UFSC / CTC / DEPS EPS5102 – Introdução à Pesquisa Operacional Questão 1 A Motorauto S/A fabrica 3 modelos de automóveis nas suas fábricas: XL, XLS e EXS. Um conflito trabalhista faz prever uma greve prolongada na fábrica 1 num futuro muito próximo. Para fazer face a esta situação, a direção da empresa decidiu preparar um plano excepcional de produção e vendas para o próximo período, pressupondo que não haverá produção na fábrica 1 durante este período. Neste mesmo período, a capacidade de produção da fábrica 2 será de 4.000 unidades do XL, ou 3.000 unidades do XLS ou 2.000 unidades do EXS ou qualquer combinação apropriada destes 3 modelos. Analogamente a fábrica 3 tem capacidade para 3.000 unidades do XL ou 8.000 unidades do XLS ou qualquer combinação apropriada destes 2 modelos, não sendo o EXS produzido nesta fábrica. Cada automóvel XL é vendido por $11.500, cada unidade do XLS é vendido por $14.500 e cada unidade do EXS é vendido por $18.000. O custo de produção na fábrica 2 é de $8.750, $12.000 e $14.500 para cada unidade produzida dos modelos de XL, XLS e EXS respectivamente. Por sua vez o custo de produção na fábrica 3 é de $9.000 para cada unidade do XL e de $11.000 para cada unidade do XLS. A empresa assumiu compromissos que a obrigam a fornecer 1.000 unidades do modelo EXS para exportação. Por outro lado, dada a queda na procura pelos modelos XL e EXS, o departamento comercial estima em 1.000 e 2.500 unidades as vendas máximas destes 2 modelos no mercado nacional, respectivamente. Como o modelo XLS é atualmente um grande sucesso comercial, não existe limitação para suas vendas. No início do período, os estoques dos 3 modelos são de 200 unidades do XL, 600 unidades do XLS e 200 unidades do EXS. É possível, dados os últimos acordos assinados, importar da Argentina até 500 unidades do XL. Cada modelo importado custará $11.000. Considerando que o objetivo da Motorauto é maximizar seus lucros, formule um modelo de programação linear para o problema. Questão 2 Resolva e interprete a solução do problema de programação linear abaixo.

0,

164

1532

92

5

82:.

1510

21

21

21

21

21

21

21

≥

≥+

≥+

≥+

≥+

≥+

+=

xx

xx

xx

xx

xx

xxas

xxzMin

Questão 3 Resolver o seguinte problema de transportes:

0,,,,,

120

100

70

50

60:.

91318121510

232221131211

232221

131211

2313

2212

2111

232221131211

≥

≤++

≤++

≥+

≥+

≥+

+++++=

xxxxxx

xxx

xxx

xx

xx

xxas

xxxxxxzMin

GABARITO Questão 1: Considerando os seguintes dados: Modelos XL XLS EXS Capacidade da fábrica 2 (produção máxima de cada modelo) 4.000 3.000 2.000 Capacidade da fábrica 3 (produção máxima de cada modelo) 3.000 8.000 - Preço de venda $11.500 $14.500 $18.000 Custo de produção na fábrica 2 $8.750 $12.000 $14.500 Custo de produção na fábrica 3 $9.000 $11.000 - Compromissos com exportação - - 1.000 Venda máxima no mercado interno 1.000 Sem limite 2.500 Estoque inicial 200 600 200 Importação da Argentina 500 - - Custo do modelo importado da Argentina $11.000 - -

32 , XLXL = quantidade de automóveis do modelo XL produzido nas fábricas 2 e 3, respectivamente;

32 , XLSXLS = quantidade de automóveis do modelo XLS produzido nas fábricas 2 e 3, respectivamente;

2EXS = quantidade de automóveis do modelo EXS produzido na fábrica 2;

AXL = quantidade de automóveis do modelo XL importado da Argentina.

Lucro = contribuição ao lucro total da Motorauto. Max +−+−+−= 222 )50,1400,18()00,1250,14()75,850,11( EXSXLSXLLucro

+−+− 33 )00,1150,14()00,950,11( XLSXL

A

XL)00,1150,11( − s.a: 12000643 222 ≤++ EXSXLSXL (capacidade de produção da fábrica 2)

2400038 33 ≤+ XLSXL (capacidade de produção da fábrica 3)

500≤A

XL (restrição de importação)

8002 ≥EXS (compromissos com exportação do modelo EXS)

80032 ≤+ XLXL (demanda máxima do modelo XL)

33002 ≤EXS (demanda máxima do modelo EXS)

0,,,, 3232 ≥XLSXLSXLXLXLA

(restrições de não-negatividade)

Questão 2: É mais conveniente construir o dual do problema originalmente formulado, resolvendo-o, e posteriormente apresentar a solução.

Base Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 R1 R2 Xb Razão

R1 0,00 1,00 1,00 2,00 2,00 4,00 1,00 0,00 10,00 2,50

R2 0,00 2,00 1,00 1,00 3,00 1,00 0,00 1,00 15,00 15,00

Z 1,00 -8,00 -5,00 -9,00 -15,00 -16,00 0,00 0,00 0,00

***

Base Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 R1 R2 Xb Razão

Y5 0,00 0,25 0,25 0,50 0,50 1,00 0,25 0,00 2,50 5,00

R2 0,00 1,75 0,75 0,50 2,50 0,00 -0,25 1,00 12,50 5,00

Z 1,00 -4,00 -1,00 -1,00 -7,00 0,00 4,00 0,00 40,00

***

Base Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 R1 R2 Xb

Y5 0,00 -0,10 0,10 0,40 0,00 1,00 0,30 -0,20 0,00

Y4 0,00 0,70 0,30 0,20 1,00 0,00 -0,10 0,40 5,00

Z 1,00 0,90 1,10 0,40 0,00 0,00 3,30 2,80 75,00 Solução ótima do problema primal:

Var. Primal

Var. Dual Assoc.

Valor Primal

Valor Dual

X1 R1 3,30 0,00

X2 R2 2,80 0,00

S1 Y1 0,90 0,00

S2 Y2 1,10 0,00

S3 Y3 0,40 0,00

S4 Y4 0,00 5,00

S5 Y5 0,00 0,00

Z Z 75,00 -

Portanto, o valor ótimo das variáveis primais são: 3,31 =x e 8,22 =x . Haverá folga nas 3 primeiras restrições,

iguais a: 9,01 =S , 1,12 =S e 4,03 =S . O valor da função objetivo para esta solução é de 75=Z . Dos valores

das variáveis duais conclui-se que se houver uma variação uma unidade a mais no valor do RHS da quarta restrição, o valor da função objetivo sofrerá um incremento de 5 unidades.

Questão 3: Por tratar-se de um problema de transportes, é conveniente resolvê-lo como tal. Usando o método de Voguel para obter uma solução inicial viável, tem-se:

D1 D2 D3 Dfic Oferta Penal

10 15 12 0 O1

60 *** *** 40 100 10 / 2 / 3

18 13 9 0 O2

*** 50 70 *** 120 9 / 4 / 4

Demanda 60 50 70 40

Penal 8 2 3 0

D1 D2 D3 Dfic Oferta Ui

10 15 12 1 0 O1

60 eps *** 40 100 0

18 10 13 9 0 2 O2

*** 50 70 *** 120 -2

Demanda 60 50 70 40

Vj 10 15 11 0

Solução ótima:

Origem Destino Custo Quant Quant Custo Total

O1 D1 10 60 - 600

O1 D2 15 0 - 0

O1 D3 12 - 1 0

O1 Dfic - 40 - 0

O2 D1 18 - 10 0

O2 D2 13 50 - 650

O2 D3 9 70 - 630

O2 Dfic - - 2 0

Soma do Custo Total 1.880

Portanto, a origem O1 entregará 60 unidades para o destino D1 e deixará de produzir 40 unidades. A origem O2, por sua vez, 50 unidades para o destino O2 e 70 unidades para o destino D3. Esta solução estará associada à um custo total de 1.880 unidades monetárias.