Apostila de pesquisa operacional

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Apostila formulada por duas amigas e eu. Requisito para aprovao no curso de Pesquisa Operacional, componente do curso de graduao em Tecnologia em Agronegcios da Fatec de Itapetininga. Fique a vontade para utilizar em suas pesquisas, porm, lembre-se de realizar as devidas citaes.

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1. 0CENTRO PAULA SOUZA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ITAPETININGA CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM AGRONEGCIOSFELIPE JOS DE LAZARI ALINE BRASIL NEVES RAQUEL APARECIDA PEREIRA ALVESPESQUISA OPERACIONAL EMBASAMENTO E TOMADA DE DECISOItapetininga, SP Junho/2008 2. 1FELIPE JOS DE LAZARI ALINE BRASIL NEVES RAQUEL APARECIDA PEREIRA ALVESPESQUISA OPERACIONAL EMBASAMENTO E TOMADA DE DECISOApostila apresentada disciplina de PESQUISAOPERACIONALparaavaliao semestral Orientador: Prof. Msc. Marcelo dos Santos SilvrioItapetininga, SP Junho/2008 3. 2SUMRIO1 PESQUISA OPERACIONAL: ........................................................................ 4 1.1CONCEITOS E APLICABILIDADE........................................................... 4 1.2 DIVISO DA PESQUISA OPERACIONAL.............................................. 5 1.3 CUSTOS FIXOS E VARIAVEIS .............................................................. 5 1.4 PERT-CPM( PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE- CRITICAL PATH METHOD ) ................................................................................. 8 1.5 PROGRAMAO LINEAR...................................................................... 8 2 RECEITAS, CUSTOS E PONTOS DE RUPTURA ........................................ 9 2.1 RECEITA............................................................................................... 11 2.2 CUSTOS ............................................................................................... 11 2.3 LUCROS ............................................................................................... 12 3 EXEMPLO: CUSTOS RECEITA E PONTO DE RUPTURA ........................ 16 3.1 ENCONTRANDO A FUNO CUSTOS ............................................... 16 3.2 RECEITA............................................................................................... 17 3.3 PONTO DE RUPTURA ......................................................................... 18 3.4 PONTO DE EQUILBRIO ...................................................................... 19 4 IDENTIFICANDO OS CUSTOS ................................................................... 23 4.1 FUNO RECEITA E PONTO DE EQUILBRIO .................................. 26 5 TOMADA DE DECISO .............................................................................. 29 6 PROBLEMA DE APLICAO .................................................................... 36 6.1 CURVA DOS CUSTOS ......................................................................... 37 6.2 FUNO LUCRO.................................................................................. 38 7 PROGRAMAO LINEAR (P.L.) ............................................................... 41 7.1 PROBLEMA DE APLICAO: .............................................................. 41 4. 37.2 VARIVEIS DE RESTRIO ............................................................... 42 7.3 SOLUO TIMA ................................................................................ 44 7.4 REGIO SIMPLEX ................................................................................ 46 8 LINDO.......................................................................................................... 50 9 AJUSTAMENTO DE CURVAS. .................................................................. 55 OPO DE AJUSTE DOS EIXOS .............................................................. 58 9.1 PONTOS DE MXIMO E MNIMO LOCAIS .......................................... 63 10 REDES PERT/CPM ................................................................................... 69 10.1 PROBLEMA DE APLICAO ............................................................. 69 10.1 TEMPO CEDO, TEMPO TARDE, FOLGA E CAMINHO CRTICO ..... 71 10.1.1 Tempo cedo................................................................................. 71 10.1.2 Tempo tarde ................................................................................ 72 10.1.3 Folga ............................................................................................ 73 10.2 CAMINHO CRTICO............................................................................ 74 10 CONSIDERAES FINAIS ...................................................................... 76 REFERNCIAS .............................................................................................. 77 5. 41 PESQUISA OPERACIONAL1.1CONCEITOS E APLICABILIDADE.Pesquisa Operacional (P.O.) um ramo interdisciplinar da matemtica aplicada que faz uso de modelos matemticos, estatsticos e de algoritmos na ajuda tomada de decises. Com o objetivo de melhorar e aperfeioar o desempenho, fornece ferramentas quantitativas no processo de tomada de deciso. constituda por um conjunto de disciplinas isoladas, tais como Programao Linear, Teoria das Filas, Simulao, Programao Dinmica, Teoria dos Jogos, entre outras. De uma maneira geral, todas as disciplinas que constituem a PO se apiam em quatro cincias fundamentais: Economia, Matemtica, Estatstica e Informtica. Sua rea de atuao muito abrangente, desde fabricas, hospitais, fazendas em geral, escritrios, estradas, e muitas outras. Foi introduzida durante a Segunda Guerra Mundial, quando um grupo de cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de estratgia e de ttica associados com a defesa do pas. O objetivo era utilizar os escassos recursos militares de forma eficaz. A convocao deste grupo foi primeira atividade formal de pesquisa operacional. Como os resultados foram positivos os Estados Unidos motivou-se a utiliz-lo. A Pesquisa Operacional originria da Inglaterra, mas sua propagao devese principalmente equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dos Estados Unidos, convocada durante a Segunda Guerra Mundial. A pesquisa foi concluda em 1947, e deu-se o nome de Mtodo Simplex. Com o aumento da velocidade de processamento e quantidade de memria dos computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa Operacional. Este progresso devido tambm larga utilizao de microcomputadores, que se tornaram unidades isoladas dentro de empresas. Isso faz com que os modelos desenvolvidos pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rpidos e versteis, alm de 6. 5serem tambm interativos, possibilitando a participao do usurio ao longo do processo de clculo. Nesta apostila abordaremos algumas reas da PO, sendo elas a programao linear, o ajustamento de curvas, os pontos de equilbrio ou ruptura, as redes PERT/COM e, principalmente, a importncia destas ferramentas para a tomada de deciso.1.2 DIVISO DA PESQUISA OPERACIONALP.O. pode ser dividida entre disciplinas isoladas, tais como Programao Linear, Teoria das Filas, Simulao, Programao Dinmica, Teoria dos Jogos, entre outras.1.3 CUSTOS FIXOS E VARIAVEISOs custos fixos so aqueles que ocorrem todos os meses independentes da quantidade produzida, j os custos variveis variam de acordo com a quantidade produzida. Ocorrem tambm os custos diretos e indiretos, geralmente os custos diretos so variveis como podemos observar nestes dados especficos. Suponhamos que os seguintes Custos de Produo de determinado Perodo precisam ser alocados os quatro diferentes produtos elaborados pela empresa: Matria-Prima - R$ 2.500.000,00 Embalagens - R$ 600.000,00 Materiais de Consumo - R$ 100.000,00 Mo-de-obra - R$ 1.000.000,00 Salrios da Superviso - R$ 400.000,00 Depreciao das Mquinas - 300.000,00 7. 6Energia Eltrica - R$500.000,00 Aluguel do Prdio - R$ 200.000,00Total - R$ 5.600.000,00O responsvel por Custos faz os levantamentos e as anlises necessrias e verifica o seguinte: Matria-Prima e Embalagens: podem ser apropriadas perfeitas e diretamente aos quatro produtos, j que foi possvel identificar quanto cada um consumiu. Materiais de Consumo: alguns so lubrificantes de mquinas, e no h como associ-los a cada produto diretamente, e outros so de to pequeno valor que ningum se preocupou em associ-los a cada produto. Mo-de-obra: possvel associar parte dela diretamente com cada produto, pois houve uma medio de quanto cada operrio trabalhou em cada um e quanto custa cada operrio para a empresa. Mas parte dela refere-se aos chefes de equipes de produo, e no h possibilidade de se verificar quanto atribuir diretamente aos produtos ($ 200.000 dos $ 1.000.000). Salrios da Superviso: muito mais difcil ainda de se alocar por meio de uma verificao direta e objetiva do que a mo-de-obra dos chefes de equipes de produo, j que essa superviso a geral da fbrica. Representa esse custo o gasto da superviso dos chefes de equipes e, por isso mesmo, muito mais difcil a alocao aos produtos. Depreciao das mquinas: a empresa deprecia linearmente em valores iguais por perodo, e no por produto. Haveria possibilidade de apropriar diretamente a cada produto se a depreciao fosse contabilizada de outra forma. Energia Eltrica: parte dela possvel alocar a 3 dos 4 produtos, j que a mquina que mais consome energia eltrica possu um medidor prprio, e a empresa faz verificaes de quanto consome para cada item elaborado. Porm, o resto da energia s medido globalmente, e no h forma direta de alocao ($ 350.000 so alocveis e $ 150.000 no). Aluguel do Prdio: impossvel de se medir diretamente quanto pertence a cada produto. 8. 7Aps essas anlises, podemos verificar que alguns custos podem ser diretamente apropriados aos produtos, bastando haver uma medida de consumo (quilogramas de materiais consumidos, embalagens utilizadas, horas de mo-de-obra utilizadas e at quantidade de energia eltrica consumida). So os Custos Diretos com relao aos produtos. Outros realmente no oferecem condio de uma medida objetiva e qualquer tentativa de alocao tem de ser feita de maneira estimada e muitas vezes arbitrria (como o aluguel, a superviso, as chefias, etc.). So os Custos Indiretos com relao aos produtos. A classificao de Direto e Indireto que estamos fazendo com relao ao produto feito, e no produo no sentido geral ou aos departamentos dentro da fbrica. Alguns custos tm caractersticas especiais. Por exemplo, vimos que parte dos Materiais de Consumo poderia ser apropriada diretamente, mas, dada sua irrelevncia, verificou-se no valer a pena esse trabalho; muitas vezes a relao "custo-benefcio" desfavorvel para itens de pequena importncia. Outros, como a Depreciao, poderiam tambm ser apropriados de maneira mais direta, porm, pela prpria natureza na maior parte das vezes considerado til tal procedimento. O prprio valor da depreciao como um todo to estimado e arbitrariamente fixado que chega a ser pouco til a alocao direta. Finalmente, certos custos, como a Energia Eltrica, so relevantes, mas no tratados como diretos, j que para tanto seria necessria existncia de um sistema de mensurao do quanto aplicado a cada produto. Por ser caro esse sistema ou de difcil aplicao, ou ainda por no ser muito diferente o valor assim obtido daquele que se calcularia com base na potncia de cada mquina e no volume de sua utilizao, prefere-se fazer a apropriao de forma indireta. Pode-se inclusive dizer tambm que, entre os Indiretos, existem os menos Indiretos (quase Diretos), como Materiais de Consumo, e os mais indiretos, como Superviso da fbrica, Imposto Predial ou Corpo de Segurana. Todos os custos podem ser classificados em Fixos e Variveis ou em Diretos e Indiretos ao mesmo tempo. Assim, a matria-prima um Custo Direto e Varivel, os materiais de consumo so normalmente Custos Indiretos e Variveis, os seguros da fbrica so Custos Indiretos e Fixos, etc. 9. 81.4 PERT-CPM (PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIC CRITICAL PATH METHOD) um mtodo de planejamento e replanejamento e avaliao de processo, com a finalidade de controlar a execuo de um programa ou projeto. Em alguns pases ele to utilizado que as grandes administraes pbicas exigem que os fornecedores utilizem esta forma de controle. O PERT foi desenvolvido pela NASA com a finalidade de controlar o tempo e a execuo de tarefas realizadas pela primeira vez. O CPM foi criado na empresa norte-americana Dupont com o objetivo de realizar as paradas de manuteno no menor prazo possvel e com o nvel constante de utilizao dos recursos. Os dois mtodos so quase idnticos e foram criados no ano de 1958.1.5 PROGRAMAO LINEARFoi criada em 1946, com a finalidade de diminuir custos e aumentar os lucros de situaes reais. Programao Linear tcnica de planejamento que vem se constituindo como uma das mais poderosas em quase todo ramo da atividade humana. Seus benefcios so exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminuio dos custos e aumento dos lucros. Em algumas organizaes ela est, inclusive, embutida em suas rotinas informatizadas de planejamento dirio dos processos de operao. Algumas de suas aplicaes so: - Formulao de alimentos, raes e adubos - Transportes - Localizaes industriais - Carteiras de aes - Alocao de recursos em fbricas, fazendas, escritrios, etc - Designao de pessoas e tarefas. 10. 92 RECEITAS, CUSTOS E PONTOS DE RUPTURASuponhamos que a quantidade mensal vendida de morangos transgnicos azuis esteja relacionada com o preo unitrio do mesmo segundo o grfico Quantidade Q 1500250Preo em reaisPelo grfico acima, podemos notar os preos para a quantidade 0 e tambm para o preo 0. Porm, se quisermos descobrir qual seria o preo para a quantidade de 290 unidades, deveramos formular uma equao a qual representasse o grfico acima. Podemos formul-la com a utilizao de uma derivada, ou seja, uma taxa de variao que represente a inclinao da curva numa relao quantidade, podemos ento utilizar a frmula: Q(p)= ap+bOnde a =Q Qf Qi 0 1500 1500 = = = = 6 p pf pi 250 0 250B= ponto onde o valor de p=0, ou seja, onde a curva intersecciona o eixo das ordenadas, no caso do nosso exemplo, o eixo Q, portanto, se substituirmos o valor de 11. 10a na frmula Q(p) = ap+b, o que nos daria a funo Q(p) = -6p + b, e substituirmos na frmula os valores de Q(p), ou seja, a imagem que se encontra no eixo das ordenadas, e substituirmos p, por um ponto no domnio, o qual gerou a imagem selecionada no eixo Q, teremos uma nica incgnita, a prpria b. Demonstrao - substituio 1, a: Q(p) = ap + b Q(p) = -6p + b - substituio 2 (para esta substituio, necessrio que conheamos o valor tanto do domnio quando da imagem em questo do ponto que desejamos destacar na funo, sendo assim, aconselhvel que, utilizemo-nos de pontos de fcil localizao no grfico e dos quais tenhamos certeza da exatido. aconselhvel portanto, que utilizemos pontos dos eixos. Em nosso exemplo, utilizaremos os pontos dos eixos Q= 0 e p = 250 Q(p) = -6p + b 0= -6.250 + b Em seguida, isolamos a incgnita para podermos obter o seu valor como a constante que -b = -1500 -b = -1500 (-1) agora, multiplicamos a equao toda por -1 para que valor de b no seja negativo, portanto, o valor de b b=1500Possumos ento o valor das duas constantes da equao, o valor de a, que -6 e o valor de b, que 1500, sendo assim, podemos substitu-los na frmula Q(p) = ap + b, que teremos agora a funo: 12. 11Q(p) = -6p + 1500 Onde p o preo, ou seja, a srie de pontos presentes no domnio da funo que se encontra no eixo das abscissas e Q a quantidade, ou seja, a imagem presente no eixo das ordenadas que se relaciona ao preo gerando a curva da funo.2.1 RECEITAEntendemos por receita os lucros, em relao quantidade vendida de um determinado bem, ou servio, desconsiderando seus custos. Pode-se compreender como os lucros brutos de um exerccio. Para equacionarmos a receita somente necessitamos de uma equao simples, onde os preos (p) so multiplicados pela quantidade (Q). Portanto, a equao formulada ser: R= p.Q p(-6p + 1500) R= -6p + 1500p2.2 CUSTOSPodemos admitir 3 formas bsicas de custos: - Custos fixos: aqueles que independem de produo, ou seja, so gastos com plantas, parcelas de mquinas adquiridas em leasing... - Custos variveis: aqueles que dependem da produo, que aumentam e diminuem em relao produo, ou seja, matria prima, mo de obra para a produo, frete. 13. 12- Custos casuais: aqueles que no so nem fixos nem variveis, so custos que no podem ser previstos com muita antecedncia produo, pois se manifestam durante o processo de forma a serem computados quando surgem.Adotando o exemplo de produo citado a cima, podemos calcular seus custos. Para a produo de tal mercadoria, vamos tomar por hiptese a existncia de apenas custos variveis, e que estes custos sejam de $20,00 por unidade produzida. Sendo assim, qual a funo que determina os custos para a produo? Podemos equacionar estes custos, tendo em vista de que eles variam em relao quantidade, ento teremos a funo que os determina: C= 20Q 20(-6p + 1500) C = -120p + 30000 Onde Q a incgnita referente quantidade produzida.2.3 LUCROSPodemos classificar como lucro, todo o resduo da produo que fora suficiente para suprir as despesas com a produo e sobraram ao fim do processo produtivo. Se o resultado da produo, no mbito financeiro, a receita, o lucro a receita menos os custos totais, ou seja, os custos variveis mais os custos fixos mais os custos casuais. Podemos equacionar este lucro utilizando um sistema de funes, ou seja, subtraindo uma funo da outra, no nosso caso, subtraindo da funo receita, ou seja, R= p.Q, a funo custo, C= Cfix+Cvar+Ccas. Podemos ento afirmar que: 14. 13L= R-C L= Q.p Cfix + Cvar + Ccas Exemplo: Adotando o grfico de produo, qual a funo lucro? A soluo para isso subtrairmos da funo receita, citada acima a funo custo, que para o nosso exemplo, como j foi dito, apenas variado. Portanto teremos na funo lucro: L= R C L = p.Q 20Q L = (-6p + 1500)p -20(-6p + 1500) L= -6p + 1500p + 120p -30000 L= -6p + 1620p 30000 Podemos, para esta funo, formular o seguinte grfico QuantidadeLucros900008000070000600005000040000300002000010000Preo 20406080100120140160180200220240260280300320340360380400420440460480-10000Agora, podemos determinar qual o melhor nvel de produo, ou seja, no qual se produza a quantidade que assegure o maior lucro. Para tal, devemos notar que, a partir de um determinado ponto no grfico a funo que representa os lucros torna-se decrescente. 15. 14As derivadas nos demonstram a taxa de variao instantnea de uma funo, sendo assim, se a mesma negativa, a funo ser decrescente e, se positiva, a funo crescente. Levando esta teoria em considerao, o que acontece se a derivada for igual a zero? A resposta , temos um ponto de mximo ou mnimo local, ou seja, a partir deste ponto que o sinal da derivada se altera. Sendo assim, podemos utilizar a derivada para sabermos at que ponto vivel produzir ou, melhor ainda, qual o ponto timo de produo, o ponto onde a quantidade produzida pode nos oferecer o maior lucro possvel, este o ponto de mximo, e podemos encontr-lo na funo lucro atravs de sua derivada, ou seja, derivamos a funo e, se sabemos que o valor que desejamos o de 0 para aquela determinada derivada, determinamos isso igualando-a 0: Para tanto, primeiro derivaremos a funo lucro, utilizando a aclamada regra do tombo: L = -6p + 1620p 30000 L= -12p + 1620 -12p + 1620 = 0 -12p = 1620 p = 135Sendo assim, podemos interpretar o resultado como sendo o ponto p=135 no domnio, o ponto onde a derivada da funo, ou seja, a reta tangente, possui uma inclinao igual a zero, sendo este um ponto de mximo. 16. 15Para sabermos qual o lucro obtido com esta produo, podemos colocar o valor do p encontrado, ou seja, p = 135, na funo lucro: L = -6.135 + 1620.135 30000 L = $ 79350,00 17. 163 EXEMPLO: CUSTOS RECEITA E PONTO DE RUPTURAAgora, buscaremos o ponto de ruptura em um caso onde, alm dos custos variveis, teremos custos fixos. Consideramos uma companhia que fabrica panelas. O arrendamento do galpo e do maquinrio necessrios para comear a produo so os custos fixos, pois tais custos existem ainda que nenhuma panela seja produzida. Os custos de matria prima so variveis, pois tais quantias dependem de quantas panelas sero feitas. Suponha que os custos fixos para esta companhia sejam de R$ 8.700,00 e os custos variveis de R$ 4,00 por panela. A receita desta empresa de R$9,00 por panela (sendo x o nmero de panelas vendidas, a receita dada por R(x) = 9x.3.1 ENCONTRANDO A FUNO CUSTOSComo bem sabemos, a funo custos a somatria dos custos variveis, custos fixos e custos casuais. No exemplo anterior, nossos custos eram apenas variveis, agora, agregaremos custos fixos, ou seja, aqueles que independem da quantidade produzida: Custos fixos = 8700 Custos variveis = 4 por panela, se afirmamos que cada panela pode ser representada pela incgnita x, ento tambm podemos afirmar que a funo dos custos variveis de Cvar = 4x, ou seja, para a variao de cada x h uma variao de R$ 4,00 O nosso objetivo agora criar uma funo que represente todos os custos, ou seja, somarmos as duas funes. 18. 17Custos Fixos + Custos variados 8700 + 4x Com isso, podemos ento classificar a juno destas duas funes em uma nica funo, a qual chamaremos apenas de C(x), e ela : C(x) = 4x + 87003.2 RECEITAA receita permanece com sua forma inalterada, sendo o bruto recebido por quantidade vendida. Em nosso exemplo, a funo receita se d por R(x) = 9x Podemos colocar ambas as funes num mesmo grfico e compararmos as disposies das mesmas 19. 18Sabendo que, a funo lucro apresenta-se como receita Custos, podemos definir a funo lucro por um sistema de funes onde: L = 9x (4x + 8700) L = 5x 8700.3.3 PONTO DE RUPTURAPonto de ruptura a quantidade a partir da qual o lucro positivo, ou seja, a quantidade x para a qual a funo lucro apresenta um resultado > 0. Porm, o ponto de ruptura em si situado no ponto do domnio da funo lucro onde a imagem 0, ou seja, podemos encontr-lo igualando a funo lucro 0:L = 5x 8700 5x 8700 = 0 5x = 8700 x = x = 1740Isso significa que, no ponto do domnio da funo lucro x=1740, o resultado zero 20. 193.4 PONTO DE EQUILBRIOObserve o que acontece quando utilizamos o ponto x = 1740 nas funes: Custos 21. 20Receitas:Perceba que em ambas as funes, o ponto x do domnio em questo encontrase em destaque. Observe agora o que acontece quando sobrepomos as funes custos e receitas num mesmo grfico com o ponto, o qual chamamos equilbrio, em destaque. 22. 21Veja que, o ponto de equilbrio, se sobrepe nas funes. Isto ocorre porqu eles possuem o mesmo domnio e a mesma imagem, sendo assim, tem o mesmo resultado em funes diferentes. Note que, as funes as quais estamos falando so as funes Custos e Receitas. Chamamos este ponto de ponto de equilbrio, pois o ponto no qual as receitas satisfazem os custos, para sabermos qual o valor deste ponto no domnio das respectivas funes, somente necessitamos encontrar o ponto de ruptura da funo lucro, ou seja, aquele no qual a funo lucro igual 0, sendo assim, poderemos utilizar o valor do domnio em ambas as funes e conferirmos o ponto de equilbrio de forma que, em ambas, a imagem deve ser a mesma. Aps o ponto de equilbrio, podemos afirmar que a diferena entre as funes Custos e Receitas, o valor dos Lucros 23. 22Recapitulando: O ponto de equilbrio o ponto onde as funes Receitas e Custos se satisfazem, sendo que, para o ponto do domnio em questo, possuem nas respectivas funes, uma mesma imagem, sendo esta imagem a referente ao ponto de ruptura da funo lucro, que se d pela mesma igualada zero. 24. 234 IDENTIFICANDO OS CUSTOSExistem situaes onde os custos no so apresentados de maneira explicita, sejam eles custos fixos ou variveis. Vejamos o Exemplo abaixo: O preo de custo de mini tubrculos de batata-semente hidropnica varia com a quantidade q de unidades produzidas. Assim, se nossa empresa produzir 10.000 peas, o custo de produo ser $ 200.000,00 e se ela produzir 24.000 peas, o custo ser de $ 368.000,00. Porm, nossa empresa possui custos fixos e variados, pois precisamos pagar o aluguel do galpo onde trabalhamos e o leasing de algumas das mquinas alm da matria prima para a produo. Quais os custos fixos e variveis de nossa produo? Nesta situao, no podemos, de imediato, identificar quais so os custos de produo, porm, com a ajuda da matemtica, poderemos criar uma funo que represente os custos, onde tanto os custos fixos, quanto os variveis, sero devidamente fixados. Para tal, comecemos os clculos! Primeiramente, o texto traz uma informao muito importante, a informao sobre os custos totais, ou seja, ele nos diz que, se produzirem 10.000 peas, o custo ser de $ 200.000,00 e se produzirem 24.000 peas, o custo ser de $ 368.000. Podemos admitir que: C(q) = custos totais C(q) = Cvar + Cfix C(q) = c.q + Cfix Os custos totais so a soma dos custos fixos e variveis, e os custos variveis so aqueles que dependem da produo q, ou seja, h um valor fixo para cada unidade produzida Encontrando o custo de produo do problema Segundo o problema apresentado no exemplo acima, temos um custo total para certa quantidade de produo, porm, possuiremos ento em nossa funo duas incgnitas: 25. 24C(q) = c.q + Cfix -Para a produo de q = 10000 teremos C = 200000, substituindo na funo: 200000 = 10000c + Cix -Para a produo de q = 24000 teremos C = 368000, substituindo na funo: 368000 = 24000c + Cfix Com estas duas funes, podemos aplicar uma operao matemtica conhecida como sistema de equaes, onde a idia eliminarmos uma incgnita das equaes para podermos identificar o valor da outra. Portanto, mos obra! Se transformarmos uma das funes acima numa funo negativa, multiplicando-a por -1, o que alteraria seu sinal porm manteria seus nmeros intactos, poderemos ento subtra-la da outra funo Veja como faremos isso:200000 = 10000c + Cfix 368000 = 24000c + Cfix Note que em ambas as funes existe uma incgnita em comum, Cfix, sendo assim, poderemos elimin-la das funes multiplicando uma delas por -1 e subtraindoa da funo que permanecer positiva: 200000 = 10000c + Cfix-200000 = -10000c - Cfix(-1) 368000 = 24000c+ Cfix368000 = 24000c + Cfix 26. 25-Se subtrairmos uma funo da outra teremos a funo: 168000 = 14000c Note que eliminamos a incgnita Cfix. Isto foi possvel porque subtramos uma funo da outra, e, em uma delas, esta incgnita possua um sinal positivo, j na outra, um sinal negativo, sendo assim, seu valor tornou-se 0, e 0 adicionado a um outro nmero, inexpressivo. -Agora poderemos encontrar o valor da incgnita c, que na verdade a constante do custo varivel:168000 = 14000c 14000c = 168000 c = c = 12-Agora que conhecemos o valor da constante c, que 12, poderemos substituir em qualquer uma das duas funes e encontrarmos o valor da outra incgnita, Cfix, que tambm uma constante na funo: Tomemos para o clculo a funo 368000 = 24000c + Cfix Substituindo o valor de c 368000 = 24000.12 + Cfix -Cfix = 288000 368000 -Cfix = -80000 Cfix = Cfix = 80000-Com estes clculos simples, conseguimos identificar as duas incgnitas, que na verdade eram constantes, de nossa funo custo que : C(q) = 12q + 80000 27. 26Dica: Para verificarmos a exatido de nossos clculos, podemos utilizar uma das quantias as quais sabemos o valor do custo, substituindo a quantidade na funo custo. Veja: q = 10000 C(q) = 12.10000 + 80000 C(q) = 120000 + 80000 C(q) = 200000 Note que o resultado da funo custo para uma quantidade de 10000 foi de $ 200.000,00, como citado no problema, portanto, podemos afirmar que a funo custo que se encaixa a este problema a: C(q) = 12q + 800004.1 FUNO RECEITA E PONTO DE EQUILBRIOAinda levando em considerao o exemplo utilizado na demonstrao anterior, suponhamos que a receita por unidade q vendida seja de $ 17,00. Qual ser o ponto de equilbrio? -Retomemos os exemplos anteriores, onde comprovamos que o ponto de equilbrio entre as funes receita e custos o ponto de ruptura da funo lucro, sendo assim, para encontrarmos o nosso ponto de equilbrio, primeiro deveremos encontrar a funo lucro. 28. 27Lembremos que: A funo Custo : - C(q) = 12q + 80000 A funo receita a relao entre o valor a ser vendido e a quantidade vendida, ou seja, se afirmamos que cada unidade que vendemos transacionada a um valor de $ 17,00 ento nossa funo receita ser este valor fixado por cada unidade vendida. Poderemos ento representar matematicamente esta situao pela equao: - R(q) = 17q Sendo assim, podemos representar ento nossa funo lucro: - L(q) = R(q) C(q) L(q) = 17q (12q + 80000) L(q) = 17q 12q - 80000 L(q) = 5q 80000 Agora que j possumos a equao Lucro, igualemo-na zero e ento possuiremos o ponto de ruptura: - L(q) = 5q 80000 5q 80000 = 0 5q = 80000 q = q = 16000Com estes clculos, pudemos encontrar o ponto de ruptura da funo lucro, sendo assim, resta-nos empreg-lo nas funes Custo e Receita e compararmos os resultados, se forem iguis, este ser o ponto de equilbrio: R(16000) = 17.16000 R(16000) = 272000 C(16000) = 12,16000 + 80000 C(16000) = 272000 29. 28- Sendo iguais os resultados em ambas as funes, este nosso ponto de equilbrio. Veja o Grfico:Lembrando: - A partir do ponto de equilbrio, a diferena entre as curvas geradas pela funo Custos e a funo Receita igual aos lucros. 30. 295 TOMADA DE DECISONeste exemplo empregaremos os clculos de lucros para a tomada de deciso. Veja o exemplo abaixo: Para custear seus estudos um estudante resolve vender caixas de damasco. Se trabalhar para o proprietrio de uma quitanda, ele receber fixo por dia R$ 5,00 at cumprir uma meta de 20 caixas dirias vendidas. A partir da 21 caixa, o patro lhe pagar R$ 0,70 por cada caixa vendida acima da meta. Por outro lado, ele sabe que pode comprar direto do produtor cada caixa de damascos e vend-las, descontados os impostos, com lucro de R$ 0,50, revertido exclusivamente para ele. Qual a melhor situao para o estudante ser proprietrio de seu negcio e de ser empregado? Temos uma questo de tomada de deciso direta, agora teremos que analisar a situao antes de agir, primeiramente, devemos notar os lucros que o estudante possuiria em ambos os casos, para tal, devemos equacion-los. -Empregado: Neste caso ele possui uma renda fixa diria de R$ 5,00 antes de atingir a meta de 20 caixas de damascos, ou seja, vendendo ou no o produto, esta uma renda certa, aps cumprir a meta, ter uma comisso de R$ 0,70 por caixa- Autnomo: Neste caso, seu lucro por caixa vendida de R$ 0,50 Para qual situao mais propcio ser autnomo e para qual melhor ser empregado? 31. 30A chave para a soluo do problema o ponto de equilbrio entre os lucros, podemos equacionar as duas situaes: - Empregado Para menos de 20 caixas seu lucro fixo, ou seja, L = 5 Para mais de 20 caixas seu lucro de R$ 0,70 por caixa. Para equacionarmos esta situao, teremos de usar um pouco de lgica: Se o estudante vender 20 caixas, ainda no possuir esta renda premio, sua comisso. Somente partir da 21 caixa, ela existe, ento, somente a partir deste ponto. Porm, o valor de R$ 5,00 ser fixo, ou seja, se ele vender uma quantidade q de caixas de damasco sendo que esta maior do que 20, sua renda ser de R$ 0.70 mais os R$ 5,00 que j lhe eram garantidos. Podemos ento criar a equao: R = 0.7(q 20) + 5 Pois s existir esta renda quando o valor de q for maior que 20, porm, vlido lembrar que, para este caso, pode haver uma delimitao do domnio da funo onde teramos a seguinte funo: R = 0,7q +5 D ={ q E R/ q >20}- Autnomo Neste caso, independente da quantidade q, sua renda de R$ 0,50 por unidade, ento a funo q se encaixa : L = 0,5q Tomando a deciso 32. 31Para sabermos qual a melhor situao para o estudante, devemos encontrar o ponto de equilbrio das funes, porm, veja primeiro o grfico abaixo.Note que as funes se cruzam 2 vezes, isso nos diz que no existe apenas 1 ponto de equilbrio, mas sim 2 pontos. Para podermos encontrar estes pontos, observe tambm que as funes se cruzam em situaes diferentes, sendo uma antes da comisso - como autnomo pois a curva em questo uma constante - e a outra, com a comisso. Para encontrarmos os pontos de equilbrio, podemos adotar a forma de resoluo empregada nos exemplos anteriores, com o ponto de ruptura. Porm, no encontraremos agora uma frmula de lucros, pois este no nosso objetivo, mas sim, a diferena entre as funes, portanto, calculemos. 33. 32Primeiramente, calculemos o ponto de equilbrio para as vendas at 20 caixas, onde temos as funes: - Empregado: R= 5 - Autnomo: R = 0,5q - Utilizando o sistema de funes: R = 5 (-1)R = -5 R = 0,5q R = 0,5q - 5 R = 0,5q- Igualamos o valor da renda 0:R = 0,5q 5 0,5q 5 = 0 0,5q = 5 q = , q = 10Agora sabemos que para q < =20, o ponto de equilbrio entre as funes q = 10. Para confirmarmos estes clculos, substituamos em ambas as funes o valor de q R = 5, para esta funo no h o que substituir, pois uma constante R = 0,5.5 R = 5 Agora, temos a confirmao do nosso ponto de equilbrio, que chamaremos de Equilbrio 1 34. 33Faamos o mesmo para o ponto de equilbrio com q >20 - Empregado:R = 0,7(q-20) + 5- Autnomo: R = 0,5q- Aplicando o sistema Desta vez, apresentaremos uma outra forma de aplicar-se sistema de funes, o que pode tornar mais fcil a compreenso da resoluo do problema, apenas igualaremos as funes. Observe: 0,7(q 20) + 5 = 0.5q 0,7q 14 +5 = 0,5q 0,7q 9 = 0,5q 0,7q 0,5q = 9 0,2q = 9 q = , q = 45Encontrado o ponto de equilbrio, apliquemo-lo s funes para valid-lo: R = 0,7(45 20) + 5 R = 0,7.25 + 5 R = 22,5 R = 0,5.45 R = 22,5 Validado o ponto, ento teremos o nosso novo ponto de equilbrio, o qual chamaremos Equilbrio 2 Agora, visualizamos o grfico novamente: 35. 34Agora podemos notar quais so os pontos de equilbrio do problema, e notando a diferena nas curvas de empregado e autnomo, podemos perceber at que ponto vale a pena ele ser empregado e autnomoAnalisando os dados e chegando uma concluso Podemos ver no grfico, a diferena entre as curvas, podemos nos orientar por ela para tomarmos a deciso, ou seja, at onde vale a pena continuar trabalhando como empregado e a partir de onde vale a pena comear o prprio negcio. Note que, no grfico, a partir de 0, a renda como empregado maior que a renda como autnomo, mas s at a ponto de vender 10 caixas de damasco, onde a renda como autnomo superior, o que deixa de ser verdade a partir da venda de 45 caixas, onde a renda como empregado, torna a ser maior. Portanto, podemos afirmar que,: 36. 35-para vender at 10 caixas, vale pena ser um empregado; -para vender acima de 10 caixas, porm, abaixo de 45, vale pena ser um empreendedor; -porm, para superar a margem de 45 caixas, muito melhor ser um empregado, pois a renda superior a do empreendedor. 37. 366 PROBLEMA DE APLICAONeste exemplo, demonstraremos o grfico de uma produo e voc dever encontrar a funo lucro, o que lhe dar o ponto de ruptura.Os custos totais de produo da nossa empresa de raes so mostrados no grfico a seguir, juntamente com a receita total.$R eceitac ustos040 2kgde raoSoluo; Para resolvermos este problema, primeiramente temos de definir quais funes geraram as curvas da receita e dos custos. Para tal, utilizaremos a derivada destas curvas. Como so retas, podemos deduzir que as equaes so de 1 grau, ou seja, sua frmula : Y = ax +b 38. 37Onde: - x a varivel, o nosso caso, Kg de rao; - b a constante, que pode tanto ser definida como o ponto onde a curva intersecciona o eixo das ordenadas como o valor obtido pela adoo de x = 0 - a o coeficiente angular da reta, ou seja, sua derivada, a taxa de variao instantnea da curva - Y preo de produo e o valor da renda, para as respectivas curvas6.1 CURVA DOS CUSTOSPodemos agora encontrar a funo que gerou esta curva. Primeiramente, vamos calcular o valor de a, para tal, utilizaremos a derivada da curva: a = a = a= a = a = 0,5Em seguida, encontraremos o valor de b, para tal, selecionaremos valores de x e Y que estejam evidentes no grfico para substituirmos, em nosso caso, optamos pelos valores de Y = 80 e x = 40 Y = ax + b 80 = 0,5.40 + b b + 20 = 80 b = 80 20 b = 40 Sendo determinadas as constantes, podemos formar a funo que deu origem curva: Y = 0,5x + 40 Habilitando ao problema, teremos: 39. 38C(kg) 0,5kg + 40 Curva da receita Para a curva da receita, utilizaremos a mesma tcnica de resoluo:-a= a= a= a = 2,5Em seguida, encontraremos o valor de b, para tal, selecionaremos valores de x e Y que estejam evidentes no grfico para substituirmos, em nosso caso, optamos pelos valores de Y = 80 e x = 32 - Y = ax + b 80 = 2,5.32 + b 80 + b = 80 b = 80 80 b = 0Sendo determinadas as constantes, podemos formar a funo que deu origem curva: Y = 2,5x Habilitando ao problema, teremos: R(kg) = 2,5 kg6.2 FUNO LUCROPara formularmos a funo Lucro, devemos lembrar que, lucro igual receita menos despesas portanto: L = R(kg) C(kg) L = 2,5kg (0,5kg + 40) L = 2,5kg 0,5kg 40 40. 39L = 2kg 40Determinada a funo Lucro, igualamo-la a zero e ento encontraremos o ponto de ruptura, conseqentemente, o ponto de equilbrio entre as curvas dos custos e da receita:L = 2kg 40 2kg 40 = 0 2kg = 40 kg = kg = 20Sabemos que nosso ponto de ruptura em kg = 20, agora, para valid-lo como ponto de equilbrio entre as funes, coloquemo-lo nas respectivas funes. R(kg) = 2,5kg R(kg) = 2,5.20 R(kg) =50 C(kg) = 0,5kg + 40 C(kg) = 0,5.20 + 40 C(kg) = 10 + 40 C(kg) = 50 Veja agora no grfico: 41. 40 42. 417 PROGRAMAO LINEAR (P.L.)A programao linear a rea mais utilizada em P.O. Ela surgiu na 2 Guerra Mundial com o intuito de otimizar solues de problemas que possam ser modelados matematicamente.7.1 PROBLEMA DE APLICAO:Desejamos otimizar o lucro pela utilizao de duas opes de cultura: milho e trigo. As restries referem-se ao espao utilizado sendo que as partes de milho e trigo no podem ultrapassar a dimenso disponvel para o plantio que de 200 ha. Sabe-se que cada hectare de milho consome R$1.000,00 com gastos de preparao de terreno e 20 homens/horas de utilizao de mo de obra. J o trigo consome R$ 1.200,00 para o preparo e exige 30 homens/horas como mo de obra. Est disponvel um total de R$ 240.000,00 para o plantio e manejo e um total de 5040 homens/horas para mo de obra. Por fim, o lucro esperado de R$ 600,00 por hectare de milho e R$ 850,00 por hectare de trigo. Soluo: Para comearmos a resolver este problema, devemos primeiro identificar qual seu objetivo: Segundo o texto, o objetivo do problema otimizar o lucro, ou seja, maximizlo Em P.L., possumos variveis de deciso, como o que produzir, assim como e descrito no texto, por tanto, nossas variveis de deciso para o problema sero o Milho e o Trigo. Para efeito de equacionamento, delimitaremos as incgnitas do trigo e do milho por T e M respectivamente. Adotaremos uma equao chamada funo objetivo, que representa o que estamos procurando, no nosso caso, a maximizao dos lucros. Portanto, nossa 43. 42funo objetivo ser uma funo lucro, devemos lembrar que nossa produo de trigo e milho, ento os lucros s podem ser provenientes da, ou seja, nosso lucro obtido da funo gerada pela soma das receitas lquidas geradas de ambas as opes, o que pode ser traduzido pela funo: L = 600M + 850T J que o texto nos diz que, esperado para cada hectare de milho um lucro de R$ 600,00 e para cada hectare de trigo um lucro de R$ 850,00, a cada hectare de ambososprodutosqueaumentarmos,teremosumlucropotencializadoproporcionalmente, sendo assim, podemos afirmar que estes valores so constantes dentro de nosso problema, sendo as variveis a quantia de hectares dedicados as respectivas culturas7.2 VARIVEIS DE RESTRIOPodemos notar que o texto nos expressa que no temos todo o espao do mundo, nem todo o dinheiro do mundo to quanto temo toda a mo-de-obra do mundo para nosso empreendimento. Portanto, temos alguma restries, sendo estas citadas no problema, so essas: - Espao - Mo de obra - Recursos financeirosA tabela a seguir demonstra os recursos disponveis e a necessidade que cada cultura demonstra por estes recursos por hectare 44. 43MilhoTrigoMximo disponvelHomens/Hora20305040rea11200 haGastos10001200240000Sendo essa a nossa realidade, podemos equacionar o que podemos ou no fazer, de modo a restringirmos nossas aes dentro da realidade:Portanto Na situao de rea, podemos encontrar a inequao: M + T 200 Na situao de gastos, cabe a inequao: 1000M + 1200T 240000 E para a situao de mo de obra, a inequao: 20M + 30T 5040 Estamos trabalhando com a realidade, portanto, ao h como produzirmos um nmero negativo de produtos, portanto, devemos gerar inequaes de no negatividade: M0 T0 45. 447.3 SOLUO TIMA Para encontrarmos a soluo tima, faremos uso da regio simplex, tal como descrito abaixo: - Primeiramente, devemos encontrar as coordenadas, em eixos cartesianos, das inequaes de restrio: 1 inequao Para encontrarmos os pontos cartesianos, primeiramente transformamos estas inequaes em equaes, depois, isolamos uma das incgnitas, em seguida, adotamos o valor de uma delas como sendo 0, assim como no exemplo abaixo:M + T 200 M + T = 200 M = 200 T M = 200 0 M = 200 M = 200 T 0 = 200 T T = 200Para a segunda inequao, faremos o mesmo processo, note que, aps chegarmos ao clculo em azul, utilizamos o mesmo para identificar as duas coordenadas, este processo deve ser mantido. 2 Inequao:1000M + 1200T 240000 1000M + 1200T = 240000 1000M = 240000 1200T M = M = 240 1,2T M = 240 1,2.0 M = 240M = 240 1,2T 0 = 240 1,2T 1,2T = 240 T = , T = 200 46. 453 Inequao20M + 30T 5040 20M + 30T = 5040 20M = 5040 30T M = M = 252 1,5T M = 252 1,5.0 M = 252M = 252 1,5T 0 = 252 1,5T 1,5T = 252 T = , T = 168Aps encontradas todas as coordenadas, devemos traar um grfico onde estas coordenadas tem relao aos eixos, afinal, igualamos sempre uma das incgnitas a zero, ou seja, seu valor como imagem da outra incgnita era zero. Veja o grfico abaixo: 47. 467.4 REGIO SIMPLEX A regio simplex e a regio onde as possibilidades so reais, nesta regio, qualquer emprego das culturas seria admissvel. Ela se encontra abaixo de todas as curvas, os pontos provveis de otimizao se encontram nos cruzamentos das curvas e nos cruzamentos com os eixos, veja no grfico abaixoEstes pontos representam coordenadas, mas alm disso, representam quantidades de produo, agora, devemos descobrir quais so as coordenadas que estes pontos representam, para tal, devemos identificar as interseces entre funes que estes pontos representam, aps identificadas, devemos descobrir qual o valor destas coordenadas, veja o exemplo de resoluo a seguir: Ponto 1: Cruzamento entre as inequaes 1 e 3 48. 47Para encontrarmos as coordenadas deste ponto, utilizaremos o sistema de funes, o mesmo que j utilizamos para identificar o ponto de equilbrio para os custos e receitas. Veja: Inequao 1: M + T 200 Inequao 3: 20M + 30T 5040Para iniciarmos a resoluo, devemos aplicar um sistema de modo a eliminar uma das incgnitas. Observe: 20M + 30T 504020M + 30T 5040 M + T 200 (-20)10T 1040-20M 20T -4000O segundo passo transformarmos esta inequao em uma equao e encontrarmos sua raiz:10T 1040 10T = 1040 T = T = 104Agora que encontramos o valor de T, se o substituirmos numa das funes, poderemos encontrar o valor de M: M + T 200 M + T = 200 M + 104= 200 M = 200 104 M = 96 Nosso objetivo com este problema maximizar os lucros, portanto, devemos empregar estes resultados na funo objetivo, que a funo lucro. Observe:L = 600M + 850T L = 600.96 + 850 . 104 L = 146000 49. 48Com a produo de 96 hectares de milho e 104 hectares de trigo, possuiremos um lucro de R$ 146.000,00. Testemos agora os outros pontos identificados na regio simplexPonto 2 T = 168 M=0 Neste caso, como um ponto no eixo, bvio que o valor da outra coordenada que no seja a que nomeia o eixo seja zero, portanto, dispensa clculos. Empreguemos ento os valores das coordenadas na funo lucro: L = 600M + 850T L = 0.600 + 168.850 L = 142800 Com a produo de apenas 168 hectares de trigo, nosso lucro ser de R$ 168.000,00Ponto 3 Mais uma vez, um ponto no eixo. Observe: T=0 M = 200 Substituindo na funo lucro: L = 600M + 850T L = 600.200 = 850.0 L =120000 50. 49Produzindo apenas 200 hectares de milho, obteremos um lucro de R$ 120.000,00Portanto, analisando as possibilidades de produo na qual o desempenho seria o melhor, ou seja, os pontos obtidos na regio simplex, podemos afirmar que o melhor consrcio de produo ser o de 96 hectares de milho e 104 hectares de trigo, onde obteremos um lucro de R$ 146.000,00. 51. 508 LINDO O programa LINDO um software criado para solucionar problemas de programao linear. Ele capaz de resolv-los eliminando os clculos e, em conseqncia, poupando tempo. Utilizaremos agora este programa para resolver o seguinte problema: Problema da formulao de uma rao ideal a custo mnimo. Sabe-se que um determinado animal de grande porte necessita diariamente de no mnimo 140 mg de vitamina tipo 1, 190 mg de vitamina tipo 2 e 80 mg de vitamina tipo 3. Sero misturados dois tipos de alimentos, A e B, para compor a rao do animal. O custo do quilograma do alimento A de R$5,00 e o custo do quilograma do alimento B, R$4,00. Sabemos que cada kg do produto A contm 2 mg de vitamina tipo 1, 5 mg de vitamina tipo 2 e nenhuma mg do tipo 3. Alm disso, o composto B contm 2 mg de vitamina tipo 1, 1 mg de vitamina tipo 2 e 4 mg de vitamina tipo 3. Vamos procurar encontrar qual a composio ideal de alimentos A e B de forma que sejam satisfeitas as necessidades mnimas do animal em questo e que o custo de produo seja o menor possvel. O programa LINDO um programa que segue uma linguagem de programao, diferentemente das maravilhosas interfaces que podemos encontrar na maioria dos programas da atualidade. Apesar disso, ele no deixou de ser um poderoso aliado na programao linear. Por tanto, devemos dizer ao programa tudo o que ele deve fazer. - Tudo o que escrito no programa compreendido como uma varivel do problema, a no ser que esteja entre pontos de exclamaes, ento as frases, ttulos, ou qualquer outras coisas digitadas sero apenas compreendidas como um texto ilustrativo. Como no exemplo acima, devemos primeiramente dizer ao programa o que queremos daquele problema, para tal, devemos encontrar a funo objetivo, as variveis de restrio e descrevermo-las em linguagem de programao. 52. 51O problema nos diz que desejamos minimizar os custos, portanto, devemos identificar quais os custos empregados e sobre o que so empregados e, colocarmos na linguagem de interpretao do programa. Sabemos que h um custo a compra do alimento A, e outro na compra do alimento B, portanto, como na funo objetivo citada no problema de programao liear anterior, devemos criar a funo objetivo, que no caso, para a interpretao do programa, deve ser colocada no algoritmo da seguinte forma: MIN5A+4B Efetuada esta parte do algoritmo, deveos ento definir as variveis de restrio, segundo o texto elas so: ABMnimo NecessrioVitamina 122140mgVitamina 251190mgVitamina 30480mgNote que agora queremos encontrar o mnimo necessrio, para tanto, deveremos alterar as inequaes de restrio, portanto sero elas:2A + 2B 140 5A +1B 190 4B 80- necessrio demonstrar ao programa as restries presentes no problema. Seguindo nosso exemplo, devemos digitar, em linhas separadas, as restries, assim como descrito no algoritmo abaixo: 53. 52Subject to 2A+2B>=140 5A+1.1B>=190 4B>=80 A frase Subject to (sujeito ) indica a restrio do problema realidade apresentada pela situao. Nesta sesso, tambm devemos colocar as inequaes de no negatividade: B>=0 A>=0 - Aps inseridas todas as informaes no programa, devemos inform-lo que j pode tomar sua deciso, para tal, sinalizamos na linguagem de programao o fim com a palavra END, com isso, teremos ento o seguinte algoritmo: !QUALQUER COISA QUE VOC QUEIRA ESCREVER QUE NO TENHA UM VALOR A SER CALCULADO! MIN 5A+4B SUBJECT TO 2A+2B>=140 5A+1.1B>=190 4B>=80 B>=0 A>=0 END 54. 53Finalizando o algoritmo, podemos pedir para que o programa calcule a soluo tima clicando no alvo que descrito na imagem abaixoAps clicarmos, o programa nos fornecer um relatrio, em ingls, com os resultados para a programao linear, como demonstrado abaixoLP OPTIMUM FOUND AT STEP2OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE310.0000VALUEREDUCED COSTA30.0000000.000000B40.0000000.000000ROW SLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0.000000-1.8750003)0.000000-0.2500004)80.0000000.000000NO. ITERATIONS=2 55. 54Teremos no relatrio as seguintes informaes importantes: LP OPTIMUM FOUND AT STEP2:Significa que o algoritmo simplex utilizado pelo programa encontrou a soluo com dois passos (vrtice) OBJECTIVE FUNCTION VALUE: Indica que o valor timo da funo objetivo, neste caso, de 310.000VARIABLE VALUE E REDUCET COST: Temos uma tabela que apresenta os valores timos das variveis bsicas. Portanto A = 30 e B = 40. A coluna REDUCED COST o custo reduzido, quando ela apresenta dados diferentes de 0 significa o quanto que a varivel correspondente deveria ser aumentado para sua soluo seja diferente de zero. Neste caso, como A e B so diferentes de zero a coluna REDUCED COST aparece nula. ROW SLACK OR SURPLUS E DUAL: ROW so as linhas, SLACK a folga, significa o limite da restrio. No caso de SLACK = 80 mostra que a restrio da equao 4b>=80 tem folga de 80 na vitamina 3. DUAL PRICE = -1.875 representa o aumento da funo objetiva (lucro) se aumentar em 1 no limite das restries (no caso -1.875, quer dizer que diminui para cada 1 que aumentar. 56. 559 AJUSTAMENTO DE CURVAS.Utilizado para projees em cima de dados anteriores, o ajustamento de curvas muito utilizado na tomada de deciso, justamente por poder prever uma situao muito prxima realidade. Exemplo: Um determinado hedger, ao ser contratado por um produtor de soja deve fazer uma previso para os valores, no mercado futuro, do derivativo. Sendo assim, ele decide coletar dados no site da bolsa de valores. Os dados que este hedger conseguiu foram em intervalos de semanas, porm, ele no pode obter dados de toas as semanas, sendo assim, em alguns casos ele teve de utilizar dados dirios, portanto, ele admitiu que uma semana possuiria o valor absoluto de 1 e, um dia, o valor aproximado de 0.142857143. O hedger determinou a semana na qual foi contratado como a semana 0, e pesquisou o mercado por mais 8 semanas, os resultados obtidos por esta pesquisa foram: SemanaOscilao-254-10-0,2-1,38000,52,44103-964-1806,5-134,068504Qual ser a projeo de preos para o derivativo de soja: 57. 56Resoluo: A inteno deste problema saber quais sero os valores do derivativo, para optarmos pelo melhor dia de fazer o hedge, podemos obter estes valores, mesmo que aproximados, por um ajuste da curva gerada atravs dos pontos que so as semanas pesquisadas em relao s oscilaes analisadas nas mesmas. O mtodo que utilizaremos para fazer o ajuste desta curva ser o oferecido pelo programa Graph 4.3, seguindo os procedimentos citados a baixo:Para tanto, temos alguns procedimentos cumprir, a questo que temos dados referentes a tempo e a valores de oscilao, ou seja, temos dados de ordem cronolgica. A primeira coisa ser feita e determinarmos qual dos valores assumir os eixos x e y do programa. Para nosso problema, determinamos os dados de ordem cronolgica para o eixo x, e os dados das oscilaes para o eixo y. Agora, deveremos colocar os dados na opo srie de pontos, que se encontra no cone citado na imagem abaixo:Aps selecionada a opo, surgir uma tabela com as indicaes x e y. Nesta tabela devemos inserir os dados como domnio e imagem, ou seja, definir para qual dia do eixo x h o determinado valor de oscilao no eixo y: 58. 57Aps selecionados os respectivos domnio e imagem, podemos confirmar a srie de pontos, o resultado ser o surgimento de pontos no grfico. Ajuste os valores dos eixos para melhor se adaptarem a visualizao do grfico: 59. 58Opo de ajuste dos eixos:Para acessar esta opo necessrio somente clicar duas vezes sobre a opo eixos: 60. 59 61. 60Aps ajustados os eixos, a srie de pontos poder ser melhor visualizada:Depois de inserida a srie de pontos, deveremos ajustar a curva na opo ajuste de curvas: Obs: Para esta opo ser acessvel, necessrio destacar a srie de pontos sobre a qual se deseja realizar um ajuste, clicando sobre ela no menu do lada esquerdo da interface do programa. 62. 61Aps selecionar a opo, um menu de opes de ajuste surgir:Agora voc precisar de um pouco de pacincia, pois ter de testar as curvas disponveis para descobrir qual delas melhor se encaixa. 63. 62Selecionando uma curva, uma funo respectiva a ela surgir tambm, junto desta funo haver uma letra REste R o ponto culminante para o ajustamento, ele quem indica o desvio da curva em relao aos pontos. Para que a curva seja o mais fiel a srie possvel, imprescindvel que o valor do R seja igual 1. Observe o ajustamento feito com uma funo polinomial de 4 grau sobre a srie de pontos:Olhando mais de perto, vejamos o valor de R: 64. 63Temos um ajustamento fiel srie de pontos originais, sendo assim, este pode ser utilizado pelo nosso hedger em sua projeo. Segundo o programa, a funo quegerouesteajustamentofoi:f(x)=1.0000015x^4-6.9999684x^3-1.0002437x^2+7.0000612x+0.0011301744 (onde x^n o mesmo que x elevado n)9.1 PONTOS DE MXIMO E MNIMO LOCAISMuitas vezes necessrio sabermos quais so os mximos e mnimos presentes numa funo num determinado domnio. Sendo assim, veja o exemplo abaixo: No espao de tempo que o hedger estava procurando o melhor dia para transacionar sua soja, um especulador decidiu ganhar dinheiro no mercado atravs de transaes de Day trade, quais foram os melhores dias para a compra e para a venda do derivativo nesse espao de tempo. Comprar na alta e vender na baixa, agora necessitamos dos pontos onde seria melhor a compra, ou seja, os pontos de mnimo, o os pontos onde seria melhor a venda do derivativo, para tal, podemos fazer um clculo de derivada da funo a qual gerou a curva. Para efeito de clculos e demonstraes, faremos alguns arredondamentos na funo original, tornando assim mais fcil a compreenso da soluo. Portanto, adotaremos para efeito de clculo a funo geradora da curva como: f(x) = x^4 7x^3 x^2 + 7x (onde x^n o mesmo que x elevado n) 65. 64Sua derivada ento ser: f(x) = 4x^3 21x^2 2x + 7Que nos dar a seguinte curva:Sendo seus pontos de mximo e mnimo locais definidos com muitas casas decimais, arredondar-nos-emos a apenas 2 casas, as quais seriam aproximadamente: Mximo: x = -3,59 Mnimo: x = 0,70 O que nos proporcionaria uma imagem aproximada, colocando-os na funo original de: 66. 65Mximo: f(x) = 451,96 em oscilao Mnimo: f(x) = 2,25em oscilaoNote que, devido ao arredondamento dos valores, nosso grfico ficou totalmente inadequado realidade, ou seja, os pontos de mximo e mnimo diferenciam-se muito da realidade dos dados. Portanto, a soluo mais vivel utilizar a funo calc do programa graph e, j que afirmamos a existncia de pontos de mximo e mnimo com muitas casas decimais, procuremos o mais prximo possvel de um resultado de derivada de imagem 0. Para isso, necessitaremos agir intuitivamente, observando domnio e imagem da funo gerada pelo ajuste das curvas e, inferindo valores do domnio para tentarmos chegar o mais prximo do valor zero da derivada. Primeiramente, devemos destacar a funo que gerou o ajuste de curva no programa clicando sobre ela, em seguida, identificar a opo calc: Destacando a funoA opo calc se encontra no seguinte item da barra superior da interface do programa: 67. 66Clicando neste cone, aparecer um novo menu onde a opo clculo estar contida:Clicando na opo clculo, na barra esquerda aparecero alguns campos sendo eles: Valor de x: o qual voc pode determinar Valor da imagem deste x determinado: automtico Valor da derivada do x determinado: automtico Valor da derivada segunda do x determinado: automtico 68. 67Infelizmente, apenas o valor da imagem pode ser determinado, o que dificulta nosso trabalho, portanto, a inferncia de domnios, sendo os mesmos encontrados intuitivamente imprescindvel para a obteno dos pontos mais prximos de mximo e mnimo locais. Por tanto, vamos inferir (No se preocupe em errar e, no espere que isto seja rpido, podem existir inmeras situaes que nos aproximem do resultado, sendo que devemos test-las at encontrar um resultado satisfatrio ou, at acabar nossa pacincia e decidir ficar co o mais prximo resultado, lembrando que nosso guia para encontrarmos os pontos de mximo e mnimo a derivada com imagem 0)!!! Observao: Levando em considerao esta tcnica, note que mais fcil de obtermos o ponto de mnimo local, porm, com a utilizao da derivada, pudemos encontrar com mais facilidade o valor de um possvel ponto de mximo, portanto, seria aconselhvel que voc testasse ambas as tcnicas para um melhor desempenho na sua deciso final.Para est tcnica de inferncia, destacamos a aproximao de um ponto de mnimo onde :E seu grfico (note a curva da derivada): 69. 68Veja que a inclinao da reta tangente, ou seja, da derivada, prxima de 0, sendo assim, podemos deduzir que prximo a este ponto do domnio existe um outro ponto com infinitas casa decimais onde a reta tangente tem um coeficiente angular igual zero, o que podemos considerar um ponto de mnimo. 70. 6910 REDES PERT/CPM Adotaremos agora um exemplo prtico da utilizao das redes PERT/CPM10.1 PROBLEMA DE APLICAOTrs estudantes do curso de tecnologia em agronegcios, para poderem ser aprovados na matria de Pesquisa Operacional, tm de fazer uma apostila contendo os principais temas abordados no curso que fora ministrado durante o semestre. Eles ento se organizam em 14 tarefas cujas quais foram determinadas por letras, sendo elas as descritas na tabela a seguir: AIncio da pesquisa diviso das tarefasBDirecionamento dos temas a pesquisarCPesquisa histria da PODPesquisa custosEPesquisa receitasFPesquisa bibliogrficaGPesquisa programao linearHPesquisa ajuste de curvasISntese da bibliografiaJSntese das pesquisas realizadasKRedao da apostilaLRedao dos sumrios e refernciasMCorreo dos estudos promovidosNImpresso e entrega da apostilaA decorrncia das atividades ser na seguinte ordem de eventos: 71. 70EVENTOSANTERIORDECORRENTESSUCESSORAB,CABD, EACFBDGBEHCFIDGJEHMFIK, LGJMIKNILNH,JMNK, L, MN 72. 71Para esta pesquisa, foi determinado um tempo de decorrncia citado na rede PERT/CPM abaixo:Qual ser o caminho crtico deste grupo?1 0.1 TEMPO CEDO, TEMPO TARDE, FOLGA E CAMINHO CRTICO10.1.1 tempo cedo O tempo cedo o tempo onde somamos o tempo de durao de uma atividade ao tempo de durao acumulado de suas antecessoras. As atividades na REDE PERT/CPM so as setas que apresentam os nmeros, e os crculos que estas setas unem, so chamados de eventos, os eventos podem ser considerados o incio das atividades, que culminam dentro da rede a um outro evento e, sucessivamente, a uma outra atividade at o termino do programa. Para calcularmos o tempo cedo, devemos somar o valor acumulado de tempo cedo da atividade anterior ao tempo necessrio atividade em decorrncia, este valor deve ser marcado sobre o evento no qual a atividade se finda. Veja o exemplo: 73. 727841212+6=1820 6 01111+9=202Observe que para o primeiro evento, o tempo cedo igual a zero, isso porque no h nenhuma atividade antes desta, o tempo cedo deve ser calculado at o ultimo evento. Quando chegamos num ponto ode duas atividades culminam para o mesmo evento, o tempo cedo calculado com o valor acumulado maior do evento anterior e o tempo da atividade, referente ao evento em uso, que culmina ao evento final:10.1.2 Tempo tardeO tempo tarde calculado na regresso ao final dos clculos de tempo cedo, ou seja, ao chegar, ao chegar a ltima atividade, devemos retornar ao incio das atividade, o primeiro evento. Quando chegamos numa bifurcao, assim como no tempo cedo, ficamos com o maior valor de tempo tarde. O tempo tarde o contrrio do tempo cedo, ao invs de somarmos o valor a prxima atividade a ser computada, subtramos este valor, de modo que estamos voltando at chegarmos ao tempo tarde de zero na primeira atividade. O tempo tarde deve iniciar-se na ultima atividade de modo a ser o primeiro tempo tarde o mesmo valor do ltimo tempo cedo 74. 73O tempo tarde segundo o mtodo americano, deve ser marcado sobre o tempo cedo como na figura: 10.1.3 Folga Como o prprio nome j diz, a folga uma sobra, em nosso caso, uma sobra de tempo. Para encontrarmos as folgas, devemos subtrair o valor do tempo cedo, do 75. 74valor do tempo tarde, de modo de que o resultado ser o valor da folga. Ns demarcamos as folgas como na imagem abaixo: / Folga10.2 CAMINHO CRTICOCaminho crtico a sucesso de eventos onde no se possui folgas, ou seja, onde os tempos cedo e tarde so iguais. Este caminho tambm conhecido como gargalo. O bom desenvolvimento destas atividades nos tempos estimados fundamental para o sucesso do empreendimento. Agora, voltando a questo chave, qual o caminho crtico dos nossos estudantes? 76. 75Agora que j sabemos como calcular os tempos cedo e tarde e as folgas, podemos formular a rede dos eventos que estes estudantes tero para a criao de sua apostila, seguindo os passos supracitados, a rede de eventos destes alunos dever ficar da seguinte forma:Sendo esta nossa rede, para definirmos o caminho crtico, s analisarmos a sucesso de eventos, a partir do evento A, que no possuem folga. Portanto, o caminho crtico de nossos estudantes : A, B, E, H, M e N 77. 7610 CONSIDERAES FINAISComo em todas as reas que envolvem a tomada de deciso, a pesquisa operacional, no agronegcio, tem um papel fundamental como bssola do tecnlogo, seja ela aplicada na tomada de deciso de quanto empregar de certa cultura em sua rea disponvel, ou at mesmo do melhor momento calculvel para a venda do seu derivativo agrcola, ela se demonstra uma ferramenta eficaz em sua funo primordial, o embasamento na tomada de deciso. 78. 77REFERNCIASINSTITUTO DE DESENVOLVIMENTO GRENCIAL- Pesquisa Operacional: Definio- Disponvel em: . Acesso em 20 de jun, 2008. FUNDAOEDUCACIONALDECAETCPM-Disponvelem:. Acesso em 19 de jun, 2008.