matemática, 2º ano, matrizes: operações binômio de newton isaac newton nasceu na pequena cidade...

Matemática, 2º ano, Matrizes: Operações

Binômio de NewtonIsaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e astronomia.

Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton.

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASEnsino Médio, 2º ano

Matrizes: Operações


OPERAÇÕES COM MATRIZES

Em certos casos surge a necessidade de efetuar operações com matrizes. São elas:

Adição; Subtração; Multiplicação de uma constante real por uma matriz; Multiplicação entre matrizes; Inversa.

http:

//2.

bp.b

logs

pot.c

om/-

Yr2w

Uq1

eG0E

/T9l

FT4W

DsPI

/AA

AAAA

AAke

Y/Q

pOcW

TVbc

O8/

s160

0/pr

ofes

sora

+3d.

gif


ADIÇÃO DE MATRIZES

Para adicionarmos duas ou mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij + bij (os termos correspondentes deverão ser somados). A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas.

- 4 1

3 2

2 0

3 4B =A =

A + B =- 4 1

3 2

2 0

3 4 66

1-2+ =

Dada as matrizes:


SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, elas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ser de mesma ordem que as matrizes subtraídas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij – bij (cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz).

1 - 2

2 1

- 5 0

- 1 4- =

- 5 0

- 1 4

1 - 2

2 1B =A =

B - A =

Dada as matrizes:

-33

-26


MULTIPLICAÇÃO UMA MATRIZ POR UMA CONSTANTE K

Para multiplicar um número real k, qualquer, por uma matriz Amxn, basta

multiplicar todos os elementos da matriz por k. Assim, a matriz resultante será de mesma ordem da matriz A.

Dada a matriz:

3.A =3.23.3

3.13.(–2)=

–6 3

9 6

–2 1

3 2A =


Exemplo 1:

Resolver a equação 3X – A = 2B, onde:

–5 0

–1 4

1 –3

2 1B =A =

A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B:x y

z tX =

Uma equação é chamada de Matricial quando envolve matrizes em suas operações.

EQUAÇÕES MATRICIAIS


⇒3x 3y

3z 3t

5 0

1 –4

2 –6

4 2+ = ⇒

3t – 43z + 1

3y3x + 5 2 –6

4 2=

3x + 5 = 2

3y = –6

3z + 1 = 4

3t – 4 = 2

⇒

x = –1

y = –2

z = 1

t = 2

⇒

–1 –2

1 2X =

3.X – A = 2B ⇒x y

z t

–5 0

–1 4

1 –3

2 13. – = 2.

3x = 2 - 5

y = – 6/3

3z = 4 - 1

3t = 2 +4

3x = - 3

y = – 2

3z = 3

3t = 6

x = -3/3

y = – 2

z = 3/3

t = 6/3

⇒ ⇒


–2 13 2

2 03 4

N =M =

3.M =3.23.3

3.13.–2=

–6 39 6 –2.M =

–2.4–2.3

–2.0–2.2=

–4 0–6 –8

Exemplo 2:

Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2.

3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2 =

–6 39 6

–4 0–6 –8

1 00 1 –13

3–9= + + =


MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Sob certas condições, definem-se a multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes A e B:

Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, o número de colunas de A (1ª matriz) é igual ao número de linhas de B (2ª matriz);

Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhas de A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª matriz).

A é matriz m x n

B é matriz n x p

iguais ⇒ existe AB

AB é do tipo ⇒ m x p


Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.

–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

A é uma matriz 2 x 3

B é uma matriz 3 x 2

iguais ⇒ existe AB

AB é do tipo 2 x 2

x11 x12

x21 x22AB =

Exemplo 1:


–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

Cálculo de x11:

x11 = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) = 3 + 3 + 0 = 6

Cálculo de x12:

x12 = –3.2 + 1.5 + 0.6 = –6 + 5 + 0 = –1

Cálculo de x21:

x21 = 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) = –2 + 12 + 4 = 14

Cálculo de x22:

x22 = 2.2 + 4.5 + –2 .6 = 4 + 20 – 12 = 12

AB =6 –1

14 12

Conclusão:


OBSERVAÇÃO

Observe que no caso das matrizes A2x3 e B3x2 do exemplo anterior, existe o

produto BA que é do tipo 3 x 3.

Ainda que, em certos casos, tanto AB como BA sejam definidos, em geral AB ≠ BA.

Se existirem tanto AB quanto BA e, além disso, AB = BA, dizemos que A e B comutam.

Se A é uma matriz quadrada, existe o produto AA, que também pode ser indicado por A2.


Exemplo:

Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação matricial AX = B.

2 –11 1

54

B =A =

EQUAÇÕES QUE ENVOLVEM PRODUTO DE MATRIZES

2x – y = 5

x + y = 4

xy

AX = B

⇒.2 –11 1

54

=x + y

2x – y

4

5=

⇒ x = 3

y = 1⇒

31X =


INVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA

Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se, e somente se, existir uma matriz B tal que AB = BA = In. No caso a matriz B

é chamada de inversa de A e é representada por A–1. Portanto:

A é a inversa de B (A = B–1);

B é a inversa de A (B = A–1).


Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os produtos AB e BA.

AB =

1 12 3

A =3 –1–2 1

B =

1 12 3

3 –1–2 1

. =–2 + 3

–1 + 1

6 – 6

3 – 2=

1

0

0

1

BA =3 –1–2 1

1 12 3

. =–2 + 3

3 – 3

–2 + 2

3 – 2=

1

0

0

1

Note que AB = BA = I2, matriz identidade de ordem 2.

Exemplo 1:


Calcular a matriz inversa de . 2 –5

1 –3A =

A . A–1 = I2 ⇒2 –5

1 –3.

a b

c d

1 0

0 1=

⇒b – 3d

2b – 5d

a – 3c

2a – 5c=

1 0

0 1

⇒2a – 5c = 1

a – 3c = 0e

2b – 5d = 0

b – 3d = 1

Exemplo 2:


Logo: a b

c dA–1 =

3 –5

1 –2=

2a – 5c = 1

a – 3c = 0 x (-2)

2a – 5c = 1

-2a +6c = 0+

c = 1

a – 3c = 0 a – 3.1 = 0 a – 3 = 0 a = 0

2b – 5d = 0

b – 3d = 1 x (-2)

2b – 5d = 0

-2b +6d = -2+

d = -2

b – 3d = 1 b – 3.(-2) = 1 b + 6 = 1 b = 1 - 6 b = -5⇒ ⇒

⇒ ⇒⇒

⇒ ⇒


QUESTÕES http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif


1º) Calcule A + B, A – B e 5A – 3B se

732110

A e

910511

B .


2º) Seja A =

143201

e seja B =

012

411

Calcule 2A + 3B.


3º) Seja A =

143201

e seja B =

012

411.

Calcule A – 4B.


4º) Calcule o produto das matrizes:

205312

.021102321


5º) Encontre a matriz X, na equação A.X = B, onde

302113

Ae

031435

B.


6º) (CESGRANRIO) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura.

Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:


7º) (PUCCAMP) Em um laboratório, as substâncias A, B e C são a matéria-prima utilizada na fabricação de dois medicamentos. O Mariax é fabricado com 5g de A, 8g de B e 10g de C e o Luciax é fabricado com 9g de A, 6g de B e 4g de C. Os preços dessas substâncias estão em constante alteração e, por isso, um funcionário criou um programa de computador para enfrentar essa dificuldade. Fornecendo-se ao programa os preços X, Y e Z de um grama das substâncias A, B e C, respectivamente, o programa apresenta uma matriz C, cujos elementos correspondem aos preços de custo da matéria-prima do Mariax e do Luciax. Essa matriz pode ser obtida de:


8º) (UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante; A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P, P‚ Pƒ desse �restaurante:

A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P, P‚ e Pƒ, está �indicada na alternativa:


EXTRAS

UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WINMAT

É um software matemático gratuito que permite construir matrizes e operar com elas. É possível trabalhar com números inteiros, reais e complexos. Determina, entre outras coisas, a matriz inversa, transposta, determinante, traço da matriz e encontra inclusive o polinômio característico da matriz.

Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://math.exeter.edu/rparris/winmat.html.

http://math.exeter.edu/rparris/winmat.html




REFERÊNCIAS

Sites:

http://www.brasilescola.com/matematica/matriz.htm http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica) www.mundoeducacao.com.br/.../matriz-determinantes.htm http://pt.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/Matrizes

Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 2 :

ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.

Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.

http://www.brasilescola.com/matematica/matriz.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/matriz.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)



http://www.mundoeducacao.com.br/.../matriz-determinantes.htm



http://pt.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/Matrizes



matemática, 2º ano, matrizes: operações binômio de newton isaac newton nasceu na pequena cidade...

Documents