funÇÃo definida por mais de uma sentenÇa...

MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES

FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA ............... 2

MÓDULO ..................................................................................... 6

PROPRIEDADES DO MÓDULO .................................................. 6

FUNÇÃO MODULAR ................................................................... 9

GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR ............................................ 9

EQUAÇÕES MODULARES ....................................................... 27

INEQUAÇÕES MODULARES .................................................... 32

RESPOSTAS ............................................................................. 37

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 44

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA

Já vimos, em apostilas anteriores, como tratar com funções definidas por mais de uma expressão e agora vamos usar aqueles conceitos. Uma função é definida por mais de uma sentença quando cada uma delas está associada à um subdomínio D1, D2, D3, ... Dn e a união destes n subconjuntos forma o domínio D da função original, ou seja, cada domínio Di é um subconjunto de D. Vamos ver alguns exemplos de funções definidas por mais de uma sentença e seus respectivos gráficos.

Ex.1: Seja a função

2xse3

2x0se1x

0xse1

xf

O seu gráfico é dado por:

Ex. 2: Veja o gráfico de

1xse1x

1xsexxf

2

Ex. 3: Seja a função

1xse1x

1x2se1x

2xse1x

xf 2

o gráfico é:


01) Construa o gráfico de cada uma das funções abaixo:

a)

0xsex

0xse1xxf

b)

2xse2

2x2sex

2xse2

xf


c)

1xsex1

1xsex2xxf

2

d)

1xse12x

1xse1xxf

2

2


02) Dada

2xse1

2

x

2xse2xx

xf

2

a) Construa seu gráfico.

b) Encontre os valores de x que admitem 4 como imagem.

03) Quais valores de x tem imagem 7 na função

0xse2x

0xse1x2

5x

xf2


04) Construa o gráfico de

0xsex

0xsexxf

___________________________

MÓDULO

Sendo x um número real,

definimos MÓDULO ou VALOR ABSOLUTO que se representa por |x| através da expressão:

0xsex

0xsexx

Da expressão acima, podemos

tirar duas conclusões:

1. Se x é zero ou um número positivo, então o módulo de x é o próprio x.

2. Se x é um número negativo, então o módulo de x é o oposto aditivo de x.

É interessante associar a idéia de valor absoluto a distância, assim, o módulo de um número x é a distância do afixo de x até a origem do sistema. Este conceito voltará a ser usado quando você estiver estudando Números Complexos no 3º ano.

2

1

2

100

355333

131333

PROPRIEDADES DO MÓDULO

Da definição de módulo, decorrem algumas propriedades que veremos a seguir:

I x,0x

II 0x0x

III y,x,xyyx

IV x,xx 22

V y,x,yxyx

VI y,x,yxyx

VII axa0aeax

VIII axouax0aeax

05) Aplicando o conceito de módulo, calcule:

a) 4

b) 18

c) 49


d) 125

e) 27

f) 35

06) Para que valores reais de x é válida cada uma das igualdades a seguir?

a) 3x3x

b) 22 x11x

c) 1x1x 22

07) O módulo de um número real x também pode ser definido desta forma:

2xx . Assim, calcule:

a) 23

b) 213

c) 25x


08) Considere, na reta real, os pontos A(a) e B(b).

O conceito de módulo pode ser usado para o cálculo da distância AB entre os pontos A e B, a partir de suas coordenadas. Assim, por definição,

abbaAB

Desta forma, calcule a distância AB quando: a) a = -3 e b = 4 b) a = -5 e b = -8

c) a = 3 e b = 5

09) Uma partícula desloca-se sobre uma reta real. Inicialmente ela se encontra no ponto A(-5), em seguida vai até B(7) e depois até C(-2). a) Qual a distância total percorrida pela partícula. b) Qual seu deslocamento final. 10) Verifique se cada uma das afirmativas a seguir é VERDADEIRA ou FALSA.

a) xxx

b) x0x

c) y,x,yxyx

d) xxx 22

e) axax

f) 0x|x

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 192 – Exercícios 1 a 4 ______________________

A B a b


FUNÇÃO MODULAR

A função que associa a cada número real o seu valor absoluto é chamada FUNÇÃO MODULAR e representamos;

xxf

Utilizando o conceito de módulo de número real apresentado na página 6 desta apostila, a função modular também pode ser definida da seguinte forma:

GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR

Na questão 04 (Pág. 06) desta apostila, você construiu o gráfico da

função xxf porém apresentada sob

a forma de duas sentenças. Observe lá o que você fez.

O gráfico da função modular é a reunião de duas semirretas de origem em (0, 0) que são as bissetrizes do 1º e 2 º quadrantes.

D = e Im = +

Vamos, a partir de agora, desenvolver algumas técnicas para construção de gráficos de função modular. Em cada exemplo a seguir vamos aprender um tipo de gráfico e, a seguir, construiremos um semelhante.

Vamos construir o gráfico de x2xf .

Resolução: Quando nos deparamos com uma função elementar como esta, em princípio, construímos o gráfico de 𝑔(𝑥) = 2𝑥.

A seguir devemos fazer 𝑓(𝑥) = | 𝑔(𝑥) |, ou seja devemos “rebater” a parte do gráfico que se encontra abaixo do eixo horizontal, desta forma:

x

y

0xsex

0xsexxf


Então, o gráfico de 𝑓(𝑥) = | 2𝑥 | é

D = e Im = +

Agora é sua vez:

11) Construa, nas malhas quadriculadas de cada item, o gráfico que se pede. Em todas as malhas, está tracejado o gráfico da função f(x)=|x|. Aproveite para comparar o gráfico que vc construiu com este.

a) 𝑓(𝑥) = |𝑥

2|

D = e Im = .

b) 𝑓(𝑥) = |3𝑥|

D = e Im = .


c) 𝑓(𝑥) = −|𝑥|

D = e Im = .

Construir o gráfico da função

𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2|. Resolução: Assim como fizemos antes, vamos construir o gráfico de g(x) = x + 2

Agora, vamos “rebater” o que estiver abaixo do eixo das abscissas.

Este é o gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| e podemos observar o domínio e a imagem da função olhando para o gráfico:

D = ℝ e Im = ℝ+ Vamos aproveitar este gráfico para fazer outra observação. Na figura

abaixo está o gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| e, tracejado em verde, o gráfico da função

𝑓(𝑥) = |𝑥|.

Comparando os dois gráficos, podemos dizer que o gráfico de f foi obtido a partir do deslocamento do gráfico de g em duas unidades para a esquerda.

A seguir, você pode observar uma

família de gráficos do tipo 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 𝑎|. Note cada gráfico é deslocado, em

relação do gráfico de 𝑓(𝑥) = |𝑥| em a unidades.


Tente associar esta ideia com o

que você viu quando estudou os deslocamentos laterais do gráfico da função quadrática.

12) Construa o gráfico de 1xxf

D = e Im = .


x2xxf 2 .

Resolução: Da mesma forma que já fizemos, construiremos o gráfico de g(x) = x2 + 2x e “rebateremos” o que está abaixo do eixo x pois f(x) não admite valor negativo.

D = ℝ e Im = ℝ+

Construa o gráfico de cada uma das funções apresentadas nas questões de 13 a 19.


13) 1x2xf

D = e Im =

14) 3x2xf

D = e Im =


15) x32xf

D = e Im =

16) x4xxf 2

D = e Im =


17) 4xxf 2

D = e Im =

18) x3xxf 2

D = e Im =


19) 2x3xxf 2

D = e Im =


definida em todo o capo dos reais dada por f(x) = | x + 1| - 2 Resolução:

Em princípio, vamos construir o gráfico de g(x) = | x + 1 | como vimos nos exemplos anteriores.

Agora devemos “deslocar” o gráfico duas unidades para baixo pois f(x) = g(x) - 2

Podemos ver que o DOMÍNIO desta função são todos os números reais. Observando o gráfico, qual é a IMAGEM desta função?



20) 3xxf

D = e Im =

21) 31x2xf

D = e Im =


22) 34xxf 2

D = e Im =

23) 33x4xxf 2

D = e Im =


24) 41xxf 2

D = e Im =

Agora vamos começar a tratar com funções que apresentam incógnitas dentro e fora do módulo e outras com soma de módulos.

Ex1.: Construir o gráfico da função

1x2xxf .

Resolução: Vamos dividir a função em duas partes. A

primeira é o que está no módulo: 2x e

a segunda parte será 1x .

De 2x , temos:

2xse2x

2xse2x2x

De 1x temos que, independente do valor de x, seu valor será 1x . Vamos agora dispor estas situações num quadro. O que vai separar uma coluna de outra será o -2 que é o valor que faz mudar a expressão na primeira parte da função.

2

2x 2x

1x 1x

3 1x2

Note que a terceira linha é a soma das duas anteriores. A função que dividimos em duas partes era formada pela soma dessas. Assim, a função que trabalharemos agora será:

2xse3

2xse1x2xf


Vamos agora construir o gráfico desta função definida por partes.

_____________________________

Ex1.: Construir o gráfico da função

1x1x2xf .

Resolução: Assim como fizemos antes, vamos dividir a função em duas partes e, a seguir, formaremos o quadro. Veja.

2

1xse1x2

2

1xse1x2

1x2

1xse1x

1xse1x1x

2

1

1

1x2 1x2 1x2

1x 1x 1x

x3 2x x3

Assim, a função de que devemos construir o gráfico será:

1xsex2

1x2

1se2x

2

1xsex3

xf



25) xxxf

D = e Im =

26) xxxf

D = e Im =


27) 2x3xxf

D = e Im =

281) 3x1xxf

D = e Im =


29) 2x1x2xf

D = e Im =

30) 3x22x3xf

D = e Im =


31) 3x4xxf 2

D = e Im =

32) 4x1xxf

D = e Im =



33) 1x1xxf

D = e Im =

34) 1x1xxf

D = e Im =


35) 53x2x2xf

D = e Im =

36) 2x4xxf 2

D = e Im =


37) 2

3x1x2xf

D = e Im =

No link abaixo, você tem acesso a uma vídeo-aula de cerca de 30 minutos que abrange tudo que vimos até aqui sobre função modular.

EQUAÇÕES MODULARES

Para resolver equações modulares, devemos lembrar de duas propriedades de módulo: P1:

kxoukxkx

P2:

yxouyxyx

Utilizando estas duas propriedades e a condição de

que 0x , vamos resolver algumas

equações modulares.


Ex.1: Resolver 71x2

Resolução:

4x71x2

ou

3x71x2

71x2

3;4S

Ex.2: Resolver 3x21x3

Resolução:

5

2x3x21x3

ou

4x3x21x3

3x21x3

5

2;4S

Ex.2: Resolver 8x21x

Resolução: Em princípio devemos lembrar que

4082 xx Deste forma só serão convenientes aquelas soluções maiores ou iguais a 4

3x8x21x

ou

7x8x21x

8x21x

Como previmos anteriormente, a solução x = 3 não convém, neste caso,

7S

___________________________

Faça agora os exercícios

referentes a este assunto.


38) Resolva as equações a seguir no campo dos números reais.

a) 32x

b) 21x3

c) 05x4

d)\ 13x2

e) 31x3x2

f) 4

5

4

1x

2

5x2

g) 25x4x2



a) 1x2x3

b) 03x21x4

c) 1x45xx2

d) 1xx2x2x 22



a) 1x22x

b) 3x22x3

c) 1x5x2

d) 3x2x3x15x2 22

e) 2x32x3

f) 4x3x34


Existem outras situações envolvendo equações modulares que não trataremos aqui mas você pode ver nas vídeo-aulas acessíveis pelos links abaixo:

Equações Modulares Parte 3



INEQUAÇÕES MODULARES

A idéia de módulo está ligada ao conceito de distância, como foi dito no início desta apostila. Assim, temos que:

axouaxax

axaax


Utilizando estas propriedades, podemos resolver as equações que envolvem módulo.

Ex.1: Resolver a inequação 73x2 .

Resolução:

Aplicando a primeira propriedade acima, encontramos

73x27

Resolvendo o sistema de

inequações temos:

2x5

Logo:

2x5|xS

Ex.2: Resolver a inequação 21x3

21x3

ou

21x3

21x3

Resolvendo as equações acima,

temos:

1xou3

1x

Assim:

1xou3

1x|xS

41) Resolva, no campo dos números reais, cada uma das cinco inequações a seguir:

a) 42x3

b) 13x2

c) 3x34


d) 04x3

e) 31x2

42) Resolver em ℝ as quatro inequações a seguir.

a) 15x5x2

b) 24xx2

c) 6x5x2


d) 64x3x2

43) Resolver em ℝ a inequação

01x7x2 .

(Esta questão está resolvida na seção RESPOSTAS)


44) Resolver em ℝ a inequação

07x31x .

45) Resolver em a inequação

0x341x2 .


RESPOSTAS 01) a)

b)

c)

d)

02) Resolução

a)

b) Para encontrar os pontos de

imagem 4, devemos resolver as equações:

412

x2

42xx)1( 2

De (1), temos x1 = -3 e x2 = 2 Mas -3 não convém De (2) temos x = -6. Assim 2 e -6 tem imagem 4.

03) 4 04)

05) a) 4 d) 12 - 5 b) 18 e) 27

c) 9 - 4 f) 53


06) a) 3x c) x b) 1x1

07) a) 3 c)

5xse5x

5xse5x

b)

13

08) a) 7 c) 13

b) 3

09) a) 21 c) 3

10) Verdadeiras: a, b, d, f Falsa: c, e

11) a)

D = e Im = +

b)

D = e Im = + c)

D = e Im = -

12)

D = e Im = +

13)

D = e Im = +


14)

D = e Im = +

15)

D = e Im = +

16)

D = e Im = +

17)

D = e Im = +

18)

D = e Im = +

19)

D = e Im = +


20)

D = e Im = [-3; )

21)

D = e Im = [3; )

22)

D = e Im = [-3; )

23)

D = e Im = [-3; )

24)

D = e Im = [-3; )

25)

D = e Im = +

26)

D = e Im = +


27)

D = e Im = [-1; )

28)

D = e Im = [4; )

29)

D = e Im = [2

3 ; )

30)

D = e Im = [3

13; )

31)

D = e Im = [-1; )

32)

D = e Im = +

33)

D = e Im = [2; )

34)


D = e Im = [-2; 2]

35)

D = e Im = [-1; )

36)

D = e Im = +

37)

D = e Im = [2; )

38) a) 5,1S

b)

3

1,1S

c)

4

5S

d) S

e) 4,2,1,1S

f)

3,2,

2

1,

2

1S

g) 3,1S

39)

a)

4

1,

2

3S

b)

3

1,2S

c) 4,1,1,6S

d)

1,

3

1,

2

3S

40)

a)

3

1S

b) S

c) 4,2S

d) 6,13S

e)

;

3

2S

f)

;

3

4S

41)

a)

2x3

2|xS

b) 2x1|xS


c)

3x3

1|xS

d)

3

4S

e) 2xou1x|xS

42) a)

4x3ou2x1|xS

b)

3xou2x1ou2x|xS

c)

6xou3x2ou1x|xS

d)

5x2ou1x2|xS

43) (Resolução)

Sabendo que

1xse1x

1xse1x1x ,

devemos considerar duas situações: 1ª situação: 1x

2x01x7x2

01x7x2

Assim, a solução desta primeira parte é

2x|x

2x|x1x|xS1

2ª situação: 1x

8x01x7x2

01x7x2

Logo, temos como S2,

8x|x1x|xS2

Portanto, a solução da inequação proposta será:

21 SSS

Ou seja:

2x|xS

44) 3x|xS

45) 5x|xS


REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

MACHADO, Antônio dos Santos;

Matemática, Temas e Metas. São Paulo,

Atual, 1988.

IEZZI, Gelson e outros;

Fundamentos da Matemática Elementar,

Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição,

1977.

RUBIÓ, Angel Pandés;

Matemática e suas tecnologias; Volume

1. São Paulo, IBEP, 2005.

PAIVA, Manoel; Matemática;

Volume 1. São Paulo, Moderna, 1995.

Links dos vídeos sugeridos Pág. 27: vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/funcao-modular/ Pág. 28 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-modulares-p1/ Pág. 32 parte 3 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-modulares-p3/ parte 4 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-modulares-p4/ parte 5 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacoes-modulares-p5/

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