexo masculino. Além disso, há, no total, cinco casais.

Sabe-se que os prémios saíram a um homem e a uma mulher.

Qual é a probabilidade de eles formarem um casal?

(A) 1 ____ 120 (B) 1 ____ 245 (C) 1 ____ 500 (D) 1 _____ 1000

16. Numa livraria, a Lurdes examina ao acaso um livro de 200 páginas e o Pompeu examina, também ao acaso, uma revista de 100 páginas.

Qual é a probabilidade de ambos abrirem o livro e a revista na mesma página?

(A) 1 _______ 20 000 (B) 1 ____ 100 (C) 1 ____ 200 (D) 1 ____ 300

17. Considere as seguintes seis figuras geométricas:

Escolhe-se uma figura ao acaso. Sejam os acontecimentos:

A : «A figura escolhida é um polígono.»

B : «A figura escolhida está pintada de preto.»

C : «A figura escolhida não é um triângulo.»

Qual é o valor de P(A | (B © C)) ?

(A) 1 __ 3 (B) 2 __ 3 (C) 1 __ 4 (D) 3 __ 4

18. Sobre uma população de uma cidade, sabe-se que:

• 80% dos habitantes têm o cabelo castanho;

• 30% dos habitantes têm olhos azuis;

• todos os habitantes têm o cabelo castanho ou olhos azuis.

Ao escolher um habitante ao acaso dessa cidade, qual é a probabilidade de ter olhos azuis, sabendo que tem o cabelo castanho?

(A) 1 __ 3 (B) 1 __ 4 (C) 1 __ 8 (D) 1 __ 9

Dt_348

1.ª prova

Preparar o Exame Mat. 12°

03/07/2011

Bruno Fragoso

Itens para resolver (CONTINUAÇÃO)

212_258_Tema9_5P.indd 226 14/08/17 15:28

LIMITES, CONTINUIDADE E ASSÍNTOTAS

137

8. A função g , contínua num conjunto D \ {a} , pode ser prolongada por continuidade a D através da função:

gp(x) = ⎧

⎪

⎨ ⎪

⎩ g(x)

se x 0 a

lim x " a

g(x) se x = a

Considere a função h definida por h(x) = e 2x + 2 - 1 ________ 2x + 2 , de domínio R \ {- 1}.

Usando processos analíticos, indique, o mais simplificadamente possível, a função prolongamento hp ao conjunto R .

9. Considere a função f , de domínio R \ {-1} , definida por: f(x) = ⎧

⎪

⎨ ⎪

⎩

ex - 3 - 1 _________ x2 - 2x - 3

se x < 3

x + 1

se x ≥ 3

9.1 Mostre que f | [3, + ∞[ é contínua e f | ]- ∞, 3] é descontínua.

9.2 Verifique que 2 está entre f(0) e f(4) .

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve pelo menos duas casas decimais.

9.3 Sabe-se que não existe um número x no intervalo ]0, 4[ tal que f(x) = 2 .

Estará esta constatação em contradição com o teorema de Bolzano-Cauchy? Justifique a sua resposta.

9.4 Justifique que f tem um máximo e um mínimo absolutos em [- 8, 2] .

10. Considere a função f , de domínio R , definida por: f(x) =

⎧

⎪ ⎨

⎪

⎩

x2 - 1 _________ x2 - 2x - 3

se x < -1

1 __ 2 se x = -1

ex + 1 - 1 _______ 2x + 2

se x > -1

Na figura ao lado está representada parte do gráfico da função f .

Sabe-se que o ponto A pertence ao gráfico de f e tem abcissa -1.

10.1 Usando processos analíticos, mostre que, tal como a figura sugere, a função f é contínua no ponto -1.

10.2 Justifique que f tem um máximo e um mínimo absolutos em [-2, 0] .

10.3 Considere agora o segmento de reta [PQ] , sendo:

• P o ponto do gráfico de f pertencente ao eixo Oy ;

• Q um ponto do gráfico de f de abcissa positiva e ordenada 0,2.

Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine o comprimento do segmento de reta [PQ] , arredondado às unidades.

Apresente na sua resposta:

• parte relevante do gráfico da função f num referencial xOy ;

• o segmento de reta [PQ] ;

• as coordenadas dos pontos relevantes, com duas casas decimais.Dt_462

2.ª prova

Preparar o Exame Mat. 12°

15/10/2011

Bruno Fragoso

x

y

Af

O–1

Itens para resolver

118_155_Tema6_5P.indd 137 14/08/17 15:16

itens para resolver -...

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