Integração Volume Aula 07 – Matemática II – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Volume de um sólido

• Na tentativa de encontra o volume de um sólido, nos deparamos com o mesmo tipo de problema que para calcular áreas.

• Temos uma ideia intuitiva do significado de volume, mas devemos torná-la precisa usando o cálculo para chegar à definição exata de volume.

• Começamos com um tipo simples de sólido chamado cilindro (cilindro reto).

• Um cilindro é delimitado por uma região plana B1, denominada base, e uma região congruente B2 em um plano paralelo.

• O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de reta perpendiculares à base que unem B1 a B2.

• Se a área da base é A e a altura do cilindro (distância de B1 para B2) é h, então, o volume V do cilindro é definido como

𝑉 = 𝐴ℎ

• Em particular, se a base é um círculo com raio r, então o cilindro é um cilindro circular com o volume 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ.

B1

B2

h

• Se a base é um retângulo com comprimento l e largura w, então o cilindro é uma caixa retangular (paralelepípedo retângulo), com volume 𝑉 = 𝑙𝑤ℎ

h

l

w

• Para um sólido S que não é um cilindro, inicialmente “cortamos” S em pedaços e aproximamos cada parte por um cilindro.

• Estimamos o volume de S adicionando os volumes dos cilindros.

• Chegamos ao volume exato de S através de um processo de limite em que o número de partes torna-se grande.

• 𝑉 ≈ 𝐴(𝑥𝑖)∆𝑥𝑛𝑖=1 em que, n é o número de “fatias”, de largura ∆𝑥. E 𝑥𝑖

são os pontos amostrais.

• Estas aproximações ficam mais próximas do valor do Volume, quando 𝑛 → ∞.

• Portanto, definimos o volume como o limite dessas somas quando 𝑛 → ∞.

• Reconhecemos o limite da soma de Riemann como uma integral definida, e dessa forma temos a seguinte definição.

Definição de Volume

• Seja um sólido que está entre 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. Se a área da secção transversal de 𝑆 no plano 𝑃𝑥, passando por 𝑥 e perpendicular ao eixo x, é 𝐴(𝑥), onde é uma função contínua, então o volume de 𝑆 é

𝑉 = lim𝑛→∞ 𝐴 𝑥𝑖 ∆𝑥 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑛

𝑖=1

Volume de revolução formado pela rotação

0

10

20

30

40

0 2 4 6 8

-45-40-35-30-25-20-15-10

-505

1015202530354045505560

0 2 4 6 8

• Suponha que 𝑓(𝑥) seja contínua e 𝑓(𝑥) ≥ 0 no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 e seja 𝑅 a região sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) entre 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. Nesse caso, o volume do sólido 𝑆 formado pela rotação de 𝑅 em torno do eixo 𝑥 é dado por

𝑉𝑜𝑚𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑆 = 𝜋 [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥𝑏

𝑎

Exemplo 1

• Determine o volume do sólido S formado pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = x2+1 entre x = 0 e x = 2.

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 -15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4

Neste caso, ao girar em torno do eixo x, a função fica negativa entre uns pontos de a e b, porém a fórmula

da integral é válida normalmente

Exemplo 2

• Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada

pela parábola f 𝑥 = 𝑦 =1

4(13 − 𝑥2) e pela reta g x = 𝑦 =

1

2 𝑥 + 5 .

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

-4 -2 0 2 4 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2

Neste caso, a região R está entre os gráficos de duas funções, f(x) e g(x). Assim, o volume será definido por

𝑉 = 𝜋 {[𝑓 𝑥 ]2 − 𝑔 𝑥 ]2 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Exemplo 3

A região limitada pela parábola cúbica 𝑦 = 𝑥3, pelo eixo dos 𝑦 e pela reta 𝑦 = 8, tira em torno do eixo dos 𝑦. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -2 0 2 4

Ao girar em torno do eixo y, o volume é

determinado por: 𝑉 = {𝑔(𝑦)}2𝑑𝑦𝑑

𝑐

Neste caso, 𝑦 = 𝑥3 ≡𝑥 = 𝑦3 , 𝑒 𝑔 𝑦 = 𝑦3

Exemplo 4

• Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta

𝑦 = 4, da região limitada por 𝑦 =1

𝑥, 𝑦 = 4 𝑒 𝑥 = 4.

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6

Neste caso, a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados, sendo o

volume dado por 𝑣 = 𝜋 [𝑓 𝑥 − 𝐿]2𝑑𝑥𝑏

𝑎

Neste exemplo, temos [L-f(x)],

o que não interfere no cálculo do

volume.

Exemplo 5

• Um tumor tem aproximadamente a mesma forma que o sólido formado pela rotação

da região sob a curva 𝑦 =1

316 − 4𝑥2 em torno do eixo x, onde x e y estão em

centímetros. Determine o volume do tumor.

Para determinar os pontos de interseção da curva com o eixo x, igualamos a equação a zero.

0

0,5

1

1,5

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

Exercícios

1) Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas:

a) 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0

b) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥3

c) 𝑦 = 𝑥3, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0

2) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região R, limitada pelos gráficos da equações dadas:

a) 𝑥 = 𝑦2 + 1, 𝑥 =1

2, 𝑦 = −2, 𝑦 = 2.

3) Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados:

a) 𝑦 = 2𝑥 − 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 4, 𝑎𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑥.

b) 𝑦 = 2𝑥2, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑦 = 2, 𝑎𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑦 = 2.