matemÁtica e suas tecnologias ensino médio, 2º ano binômio de newton
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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º Ano
Binômio de Newton
Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton
Binômio de Newton
O Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático inglês Isaac
Newton (1642-1727), esse estudo veio complementar o estudo dos
produtos notáveis (quadrado da soma ou quadrado da diferença).
Isaac Newton nasceu em 25 de dezembro de 1642. Em 1661 matriculou-
se no Trinity College, em Cambridge. Em 1672 foi eleito membro da Royal
Society e em 1703 tornou-se presidente da mesma. Em 20 de março de
1727 Newton faleceu.
Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton
O quadrado da soma diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao
quadrado do primeiro monômio (termo) mais duas vezes o primeiro vezes o
segundo monômio (termo), mais o quadrado do segundo monômio (termo).
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton
A fórmula do binômio de Newton destina-se ao desenvolvimento das
potências sucessivas de um binômio.
Vejamos as seguintes potências:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
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É interessante considerar a relação existente entre os coeficientes dos
desenvolvimentos de cada potência anterior com os valores do triângulo
de Pascal.
Triângulo de Pascal:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
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Fórmula do Binômio de Newton
(a + b)n = Cn,0 a∙ n b∙ 0 + Cn,1 a∙ n-1 b∙ 1 + Cn,2 a∙ n-2 b∙ 2 + ... + Cn,n n∙ a-n b∙ n
ou
(a + b)n = n,p a∙ n-p b∙ p
Observação: Cn,p =
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Termo Geral
Chama-se termo geral do desenvolvimento do binômio o termo que vem
precedido de p termos. É, pois, o termo de ordem p + 1. Ele será
designado por Tp+1.
Temos:
Tp+1 = Cn,p a∙ n-p b∙ p
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Desenvolvimento de (a – b)n
Vejamos as potências:
(a – b)0 = 1 com a b
(a – b)1 = a – b
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
(a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5
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Assim, obtemos a fórmula
Tp+1 = (1)p C∙ n,p a∙ n-p b∙ p
para o termo geral de (a – b)n.
Observe que, desta forma, os termos do desenvolvimento terão os sinais
alternados entre positivo e negativo, pois (− 1) quando elevado a um
expoente par resulta em 1 e quando elevado a um expoente ímpar resulta
em − 1.
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Soma dos coeficientes numéricos da expansão binomial
Fazendo a = b = 1, em (a + b)n, teremos:
(1 + 1)n = 2n
Fazendo a = b = 1, em (a – b)n, teremos:
(1 – 1)n = 0n = 0 (supondo n 1)
Isto também é válido para outras potências de polinômios.
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Exemplos:
Para a obtenção da soma dos coeficientes dos termos do
desenvolvimento de (4x2 + 5yz – 3xz2)5, fazemos x = 1, y = 1 e z = 1, assim:
(4 1∙ 2 + 5 1 1 – 3 1 1∙ ∙ ∙ ∙ 2)5 = (4 + 5 – 3)5 = 65.
Para a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3a2 +
2b5 – c3)6, fazemos a = 1, b = 1 e c = 1 e teremos:
(3 1∙ 2 + 2 1∙ 5 – 13)6 = (3 + 2 – 1)6 = 46
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Fórmula de Leibniz
A fórmula do binômio de Newton, pode ser generalizada, para a potenciação dos
polinômios.
Seja um polinômio de p termos, que devemos elevar à potência n
(a + b + c + ... + m)n
O problema se reduz, aos dois seguintes:
1) Determinar o coeficiente de cada termo;
2) Formar todos os termos possíveis da forma aα b∙ β c∙ γ ... mλ (α + β
+ γ + ... + λ = n).
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Fórmula de Leibniz
O coeficiente procurado será, pois
O cálculo dos termos se executa facilmente, decompondo de todas as
formas possíveis o número n em p parcelas, partindo da parcela de valor
maior.
Podemos escrever a fórmula de Leibniz:
(a + b + c + ... + m)n = Ʃ aα b∙ β c∙ γ ... mλ
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Leibniz
Gottfried Wilhelm von Leibniz nasceu em 1º de julho de 1646. Em 1666
Leibniz recebeu o título de Doutor em Direito. Em 1670, aos 24 anos, foi
nomeado conselheiro da Alta Corte de Justiça de Mogúncia. Em 1676
descobriu o cálculo diferencial, praticamente ao mesmo tempo e
independentemente das descobertas de Isaac Newton sobre o mesmo
tema. A 14 de novembro de 1716, acometido de uma crise de gota, morre
Leibniz.
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Exemplo: Dado o polinômio (4x5 + 3y2 + 2z3)7 calcule, no desenvolvimento da
potência, o valor do coeficiente do termo de parte literal x10y6z6.
Temos, então:
5α = 10 α= 2
2β = 6 β= 3
3γ = 6 γ= 2
Portanto, o coeficiente será dado por:
7! . 42 3∙ 3 2∙ 2
2! 3! 2!
ou seja: 362 880.
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Atividades Resolvidas
1) No desenvolvimento de (3x4 + 2x-3)14, obtenha o termo:
a) em x21.
b) independente de x.
c) médio.
a) Tp+1 = C14,p (3x∙ 4)14-p (2x∙ -3)p = C14,p 3∙ 14-p 2∙ p x∙ 56-7p
O expoente de x deve ser 21, portanto:
56 – 7p = 21 p = 5
Logo:
T5+1 = C14,5 3∙ 14-5 2∙ 5 x∙ 56-7 5∙
T6 = C14,5 3∙ 9 2∙ 5 x∙ 21
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b) Nesse caso, o expoente de x deve ser zero:
56 – 7p = 0 p = 8
Logo:
T8+1 = C14,8 3∙ 14-8 2∙ 8
T9 = C14,8 3∙ 6 2∙ 8
c) A expansão de (3x4 + 2x-3)14 tem 15 termos.
Logo o termo solicitado é:
T8 = T7+1 = C14,7 3∙ 14-7 2∙ 7 x∙ 56-7 7∙
T8 = C14,7 3∙ 7 2∙ 7 x∙ 7
Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton
2) No desenvolvimento de (x + 2y)n, segundo potências decrescentes de x,
os coeficientes binomiais do 14º e do 28º termos são iguais. Calcule a soma
dos coeficientes numéricos dessa expansão.
T14 = Cn,13 x∙ n-13 (2y)∙ 13 e T28 = Cn,27 x∙ n-27 (2y)∙ 27.
Daí vem:
n = 13 + 27 (propriedade das combinações)
n = 40
Portanto, a soma dos coeficientes numéricos da expansão de (x + 2y)40 é
obtida fazendo x = 1 e y = 1:
(1 + 2 1)∙ 40
340
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3) Determine a condição sobre n pertencente ao conjunto dos números
naturais, para que a expansão de (x – x-2)n tenha termo independente
de x.
Sendo o termo geral:
Tp+1 = (1)p Cn,p xn-p (x-2)p∙ ∙ ∙Tp+1 = (1)p Cn,p xn-3p.∙ ∙O expoente de x deve ser zero, portanto:
n 3p = 0 n = 3p, p pertencente ao conjunto dos números naturais e
p n.
Logo:
n deve ser múltiplo natural de 3.
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4) Calcule o valor de:
a) y = C18,0 7∙ 18 + C18,1 7∙ 17 3 + C∙ 18,2 7∙ 16 3∙ 2 + ... + C18,18 3∙ 18
b) E = C20,0 5∙ 20 – C20,1 5∙ 19 3 + C∙ 20,2 5∙ 18 3∙ 2 ... + C20,20 3∙ 20
a) Basta notar que a expressão dada é o desenvolvimento de (7 +
3)18.
Então:
y = (7 + 3)18 = 1018.
b) Basta notar que a expressão dada é a expansão de (5 – 3)20.
Então:
E = (5 – 3)20 = 220.
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5) Achar o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 + 2x + x2)4.
Temos, imediatamente:
α + β + γ = 4
β + 2γ = 5
donde
α = γ 1, β = 5 2γ
Ora, α e β devem ser inteiros positivos, logo a segunda relação
mostra que γ 2, enquanto que a primeira indica ser γ 1.
Concluímos que γ só pode receber os valores 1 e 2.
Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton
Obtemos assim o quadro:
α β γ0 3 11 1 2
E o coeficiente procurado será, finalmente:
4! 10 2∙ 3 1∙ 1 + 4! 11 2∙ 1 1∙ 2
0! 3! 1! 1! 1! 2!
4 1 8 1 + 12 1 2 1 = 32 + 24 = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 56
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Atividades Propostas
1) Ao desenvolver totalmente (2x + 4)12, qual o coeficiente do termo de
grau 5?
2) Determine a soma dos coeficientes dos termos obtidos no
desenvolvimento dos binômios:
a) (x + y)6
b) (x + y)11
c) (x + y)13
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3) Calcule o 10º termo do desenvolvimento dos binômios a seguir
(segundo expoentes decrescentes de x)
a) (x + 4y)11
b) (2x – y)n
c) (x + y-1)n
d) (x2 – y2)13
4) No desenvolvimento de (a3 – 2)8 encontre o termo que contém a15.
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5) Encontre o 4º termo no desenvolvimento do binômio (2 – x)7.
6) Marque verdadeiro ou falso e justifique sua resposta. No
desenvolvimento de (x + 3y)9:
a) existem 9 termos.
b) o coeficiente de x5 é ímpar.
c) o coeficiente de y7 é par.
d) a soma dos coeficientes é menor que 1 000.
Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton
LINKS
http://www.infoescola.com/matematica/binomio-de-newton/
http://www.ime.unicamp.br/~
ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/G_M1_FM_2014.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=HfcPAXVJKg8