CBNBCOLÉGIO BRIGADEIRO NEWTON BRAGA

APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – 2016PROFESSORES: LUCIO / FÁTIMA

AULA 6: Geometria Espacial

RESUMO

PoliedrosRelação de EulerUm poliedro convexo e regular se, e somente se, essa relação for verdadeira.

V + F = A + 2

V = número de vérticesA = números de arestasF = número de faces

Poliedros regulares

Denominamos poliedro convexo regular os poliedros cujas faces correspondem a regiões poligonais regulares e congruentes e em cujos vértices concorre um mesmo numero de arestas. Existem apenas 5 poliedros regulares convexos.

Soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexoEm um poliedro convexo, a soma das medidas dos ângulos de todas as faces e determinada por:

S = ( V – 2 ) . 360º

Onde V é o numero de vértices.Paralelepípedo retângulo

1) Diagonal do Paralelepípedo Retângulo: 2) Área Total:

3) Volume: Cubo

1) Diagonal do cubo:

2) Área Total: .

3) Volume:

Prismas RegularesConsidere um prisma reto regular com n lados da base.

Cilindros

Áreas da superfície de um cilindro e Volume de CilindroPlanificando o cilindro

1) Área da baseSb = .r2

2) Área LateralSL = 2.. r.h

3) Superfície totalSt = SL + 2 Sb

St = 2. .r .h + 2..r2

St = 2 .r.( h + r )

4) Volume do cilindroV = Sb . h V = .r².h

Pirâmides Regulares. O polígono da base é regular. O apótema do polígono regular é o apótema da base. As arestas laterais são congruentes. As faces laterais são triângulos isósceles. A altura da face lateral é o apótema da pirâmide (g).

No triângulo VOM, temos:g² = h² + m²

Áreas da superfície de uma pirâmide.

Stotal = Sl + St

Volume de uma pirâmide

V = . Sb . h

Cone circular reto

Cone circular reto é todo cone circular cujo eixo é perpendicular ao plano da base. Em todo cone circular reto, a altura é a medida do segmento cujos extremos são o vértice V e o centro o da base.A secção meridiana de um cone circular reto é uma região triangular isósceles.

Cone eqüiláteroTodo cone circular reto cujas secções meridianas são regiões limitadas por triângulos eqüiláteros é chamado de cone eqüilátero.Em todo cone eqüilátero a medida g de cada geratriz é igual ao diâmetro 2r da base: g = 2r.

Áreas da superfície de um cone e Volume do Cone

Planificando o cone

1) Área da baseSb = .r2

2) Área LateralSL = . r.g

3) Superfície totalSt = SL + Sb

St = .r .g + ..r2

St = .r.( g + r )

4) Volume do cone

V = .Sb . h V = ..r².h

5) A medida do ângulo central do setor equivalente à superfície lateral do cone é:

Esfera

Área da superfície esférica A= 4 r²

Volume da esfera

V= r³

Seção de uma Esfera

A interseção de um plano com uma esfera é um círculo. Esse círculo é máximo quando o plano passa pelo centro da esfera

d é a distância entre o plano α e o centro da esfera. R é o raio da esfera. r é o raio da secção. Relação: d² + r² = R²

Troncos

Tronco de Pirâmide

Tronco de Cone

Tronco de pirâmide1)

2)

3)

Tronco de cone1)

2)

QUESTÕES

1) (UERJ) O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de natureza geométrica, foi construído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntricas, conforme ilustra a figura abaixo:

A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita, é:(A)

(B)

(C)

(D)

2) (UERJ) Leia os quadrinhos:

Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura abaixo, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo.

Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3, igual a:(A) 12(B) 13(C) 14(D) 15

3) (UERJ)Para a obtenção do índice pluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da chuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado pluviômetro.A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de captação de 0,5 m2 e raio interno do cilindro de depósito de 10 cm.

Considere que cada milímetro de água da chuva depositado no cilindro equivale a 1 L/m2.No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, aproximadamente:(A) 15(B) 25(C) 35(D) 45

4) (UERJ) Um recipiente cilíndrico de base circular, com raio R, contém uma certa quantidade de líquido até um nível h0. Uma estatueta de massa m e densidade , depois de completamente submersa nesse líquido, permanece em equilíbrio no fundo do recipiente. Em tal situação, o líquido alcança um novo nível h.A variação (h-h0) dos níveis do líquido, quando todas as grandezas estão expressas no Sistema Internacional de Unidades, corresponde a:

5) (UERJ) Considere o icosaedro abaixo, construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados.

A partir dos pontos médios, quatro triângulos eqüiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro. Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado a seguir:

Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica.

O número de arestas dessa estrutura é igual a: (A) 90 (B) 120 (C) 150 (D) 180

6) (UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura.

Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%.Considerando igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a:(A)(B)(C) (D)

7) (UERJ) Observe o dado ilustrado abaixo, formado a partir de um cubo, e com suas seis faces numeradas de 1 a 6.

Esses números são representados por buracos deixados por semi-esferas idênticas retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo.Considerando = 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das semi-esferas, expressas na mesma unidade, é igual a:(A) 6(B) 8(C) 9(D) 10

8) (UERJ)

A velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a 1,0 m/s. O intervalo de tempo, em segundos, gasto nesse percurso equivale a cerca de: (A) 12,2 (B) 14,4 (C) 16,2 (D) 18,1

9) (UERJ) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura.

Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a :(A) 16(B) 18(C) 20(D) 22

10) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo.

Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a:

Respostas: 1) C; 2) D; 3) A; 4) C; 5) B; 6) D; 7) D; 8) D; 9) B;10)D