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Introdução aos Circuitos ElétricosSéries e Transformadas de Fourier

Prof. Roberto Alves Braga Jr.Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa

UFLA - Departamento de Engenharia

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Séries e Transformadas de Fourier

HistóriaJean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830),foi um matemático e físico francês conhecidoprincipalmente pela elaboração das famosasSéries de Fourier, cujo impacto no desenvolvimen-to da matemática é ainda de grande importâncianas várias áreas da engenharia. Além disso,realizou notáveis contribuições no campo da egiptologia e teveuma vida política muito ativa durante a revolução francesa, aolado de Napoleão Bonaparte.

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Sinais e Sistemas

Sinais: conjunto de dados ou informação

I Sinal de telefone ou televisãoI Registro de vendas de uma corporaçãoI Índice BOVESPAI Tensão ou corrente em um circuitoI Temperatura de uma salaI Eletrocardiograma, etc

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Sinais e SistemasSinais

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Sinais e Sistemas

Sistemas: entidades que processam os sinais,modificando-os ou extraindo informação

I TransmissoresI VálvulasI Sistema auditivoI Circuitos eletrônicos, etc

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Sinais e Sistemas

Sistemas:

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Sinais e SistemasSistemas:I Para obter a saída de um sistema no tempo discreto:

utiliza-se a convolução:

y[n] =

+∞∑k=−∞

x[k ] h[n − k ],

ouy[n] = x[n] ∗ h[n],

em que h é a resposta ao impulso do sistema.I Em Laplace vimos que a convolução no tempo contínuo é igual

a uma multiplicação em s:

x(t) ∗ h(t)L←→ X(s) H(s)

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Sinais e SistemasSistemas: Convolução tempo discreto

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Sinais e Sistemas

Sistemas: Convolução tempo discreto

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Sinais e Sistemas

Sistemas: Convolução tempo contínuo

I A convolução no tempo contínuo é dada por:

y(t) =

∫ +∞

−∞

x(τ) h(t − τ) dτ

I Exemplo: considere x(t) = e−a t e h(t) = 1, portanto:

y(t) =

∫ t

0e−a τ dτ = −

1a

e−a τ

∣∣∣∣∣∣∣t

0

=1a

(1 − e−a t )

I Em Laplace:

Y(s) =1

s + a1s

=1/as−

1/as + a

L−1

−−−→1a

(1 − e−a t )

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Sinais e Sistemas

Sistemas: Convolução tempo contínuo

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Sinais e Sistemas

Classificação de Sinais:

I Contínuos e Discretos

I Analógicos e DigitaisI Periódicos e Não-periódicos

x(t) = x(t + T0), para todo t , sendo T0 uma constantepositiva

I Determinísticos e Aleatórios

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Sinais e Sistemas

Classificação de Sistemas:

I Contínuos e DiscretosI Analógicos e DigitaisI Lineares e Não-LinearesI Causais e Não-CausaisI Estáveis e InstáveisI Variantes ou Invariantes no tempo

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Representações de Fourier

Análise de FourierI Sinal contínuo e periódico: Série de FourierI Sinal discreto e periódico: Série de Fourier DiscretaI Sinal contínuo e não-periódico: Transformada de FourierI Sinal discreto e não-periódico: Transformada de Fourier

Discreta

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Séries de Fourier

I Considerando que a onda total é periódica (períodoT = 2π), os períodos de cada uma das ondascomponentes é uma fração de T , ou seja, Ti = T/ni emque ni é um número inteiro. Ou em frequência, ωi = ni ω

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Representações de FourierSéries de Fourier

I Considere um sinal periódico com frequência fundamental 2π,expresso na seguinte forma:

x(t)=

+3∑k=−3

ak e jk2πt , com a0 =1, a1 =a−1 =14, a2 =a−2 =

12, a3 =a−3 =

13

Assim, reescrevendo a equação anterior:

x(t) = 1 +14

(e j2πt + e−j2πt ) +12

(e j4πt + e−j4πt ) +13

(e j6πt + e−j6πt )

I Lembrando das relações de Euler,

cosθ =(e jθ + e−jθ)

2e senθ =

(ejθ− e−jθ)

j2,

x(t) = 1 +12

cos 2πt + cos 4πt +23

cos 6πt

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I As funções que reproduzem eventos periódicos no tempopodem ser representadas por uma somatória de senóides(cossenóides) por meio da série trigonométrica de Fourier:

x(t) = a0 +

∞∑n=1

an cos nω0t + bn sen nω0t

sendo ω0 a frequência fundamental, os coeficientes an e bnpodem ser calculados por (T = 2π):

a0 =1

2π

∫ π

−πx(t) dt ,

an =1π

∫ π

−πx(t) cos nω0t dt,

bn =1π

∫ π

−πx(t) sen nω0t dt

I Condições de existência: sinal limitado e com número finito de máximos, demínimos e de descontinuidades em um período

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Séries de Fourier

I Quando x(t) for real, a série trigonométrica de Fourier pode serexpressa em uma forma compacta:

x(t) = C0 +

∞∑n=1

Cn cos (nω0t + θn)

em que Cn e θn são relacionados com an e bn por:

C0 = a0,

Cn =

√a2

n + b2n ,

θn = tan−1(−bn

an

)

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Séries de FourierI Exemplo: Onda quadrada

x(t) =

−k se −π < t < 0

k se 0 < t < π

Nesse caso, o período é T0 = 2π e ω0 = 2π/T0 = 1

a0 =1

2π

∫ π

−πx(t) dt ,

a0 =1

2π

[∫ 0

−π−k dt +

∫ π

0k dt

]=

12π

−k t

∣∣∣∣∣∣∣0

−π

+ k t

∣∣∣∣∣∣∣π

0

,a0 =

12π

[0 − k π+ k π − 0] = 0

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Representações de FourierSéries de FourierI Exemplo: Onda quadrada

an =1π

∫ π

−πx(t) cos nt dt,

an =1π

[∫ 0

−π−k cos nt dt +

∫ π

0k cos nt dt

]=

1π

−ksen nt

n

∣∣∣∣∣∣∣0

−π

+ ksen nt

n

∣∣∣∣∣∣∣π

0

= 0

bn =1π

∫ π

−πx(t) sen nt dt,

bn =1π

[∫ 0

−π−k sen nt dt +

∫ π

0k sen nt dt

]=

1π

k cos ntn

∣∣∣∣∣∣∣0

−π

− kcos nt

n

∣∣∣∣∣∣∣π

0

,bn =

knπ

[cos 0 − cos (−nπ) − cos nπ+ cos 0] =2knπ

(1 − cos nπ)

cos nπ = −1, se n for ímpar e cos nπ = 1, se n for par

b1 =4kπ, b2 = 0, b3 =

4k3π, b4 = 0, b5 =

4k5π, . . .

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Séries de FourierI Exemplo: Onda quadrada

x(t) =4kπ

sen (1 t) + 0 sen (2 t) +4k3π

sen (3 t) + 0 sen (4 t) +4k5π

sen (5 t) + . . .

4π sen (1 t) 4

3π sen (3 t)

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N = 3 N = 5 N = 100

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Séries de FourierI Exemplo: Onda quadrada (k = 1)

x(t) =4π

sen (1 t) + 0 sen (2 t) +4

3πsen (3 t) + 0 sen (4 t) +

45π

sen (5 t) + . . .

I Forma compacta:

x(t) = C0 +

∞∑n=1

Cn cos (nω0t + θn)

em que Cn e θn são relacionados com an e bn por:

C0 = a0 = 0,

Cn =

√a2

n + b2n , C1 =

4π, C3 =

43π, C5 =

45π

θn = tan−1(−bn

an

), θ1 = −

π2, θ3 = −

π2, θ5 = −

π2

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Representações de FourierSéries de FourierI Exemplo: Onda quadrada (k = 1)

x(t) =4π

cos (1 t − 90) + 0 cos (2 t − 90) +4

3πcos (3 t − 90) + . . .

+ 0 cos (4 t − 90) +4

5πcos (5 t − 90) + . . .

I Representação gráfica da forma compacta:

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Séries de FourierI Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal periódico:

Nesse caso, o período é T0 = π e ω0 = 2πT0

= 2rad/s. Portanto,

x(t) = a0 +

+∞∑n=1

an cos 2nt + bn sen 2nt

a0 =1π

∫ π

0x(t) dt =

1π

∫ π

0e−t/2 dt = 0,504

an =2π

∫ π

0e−t/2 cos 2nt dt = 0.504

( 21 + 16n2

)bn =

2π

∫ π

0e−t/2 sen 2nt dt = 0, 504

( 8n1 + 16n2

)

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Séries de FourierI Passando para a forma compacta:

C0 = a0 = 0,504

Cn =

√a2

n + b2n = 0,504

√4

(1 + 16n2)2+

64n2

(1 + 16n2)2=

0,504(

2√

1 + 16n2

)θn = tan−1

(−bn

an

)= tan−1(−4n) = −tan−1 4n

x(t) = 0,504 + 0,504∞∑

n=1

2√

1 + 16n2cos (2nt − tan−14n)

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Representações de FourierSéries de FourierI Na forma compacta:

x(t) =0,504 + 0,244 cos (2t − 75, 96) + 0, 125 cos (4t − 82, 87)+ 0,084 cos (6t − 85, 24) + 0, 063 cos (8t − 86, 42) + . . .


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Séries de FourierI Exemplo: Determine a série trigonométrica de Fourier do sinal periódico:

Nesse caso, o período é T0 = 2 e ω0 = 2πT0

= πrad/s. Portanto,

x(t) = a0 +

+∞∑n=1

an cos nπt + bn sen nπt

x(t) =

2At se −1/2 < t < 1/2

2A(1 − t) se 1/2 < t < 3/2

a0 =12

∫ 3/2

−1/2x(t) dt = 0

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Séries de FourierI Exemplo: Onda triangular:

an =22

∫ 3/2

−1/2x(t) cos nπt dt =

∫ 1/2

−1/22At cos nπt dt +

∫ 3/2

1/22A(1 − t) cos nπt dt = 0

bn =

∫ 1/2

−1/22At sen nπt dt +

∫ 3/2

1/22A(1 − t) sen nπt dt

bn =8A

n2π2sen

(nπ2

)

bn =

0 n par

8An2π2 n = 1,5,9,13, . . .−

8An2π2 n = 3,7,11,15, . . .

Assim,

x(t) =8Aπ2

[sen πt −

19

sen 3πt +1

25sen 5πt −

149

sen 7πt + . . .]

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Representações de FourierSéries de FourierI Na forma compacta, como sen kt = cos (kt − 90) e −sen kt = cos (kt + 90):

x(t) =8Aπ2

[cos (πt − 90) +

19

cos (3πt + 90) +125

cos (5πt − 90)

+149

cos (7πt + 90) + . . .]


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Representações de FourierSéries de FourierI Exemplo: Expresse a seguinte série como uma série

trigonométrica de Fourier e trace o espectro de amplitude e fasede x(t):

x(t) = 2 + 3 cos 2t + 4 sen 2t + 2 sen (3t + 30) − cos (7t + 150)

I Na série trigonométrica compacta de Fourier, os termos emseno e cosseno de mesma frequência são combinados em umúnico termo e os termos são descritos em cossenos comamplitudes positivas. Assim,

3 cos 2t + 4 sen 2t = 5 cos (2t − 53, 13)sen (3t + 30) = cos (3t + 30 − 90) = cos (3t − 60)−cos (7t + 150) = cos (7t + 150 − 180) = 7t − 30

Portanto,

x(t) = 2 + 5 cos (2t − 53, 13) + 2 cos (3t − 60) + cos (7t − 30)32 / 47

Representações de FourierSéries de FourierI Na forma compacta,

x(t) = 2 + 5 cos (2t − 53, 13) + 2 cos (3t − 60) + cos (7t − 30)


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Representações de FourierSéries de Fourier na Forma Exponencial

I Até agora foi estudada a forma trigonométrica da série deFourier:

x(t) = a0 +

∞∑n=1

an cos nωt +

∞∑n=1

bn sen nωt

I Usando as equações de Euler,

cos θ =(ejθ + e−jθ

)/2

sen θ =(ejθ− e−jθ

)/j2

podemos reescrever a forma trigonométrica na formaexponencial:

x(t) = a0 +

∞∑n=1

an

(e jnωt + e−jnωt

)2

+

∞∑n=1

−jbn

(e jnωt

− e−jnωt)

2

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Séries de Fourier na Forma Exponencial

I Continuando:

x(t) = a0 +

∞∑n=1

an − jbn

2e jnωt +

∞∑n=1

an + jbn

2e−jnωt

x(t) = a0 +

∞∑n=1

an − jbn

2e jnωt +

−∞∑n=−1

an − jbn

2e jnωt

x(t) =

∞∑n=−∞

an − jbn

2e jnωt =

∞∑n=−∞

Cn e jnωt

em que,

Cn =an − jbn

2ou Cn =

1T0

∫T0

x(t) e−jnωt dt

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Séries de Fourier na Forma Exponencial

I Exemplo: Determine a série exponencial de Fourier do sinalperiódico:

Nesse caso, o período é T0 = π e ω0 = 2πT0

= 2rad/s. Portanto,

x(t) =

∞∑n=−∞

Cn e j2nt

Cn =1T0

∫T0

x(t) e−j2nt dt =1π

∫ π

0e−t/2 e−j2nt dt =

1π

∫ π

0e−(1/2+j2nt)t dt ,

Cn =−1

π(

12 + j2n

)e−(1/2+j2n)t

∣∣∣∣∣∣∣π

0

=0,504

1 + j4n

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x(t) = 0,504∞∑

n=−∞

11 + j4n

e j2nt ,

x(t) = 0,504[1 +

11 + j4

e j2t +1

1 + j8e j4t +

11 + j12

e j6t + . . .

+1

1 − j4e−j2t +

11 − j8

e−j4t +1

1 − j12e−j6t + . . .

]I Representação gráfica da forma compacta:

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Representações de FourierA Transformada de Fourier

I Até agora, apenas sinais periódicos foram abordados, o quefazer com sinais não-periódicos?

I Considere um sinal periódico xT0 (t) formado pela repetição deum sinal não-periódico x(t) em intervalos de T0 segundos. Osinal periódico xT0 (t) pode ser representado por um sérieexponencial de Fourier.

I Se fizermos T0 →∞:

limT0→∞

xT0 (t) = x(t)

I A série de Fourier que representa xT0 (t) também irá representarx(t) no limite de T0 →∞. A série exponencial de Fourier paraxT0 (t) é dada por:

xT0 (t) =

∞∑n=−∞

Cne jnω0t e Cn =1

T0

∫ T0/2

−T0/2xT0 (t)e−jnω0t dt

com ω0 = 2π/T0.38 / 47


A Transformada de FourierI Uma vez que xT0 (t) = x(t) no intervalo (−T0/2, T0/2) e x(t) = 0 fora desse

intervalo:

Cn =1T0

∫ T0/2

−T0/2x(t) e−jnω0t dt =

1T0

∫∞

−∞

x(t) e−jnω0t dt

I Define-se uma função contínua de ω por,

X(jω) =

∫∞

−∞

x(t) e−jωt dt , e, portanto, Cn =1

T0X(jnω0)

I Assim,

xT0 (t) =

∞∑n=−∞

1T0

X(jnω0)e jnω0t =1

2π

∞∑n=−∞

X(jnω0)e jnω0tω0

I Como T0 →∞, xT0 (t) aproxima x(t), no limite, a equação anterior representatambém x(t). Além disso, como ω0 → 0 quando T0 →∞, o lado direito daequação passa a ser uma integral e o espectro passa a ser contínuo.

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Representações de FourierA Transformada de Fourier

I Dessa forma, chega-se na Transformada de Fourier e suainversa:

F x(t) = X(jω) =

∫∞

−∞

x(t)e−jωt dt

F−1X(jω) = x(t) =

12π

∫∞

−∞

X(jω)e jωt dω

I Relembrado a Transformada bilateral de Laplace:

Lx(t) = X(s) =

∫∞

−∞

x(t)e−s t dt

conclui-se que a transforma de Fourier é um caso especial datransformada de Laplace quando s = jω, ou seja, σ = 0(s = σ+ jω) – no caso em que o eixo imaginário do plano s estáinserido na região de convergência da transformada de Laplace.

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A Transformada de FourierI Determine a transformada de Fourier de x(t) = e−at .

F x(t) = X(jω) =

∫∞

−∞

x(t)e−jωt dt =

∫∞

−∞

e−at e−jωt dt

X(jω) =

∫∞

0e−(a+jω)t dt =

−1a + jω

e−(a+jω)t

∣∣∣∣∣∣∣∞

0

X(jω) =1

a + jω, a > 0

I Expressando a + jω na forma polar como√

a2 + ω2e jtan−1(ω/a),

X(jω) =1√

a2 + ω2e−jtan−1(ω/a)

Portanto,

|X(jω)| =1√

a2 + ω2, e ∠X(jω) = −tan−1ω

a

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Representações de FourierA Transformada de FourierI A forma gráfica de

|X(jω)| =1√

a2 + ω2, e ∠X(jω) = −tan−1ω

a

é mostrada abaixo.

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A Transformada de FourierI Determine a transformada de Fourier de x(t) = δ(t).

F x(t) = X(jω) =

∫∞

−∞

δ(t)e−jωt dt = 1

I Qual a importância disso?

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Representações de FourierA Transformada de FourierI Determine a transformada de Fourier de um pulso retangular:

x(t) =

1 se −T < t < T0 se |t | > T

I O pulso retangular é absolutamente integrável (T < ∞):

F x(t) = X(jω) =

∫∞

−∞

x(t)e−jωt dt =

∫ T

−Te−jωt dt

X(jω) = −1jω

e−jωt

∣∣∣∣∣∣∣T

−T

=2ω

sen(ωT), ω , 0

I Para ω = 0, a integral se simplifica para 2T . O espectro de magnitude é:

|X(jω)| = 2∣∣∣∣∣ sen ωT

ω

∣∣∣∣∣44 / 47


A Transformada de Fourier

I O espectro de fase é dado por:

∠X(jω) =

0 se sen (ωt)ω > 0

π se sen (ωt)ω < 0

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A Transformada Discreta de FourierI A versão discreta da Transformada de Fourier é dada por:

X(e jΩ) =

∞∑n=−∞

x[n] e−jΩn

x[n] =1

2π

∫ π

−πX(e jΩ)e jΩn dΩ

I A Transformada Rápida de Fourier (FFT) reduzdrasticamente o número de cálculos necessários paracalcular a transformada discreta de Fourier, da ordem deN2 para N log N

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Simulações Computacionais

I Convolução no tempo discretoI Convolução no tempo contínuoI Séries de FourierI Transformada Rápida de Fourier (ex. função soma de

senóides e a série Sunspots)I Simulação que ilustra a relação entre entrada e saída de

filtros

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