apostila de pesquisa operacional

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0 CENTRO PAULA SOUZA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ITAPETININGA CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM AGRONEGÓCIOS FELIPE JOSÉ DE LAZARI ALINE BRASIL NEVES RAQUEL APARECIDA PEREIRA ALVES PESQUISA OPERACIONAL EMBASAMENTO E TOMADA DE DECISÃO Itapetininga, SP Junho/2008

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Apostila formulada por duas amigas e eu. Requisito para aprovação no curso de Pesquisa Operacional, componente do curso de graduação em Tecnologia em Agronegócios da Fatec de Itapetininga. Fique a vontade para utilizar em suas pesquisas, porém, lembre-se de realizar as devidas citações.

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Page 1: Apostila de pesquisa operacional

0

CENTRO PAULA SOUZA

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ITAPETININGA

CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM AGRONEGÓCIOS

FELIPE JOSÉ DE LAZARI

ALINE BRASIL NEVES

RAQUEL APARECIDA PEREIRA ALVES

PESQUISA OPERACIONAL

EMBASAMENTO E TOMADA DE DECISÃO

Itapetininga, SP

Junho/2008

Page 2: Apostila de pesquisa operacional

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FELIPE JOSÉ DE LAZARI

ALINE BRASIL NEVES

RAQUEL APARECIDA PEREIRA ALVES

PESQUISA OPERACIONAL

EMBASAMENTO E TOMADA DE DECISÃO

Apostila apresentada à disciplina de

PESQUISA OPERACIONAL para

avaliação semestral

Orientador: Prof. Msc. Marcelo

dos Santos Silvério

Itapetininga, SP

Junho/2008

Page 3: Apostila de pesquisa operacional

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SUMÁRIO

1 PESQUISA OPERACIONAL: ........................................................................ 4

1.1CONCEITOS E APLICABILIDADE. .......................................................... 4

1.2 DIVISÃO DA PESQUISA OPERACIONAL .............................................. 5

1.3 CUSTOS FIXOS E VARIAVEIS .............................................................. 5

1.4 PERT-CPM ( PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE

- CRITICAL PATH METHOD ) ................................................................................. 8

1.5 PROGRAMAÇÃO LINEAR ...................................................................... 8

2 RECEITAS, CUSTOS E PONTOS DE RUPTURA ........................................ 9

2.1 RECEITA ............................................................................................... 11

2.2 CUSTOS ............................................................................................... 11

2.3 LUCROS ............................................................................................... 12

3 EXEMPLO: CUSTOS RECEITA E PONTO DE RUPTURA ........................ 16

3.1 ENCONTRANDO A FUNÇÃO CUSTOS ............................................... 16

3.2 RECEITA ............................................................................................... 17

3.3 PONTO DE RUPTURA ......................................................................... 18

3.4 PONTO DE EQUILÍBRIO ...................................................................... 19

4 IDENTIFICANDO OS CUSTOS ................................................................... 23

4.1 FUNÇÃO RECEITA E PONTO DE EQUILÍBRIO .................................. 26

5 TOMADA DE DECISÃO .............................................................................. 29

6 PROBLEMA DE APLICAÇÃO .................................................................... 36

6.1 CURVA DOS CUSTOS ......................................................................... 37

6.2 FUNÇÃO LUCRO .................................................................................. 38

7 PROGRAMAÇÃO LINEAR (P.L.) ............................................................... 41

7.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO: .............................................................. 41

Page 4: Apostila de pesquisa operacional

3

7.2 VARIÁVEIS DE RESTRIÇÃO ............................................................... 42

7.3 SOLUÇÃO ÓTIMA ................................................................................ 44

7.4 REGIÃO SIMPLEX ................................................................................ 46

8 LINDO .......................................................................................................... 50

9 AJUSTAMENTO DE CURVAS. .................................................................. 55

OPÇÃO DE AJUSTE DOS EIXOS .............................................................. 58

9.1 PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO LOCAIS .......................................... 63

10 REDES PERT/CPM ................................................................................... 69

10.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO ............................................................. 69

10.1 TEMPO CEDO, TEMPO TARDE, FOLGA E CAMINHO CRÍTICO ..... 71

10.1.1 Tempo cedo ................................................................................. 71

10.1.2 Tempo tarde ................................................................................ 72

10.1.3 Folga ............................................................................................ 73

10.2 CAMINHO CRÍTICO ............................................................................ 74

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................... 76

REFERÊNCIAS .............................................................................................. 77

Page 5: Apostila de pesquisa operacional

4

1 PESQUISA OPERACIONAL

1.1CONCEITOS E APLICABILIDADE.

Pesquisa Operacional (P.O.) é um ramo interdisciplinar da matemática aplicada

que faz uso de modelos matemáticos, estatísticos e de algoritmos na ajuda à tomada

de decisões. Com o objetivo de melhorar e aperfeiçoar o desempenho, fornece

ferramentas quantitativas no processo de tomada de decisão.

É constituída por um conjunto de disciplinas isoladas, tais como Programação

Linear, Teoria das Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, entre

outras.

De uma maneira geral, todas as disciplinas que constituem a PO se apóiam

em quatro ciências fundamentais: Economia, Matemática, Estatística e Informática.

Sua área de atuação é muito abrangente, desde fabricas, hospitais, fazendas

em geral, escritórios, estradas, e muitas outras.

Foi introduzida durante a Segunda Guerra Mundial, quando um grupo de

cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de estratégia e de tática

associados com a defesa do país.

O objetivo era utilizar os escassos recursos militares de forma eficaz.

A convocação deste grupo foi à primeira atividade formal de pesquisa

operacional.

Como os resultados foram positivos os Estados Unidos motivou-se a utilizá-lo.

A Pesquisa Operacional é originária da Inglaterra, mas sua propagação deve-

se principalmente à equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dos Estados

Unidos, convocada durante a Segunda Guerra Mundial.

A pesquisa foi concluída em 1947, e deu-se o nome de Método Simplex.

Com o aumento da velocidade de processamento e quantidade de memória

dos computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa Operacional. Este

progresso é devido também à larga utilização de microcomputadores, que se tornaram

unidades isoladas dentro de empresas. Isso faz com que os modelos desenvolvidos

pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rápidos e versáteis, além de

Page 6: Apostila de pesquisa operacional

5

serem também interativos, possibilitando a participação do usuário ao longo do

processo de cálculo.

Nesta apostila abordaremos algumas áreas da PO, sendo elas a programação

linear, o ajustamento de curvas, os pontos de equilíbrio ou ruptura, as redes

PERT/COM e, principalmente, a importância destas ferramentas para a tomada de

decisão.

1.2 DIVISÃO DA PESQUISA OPERACIONAL

P.O. pode ser dividida entre disciplinas isoladas, tais como Programação

Linear, Teoria das Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, entre

outras.

1.3 CUSTOS FIXOS E VARIAVEIS

Os custos fixos são aqueles que ocorrem todos os meses independentes da

quantidade produzida, já os custos variáveis variam de acordo com a quantidade

produzida.

Ocorrem também os custos diretos e indiretos, geralmente os custos diretos

são variáveis como podemos observar nestes dados específicos.

Suponhamos que os seguintes Custos de Produção de determinado Período precisam ser

alocados os quatro diferentes produtos elaborados pela empresa:

� Matéria-Prima - R$ 2.500.000,00

� Embalagens - R$ 600.000,00

� Materiais de Consumo - R$ 100.000,00

� Mão-de-obra - R$ 1.000.000,00

� Salários da Supervisão - R$ 400.000,00

� Depreciação das Máquinas - 300.000,00

Page 7: Apostila de pesquisa operacional

6

� Energia Elétrica - R$500.000,00

� Aluguel do Prédio - R$ 200.000,00

Total - R$ 5.600.000,00

O responsável por Custos faz os levantamentos e as análises necessárias e

verifica o seguinte:

� Matéria-Prima e Embalagens: podem ser apropriadas perfeitas e diretamente

aos quatro produtos, já que foi possível identificar quanto cada um consumiu.

� Materiais de Consumo: alguns são lubrificantes de máquinas, e não há como

associá-los a cada produto diretamente, e outros são de tão pequeno valor que

ninguém se preocupou em associá-los a cada produto.

� Mão-de-obra: é possível associar parte dela diretamente com cada produto,

pois houve uma medição de quanto cada operário trabalhou em cada um e

quanto custa cada operário para a empresa. Mas parte dela refere-se aos

chefes de equipes de produção, e não há possibilidade de se verificar quanto

atribuir diretamente aos produtos ($ 200.000 dos $ 1.000.000).

� Salários da Supervisão: muito mais difícil ainda de se alocar por meio de uma

verificação direta e objetiva do que a mão-de-obra dos chefes de equipes de

produção, já que essa supervisão é a geral da fábrica. Representa esse custo

o gasto da supervisão dos chefes de equipes e, por isso mesmo, muito mais

difícil é a alocação aos produtos.

� Depreciação das máquinas: a empresa deprecia linearmente em valores iguais

por período, e não por produto. Haveria possibilidade de apropriar diretamente

a cada produto se a depreciação fosse contabilizada de outra forma.

� Energia Elétrica: parte dela é possível alocar a 3 dos 4 produtos, já que a

máquina que mais consome energia elétrica possuí um medidor próprio, e a

empresa faz verificações de quanto consome para cada item elaborado.

Porém, o resto da energia só é medido globalmente, e não há forma direta de

alocação ($ 350.000 são alocáveis e $ 150.000 não).

� Aluguel do Prédio: impossível de se medir diretamente quanto pertence a cada

produto.

Page 8: Apostila de pesquisa operacional

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Após essas análises, podemos verificar que alguns custos podem ser

diretamente apropriados aos produtos, bastando haver uma medida de consumo

(quilogramas de materiais consumidos, embalagens utilizadas, horas de mão-de-obra

utilizadas e até quantidade de energia elétrica consumida). São os Custos Diretos com

relação aos produtos.

Outros realmente não oferecem condição de uma medida objetiva e qualquer

tentativa de alocação tem de ser feita de maneira estimada e muitas vezes arbitrária

(como o aluguel, a supervisão, as chefias, etc.). São os Custos Indiretos com relação

aos produtos. A classificação de Direto e Indireto que estamos fazendo é com relação

ao produto feito, e não à produção no sentido geral ou aos departamentos dentro da

fábrica. Alguns custos têm características especiais. Por exemplo, vimos que parte

dos Materiais de Consumo poderia ser apropriada diretamente, mas, dada sua

irrelevância, verificou-se não valer a pena esse trabalho; muitas vezes a relação

"custo-benefício" é desfavorável para itens de pequena importância.

Outros, como a Depreciação, poderiam também ser apropriados de maneira

mais direta, porém, pela própria natureza na maior parte das vezes considerado útil

tal procedimento. O próprio valor da depreciação como um todo é tão estimado e

arbitrariamente fixado que chega a ser pouco útil a alocação direta.

Finalmente, certos custos, como a Energia Elétrica, são relevantes, mas não

tratados como diretos, já que para tanto seria necessária à existência de um sistema

de mensuração do quanto é aplicado a cada produto. Por ser caro esse sistema ou

de difícil aplicação, ou ainda por não ser muito diferente o valor assim obtido daquele

que se calcularia com base na potência de cada máquina e no volume de sua

utilização, prefere-se fazer a apropriação de forma indireta.

Pode-se inclusive dizer também que, entre os Indiretos, existem os menos

Indiretos (quase Diretos), como Materiais de Consumo, e os mais indiretos, como

Supervisão da fábrica, Imposto Predial ou Corpo de Segurança.

Todos os custos podem ser classificados em Fixos e Variáveis ou em Diretos e

Indiretos ao mesmo tempo. Assim, a matéria-prima é um Custo Direto e Variável, os

materiais de consumo são normalmente Custos Indiretos e Variáveis, os seguros da

fábrica são Custos Indiretos e Fixos, etc.

Page 9: Apostila de pesquisa operacional

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1.4 PERT-CPM (PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIC – CRITICAL PATH METHOD)

É um método de planejamento e replanejamento e avaliação de processo, com

a finalidade de controlar a execução de um programa ou projeto.

Em alguns países ele é tão utilizado que as grandes administrações púbicas

exigem que os fornecedores utilizem esta forma de controle.

O PERT foi desenvolvido pela NASA com a finalidade de controlar o tempo e a

execução de tarefas realizadas pela primeira vez.

O CPM foi criado na empresa norte-americana Dupont com o objetivo de

realizar as paradas de manutenção no menor prazo possível e com o nível constante

de utilização dos recursos.

Os dois métodos são quase idênticos e foram criados no ano de 1958.

1.5 PROGRAMAÇÃO LINEAR

Foi criada em 1946, com a finalidade de diminuir custos e aumentar os lucros

de situações reais.

Programação Linear técnica de planejamento que vem se constituindo como

uma das mais poderosas em quase todo ramo da atividade humana. Seus benefícios

são exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminuição dos custos e

aumento dos lucros. Em algumas organizações ela está, inclusive, embutida em suas

rotinas informatizadas de planejamento diário dos processos de operação.

Algumas de suas aplicações são:

- Formulação de alimentos, rações e adubos

- Transportes

- Localizações industriais

- Carteiras de ações

- Alocação de recursos em fábricas, fazendas, escritórios, etc

- Designação de pessoas e tarefas.

Page 10: Apostila de pesquisa operacional

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2 RECEITAS, CUSTOS E PONTOS DE RUPTURA

Suponhamos que a quantidade mensal vendida de morangos transgênicos

azuis esteja relacionada com o preço unitário do mesmo segundo o gráfico

Quantidade Q

1500

250 Preço em reais

Pelo gráfico acima, podemos notar os preços para a quantidade 0 e também

para o preço 0. Porém, se quisermos descobrir qual seria o preço para a quantidade

de 290 unidades, deveríamos formular uma equação a qual representasse o gráfico

acima. Podemos formulá-la com a utilização de uma derivada, ou seja, uma taxa de

variação que represente a inclinação da curva numa relação quantidade, podemos

então utilizar a fórmula:

Q(p)= ap+b

Onde a = 6250

1500

0250

15000−=

−=

−=

−=

pipf

QiQf

p

Q

B= ponto onde o valor de p=0, ou seja, onde a curva intersecciona o eixo das

ordenadas, no caso do nosso exemplo, o eixo Q, portanto, se substituirmos o valor de

Page 11: Apostila de pesquisa operacional

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“a” na fórmula Q(p) = ap+b, o que nos daria a função Q(p) = -6p + b, e substituirmos

na fórmula os valores de Q(p), ou seja, a imagem que se encontra no eixo das

ordenadas, e substituirmos “p”, por um ponto no domínio, o qual gerou a imagem

selecionada no eixo Q, teremos uma única incógnita, a própria b.

Demonstração

- substituição 1, “a”:

Q(p) = ap + b →Q(p) = -6p + b

- substituição 2 (para esta substituição, é necessário que conheçamos o valor

tanto do domínio quando da imagem em questão do ponto que desejamos destacar

na função, sendo assim, é aconselhável que, utilizemo-nos de pontos de fácil

localização no gráfico e dos quais tenhamos certeza da exatidão. É aconselhável

portanto, que utilizemos pontos dos eixos. Em nosso exemplo, utilizaremos os pontos

dos eixos Q= 0 e p = 250

Q(p) = -6p + b→ 0= -6.250 + b

Em seguida, isolamos a incógnita para podermos obter o seu valor como a

constante que é

-b = -1500

-b = -1500 (-1) agora, multiplicamos a equação toda por -1 para que valor de b

não seja negativo, portanto, o valor de b é

b=1500

Possuímos então o valor das duas constantes da equação, o valor de a, que é

-6 e o valor de b, que é 1500, sendo assim, podemos substituí-los na fórmula Q(p) =

ap + b, que teremos agora a função:

Page 12: Apostila de pesquisa operacional

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Q(p) = -6p + 1500

Onde “p” é o preço, ou seja, a série de pontos presentes no domínio da função

que se encontra no eixo das abscissas e Q é a quantidade, ou seja, a imagem

presente no eixo das ordenadas que se relaciona ao preço gerando a curva da função.

2.1 RECEITA

Entendemos por receita os lucros, em relação à quantidade vendida de um

determinado bem, ou serviço, desconsiderando seus custos. Pode-se compreender

como os lucros brutos de um exercício.

Para equacionarmos a receita somente necessitamos de uma equação

simples, onde os preços (p) são multiplicados pela quantidade (Q). Portanto, a

equação formulada será:

R= p.Q → p(-6p + 1500) → R= -6p² + 1500p

2.2 CUSTOS

Podemos admitir 3 formas básicas de custos:

- Custos fixos: aqueles que independem de produção, ou seja, são gastos

com plantas, parcelas de máquinas adquiridas em leasing...

- Custos variáveis: aqueles que dependem da produção, que aumentam e

diminuem em relação à produção, ou seja, matéria prima, mão de obra para a

produção, frete.

Page 13: Apostila de pesquisa operacional

12

- Custos casuais: aqueles que não são nem fixos nem variáveis, são custos

que não podem ser previstos com muita antecedência à produção, pois se manifestam

durante o processo de forma a serem computados quando surgem.

Adotando o exemplo de produção citado a cima, podemos calcular seus custos.

Para a produção de tal mercadoria, vamos tomar por hipótese a existência de apenas

custos variáveis, e que estes custos sejam de $20,00 por unidade produzida. Sendo

assim, qual é a função que determina os custos para a produção?

Podemos equacionar estes custos, tendo em vista de que eles variam em

relação à quantidade, então teremos a função que os determina:

C= 20Q → 20(-6p + 1500) → C = -120p + 30000

Onde “Q” é a incógnita referente à quantidade produzida.

2.3 LUCROS

Podemos classificar como lucro, todo o resíduo da produção que fora suficiente

para suprir as despesas com a produção e “sobraram’ ao fim do processo produtivo.

Se o resultado da produção, no âmbito financeiro, é a receita, o lucro é a receita

menos os custos totais, ou seja, os custos variáveis mais os custos fixos mais os

custos casuais.

Podemos equacionar este lucro utilizando um “sistema de funções’, ou seja,

subtraindo uma função da outra, no nosso caso, subtraindo da função receita, ou seja,

R= p.Q, a função custo, C= Cfix+Cvar+Ccas.

Podemos então afirmar que:

Page 14: Apostila de pesquisa operacional

13

L= R-C → L= Q.p – Cfix + Cvar + Ccas

Exemplo:

Adotando o gráfico de produção, qual é a função lucro?

A solução para isso é subtrairmos da função receita, citada acima a função

custo, que para o nosso exemplo, como já foi dito, é apenas variado.

Portanto teremos na função lucro:

L= R – C → L = p.Q – 20Q → L = (-6p + 1500)p -20(-6p + 1500) → L= -6p² +

1500p + 120p -30000 → L= -6p² + 1620p – 30000

Podemos, para esta função, formular o seguinte gráfico

Agora, podemos determinar qual é o melhor nível de produção, ou seja, no qual

se produza a quantidade que assegure o maior lucro. Para tal, devemos notar que, a

partir de um determinado ponto no gráfico a função que representa os lucros torna-se

decrescente.

Lucros

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480

-10000

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

Preço

Quantidade

Page 15: Apostila de pesquisa operacional

14

As derivadas nos demonstram a taxa de variação instantânea de uma função,

sendo assim, se a mesma é negativa, a função será decrescente e, se positiva, a

função é crescente. Levando esta teoria em consideração, o que acontece se a

derivada for igual a zero?

A resposta é, temos um ponto de máximo ou mínimo local, ou seja, é a partir

deste ponto que o sinal da derivada se altera.

Sendo assim, podemos utilizar a derivada para sabermos até que ponto é viável

produzir ou, melhor ainda, qual é o ponto ótimo de produção, o ponto onde a

quantidade produzida pode nos oferecer o maior lucro possível, este é o ponto de

máximo, e podemos encontrá-lo na função lucro através de sua derivada, ou seja,

derivamos a função e, se sabemos que o valor que desejamos é o de 0 para aquela

determinada derivada, determinamos isso igualando-a à 0:

Para tanto, primeiro derivaremos a função lucro, utilizando a aclamada “regra

do tombo”:

L = -6p² + 1620p – 30000 → L’= -12p + 1620 → -12p + 1620 = 0 → -12p = -

1620 → → p = 135

Sendo assim, podemos interpretar o resultado como sendo o ponto p=135 no

domínio, o ponto onde a derivada da função, ou seja, a reta tangente, possui uma

inclinação igual a zero, sendo este um ponto de máximo.

Page 16: Apostila de pesquisa operacional

15

Para sabermos qual é o lucro obtido com esta produção, podemos colocar o

valor do p encontrado, ou seja, p = 135, na função lucro:

L = -6.135² + 1620.135 – 30000 → L = $ 79350,00

Page 17: Apostila de pesquisa operacional

16

3 EXEMPLO: CUSTOS RECEITA E PONTO DE RUPTURA

Agora, buscaremos o ponto de ruptura em um caso onde, além dos custos

variáveis, teremos custos fixos.

Consideramos uma companhia que fabrica panelas. O arrendamento do galpão

e do maquinário necessários para começar a produção são os custos fixos, pois tais

custos existem ainda que nenhuma panela seja produzida. Os custos de matéria prima

são variáveis, pois tais quantias dependem de quantas panelas serão feitas. Suponha

que os custos fixos para esta companhia sejam de R$ 8.700,00 e os custos variáveis

de R$ 4,00 por panela.

A receita desta empresa é de R$9,00 por panela (sendo x o número de panelas

vendidas, a receita é dada por R(x) = 9x.

3.1 ENCONTRANDO A FUNÇÃO CUSTOS

Como bem sabemos, a função custos é a somatória dos custos variáveis,

custos fixos e custos casuais. No exemplo anterior, nossos custos eram apenas

variáveis, agora, agregaremos custos fixos, ou seja, aqueles que independem da

quantidade produzida:

Custos fixos = 8700

Custos variáveis = 4 por panela, se afirmamos que cada panela pode ser

representada pela incógnita x, então também podemos afirmar que a função dos

custos variáveis é de Cvar = 4x, ou seja, para a variação de cada x há uma variação

de R$ 4,00

O nosso objetivo agora é criar uma função que represente todos os custos, ou

seja, somarmos as duas funções.

Page 18: Apostila de pesquisa operacional

17

Custos Fixos + Custos variados → 8700 + 4x

Com isso, podemos então classificar a junção destas duas funções em uma

única função, a qual chamaremos apenas de C(x), e ela é:

C(x) = 4x + 8700

3.2 RECEITA

A receita permanece com sua forma inalterada, sendo o bruto recebido por

quantidade vendida. Em nosso exemplo, a função receita se dá por R(x) = 9x

Podemos colocar ambas as funções num mesmo gráfico e compararmos as

disposições das mesmas

Page 19: Apostila de pesquisa operacional

18

Sabendo que, a função lucro apresenta-se como receita – Custos, podemos

definir a função lucro por um sistema de funções onde:

L = 9x – (4x + 8700) → L = 5x – 8700.

3.3 PONTO DE RUPTURA

Ponto de ruptura é a quantidade a partir da qual o lucro é positivo, ou seja, a

quantidade “x” para a qual a função lucro apresenta um resultado > 0. Porém, o ponto

de ruptura em si é situado no ponto do domínio da função lucro onde a imagem é 0,

ou seja, podemos encontrá-lo igualando a função lucro à 0:

L = 5x – 8700 → 5x – 8700 = 0→ 5x = 8700 → x = ����

� → x = 1740

Isso significa que, no ponto do domínio da função lucro x=1740, o resultado é

zero

Page 20: Apostila de pesquisa operacional

19

3.4 PONTO DE EQUILÍBRIO

Observe o que acontece quando utilizamos o ponto x = 1740 nas funções:

Custos

Page 21: Apostila de pesquisa operacional

20

Receitas:

Perceba que em ambas as funções, o ponto x do domínio em questão encontra-

se em destaque.

Observe agora o que acontece quando sobrepomos as funções custos e

receitas num mesmo gráfico com o ponto, o qual chamamos equilíbrio, em destaque.

Page 22: Apostila de pesquisa operacional

21

Veja que, o ponto de equilíbrio, se sobrepõe nas funções. Isto ocorre porquê

eles possuem o mesmo domínio e a mesma imagem, sendo assim, tem o mesmo

resultado em funções diferentes. Note que, as funções as quais estamos falando são

as funções Custos e Receitas.

Chamamos este ponto de ponto de equilíbrio, pois é o ponto no qual as receitas

satisfazem os custos, para sabermos qual é o valor deste ponto no domínio das

respectivas funções, somente necessitamos encontrar o ponto de ruptura da função

lucro, ou seja, aquele no qual a função lucro é igual à 0, sendo assim, poderemos

utilizar o valor do domínio em ambas as funções e conferirmos o ponto de equilíbrio

de forma que, em ambas, a imagem deve ser a mesma.

Após o ponto de equilíbrio, podemos afirmar que a diferença entre as funções

Custos e Receitas, é o valor dos Lucros

Page 23: Apostila de pesquisa operacional

22

Recapitulando:

O ponto de equilíbrio é o ponto onde as funções Receitas e Custos se

satisfazem, sendo que, para o ponto do domínio em questão, possuem nas

respectivas funções, uma mesma imagem, sendo esta imagem a referente ao ponto

de ruptura da função lucro, que se dá pela mesma igualada à zero.

Page 24: Apostila de pesquisa operacional

23

4 IDENTIFICANDO OS CUSTOS

Existem situações onde os custos não são apresentados de maneira explicita,

sejam eles custos fixos ou variáveis. Vejamos o Exemplo abaixo:

O preço de custo de mini tubérculos de batata-semente hidropônica varia com

a quantidade “q” de unidades produzidas. Assim, se nossa empresa produzir 10.000

peças, o custo de produção será $ 200.000,00 e se ela produzir 24.000 peças, o custo

será de $ 368.000,00. Porém, nossa empresa possui custos fixos e variados, pois

precisamos pagar o aluguel do galpão onde trabalhamos e o leasing de algumas das

máquinas além da matéria prima para a produção.

Quais os custos fixos e variáveis de nossa produção?

Nesta situação, não podemos, de imediato, identificar quais são os custos de

produção, porém, com a ajuda da matemática, poderemos criar uma função que

represente os custos, onde tanto os custos fixos, quanto os variáveis, serão

devidamente fixados. Para tal, comecemos os cálculos!

Primeiramente, o texto traz uma informação muito importante, a informação

sobre os custos totais, ou seja, ele nos diz que, se produzirem 10.000 peças, o custo

será de $ 200.000,00 e se produzirem 24.000 peças, o custo será de $ 368.000.

Podemos admitir que:

C(q) = custos totais → C(q) = Cvar + Cfix → C(q) = c.q + Cfix

Os custos totais são a soma dos custos fixos e variáveis, e os custos variáveis

são aqueles que dependem da produção “q”, ou seja, há um valor fixo para cada

unidade produzida

Encontrando o custo de produção do problema

Segundo o problema apresentado no exemplo acima, temos um custo total para

certa quantidade de produção, porém, possuiremos então em nossa função duas

incógnitas:

Page 25: Apostila de pesquisa operacional

24

C(q) = c.q + Cfix

-Para a produção de q = 10000 teremos C = 200000, substituindo na função:

200000 = 10000c + Cix

-Para a produção de q = 24000 teremos C = 368000, substituindo na função:

368000 = 24000c + Cfix

Com estas duas funções, podemos aplicar uma operação matemática

conhecida como sistema de equações, onde a idéia é eliminarmos uma incógnita das

equações para podermos identificar o valor da outra.

Portanto, mãos à obra!

Se transformarmos uma das funções acima numa função negativa,

multiplicando-a por -1, o que alteraria seu sinal porém manteria seus números

intactos, poderemos então subtraí-la da outra função

Veja como faremos isso:

200000 = 10000c + Cfix

368000 = 24000c + Cfix

Note que em ambas as funções existe uma incógnita em comum, “Cfix”, sendo

assim, poderemos eliminá-la das funções multiplicando uma delas por -1 e subtraindo-

a da função que permanecer positiva:

200000 = 10000c + Cfix (-1) -200000 = -10000c - Cfix

368000 = 24000c+ Cfix 368000 = 24000c + Cfix

Page 26: Apostila de pesquisa operacional

25

-Se subtrairmos uma função da outra teremos a função:

168000 = 14000c

Note que eliminamos a incógnita Cfix. Isto foi possível porque subtraímos uma

função da outra, e, em uma delas, esta incógnita possuía um sinal positivo, já na outra,

um sinal negativo, sendo assim, seu valor tornou-se 0, e 0 adicionado a um outro

número, é inexpressivo.

-Agora poderemos encontrar o valor da incógnita “c”, que na verdade é a

constante do custo variável:

168000 = 14000c → 14000c = 168000 → c = ������

����� → c = 12

-Agora que conhecemos o valor da constante c, que é 12, poderemos substituir

em qualquer uma das duas funções e encontrarmos o valor da outra incógnita, Cfix,

que também é uma constante na função:

Tomemos para o cálculo a função 368000 = 24000c + Cfix

Substituindo o valor de “c”

368000 = 24000.12 + Cfix → -Cfix = 288000 – 368000 → -Cfix = -80000 →

Cfix = ������

��→ Cfix = 80000

-Com estes cálculos simples, conseguimos identificar as duas incógnitas, que

na verdade eram constantes, de nossa função custo que é:

C(q) = 12q + 80000

Page 27: Apostila de pesquisa operacional

26

Dica:

Para verificarmos a exatidão de nossos cálculos, podemos utilizar uma das

quantias as quais sabemos o valor do custo, substituindo a quantidade na função

custo. Veja:

q = 10000

C(q) = 12.10000 + 80000 → C(q) = 120000 + 80000 → C(q) = 200000

Note que o resultado da função custo para uma quantidade de 10000 foi de $

200.000,00, como citado no problema, portanto, podemos afirmar que a função custo

que se encaixa a este problema é a:

C(q) = 12q + 80000

4.1 FUNÇÃO RECEITA E PONTO DE EQUILÍBRIO

Ainda levando em consideração o exemplo utilizado na demonstração anterior,

suponhamos que a receita por unidade ‘q’ vendida seja de $ 17,00. Qual será o ponto

de equilíbrio?

-Retomemos os exemplos anteriores, onde comprovamos que o ponto de

equilíbrio entre as funções receita e custos é o ponto de ruptura da função lucro, sendo

assim, para encontrarmos o nosso ponto de equilíbrio, primeiro deveremos encontrar

a função lucro.

Page 28: Apostila de pesquisa operacional

27

Lembremos que:

A função Custo é :

- C(q) = 12q + 80000

A função receita é a relação entre o valor a ser vendido e a quantidade vendida,

ou seja, se afirmamos que cada unidade que vendemos é transacionada a um valor

de $ 17,00 então nossa função receita será este valor fixado por cada unidade

vendida. Poderemos então representar matematicamente esta situação pela equação:

- R(q) = 17q

Sendo assim, podemos representar então nossa função lucro:

- L(q) = R(q) – C(q) → L(q) = 17q – (12q + 80000) → L(q) = 17q – 12q - 80000→

L(q) = 5q – 80000

Agora que já possuímos a equação Lucro, igualemo-na à zero e então

possuiremos o ponto de ruptura:

- L(q) = 5q – 80000 → 5q – 80000 = 0 → 5q = 80000 → q = �����

� → q = 16000

Com estes cálculos, pudemos encontrar o ponto de ruptura da função lucro,

sendo assim, resta-nos empregá-lo nas funções Custo e Receita e compararmos os

resultados, se forem iguáis, este será o ponto de equilíbrio:

R(16000) = 17.16000 → R(16000) = 272000

C(16000) = 12,16000 + 80000 → C(16000) = 272000

Page 29: Apostila de pesquisa operacional

28

- Sendo iguais os resultados em ambas as funções, este é nosso ponto de

equilíbrio.

Veja o Gráfico:

Lembrando:

- A partir do ponto de equilíbrio, a diferença entre as curvas geradas pela função

Custos e a função Receita é igual aos lucros.

Page 30: Apostila de pesquisa operacional

29

5 TOMADA DE DECISÃO

Neste exemplo empregaremos os cálculos de lucros para a tomada de decisão.

Veja o exemplo abaixo:

Para custear seus estudos um estudante resolve vender caixas de damasco.

Se trabalhar para o proprietário de uma quitanda, ele receberá fixo por dia R$ 5,00 até

cumprir uma meta de 20 caixas diárias vendidas. A partir da 21ª caixa, o patrão lhe

pagará R$ 0,70 por cada caixa vendida acima da meta. Por outro lado, ele sabe que

pode comprar direto do produtor cada caixa de damascos e vendê-las, descontados

os impostos, com lucro de R$ 0,50, revertido exclusivamente para ele.

Qual é a melhor situação para o estudante ser proprietário de seu negócio e de

ser empregado?

Temos uma questão de tomada de decisão direta, agora teremos que analisar

a situação antes de agir, primeiramente, devemos notar os lucros que o estudante

possuiria em ambos os casos, para tal, devemos equacioná-los.

-Empregado:

Neste caso ele possui uma renda fixa diária de R$ 5,00 antes de atingir a meta

de 20 caixas de damascos, ou seja, vendendo ou não o produto, esta é uma renda

certa, após cumprir a meta, terá uma comissão de R$ 0,70 por caixa

- Autônomo:

Neste caso, seu lucro por caixa vendida é de R$ 0,50

Para qual situação é mais propício ser autônomo e para qual é melhor ser

empregado?

Page 31: Apostila de pesquisa operacional

30

A chave para a solução do problema é o ponto de equilíbrio entre os lucros,

podemos equacionar as duas situações:

- Empregado

Para menos de 20 caixas seu lucro é fixo, ou seja, L = 5

Para mais de 20 caixas seu lucro é de R$ 0,70 por caixa. Para equacionarmos

esta situação, teremos de usar um pouco de lógica:

Se o estudante vender 20 caixas, ainda não possuirá esta “renda premio”, sua

comissão. Somente à partir da 21ª caixa, ela existe, então, somente a partir deste

ponto. Porém, o valor de R$ 5,00 será fixo, ou seja, se ele vender uma quantidade “q’

de caixas de damasco sendo que esta é maior do que 20, sua renda será de R$ 0.70

mais os R$ 5,00 que já lhe eram garantidos. Podemos então criar a equação:

R = 0.7(q – 20) + 5

Pois só existirá esta renda quando o valor de “q” for maior que 20, porém, é

válido lembrar que, para este caso, pode haver uma delimitação do domínio da função

onde teríamos a seguinte função:

R = 0,7q +5

D ={ q E R/ q >20}

- Autônomo

Neste caso, independente da quantidade “q”, sua renda é de R$ 0,50 por

unidade, então a função q se encaixa é:

L = 0,5q

Tomando a decisão

Page 32: Apostila de pesquisa operacional

31

Para sabermos qual é a melhor situação para o estudante, devemos encontrar

o ponto de equilíbrio das funções, porém, veja primeiro o gráfico abaixo.

Note que as funções se cruzam 2 vezes, isso nos diz que não existe apenas 1

ponto de equilíbrio, mas sim 2 pontos. Para podermos encontrar estes pontos, observe

também que as funções se cruzam em situações diferentes, sendo uma antes da

comissão - como autônomo pois a curva em questão é uma constante - e a outra, com

a comissão.

Para encontrarmos os pontos de equilíbrio, podemos adotar a forma de

resolução empregada nos exemplos anteriores, com o ponto de ruptura. Porém, não

encontraremos agora uma fórmula de lucros, pois este não é nosso objetivo, mas sim,

a diferença entre as funções, portanto, calculemos.

Page 33: Apostila de pesquisa operacional

32

Primeiramente, calculemos o ponto de equilíbrio para as vendas até 20 caixas,

onde temos as funções:

- Empregado:

R= 5

- Autônomo:

R = 0,5q

- Utilizando o sistema de funções:

R = 5 (-1) R = -5

→ → R = 0,5q - 5

R = 0,5q R = 0,5q

- Igualamos o valor da renda à 0:

R = 0,5q – 5 → 0,5q – 5 = 0 → 0,5q = 5 → q = �

�,� → q = 10

Agora sabemos que para “q” < =20, o ponto de equilíbrio entre as funções é q

= 10. Para confirmarmos estes cálculos, substituamos em ambas as funções o valor

de “q”

R = 5, para esta função não há o que substituir, pois é uma constante

R = 0,5.5 → R = 5

Agora, temos a confirmação do nosso ponto de equilíbrio, que chamaremos de

Equilíbrio 1

Page 34: Apostila de pesquisa operacional

33

Façamos o mesmo para o ponto de equilíbrio com q >20

- Empregado:

R = 0,7(q-20) + 5

- Autônomo:

R = 0,5q

- Aplicando o sistema

Desta vez, apresentaremos uma outra forma de aplicar-se sistema de funções,

o que pode tornar mais fácil a compreensão da resolução do problema, apenas

igualaremos as funções. Observe:

0,7(q – 20) + 5 = 0.5q→ 0,7q – 14 +5 = 0,5q → 0,7q – 9 = 0,5q → 0,7q – 0,5q

= 9 → 0,2q = 9 → q =

�, → q = 45

Encontrado o ponto de equilíbrio, apliquemo-lo às funções para validá-lo:

R = 0,7(45 – 20) + 5 → R = 0,7.25 + 5 → R = 22,5

R = 0,5.45 → R = 22,5

Validado o ponto, então teremos o nosso novo ponto de equilíbrio, o qual

chamaremos Equilíbrio 2

Agora, visualizamos o gráfico novamente:

Page 35: Apostila de pesquisa operacional

34

Agora podemos notar quais são os pontos de equilíbrio do problema, e notando

a diferença nas curvas de empregado e autônomo, podemos perceber até que ponto

vale a pena ele ser empregado e autônomo

Analisando os dados e chegando à uma conclusão

Podemos ver no gráfico, a diferença entre as curvas, podemos nos orientar por

ela para tomarmos a decisão, ou seja, até onde vale a pena continuar trabalhando

como empregado e a partir de onde vale a pena começar o próprio negócio.

Note que, no gráfico, a partir de 0, a renda como empregado é maior que a

renda como autônomo, mas só até a ponto de vender 10 caixas de damasco, onde a

renda como autônomo é superior, o que deixa de ser verdade a partir da venda de 45

caixas, onde a renda como empregado, torna a ser maior.

Portanto, podemos afirmar que,:

Page 36: Apostila de pesquisa operacional

35

-para vender até 10 caixas, vale à pena ser um empregado;

-para vender acima de 10 caixas, porém, abaixo de 45, vale à pena ser um

empreendedor;

-porém, para superar a margem de 45 caixas, é muito melhor ser um

empregado, pois a renda é superior a do empreendedor.

Page 37: Apostila de pesquisa operacional

36

6 PROBLEMA DE APLICAÇÃO

Neste exemplo, demonstraremos o gráfico de uma produção e você deverá

encontrar a função lucro, o que lhe dará o ponto de ruptura.

Os custos totais de produção da nossa empresa de rações são mostrados no

gráfico a seguir, juntamente com a receita total.

Solução;

Para resolvermos este problema, primeiramente temos de definir quais funções

geraram as curvas da receita e dos custos. Para tal, utilizaremos a derivada destas

curvas.

Como são “retas”, podemos deduzir que as equações são de 1º grau, ou seja,

sua fórmula é : Y = ax +b

2

0

40 kg

de ração

$ R

eceita c

ustos

Page 38: Apostila de pesquisa operacional

37

Onde:

- x é a variável, o nosso caso, Kg de ração;

- b é a constante, que pode tanto ser definida como o ponto onde a curva

intersecciona o eixo das ordenadas como o valor obtido pela adoção de x = 0

- a é o coeficiente angular da reta, ou seja, sua derivada, a taxa de variação

instantânea da curva

- Y é preço de produção e o valor da renda, para as respectivas curvas

6.1 CURVA DOS CUSTOS

Podemos agora encontrar a função que gerou esta curva.

Primeiramente, vamos calcular o valor de a, para tal, utilizaremos a derivada

da curva:

a = ��

� → a =

�����

�� � → a =

�����

���� → a =

�� → a = 0,5

Em seguida, encontraremos o valor de “b”, para tal, selecionaremos valores de

x e Y que estejam evidentes no gráfico para substituirmos, em nosso caso, optamos

pelos valores de Y = 80 e x = 40

Y = ax + b → 80 = 0,5.40 + b → b + 20 = 80 → b = 80 – 20 → b = 40

Sendo determinadas as constantes, podemos formar a função que deu origem

à curva:

Y = 0,5x + 40

Habilitando à ao problema, teremos:

Page 39: Apostila de pesquisa operacional

38

C(kg) 0,5kg + 40

Curva da receita

Para a curva da receita, utilizaremos a mesma técnica de resolução:

- a = ��

� → a =

�����

�� � → a =

����

��� → a = 2,5

Em seguida, encontraremos o valor de “b”, para tal, selecionaremos valores de

x e Y que estejam evidentes no gráfico para substituirmos, em nosso caso, optamos

pelos valores de Y = 80 e x = 32

- Y = ax + b → 80 = 2,5.32 + b → 80 + b = 80 → b = 80 – 80 → b = 0

Sendo determinadas as constantes, podemos formar a função que deu origem

à curva:

Y = 2,5x

Habilitando à ao problema, teremos:

R(kg) = 2,5 kg

6.2 FUNÇÃO LUCRO

Para formularmos a função Lucro, devemos lembrar que, lucro é igual à

receita menos despesas portanto:

L = R(kg) – C(kg) → L = 2,5kg – (0,5kg + 40) → L = 2,5kg – 0,5kg – 40 →

Page 40: Apostila de pesquisa operacional

39

L = 2kg – 40

Determinada a função Lucro, igualamo-la a zero e então encontraremos o ponto

de ruptura, conseqüentemente, o ponto de equilíbrio entre as curvas dos custos e da

receita:

L = 2kg – 40 → 2kg – 40 = 0 → 2kg = 40 → kg = ��

→ kg = 20

Sabemos que nosso ponto de ruptura é em kg = 20, agora, para validá-lo como

ponto de equilíbrio entre as funções, coloquemo-lo nas respectivas funções.

R(kg) = 2,5kg → R(kg) = 2,5.20 → R(kg) =50

C(kg) = 0,5kg + 40 → C(kg) = 0,5.20 + 40 → C(kg) = 10 + 40 → C(kg) = 50

Veja agora no gráfico:

Page 41: Apostila de pesquisa operacional

40

Page 42: Apostila de pesquisa operacional

41

7 PROGRAMAÇÃO LINEAR (P.L.)

A programação linear é a área mais utilizada em P.O.

Ela surgiu na 2ª Guerra Mundial com o intuito de otimizar soluções de

problemas que possam ser modelados matematicamente.

7.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO:

Desejamos otimizar o lucro pela utilização de duas opções de cultura: milho e

trigo. As restrições referem-se ao espaço utilizado sendo que as partes de milho e

trigo não podem ultrapassar a dimensão disponível para o plantio que é de 200 ha.

Sabe-se que cada hectare de milho consome R$1.000,00 com gastos de preparação

de terreno e 20 homens/horas de utilização de mão de obra. Já o trigo consome R$

1.200,00 para o preparo e exige 30 homens/horas como mão de obra. Está disponível

um total de R$ 240.000,00 para o plantio e manejo e um total de 5040 homens/horas

para mão de obra. Por fim, o lucro esperado é de R$ 600,00 por hectare de milho e

R$ 850,00 por hectare de trigo.

Solução:

Para começarmos a resolver este problema, devemos primeiro identificar qual

seu objetivo:

Segundo o texto, o objetivo do problema é otimizar o lucro, ou seja, maximizá-

lo

Em P.L., possuímos variáveis de decisão, como o que produzir, assim como e

descrito no texto, por tanto, nossas variáveis de decisão para o problema serão o

Milho e o Trigo. Para efeito de equacionamento, delimitaremos as incógnitas do trigo

e do milho por T e M respectivamente.

Adotaremos uma equação chamada “função objetivo”, que representa o que

estamos procurando, no nosso caso, é a maximização dos lucros. Portanto, nossa

Page 43: Apostila de pesquisa operacional

42

função objetivo será uma função lucro, devemos lembrar que nossa produção é de

trigo e milho, então os lucros só podem ser provenientes daí, ou seja, nosso lucro é

obtido da função gerada pela soma das receitas líquidas geradas de ambas as

opções, o que pode ser traduzido pela função:

L = 600M + 850T

Já que o texto nos diz que, é esperado para cada hectare de milho um lucro de

R$ 600,00 e para cada hectare de trigo um lucro de R$ 850,00, a cada hectare de

ambos os produtos que aumentarmos, teremos um lucro potencializado

proporcionalmente, sendo assim, podemos afirmar que estes valores são constantes

dentro de nosso problema, sendo as variáveis a quantia de hectares dedicados as

respectivas culturas

7.2 VARIÁVEIS DE RESTRIÇÃO

Podemos notar que o texto nos expressa que não temos todo o espaço do

mundo, nem todo o dinheiro do mundo tão quanto temo toda a mão-de-obra do mundo

para nosso empreendimento. Portanto, temos alguma restrições, sendo estas citadas

no problema, são essas:

- Espaço

- Mão de obra

- Recursos financeiros

A tabela a seguir demonstra os recursos disponíveis e a necessidade que cada

cultura demonstra por estes recursos por hectare

Page 44: Apostila de pesquisa operacional

43

Milho Trigo Máximo

disponível

Homens/Hora 20 30 5040

Área 1 1 200 ha

Gastos 1000 1200 240000

Sendo essa a nossa realidade, podemos equacionar o que podemos ou não

fazer, de modo a restringirmos nossas ações dentro da realidade:

Portanto

Na situação de área, podemos encontrar a inequação:

M + T ≤ 200

Na situação de gastos, cabe a inequação:

1000M + 1200T ≤ 240000

E para a situação de mão de obra, a inequação:

20M + 30T ≤ 5040

Estamos trabalhando com a realidade, portanto, ao há como produzirmos um

número negativo de produtos, portanto, devemos gerar inequações de não

negatividade:

M ≥ 0

T ≥ 0

Page 45: Apostila de pesquisa operacional

44

7.3 SOLUÇÃO ÓTIMA

Para encontrarmos a solução ótima, faremos uso da região simplex, tal como

descrito abaixo:

- Primeiramente, devemos encontrar as coordenadas, em eixos cartesianos,

das inequações de restrição:

1ª inequação

Para encontrarmos os pontos cartesianos, primeiramente transformamos estas

inequações em equações, depois, isolamos uma das incógnitas, em seguida,

adotamos o valor de uma delas como sendo 0, assim como no exemplo abaixo:

M + T ≤ 200 → M + T = 200 → M = 200 – T → M = 200 – 0 → M = 200

M = 200 – T → 0 = 200 – T → T = 200

Para a segunda inequação, faremos o mesmo processo, note que, após

chegarmos ao cálculo em azul, utilizamos o mesmo para identificar as duas

coordenadas, este processo deve ser mantido.

2ª Inequação:

1000M + 1200T ≤ 240000 → 1000M + 1200T = 240000 → 1000M = 240000 –

1200T → M = ����������

���� → M = 240 – 1,2T → M = 240 – 1,2.0 → M = 240

M = 240 – 1,2T → 0 = 240 – 1,2T → 1,2T = 240 → T = ��

�, → T = 200

Page 46: Apostila de pesquisa operacional

45

3ª Inequação

20M + 30T ≤ 5040 → 20M + 30T = 5040 → 20M = 5040 – 30T → M = ��������

→ M = 252 – 1,5T → M = 252 – 1,5.0 → M = 252

M = 252 – 1,5T → 0 = 252 – 1,5T → 1,5T = 252 → T = �

�,� → T = 168

Após encontradas todas as coordenadas, devemos traçar um gráfico onde

estas coordenadas tem relação aos eixos, afinal, igualamos sempre uma das

incógnitas a zero, ou seja, seu valor como imagem da outra incógnita era zero.

Veja o gráfico abaixo:

Page 47: Apostila de pesquisa operacional

46

7.4 REGIÃO SIMPLEX

A região simplex e a região onde as possibilidades são reais, nesta região,

qualquer emprego das culturas seria admissível. Ela se encontra abaixo de todas as

curvas, os pontos prováveis de otimização se encontram nos cruzamentos das curvas

e nos cruzamentos com os eixos, veja no gráfico abaixo

Estes pontos representam coordenadas, mas além disso, representam

quantidades de produção, agora, devemos descobrir quais são as coordenadas que

estes pontos representam, para tal, devemos identificar as intersecções entre funções

que estes pontos representam, após identificadas, devemos descobrir qual o valor

destas coordenadas, veja o exemplo de resolução a seguir:

Ponto 1:

Cruzamento entre as inequações 1 e 3

Page 48: Apostila de pesquisa operacional

47

Para encontrarmos as coordenadas deste ponto, utilizaremos o sistema de

funções, o mesmo que já utilizamos para identificar o ponto de equilíbrio para os

custos e receitas. Veja:

Inequação 1: M + T ≤ 200

Inequação 3: 20M + 30T ≤ 5040

Para iniciarmos a resolução, devemos aplicar um sistema de modo a eliminar

uma das incógnitas. Observe:

20M + 30T ≤ 5040 20M + 30T ≤ 5040

→ → 10T ≤ 1040

M + T ≤ 200 (-20) -20M – 20T ≤ -4000

O segundo passo é transformarmos esta inequação em uma equação e

encontrarmos sua raiz:

10T ≤ 1040 → 10T = 1040 → T = ����

�� → T = 104

Agora que encontramos o valor de T, se o substituirmos numa das funções,

poderemos encontrar o valor de M:

M + T ≤ 200 → M + T = 200 → M + 104= 200 → M = 200 – 104 → M = 96

Nosso objetivo com este problema é maximizar os lucros, portanto, devemos

empregar estes resultados na função objetivo, que é a função lucro. Observe:

L = 600M + 850T → L = 600.96 + 850 . 104 → L = 146000

Page 49: Apostila de pesquisa operacional

48

Com a produção de 96 hectares de milho e 104 hectares de trigo, possuiremos

um lucro de R$ 146.000,00.

Testemos agora os outros pontos identificados na região simplex

Ponto 2

T = 168

M = 0

Neste caso, como é um ponto no eixo, é óbvio que o valor da outra

coordenada que não seja a que nomeia o eixo seja zero, portanto, dispensa cálculos.

Empreguemos então os valores das coordenadas na função lucro:

L = 600M + 850T → L = 0.600 + 168.850 → L = 142800

Com a produção de apenas 168 hectares de trigo, nosso lucro será de R$

168.000,00

Ponto 3

Mais uma vez, um ponto no eixo. Observe:

T = 0

M = 200

Substituindo na função lucro:

L = 600M + 850T → L = 600.200 = 850.0 → L =120000

Page 50: Apostila de pesquisa operacional

49

Produzindo apenas 200 hectares de milho, obteremos um lucro de R$

120.000,00

Portanto, analisando as possibilidades de produção na qual o desempenho

seria o melhor, ou seja, os pontos obtidos na região simplex, podemos afirmar que o

melhor consórcio de produção será o de 96 hectares de milho e 104 hectares de trigo,

onde obteremos um lucro de R$ 146.000,00.

Page 51: Apostila de pesquisa operacional

50

8 LINDO

O programa LINDO é um software criado para solucionar problemas de

programação linear. Ele é capaz de resolvê-los eliminando os cálculos e, em

conseqüência, poupando tempo.

Utilizaremos agora este programa para resolver o seguinte problema:

Problema da formulação de uma ração ideal a custo mínimo. Sabe-se que um

determinado animal de grande porte necessita diariamente de no mínimo 140 mg de

vitamina tipo 1, 190 mg de vitamina tipo 2 e 80 mg de vitamina tipo 3. Serão

misturados dois tipos de alimentos, A e B, para compor a ração do animal. O custo do

quilograma do alimento A é de R$5,00 e o custo do quilograma do alimento B, R$4,00.

Sabemos que cada kg do produto A contém 2 mg de vitamina tipo 1, 5 mg de vitamina

tipo 2 e nenhuma mg do tipo 3. Além disso, o composto B contém 2 mg de vitamina

tipo 1, 1 mg de vitamina tipo 2 e 4 mg de vitamina tipo 3. Vamos procurar encontrar

qual a composição ideal de alimentos A e B de forma que sejam satisfeitas as

necessidades mínimas do animal em questão e que o custo de produção seja o menor

possível.

O programa LINDO é um programa que segue uma linguagem de

programação, diferentemente das maravilhosas interfaces que podemos encontrar na

maioria dos programas da atualidade. Apesar disso, ele não deixou de ser um

poderoso aliado na programação linear.

Por tanto, devemos dizer ao programa tudo o que ele deve fazer.

- Tudo o que é escrito no programa é compreendido como uma variável do

problema, a não ser que esteja entre pontos de exclamações, então as frases, títulos,

ou qualquer outras coisas digitadas serão apenas compreendidas como um texto

ilustrativo.

Como no exemplo acima, devemos primeiramente dizer ao programa o que

queremos daquele problema, para tal, devemos encontrar a função objetivo, as

variáveis de restrição e descrevermo-las em linguagem de programação.

Page 52: Apostila de pesquisa operacional

51

O problema nos diz que desejamos minimizar os custos, portanto, devemos

identificar quais os custos empregados e sobre o que são empregados e, colocarmos

na linguagem de interpretação do programa.

Sabemos que há um custo a compra do alimento A, e outro na compra do

alimento B, portanto, como na função objetivo citada no problema de programação

liear anterior, devemos criar a função objetivo, que no caso, para a interpretação do

programa, deve ser colocada no algoritmo da seguinte forma:

MIN5A+4B

Efetuada esta parte do algoritmo, deveos então definir as variáveis de

restrição, segundo o texto elas são:

A B Mínimo

Necessário

Vitamina 1 2 2 140mg

Vitamina 2 5 1 190mg

Vitamina 3 0 4 80mg

Note que agora queremos encontrar o mínimo necessário, para tanto,

deveremos alterar as inequações de restrição, portanto serão elas:

2A + 2B ≥ 140

5A +1B ≥ 190

4B ≥ 80

- é necessário demonstrar ao programa as restrições presentes no problema.

Seguindo nosso exemplo, devemos digitar, em linhas separadas, as restrições,

assim como é descrito no algoritmo abaixo:

Page 53: Apostila de pesquisa operacional

52

Subject to

2A+2B>=140

5A+1.1B>=190

4B>=80

A frase Subject to (sujeito à) indica a restrição do problema à realidade

apresentada pela situação.

Nesta sessão, também devemos colocar as inequações de não negatividade:

B>=0

A>=0

- Após inseridas todas as informações no programa, devemos “informá-lo” que

já pode tomar sua decisão, para tal, sinalizamos na linguagem de programação o fim

com a palavra END, com isso, teremos então o seguinte algoritmo:

!QUALQUER COISA QUE VOCÊ QUEIRA ESCREVER QUE NÃO TENHA UM VALOR A SER

CALCULADO!

MIN 5A+4B

SUBJECT TO

2A+2B>=140

5A+1.1B>=190

4B>=80

B>=0

A>=0

END

Page 54: Apostila de pesquisa operacional

53

Finalizando o algoritmo, podemos pedir para que o programa calcule a solução

ótima clicando no alvo que é descrito na imagem abaixo

Após clicarmos, o programa nos fornecerá um relatório, em inglês, com os

resultados para a programação linear, como é demonstrado abaixo

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 310.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

A 30.000000 0.000000

B 40.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 -1.875000

3) 0.000000 -0.250000

4) 80.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

Page 55: Apostila de pesquisa operacional

54

Teremos no relatório as seguintes informações importantes:

� LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2:

Significa que o algoritmo simplex utilizado pelo programa encontrou a

solução com dois passos (vértice)

� OBJECTIVE FUNCTION VALUE:

Indica que o valor ótimo da função objetivo, neste caso, é de 310.000

� VARIABLE VALUE E REDUCET COST:

Temos uma tabela que apresenta os valores ótimos das variáveis

básicas. Portanto A = 30 e B = 40. A coluna REDUCED COST é o custo

reduzido, quando ela apresenta dados diferentes de 0 significa o quanto que a

variável correspondente deveria ser aumentado para sua solução seja diferente

de zero. Neste caso, como A e B são diferentes de zero a coluna REDUCED

COST aparece nula.

� ROW SLACK OR SURPLUS E DUAL:

ROW são as linhas, SLACK é a folga, significa o limite da restrição. No

caso de SLACK = 80 mostra que a restrição da equação 4b>=80 tem folga de

80 na vitamina 3. DUAL PRICE = -1.875 representa o aumento da função

objetiva (lucro) se aumentar em 1 no limite das restrições (no caso -1.875, quer

dizer que diminui para cada 1 que aumentar.

Page 56: Apostila de pesquisa operacional

55

9 AJUSTAMENTO DE CURVAS.

Utilizado para projeções em cima de dados anteriores, o ajustamento de curvas

é muito utilizado na tomada de decisão, justamente por poder “prever” uma situação

muito próxima à realidade.

Exemplo:

Um determinado hedger, ao ser contratado por um produtor de soja deve fazer

uma previsão para os valores, no mercado futuro, do derivativo. Sendo assim, ele

decide coletar dados no site da bolsa de valores. Os dados que este hedger

conseguiu foram em intervalos de semanas, porém, ele não pode obter dados de toas

as semanas, sendo assim, em alguns casos ele teve de utilizar dados diários, portanto,

ele admitiu que uma semana possuiria o valor absoluto de 1 e, um dia, o valor

aproximado de 0.142857143. O hedger determinou a semana na qual foi contratado

como a semana 0, e pesquisou o mercado por mais 8 semanas, os resultados obtidos

por esta pesquisa foram:

Semana Oscilação

-2 54

-1 0

-0,2 -1,38

0 0

0,5 2,44

1 0

3 -96

4 -180

6,5 -134,06

8 504

Qual será a projeção de preços para o derivativo de soja:

Page 57: Apostila de pesquisa operacional

56

Resolução:

A intenção deste problema é saber quais serão os valores do derivativo, para

optarmos pelo melhor dia de fazer o hedge, podemos obter estes valores, mesmo que

aproximados, por um ajuste da curva gerada através dos pontos que são as semanas

pesquisadas em relação às oscilações analisadas nas mesmas.

O método que utilizaremos para fazer o ajuste desta curva será o oferecido pelo

programa Graph 4.3, seguindo os procedimentos citados a baixo:

Para tanto, temos alguns procedimentos à cumprir, a questão é que temos

dados referentes a tempo e a valores de oscilação, ou seja, temos dados de ordem

cronológica. A primeira coisa à ser feita e determinarmos qual dos valores assumirá

os eixos x e y do programa. Para nosso problema, determinamos os dados de ordem

cronológica para o eixo x, e os dados das oscilações para o eixo y.

Agora, deveremos colocar os dados na opção “série de pontos”, que se

encontra no ícone citado na imagem abaixo:

Após selecionada a opção, surgirá uma tabela com as indicações x e y. Nesta

tabela devemos inserir os dados como domínio e imagem, ou seja, definir para qual

dia do eixo x há o determinado valor de oscilação no eixo y:

Page 58: Apostila de pesquisa operacional

57

Após selecionados os respectivos domínio e imagem, podemos confirmar a

série de pontos, o resultado será o surgimento de pontos no gráfico. Ajuste os valores

dos eixos para melhor se adaptarem a visualização do gráfico:

Page 59: Apostila de pesquisa operacional

58

Opção de ajuste dos eixos:

Para acessar esta opção é necessário somente clicar duas vezes sobre a

opção eixos:

Page 60: Apostila de pesquisa operacional

59

Page 61: Apostila de pesquisa operacional

60

Após ajustados os eixos, a série de pontos poderá ser melhor visualizada:

Depois de inserida a série de pontos, deveremos ajustar a curva na opção

“ajuste de curvas”:

Obs: Para esta opção ser acessível, é necessário destacar a série de pontos

sobre a qual se deseja realizar um ajuste, clicando sobre ela no menu do lada

esquerdo da interface do programa.

Page 62: Apostila de pesquisa operacional

61

Após selecionar a opção, um menu de opções de ajuste surgirá:

Agora você precisará de um pouco de paciência, pois terá de testar as curvas

disponíveis para descobrir qual delas melhor se encaixa.

Page 63: Apostila de pesquisa operacional

62

Selecionando uma curva, uma função respectiva a ela surgirá também, junto

desta função haverá uma letra “R”

Este “R” é o ponto culminante para o ajustamento, é ele quem indica o desvio

da curva em relação aos pontos. Para que a curva seja o mais fiel a série possível, é

imprescindível que o valor do “R” seja igual à 1.

Observe o ajustamento feito com uma função polinomial de 4º grau sobre a

série de pontos:

Olhando mais de perto, vejamos o valor de “R”:

Page 64: Apostila de pesquisa operacional

63

Temos um ajustamento fiel à série de pontos originais, sendo assim, este

pode ser utilizado pelo nosso hedger em sua projeção. Segundo o programa, a função

que gerou este ajustamento foi: f(x)= 1.0000015x^4-6.9999684x^3-

1.0002437x^2+7.0000612x+0.0011301744 (onde x^n é o mesmo que x elevado à n)

9.1 PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO LOCAIS

Muitas vezes é necessário sabermos quais são os máximos e mínimos

presentes numa função num determinado domínio. Sendo assim, veja o exemplo

abaixo:

No espaço de tempo que o hedger estava procurando o melhor dia para

transacionar sua soja, um especulador decidiu ganhar dinheiro no mercado através

de transações de Day trade, quais foram os melhores dias para a compra e para a

venda do derivativo nesse espaço de tempo.

Comprar na alta e vender na baixa, agora necessitamos dos pontos onde

seria melhor a compra, ou seja, os pontos de mínimo, o os pontos onde seria melhor

a venda do derivativo, para tal, podemos fazer um cálculo de derivada da função a

qual gerou a curva. Para efeito de cálculos e demonstrações, faremos alguns

arredondamentos na função original, tornando assim mais fácil a compreensão da

solução.

Portanto, adotaremos para efeito de cálculo a função geradora da curva

como:

� f(x) = x^4 – 7x^3 – x^2 + 7x

(onde x^n é o mesmo que x elevado à n)

Page 65: Apostila de pesquisa operacional

64

Sua derivada então será:

f(‘x) = 4x^3 – 21x^2 – 2x + 7

Que nos dará a seguinte curva:

Sendo seus pontos de máximo e mínimo locais definidos com muitas casas

decimais, arredondar-nos-emos a apenas 2 casas, as quais seriam aproximadamente:

Máximo: x = -3,59

Mínimo: x = 0,70

O que nos proporcionaria uma imagem aproximada, colocando-os na função

original de:

Page 66: Apostila de pesquisa operacional

65

Máximo: f(x) = 451,96 em oscilação

Mínimo: f(x) = 2,25 em oscilação

Note que, devido ao arredondamento dos valores, nosso gráfico ficou

totalmente inadequado à realidade, ou seja, os pontos de máximo e mínimo

diferenciam-se muito da realidade dos dados. Portanto, a solução mais viável é utilizar

a função “calc’ do programa graph e, já que afirmamos a existência de pontos de

máximo e mínimo com muitas casas decimais, procuremos o mais próximo possível

de um resultado de derivada de imagem 0. Para isso, necessitaremos agir

intuitivamente, observando domínio e imagem da função gerada pelo ajuste das

curvas e, inferindo valores do domínio para tentarmos chegar o mais próximo do valor

zero da derivada.

Primeiramente, devemos destacar a função que gerou o ajuste de curva no

programa clicando sobre ela, em seguida, identificar a opção “calc”:

Destacando a função

A opção “calc” se encontra no seguinte item da barra superior da interface do

programa:

Page 67: Apostila de pesquisa operacional

66

Clicando neste ícone, aparecerá um novo menu onde a opção “cálculo” estará

contida:

Clicando na opção “cálculo”, na barra esquerda aparecerão alguns campos

sendo eles:

� Valor de x: o qual você pode determinar

� Valor da imagem deste x determinado: automático

� Valor da derivada do x determinado: automático

� Valor da derivada segunda do x determinado: automático

Page 68: Apostila de pesquisa operacional

67

Infelizmente, apenas o valor da imagem pode ser determinado, o que dificulta

nosso trabalho, portanto, a inferência de domínios, sendo os mesmos encontrados

intuitivamente é imprescindível para a obtenção dos pontos mais próximos de máximo

e mínimo locais. Por tanto, vamos inferir (Não se preocupe em errar e, não espere que

isto seja rápido, podem existir inúmeras situações que nos aproximem do resultado,

sendo que devemos testá-las até encontrar um resultado satisfatório ou, até acabar

nossa paciência e decidir ficar co o mais próximo resultado, lembrando que nosso guia

para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo é a derivada com imagem 0)!!!

Observação: Levando em consideração esta técnica, note que é mais fácil de

obtermos o ponto de mínimo local, porém, com a utilização da derivada, pudemos

encontrar com mais facilidade o valor de um possível ponto de máximo, portanto, seria

aconselhável que você testasse ambas as técnicas para um melhor desempenho na

sua decisão final.

Para está técnica de inferência, destacamos a aproximação de um ponto de

mínimo onde :

E seu gráfico é (note a curva da derivada):

Page 69: Apostila de pesquisa operacional

68

Veja que a inclinação da reta tangente, ou seja, da derivada, é próxima de 0,

sendo assim, podemos deduzir que próximo a este ponto do domínio existe um outro

ponto com infinitas casa decimais onde a reta tangente tem um coeficiente angular

igual à zero, o que podemos considerar um ponto de mínimo.

Page 70: Apostila de pesquisa operacional

69

10 REDES PERT/CPM

Adotaremos agora um exemplo prático da utilização das redes PERT/CPM

10.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO

Três estudantes do curso de tecnologia em agronegócios, para poderem ser

aprovados na matéria de Pesquisa Operacional, têm de fazer uma apostila contendo

os principais temas abordados no curso que fora ministrado durante o semestre. Eles

então se organizam em 14 tarefas cujas quais foram determinadas por letras, sendo

elas as descritas na tabela a seguir:

A Início da pesquisa divisão das tarefas

B Direcionamento dos temas a pesquisar

C Pesquisa história da PO

D Pesquisa custos

E Pesquisa receitas

F Pesquisa bibliográfica

G Pesquisa programação linear

H Pesquisa ajuste de curvas

I Síntese da bibliografia

J Síntese das pesquisas realizadas

K Redação da apostila

L Redação dos sumários e referências

M Correção dos estudos promovidos

N Impressão e entrega da apostila

A decorrência das atividades será na seguinte ordem de eventos:

Page 71: Apostila de pesquisa operacional

70

EVENTOS

ANTERIOR DECORRENTES SUCESSOR

A B,C

A B D, E

A C F

B D G

B E H

C F I

D G J

E H M

F I K, L

G J M

I K N

I L N

H,J M N

K, L, M N

Page 72: Apostila de pesquisa operacional

71

Para esta pesquisa, foi determinado um tempo de decorrência citado na rede

PERT/CPM abaixo:

Qual será o caminho crítico deste grupo?

1

0.1 TEMPO CEDO, TEMPO TARDE, FOLGA E CAMINHO CRÍTICO

10.1.1 tempo cedo

O tempo cedo é o tempo onde somamos o tempo de duração de uma atividade

ao tempo de duração acumulado de suas antecessoras. As atividades na REDE

PERT/CPM são as setas que apresentam os números, e os círculos que estas setas

unem, são chamados de eventos, os eventos podem ser considerados o início das

atividades, que culminam dentro da rede a um outro evento e, sucessivamente, a uma

outra atividade até o termino do programa.

Para calcularmos o tempo cedo, devemos somar o valor acumulado de tempo

cedo da atividade anterior ao tempo necessário à atividade em decorrência, este valor

deve ser marcado sobre o evento no qual a atividade se finda. Veja o exemplo:

Page 73: Apostila de pesquisa operacional

72

7 8 12

4 12+6=18

20

6

0 11 11+9=20

2

Observe que para o primeiro evento, o tempo cedo é igual a zero, isso porque

não há nenhuma atividade antes desta, o tempo cedo deve ser calculado até o ultimo

evento. Quando chegamos num ponto ode duas atividades culminam para o mesmo

evento, o tempo cedo é calculado com o valor acumulado maior do evento anterior e

o tempo da atividade, referente ao evento em uso, que culmina ao evento final:

10.1.2 Tempo tarde

O tempo tarde é calculado na regressão ao final dos cálculos de tempo cedo,

ou seja, ao chegar, ao chegar a última atividade, devemos retornar ao início das

atividade, o primeiro evento. Quando chegamos numa bifurcação, assim como no

tempo cedo, ficamos com o maior valor de tempo tarde. O tempo tarde é o contrário

do tempo cedo, ao invés de somarmos o valor a próxima atividade a ser computada,

subtraímos este valor, de modo que estamos voltando até chegarmos ao tempo tarde

de zero na primeira atividade. O tempo tarde deve iniciar-se na ultima atividade de

modo a ser o primeiro tempo tarde o mesmo valor do último tempo cedo

Page 74: Apostila de pesquisa operacional

73

O tempo tarde segundo o método americano, deve ser marcado sobre o tempo

cedo como na figura:

����� �����

����� ���

��

��

��

10.1.3 Folga

Como o próprio nome já diz, a folga é uma sobra, em nosso caso, uma sobra

de tempo. Para encontrarmos as folgas, devemos subtrair o valor do tempo cedo, do

Page 75: Apostila de pesquisa operacional

74

valor do tempo tarde, de modo de que o resultado será o valor da folga. Nós

demarcamos as folgas como na imagem abaixo:

����� �����

����� ����/ Folga

10.2 CAMINHO CRÍTICO

Caminho crítico é a sucessão de eventos onde não se possui folgas, ou seja,

onde os tempos cedo e tarde são iguais. Este caminho também é conhecido como

gargalo. O bom desenvolvimento destas atividades nos tempos estimados é

fundamental para o sucesso do empreendimento.

Agora, voltando a questão chave, qual é o caminho crítico dos nossos

estudantes?

Page 76: Apostila de pesquisa operacional

75

Agora que já sabemos como calcular os tempos cedo e tarde e as folgas,

podemos formular a rede dos eventos que estes estudantes terão para a criação de

sua apostila, seguindo os passos supracitados, a rede de eventos destes alunos

deverá ficar da seguinte forma:

Sendo esta nossa rede, para definirmos o caminho crítico, é só analisarmos a

sucessão de eventos, a partir do evento A, que não possuem folga. Portanto, o

caminho crítico de nossos estudantes é:

A, B, E, H, M e N

Page 77: Apostila de pesquisa operacional

76

10 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Como em todas as áreas que envolvem a tomada de decisão, a pesquisa

operacional, no agronegócio, tem um papel fundamental como bússola do tecnólogo,

seja ela aplicada na tomada de decisão de quanto empregar de certa cultura em sua

área disponível, ou até mesmo do melhor momento calculável para a venda do seu

derivativo agrícola, ela se demonstra uma ferramenta eficaz em sua função primordial,

o embasamento na tomada de decisão.

Page 78: Apostila de pesquisa operacional

77

REFERÊNCIAS

INSTITUTO DE DESENVOLVIMENTO GRENCIAL- Pesquisa Operacional: Definição- Disponível

em: <www.indg.com.br/po/definicao.asp>. Acesso em 20 de jun, 2008.

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE CAETÉ – CPM- Disponível em:

<www.caetenews.com.br/fec/cfp/mecanica/apostila_manut/cpm.html>. Acesso em 19 de jun, 2008.