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MATEMÁTICA III 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES

INTRODUÇÃO ............................................................................. 2

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM ............................ 3

FATORIAL .................................................................................... 8

AGRUPAMENTOS ..................................................................... 10

ARRANJOS ................................................................................ 10

PERMUTAÇÕES ........................................................................ 17

PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS .................... 23

COMBINAÇÕES ........................................................................ 28

BINÔMIO DE NEWTON ............................................................. 36

PROBABILIDADES .................................................................... 46

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS .................. 55

PROBABILIDADE CONDICIONAL ............................................. 55

RESPOSTAS ............................................................................. 64

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 66

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. O fato de apenas alguns exercícios estarem indicados não significa que os demais devam ser ignorados. Ao contrário, quanto mais exercícios você fizer mais hábil você pode ficar.

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

INTRODUÇÃO

As duas figuras abaixo mostram

placas de veículos automotores. A primeira mostra o modelo atualmente utilizado no Brasil e a segunda apresenta o modelo de placas unificadas do Mercosul que deveria ser utilizada a partir de janeiro de 2016.

Por meio do endereço <www.vid igal.ouropreto.ifmg.edu.br/placasveiculos> ou utilizando o qr-code ao lado, você consegue acessar uma página que aponta para quatro outras que trazem reportagens sobre a mudança no padrão das placas. Um fato comum em todas as reportagens é que a nova placa permitirá obter mais de 450 milhões de combinações diferentes. A placa antiga permitia menos de 18 milhões de combinações.

O assunto que vamos estudar agora nos permite encontrar números como estes e a entender situações como a que recentemente vivemos quando, aos números dos nossos celulares, foi acrescentado um dígito.

A Análise Combinatória, visa desenvolver métodos que permitem contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes elementos, agrupamentos formados sob determinadas condições.

Estes métodos de contagem podem parecer pouco necessários e realmente o são quando lidamos com conjuntos que tem

poucos elementos, mas quando trabalhamos com conjuntos muito numerosos, os métodos tornam-se indispensáveis.

Vamos ver alguns exemplos abaixo e tentar preencher os espaços com a quantidade de elementos de cada conjunto:

Ex.1: Conjunto formado por todos os números de dois algarismos distintos formados, exclusivamente, pelos dígitos 1, 2 e 3: A = (12, 13, 21, 23, 31, 32}, logo o conjunto A tem _____ elementos. Ex.2: Conjunto formado pelas diagonais de um hexágono: D = {AC, AD, AF, BD, BE, BF, CE, CF, DF}, logo o conjunto D tem _____ elementos. Ex.3: Conjunto formado pelas diagonais de um heptágono: H = Quantos elementos tem o conjunto H? ____ Ex.4: Conjunto das sequências de letras que se obtém mudando a ordem das letras da palavra ROMA (anagramas da palavra ROMA) P = Quantos elementos tem o conjunto P?


Ex.5: K é o conjunto formado pelos números de três algarismos distintos formados a partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7 e 8. Quantos elementos tem K?

_______________

Observe que neste caso, é bastante trabalhoso obter todos os elementos do conjunto K para depois contá-los e notadamente sabemos quais as dificuldades. Usando as técnicas que estudaremos nas próximas páginas desta apostila, veremos que o conjunto K tem 336 elementos.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM

Acompanhe a seguir a resolução de alguns problemas:

Ex.1: Uma pessoa quer viajar da Cidade C1 para a Cidade C3 passando pela cidade C2. Sabendo que existem 5 estradas que ligam C1 a C2 e outras 4 estradas que ligam C2 a C3, de quantas maneiras diferentes a pessoa poderá viajar? Resolução: Para facilitar, observe o diagrama:

C1 → C2 C2 → C3 C1 → C3

1 A 1A 1

1 B 1B 2

1 C 1C 3

1 D 1D 4

2 A 2A 5

2 B 2B 6

2 C 2C 7

2 D 2D 8

3 A 3A 9

3 B 3B 10

3 C 3C 11

3 D 3D 12

4 A 4A 13

4 B 4B 14

4 C 4C 15

4 D 4D 16

5 A 5A 17

5 B 5B 18

5 C 5C 19

5 D 5D 20

Para cada uma das 5 estradas que

ligam C1 a C2, podemos escolher uma das

4 que ligam C2 a C3, assim, são 5 ∙ 4 = 20 maneiras diferentes de viaja. Ex.2: Ao lançarmos uma moeda e um dado, quantos resultados obtidos a partir da combinação Cara ou Coroa (da moeda) com o número (do dado) temos? Resolução: Observe o diagrama a seguir:


Note que o evento “lançar moeda e dado” tem duas etapas independentes com 2 possibilidades na primeira e 6 possibilidades na segunda totalizando 12

possibilidades (2 ∙ 6 = 12).

Assim, de modo geral, podemos dizer que:

Vamos agora fazer alguns exercícios envolvendo diversas situações que permitem a aplicação do conceito do Princípio Fundamental de Contagem.

1) Uma loja de roupas femininas vende cinco modelos de calças Jeans (Pantalona, Flare, Legging, Sarouel e Skinny) e cada calça pode ter uma de três cores (Preta, Marrom e Azul). a) Escreva todas as possíveis combinações possíveis de calças nesta loja. b) Quantas opções de escolha terá uma consumidora interessada em uma calça desta loja? 2) Quantos números naturais de 3 algarismos podem ser escritos com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 6?

Se um evento é composto por m etapas diferentes sucessivas e independentes de tal maneira que a etapa 1 tenha n1 possibilidades, que a etapa 2 tenha n2 possibilidades, ..., que tenha nm possibilidades, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto 𝑛1 ∙𝑛2 ∙ ⋯ ∙ 𝑛𝑚. Esse é o Princípio Fundamental de Contagem.


3) Quantos números naturais de 3 algarismos distintos podem ser escritos com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 6? 4) Em um ginásio de esportes, os lugares destinados aos espectadores são separados em quatro setores com a mesma quantidade de cadeiras em cada um deles: setor Azul, laranja, amarelo e verde. Em cada setor existem 26 filas de cadeiras identificadas pelas letras do alfabeto. Em cada fila estão 45 cadeiras numeradas de 1 a 45. O ingresso para o ginásio apresenta uma sequência com uma cor, uma letra e um número (Ex.: Azul J 25 indica a cadeira 25 da fila J do setor Azul). Qual o total de cadeiras neste ginásio?

5) Aline e Bárbara praticam natação. As duas amigas resolvem disputar uma corrida na piscina. Quantos resultados diferentes podemos obter no final da disputa? Liste todos os possíveis. 6) Aline, Bárbara e Camila praticam natação. As três amigas resolvem disputar uma corrida na piscina. Quantos resultados diferentes podemos obter no final da disputa? Liste todos os possíveis.


7) Aline, Bárbara, Camila e Daniela praticam natação. As quatro amigas resolvem disputar uma corrida na piscina. Quantos resultados diferentes podemos obter no final da disputa? 8) Uma bandeira com a forma ao lado, vai ser pintada utilizando duas das três cores: vermelho, verde e azul. Utilize os modelos abaixo e liste todas as possíveis bandeiras. Quantas são elas?

9) Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa ode entrar por uma porta e sair por outra, diferente daquela que ele entrou? 10) Uma prova possui 2 questões do tipo “VERDADEIRO ou FALSO”. Liste todas as maneiras diferentes que uma pessoa pode marcar, aleatoriamente, as questões. Quantas maneiras existem? 11) Uma prova possui 3 questões do tipo “VERDADEIRO ou FALSO”. Liste todas as maneiras diferentes que uma pessoa pode marcar, aleatoriamente, as questões. Quantas maneiras existem?


12) Uma prova possui 4 questões do tipo “VERDADEIRO ou FALSO”. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode marcar, aleatoriamente, as questões? 13) Uma prova possui 10 questões do tipo “VERDADEIRO ou FALSO”. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode marcar, aleatoriamente, as questões? 14) Uma prova possui 20 questões de cinco alternativas (A, B, C, D e E). De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode marcar, aleatoriamente, o gabarito?

15) Se seis teclas literais (são 27) de um computador forem pressionadas, sucessivamente, ao acaso, quantos anagramas diferentes podem ser formados? 16) Se seis teclas literais (são 27) de um computador forem pressionadas, sucessivamente, ao acaso, quantos anagramas formado por letras distintas podem ser formados?

______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES

Pág. 147 – Exercícios 04 a 10


FATORIAL

O fatorial de um número consiste em

um relevante mecanismo nos estudos envolvendo análise combinatória, pois a multiplicação de números naturais consecutivos é muito utilizada nos processos de contagem.

Fatorial de um número consiste em

multiplicar o número por todos os seus antecessores até o número 1.

Representamos o fatorial de um

número natural por n! e o desenvolvimento de n! é dado por:

𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ ⋯ ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Observação:

A definição acima é válida para 𝑛 ≥ 2. Para n = 1 e n = 0, definimos que:

1! = 1 e 0! = 1

2! = 2 ∙ 1 = 2 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5040

8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40320 9! = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 362880 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3628800

Observação: Observe a situação abaixo 8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1⏟

7!

8! = 8 ∙ 7!

Isso vale para qualquer fatorial,

assim, 𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)!

Alguns cálculos envolvendo fatorial exigem algumas técnicas de simplificação e fatoração. Observe os exemplos a seguir

Ex.1:Vamos calcular o valor de 12!

8!.

Resolução:

Desenvolvendo 12! no numerador da fração, podemos reescrevê-la assim:

12!

8!=12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8!

8!

simplificando numerador e denominador por

8!, temos: 12!

8!=12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8!

8!= 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 = 11880

Ex.2: Simplificar a expressão 7!+8!

9!.

Resolução:

7! + 8!

9!=7! + 8 ∙ 7!

9!=7! (1 + 8)

9!=

=7! ∙ 9

9 ∙ 8 ∙ 7!=1

8

Ex.3: Simplificar a expressão (𝑛+3)!

(𝑛+1)!.

Resolução:

(𝑛 + 3)!

(𝑛 + 1)!=(𝑛 + 3)(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)!

(𝑛 + 1)!=

= (𝑛 + 3)(𝑛 + 2) = 𝑛2 + 5𝑛 + 6

Ex.4: Calcule 𝑛 tal que 𝑛!

(𝑛−1)!= 4.

Resolução:

𝑛!

(𝑛 − 1)!= 4 →

𝑛 ∙ (𝑛 − 1)!

(𝑛 − 1)!= 4 → 𝑛 = 4


Ex.5: Calcule 𝑛 tal que 𝑛!

(𝑛−2)!= 42.

𝑛!

(𝑛 − 2)!= 42 →

𝑛 ∙ (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)!

(𝑛 − 2)!= 42

𝑛 ∙ (𝑛 − 1) = 42 → 𝑛2 − 𝑛 − 42 = 0 resolvendo a equação do 2º grau,

encontramos 𝑛1 = 7 e 𝑛2 = −6. Como fatorial só é definido para números naturais,

então 𝑛 = 7.

17) Simplificar as frações:

a) 10!

9!

b) 8!

10!

c) 10!∙4!

8!∙6!

d) 𝑛!

(𝑛−2)!

e) (𝑛−3)!

(𝑛−1)!

18) Resolver a equação:

(𝑛 + 1)!

(𝑛 − 1)!= 20




AGRUPAMENTOS

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é a principal técnica para resolução de problemas de contagem, muitas vezes porém, se utilizarmos apenas o PFC a resolução desses problemas pode se tornar trabalhosa. Em nosso cotidiano, formamos agrupamentos em várias situações. Por exemplo ao escolher colegas para um trabalho escolar em grupo, formamos agrupamentos de pessoas. Ao discutir sobre os possíveis quatro primeiros colocados do Campeonato Brasileiro de Futebol, formamos agrupamentos de clubes de futebol etc.

A análise combinatória identifica dois tipos básicos de agrupamentos: os arranjos e as combinações.

Os arranjos são agrupamentos em

que se considera a ordem dos elementos; qualquer mudança da ordem dos elementos altera o agrupamento. Por exemplo, ao formar números naturais de três algarismos distintos escolhidos dentre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos arranjando esses cinco algarismos três a três. Esses números são chamados de arranjos de algarismos porque, mudando a ordem dos algarismos em um desses números, obtemos outro número, por exemplo:

246 ≠ 462 Já as combinações são

agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos; portanto, mudanças na ordem dos elementos não alteram o agrupamento. Um pintor ao produzir uma mistura com duas cores primárias distintas escolhidas entre vermelho, azul e amarelo, estará combinando essas três cores tomadas duas

a duas. Esses agrupamentos são chamados de combinações porque a ordem com que são misturadas as duas cores primárias não altera a mistura:

VERMELHO + AZUL = AZUL + VERMELHO

Nas próximas sessões desta apostila

estudaremos estes tipos de agrupamentos e peculiaridades em cada caso.

ARRANJOS

Cinco amigos: André, Beto, Carlos, Daniel e Edio disputam uma corrida. Os dois primeiros serão premiados. De quantas formas diferentes podemos entregar estes prêmios? Resolução: Na tabela abaixo, indicamos uma representação de todas as possibilidades:

(André, Beto) (Carlos, Daniel) (André, Carlos) (Carlos, Edio) (André, Daniel) (Daniel, André) (André, Edio) (Daniel, Beto)

(Beto, André) (Daniel, Carlos) (Beto, Carlos) (Daniel, Edio) (Beto, Daniel) (Edio, André) (Beto, Edio) (Edio, Beto)

(Carlos, André) (Edio, Carlos) (Carlos, Beto) (Edio, Daniel)

Observe que cada possibilidade representada na tabela corresponde a um agrupamento ordenado que duas pessoas escolhidas entre os cinco amigos.

Note, por exemplo, que o par ordenado (André, Beto) é diferente do par ordenado (Beto, André) pois na primeira situação André é vencedor e Beto vice


enquanto na segunda situação Beto é o vencedor e André fica em segundo lugar.

Dizemos que cada resultado da corrida corresponde a um arranjo de 5 elementos (amigos) tomados dois a dois (isto é, escolhidos dois entre os cinco para formar o agrupamento ordenado).

Vamos, por meio do PFC, contar o número total de arranjos possíveis e indicaremos por A5,2 (Lemos: arranjo de 5 elementos tomados dois a dois) 1) Para ocupar a primeira posição há cinco

possibilidades; e 2) definido o primeiro lugar, sobram 4 opções para

preencherem a segunda posição.

Assim:

1ª posição 2ª posição

5 x 4 = 20

Então,

𝐴5,2 = 5 ∙ 4 = 20

______________________

Assim, definimos por arranjo de n elementos tomados p a p como qualquer agrupamento ordenado de p elementos escolhidos entre os n existentes. Fórmula do Arranjo

Dados n elementos distintos, vamos indicar por An,p o número de arranjos desses elementos tomados p a p. Vamos usar o PFC.

O primeiro elemento da sequência pode

ser escolhido de 𝑛 formas possíveis.

O segundo elemento da sequência pode

ser escolhido de 𝑛 – 1 maneiras distintas,

1Como 𝑛 − (𝑝 − 1) = 𝑛 − 𝑝 + 1 então optaremos por esta segunda notação.

pois já fizemos a escolha anterior e não há repetição de elementos.

feitas as duas primeiras escolhas, há

𝑛 – 2 maneiras diferentes de escolher o terceiro elemento da sequência, pois não pode haver repetição.

⋮

para escolher o p-ésimo elemento, a

partir de 𝑝 – 1 escolhas anteriores , sobram 𝑛 – (𝑝 – 1) opções1. Assim, pelo PFC, a quantidade de

arranjos possíveis (indicadas por An,p) é: 𝐴𝑛,𝑝 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1)

Para obter uma expressão equivalente a esta acima usando o fatorial, vamos multiplica-la e dividi-la por um mesmo número (𝑛 − 𝑝)!

𝐴𝑛,𝑝 =𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1) ∙ (𝑛 − 𝑝)!

(𝑛 − 𝑝)!=

=𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1) ∙ (𝑛 − 𝑝) ∙ (𝑛 − 𝑝 − 1) ∙ ⋯ ∙ 1

(𝑛 − 𝑝)!

Assim:

Ex.1: Aline, Bárbara, Camila, Daniela e Eduarda praticam natação. As cinco amigas resolvem disputar uma corrida na piscina. De quantas formas diferentes pode ser preenchido um pódio de 3 lugares?

𝑨𝒏,𝒑 = 𝒏!

(𝒏 − 𝒑)!


Resolução 1: Aplicando o PFC, montamos o seguinte esquema:

1ª pos. 2ª pos 3ª pos

5 x 4 x 3 = 60

Resolução 2: Aplicando o conceito de Arranjo:

𝐴𝑛,𝑝 =𝑛!

(𝑛 − 𝑝)!

𝐴5,3 =5!

(5 − 3)!=5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2!

2!= 60

Logo são 60 possibilidades diferentes de se compor o pódio. Ex.2: De quantas formas diferentes é possível organizar 6 passageiros num ônibus de 48 lugares? Resolução:

𝐴48,6 =48!

(48 − 6)!=48!

42!

Resposta: 48!

42!

(ou, efetuando a operação, 8.835.488.640 de formas diferentes.) Ex.3: Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos. Resolução 1:

𝐴10,6 =10!

(10 − 6)!=10!

4!= 151.200

Resolução 2:

10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 151200

Logo, são 151 200 possibilidades diferentes.

Ex.3: Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família. Resolução: Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequência através do arranjo de 12, tomados 6 a 6.

𝐴12,6 =12!

(12 − 6)!= 665.280

19) Para ocupar os cargos de Presidente e vice-presidente do Grêmio de um colégio, candidataram-se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser feita essa escolha?


20) A senha de acesso a uma rede de computadores é formada por uma sequência de quatro letras distintas seguida por dois algarismos distintos: (considere as 26 letras do alfabeto) a) quantas são as possíveis senhas de acesso? b) quantas senhas apresentam simultaneamente apenas consoantes e algarismos maiores que 5? 21) Calcule a) A7,3 b) A11,2 c) A5,1 d) A5,5

22) Em uma pesquisa encomendada por uma operadora turística com o objetivo de descobrir os destinos nacionais mais cobiçados pelos brasileiros, o entrevistado deve escolher, em ordem de preferência, três destinos entre os dez apresentados pelo entrevistador. Um dos destinos apresentados é a cidade de Ouro Preto. a) quantas respostas diferentes podem ser obtidas? b) Quantas respostas possíveis apresentam a cidade de Ouro Preto como a preferida? c) Quantas respostas possíveis não contém Ouro Preto entre os destinos mencionados?


23) Responda a) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados dispondo-se dos algarismos de 1 a 9? b) Quantos números de 3 algarismos podem ser Dispondo-se dos algarismos de 1 a 9? c) Quantos números de 3 algarismos podem ser formados dispondo-se dos algarismos de 1 a 9 em que há a repetição de ao menos um algarismo?

24) Para eleição do corpo dirigente de uma empresa, oito pessoas são pré-selecionadas. de quantas maneiras distintas poderão ser escolhidos presidente, vice-presidente e diretor financeiro? 25) A primeira fase de um torneio de futebol é disputada por 15 equipes no sistema de turno e returno ( a equipe A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: uma em seu campo e outra do campo adversário) quantas partidas são disputadas ao todo?


26) Resolva a equação An,2 = 110 27) Em um torneio internacional de natação participaram cinco atletas europeus, dois americanos e um brasileiro. a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?

b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeus nas três primeiras posições? c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe medalha? d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha, determine o número de resultados em que há mais atletas europeus do que americanos no pódio.


28) O logotipo de uma empresa é representado pelos três círculos a seguir

ainda não foram escolhidas as cores que serão usadas para colorir cada círculo. o departamento de marketing sugeriu o uso de azul, laranja, verde, branco, Vermelho ou gelo. sabendo que cada círculo será pintado de uma cor diferente, determine: a) o número de maneiras de colorir o logotipo. b) o número de maneiras de colorir o logotipo incluindo obrigatoriamente a cor laranja.

29) Seis amigos participam de uma brincadeira de futebol que consiste na cobrança de pênaltis. Cada um escolhe, de todas as formas possíveis, um colega para bater o pênalti e outro para tentar defendê-lo. a) Quantas cobranças de pênalti são feitas

nessa brincadeira? b) Quantas cobranças haveria se o grupo resolvesse convidar um sétimo amigo para que ele escolhesse, de todas as formas possíveis, o cobrador e o defensor dos pênaltis?


PERMUTAÇÕES

Na análise combinatória, as permutações dos elementos de uma sequência são um tipo particular de arranjo, como mostra a situação abaixo.

Ao formar os números naturais de três algarismos distintos com os algarismos 2, 5 e 8, estamos formando os arranjos simples desses três algarismos tomados três a três. Observe:

258 285 528 582 825 852

Dois quaisquer desses arranjos se diferenciam apenas pela ordem dos elementos componentes, e não pela natureza dos elementos, já que todos esses arranjos possui os mesmos elementos: 2, 5 e 8. por isso dizemos que cada um desses arranjos é uma permutação simples dos algarismos 2, 5 e 8.

Fórmula da Permutação Conforme consta na definição do quadro acima, a permutação de n elementos de um conjunto é o arranjo dos n elementos tomados n a n. Assim:

𝑃𝑛 = 𝐴𝑛,𝑛 =𝑛!

(𝑛 − 𝑛)!=𝑛!

0!=𝑛!

1= 𝑛!

Assim:

Ex.1: Oito carros participam de uma corrida. De quantas formas diferentes eles podem chegar ao final? Resolução:

𝑃8 = 8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40320 Ex.2: Dez CDs diferentes sendo

seis de música clássica e quatro de música popular devem ser colocados lado a lado no porta CDs. De quantas formas diferentes estes discos podem ser dispostos de modo que os de música clássica fiquem juntos e os de música popular também fiquem juntos? Resolução: Como os CDs de mesmo estilo devem ficar juntos, temos duas opções: Primeira Opção:

Música Clássica M. Popular

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1

Pelo princípio multiplicativo:

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6! ∙ 4! (ou 𝑃6 ∙ 𝑃4)

Segunda Opção M. Popular Música Clássica

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1

Pelo princípio multiplicativo:

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! ∙ 6! 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6! ∙ 4!

(ou 𝑃4 ∙ 𝑃6)

Para sabermos o total de possibilidades, somamos os resultados

6! ∙ 4! + 6! ∙ 4! = 17280 + 17280 = 34 560 R: Os CDs podem ser guardados de 34 560 maneiras diferentes.

Dados os elementos distintos do conjunto K = {a1, a2, a3, ..., an}, chama-se permutação simples dos n elementos de K todo arranjo simples desses n elementos tomados n a n.

𝑷𝒏 = 𝒏!


Ex.2: Considerando a palavra NUMEROS: a) Quantos anagramas podemos formar? b) Quantos anagramas começam por N? c) Quantos anagramas começam por N e terminam com S? d) Quantos anagramas começam com uma vogal? e) Quantos anagramas terminam com uma consoante? f) Quantos anagramas começam por uma vogal e terminam com uma consoante? g) Quantos anagramas apresentam as letras N, U e M juntas e nesta ordem? h) Quantos anagramas apresentam as letras N, U e M juntas em qualquer ordem? Resolução a) Os anagramas da palavra NUMEROS são a própria palavra ou qualquer outro agrupamento que se obtém trocando a ordem de suas letras como por exemplo: ERMNUSO. Assim, o número de anagramas da palavra NUMEROS é o número total de permutações simples de sete letras distintas, isto é:

𝑃7 = 7! = 5040 R: 5040 anagramas b) Para encontrar a quantidade de anagramas começados pela letra N, fixamos esta letra e fazemos as permutações de todas as demais.

N

𝑃6 = 6! = 720 R: 720 anagramas

c) Para encontrar a quantidade de anagramas começados pela letra N e terminados em S, fixamos estas letras e fazemos as permutações de todas as demais.

N S

𝑃5 = 5! = 120 R: 120 anagramas d) Neste caso, existem três possibilidades para a primeira posição: E, O ou U. Para cada vogal fixada na primeira posição, sobram seis letras para permutar. .

3 ∙ 𝑃6 = 3 ∙ 720 = 2160 R: 2160 anagramas e) Neste caso, existem quatro possibilidades para a última posição: M. N. R ou S. Para cada consoante fixada na última posição, sobram seis letras para permutar. .

𝑃6 ∙ 4 = 720 ∙ 4 = 2880 R: 2160 anagramas

3 𝑃6

4 𝑃6


f) Agora, existem três possibilidades de preenchimento da primeira posição, quatro possibilidades para a última posição e sobram cinco letras para as outras cinco posições: .

3 ∙ 𝑃5 ∙ 4 = 3 ∙ 120 ∙ 4 = 1440 R: 1440 anagramas g) Já que as letras N, U e M devem aparecer juntas e nesta ordem, vamos “transformá-las” num único bloco.

N U M E R O S

Assim, podemos responder a questão encontrando a quantidade de permutações de 5 elementos: NUM, E, R, O e S.

𝑃5 = 5! = 120 R: 120 anagramas h) Tomando como base o item anterior, devemos considerar que para cada uma das 120 permutação em que as letras N, U

e M aparecem juntas, existem 𝑃3 diferentes então fazemos:

𝑃5 ∙ 𝑃3 = 120 ∙ 6 = 720 R: 120 anagramas

30) Determine o número de anagramas formados a partir de: a) LUA b) GATO c) ESCOLA d) REPÚBLICA e) FESTA f) PERNAMBUCO

4 𝑃5

3


31) Um dado foi lançado quatro vezes sucessivamente e as Faces obtidas foram 2, 3, 5 e 6, não necessariamente nesta ordem. De quantas formas distintas pode ter ocorrido a sequência de resultados? 32) Calcule:

a) 𝑃5 b) 𝑃7

c) 𝑃3 + 𝑃2

d) 𝑃8

𝑃10

33) Considere os anagramas formados a partir da palavra CONQUISTA: a) Quantos são? b) Quantos começam por vogal? c) Quantos começam e terminam por consoante? d) Quantos tem as letras CON juntas e nessa ordem? e) Quantos apresentam a letra C antes da letra A?


34) Uma vez por ano, Dona Fátima, que mora no Recife, visita parentes em Caruaru, João Pessoa, Petrolina, Maceió e Garanhuns. a) De quantas formas distintas ela pode escolher a sequência de cidades a visitar? b) De quantos modos diferentes a ordem das cidades pode ser definida se Dona Fátima pretende encerrar as visitas em Petrolina? 35) Uma estante tem dez livros distintos sendo cinco de álgebra, três de geometria e dois de trigonometria. De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante se desejamos que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos?

36) De quantos modos distintos seis homens e seis mulheres podem ser colocados em fila indiana: a) em qualquer ordem? b) iniciando com homem e terminando com mulher? c) se os homens devem aparecer juntos e o mesmo ocorrendo com as mulheres? d) de modo que apareçam, do início para o final da fila, dois homens, duas mulheres, três homens, três mulheres, um homem e uma mulher?


37) Em quantos anagramas da palavra QUEIJO as vogais não aparecem juntas? 38) Dona Lola tem três filhos: Pedro, Paulo e Pérsio. Os três casaram-se e tem, respectivamente, 1, 3 e 2 filhos. um domingo e dona Lolla recebeu para o almoço seus três filhos acompanhados das respectivas esposas além de todos os netos. Como recordação ela fotografou todos os familiares, lado a lado, mas pediu que cada filho aparecesse Junto de sua família. De quantas formas distintas a foto poderia ter sido feita? 39) Resolva as seguintes equações

a) 𝑃𝑛 = 24

b) 𝑃𝑛

𝑃(𝑛−2)= 506

40) Permutando se as letras T, R, A, P, O e S, são formados 720 anagramas. Esses anagramas são colocados em ordem alfabética. Qual a posição correspondente a PRATOS. 41) Considerando os anagramas da palavra BRASIL, responda: a) quantos começam por B? b) quantos começam por B e terminam por L? c) quantos começam por B ou terminam por L? d) quantos começam por K?


42) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando se os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, qual a posição ocupada pelo número 68 412?



PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS

Em vários cálculos combinatórios,

temos que calcular o número de permutações de n elementos, nem todos distintos.

Consideremos n o número de

elementos entre os quais o elemento a1 aparece n1 vezes, o elemento a2 aparece n2 vezes ... o elemento ak aparece nk vezes:

𝑎1, 𝑎1, . . . , 𝑎1⏟ 𝑛1 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑎1

𝑎2, 𝑎2, . . . , 𝑎2,⏟ 𝑛2 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑎2

. . . , 𝑎𝑘, 𝑎𝑘, . . . , 𝑎𝑘⏟ 𝑛𝑘 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑎𝑘

⏞ 𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

Sendo a1, a2, ... , ak distintos entre si

e n1 + n2 + ... nk = n. O número de permutações desses n elementos será dada por:

𝑃𝑛(𝑛1,𝑛2,…,𝑛𝑘) =

𝑛!

𝑛1! ∙ 𝑛2! ∙ … ∙ 𝑛𝑘!

Para entender esse tipo de cálculo,

convém analisar os exemplos a seguir.

Ex.1: Quantos são os anagramas da palavra CASA? Resolução Já estudamos que, se a palavra em questão fosse formada por letras distintas, faríamos 4! = 24 permutações. Para encontrar a quantidade correta de anagramas distintos da palavra CASA, vamos, em princípio, considerar as letras A como distintas utilizando cores para diferenciá-las

CASA ACSA SCAA ACAS CAAS ACAS SCAA ACSA CSAA ASCA SACA AACS CSAA ASAC SAAC AASC CAAS AACS SACA ASCA CASA AASC SAAC ASAC


Agora, vamos agrupar os anagramas iguais desconsiderando a diferenciação de cores:

CASA CASA SCAA SCAA

CAAS CAAS SACA SACA

CSAA CSAA SAAC SAAC

ASAC ASAC AACS AACS

ASCA ASCA AASC AASC

ACAS ACAS ACSA ACSA

É possível observar que, para cada anagrama que apresenta o A antes do A, existe um correspondente com essas letras em posição (de cores) inversa.

Neste caso, para encontrar a quantidade de anagramas da palavra CASA, devemos calcular todos os anagramas considerando as todas as letras como distintas e, em seguida, “eliminar” as repetições. Para tal, dividimos a quantidade de permutações considerando todas as letras distintas pelas permutações das letras que se repetem, ou, em linguagem matemática:

CASA 4!

2!=4 ∙ 3 ∙ 2!

2!= 12

Assim, concluímos que a palavra CASA tem 12 anagramas. Ex.2: Quantos são os anagramas da palavra PALAVRA? Total de letras: 7 Repetições: A → 3 vezes

PALAVRA

7!

3!=7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!

3!= 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840

Assim, concluímos que a palavra PALAVRA tem 840 anagramas.

Ex.3: Quantos são os anagramas da palavra ITATIAIA? Total de letras: 8 Repetições: I → 3 vezes T → 2 vezes A → 3 vezes

ITATIAIA

8!

3! ∙ 2! ∙ 3!=8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!

3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3!= ⋯ = 560

Assim, concluímos que a palavra ITATIAIA tem 560 anagramas. Ex.4: Quantos são os anagramas da palavra PANTANAL? Total de letras: 8 Repetições: A→ 3 vezes N → 2 vezes

PANTANAL

8!

3! ∙ 2!=8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!

3! ∙ 2 ∙ 1= ⋯ = 3360

Assim, concluímos que a palavra PANTANAL tem 3360 anagramas. Ex.5: De quantas formas diferentes podemos permutar os elementos de um conjunto formado por 3 letras A e 10 letras B {A, A, A, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B}? Total de letras: 13 Repetições: A→ 3 vezes B → 10 vezes

13!

3! ∙ 10!=13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10!

3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 10!= ⋯ = 286


Ex.6: A figura abaixo representa quarteirões de uma cidade (as partes em cinza são as ruas) e dois pontos: A e B.

Andando sempre para norte ou para leste, de quantas formas diferentes é possível seguir saindo de A até chegar em B? Resolução: Para se deslocar de A para B, deve-se seguir 3 quarteirões para Norte e 5 para Leste. As figuras abaixo mostram dois possíveis caminhos:

Indicando por L os deslocamentos a Leste e por N os deslocamentos ao Norte, o nosso trabalho será permutar os elementos do conjunto {L, L, L, L, L, N, N, N}: Total de elementos: 8 Repetições: L→ 5 vezes N → 3 vezes

8!

3! ∙ 5!=8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!

3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 5!= ⋯ = 56

Logo, Existem 56 maneiras diferentes de ir de A até B nesta situação.

43) Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA? 44) Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? 45) Quantos números de 6 algarismos podemos escrever utilizando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3 e 4?


46) Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333669, quantos desses são ímpares? 47) Quantas são as soluções da equação:

x + y + z = 15, formadas, exclusivamente, por números naturais:

48) Pedro tem 9 bolinhas de gude, todas iguais, e deseja acondicioná-las em 4 gavetas numeradas de 1 a 4. Sabendo que as gavetas podem conter até nove bolinhas de gude cada uma, de quantas formas diferentes Pedro pode guardar as 9 bolinhas de gude nas quatro gavetas? 49) Vô Pedro tem 10 moedas de R$1,00 e quer distribuí-las entre seus 4 netos. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer essa divisão?


50) Um casal de 5 filhos sendo 3 meninas e 2 meninos. De quantas formas diferentes pode ter ocorrido a ordem de nascimentos das crianças? 51) Sobre a palavra PIRATARIA: a) Quantos são os seus anagramas? b) Quantos deles começam por A? c) Quantos começam por vogal?

52) Com duas letras iguais a A e n letras iguais a B, podem ser formados 21 anagramas. Qual o valor de n? 53) Sobre a malha ao lado estão marcados os pontos A e B. De quantas formas diferentes você pode fazer uma linha contínua ligando o ponto A ao ponto B seguindo exclusivamente sobre as linhas da malha para a esquerda e para baixo?

54) Em um plano cartesiano são marcados dois pontos: A(37, -11) e B(46, -16). De quantas formas diferentes você pode fazer uma linha contínua com traços horizontais para a direita e verticais para baixo, sobre a malha de unidades, de forma a ligar os dois pontos?


55) Seguindo apenas para cima e para a direita, de quantas formas diferentes é possível ir de A até C passando por B?

56) No mesmo esquema acima, de quantas formas é possível ir de A até C sem passar por B?

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 169 – Exercícios 13 a 16

COMBINAÇÕES

Em todos os casos estudados até agora, a ordem dos elementos era relevante para diferenciar dois agrupamentos, porém existem situações em que a ordem com que os elementos são tomados, não diferencia dois agrupamentos. Para exemplificar, tomemos dois casos: Numa primeira situação, se tivermos que eleger dentre os alunos da sua sala dois colegas para serem representante e vice representante da turma junto à pedagogia, a ordem de escolha seria relevante. Porém, se tivermos que escolher agora, dois colegas para irem à pedagogia com a finalidade de tratar de um assunto de interesse da turma, neste caso não faria diferença a ordem com que os colegas fossem escolhidos. Situações como esta, em que a ordem de escolha não diferencia dois agrupamentos, são chamadas de combinação.

Ex.: Todos os dias, chegar do treino, Vítor faz uma vitamina de três frutas dentre seis disponíveis (Abacate, Banana, Maçã, Mamão, Morango e Amora). Quantos tipos diferentes de vitamina ele pode fazer? Resolução: Sabemos que a ordem com que ele escolhe as frutas não vai diferenciar o resultado final da vitamina então calcularemos a quantidade de formas diferentes de selecionar as 3 frutas dentre as 6 disponíveis e, em seguida, eliminaremos as repetições. Para calcular a quantidade de formas diferentes de selecionar as 3 frutas dentre

as 6 disponíveis, faremos 𝐴6,3:

𝐴6,3 =6!

3!=6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!

3!= 120


Uma das 120 formas de escolher essas três frutas é, por exemplo, Abacate, Mamão e Morango mas já sabemos que se forem escolhidas nesta ordem ou em outra, o resultado da vitamina será o mesmo. Então vamos contar todas as permutações possíveis em grupos de três frutas e eliminar essas repetições. Já vimos que para calcular a quantidade de permutações entre as três frutas, devemos

fazer 𝑃3 e:

𝑃3 = 3! = 6

Agora, dividindo 120 (𝐴6,3) por 6 (𝑃3) encontramos a quantidade procurada:

𝐶6,3 =𝐴6,3𝑃3

=120

6= 20

Assim, Vitor pode fazer 20 tipos de vitaminas diferentes. Fórmula da Combinação Como acabamos de ver no exemplo acima, para calcular a quantidade de combinações de n elementos tomados p a p, fazemos

Cn,p =An,p

Pp=

n!

(n − p)!∙1

p!=

n!

(n − p)! p!

Essa é a “fórmula da combinação”

(Lemos: Combinação de n elementos tomados p a p é igual a n fatorial sobre n menos p fatorial vezes

p fatorial)

Observação: É comum encontrarmos a

representação (𝑛𝑝) para Cn,p.

Ex.1: Dentre os 26 alunos de uma turma, pretende-se formar uma comissão de 3 estudantes para representar a turma numa reunião junto ao setor pedagógico da escola. De quantas formas esta comissão pode ser formada? Resolução:

Cn,p =n!

(n − p)! p!

C26,3 =26!

(26 − 3)! 3!=26 ∙ 25 ∙ 24 ∙ 23!

23! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1=

=26 ∙ 25 ∙ 24

3 ∙ 2= 26 ∙ 25 ∙ 4 = 2600

R: A comissão ode ser formada de 2600 manieras diferentes. Ex.2: Em uma academia trabalham 7 professores de musculação e 10 de ginástica aeróbica. Quantas equipes de 2 professores de musculação e 2 de ginástica aeróbica podem ser formadas? Resolução: Primeira vamos escolher os professores de musculação:

C7,2 =7!

(7 − 2)! 2!=7 ∙ 6 ∙ 5!

5! ∙ 2 ∙ 1= 21

Agora vamos escolher os professores de ginástica aeróbica:

C7,2 =10!

(10 − 2)! 2!=10 ∙ 9 ∙ 8!

8! ∙ 2 ∙ 1= 45

A cada uma das 21 equipes de professores de musculação, podemos associar uma das 45 equipes de professores de Ginástica Aeróbica. Então o resultado procurado é:

21 ∙ 45 = 945 R: 945 equipes

𝑪𝒏,𝒑 = 𝒏!

(𝒏 − 𝒑)! 𝒑!


Ex.3: Sobre uma circunferência marcam-se oito pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices em três desses pontos? Resolução: Observe a figura ao lado. Nela estão destacados oitos pontos e um triângulo. Podemos notar que a ordem com que os pontos tomados, desde que tomemos os mesmos pontos, não diferencia dois triângulos. Assim, para encontrar a quantidade de triângulos possíveis de serem formados, devemos

fazer 𝐶8,3.

𝐶8,3 =8!

(8 − 3)! 3!=8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!

5! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1= 56

R: Podemos formar 56 triângulos diferentes. Ex.4: Uma locadora de automóveis têm à disposição de seus clientes uma frota de 16 carros nacionais e quatro carros importados, todos distintos. De quantas formas uma empresa poderá alugar três carros de modo que pelo menos um carro nacional seja escolhido? Resolução: A forma de a empresa alugar 3 carros

quaisquer é 𝐶20,3

𝐶20,3 =20!

17! ∙ 3!= 1140

A forma de a empresa alugar apenas carros

importados 𝐶4,3

𝐶4,3 =4!

1! ∙ 3!= 4

Assim, fazendo 1140 − 4 temos a quantidade de formas de alugar ao menos um carro nacional. R: São 1136 formas de alugar ao menos um carro nacional.

57) De quantos modos distintos Eduardo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem? 58) Um curso de idiomas oferece turmas para iniciantes em inglês, espanhol, alemão, italiano e japonês. a) De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três desses cursos? b) De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três desses cursos, incluindo Obrigatoriamente o de inglês?


59) Calcule a) 𝐶11,3 b) 𝐶9,6 c) 𝐶6,3 d) 𝐶17,7 − 𝐶17,10 e) 𝐶5,3 + 𝐶5,4 + 𝐶5,3

60) Sobre uma circunferência marcam-se dez pontos. a) Qual o número de segmentos de reta que podemos traçar com extremidades em dois desses pontos? b) Quantos triângulos podemos construir com vértices em três desses pontos? 61) Uma junta médica deverá ser formada por Quatro médicos e dois enfermeiros. de quantas maneiras ela poderá ser formada se estão disponíveis 10 médicos e 6 enfermeiros?


Para as questões 62, 63 e 64, considere um baralho comum que possui 52 cartas sendo 13 de cada naipe (ouros, paus, espadas e copas) e cada naipe contendo 13 cartas (ás, 2, 3, …, 10, Valete, Dama e Rei) 62) Sorteando se simultaneamente quatro cartas, determine: a) o número de maneiras distintas de ocorrer o resultado do sorteio. b) De quantas formas distintas é possível escolher as quatro cartas de copas. 63) Duas cartas são sorteadas de uma só vez de um baralho comum. Determine o número de maneiras possíveis de ocorrer um resultado formado por: a) um rei e uma dama.

b) Duas cartas de copas. c) Uma carta de copas e outra de ouros. 64) De quantas maneiras distintas poderão ser sorteadas simultaneamente cinco cartas de um baralho de modo que o resultado do sorteio contenha: a) três cartas de paus e duas de espadas? b) o rei de ouros? c) exatamente dois valetes?


65) Para montar uma cesta de café da manhã estão disponíveis os seguintes itens: quatro tipos de pães, três tipos de queijo, três tipos de frutas, cinco sabores de geleia e quatro sabores de tortas doces. De quantos modos distintos a cesta poderá ser montada se um cliente pedir 2 tipos de pães, 1 tipo de queijo, 2 frutas, 2 sabores de geleia é 1 torta doce? 66) Resolva as seguintes equações: a) 𝐶𝑛,2 = 136

b) 𝐶𝑛,2 + 𝐶𝑛+1,𝑛−1 = 25

67) Marcam-se cinco pontos distintos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r, marcam-se mais quatro pontos distintos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em três quaisquer desses pontos? 68) O vencedor de um concurso de redação de um colégio poderá, como prêmio, escolher cinco livros, entre 10 de Machado de Assis, 7 de Érico Veríssimo e 5 de Clarice Lispector. De quantos modos distintos o vencedor poderá fazer a escolha de modo que: a) sejam selecionados 2 de Machado de Assis, 2 de Érico Veríssimo e 1 de Clarice Lispector? b) nenhum livro escolhido seja de Machado de Assis?


c) pelo menos quatro livros de Clarice Lispector sejam escolhidos? 69) Em uma reunião havia 50 pessoas. Cada uma cumprimentou as outras com um aperto de mão. Quantas saudações foram dadas nessa reunião? 70) Um casal decidiu que a viagem de lua de mel seria feita pelo nordeste visitando exatamente 3 das nove capitais. a) De quantos modos distintos poderiam ser escolhidas as três capitais sem levar em consideração a ordem da visita?

b) Se o casal pretende se conhecer obrigatoriamente Salvador, de quantos modos distintos poderia ser feita a escolha? c) Se, por motivos logísticos, Fortaleza só pudesse ser visitada se São Luís também o fosse e vice-versa, determine de quantas maneiras a escolha poderá ser feita?


72) Um Jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Ao perguntar ao porteiro o número de ministros presentes, ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, no total de 15 apertos de mão”. Com base nessa informação, qual foi o número de ministros presentes ao encontro? 73) Segundo consta no site da CEF, “A Mega-Sena paga milhões para o acertador dos 6 números sorteados. Ainda é possível ganhar prêmios ao acertar 4 ou 5 números dentre os 60 disponíveis no volante de apostas. Para realizar o sonho de ser o próximo milionário, você deve marcar de 6 a 15 números do volante, podendo deixar que o sistema escolha os números para você (Surpresinha) e/ou concorrer com a mesma aposta por 2, 4 ou 8 concursos consecutivos (Teimosinha)” (http://www.loterias.

caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landing/megasena acesso

em: 23/05/16). O volante da Mega-sena é composto de 60 números sendo que destes, 6 são sorteados. Quantas são as combinações possíveis de números?

74) Ainda segundo site da CEF, “A aposta mínima, de 6 números, custa R$ 3,50. Quanto mais números marcar, maior o preço da aposta e maiores as chances de faturar o prêmio mais cobiçado do país” (http://www.loterias.caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landin

g/megasena acesso em: 23/05/16). Quanto uma pessoa gastaria para apostar em todas as combinações possíveis? Pesquise sobre o maior prêmio histórico pago pela Mega-sena e compare a resposta desta questão. 75) Como visto no texto, “[...] você deve marcar de 6 a 15 números do volante de apostas.” Marcando-se 6 números, você concorre com uma única combinação de 6 prognósticos (isso é óbvio, não?). Com quantas combinações de 6 prognósticos você concorrer se marcar: a) 7 números? R: _______ b) 8 números? R: _______ c) 9 números? R: _______ d) 10 números? R: _______ e) 11 números? R: _______ f) 12 números? R: _______ g) 13 números? R: _______ h) 14 números? R: _______ i) 15 números? R: _______


BINÔMIO DE NEWTON

Você se lembra, lá do Ensino fundamental, de como se desenvolve

(𝑎 + 𝑏)2? Em binômio de Newton, estudamos o desenvolvimento desta potência e de todas as outras do tipo (𝑎 + 𝑏)𝑛 para valores de

𝑛 ∈ ℕ. Veja os exemplos:

(𝑎 + 𝑏)0 = 1

(𝑎 + 𝑏)1 = 𝑎 + 𝑏

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 (𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 ⋮ É possível notar que à medida que o expoente aumenta, o desenvolvimento de (𝑎 + 𝑏)𝑛 torna-se mais complexo e as contas ficam mais trabalhosas. No entanto, por meio de técnicas de contagem e aplicações de propriedades dos binômios, é possível obter o desenvolvimento de (𝑎 + 𝑏)𝑛 de forma rápida e eficiente. Coeficientes Binomiais

Dados dois números 𝑛 e 𝑝, com 𝑛 ≥ 𝑝, definimos como coeficiente

binomial de n sobre p, e indicamos por (𝑛𝑝)

o número:

O número 𝑛 é dito numerador e o número 𝑝 é chamado de denominador de

(𝑛𝑝).

Veja os exemplos abaixo:

Ex.1: (64) = 𝐶6,4 =

6!

(6−4)!∙4!=6∙5∙4!

2∙1∙4!= 15

Ex.2: (107) = 𝐶10,7 =

10!

3!∙7!=10∙9∙8∙7!

3∙2∙1∙7!= 120

_______________________

Casos particulares

1º Caso: 𝑝 = 0

(𝑛0) = 1 ∀𝑛 ∈ ℕ

2º Caso: 𝑝 = 1

(𝑛0) = 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ

3º Caso: 𝑝 = 𝑛

(𝑛𝑛) = 1 ∀𝑛 ∈ ℕ

Os coeficientes binomiais tem aplicação no estudo do desenvolvimento de

(𝑎 + 𝑏)𝑛 como veremos mais a frente. Binomiais complementares Dizemos que dois coeficientes binomiais de mesmo numerador são complementares quando a soma de seus denominadores é igual ao numerador, isto é:

(𝑛𝑝) e (

𝑛𝑞) são complementares

se 𝑝 + 𝑞 = 𝑛

(𝒏𝒑) = 𝑪𝒏,𝒑 =

𝒏!

(𝒏 − 𝒑)! 𝒑!


(86) e (

82) são complementares

(95) 𝑒 (


(63) 𝑒 (


Propriedade dos binomiais complementares Dois binomiais complementares são iguais

Para 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 tem-se (𝑛𝑝) = (

𝑛𝑞)

É possível demonstrar a assertiva acima, observe:

Se 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 então 𝑝 = 𝑛 − 𝑞 Assim:

(𝑛𝑝) = (

𝑛𝑛 − 𝑞) =

𝑛!

[𝑛 − (𝑛 − 𝑞)]! ∙ (𝑛 − 𝑞)!=

=𝑛!

(𝑛 − 𝑛 + 𝑞)! ∙ (𝑛 − 𝑞)!=

𝑛!

𝑞! ∙ (𝑛 − 𝑞)!= (

𝑛𝑞)

Daí, podemos concluir que:

(𝑛𝑝) = (

𝑛𝑞) ⇔ (𝑝 = 𝑞 𝑜𝑢 𝑝 + 𝑞 = 𝑛)

Sendo 𝑝, 𝑛 e 𝑞 números naturais e 𝑛 ≥ 𝑝 e

𝑛 ≥ 𝑞.

Ex.1: Determine x de modo que (7𝑥) = (

74).

Resolução: Pela propriedade acima,

𝑥 = 4 ou 𝑥 + 4 = 7 → 𝑥 = 3

R: S = {3, 4 }

76) Calcule:

a) (42)

b) (96)

c) (20) + (

33)

d) (63)+(

84)

(52)

e) (𝑝0) + (

𝑝1) + (

𝑝𝑝) sendo 𝑝 ∈ ℕ e 𝑝 ≥ 1


77) Resolva as seguintes equações:

a) (13𝑥) = (

138)

b) (21𝑥 + 5

) = (21

−2𝑥 + 17)

c) (11𝑥2) = (

112𝑥 + 3

)

2 Também conhecido como Triângulo de Tartaglia

Triangulo de Pascal2 Os coeficientes binomiais podem ser dispostos em uma tabela chamada de Triângulo de Pascal. Nela, os coeficientes de mesmo numerador agrupam-se em uma mesma linha e os coeficientes de mesmo denominador, agrupam-se em uma mesma coluna.

L0 (00)

L1 (10) (

11)

L2 (20) (

21) (

22)

L3 (30) (

31) (

32) (

33)

L4 (40) (

41) (

42) (

43) (

44)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

Lk (𝑘0) (

𝑘1) (

𝑘2) (

𝑘3) (

𝑘4) ⋯ (

𝑘𝑘)

Notemos que L0 significa “linha do

numerador 0, L1 é a linha do numerador 1 e assim até linha k que é a linha de numerador k. Calculando os valores dos coeficientes (pela fórmula da página 36 desta apostila), obtemos outra representação do triângulo:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ Propriedades do Triângulo de Pascal P1: Toda linha começa e termina com 1

De fato, (𝑘0) = 1 e (

𝑘𝑘) = 1


P2: Em uma mesma linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais. Por exemplo: Linha do 5

(50) (

51) (

52) (

53) (

54) (

55)

∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 1 5 10 10 5 1

Linha do 6

(60) (

61) (

62) (

63) (

64) (

65) (

66)

∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 1 6 15 20 15 6 1

Note que os binomiais indicados (e também os extremos) são binomiais complementares e, como vimos na página 37, são iguais. P3: Cada elemento (com exceção daqueles que estão na primeira e na última coluna de cada linha) é igual à soma de dois elementos da linha anterior, mais especificamente, do termo imediatamente acima e do termo a esquerda deste. Observe na tabela:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

Note que: 1 + 1 = 2, 3 + 3 = 6 e 4 + 1 = 5.

Verifique a propriedade em outros conjuntos de coeficientes binomiais.

Esta propriedade é conhecida como Relação de Stifel e pode ser generalizada como:

Observe que o primeiro membro da igualdade apresenta um elemento genérico

(da linha 𝑛 e coluna 𝑝) do triângulo. Já no segundo membro, representa a soma de elementos da linha imediatamente acima

(linha 𝑛 − 1) e uma mesma coluna (𝑝) e a coluna da esquerda (𝑝 − 1). P4: A soma dos elementos da linha de

denominador k é igual a 2𝑘 .

Soma 1 1 1 1 2 1 2 1 4 1 3 3 1 8 1 4 6 4 1 16 1 5 10 10 5 1 32 1 6 15 20 15 6 1 64

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

Símbolo de Somatório – Um símbolo muito importante na álgebra é o símbolo do somatório indicado pela forma maiúscula da letra grega Sigma

– . Este símbolo representa a soma de um certo número de parcelas com alguma característica em comum.

Ex.1: Vamos calcular

∑(𝑘 − 1)25

𝑘=0

(Lemos: Somatório de k menos 1 elevado ao quadrado com k variando de 0 até 5)

(𝑛𝑝) = (

𝑛 − 1𝑝) + (

𝑛 − 1𝑝 − 1

), 𝑛 ≥ 𝑝


Resolução:

∑(𝑘 − 1)25

𝑘=0

A expressão nos indica que devemos somar sucessivas parcelas de termos do tipo

(𝑘 − 1)2. Em cada parcela, o termo 𝑘 vai variar de forma que na primeira parcela

teremos 𝑘 = 0, na segunda 𝑘 = 1 e assim

até chegarmos em 𝑘 = 5. Assim, podemos escrever:

∑(𝑘 − 1)25

𝑘=0

= (0 − 1)2 + (1 − 1)2 +

+(2 − 1)2 + (3 − 1)2 + (4 − 1)2 + (5 − 1)2 =

= (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 + 42 =

= 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 31 Então,

∑(𝑘 − 1)25

𝑘=0

= 31

Ex.2: Calcular

∑(5𝑘)

2

𝑘=0

Resolução:

∑(5𝑘)

4

𝑘=2

= (52) + (

53) + (

54) = 10 + 10 + 5 = 25

R: 25

78) Calcule as seguintes somas:

a) ∑(3𝑖 + 1)

4

𝑖=1

b) ∑2

𝑖 + 1

3

𝑖=0

c) ∑𝑥!

5

𝑥=0

d) ∑(4𝑘)

4

𝑘=0


79) Qual o valor do somatório abaixo?

∑(1

𝑛−

1

𝑛 + 1)

10

𝑛=1

80) Determine o valor de 𝑎 na expressão

∑(2𝑖 + 𝑎)

4

𝑖=1

= 60

Desenvolvimento do Binômio Observemos o desenvolvimento de (𝑎 + 𝑏)𝑛 para alguns valores de 𝑛 apresentados na página 36.

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 São 3 termos

Os expoentes de 𝑎 decrescem de 2 até 0

Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 2 Os coeficientes (1, 2, 1) são a linha do

triângulo de Pascal relativa ao numerador 2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 São 4 termos


Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 3 Os coeficientes (1, 3, 3, 1) são a linha

do Triângulo de Pascal relativa ao numerador 3

(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 São 5 termos


Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 4 Os coeficientes (1, 4, 6, 4, 1) são a

linha do Triângulo de Pascal relativa ao numerador 4

Generalizando, podemos afirmar sobre o

desenvolvimento de (𝑎 + 𝑏)𝑛: São n+1 termos

Os expoentes de 𝑎 decrescem de 𝑛 até 0

Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 𝑛 Os coeficientes são a linha do

Triângulo de Pascal relativa ao

numerador 𝑛.


Teorema de Newton Dando linguagem matemática à generalização anterior, podemos escrever que:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = (𝑛0)𝑎𝑛𝑏0 + (

𝑛1) 𝑎𝑛−1𝑏𝑎 + (

𝑛2)𝑎𝑛−2𝑏2 +⋯+ (

𝑛𝑛 − 1

)𝑎1𝑏𝑛−1 + (𝑛𝑛)𝑎0𝑏𝑛

Em que 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑛 é número natural. Utilizando o símbolo do somatório, podemos reduzir a expressão acima por:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 =∑(𝑛𝑘) 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘

𝑛

𝑘=0

(Lemos: a mais b elevado a n é igual ao somatório do binomial de n sobre k vezes a elevado a n menos k vezes b elevado a k com k variando de zero até n)

Ex.1: Desenvolver (𝑎2 + 3)4 usando o teorema de Newton. Resolução:

(𝑎2 + 3)4 =∑(4𝑘) (𝑎2)4−𝑘 ∙ 3𝑘

4

𝑘=0

=

= (40) (𝑎2)4−0 ∙ 30 + (

41) (𝑎2)4−1 ∙ 31 + (

42) (𝑎2)4−2 ∙ 32 + (

43) (𝑎2)4−3 ∙ 33 + (

44) (𝑎2)4−4 ∙ 34 =

= 1 ∙ (𝑎2)4 ∙ 1 + 4 ∙ (𝑎2)3 ∙ 3 + 6 ∙ (𝑎2)2 ∙ 9 + 4 ∙ (𝑎2)1 ∙ 27 + 1 ∙ (𝑎2)0 ∙ 81 =

= 𝑎8 + 12𝑎6 + 54𝑎4 + 108𝑎2 ∙ 27 + 81

Ex.2: Desenvolver (2𝑥 − 3)5 Resolução:

(2𝑥 − 3)3 =∑(5𝑘) (2𝑥)5−𝑘 ∙ (−3)5

5

𝑘=0

=

= (50) (2𝑥)5 ∙ 1 − (

51) (2𝑥)4 ∙ 31 + (

52) (2𝑥)5 ∙ 32 − (

53) (2𝑥)2 ∙ 33 + (

54) 2𝑥 ∙ 34 − (

55) ∙ 1 ∙ 35 =

= 1 ∙ (2𝑥)5 ∙ 1 − 5 ∙ (2𝑥)4 ∙ 31 + 10 ∙ (2𝑥)5 ∙ 32 − 10 ∙ (2𝑥)2 ∙ 33 + 5 ∙ 2𝑥 ∙ 34 − 1 ∙ 1 ∙ 35 =

= 32𝑥5 − 240𝑥4 + 720𝑥3 − 1080𝑥2 + 810𝑥 − 243


81) Desenvolver:

a) (1 + x2)3

b) (𝑥 − 3𝑦)5

c) (𝑥 −1

𝑥)4


Termo Geral do Binômio Muitas vezes, podemos estar

interessados em encontrar apenas um termo específico do desenvolvimento do Binômio de Newton sem precisar escrever todos os termos. Para isto, é relevante que encontremos uma expressão que possa representar qualquer o do desenvolvimento

de (𝑎 + 𝑏)𝑛 e, a partir dela, determinemos o termo procurado.

Já vimos, na página 42 desta

apostila, que

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = (𝑛0) 𝑎𝑛𝑏0 +⋯+ (

𝑛𝑛) 𝑎0𝑏𝑛

O termo 𝑇𝑘+1 = (𝑛𝑘)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 é

chamado de termo geral do binômio pois para valores de 𝑘 (𝑘 = 1, 2, 3, 4 . . . , 𝑛) obtemos todos os termos do

desenvolvimento. O índice 𝑘 + 1 determina a posição do termo quando ordenado em termos de ordem decrescente dos

expoentes de 𝑎.

Ex.1: Qual termo do desenvolvimento de

(𝑥 +1

√𝑥)16

apresenta o x com expoente 4? Resolução:

(16𝑘) ∙ 𝑥16−𝑘 ∙ (

1

√𝑥)𝑘

= (16𝑘) ∙𝑥16−𝑘

𝑥𝑘2

=

= (16𝑘) ∙ 𝑥16−

3𝑘

2 para 𝑘 = 0, 1, 2, . . . , 16.

O expoente de x no desenvolvimento

(16 −3𝑘

2) deve ser igual a 4 (pelo enunciado)

então:

16 −3𝑘

2= 4 → 𝑘 = 8

Substituindo 𝑘 = 8 no termo geral encontrado:

(16𝑘) ∙ 𝑥16−

3𝑘2 = (

168) ∙ 𝑥4 = 12870𝑥4

R: 12 870𝑥4 Ex.2: Qual o termo independente de x no

desenvolvimento de (2

𝑥2− 𝑥3)

10

?

Resolução:

(10𝑘) ∙ (

2

𝑥2)10−𝑘

∙ (−𝑥3)𝑘 =

= (10𝑘) ∙ (−1)𝑘 ∙

210−𝑘

𝑥20−2𝑘∙ 𝑥3𝑘 =

= (10𝑘) ∙ (−1)𝑘 ∙ 210−𝑘 ∙ 𝑥5𝑘−20

Para que o termo seja independente de x, então o expoente de x deve ser igual a zero, assim:

5𝑘 − 20 = 0 → 𝑘 = 4 Substituindo k no termo encontrado:

(104) ∙ (−1)4 ∙ 210−4 ∙ 𝑥5∙4−20 = ⋯ = 13440

R: 13 440


82) No desenvolvimento de

(𝑥2

3+ 𝑥)

12

determine o coeficiente de :

a) 𝑥12

b) 𝑥18

83) no desenvolvimento de (𝑥2 − 1)10, determine: a) o terceiro termo c) o termo central

84) Determine, no desenvolvimento de

(𝑥2 −1

𝑥)11

a) O termo independente de x

b) o termo que contém 𝑥13

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 175 – Exercícios 27 e 28


PROBABILIDADES

Na página 35 desta apostila

calculamos q quantidade total de combinações possíveis em um jogo de Mega-sena e também a quantidade de jogos de 6 prognósticos quando se marca 6, 7, 8, ..., 15 números num único cartão.

Agora, em probabilidades,

utilizaremos estes resultados para, por exemplo, calcularmos as chances de ganhar na Mega-sena ou de outros eventos, em outras situações, acontecerem. Experimento aleatório Quando lançamos um dado, quando escolhemos ao acaso uma carta de baralho ou quando retiramos uma bola numerada de uma urna, não podemos determinar de antemão qual objeto será sorteado. Experimentos como estes são chamados de experimento aleatório pois, repetidos em condições idênticas, podem apresentar resultados diferentes. Tal variabilidade deve-se ao acaso. Espaço amostral Consideremos um evento aleatório. O conjunto de todos os resultados possíveis deste experimento é chamado de espaço amostral e é indicado pela letra grega

ômega – .

Ex.1: Ao lançar uma moeda e observar a face voltada pra cima, podemos encontrar:

= {cara, coroa}

Assim, n() = 2 Ex.2: Ao lançar um dado e observar a face voltada pra cima, podemos encontrar:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Assim, n() = 7

Evento

Qualquer subconjunto de é um

evento de . Veja os exemplos a seguir:

Ex.: Os alunos de uma turma de formandos resolveram rifar uma cesta de café da manhã. A Rifa constava de 90 bilhetes numerados de 1 a 90.

O Resultado da rifa é um experimento aleatório cujo espaço amostral

é = {1, 2, 3, 4, ..., 89, 90}. Se um professor resolver comprar

todos os bilhetes cujos números são múltiplos de 9, o conjunto de resultados favoráveis ao professor é P = {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90}. Se a mãe de um aluno resolve comprar os bilhetes formados por dois algarismos iguais, o conjunto de resultados favoráveis a ela é M = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88}

Observe que os conjuntos P e M são

subconjuntos de . então P e M são

eventos de . A partir de agora, denominaremos o conjunto evento por E.

_________________________ Observações: 1) Se W = E então o evento é chamado de evento certo. 2) Quando E = Ø, o evento é chamado de evento impossível.

“Tirar” um número menor ou igual a 6 no lançamento de um dado é um evento certo. Tirar um número maior que 6 no lançamento de um dado, é um evento impossível. Evento Complementar Consideremos um evento E relativo

a um espaço amostral . Chamamos de evento complementar de E (indicamos por


EC) ao evento que ocorre quando E não ocorre. Observe o diagrama abaixo:

Pelo digrama, note que:

𝐸 ∩ 𝐸𝑐 = ∅ e 𝐸 ∪ 𝐸𝑐 = Ω

Numa urna são colocadas 10 bolas numeradas de 1 a 10. Seja E o evento “ser sorteada uma bola com número múltiplo de 3”, Determinar Ec. Resolução:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} E = {3, 6, 9} Então Ec ={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} e representa o evento “é sorteado um número que não é múltiplo de 3”.

Note que 𝐸 ∪ 𝐸𝑐 = Ω. Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis Espaços amostrais equiprováveis são aqueles espaços em que a chance de qualquer evento ocorrer é igual a de todos os demais. Assim, ao lançar um dado honesto, qualquer uma das faces tem exatamente a mesma chance de ficar voltada para cima. O mesmo vale no lançamento de uma moeda honesta e na maioria das questões que vamos tratar de agora em diante. A noção de probabilidade é intuitiva e definida por:

Dado um espaço amostral equiprovável Ω

finito e não vazio, e 𝐸 um evento, a probabilidade de ocorrer algum elemento de 𝐸, indicado por 𝑝(𝐸) é

ou seja:

𝑝(𝐸) =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 "𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠"

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 "𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠"

Ex.1: No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de se obter a face cara? Resolução: Indicando por C e K as faces cara e coroa respectivamente, o espaço amostral

deste experimento é Ω = {C, K} e 𝑛(Ω) = 2.

O evento que esperamos ocorrer é 𝐸 = {𝐶}, em que 𝑛(𝐸) = 1. Logo:

𝑝(𝐸) = 1

2

R: A probabilidade procurada é de 1

2 ou

50%. Ex.2: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter, na face voltada para cima, um número primo? Resolução:

𝛺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e 𝑛(𝛺) = 6 𝐸 = {2, 3, 5} e 𝑛(𝐸) = 3

𝑝(𝐸) =3

6= 1

2= 50%

R: 50% Ex.3: No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de se obter, nas Faces voltadas para cima, pelo menos uma cara?

𝑝(𝐸) =𝑛(𝐸)

𝑛(Ω)


Resolução:

𝛺 = {(𝐶, 𝐶), (𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐶), (𝐾, 𝐾)} e 𝑛(𝛺) = 4

𝐸 = {(𝐶, 𝐶), (𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐶)} e 𝑛(𝐸) = 3

𝑝(𝐸) =3

4= 75%

R: 75% Ex.4: No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 5? Resolução: Vamos construir o espaço amostral:

𝛺 =

[ (1,1) (1, 2) (1, 3)

(2, 1) (2, 2) (2, 3)

(3, 1) (3, 2) (3, 3)

(1, 4) (1, 5) (1, 6)

(2, 4) (2, 5) (2, 6)

(3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3)

(5, 1) (5, 2) (5, 3)

(6, 1) (6, 2) (6, 3)

(4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, 4) (6, 5) (6, 6)]

em que 𝑛(𝛺) = 36 E o evento que esperamos ocorrer é: 𝐸 = {(4, 1); (3, 2); (2, 3); (1, 4)} e 𝑛(𝐸) = 4

Assim: 𝑝(𝐸) =4

36= 0,111…

R: Aproximadamente 11,1%

85) Um dado perfeito é lançado. Qual a probabilidade de que o número obtido ser múltiplo de 3?

86) Todo ano, uma igreja promove um bazar beneficente para seus frequentadores. Se a escolha do mês é aleatória, qual a probabilidade de que esse bazar seja realizado em: a) fevereiro? b) agosto? c) no primeiro trimestre? d) no segundo semestre? 87) Um professor quer sortear um CD entre seus alunos. Na sua turma, há 40 alunos e o número de rapazes excede o de moças em 12. Qual a probabilidade de que o CD seja sorteado para: a) uma moça? b) um rapaz?


88) Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos: a) duas caras e uma coroa? b) pelo menos duas caras? 89) Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de:

a) o primeiro número obtido ser maior que o segundo? b) a soma dos pontos obtidos ser menor ou igual a 4? c) o produto dos números obtidos ser par? d) não obtermos, em nenhum lançamento, os números 1 e 6?


90) Para testar a eficiência de uma campanha de anúncio do lançamento do novo sabão S, uma agência de propaganda realizou uma pesquisa com 2 mil pessoas. Por falha da equipe, a agência omitiu os dados dos campos X, Y, Z e W no seu relatório sobre a pesquisa, conforme mostra a tabela a seguir:

Nº de pessoas

que:

Adquiriram S

Não adquiriram

S Total

Viram o anuncio

X Y 1500

Não viram o anuncio

200 Z 500

Total 600 W 2000

a) Indique os valores dos campos X, Y, Z e W. b) Suponha que uma dessas duas mil pessoas entrevistadas seja Escolhida ao acaso e que todas as pessoas tenham a mesma probabilidade de serem escolhidas. determine a probabilidade de que esta pessoa tenha visto o anúncio da campanha e adquirido o sabão S.

91) Um paraquedista programou seu pouso em uma fazenda retangular que possui um lago no seu interior, conforme indicado abaixo. Se as condições climáticas não favorecem o paraquedista, o local do pouso pode se tornar aleatório. Qual é, nesse caso, de o paraquedista pousar em terra?

Adote 𝜋 = 3.


92) Em certa região metropolitana , 52% da população tem mais de 25 anos. Sabe-se ainda que 30% da população com amis de 25 anos tem menos de 35 anos. Escolhendo-se ao acaso um pessoa dessa região, qual a probabilidade de essa pessoa ter 35 anos ou mais? 93) Para acessar o sistema de computadores da empresa, cada funcionário digita sua senha pessoal formada por quatro letras distintas de nosso alfabeto numa ordem preestabelecida. certa vez um funcionário esqueceu a sua senha lembrando apenas que ela começava com K e terminava com W. Qual a probabilidade de ele ter acertado a senha, ao acaso, numa única tentativa 94) Três dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de não ocorrerem três números iguais?

95) Considere a equação linear na variável x: (𝑎 − 2)𝑥 = 4

Se o coeficiente 𝑎 for escolhido ao acaso entre os elementos {0, 1, 2, …, 9}, qual a probabilidade de que essa equação venha a ter: a) um única solução? b) nenhuma solução c) uma solução inteira 96) Os 64 funcionários de uma empresa responderam um questionário sobre os dois cursos opcionais oferecidos por ela. Os resultados foram os seguintes: 43 frequentam o curso de computação 31 frequentam o curso de espanhol 19 frequentam ambos os cursos escolhendo ao acaso um funcionário da empresa, qual probabilidade de que ele:


a) não frequentou nenhum curso? b) frequente exatamente um curso? 97) De um baralho de 52 cartas, 4 são extraídas simultaneamente. qual a probabilidade da ocorrência de: a) Duas cartas de ouros e duas de paus? b) uma carta de cada naipe? 98) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas são escolhidas ao acaso. Qual a Probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres?

99) Joga-se um dado três vezes consecutivas qual a probabilidade de surgirem os resultados abaixo em qualquer ordem?

100) Oito pessoas sendo 5 homens e 3 mulheres serão organizados em uma fila. Qual a probabilidade de as pessoas do mesmo sexo ficarem juntas? 101) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, formamos números de 3 algarismos. Um desses números é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que ele: a) seja formado por dois algarismos distintos? b) seja par?


102) A figura desta questão representa uma bandeira com 4 listras. Dispondo-se de 4 cores distintas, deseja-se pintar todas as listras de modo que listras vizinhas tenham cores diferentes. a) de quantas maneiras distintas à bandeira pode ser pintada? b) escolhendo-se aleatoriamente uma das formas possíveis de pintar a bandeira, qual probabilidade de seja uma que contenha as 4 cores? 103) Unindo aleatoriamente dois vértices quaisquer de um pentágono, qual a probabilidade de que o segmento Determinado seja uma diagonal?

104) Os cavalos X, Y e Z disputam uma prova final da qual não poderá ocorrer empate. Sabe-se que a probabilidade de X vencer é igual ao dobro da probabilidade de Y vencer. Da mesma forma, a probabilidade de Y vencer é igual ao dobro da probabilidade de Z vencer. Calcule a probabilidade de: a) X vencer; b) Y vencer; c) Z vencer. 105) Numa cidade com 30.000 domicílios, 10.000 domicílios recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8.000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e a metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. determine: a) o número de domicílios que recebem os dois jornais. b) a probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal da loja de eletrodomésticos e não receber o jornal do supermercado.


106) Um dado é viciado de tal modo que, ao ser lançado, é duas vezes mais provável ocorrer face par do que ocorrer face ímpar. Todas as faces pares tem a mesma chance de ocorrer e o mesmo acontece entre as faces ímpares. Lançando-se esse dado uma vez, qual a probabilidade de ocorrer: a) face igual a 3? b) face par. 107) Uma urna contem x bolas brancas, x2 bolas vermelhas e duas bolas pretas. Uma bola é escolhida ao acaso e sabe-se que a probabilidade de ela ser branca é maior que 20%. Quantas bolas brancas essa usa pode conter?

108) Um jogo consiste em um prisma triangular reto com uma lâmpada em cada vértice e um quadro de interruptores para acender essas lâmpadas. Sabendo-se que quaisquer três lâmpadas podem ser acesas por um único interruptor e que cada interruptor acende precisamente 3 lâmpadas, calcule: a) quantos interruptores existem nesse quadro? b) a probabilidade de, ao se escolher um interruptor aleatoriamente, este acender três lâmpadas de uma mesma Face.


PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: 𝑃(𝐴 𝑈 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) – 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Ex.1: Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3? Resolução A é o evento “múltiplo de 2”. {2, 4, 6, 8, 10} B é o evento “múltiplo de 3”. {3, 6, 9}

𝐴 ∩ 𝐵 (Múltiplo de A e B) {6}

𝑃(𝐴 𝑈 𝐵) = 5

10+

3

10 –1

10=7

10

R: 70%

_________________________

PROBABILIDADE CONDICIONAL

A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um outro evento B ocorreu, é chamada probabilidade condicional do evento A dado B. Veja o exemplo a seguir:

Ex.1: Frequentemente assumimos, com alguma justificativa, que a paternidade leva a responsabilidade. Pessoas que passam anos atuando de maneira descuidadosa e irracional de alguma forma parecem se tornar em pessoas diferentes uma vez que elas se tornam pais, mudando muitos dos seus antigos padrões habituais. Suponha que uma estação de rádio tenha amostrado 100 pessoas, 20 das quais tinham crianças. Eles observaram que 30 dessas pessoas usavam cinto de segurança, e que 15 daquelas pessoas tinham crianças. Os resultados são mostrados na Tabela

Paternidade Usam cinto Não usam cinto Total

Com crianças 15 5 20

Sem crianças 15 65 80

Total 30 70 100

A partir da informação na tabela acima podemos calcular probabilidades simples (ou marginais ou incondicionais), conjuntas e condicionais. A probabilidade de uma pessoa amostrada aleatoriamente usar cinto de segurança é 30

100= 30%.

A probabilidade de uma pessoa ter criança

e usar cinto de segurança é 15

100= 15%.

A probabilidade de uma pessoa usar cinto de segurança dado que tem criança é

15

20= 75%.

A probabilidade de uma pessoa ter criança dado que usa cinto de segurança é

15

30= 50%.____________________

A probabilidade condicional também pode ser obtida por:

Note que 𝑝(𝐴|𝐵) é calculado a partir de probabilidades sobre o espaço amostral original

𝑝(𝐴|𝐵) =𝑝(𝐴∩𝐵)

𝑝(𝐵)


PROBABILIDADES DE DOIS EVENTOS SUCESSIVOS (ou

simultâneos) O cálculo da probabilidade de eventos simultâneos determina a chance de dois eventos ocorrerem simultânea ou sucessivamente.

A fórmula para o cálculo dessa probabilidade decorre da fórmula da probabilidade condicional. Assim, teremos:

𝑝(𝐴|𝐵) =𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑝(𝐵)

⇕ 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴|𝐵) ∙ 𝑝(𝐵)

Isto significa que, para se avaliar a

probabilidade de ocorrerem dois eventos simultâneos (ou sucessivos), que é 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵), basta multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles (𝑝(𝐵)) pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu (𝑝(𝐴|𝐵)).

Vamos fazer alguns exemplos para explorar o uso da fórmula e a maneira correta de interpretar os problemas relacionados à probabilidade de eventos simultâneos.

Ex.1: Numa urna há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 na primeira e um número ímpar na segunda? Resolução: o fato de a retirada das bolinhas ocorrer sem reposição, implica que a ocorrência do primeiro evento interfere na probabilidade do segundo ocorrer. Portanto, esses eventos não são independentes. Vamos determinar cada um dos eventos. A: sair um múltiplo de 10 EA= {10, 20, 30} B: sair um número ímpar EB={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}

A probabilidade de ocorrer os dois eventos sucessivamente será dada por:

𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) ∙ 𝑝(𝐵|𝐴) Faremos os cálculos separadamente:

𝑝(𝐴) = 3

30=1

10

Para o cálculo de 𝑝(𝐵|𝐴) é preciso notar que não teremos mais 30 bolinhas na urna, pois uma foi retirada e não houve reposição, restando 29 bolinhas na urna. Assim,

𝑝(𝐵|𝐴) =15

29

Logo,

𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =1

10∙15

29=3

58

Resp.: 3

58 ou 5,2%

Ex.2: Numa caixa estão 20 livros sendo 12 de Matemática e 8 de Administração. Dois deles são retirados sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de serem escolhidos dois livros de Matemática? Resolução: Mais uma vez, os eventos não são independentes. Vamos determinar cada um dos eventos.

A: Sair livro de Matemática: 𝑛(𝐸) = 12 e

𝑛(Ω) = 20.

B: Sair outro livro de Matemática: 𝑛(𝐸) = 11

e 𝑛(Ω) = 19.

𝑝(𝐴) = 12

20=3

5

𝑝(𝐵|𝐴) =11

19

Logo,

𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) =3

5∙11

19=33

95

Resp.: 33

95 ou 34,7%


Ex.3: Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de ocorrer um número maior que 3 e o número 2? Resolução: note que, neste caso, a ocorrência de um evento não influencia a probabilidade de outro ocorrer, portanto são dois eventos independentes. Vamos distinguir os dois eventos: A: sair um número maior que 3 {4, 5, 6}. B: sair o número 2 Vamos calcular a probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos. Observe que no lançamento de um dado, temos 6 valores possíveis. Assim:

𝑝(𝐴) =3

6=1

2

𝑝(𝐵) =1

6

Dessa forma, teremos:

𝑝 =1

2∙1

6=1

12

Resp.: 1

12 ou 8,33%

109) Considerando a situação apresentada no Exemplo 2 (pág. 56 desta apostila), qual a probabilidade de serem retirados, aleatoriamente, dois livros de assuntos diferentes?

110) Um dado honesto é lançado. Qual a probabilidade de observarmos: a) um múltiplo de 2 ou um múltiplo de 3? b) um par o um divisor de 5? 111) No cadastro de um cursinho pré-enem estão registrados 600 alunos sendo 380 meninos, 105 moças que já concluíram o Ensino Médio e 200 meninos que ainda estão cursando o Ensino Médio. Um nome do cadastro é selecionado ao acaso. Qual a probabilidade de o nome escolhido ser de: a) uma menina? b) um menino que já concluiu o E.M.? c) um menino ou alguém que ainda está cursando o E.M.?


112) Numa urna há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma delas é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de o número indicado seja: a) par ou múltiplo de 3? b) múltiplo de 5 ou de 7? c) par ou múltiplo de 6? 113) A probabilidade de chover 5 ou mais vezes por mês em uma praia da Pernambuco é de 33%. A probabilidade de chover 5 ou menos vezes no mês é de 81%. Qual a probabilidade de chover exatamente 5 vezes?

114) Um dado é lançado e se observa que o número obtido é par. Qual a probabilidade de ele ser maior que 3? 115) Escolhendo-se ao acaso um número

do conjunto {𝑥 ∈ ℕ|1 ≤ 𝑥 ≤ 100}. a) Sabendo que o número escolhido é um quadrado perfeito, qual a probabilidade de ele ser par? b) Sabendo que o número escolhido é múltiplo de 6, qual a probabilidade de ele ser múltiplo de 10? E de 3?


116) Dois dados são lançados simultaneamente. a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos obtidos seja 10 sabendo-se que os números obtidos são distintos? b) Qual a probabilidade de se obter números distintos sabendo-se que a soma dos pontos é 10? 117) Num prédio residencial há dois blocos: Bloco A e Bloco B. No Bloco A, há 80 apartamentos dos quais 15% estão em atraso com o pagamento do condomínio. NO blobo B há 50 apartamentos, dos quais, 10% estão com as contas em atraso. As fichas relativas a todos os apartamentos estão reunidas e uma é escolhida ao acaso.

a) Qual a probabilidade de a ficha escolhida ser do Bloco A e estar quite com o condomínio? b) Sabendo-se que a fica escolhida é do bloco B, qual a probabilidade de ser de um morador com condomínio atrasado? 118) Num certo pais, 10% das declarações de Imposto de renda são suspeitas e direcionadas para uma análise detalhada; dentre estas, verificou-se que 20% são de declarações fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas. a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta? b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita?


119) Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de: a) Ocorrer cara e o número 1? b) Ocorrer coroa e um número primo? 120) Uma urna contem 10 etiquetas identificadas pelas letras A, B, C, D, E, F, G, H, I e J. Duas delas são retiradas ao acaso, sucessivamente. Qual a probabilidade de saírem duas vogais, se a extração é feita: a) com reposição? b) sem reposição?

121) Uma urna (I) contém 3 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 pretas. Outra urna (II) contém 2 bolas vermelhas, 5 brancas e 2 pretas. Uma das urnas é escolhida ao acaso e dela é extraída uma bola: a) qual a probabilidade de ocorrer urna (I) e bola branca? b) qual a probabilidade de ocorrer bola vermelha? 122) Na prateleira de um supermercado há 20 latas de achocolatado das quais 4 estão além do prazo de validade. Uma mulher passa e apanha uma delas ao acaso; logo em seguida o rapaz apanha outra lata ao acaso. Qual a probabilidade de: a) ambos terem comprado achocolatado com prazo dentro da validade? b) a mulher tenha comprado o produto com prazo dentro da validade mas o rapaz não?


123) No canil há 10 cachorros sendo 7 da raça X e 3 da raça Y, cada um dentro de uma ”jaula” fechada nas laterais. A probabilidade de um cachorro da raça X latir para um desconhecido é de 80% e, para a raça Y, essa probabilidade é de 60%. Um visitante chega ao canil, para ao acaso diante de uma jaula e ver então o cachorro que está nela. Qual a probabilidade de esse cão não latir para o visitante? 124) Em uma escola existem duas turmas do terceiro ano: A e B. A tabela mostra a distribuição por sexo dos alunos da turma.

Turma Homens Mulheres

A 20 35 B 25 20

com base nesses dados, classifique cada uma das afirmações seguintes como verdadeira ou falsa.

a) escolhendo-se, ao acaso, um aluno do terceiro ano, a probabilidade de ser homem é de 45%. b) escolhendo-se, ao acaso, um aluno do terceiro ano, a probabilidade de ser mulher é igual a 20%. c) escolhendo-se, ao acaso, simultaneamente, dois alunos, sendo um de cada turma, a probabilidade de ambos

serem do mesmo sexo é de 16

33.

d) escolhendo-se, ao acaso, um aluno do terceiro ano, a probabilidade de ser mulher ou ser da turma B é igual a 80%. e) reunindo-se as mulheres das duas turmas escolhendo uma ao acaso a probabilidade de ser da turma A é de 35%.


125) Na loteria esportiva (Loteca) há 13 jogos. Em cada jogo aposta-se em um dos times (Coluna 1 ou Coluna 2) ou em empate (Coluna do meio). A aposta mínima é de um duplo, isto é, num único jogo assinalam-se duas opções ao preço de R$0,50. Há também o palpite triplo: as três colunas são assinaladas para um determinado jogo. Apostar em um triplo custa R$0,75. a) qual a probabilidade de se acertar os 13 jogos com aposta mínima? b) qual a probabilidade de se acertarem os 13 jogos apostando um triplo? c) na aposta máxima, são assinalados 5 duplos e triplos ao preço de R$216,00. qual a probabilidade de se acertarem os 13 jogos com a aposta máxima? a proporcionalidade entre os valores apostados e as chances de acerto considerando-se as apostas mínima e máxima?

126) Fernando e Cláudio foram pescar num lago onde só existem trutas e carpas. Fernando pescou. no total, o triplo da quantidade pescada por Cláudio. Fernando pescou duas vezes mais trutas do que carpas, enquanto Cláudio pescou quantidades iguais de cartas de trutas. Os peixes foram todos jogados num balaio e uma truta foi escolhida ao acaso nesse balaio. Qual a probabilidade de esta fruta ter sido escada por Fernando? 127) Um dado, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, é dito perfeito se cada

uma das seis faces tem probabilidade 1

6 de

ocorrer em um lançamento. Considere o experimento que consiste em três lançamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses três números seja: a) par b) múltiplo de 10


128) Uma moeda honesta é lançada sete vezes. Qual a probabilidade de ocorrerem duas caras e cinco coroas? 129) A incidência de uma doença numa população é de 30%. Se oito pessoas submetem-se a um teste para detecção da doença, qual é a probabilidade de cinco delas apresentarem teste positivo? 130) Um aluno, afobado com o tempo que lhe resta de prova, decide chutar as últimas 10 questões do ENEM. Cada questão apresenta 5 alternativas. Qual é a probabilidade de um aluno acertar 4 destas 10?

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 184 – Exercícios 01 a 07 Pág. 187 – Exercícios 08 a 15

Pág. 192 e 193 – Exercícios 22 a 27 Pág. 196 – Exercícios 28 a 37


RESPOSTAS

1) a) Pantalona Preta, Flare Preta, Legging Preta, Sarouel Preta e Skinny Preta; Pantalona Marrom, Flare Marrom, Legging Marrom, Sarouel Marrom e Skinny Marrom; e Pantalona Azul, Flare Azul, Legging Azul, Sarouel Azul e Skinny Azul.

b) 15 opções

2) 125 números

3) 60 números

4) 4680

5) 2 resultados. Aline-Bárbara ou Bárbara-Aline

6) 6 resultados. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA

7) 24 resultados.

8) 6 modelos.

9) 56 maneiras.

10) VV, VF, FV e FF. 4 maneiras.

11) VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF. FFV, FFF. 8 maneiras.

12) 16 maneiras. 13) 1024 maneiras.

14) 520 maneiras. 15) 276 anagramas

16) 27 ∙ 26 ∙ 25 ∙ 24 ∙ 23 ∙ 22 anagramas. (ou 213 127 200 anagramas)

17) a) 10 b) 1 90⁄

c) 3 d) 𝑛2 − 𝑛

e) 1

𝑛2−3𝑛+2

18) S={4} 19) 90

20) a) 32 292 000 b) 1 723 680

21) a) 210 b) 110

c) 5 d) 120

22) a) 720 b) 72 c) 504

23) a) 729 b) 504 c) 225

24) 336 25) 420

26) S={ 11 }

27) a) 336 b) 60

c) 126 d) 180

28) a) 120 b) 60

29) a) 120 b) 30

30) a) 6 b) 24

c) 720 d) 362 880

e) 120 f) 3 628 800

31) 24

32) a) 120 b) 5040

c) 8 d) 1 90⁄

33) a) 362 880 b) 161 280

c) 100 800 d) 5040

e) Metade do total

34) a) 120 b) 24

35) 8640

36) a) 12! b) 2 ∙ (6!)2

c) 36 ∙ 10! d) (6!)2

37) 576 38) 103 680

39) a) S = { 4 } b)

40) 293ª

41) a) 120 b) 24

c) 2156 d) 0

42) 95º 43) 151 200

44) 125 970 45) 60

46) 40 47) 136

48) 220 49) 286

50) 10

51) a) 15 120 b) 5040 c) 8400

52) 5 53) 84

54) 2002 55) 420

56) 867 57) 126

58) a) 10 b) 6

59) a) 165 b) 84 c) 20

d) 0 e) 16

60) a) 45 b) 120

61) 3150

62) a) 270 725 b) 715

63) a) 16 b) 78 c) 169


64) a) 22 308 b) 249 900 c) 103 776

65) 2160

66) a) S = { 17 } b) S = { 5 }

67) 70

68) a) 4725 b) 792 c) 86

69) 1225

70) a) 84 b) 28 c) 42

71) 28 72) 6

73) 50 063 860 74) R$ 175.223.510,00

75) a) 7 b) 28 c) 84

d) 210 e) 462 f) 924

g) 1716 h) 3003 i) 5005

76) a) 6 b) 84 c) 2

c) 9 d) p+2

77) a) S = {8, 5 } b) S = {1, 4}

78) a) 34 b) 25

6

c) 154 d) 24 = 16

79) 10

11

80) a = 10

81) a) 1 + 3𝑥2 + 3𝑥4 + 𝑥6

b) 𝑥5 − 15𝑥4𝑦 + 90𝑥3𝑦2 − 270𝑥2𝑦3 +

+405𝑥𝑦4 − 243𝑦5

c) 𝑥4 − 4𝑥2 −4

𝑥2+

1

𝑥4

82) a) 1 b) 308/243

83) a) 45𝑥16 b) −252𝑥10

84) a) não existe b) −165𝑥13

85) 1

3

86) a) 1

12 b)

1

12 c)

1

4 d)

1

2

87) a) 35% b) 65%

88) a) 3

8 b)

1

2

89) a) 5

12 b)

1

6 c)

3

4 d)

4

9

90) a) X = 400, Y = 1100, Z = 300 e W = 1400

b) 20%

91) 88,75% 92) 36,4%

93) 1

552 94) 35

36

95) a) 90%

96) a)

9

64

97) a) 2,25% b) 10% c) 50%

98) a) 60% b) 9

16

99) a) 1

36 b) 10,5%

100) 1

28

101) a) 5

9

102) a) 108

103) a) 50% b) 1

2

104) a) 4

7 b)

2

9

105) a) 3000

106) a) 1

9 b)

2

7 c)

1

7

107) 1, 2 ou 3 b) 7

30

108) a) 20 b) 2

3

109) Resolução: Nesta situação, são dois casos que nos interessam: No primeiro caso, retirarmos, nesta ordem, um livro de Matemática e outro de administração ou, num segundo caso, retirarmos, primeiro, um livro de Administração e depois um de Matemática.

𝑝 = 𝑝(𝑀 ∩ 𝐴) 𝑜𝑢 𝑝(𝐴 ∩ 𝑀) Em que M é o evento “Retirar um livro de Matemática” e A, “Retirar um livro de Administração”. 𝑝(𝑀 ∩ 𝐴)

M: 𝑛(𝑀) = 12 n e (Ω) = 20.

A: 𝑛(𝐴) = 8 e 𝑛(Ω) = 19.

𝑝(𝑀 ∩ 𝐴) =12

20∙8

19= ⋯ =

24

95

𝑝(𝐴 ∩ 𝑀) A: 𝑛(𝐴) = 8 e 𝑛(Ω) = 20.

M: 𝑛(𝑀) = 12 n e (Ω) = 19.

𝑝(𝑀 ∩ 𝐴) =8

20∙12

19= ⋯ =

24

95

Assim: 𝑝 = 𝑝(𝑀 ∩ 𝐴) 𝑜𝑢 𝑝(𝐴 ∩ 𝑀)

𝑝 =24

95+24

95=48

95

Resp.: 48

95 = 50,5%


110) a) 2

5 b)

5

6

111) a) 11

30 b)

3

10 c)

33

40

112) a) 2

3 b)

1

3

113) 14% 114) 2

3

115) a) 50% b) 3

16, 100%

116) a) 1

15 b)

2

3

117) a) 34

65 b)

5

17

118) a) 2% b) 52,6%

119) a) 1

12 b)

1

4

120) a) 9% b) 1

15

121) a) 1

5 b)

47

180

122) a) 12

19 b)

16

95

123) 26%

124) a) Verdadeira b) Falsa, é 44,4%. c) Verdadeira d) Verdadeira e) Falsa, é

7

11.

125) a) 0,000125% b) 0,000188% c) 0,054%; sim pois tanto a chance de

ganhar quanto o custo da aposta foram multiplicados por 432.

126) 80%

127) a) 7

8 b)

5

36

128) 16,4%

129) 4,67%

130) 8,8%

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto; Matemática. São

Paulo, Ática, 2004

MACHADO, Antônio dos Santos;

Matemática, Temas e Metas. São Paulo,

Atual, 1988

IEZZI, Gelson e outros; Matemática,

Volume único. São Paulo, Atual, 2002

PAIVA, Manoel; Matemática – Ensino

Médio, Volume 2. 2.ed. São Paulo.

Moderna, 2013.

RIGONATTO, Marcelo. "Probabilidade de

eventos simultâneos"; Brasil Escola.

Disponível em <http://brasilescola.

uol.com.br/matematica/probabilidade-

eventos-simultaneos.htm>. Acesso em 30

de maio de 2016.

Links dos vídeos sugeridos:

Pág. 04:

www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/princmul

tadit/

Pág. 09:

www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/fatorial/

Pág. 44

www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/termo-

geral-do-binomial/

introduÇÃo 2vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads/sites/12/2016/06... · matemÁtica...

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