matemática, 9º ano, resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau binômio de newton...

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau

Binômio de NewtonBinômio de NewtonIsaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que como vamos ver, desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e astronomia. revolucionaram a matemática, física e astronomia.

Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton. diversos e as chamadas três leis de Newton.

MATEMÁTICAEnsino Fundamental, 9º ano

Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau


Um problema é do 2º grau se, para a sua resolução, for formada uma equação do 2º grau.

Na resolução de um problema ajuda:

Fazer um esquema ou desenho de modo a compreender melhor o enunciado;

Identificar os dados e a incógnita;

Formar a equação;

Resolver a equação;

Interpretar as soluções da equação no contexto do problema.

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Ex.1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem? Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que:

3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos;63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos.

Montando a sentença matemática obtemos:

3x2 = 63 - 12x, que pode ser expressa como 3x2 + 12x - 63 = 0.

Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau.


Primeiramente calculemos o valor de Δ:

3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63Δ = b² – 4.a.cΔ = 12² – 4.3.(– 63) Δ = 144 + 756 Δ = 900

Como Δ é maior que zero, sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:

3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63x = (– b Δ)/2.ax1 = (– 12 + 900)/6x1 = (– 12 + 30)/6x1 = 18/6 x1 = 3


3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63x2 = (– 12 – 900)/6x2 = (– 12 – 30)/6x2 = – 42/6 x2 = – 7

A raízes encontradas são 3 e –7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz –7.

Portanto: Pedro tem 3 filhos.

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Ex.2) Uma tela retangular com área de 9600 cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?

Se chamarmos de x a altura da tela, temos que:

1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura.

Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática obtemos:

x . 1,5x = 9600

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A sentença matemática x.1,5x = 9600, também pode ser expressa como:

1,5x2 – 9600 = 0

Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:

1,5x2 – 9600 = 01,5x2 = 9600x2 = 9600/1,5

x2 = 6400x = 6400

x = 80


As raízes reais encontradas são – 80 e 80.No entanto, como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz – 80.

Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto:

Esta tela tem as dimensões de 80 cm de altura, por 120 cm de largura.


Ex.3) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto?

O enunciado nos diz que:Os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x;De um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades.Recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria.

http://bestanimations.com/Food/animated-sandwich.gif


Temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação:

4 . x + x . x + 8 = 200

Ou então:

4x + x² + 8 = 200 x² + 4x – 192 = 0

Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é este:

x² + 4x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192Δ = b² – 4.a.c

Δ = 4² – 4.1. (– 192)Δ = 16 + 768

Δ = 784

As raízes reais da equação são – 16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual – 16 deve ser descartada. Assim:O preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.


x² + 4x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192x = (– b Δ)/2.ax1 = (– 4 + 784)/2

x1 = (– 4 + 28)/2

x1 = 24/2

x1 = 12

x2 = (– 4 – 784)/2

x2 = (– 4 – 28)/2

x2 = – 32/2

x2 = – 16

As raízes reais da equação são – 16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual – 16 deve ser descartada.

Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.


Ex.4) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?

Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos:

x – 5 será a idade de Paulo. O produto das idades é igual a 374, logo x . (x – 5) = 374.

Esta sentença matemática também pode ser expressa como:

x . (x – 5) = 374 x² – 5x = 374 x² – 5x – 374 = 0

http:

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oosc

ar.c

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esco

la1.

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Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação:

x² – 5x – 374 = 0 a = 1 b = – 5 c = – 374Δ = b² – 4.a.cΔ = (– 5)² – 4.1. (– 374)Δ = 25 + 1496Δ = 1521

x = (– b Δ)/2.ax1 = (5 + 1521)/2

x1 = (5 + 39)/2

x1 = 44/2

x1 = 22


x = (– b Δ)/2.ax2 = (5 – 1521)/2

x2 = (5 – 39)/2

x2 = – 34/2

x2 = – 17

As raízes reais encontradas são – 17 e 22, por ser negativa, a raiz – 17 deve ser descartada.

Logo a idade de Pedro é de 22 anos.

Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos.


Definindo a incógnita como x, temos:

3x2 equivale ao triplo do quadrado do número;

15x equivale a 15 vezes este número.

http://bestanimations.com/Books/boy-reading-book-animation-3.gif

Podemos escrever esta sentença da seguinte forma:

3x2 = 15x

Ou ainda como:

3x2 – 15x = 0

Ex.5) Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes?


Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas raízes reais. Uma é igual a zero e a outra é dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer que:

3x² – 15x = 0x(3x – 15) = 0

x = 0 3x – 15 = 0

3x = 15x = 15/3

x = 5

Assim sendo, os dois números são 0 e 5.


Ex.6) Quais são as raízes da equação x² – 14x + 48 = 0?

Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta:

Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em 48?

Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48.

Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bháskara:

As raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0 são 6 e 8.

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x² – 14x + 48 = 0 a = 1 b = – 14 c = 48Δ = b² – 4.a.cΔ = (– 14)² – 4.1. 48Δ = 196 – 192Δ = 4

x = (– b Δ)/2.ax1 = (14 + 4)/2

x1 = (14 + 2)/2

x1 = 16/2 x1 = 8

x2 = (14 – 4)/2

x2 = (14 – 2)/2

x2 = 12/2 x2 = 6

•As raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0 são 6 e 8.


Ex.7) Resolva a equação biquadrada x4 – 20x² – 576 = 0.

Substituindo na equação x4 por y2 e também x2 por y temos:

y4 – 20y² – 576 = 0

Resolvendo-a temos:

y4 – 20y² – 576 = 0 a = 1 b = – 20 c = – 576Δ = b² – 4.a.cΔ = (– 20)² – 4.1. (– 576)Δ = 400 + 2304Δ = 2704

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esco

la1.

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y4 – 20y² – 576 = 0 a = 1 b = – 20 c = – 576

y = (– b Δ)/2.ay1 = (20 + 2704)/2

y1 = (20 + 52)/2

y1 = 72/2

y1 = 36

y2 = (20 – 2704)/2

y2 = (20 – 52)/2

y2 = – 32/2

y2 = – 16


Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da equação biquadrada:

Para y1 = 36, temos:

x² = yx² = 36x = 36x = 6

Para y2 = – 16, como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não será considerado.

Desta forma, as raízes da equação biquadrada x4 – 20x2 – 576 = 0 são somente: – 6 e 6.


Ex.8) Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente. Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da idade do filho?

Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido o sinal de menos (–), não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no tempo.

Representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos:

idade do pai há x anos: 45 – xidade do filho há x anos: 15 – x

Equalizando as informações “idade do pai era igual ao quadrado da idade do filho”: 45 – x = (15 – x)².

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Desenvolvendo a equação 45 – x = (15 – x)², obtemos:

45 – x = 225 – 30x + x2

x2 – 29x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180Δ = b² – 4.a.cΔ = (– 29) ² – 4.1.180Δ = 841 – 720 Δ = 121x = (– b Δ)/2.ax1 = (29 + 121)/2

x1 = (29 + 11)/2

x1 = 40/2

x1 = 20


x2 – 29x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180x2 = (29 – 121)/2

x2 = (29 – 11)/2

x2 = 18/2

x2 = 9

Analisando os resultados encontrados (20 e 9), o valor 20 não pode ser usado no problema, pois, nesse caso, o filho teria idade negativa!

idade do pai há x anos: 45 – xidade do filho há x anos: 15 – x

Portando, para x = 9 temos para idades: 36 e 6 anos.


Ex.9) Um retângulo possui a medida de seu lado maior igual ao quádruplo do lado menor, e área medindo 256 m². Determine a medida de seus lados.

Para calcularmos a área de uma região retangular devemos multiplicar o comprimento pela largura.

4x . x = 256 4x² = 256 x² = 256/4 x² = 64 x = 64 x = 8

O lado de maior comprimento (4x) mede 32 metros e o de menor comprimento (x), 8 metros.

256 m² x

4x


Ex.10) Num congresso havia 50 pessoas entre mulheres e homens. Descubra quantas mulheres e quantos homens estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades dos dois grupos é igual 621 e que a quantidade de mulheres é maior do que a quantidade de homens.

Sendo h: número de homens e m o número de mulheres no congresso, temos que:

h + m = 50 equivale ao total de pessoas no congresso; h . m = 621 equivale ao produto das quantidades dos dois grupos.

http://www.fotosdahora.com.br/gifs_path/7190/olhos_7/


Montando a sentença matemática obtemos:

h + m = 50 h = 50 – mh . m = 621Substituindo h por 50 – m na 2ª equação, temos:

(50 – m).m = 62150m – m² – 621 = 0 x(-1)m² – 50m + 621 = 0a = 1 b = – 50 c = 621 = b² – 4.a.c = (– 50)² – 4.1.621 = 2500 – 2484 = 16


m = (– b )/2.a m = (50 4)/2m1 = (50 + 4)/2

m1 = 54/2

m1 = 27

m2 = (50 – 4)/2

m2 = 46/2

m2 = 23

Como h + m = 50, e o número de mulheres é maior que o número de homens, então havia 27 mulheres e 23 homens no congresso.


1º) Um cidadão, ao falecer, deixou uma herança de R$ 200.000,00 para ser distribuída, de maneira equitativa, entre os seus x filhos. No entanto, três desses filhos renunciaram às suas respectivas partes nessa herança, fazendo com que os demais x – 3 filhos, além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de R$15.000,00 em suas respectivas partes dessa herança. Portanto, o número x de filhos do referido cidadão é:

a) 8 b) 10 c) 5 d) 4 e) 7

2º) Em certa cidade há um terreno de formato retangular de 80 m2 de área, em que um lado tem 2 m a mais que o outro. O prefeito da cidade pretende construir nesse terreno uma praça, fazendo ainda duas passarelas perpendiculares que dividirão a praça em quatro retângulos congruentes. Qual será a área ocupada pelas passarelas se elas tiverem 2 m de largura?

3º) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esses números.

4º) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número.

EXERCÍCIOS http://zonadaponte.com.sapo.pt/gifs/escola/esc003.gif


EXTRAS

GEOGEBRA

Utilizar o software geogebra para realizar algumas atividades sobre equações do 2º grau, bem como revisar seus conceitos.

Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm


REFERÊNCIAS

Sites:http://pt.slideshare.net/AndrLusNogueira/exerccios-resolvidos-de-problemas-de-equaes-do-2-grau

Livros:I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 1: ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.

http://pt.slideshare.net/AndrLusNogueira/exerccios-resolvidos-de-problemas-de-equaes-do-2-grau



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