27

5 Integral Definida

Dada uma função contínua 0)( xfy , a área entre a curva e o eixo das abscissas e

as retas ax e bx , é chamada integral definida de f entre os limites a e b ba que

se escreve ( )b

af x dx .

Exemplo 1: Calcular a integral 2

02x dx .

A expressão ( )b

af x dx é chamada integral definida de f de a a b ; a é o limite inferior da

integração e b é o limite superior da integração.

A integral definida é um número, o qual representa a área abaixo da curva.

A integral indefinida é uma função, isto é, uma família de antiderivadas.

28

5.1 Teorema Fundamental do Cálculo

Se f não-negativa e contínua no intervalo fechado ba, , então:

b

af x F b F a , onde F é qualquer função tal que xfxF ' para todo x em

.,ba

O Teorema Fundamental do Cálculo indica uma maneira de calcular uma integral

definida, e não um processo para achar antiderivadas.

Ao aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, é conveniente utilizar a notação

aFbFxFdxxfb

a

b

a

.

A constante de integração C pode ser omitida porque

aFbFCCaFbFCaFCbFCxFdxxfb

a

b

a

.

Exemplos:

Cálculo de integrais definidas

a)

32

0

xe dx

b) 2

1

1dx

x

29

c)4

13 x dx

d) 16

1

1dx

x

5.2 Propriedades da integral definida

Sejam f e g contínuas no intervalo fechado ba, .

1)

b

a

b

a

dxxfKdxxKf , K é uma constante

2)

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf

3)

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf , bca

4) 0a

a

dxxf

5)

a

b

b

a

dxxfdxxf

30

Exemplos:

a) dxxx

2

0

3 635

b)

4

1

3

3225 dx

xxx

5.3 Aplicações da integral definida

5.3.1 Cálculo de áreas

1o Caso:

28

Exemplo:

1. Encontre a área limitada pela curva 24 xy e o eixo dos x.

2o Caso:

b

a

dxxfA )(

Exemplo:

2. Encontre a área limitada pela curva 24 xy e o eixo dos x.

29

3. Encontre a área da região S, limitada pela curva xseny e pelo eixo dos x de

20 a .

3o Caso:

b

a

dxxgxfA )()(

Exemplos:

1. Encontre a área limitada por 2xy e 2 xy .

30

2. Encontre a área limitada pelas curvas 3xy e xy .

3. Encontre a área da região limitada pelas curvas 12 xy e 1 xy .

EXERCÍCIOS

Calcule as seguintes integrais definidas:

1) 10

811

2

1

3

dxxx

2) 4874

0

3

2

dxxx

3) 160

3112

1

6 dx

x

4) 5

8442

9

4

dttt

31

5) 3

2

13

11

0

dyy

6) 0cos4

3

4

dxxsenx

7) 253

22

9

1

13

2

dxx

x

8)

0

2

23

2

15

2

2dv

v

v

9) 3

2612

5

1

dxx

10)

4

1

3 36

5

1

1dx

xx

11) 4

2

0

2

dxxsen

12) 15

1161

3

0

dxxx

13) 64

15

1

cos2

0

5

dx

senx

x

14) 212

14

0

dxx

15) 2ln52

3125752

1

2

23

dxx

xxx

16) 2

9122

3

dtt

t

EXERCÍCIOS

Nos exercícios seguintes, ache a área da região sombreada:

32

1) 2( ) 6

( ) 0

f x x x

g x

2) 2( ) 2 1

( ) 2 5

f x x x

g x x

3)

2

3

( )

( )

f x x

g x x

4) 3( ) 3( )

( ) 0

f x x x

g x

5) 3( ) ( 1)

( ) 1

f x x

g x x

6)

2

2

( ) 4 3

( ) 2 3

f x x x

g x x x

7) ( )

( ) 0

xf x e

g x

33

Respostas:

1) 36 2) 32

3 3)

1

12 4)

3

2 5)

1

4 6) 9

7) e – 1