Integrais Múltiplas

Integral de funções de uma variável

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim𝑚→∞ 𝑓(𝑥𝑖

∗)∆𝑥

𝑚

𝑖=1

𝑏

𝑎

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛

Integral Dupla Seja f uma função de duas variáveis definida no retângulo fechado. 𝑅 = 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑐, 𝑑 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}

e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).

• Problema: Encontrar o volume do sólido acima de 𝑅 e abaixo da superfície 𝑆.

𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3| 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)}

Subdividindo [𝑎, 𝑏] em 𝑚 subintervalos e [𝑐, 𝑑] em 𝑛 subintervalos, temos:

𝑥 =𝑏 – 𝑎

𝑚

e

𝑦 =𝑑 – 𝑐

𝑛

Área dos subretângulos :

A = 𝑥𝑦

6

Ilustração da interpretação geométrica da integral dupla

O volume da caixa 𝑅𝑖𝑗 é dado pelo produto pela altura

vezes a área do retângulo da base:

𝑉𝑅𝑖𝑗 = 𝑓(𝑥∗𝑖𝑗 , 𝑦∗𝑖𝑗)𝐴

Figura 5

• O volume procurado 𝑉 é aproximadamente a soma dos volumes destes prismas:

• Quanto maior o número de retângulos da região 𝑅 mais próximo de 𝑉 fica a soma dupla acima, podemos dizer então que

Nestas condições temos a seguinte definição:

1 1

( , )n m

ij ij

i j

V f x y A

,1 1

lim ( , )n m

ij ijn m

i j

V f x y A

Definição: Seja f uma função contínua definida em 𝑅⊂ ℝ2

com valores reais, definimos a integral dupla na região R

acima por:

Se f for positiva em então essa integral resulta no

volume do sólido S.

,1 1

( , ) lim ( , )n m

ij ijn m

i jR

f x y dA f x y A

R

• Exemplo 1: O volume do sólido que está acima do quadrado 𝑅 = [0,2] 𝑥 [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de 𝑅 em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior direito de cada quadrado 𝑅𝑖𝑗.

Solução:

Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela soma de Riemann com 𝑚 = 𝑛 = 2, temos:

• Esse é o volume das caixas que aproximam o volume 𝑉, como mostra a figura a seguir.

2 2

1 1

( , ) 1,1 1,2 2,1 2,2  ij ij

i j

V f x y A f A f A f A f A

13 1 7 1 10 1 4 1 34 uV

13

14

A

Abaixo estão ilustrados a três diferentes subdivisões 22 216 yxz

The approximations become

more accurate as m and n increase.

m = n = 4

V 41.5

m = n = 8

V 44.875

m = n = 16

V 46.46875

Figure 15.1.8

15

Integrais Iteradas

A

𝐴 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝑑

𝑐

𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

𝑑

𝑐

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Supondo 𝑓(𝑥, 𝑦) contínua no retângulo 𝑅 = 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑐, 𝑑 . Temos que

Integrais iteradas

• Teorema de Fubini: Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:

• vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R.

( , ) ( , ) ( , )

b d d b

R a c c a

f x y dA f x y dy dx f x y dx dy

PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS

i)

ii)

iii)

se D = D1 D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras.

[ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )D D D

f x y g x y dA f x y dA g x y dA

( , ) ( , )D D

cf x y dA c f x y dA

1 2

( , ) ( , ) ( , )D D D

f x y dA f x y dA f x y dA

• Exemplo 2: Calcule o valor da integral,

• onde R = [0,3] x [1,2]

2

R

x ydA

• Solução: De acordo com a figura acima temos:

23 2 3 322 2 2 2 2

0 1 0 01

3 33 3 32

0 0 0

4 1

2 2 2

3 3 2713,5

2 2 3 2 2

R

yx ydA x ydy dx x dx x x dx

x xx dx

32 3 2 23

2 2

1 0 1 10

22

1

270

3 3

27 108 27 81 2713,5

6 6 6 6 2

R

xx ydA x ydx dy y dy y dy

y

O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2y (Veja figura ao lado)

• Exemplo 3: Calcule , onde R = [1,2] x [0,].

• Solução:

• Note que é importante saber escolher a ordem de integração que dê menos trabalho.

• O resultado dessa integral representa a diferença de volume da parte do sólido positivo com a parte negativa.

22

10 1 0

00

sen( ) sen( ) cos

1( cos2 cos ) sen2 sen

2

1 1sen sen sen0 sen0 0

2 2

R

y xy dA y xy dxdy xy dy

y y dy y y

sen( )R

y xy dA

• Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.

• Solução: S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 – x2 – 2y2 e acima do retângulo R = [0,2] x [0,2], como mostra a figura.

• Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla:

Solução

2 2

2 2

2 2

0 0

22 32

0 0

2

2

0

2

2

0

23

0

16 2

16 2

16 23

832 4

3

884

3

88 88.2 4.84 48

3 3 3

R

V x y dA

x y dxdy

xx xy dy

y dy

y dy

yy

uV

Integrais duplas em regiões gerais

Tipo 1 - Regiões planas inscritas em faixas verticais:

Seja D = { (x,y)∈ ℝ2| a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }

onde g1 e g2 são contínuas em [𝑎, 𝑏].

Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:

• A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:

2

1

( )

( )

( , ) ( , )

g xb

D a g x

f x y dA f x y dydx

Tipo 2 - Regiões planas inscritas em faixas horizontais

• Sendo D= {(𝑥, 𝑦) | 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, ℎ1(𝑦) < 𝑥 < ℎ2(𝑦) }

• A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:

sempre que f for contínua em D.

2

1

( )

( )

( , ) ( , )

h xd

D c h x

f x y dA f x y dxdy

• Exemplo 5: Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e

y = 1 + x2.

• Solução:

( 2 )D

x y dA

y = 1+ x2

y = x2

• D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 }

22

2

2

1 1 11

2

2-1 -12

1

2 2 2 3 4

-1

1

3 2 4 3 4

-1

1

4 3 2

-1

15 4 3 2

-1

( 2 ) ( 2 )

(1 ) (1 ) - 2 4

1 2 - 2 - 4

-3 - 2 1

32-3 - 2

5 4 3 2 15

xx

xD x

x y dA x y dy dx xy y dx

x x x x x dx

x x x x x x dx

x x x x dx

x x x xx

• Exemplo 6: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2.

• Solução: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x }

2 2

22 2 2 32 2 2 2 2

0 0

22 23 6 3 6 4 5 73 4 4

0 0 0

3

8 14 142

3 3 3 3 12 5 21

14.16 32 128 216

12 5 21 35

xx

D x x

yV x y dA x y dy dx x y dx

x x x x x x xx x dx x dx

• Gráfico do exemplo 6

• Exercício: Resolva o exemplo anterior invertendo ordem de integração:

y = 2x

y= x2

• Exemplo 7: Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.

• Solução:

DxydA

• A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira:

• [y2 = 2x + 6] [y = x – 1] e x = y +1

y2 – 2y – 8 = 0

y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 )

• Assim, preferimos expressar D como:

2 62

yx

2 61

2

yy

2 6

, | 2 4, e 12

yD x y y x y

• Fazemos agora o cálculo:

22

114 4 2

62 26

22

4 3 2 5 3

2

4 5 3 2

2

46 3

4 2

2

2

2 12 36

2 8

1 16 8 32

2 4

14 8 16

8 6 3

1 2048 512 32 641024 256 64 64 36

8 3 3 3 3

yy

yD y

xxydA xydx dy y dy

y y y y y ydy

y y y ydy

y yy y

• Exemplo 8: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

• Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está.

Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro:

• A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano

x + 2y + z = 2. • Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta

x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0.

• O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como:

{ , | 0 1, / 2 1 – / 2 }.D x y x x y x

11 121

2 2

20 /2 0

21 2 2

0

1 2 2 2 2

0

11 32 2

0 0

2 2 2 2 2

2 1 1 12 2 2 2 4

2 12 4 2 4

11 2

3 3

xx

x

D x

V x y dA x y dydx y xy y dx

x x x x xx x dx

x x x xx x x x dx

xx x dx x x

• Exemplo 8: Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem , onde D é a região do plano xy limitada pelos gráficos de , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2.

• Solução:

2 cosD

y xdA

6x

• Dividiremos a região D em duas D1 e D2.

• 1) Inscrita na faixa vertical /6 x 4 e, nesse caso dividi-la em

• D1 = { (x,y) | /6 x 1, 1 y 3 } e

• D2 = { (x,y) | 1 x 4, }

• 2) Inscrita na faixa horizontal 1 y 3 e, nesse caso, dividi-la em

• D1 = { (x,y) | 1 y 2, /6 x y2 } e

• D2 = { (x,y) | 2 y 3, /6 x 10 – 3y }

10

3

xx y

• Podemos então escrever de duas formas a integral.

1 2

10

1 3 4 3

1 16

2 cos 2 cos 2 cos

2 cos 2 cos

D D D

x

x

y xdA y xdA y xdA

y xdydx y xdydx

1 2

2 10 32 3

1 26 6

2 cos 2 cos 2 cos

2 cos 2 cos

D D D

y y

y xdA y xdA y xdA

y xdxdy y xdxdy

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

• Regiões Polares Simples: Uma região polar simples num sistema de coordenadas polares é uma região delimitada por dois raios,

e , e duas curvas polares contínuas,

e , onde as equações dos raios e das curvas satisfazem as seguintes condições:

1( )r r 2 ( )r r

1 2(i) (ii) 2 (iii) 0 ( ) ( )r r

Regiões em Coordenadas Polares y

2 2

x 1

1 2

f1 () r f2 ()

r2 = f2 ()

r1 = f1 ()

R

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

y

x

R Ak = (r2

2 - r12)( - )/2

r1

r2

Ak

= [(r1 + r2)/2] (r)

unidade de área:

Ak

r

• Teste

Faremos o volume V k do prisma k por

Sendo assim, o volume

aproximado do sólido é:

e definiremos a integral dupla em coordenadas polares por;

* *( , ).k k k kV f r A

* *

1

( , ).n

k k k

k

V f r A

2

1

( )

* *

1 ( )

lim ( , ). ( , )

rn

k k kn

k r

f r A f r dA

Observe que a unidade de área pode ser dada usando-se os centros dos sub-retângulos: e Então, Onde

2 2

1

2 2

1

1 1

*

1 12 2

1 ( )2

1 ( )( )2

k k k k k

k k k

k k k k k

k k k

A r r

r r

r r r r

r r

* *

1 1{( , ) | , }k k k k k k k k kA r r r r

* *

1 1

1 1( ) ( )

2 2k k k k k kr r r

1k k kr r r

Cálculo da Integral Dupla em Coordenadas Polares

2

1

( )

( )

( , ) ( , )

r

R r

f r dA f r rdrd

R: r1 () r r2 ()

Example 1: Calcule , onde R é a região do semiplano delimitada pelos circulos

dAyxR )43( 2

.4 and ,1 2222 yxyx

Solução: A região R pode ser descrita como

}41 ,0|),{( 22 yxyyxR }0 ,21|),{( rr

dAyxR )43( 2

rdrdrr 0

2

1

22 )sin4cos3(

drdrr 0

2

1

232 )sin4cos3(

drrr

r

2

10

243 sincos

d 0

2sin15cos7

d

0)2cos1(

2

15cos7

2

152sin

4

15

2

15sin7

0

0y

Example 2: Encontre o volume do sólido limitado

Pelo plano xy e pelo parabolóide 221 yxz

}1|),{( 22 yxyxD

}20 ,10|),{( rr

dAyxVD

)1( 22

rdrdr 2

0

1

0

2 )1(

drrrd

2

0

1

0

3 )(

2422

1

0

42

rr

Para uma região do tipo

Onde D é uma região do tipo )}()(,|),{(

21 hrhrD

Temos a integral

rdrdrrf

dAyxf

h

h

D

)(2

)(1

)sin,cos(

),(

Example 3 Usando a integral dupla encontre a área englobada pela pétala da rosácia 2cosr

}2cos0 ,44

|),{(

rrD

/4 cos2

/4 0( )

D

A D dA rdrd

cos2/4

2

/40

1

2r d

/42

/4

1cos 2

2d

/4

/4

11 cos 4

4d

/4

/4

1 1sin 4

4 4 8

Example 4 Encontre o volume do sólido que está sob o parabolóide , acima do plano e dentro do cilindro

22 yxz xy

.222 xyx

Solution O sólido está acima do disco, limitado pelo círculo

}cos20 ,22

|),{(

rrD

D

dAyxV )( 22

2/

2/

cos2

0

2

rdrdr

2/

2/

cos2

0

4

4

dr

2/

2/

4cos4

d

2/

0

4cos8

d

2/

0

2

2

2cos18

d

2/

0]4cos12cos21[2

2

1

d

2

3

22

324sin2sin

2

32

2/

08

1